专题03 全等三角形常考八大模型突破-2026-2027学年浙教版 八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必刷题

**基本信息** 以八大模型为框架，系统整合全等三角形判定与性质，通过模型化方法提炼实现解题思路迁移，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平移型|4题|利用平移性质证对应边等、角等|从基础平移变换到共线点全等判定| |翻折型|4题|借助对称/角平分线构造全等|翻折性质与ASA/SAS判定结合| |旋转型|5题|旋转角转化证边等角等|旋转不变性与全等判定综合应用| |一线三等角型|5题|构造K型全等证线段关系|直角/等角条件下的模型识别| |手拉手模型|4题|等边三角形旋转证全等|共顶点双等边模型的性质迁移| |半角模型|4题|旋转法构造全等证线段和差|半角条件与截长补短法结合| |对角互补模型|5题|角平分线+互补条件证线段关系|角平分线性质与全等判定综合| |倍长中线法模型|4题|延长中线构造全等转移线段|中点条件下的辅助线构造策略|

专题03全等三角形常考八大模型突破 题型归纳 【题型01：平移型】 【题型02：翻折型】 【题型03：旋转型】 【题型04：一线三等角型】 【题型05：手拉手模型】 【题型06：半角棋型】 【题型07：对角互补模型】 【题型08：倍长中线法模型】 专题训练 【题型01：平移型】 1.如图，A、C、B、F四点在同一直线上，AC=EF,AB‖CD,AB=CD.求证： BE‖DF. 【答案】 证明：：AC=EF, ..AC+CE=EF+CE,AE=CF, :AB‖CD ∴.∠A=∠FCD, AB=CD ,△ABE≌△CDF SAS, .∠AEB=∠CFD, ∴.BE‖DF 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及全等三角形的判定和性质. 根据AB‖CD得到∠A=∠FCD,利用三角形全等的条件得出△ABE≌△CDF, 求得∠AEB=∠CFD,进而证明BF‖CE即可. 【详解】略 2.如图，AE=DB,BC=EF,BC EF,求证：AC‖FD 9 【答案】 证明：，AE=DB, ∴.AE+BE=BD+BE, ∴.AB=DE, BC‖EF, ∴.∠CBA=∠gi, 又.BC=EF, △ABC≌△SAS, .AC=DF. 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的性 质是解答的关键。 先证明AB=DE,再利用平行线的性质得到∠CBA=∠兽乙，再证明 △ABC2△SAS,利用全等三角形的对应边相等可证得结论. 【详解】略 3.如图，AD=BE,AC‖DF,BC‖EF.求证：BC=EF B 【答案】 证明：AC‖DF, ∴.∠A=∠EDPF, .BC EF, .∠ABC=∠E, .AD=BE, ∴.AD+BD=BE+BD,即AB=DE, 在△ABC和△竺乙中， ∠A=∠EDF AB=DE ∠ABC=∠E .△ABC≌△ASA, ∴.BC=EF」 【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，证明 △ABC≌△|ASA,即可得出结论 【详解】略 4.如图，在△ABC和△就中，点A,C,D,F在同一条直线上，AD=CF,AB‖DE, ∠B=∠E,求证：△ABC≌△就 D 【答案】 证明：，AD=CF, ∴.AD-CD=CF-CD,即AC=DF, 3 AB‖DE, .∠A=∠EDF, 又∠B=∠E, .△ABC≌△AAS 【分析】本题考查全等三角形的判定，平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理是解 题关键 根据线段和差得出AC=DF,再利用平行线的性质，得到∠A=∠EDF,进而利用 AAS证明即可. 【详解】略 【题型02：翻折型】 5.如图，AE=AC,∠C=∠E,∠BAE=∠DAC.求证：AB=AD D 【答案】 证明：：∠BAE=∠DAC, ∴.∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC, ∴.∠BAC=∠DAE, 在△BAC和△DAE中， ∠BAC=∠DAE AE=AC ∠C=∠E .△BAC≌△DAE ASA, ..AB=AD 【分析】根据∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC推出∠BAC=∠DAE,利用 ASA证出△BAC≌△DAE即可得到AB=AD, 【详解】略 6.如图，AD平分∠BAC,∠B=∠C,求证BD=CD 【答案】证明：，AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠CAD, ,∠B=∠C,AD=AD .△BAD≌△CAD AAS, ∴，BD=CD 【分析】根据AD平分∠BAC得到∠BAD=∠CAD,证明△BAD≌△CAD|AAS, 即可证明BD=CD, 【详解】略 7.如图，已知Rt△ABC和Rt△就中，∠A=∠D=90°，点B、F、C、E在同一条直 线上，且∠B=∠E,BF=CE,证明：AB=DE. 【答案】证明见解析 【分析】由BF=CE可知BC=EF,结合∠B=∠E,∠A=∠D=90°，进一步证明 Rt△ABC≌Rt△AAS即可. 【详解】证明：：BF=CE,BF+FC=BC,CE+CF=EF, ..BC=EF, 在Rt△ABC和Rt△乙中， ∠B=∠E ∠A=∠D BC=EF ,Rt△ABC≌Rt△AAS, ∴.AB=DE 8.“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”.风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等， 起源于春秋战国时期，距今已2000多年，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产 5 名录.为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动.如图1，小华制作了一个风筝，风筝 的骨架示意图如图2，其中AB=AC,∠BAD=∠CAD,求证：BD=CD D 图1 图2 【答案】 证明：在△ABD和△ACD中， AB=AC ,∠BAD=∠CAD AD=AD ∴.△ABD≌△ACD|SAS, ∴，BD=CD 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是熟练应用知识点论证：根据题目 所给条件论证三角形全等即可得出结论. 【详解】略 【题型03：旋转型】 9.如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE.求证： BC=DE. 【答案】见解析 【分析】根据两边及其夹角相等证明△ABC≌△ADE即可. 