专题02 一元二次方程重难点题型汇编（十一大题型）-2025-2026学年八年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版）

专题02 一元二次方程重难点题型汇编 【题型01：一元二次方程的概念】..............................................................................................1 【题型02：一元二次方程的解】..................................................................................................2 【题型03：解一元二次方程】......................................................................................................2 【题型04：一元二次方程根的判别式】......................................................................................3 【题型05：一元二次方程根与系数的关系】................................................................................4 【题型06：一元二次方程应用-传播问题】.................................................................................4 【题型07：一元二次方程应用-面积问题】...................................................................................5 【题型08：一元二次方程应用-增长率问题】.............................................................................7 【题型09：一元二次方程应用-利润问题】.................................................................................8 【题型10：一元二次方程应用-利润问题】.................................................................................9 【题型11：一元二次方程应用-动点问题】...................................................................................10 【题型01：一元二次方程的概念】 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．将一元二次方程化成一般形式为______． 【题型02：一元二次方程的解】 1．已知方程的一个根是，则的值是________． 2．已知是方程的一个根，则的值为______． 3．若是方程的一个根，则的值为___________． 4．若是关于x的一元二次方程的一个根，则________． 5．若是方程的根，则代数式 __________________ 【题型03：解一元二次方程】 1．解方程： (1) (2) 2．解方程： (1)． (2)． 3．解方程： (1) (2) 4．解下列方程： (1)； (2)． 5．解方程： (1) (2) 6．用合适的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【题型04：一元二次方程根的判别式】 1．方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．已知关于的一元二次方程，则该方程解的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个解 3．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有一实数根为3，求的值； (2)求证：无论取何值，方程总有实数根． 4.已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一根为2，求k的值及方程的另一根． 5．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果方程有一个根大于4，求m的取值范围． 【题型05：一元二次方程根与系数的关系】 1．已知，是方程的两个根，则的值为（   ） A．3 B． C． D．1 2．若α，β是方程的两个根，则的值为（    ） A．7 B． C． D．3 3．已知实数、是关于的方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C．5 D．2 4．若，是一元二次方程的两个根，则：的值为（   ） A． B．0 C．2 D．3 5．已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______． 6．已知，是方程的两个根，则______． 【题型06：一元二次方程应用-传播问题】 1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．小聪解决了一道拓展题，并把解法教会了名同学，然后所有会做该题的每名同学又各自教会了名同学，这样全班共有人会做该题，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．某种植物的主干长出若干数目的支干，且每个支干长出的小分支数目与主干长出的支干数目相同，主干、支干和小分支的总数是43，问：每个支干长出多少个小分支？设每个支干长出x个小分支，列方程得：_________． 4．