【详解】证明：，∠BAD=∠CAE, ∴.∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC, ∴.∠BAC=∠DAE, 6 在△ABC和△ADE中， AB=AD ∠BAC=∠DAE AC=AE ,△ABC≌△ADE SAS, ..BC=DE 10.如图，点C在线段AE上，BC‖DE,AC=DE,BC=EC.延长AB分别交CD、 ED于G、F. (1)求证：AB=CD: (2)若∠ACB=70°，∠DCE=85°，求∠FGC的度数. 【答案】(1)见解析 (2)120° 【分析】(1)由BC‖DE得内错角∠ACB=∠CED,结合已知AC=DE、 BC=EC,用SAS证明△ABC≌△DCE,从而得AB=CD: (2)由全等得∠A=∠D,∠ABC=∠DCE=85°，在△ABC中求出∠A=25 利用三角形外角定理依次求∠FBC=95°，再由BCDE得∠DFB=95°，最后求 ∠FGC=120° 【详解】(1)证明：BC‖DE, .∠ACB=∠CED, 在△ABC和△DCE中： AC=DE ∠ACB=∠CED BC=EC .∴.△ABC≌△DCE(SAS), .∴.AB=CD (2)解：.'△ABC≌△DCE .∠A=∠D,∠ABC=∠DCE=85°， .∠ACB=70°， ∴.∠A=∠D=180°-85°-70°=25°， ,·∠FBC是△ABC的外角， .∴.∠FBC=∠A+∠ACB=25°+70°=95°， BC‖DE, .∴.∠DFB=∠FBC=95°， .:∠FGC是△DFG的外角， .∴.∠FGC=∠D+∠DFB=25°+95°=120°. 11.如图，在△ABC中，D为BC边上一点，以AD为边作△ADE,使∠1=∠2=∠3， AC=AE.若DE=7,BD=3,求CD的长度， E B D 【答案】4 【分析】利用“AAS”证明△ABC≌△ADE,再根据全等三角形的性质即可解答. 【详解】解：，∠1=∠2=∠3， .∴.∠1+∠DAC=∠DAC+∠2，即∠BAC=∠DAE. :∠ADC=∠1+∠B=∠ADE+∠3， .∠B=∠ADE. 又.：AC=AE, .∴△ABC≌△ADEAAS, ∴.BC=DE=7, ∴.CD=BC-BD=7-3=4 12.如图，CE平分∠BCD,∠B=∠E,点A在CE上，且CA=CD.求证： BC=EA+CD A 【答案】 证明：，CE平分∠BCD, .∠BCA=∠ECD :∠B=∠E,CA=CD, ∴.△ABC≌△DEC, .BC=CE=AE+AC=EA+CD 【分析】先根据角平分线的定义得∠BCA=∠ECD,再根据“角角边”证明 △ABC≌△DEC,可得BC=CE,则此题可证. 【详解】证明：略 13.如图，在四边形ABCD中，AB=AC,BE平分∠CBA,连接AE,若AD=AE, ∠DAE=∠CAB D (1)求证：△ADC≌△AEB: (2)若∠CAB=36°，求证：CDAB. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)通过角的和差得等角，然后用SAS证明△ADC≌△AEB: (2)利用AB=AC、角平分线和三角形全等得到内错角相等，从而证明CD‖AB, 【详解】(1)证明：.'∠DAE=∠CAB ∴.∠DAE-∠CAE=∠CAB-∠CAE, .∴.∠DAC=∠EAB, 9 .在△DAC和△EAB中， AD=AE DAC=∠EAB, AC=AB .∴△ADC≌△AEB SAS. (2)解：.AB=AC,∠CAB=36, .∠ABC=∠ACB=号180°-36=72， .BE平分∠CBA, ∠ABE=人ABC=36, .∴.∠ABE=∠BAC=36°， .·△DAC≌△EAB, .∴.∠DCA=∠EBA=36°， ∴.∠DCA=∠BAC=36, ∴.CD‖AB 【题型04：一线三等角型】 14.如图，AB=8cm,AC=BD=6Cm,∠CAB=∠DBA=a,点P在线段AB上 以1c/s的速度由点A向点B运动，与此同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动， 当P,Q中的一点到达终点时，两点都停止运动，它们的运动时间为s连接CP,PQ, 图1 图2 (1)如图1，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当@=90°，t=2时，写出PC与 PQ的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)如图2，当a=60°时，设点Q的运动速度为xCm/s,是否存在实数x,使以A,C, P为顶点的三角形与以B,P,Q为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的x,t的值： 10 若不存在，请说明理由. 【答案】(1) PC=PQ,PC⊥PQ 理由如下；，点Q和P的运动速度是1Cm/s,运动的时间是2s, ∴.AP=BQ=2×1=2cm .'PB=AB -AP=8 -2=6cm, ∴.CA=PB :∠A=∠B=90°，AP=BQ, ∴.△CAP≌△PBQ SAS),, .PC=PQ,∠C=∠BPQ, :∠C+∠APC=90°， ∴∠BPQ+∠APC=90, ∴.∠CPQ=180°-90°=90°. .PC⊥PQ: (2)存在，t=2,x=1或t=4,x=1.5 【分析】(1)判定△CAP≌△PBQ SAS,推出PC=PQ,∠C=∠BPQ,由直 角三角形的性质得到∠C+∠APC=90°，因此∠BPQ+∠APC=90°，求出 ∠CPQ=180°-90°=90°，即可证明P℃⊥PQ: (2)当AC=BP,AP=BQ时，△CAP≌△PBQ SAS,求出t=2,X=1:当 AC=BQ,AP=BP时，△CAP≌△QBP,求出t=4,X=1.5,即可得到答案. 【详解】(1)略 (2)解：存在实数x,使以A,C,P为顶点的三角形与以B,P,Q为顶点的三角形 全等， ∠A=∠B, 当AC=BP,AP=BQ时，△CAP≌△PBQ SAS, ∴.8-t=6,t=xt, ∴.t=2,x=1; 当AC=BQ,AP=BP时，△CAP≌△QBP, ∴.xt=6,t=8-t, ∴.t=4,x=1.5 11 综上t=2,x=1或t=4,x=1.5 15.【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式 摆放一副三角板（在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC:在△就中，∠=90°， ∠EDF=30),并提出了相应的问题 【发现】(1)如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段 DF上时，过点A作AM⊥DF,垂足为点M,过点C作CN⊥DF,垂足为点V,易 证△ABM≌△BCN,若AM=2,CN=7,则MN=: 【类比】(2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段DE上，且顶点A 在线段EF上时，过点C作CP⊥DE,垂足为点P,猜想线段AE,PE,CP之间的数 量关系，并说明理由； 【拓展】(3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段DE上且顶点B在 线段EF上时，若BE=1,连接CE,求△BCE的面积. M B B E 图1 图2 图3 【答案】 (1)9: (2)PE=CP-AE,理由如下： :∠ABC=90°， ∴.∠ABE+∠CBE=90°， ,CP⊥BE, .∠CPB=90, ∠BCP+∠CBP=90°， ·.∠ABE=∠BCP, 12 ,∠AEB=90°， ∠AEB=∠CPB=90°， .AB=BC. :△ABE≌△BCPAAS, ∴，AE=BP,BE=CP .BE=BP+PE. .PE=BE-BP=CP-AE: ∴.PE=CP-AE 号 【分析】(1)由△ABM≌△BCN得到AM=BN=2,BM=CN=7,进而得出结论； (2)先证明△ABE≌△BCP,从而得到AE=BP,BE=CP,进一步得出结论： (3)延长FE,过点C作CP⊥FE于P,先证明△ABE≌△BCP,得到 PC=BE=1,最后通过BE·CP求得面积. 【详解】解：(1).'△ABM≌△BCN,AM=2,CN=7, .AM=BN=2,BM=CN=7, ..MIN =BM+BN=9. (2)略 (3)延长FE,过点C作CP⊥FE于P,则∠BPC=90°， D B :∠ABE+∠EBC=∠ABC=90°，∠ABE+∠BAE=180°-∠AEB=90, .∠EBC=∠BAE, ,∠AEB=∠CPB=90°，AB=BC, 13 ∴.△ABE≌△BCP AAS, ..CP=BE=1, Se=号BECp×1×1= 16.如图，在平面直角坐标系中，点A,B分别是y轴、X轴上的两个动点，以AB为直角 边作等腰直角三角形ABC,AC交X轴于点D,斜边BC交y轴于点E. 图1 图2 图3 (1)如图1，证明：∠CAE=∠AB0 (2)如图2，若将△CDE沿着CB折叠，点D恰好落在y轴的点G处，求证：点D是AC 的中点 (3)如图3，点B在x轴负半轴上且B-6,0,分别以AB,OA为直角边在第二、一象 限作等腰直角三角形ABC和ADO,且∠BAC=∠OAD=90°，连接CD交y轴于点P, 当点A在y轴的正半轴上运动时，AP的长度是否变化？若变化，请说明理由.若不变 化，请求出AP的长度， 【答案】(1) 证明：如图1 .·∠CAB=90 图1 ∴.∠CAE+∠BAO=90°， .∠AOB=90 .∴.∠BAO+∠ABO=90 .∴.∠CAE=∠ABO, (2) 14 证明：，'△ABC是等腰直角三角形， .∴.∠ACB=∠ABC=45°， .∵将△CDE沿着CB折叠， ∴.CD=CG,∠ACB=∠BCG=45, .∴.∠ACG=90°， ∴.∠CAG+∠AGC=90°=∠CAG+∠ADO, .∴.∠AGC=∠ADO, 又.'AB=AC,∠BAC=∠ACG=90°， .∴△ADB≌△CGA AAS, ∴.AD=CG=CD 点D是AC的中点： 3)不变，AP=3 【分析】本题主要考查同角的余角相等，全等三角形的性质和判定，熟练掌握相关定 理和一线三等角模型是解决本题的关键. (1)通过∠CAE+∠BAO=90°和∠BAO+∠ABO=90°即可证明： (2)由折叠得CD=CG,再用AAS证出△ADB≌△CGA,得AD=CG=CD,即 可得证： (3)过点C作CE⊥y轴于点E,用AAS证出△CAE≌△ABO,得AE=6,再用 AAS证出△CPE≌△DPA,得AP=EP,即可求解. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：AP的长度不会改变，理由如下： 过点C作CE⊥y轴于点E. ∠BAC=90° 图3 .∴.∠CAE+∠BAO=90°. 15 .∠BAO+∠ABO=90°， ∴.∠CAE=∠ABO .∵∠CEA=∠AOB=90°，AB=AC, .∴.△CAE≌△ABO AAS, ∴.CE=AO,AE=BO=6. AD=AO. .∴.CE=AD .∠CEP=∠DAP=90°，∠CPE=∠DPA, .∴.△CPE≌△DPA AAS, .∴.AP=EP=3 17.(1)【探究发现】如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线 DE,AD⊥DE于点D,BE⊥DE于点E,则AD,BE与DE之间满足的数量关系是 B E B 图1 图2 图3 (2)【反思感悟】问题：如图2，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，P是BC上 一点，PA=PD,AB+BP=BC.请探究AP与PD的位置关系，并说明理由： (3)【生活应用】校园广场的景观规划： 如图3，校园广场有一块空地为四边形ACBD,为了优化广场景观，学校计划筑造成 两个直角三角形花坛△ABC和△ABD,以便种植不同的花卉.数学兴趣小组通过测 量得知∠ACB=90°，且AC=BC,他们在BC上取一点E,当测量到AE=DE时， 恰好∠AED=90°.请结合(1)和(2)小问的结论，试判断△ABD是否符合要求 为直角三角形，并说明你的理由、 【答案】(1)AD+BE=DE (2)AP⊥PD,理由如下， .BP+PC=BC.AB+BP=BC. ∴，AB=PC, ,∠B=∠C=90° 16 在Rt△ABP和Rt△PCD中， AB=PC PA=PD :.Rt△ABP≌Rt△PCD|HL, ∴∠BAP=∠CPD, ,∠B=90°， .∠BAP+∠APB=90°， .∠CPD+∠APB=90°， ,AP⊥PD (3)△ABD为直角三角形，理由如下： 过点D作DF⊥CB,交CB的延长线于点F, ∠ACE=∠DFE=90°， E B 又，∠AED=90°，AE=DE 同(1)可得△ACE≌△EFD AAS, .AC=FE,CE=DF, ..AC+DF=CF. 又BC+BF=CF, .AC+DF=BC+BF. .AC=BC, ..DF=BF, .∠DBF=45° .∠ACB=90°，AC=BC, .∠ABC=45°， :.∠ABD=180°-∠ABC-∠DBF=90°， “,△ABD符合要求，是直角三角形 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练 掌握以上知识是解题的关键， 17 (1)根据AAS证明△DAC≌△ECB,则可得AD=CE,CD=BE,进而可得 AD+BE=DE (2)由BP+PC=BC,AB+BP=BC可得AB=PC.根据HL可得 Rt△ABP≌Rt△PCD,则可得∠BAP=∠CPD,由∠BAP+∠APB=90°，可 得∠CPD+∠APB=90°，进而可得AP⊥PD: (3)过点D作DF⊥CB,交CB的延长线于点F,由(I)结论可得AC+DF=CF, BC+BF=CF,进而可得DF=BF,∠DBF=45°，又由∠ACB=90°，AC=BC, 可得∠ABC=45°，进而可得∠ABD=90°，△ABD符合要求. 