学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 【题型07：一元二次方程应用-面积问题】 1．如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为．设车道的宽为．可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．如图，某停车场为了解决充电难的问题，现将长为20米，宽为10米的矩形停车场进行改造．将矩形停车场的边和边分别减少相等的长度，减少的这部分区域用于修建充电桩，剩余停车场的面积为119平方米，求边和边减少的长度是______米． 3．如图，小明同学用一张长，宽的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为，则可列出关于的方程为_____． 4．某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为的矩形土地做养鸡场，如图所示，养鸡场一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆）．求这个养鸡场的长和宽． 5．学校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙围建劳动实践基地．该校某数学兴趣小组设计了如下的围建方案（除围墙外，实线部分均为篱笆墙，且不浪费篱笆墙）：利用围墙和篱笆围成Ⅰ，Ⅱ两块矩形劳动实践基地，且在Ⅱ区中留一个宽的水池．已知（，劳动基地的总面积（不包含水池）为， (1)设的长为x，用x的代数式表示的长为 ，表示的长为 (2)求的长是多少？ 【题型08：一元二次方程应用-增长率问题】 1．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动，某款燃油汽车今年月份售价为万元，月份售价为万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额为728万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ） A． B． C． D． 3．为满足师生阅读需求，学校建立了“阅读广场”，并且不断完善藏书数量，年该校的“阅读广场”有藏书册，到年该校的“阅读广场”的藏书数量增长到册． (1)求该校的“阅读广场”这两年藏书的平均增长率； (2)按照这样的增长方式，请你估算出年该校的“阅读广场”的藏书量是多少？ 4．某超市于今年年初购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)若按照（1）中的增长率增长，请你估计四月份的销售量是多少？ 【题型09：一元二次方程应用-利润问题】 1．某商场将进货价为30元的节能灯以40元售出，平均每月能售出500个，调查表明：售价在40至60元范围内，这种节能灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个；为了实现平均每月8000元的销售利润，这种节能灯的售价应定为多少？这时应进节能灯多少个？ 2．某商家推出一款玩具，成本为40元/个．当售价定为70元/个时，平均每天可售出60个．该商家决定采取降价措施以提升销量，试销一段时间后发现，该款玩具的单价每降2元，平均每天可多售出10个． (1)商家为了尽快减少库存，且希望平均每天盈利2160元．求每个玩具应降价多少元； (2)该商家平均每天能否获利2300元？请说明理由． 3．西游乐园景区某商店销售一种纪念品，每件成本为40元，经市场调研，该纪念品的月销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）（（）之间满足一次函数关系，其图像如图所示． (1)求该纪念品的月销售量y与销售单价x之间的函数关系式； (2)若商店某月销售这种纪念品共获利4000元，求该纪念品当月的销售单价． 4．某公司生产的商品的市场指导价为每件元，公司的实际销售价格可以浮动个百分点（即销售价格），经过市场调研发现，这种商品的日销售量（件）与销售价格浮动的百分点之间的函数关系为．若该公司按浮动个百分点的价格出售，每件商品仍可获利． (1)求该公司生产销售每件商品的成本为多少元； (2)当该公司的商品定价为每件多少元时，日销售利润为元． （说明：日销售利润（销售价格成本）日销售量） (3)该公司决定每销售一件商品就捐赠5元利润给希望工程，请问该公司的日销售利润是否还可以达到元？如果可以，请求出该公司的商品定价应为每件多少元；如果不可以，请说明理由． 【题型10：一元二次方程应用-握手循环比赛问题】 1．云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模最大的省级足球赛事，于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛．设有支球队参加比赛，可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了66次手．若设这次会议到会的人数为，依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 3．2026年元旦即将来临，某校九年级班主任为了鼓励本班学生期末努力学习，亲自购买了1600张元旦贺卡，准备在元旦来临的前一天，向每位同学赠送一张贺卡，每位同学也向班里其他每一位同学赠送了一张贺卡，贺卡恰好用完，设班级有名学生，则下列方程成立的是（    ） A． B． C． D． 4．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到个红包，设该群一共有个人，则可列方程是（   ） A． B． C． D． 5．在某个商品交易会上，参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了份合同．则参加交易会的公司有（    ） A．家 B．家 C．家 D．家 6．教师节期间，某校数学组教师向本组其他教师各发一条祝福短信．据统计，全组共发了240条祝福短信，如果设全组共有x名教师，依题意，可列出的方程是（ ） A．