【详解】解：(1)AD⊥DE于点D,BE⊥DE于点E, ∴∠D=∠E=90°， ∴，∠DCA+∠DAC=90, 又，∠ACB=90°， .∠DCA+∠ECB=90°， .∠DAC=∠ECB, 在△DAC和△ECB中， ∠D=∠E ∠DAC=∠ECB, AC=BC ∴△DAC≌△ECB AAS, ..AD=CE,CD=BE ∴.AD+BE=CE+CD=DE, 故答案为：AD+BE=DE. (2)略 (3)略 18.如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=BC,直角顶点B在X轴上，一锐角顶点C在y 轴上. 图1 图2 图3 (1)如图1，若点B的坐标是-2,0，点A的坐标是3,2，则点C的坐标为 (2)如图2，若y轴恰好平分∠ACB,AB与y轴交于点D,过点A作AE⊥y轴于点E, 问CD与AE有怎样的数量关系？并说明理由， (3)如图3，直角边BC的两个端点在两坐标轴上滑动，使点A在第三象限内，过点A作 AF⊥y轴于点F,在滑动的过程中， OB-AF 为定值，求出这个定值. OC 【答案】(1)0，-5 (2) CD与AE的数量关系为：CD=2AE,理由如下： 如图2，延长AE交CB的延长线于点G, VA G D ∠ACB AE⊥y 图2 轴平分 ∴.∠ECG=∠ACE,∠AEC=∠GEC=90°， EC=EC, .∴△AEC≌△GECASA, ∴.AC=CG, ∴.△ACG是等腰三角形，∠AED=90°， AE=≥=AG,∠GAB+∠ADE=90, .'△ABC是等腰直角三角形，AB=BC, 19 ∴.∠CBD=∠ABG=90°， .∴.∠DCB+∠CDB=90°， ·∠ADE=∠CDB, .∴.∠GAB=∠DCB, 在△GAB和△DCB中， ∠ABG=∠CBD AB=BC ∠GAB=∠DCB ∴.△GAB≌△DCB ASA, .∴.AG=CD, AE-CD. .∴.CD=2AE: (3)1 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点 是解题的关键。 (1)过点A作AN⊥x轴于点N,利用等腰三角形的性质等知识得出 ∠BAN=∠CBO,证明△BAN≌△CBO|AAS,进而求解即可： (2)延长AE交CB的延长线于点G,由等腰三角形三线合一得出AE=之=号AG,通 过证明△GAB≌△DCB ASA可得AG=CD,即可证明： (3)过点A作AH⊥OB于点H,证明四边形AHOF是长方形，可得OH=AF,通 过证明△ABH≌△BCOAAS,可得HB=OC,进而求解即可. 【详解】(1)解：如图1，过点A作AN⊥x轴于点N, B 图1 则∠ANB=∠BOC=90°， .∠ABN+∠BAN=90°， 20 .△ABC是等腰直角三角形，AB=BC, ∴.∠ABN+∠CBO=∠ABC=90°， ∴.∠BAN=∠CBO, 在△BAN和△CBO中， ∠ANB=∠BOC ∠BAN=∠CBO AB=BC .∴.△BAN≌△CBO AAS, .∴.BN=CO .点B的坐标是-2,0，点A的坐标是3,2， .∴.BN=2+3=5, .∴.C0=5, ∴.点C的坐标为0，-5， 故答案为：0，-5： （2)略 (3)解：如图3，过点A作AH⊥OB于点H, 图3 则∠AHB=∠AHO=90°， AF⊥y轴， ∴.四边形AHOF是长方形， ∴.OH=AF .'∠ABH+∠CBO=90°，∠CBO+∠BCO=90°， .∴.∠ABH=∠BCO 在△ABH和△BCO中 21 ∠AHB=∠BOC=90° ∠ABH=∠BCO AB=BC .∴.△ABH≌△BCO AAS, ∴.HB=OC, .·HB=OB-OH=OB-AF, ∴.OC=OB-AF, OB-AF=1. OC 【题型05：手拉手模型】 19.如图，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B,C,E在同一条直线上， AE与BD相交于点O,AE与CD交于点G,AC与BD相交于点F,连接OC,FG. 求证： (1)AE=BDi (2)AG=BF' 【答案】(1) 证明：：△ABC和△DCE均是等边三角形， ∴AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60, ,点B,C,E在同一条直线上， ∴.∠ACD=180°-∠ACB-∠DCE=180°-60°-60°=60° ,∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD, .∠BCD=∠ACE, 在△BCD和△ACE中， 22 AC=BC BCD=∠ACE, DC=EC .△BCD≌△ACESAS, ..BD=AE (2) 证明：，△BCD≌△ACE SAS, ∴.BD=AE,∠DBC=∠EAC: 在△BFC和△AGC中， ∠FBC=∠GAC BC=AC ∠FCB=∠GCA .△BFC≌△AGC ASA, ..AG=BF 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，熟练掌握以上知 识点并灵活运用是解此题的关键。 (1)由等边三角形的性质可得AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°，再 证明∠BCD=∠ACE,从而得出△BCD≌△ACE(SAS,即可得证； (2)由全等三角形的性质可得BD=AE,∠DBC=∠EAC,再证明 △BFC≌△AGCASA,即可得证. 【详解】(1)略 （2)略 20.如图，A,B,C三点在同一直线上，等边三角形ABE和等边三角形BCD在线段AC同 侧，连接AD,交BE于点M,连接CE,交BD于点N. M M B 图1 图2 (1)如图1，当B是AC的中点，AC=8时，AE的长为_，∠ABD的度数为_； (2)如图2，当B不是AC的中点时，求证：△BCE≌△BDA; 23 (3)在(2)的条件下，连接MN,试探究MN与AC之间的位置关系，并说明理由. 【答案】(1)4：120° (2) 证明：，△ABE、△BCD都是等边三角形， .AB=EB,BD=BC,∠ABE=∠CBD=60°， ∴.∠ABE+∠DBE=∠CBD+∠DBE, 即∠ABD=∠EBC, AB=EB 在△BDA和△BCE中， ∠ABD=∠EBC BD=BC .△BDA≌△BCE|SAS,即△BCE≌△BDA: B)MN‖AC 理由：连接MN,如下图， 由(2)知△BDA≌△BCE, .∠BAD=∠BEC,即∠BAM=∠BEN, :A、B、C三点在同一直线上，且∠ABE=∠CBD=60°， ∴.∠EBN=180°-∠ABE-∠CBD=60°， .∴.∠ABM=∠EBN=60°， ∠BAM=∠BEN 在△BAM和△BEN中， AB=EB ∠ABM=∠EBN ∴.△BAM≌△BEN(ASA), ∴.BM=BN, 又.：∠EBN=60°， .∴.△BMN是等边三角形， .∴.∠BMN=∠BNM=60°， 24 .∠BMN=∠ABE, .MN‖AC(内错角，两直线平行). 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等边三角形的判定与性质等知识 点，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键， (1)根据中点及等边三角形的性质即可求解： (2)根据“SAS"证明△BCE≌△BDA即可： (3)先证△BAM=△BDN(ASA),得到BM=BN,进而可得△BMN是等边三角 形，则∠BMN=∠ABE,再由直线平行的判定即可求解. 【详解】(1)·B是AC的中点，AC=8, ∴.AB=BC=4, ,△ABE、△BCD都是等边三角形， ∴.AE=AB=4,∠CBD=60°， .∴.∠ABD=180°-60°=120°， 故答案为：4：120°： (2)略 (3)略 21.如图1，△ABD,△BCE都是等边三角形，点A、B、C在同一直线上，AE和CD交 于点P. 图 图2 (1)求证：AE=CD: (2)求∠APD的度数； (3)如图2，M,N分别是AE,CD的中点，试判断△BMN的形状，并证明你的结论. 【答案】(1) 证明：，△ABD、△BCE都是等边三角形， .∴.AB=BD,BC=BE,∠ABD=∠CBE=6O°， .∴.∠ABD+∠DBE=∠DBE+∠CBE,即∠ABE=∠DBC, 25 在△ABE和△DBC中 AB=BD ∠ABE=∠DBC BE=BC .∴.△ABE≌△DBC|SAS, ∴AE=CD: (2)60° 3)等边三角形，理由为： .'△ABE≌△DBC, ∴.∠BAE=∠BDC. AE=CD,M、N分别是AE、CD的中点， .∴.AM=DN, 在△ABM和△DBN中 AM-DN ∠BAE=∠BDC AB=DB .∴.△ABM≌△DBN SAS, ∴.BM=BN,∠ABM=∠DBN, .∴.∠DBM+∠DBN=∠DBM+∠ABM=∠ABD=60°. .△MBN是等边三角形. 【分析】本题考查了等边三角形的性质与全等三角形的判定及性质，解题的关键是通 过角的等量代换证明三角形全等，进而推导边或角的关系， (1)利用等边三角形性质得边和角相等，通过角的和差推得∠ABE=∠DBC,再 用SAS证△ABE≌△DBC,得结论： (2)由全等得∠BAE=∠BDC,结合△DBC内角和求∠BDC+∠BCD=60°， 再利用外角性质得∠APD=60°： (3)由全等及中点得AM=DN,用SAS证△ABM≌△DBN,得BM=BN且 ∠MBN=60°，判定△MBN为等边三角形. 【详解】(1)略 (2)解：.△ABE≌△DBC, ∴.∠BAE=∠BDC, 26 ∠ABD=60°， ∴.∠DBC=120°， ∴.∠BDC+∠BCD=180°-∠DBC=180°-120°=60°， .∠APD=∠PAC+∠PCA, ∴.∠APD=∠BDC+∠PCA=60°. (3)略 22.如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BD、AE交于点O,BC与AE交于于点P. B (1)求证：△ACE≌△BCD. (2)求∠AOB的度数. (3)连接OC,求证：OC平分∠AOD 【答案】 (1)证明：：△ABC与ADCE都是等边三角形， ∴.AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°， ∴.∠BCE+∠DCE=∠ACB+∠BCE, 即∠BCD=∠ACE. 在△BCD和△ACE中， BC=AC ∠BCD=∠ACE,·∴.△BCD≈△ACE(SAS). CD=CE (2)∠AOB=60°： (3)证明：如图，过C点作CG⊥AE,CH⊥BD, 27 B .'△BCD=△ACE, 六SAxn-SACE ；AE=BD, AE-CG=BD-CH, ∴.CG=CH, 又，CG⊥AE,CH⊥BD ∴.OC是∠AOD的角平分线，即OC平分∠AOD. 【分析】(1)利用等边三角形的性质证明△BCD=△ACE: (2)由△BCD≈△ACE得到∠CBD=∠CAE.再利用三角形内角和等于180°，由 △APC和△BPO中有内角互为对顶角进而得出∠BOA=∠ACP=60°， (3)过C点作CGLAE,CHLBD,由三角形全等可得其对应高相等.再根据到角两 边距离相等的点在角平分线即可得出结论 【详解】 (1)略 (2).'△BCD≈△ACE, ∴.∠CBD=LCAE, :∠BPO=∠APC, 又，∠CBD+∠BPO+∠BOP=∠CAE+∠APC+LACP=180° ∴.∠BOP=LACP=60°，即∠AOB=60°. (3)略 【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用及全等三角形的判定和性质的运用.解 决本题的关键是证明三角形全等. 【题型06：半角模型】 28 23.(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，E,F分别是边 BC、CD上的点，且∠EAF=)∠BAD,BE=3,EF=7,则DF的长为一 (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是边 BC、CD上的点，且∠EAF之∠BAD,请判断EF,BE,DF之间的数量关系， 并说明理由， (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E,F分别是边 BC、CD延长线上的点，且∠EAF=号∠BAD,(2)中的结论是否仍然成立？若 成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明。 D B E B E 图1 图2 图3 【答案】(1)4： (2)结论EF=BE+FD,理由如下： 延长EB到M,使BM=DF,连接AM, .'∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180° B E .∠1=∠D 在△ABM与△ADF中， 29 AB=AD ∠1=∠D BM=DF ∴.△ABM≌△ADF(SAS), ∴.AF=AM,∠2=∠3， :∠EAF=3∠BAD=∠2+∠4， .∴.∠3+∠4=∠EAF, 即∠MAE=∠EAF, 在△AME与△AFE中， AM=AF ∠MAE=∠EAF, AE=AE ∴.△AME≌△AFE(SAS), .∴.EF=ME 即EF=BE+BM. ∴.EF=BE+DF； (3)结论EF=BE+FD不成立，应是EF=BE-FD 证明：在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG G ∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180 E .∠B=∠ADF, .AB=AD, △ABG≌△ADF, ∴.∠BAG=∠DAF,AG=AF, .∠BAD=∠BAG+∠GAD=∠DAF+∠GAD=∠GAF, 30 ∠EAF=3∠BAD-i∠GAP, .