x（x+1）=240 B．x（x﹣1）=240 C．2x（x+1）=240 D．x（x+1）=240 【题型11：一元二次方程应用-动点问题】 1．如图所示，在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，连接．如果两点同时出发，几秒时，是等腰三角形？ 2．如图，在中，，，点点同时由、两点出发分别在线段线段上向点匀速移动，它们的速度都是，设运动时间为． (1)用含的代数式表示：_____；_____； (2)若的面积为面积的，求的值． 3．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止；同时，点从点出发沿以的速度向点移动． (1)设运动时间为秒，则______，______； (2)经过多长时间，两点之间的距离是？ 4．如图，在中，，，，点P从点A出发沿边向点C以的速度移动，同时点Q从点C出发沿边向点B以的速度移动．当Q点到达B点时，点P同时停止运动． (1)运动几秒时的面积为？ (2)的面积能否等于面积的一半？若能，求出运动时间，若不能，说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程重难点题型汇编 【题型01：一元二次方程的概念】..............................................................................................1 【题型02：一元二次方程的解】..................................................................................................2 【题型03：解一元二次方程】......................................................................................................4 【题型04：一元二次方程根的判别式】......................................................................................8 【题型05：一元二次方程根与系数的关系】................................................................................10 【题型06：一元二次方程应用-传播问题】.................................................................................13 【题型07：一元二次方程应用-面积问题】....................................................................................15 【题型08：一元二次方程应用-增长率问题】............................................................................18 【题型09：一元二次方程应用-利润问题】...............................................................................20 【题型10：一元二次方程应用-利润问题】...............................................................................24 【题型11：一元二次方程应用-动点问题】..................................................................................27 【题型01：一元二次方程的概念】 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：是二元一次方程，不是一元二次方程，故A不符合； ，当时，不是一元二次方程，故B不符合； 一元一次方程，不是一元二次方程，故C不符合； 符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故D符合． 2．方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项． 【详解】将原方程化为一元二次方程的一般形式为，所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故选：D 3．若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，且未知数最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题关键，根据二次项系数非零列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∴， 故选：A． 4．将一元二次方程化成一般形式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式． 将一元二次方程化为一般形式，需通过移项使方程右边为0，并按降幂排列左边各项． 【详解】解：， 移项得， 故答案为：． 【题型02：一元二次方程的解】 1．已知方程的一个根是，则的值是________． 【答案】 【分析】把代入方程求解即可． 【详解】解：∵方程的一个根是， ∴， 即：， ∴． 2．已知是方程的一个根，则的值为______． 【答案】5 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义、整体代入法求代数式的值． 利用方程的根的定义得到含的等式，再将所求代数式变形后整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程，根据方程的根的定义可得： ， 移项得． 将代入，得． 3．若是方程的一个根，则的值为___________． 【答案】2027 【分析】本题考查了一元二次方程的根求参数，代数式求值，将代入得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个根 ∴，即， ∴， 故答案为：． 4．若是关于x的一元二次方程的一个根，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，把代入原方程中求出的值，再把所求式子变形为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．若是方程的根，则代数式 __________________ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的应用，解此题的关键是得出关于m的方程，把看成整体，利用整体思想解题是关键.利用方程根的定义，将代数式变形后代入求值． 【详解】解：∵是方程 的根， ∴，即， ∴代数式． 故答案为：． 【题型03：解一元二次方程】 1．解方程： (1) (2) 【答案】(1)，. (2)，. 【分析】（1）先提取公因式，令各项为0，即可得出方程的解． （2）先提取公因式，再计算，然后利用公式法直接代入即可； 【详解】（1）解：提取公因式得， ∴或， 解得或， ∴，； （2）解：， ∵，，， ∴判别式， ∴， ∴，． 2．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）先移项，再用因式分解法解方程． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得； （2）解：， ， ， 或， 解得． 3．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)． 【分析】此题考查了解一元二次方程． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， 则或， 解得，； （2）解：， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将原方程转化为，然后用因式分解法解题即可； （2）利用公式法即可． 【详解】（1）解： 或， ∴，； （2）解： 这里， ∴ ∴， ∴，； 5．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据公式法求解即可； （2）根据因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：对于方程 ，， 解得： （2）解： 因式分解得 ∴或 解得：， 6．用合适的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查解一元二次方程，掌握解方程的方法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，根据每个方程的特点选用恰当的解法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ， 即或， 解得：； （2）解： ， ， 即或， 解得：． 【题型04：一元二次方程根的判别式】 1．方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】利用根的判别式的值与0的大小关系即可判断根的情况． 【详解】解：对于方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 2．已知关于的一元二次方程，则该方程解的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个解 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 利用一元二次方程根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：一元二次方程为， 则判别式， 又由于， 则，即， 因此，该一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 3．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有一实数根为3，求的值； (2)求证：无论取何值，方程总有实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式． （1）直接把代入到原方程中得到关于的方程，解方程即可得到答案； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【详解】（1）解： 方程有一实数根为3， ， 解得； （2）证明：根据题意可得：，，， ， 无论取何值，方程总有实数根． 4.已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一根为2，求k的值及方程的另一根． 【答案】(1)见解析 (2)的值为1，方程的另一根为0 【分析】本题考查了根的判别式以及方程的解，熟练掌握当方程有两个不相等的实数根时是解题的关键． （1）根据一元二次方程的根的判别式，结合完全平方公式的非负性分析求证； （2）把一根为2代入一元二次方程求出k的值，再解方程求出另一根． 【详解】（1）证明：∵ ∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：当时，， 解得：， 把代入原方程：， 解得，， 故的值为1，方程的另一根为0． 5．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果方程有一个根大于4，求m的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根据根的情况求参数，完全平方式的非负性，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式及解方程的方法是解决本题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式及完全平方的非负性，即可证得结论； （2）首先解一元二次方程，再根据根的情况，利用不等式，即可求解． 