∠GAE=∠EAF, .AE=AE, ∴.△AEG≌△AEF SAS, .EG=EF ·EG=BE-BG, “EF=BE-FD 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键 是添加辅助线，构造全等三角形解决问题， (1)延长EB到G,使BG=DF,连接AG.利用全等三角形的性质解决问题即可； (2)先证明△ABM≌△ADF(SAS),由全等三角形的性质得出AF=AM, ∠2=∠3.△AME≌△AFE SAS,由全等三角形的性质得出EF=ME,即 EF=BE+BM,则可得出结论： (3)在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG.证明△ABG≌△ADF.由全等三 角形的性质得出∠BAG=∠DAF,AG=AF.证明△AEG≌△AEF,由全等三 角形的性质得出结论 【详解】解：延长EB到G,使BG=DF,连接AG G B E ,∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD, .△ABG≌△ADF SAS, .AG=AF,∠1=∠2， :∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD, ∴.∠GAE=∠EAF. 又，AE=AE, .△AEG≌△AEF|SAS, 31 .EG=EF」 .EG=BE+BG, .'EF=BE+FD, ,BE=3,EF=7, ∴，FD=EF-BE=7-3=4: 故答案为：4； (2)略 (3)略 24.问题背景： (1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°， E、F分别是BC、CD上的点.且∠EAF=60°.探究图中线段BE,EF,FD之 间的数量关系小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, 先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论：EF=BE+DF, 请你写出证明过程. 探索延伸： (2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°.E、F分别是 BC、CD上的点，且∠EAF= 2 ∠BAD,上述结论是否仍然成立，并说明理由， G D A B E E 图1 图2 【答案】(1) 解：证明如下：在△ABE和△ADG中， DG=BE ∠B=∠ADG AB=AD ∴.△ABE≌△ADG(SAS), 32 .∴.AE=AG,∠BAE=∠DAG .∠EAF=60°，∠BAD=120°， ∴.∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=60°， .∴.∠EAF=∠GAF, 在△AEF和△AGF中， AE=AG ∠EAF=∠GAF AF=AF .∴.△AEF≌△AGF(SAS), .∴.EF=FG」 FG=DG+DF=BE+DF, ∴.EF=BE+DF. (2) 解：结论EF=BE+DF仍然成立. 理由如下：延长FD到点G使DG=BE,连接AG,如图， .∠B+∠ADF=180°，∠ADF+∠ADG=180 E .∴.∠B=∠ADG 在△ABE和△ADG中， DG=BE ∠B=∠ADG AB=AD ∴.△ABE≌△ADG(SAS), .∴.AE=AG,∠BAE=∠DAG. :∠EAF=∠BAD, ∴.∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD, 2 33 ∴.∠EAF=∠GAF, 在△AEF和△AGF中， AE=AG ∠EAF=∠GAF AF=AF ∴.△AEF≌△AGF(SAS), ∴.EF=FG .‘FG=DG+DF=BE+DF, ∴.EF=BE+DF 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题 的关键 (1)先证明△ABE≌△ADG(SAS)推出AE=AG,∠BAE=∠DAG,再依次 证明∠EAF=∠GAF,△AEF≌△AGF(SAS),推出EF=FG,可得 EF=FG=DG+DF=BE+DF: (2)延长FD到点G使DG=BE,连接AG,同(1)，先证明 △ABE≌△ADG(SAS)推出AE=AG,∠BAE=∠DAG,再依次证明 ∠EAF=∠GAF,△AEF≌△AGF(SAS),推出EF=FG,可得 EF=FG=DG+DF=BE+DF. 【详解】(1)略 (2)略 25.(1)如图1：在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°. E,F分别是BC,CD上的点.且∠EAF=60°.探究图中线段EF,BE,FD之间的 数量关系。 小明同学探究的方法是：延长FD到点G.使DG=BE.连接AG,先证明 △ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论，他的结论是_（直 接写结论，不需证明)； (2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分别是 BC,CD上的点，且∠A=号∠BAD,猜想上述结论是否的然成立，并证明： (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠ABC与∠ADC互补，点E、F分别 34 在射线CB、DC上，且∠EAF=号∠BAD.当BC=4,DC=7,CF=1时，求 △CEF的周长. G D E E 图1 图2 图3 【答案】(1)EF=BE+FD (2)解：(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立， 证明：如图2中，延长CB至M,使BM=DF,连接AM, 图2 :∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°， ∴.∠1=∠D, 在△ABM与△ADF中， AB=AD ∠1=∠D BM=DF ∴.△ABM≌△ADF SAS, ∴AF=AM,∠2=∠3， EAF-BAD. :∠2+44=2 ∠BAD=∠EAF, .∠3+∠4=∠EAF, 即∠MAE=∠EAF, 35 在△AME与△AFE中， AM=AF ∠MAE=∠EAF AE=AE ∴.△AME≌△AFE SAS, .EF=ME, .EF=BE+BM, “EF=BE+DF: (3)13 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，补角性质，解题的关键是学会利用旋 转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题. (1)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,证明△ABE≌△ADG和 △AEF≌△AGF,根据全等三角形的性质即可求解； (2)(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立.如图2中，延长CB至M,使BM=DF, 连接AM,证明△ABM≌△ADF SAS和△AME≌△AFE SAS即可求证： (3)结论EF=BE+FD不成立，结论：EF=BE-FD.在CD上截取DG,使 DG=BE,连接AG,证明△ABE≌△ADGSAS和△AEF≌△AGFSAS即可 求证： 【详解】(1)解：如图，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, 在△ABE和△ADG中， AB=AD ∠B=∠ADG BE=DG .△ABE≌△ADG SAS, ,AE=AG,∠BAE=∠DAG ∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF 36 即∠GAF=∠BAE+∠DAF, ∠BAD=120°，∠EAF=60° ∴.∠BAE+∠DAF=120°-60°=60°， .∠GAF=60°， ∴.∠GAF=∠EAF, 在△AGF和△AEF中， AF=AF ∠GAF=∠EAF, AG=AE ∴.△AGF≌△AEF SAS, “FG=EF, .FG=DF+DG. ∴.EF=BE+FD, 故答案为：EF=BE+FD: （2)略 (3)解：如图，在CD上截取DG,使DG=BE,连接AG D G .·∠ABC+∠D=180°∠ABE+∠ABC=180° ∴.∠ABE=∠D AB=AD 在△ABG与△ADG中， ∠ABE=∠D BE=DG ∴.△ABE≌△ADG SAS, ∴.∠BAE=∠DAG,AE=AG, ∠DAG+∠BAF=∠BAE+LBAF=∠EAF= ∠BAD, .∴.∠FAG=∠EAF AF=AF, 37 ∴.△AEF≌△AGF|SAS, ∴.EF=FG, .∴.△CEF的周长=BC+BE+EF+FC=BC+2CF+DC=4+2+7=13 26.解答下列问题： B 东 图1 图2 图3 (1)【观察猜想】如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°， ∠BAD=120°，∠EAF=60°，小王同学想探究线段BE,EF,FD之间的数量关 系 他的方法是：延长CD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG, 再证明△AEF≌△AGF,请你帮小王同学写出得到的结论： (2)【探索延伸】如图2，在四边形ABCD中，AB=AD=3,∠B+∠D=180°， BC+CD=9,四边形ABCD面积的最大值，并说明理由. 3)【实际应用】如图3，延安红色旅游景区的步道规划过程中，在游客中心点O处观 测到：红色文化广场A在O点的北偏西40°方向，革命旧址B在O点的南偏东80°方向， 且两处景点到游客中心的距离均为5.5k,红色旅游专线开通后，1号观光车从A点出 发向正东方向以250m/分的速度行驶，同时2号观光车从B点出发沿北偏东50°的方 向以400m/分的速度行驶，15分钟后分别到达E、F处（观光车停车点），按景区规 划要求∠EOF=70°，请你尝试求出观光车从游客中心出发，沿 O-A-E-F-B-O绕景区一圈的总路线长度. 【答案】(1) BE+DF=EF,理由如下： 延长CD到点G,使DG=BE,连接AG, ·.·∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°， .∴.∠B=∠ADG 在△ABE和△ADG中， 38 AB=AD ∠ B=∠ADG BE=DG .∴△ABE≌△ADG SAS, .AE=AG,∠BAE=∠DAG, ∠BAD=120°，∠EAF=60° ∴.∠BAF+∠DAF=120°-60°=60°， .:∠BAE=∠DAG, ∴.∠DAG+∠DAF=60°， .∴.∠EAF=∠GAF=60°， 在△EAF和△GAF中， EA=GA ∠EAF=∠GAF AF=AF .∴.△EAF≌△GAF SAS, ∴.EF=GF GF=GD+DF,GD=BE. ∴.EF=BE+DF: 22 ,理由如下： 4 延长CD,作AH⊥CD延长线于点H,AM⊥BC于点M,连接AC, H .:∠B+∠ADC=180°∠ADC+∠ADH=180° ∴.∠B=∠ADH, .'AM⊥BC,AH⊥CD ∴.∠BAM=∠ADH, 在△AMB和△AHD中， ∠B=∠ADH ∠AMB=∠AFD AB=AD 39 .△ABM≌△ADH AAS, ∴.AM=AH, 在Rt△AMC和Rt△AHC中， AM=AH AC=AC .∴.Rt△AMC≌Rt△AHC HL, .S四边形AMCH=2S△AMC, :SAABM=S△ADH, '.S四边形ABCD=Sg边形AMCH=2S△AMC, BM=DH,BC+CD=9,BC=BM+CM, .∴.BM+CM+CD=9, .DH+CM+CD=9, .∴.CM+CH=9, .∵CM=CH, Cu- 在Rt△ABM中，AM<AB .∴.当B与M重合时，AM最大为AB长为3， 1 ∴此时S△Acw=2CM~AM=2×2 3)30500m 【分析】(1)根据全等三角形的性质得到结论即可： (2)延长CD,作AH⊥CD延长线于点H,AM⊥BC于点M,连接AC,证明 △ABM≌△ADH AAS和Rt△AMC≌Rt△AHC|HL,得到 Sg边形ABcD=Sg边形AMCH=2S△AMc,得出当B与M重合时，AM最大为AB长为3，计 算即可： (3)延长FB到点G,使得BG=AE,连接OG,证明△OAE≌△OBG SAS和 △EOF≌△GOF AAS,得到EF=AE+BF,得出总路线长度计算即可： 【详解】(1)解：略： (2)解：略： 3)解：由题意得： 40 AE=250×15=3750m, BF=400×15=6000m, 0A=0B=5.5km=5500m, 延长FB到点G,使得BG=AE,连接OG, 北个 F 东 图3 由方位角可知：∠0AE=90°-40°=50°，∠OBF=80+50°=1300， ∴.∠0BG=180°-∠OBF=180°-130°=50°， .∴.∠OBG=∠A, 在△OAE和△OBG中， OA=OB ∠A=∠OBG AE=BG ∴.△OAE≌△OBG(SAS, ∴.OE=OG,∠AOE=∠BOG, .∠A0B=40°+90°+90°-80=140°，∠EOF=70°， ∴.∠AOE+∠BOF=∠AOB-∠EOF=140°-70°=70°， .∴.∠BOG+∠BOF=70°，即∠GOF=70°， .∴.∠EOF=∠GOF, 在△EOF和△GOF中， OE=OG ∠EOF=∠GOF OF=OF .∴.△EOF≌△GOF AAS, ∴.EF=GF, GF=GB+BF,GB=AE, ∴.GF=AE+BF, .∴.EF=AE+BF, 41 :总路线长为OA+AE+EF+BF+OB, ∴.长度为OA+AE+AE+BF+BF+OB =20A+2AE+2BF =2×5500+2×3750+2×6000 =30500m, .