【详解】（1）证明：∵关于x的一元二次方程， ∴ 无论m取何值，， ∴方程总有两个实数根． （2）解：∵， ∴， 解得，， ∵方程有一个根大于4， ， ． 【题型05：一元二次方程根与系数的关系】 1．已知，是方程的两个根，则的值为（   ） A．3 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系． 通过根与系数的关系，直接计算表达式的值． 【详解】解：∵ 方程， ∴ ， ∴ ，， ∴ . 故选：C． 2．若α，β是方程的两个根，则的值为（    ） A．7 B． C． D．3 【答案】A 【分析】由一元二次方程根与系数的关系，，，由此可解． 【详解】由题意得，，， ． 3．已知实数、是关于的方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系得出，，再代入求解即可． 【详解】∵实数、是关于的方程的两根， ∴，， ∴， 故选：B 3．已知是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C．5 D．2 【答案】B 【分析】首先根据给定的一元二次方程确定系数、、，通过韦达定理得到和的值；然后将展开并整理为含和的代数式；最后代入数值计算出结果，对照选项得到答案． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 4．若，是一元二次方程的两个根，则：的值为（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，解题的关键是熟记一元二次方程的两根为，，满足，． 先利用一元二次方程根的定义对所求代数式变形，再结合根与系数的关系计算结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∵，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴． 故选：D． 5．已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】2024 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到的值，再根据根与系数的关系求出的值，最后将所求式子变形后代入计算即可． 【详解】解：因为是方程的实数根，所以将代入方程得： ， 移项得， 又因为，是方程的两个实数根， ∴， ∴ ， ． 6．已知，是方程的两个根，则______． 【答案】 【分析】将所求分式通分转化为用两根之和与两根之积表示的形式，再利用韦达定理代入计算． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴． 【题型06：一元二次方程应用-传播问题】 1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染后总患者为人；第二轮传染时，这些患者每人传染x人，故新增患者为人，两轮后总患者为人，故可得方程． 【详解】∵ 初始患者为1人， 每轮传染中平均一人传染人， ∴ 第一轮后患者总数为：人， 第二轮传染时，有个患者，每人传染人， ∴ 第二轮新增患者为：人， ∴ 两轮后总患者为：人， 故方程为． 故选：B． 2．小聪解决了一道拓展题，并把解法教会了名同学，然后所有会做该题的每名同学又各自教会了名同学，这样全班共有人会做该题，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设每名同学各自教会了名同学，根据全班共有人会做该题，再根据题意列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设每名同学各自教会了名同学， 根据题意得：． 故选：B． 3．某种植物的主干长出若干数目的支干，且每个支干长出的小分支数目与主干长出的支干数目相同，主干、支干和小分支的总数是43，问：每个支干长出多少个小分支？设每个支干长出x个小分支，列方程得：_________． 【答案】 【分析】本题考查了列一元二次方程． 设每个支干长出个小分支，由题意，主干长出的支干数目为，因此主干有1个，支干有个，小分支有个，根据总数为43列方程即可． 【详解】解：设每个支干长出个小分支，则主干长出的支干数目为， 故支干有个， 小分支有个． 根据题意，主干、支干和小分支的总数为43， 因此列方程得． 故答案为：． 4．学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲，根据题意列方程求解即可； （2）用已有接受宣讲的人数乘以（1）中结果加上已有接受宣讲的人数即为经过三轮后接受宣讲的人数． 【详解】（1）解：设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲， 依题意，得即， 解得，舍去， 故这种宣讲活动，一个人会给人宣讲； （2）解：（人）， 故按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有人． 【题型07：一元二次方程应用-面积问题】 1．如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为．设车道的宽为．可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．列出方程即可． 【详解】解：设车道的宽为米，则停车位总占地长为米，宽为米， 根据停车位总占地面积为平方米，列出关于的一元二次方程， 根据题意得：． 2．如图，某停车场为了解决充电难的问题，现将长为20米，宽为10米的矩形停车场进行改造．将矩形停车场的边和边分别减少相等的长度，减少的这部分区域用于修建充电桩，剩余停车场的面积为119平方米，求边和边减少的长度是______米． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设边和边减少的长度为x米，则剩余停车场是一个长为米，宽为米的长方形，据此根据长方形的面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：设边和边减少的长度是x米． 由题意得，， 整理得 解得，（不符合题意，舍去） ∴边和边减少的长度是3米． 故答案为：3． 3．如图，小明同学用一张长，宽的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为，则可列出关于的方程为_____． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是写出裁剪后的底面的长和宽． 根据题意和图形，可以得到裁剪后的底面的长是，宽为，然后根据长方形的面积长宽，可以列出相应的方程． 【详解】解：由题意可得：， 故答案为：． 4．某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为的矩形土地做养鸡场，如图所示，养鸡场一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆）．求这个养鸡场的长和宽． 【答案】这个养鸡场的长和宽分别为、 【分析】设为，则的长度为，然后以养鸡场的面积为为等量关系列方程，注意要验证方程的解是否符合题意． 【详解】解：设为，则的长度为， 根据题意，得， 整理，得， 解得，， 当时，，不符合题意舍去； 当时，，符合题意． 答：这个养鸡场的长和宽分别为、． 5．学校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙围建劳动实践基地．该校某数学兴趣小组设计了如下的围建方案（除围墙外，实线部分均为篱笆墙，且不浪费篱笆墙）：利用围墙和篱笆围成Ⅰ，Ⅱ两块矩形劳动实践基地，且在Ⅱ区中留一个宽的水池．已知（，劳动基地的总面积（不包含水池）为， (1)设的长为x，用x的代数式表示的长为 ，表示的长为 (2)求的长是多少？ 【答案】(1)， (2)的长是米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设，则，； （2）根据“劳动基地的总面积（不包含水池）为”，列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，设，则， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵劳动基地的总面积（不包含水池）为， ∴， 整理得：， 解得：或； ∵， ∴； ∴； ∴的长是米． 【题型08：一元二次方程应用-增长率问题】 1．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动，某款燃油汽车今年月份售价为万元，月份售价为万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程在下降率问题中的应用，根据月均下降率的变化规律，依次表示出月份和月份的售价，再结合月份的实际售价列出方程即可． 【详解】解：设该款汽车这两月售价的月均下降率是， 月份售价为万元，6月份售价为万元， 月份售价为万元， 又月份售价为万元， 可列方程：． 故选：C． 2．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额为728万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 由平均每月增长率为x，可得出超市二、三月份的营业额，再根据超市第一季度的总营业额为728万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵某超市一月份的营业额为200万元，且平均每月增长率为x， ∴该超市二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元， 又∵第一季度的总营业额为728万元， ∴， 即． 故选：D． 3．为满足师生阅读需求，学校建立了“阅读广场”，并且不断完善藏书数量，年该校的“阅读广场”有藏书册，到年该校的“阅读广场”的藏书数量增长到册． (1)求该校的“阅读广场”这两年藏书的平均增长率； (2)按照这样的增长方式，请你估算出年该校的“阅读广场”的藏书量是多少？ 【答案】(1)该校的“阅读广场”这两年藏书的平均增长率为 (2)预测年该校的“阅读广场”的藏书量是册 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． ()设该校的“阅读广场”这两年藏书的平均增长率为，利用该校的“阅读广场”年的藏书量该校的“阅读广场”年的藏书量 藏书的年平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之，取其正值即可得出结论； ()利用该校的“阅读广场”年的藏书量等于该校的“阅读广场”年的藏书量(藏书的年平均增长率)，即可求出该校的“阅读广场”年的藏书量． 【详解】（1）解：设该校的“阅读广场”这两年藏书的平均增长率为，     根据题意，得 解得（不合题意，舍去） 答：该校的“阅读广场”这两年藏书的平均增长率为； （2）解：（册）， 所以，预测年该校的“阅读广场”的藏书量是册． 4．某超市于今年年初购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)若按照（1）中的增长率增长，请你估计四月份的销售量是多少？ 【答案】(1) (2)500件 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，利用该商品三月份的销售量=该商品一月份的销售量×(1+月平均增长率)2，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）根据（1）中的增长率，列算式求解即可． 【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）解：（件）， 答：四月份的销售量是500件． 【题型09：一元二次方程应用-利润问题】 1．某商场将进货价为30元的节能灯以40元售出，平均每月能售出500个，调查表明：售价在40至60元范围内，这种节能灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个；为了实现平均每月8000元的销售利润，这种节能灯的售价应定为多少？这时应进节能灯多少个？ 【答案】节能灯的售价定为50元，应进节能灯400个 【分析】设售价上涨x元，那么就少卖出个，根据“总利润等于单个商品利润乘以数量，单个商品利润等于售价减去进价”，可列方程求解． 【详解】解：设售价上涨x元， 由题意可知：， 解得：， ∴定价为元，或元， 又售价在40至60元范围内， ∴售价定为50元， 此时应进节能灯为：（个）， 答：节能灯的定价定为50元，这时应进节能灯400个． 2．某商家推出一款玩具，成本为40元/个．当售价定为70元/个时，平均每天可售出60个．该商家决定采取降价措施以提升销量，试销一段时间后发现，该款玩具的单价每降2元，平均每天可多售出10个． (1)商家为了尽快减少库存，且希望平均每天盈利2160元．求每个玩具应降价多少元； (2)该商家平均每天能否获利2300元？请说明理由． 【答案】(1)每个玩具应降价12元 (2)商家平均每天不能获利2300元，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系建立方程求解． （1）设每个玩具应降价元，则降价后每个玩具的利润为元，销售量为个，再由利润等于每个玩具的利润乘以销售量建立方程求解，然后根据“为了尽快减少库存”进行舍解即可； （2）设每个玩具应降价元，则降价后每个玩具的利润为元，销售量为个，同上建立方程，再根据根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：设每个玩具应降价元，则降价后每个玩具的利润为元，销售量为个， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 因为要尽快减少库存， 所以销量应尽可能大，即， 答：每个玩具应降价12元； （2）解：该商家平均每天不能获利2300元，理由如下： 设每个玩具应降价元，则降价后每个玩具的利润为元， 销售量为个，由题意得：， 整理得：， ， 原方程无实数根， 该商家平均每天不能获利2300元． 3．西游乐园景区某商店销售一种纪念品，每件成本为40元，经市场调研，该纪念品的月销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）（（）之间满足一次函数关系，其图像如图所示． (1)求该纪念品的月销售量y与销售单价x之间的函数关系式； (2)若商店某月销售这种纪念品共获利4000元，求该纪念品当月的销售单价． 【答案】(1) (2)50或60 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，解题的关键是： （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据“销售利润==单个利润××销售量”列出方程，然后解方程即可进行求解． 【详解】（1）解：设，代入，， 则． 解得 ． （2）解：． 解得，， 答：当获利4000元时，该纪念品当月的销售单价是50或60元． 4．某公司生产的商品的市场指导价为每件元，公司的实际销售价格可以浮动个百分点（即销售价格），经过市场调研发现，这种商品的日销售量（件）与销售价格浮动的百分点之间的函数关系为．若该公司按浮动个百分点的价格出售，每件商品仍可获利． (1)求该公司生产销售每件商品的成本为多少元； (2)当该公司的商品定价为每件多少元时，日销售利润为元． （说明：日销售利润（销售价格成本）日销售量） (3)该公司决定每销售一件商品就捐赠5元利润给希望工程，请问该公司的日销售利润是否还可以达到元？如果可以，请求出该公司的商品定价应为每件多少元；如果不可以，请说明理由． 【答案】(1)元 (2)元或元 (3)不可以，理由见解析 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设该公司生产销售每件商品的成本为元，根据该公司按浮动个百分点的价格出售，每件商品仍可获利列出方程，求出方程的解得到的值，即为每件商品的成本； （2）根据日销售利润（销售价格成本）日销售量，由日销售利润为元列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果； （3）根据日销售利润（销售价格成本捐款）日销售量，由日销售利润为元列出关于的方程，解得方程根的判别式为负数，故不可能利润还能到达元． 【详解】（1）解：设该公司生产销售每件商品的成本为元， 依题意得：， 解得：， 答：该公司生产销售每件商品的成本为元； （2）解：由题意得， 整理得：， 解得：，， （元，（元， 此时，商品定价为每件元或元，日销售利润为元； （3）解：由题意得， 整理可得 ， ∵， ∴方程无实数解， 因此不能达到元利润． 【题型10：一元二次方程应用-握手循环比赛问题】 1．云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模最大的省级足球赛事，于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛．设有支球队参加比赛，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键是理解单循环赛制的比赛场数计算方法，避免重复计数． 设有支球队参加比赛，根据单循环赛制可知实际总场次为场，据此得出方程． 【详解】解：∵有支球队参赛，每支球队需与其余支球队各赛一场， ∴若不考虑重复，总场次为场， 又∵单循环赛制中，A与B比赛和B与A比赛是同一场，存在重复计数， ∴实际总场次为场， ∴可列方程为， 故选：D． 2．一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了66次手．若设这次会议到会的人数为，依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解握手问题中存在重复计算的情况，从而正确列出方程．据此解答即可． 【详解】解：∵设这次会议到会的人数为人 ∴每个人需要和除自己外的人握手 又∵每两人之间的握手会被重复计算一次 ∴总握手次数为 ∵已知一共握了66次手 ∴依题意可列方程 故选：A． 3．2026年元旦即将来临，某校九年级班主任为了鼓励本班学生期末努力学习，亲自购买了1600张元旦贺卡，准备在元旦来临的前一天，向每位同学赠送一张贺卡，每位同学也向班里其他每一位同学赠送了一张贺卡，贺卡恰好用完，设班级有名学生，则下列方程成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．班主任赠送每位学生一张贺卡，共张；学生互赠贺卡，每位学生送出张，总互赠贺卡数为张；总贺卡数为两者之和． 【详解】解：设班级有名学生，则班主任赠送贺卡数为，学生互赠贺卡总数为， 根据题意得 故选：B． 4．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到个红包，设该群一共有个人，则可列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、找出合适的等量关系是解答本题的关键；设该群一共有人，由于每人发一个红包且自己不能抢自己的，因此每人收到个红包，红包总数为，据此列方程。 【详解】解：因为每人收到红包数为个， 所以红包总数为， 则； 故选D． 5．在某个商品交易会上，参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了份合同．则参加交易会的公司有（    ） A．家 B．家 C．家 D．家 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设共有家公司参加商品交易会，根据题意列出方程，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设共有家公司参加商品交易会， 根据题意得：，整理得：， 解得：，（舍去）， ∴共有家公司参加商品交易会， 故选：． 6．教师节期间，某校数学组教师向本组其他教师各发一条祝福短信．据统计，全组共发了240条祝福短信，如果设全组共有x名教师，依题意，可列出的方程是（ ） A．x（x+1）=240 B．x（x﹣1）=240 C．2x（x+1）=240 D．x（x+1）=240 【答案】B 【详解】试题分析：每个老师都要向除自己之外的老师发一条短信，让人数乘以每个老师所发短信条数等于短信总条数即为所求方程． 解：∵全组共有x名教师，每个老师都要发（x﹣1）条短信，共发了240条短信． ∴x（x﹣1）=240． 故选B． 考点：由实际问题抽象出一元二次方程． 【题型11：一元二次方程应用-动点问题】 1．如图所示，在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，连接．如果两点同时出发，几秒时，是等腰三角形？ 【答案】()秒 【分析】本题考查等腰三角形的定义、勾股定理及一元二次方程的应用，关键是设运动时间为秒，用含的代数式表示各边长度，尤其注意，所以只有这种情况，同时需检验解是否符合点的运动范围()． 【详解】解：设运动时间为秒()，则，，． ∵， ∴． ∵是等腰三角形， ∴， ， 在中，由勾股定理得． 当时，， 两边平方得，整理得， 由一元二次方程求根公式得， ， ∴舍去，保留； 答：()秒时，是等腰三角形． 2．如图，在中，，，点点同时由、两点出发分别在线段线段上向点匀速移动，它们的速度都是，设运动时间为． (1)用含的代数式表示：_____；_____； (2)若的面积为面积的，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找到等量关系列出方程求解是解题的关键． （1）根据“路程速度时间”求出，再根据，求解即可； （2）先求出的面积，再根据列出一元二次方程，求出答案即可． 【详解】（1）解：∵，，点点的速度都是，运动时间为 ∴，； （2）∵在中，，， ∴． ∵， ∴， ∴ 整理得：， ， ， ， ， 或， 解得：，． ∵， ∴， ∴不合题意，舍去． 答：的值为． 3．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止；同时，点从点出发沿以的速度向点移动． (1)设运动时间为秒，则______，______； (2)经过多长时间，两点之间的距离是？ 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用．解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形． 根据点运动的方向和速度，可知，根据点运动的方向和距离可知，根据矩形的性质可知； 过点作于，根据矩形的性质可知，，利用勾股定理可得关于的一元二次方程，解方程求出的值即可． 【详解】（1）解：点从点出发沿以的速度向点移动， ， 点从点出发沿以的速度向点移动， ， 四边形是矩形， ， ， 故答案为：，； （2）解：如下图所示，过点作于，则， 设秒后，， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， ， 解得：，， 经过或时，、两点之间的距离是． 4．如图，在中，，，，点P从点A出发沿边向点C以的速度移动，同时点Q从点C出发沿边向点B以的速度移动．当Q点到达B点时，点P同时停止运动． (1)运动几秒时的面积为？ (2)的面积能否等于面积的一半？若能，求出运动时间，若不能，说明理由． 【答案】(1)P、Q同时出发，或后可使的面积为； (2)不存在使得的面积等于面积的一半的时刻，理由见解析 【分析】本题考查解一元二次方程，解本题的关键是审题后，列出相关的一元二次方程，应掌握一元二次方程根的判别式及求解． （1）设后，可使的面积为，分别表示出线段和线段的长，再利用三角形的面积公式列出方程求解； （2）先求，根据题意建立方程，由根的判别式可得结果． 【详解】（1）解：设后，可使的面积为． 由题意得，，，， ∴， 整理得：， 解得：，， 所以P、Q同时出发，或后可使的面积为． （2）解：由题意得：， ∴， 整理可得：， ，该方程无实数解， 所以，不存在使得的面积等于面积的一半的时刻． 1 学科网（北京）股份有限公司 $