∴.总长度为30500m 【题型07：对角互补模型】 27.为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的 情形入手，从中找到解决问题的方法。 己知：在四边形ABCD中，AC平分∠BAD,∠B+∠D=180°. D 图① 图② (1)如图①，当∠B=90时，试说明：CD=CB. (2)如图②，当∠B<90°时，试说明：CD=CB. 【答案】(1) 解：.'∠B+∠D=180°，∠B=90°， .∠D=90, ∴.∠B=∠D .'AC平分∠BAD, .∴.∠DAC=∠BAC 在△ADC和△ABC中， ∠D=∠B, ∠DAC=∠BAC, AC=AC, .∴.△ADC≌△ABCAAS, ∴CD=CB (2) 42 解：如图，过点C分别作CE⊥AB于点E,CF⊥AD的延长线于点F, .:∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠FDC=180°， ∴∠B=∠FDC 同(1)可知，CF=CE, 又.∠F=∠CEB=90°， 在△CDF和△CBE中， ∠FDC=∠B, ∠F=∠CEB, CF=CE, .∴.△CDF≌△CBE AAS, .∴.CD=CB B 【分析】(1)先证明∠B=∠D=90°，再通过AAS证明△ADC≌△ABC即可证 明结论： (2)过点C分别作CE⊥AB于点E,CF⊥AD的延长线于点F.由同角的补角可得 ∠B=∠FDC.同(1)可知，CF=CE,再通过AAS证明△CDF≌△CBE即可 证明结论， 【详解】(1)略 (2)略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握三角 形全等的判定及性质是解题的关键. 28.己知OC是∠AOB的角平分线，点P是OC上一点，D,E分别是OA,OB上的动点. D 一C D D D B B E E E F 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠PEB+∠PDO=180°，求证：PD=PE: 43 (2)如图2，若∠PEB+∠PDA=180°，求证：PD=PE; (3)如图3，D、P、E在同一直线上，QE平分∠PEB,交OC于点Q,作QF⊥OB于 点F.若EF=1,DP=2,PE=3,请直接写出OE-OD的值 【答案】(1) 证明：过点P作PG⊥OA于G,PH⊥OB于H,如图 G ·.·OC∠AOB PG⊥OA,PH⊥OB B E H 是 的角平分线， .PG=PH :∠PEB+∠PD0=180°，∠PDA+∠PD0=180°， ∴.∠PDA=∠PEB 在△PGD和△PHE中： ∠PGD=∠PHE=90° ∠PDA=∠PEB PG=PH △PGD≌△PHE(AAS), ∴.PD=PE (2) 证明：过点P作PG⊥OA于G,PH⊥OB于H,如图 A 、P .OC∠AOB PG⊥OA,PH⊥OB HE -B 是 的角平分线， ∴.PG=PH, .:∠PEB+∠PDA=180°，∠PDA+∠PDG=180°， ∴.∠PDG=∠PEB 在△PGD和△PHE中， ∠PGD=∠PHE=90° ∠PDG=∠PEB PG=PH 44 ∴.△PGD≌△PHE(AAS), ∴.PD=PE (3)3 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过 作辅助线构造全等三角形。 (1)过点P作PG⊥OA于G,PH⊥OB于H,利用角平分线性质得到相等线段，再 结合角的关系证明三角形全等，从而得出PD=PE: (2)过点P作PG⊥OA于G,PH⊥OB于H,利用角平分线性质和角的关系证明三 角形全等，进而得到PD=PE: (3)利用角平分线的性质，通过线段的转化求出OE-OD的值. 【详解】(1)略 (2)略 3)解：如图，过点Q作QG⊥OA于G,过点Q作QH⊥DE于H, G -B EF .:OC是∠AOB的角平分线，QF⊥OB,QG⊥OA, .QG=QF 又.QE平分∠PEB,QF⊥OB,QH⊥DE, .∴.QH=QF, .∴.QG=QH, .DQ平分∠ADE, 在△QHE和△QFE中， ∠QHE=∠QFE=90° ∠HEQ=∠FEQ QE=QE .△QHE≌△QFE(AAS), 同理可证△QGD≌△QHD(AAS),△QG0≌△QFO(AAS), .DG=DH,EH=EF=1,OG=OF 45 .·DP=2,PE=3, ∴.DE=DP+PE=5, .·DE=DH+EH=DG+1, ..DG=4, .OG=OF. .∴.OD+DG=OE+EF即OD+4=OE+1, ∴.OE-OD=3 29.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠ADC+∠ABC=180°，E是BC上的一点， 过点B作∠EAP,使得∠EAF=号∠BAD,延长CB至点G,使BG=DP, (1)求证：△ABG≌△ADF. (2)求证：EA平分∠GEF. 【答案】(1) 证明：，∠ADC+∠ABC=180°，∠ABG+∠ABC=180°， ∴.∠ABG=∠ADC, 在△ABG和△ADF中， BG=DF ∠ABG=∠ADF AB=AD ∴.△ABG≌△ADF SAS. (2) 证明：：△ABG≌△ADF, ∴AG=AF,∠GAB=∠FAD, 又：∠EAF=7∠BAD, ∴.∠EAF=∠DAF+∠BAE=∠GAB+∠BAE=∠GAE,即∠GAE=∠EAF, 46 在△GAE和△FAE中， AG=AF ∠GAE=∠EAF AE=AE ∴，△GAE≌△FAE|SAS, .∠GEA=∠FEA, 即EA平分∠GEF 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及角平分线的定义. (1)根据已知条件证明出∠ABG=∠ADC,再用“SAS”证明△ABG≌△ADF 即可； (2)由(1)得出AG=AF,∠GAB=∠FAD,通过∠EAF=∠BAD,得出 ∠GAE=∠EAF,再用“SAS”证明△GAE≌△FAE,得到∠GEA=∠FEA, 即EA平分∠GEF 【详解】(1)略 (2)略 30.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=a,∠BCD=180°-Q,BD平分∠ABC 图1 图2 图3 (1)如图1，若c(=90°，DA=2cm,则DC=_: (2)问题解决：如图2，求证：AD=CD: (3)问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC,求证： BD+AD=BC 【答案】(1)2cm (2) 证明：如图2，过点D分别作DE⊥BC于E,DF⊥BA的延长线于点F,则 ∠DEC=∠DFA=90°， 47 D BD ∠ABC C 图2 平分 ∴.DE=DF, .·∠BAD+∠DAF=180°， ∴.∠DAF=180°-a, .·∠BCD=180°-， ∴.∠DAF=∠DCE, .△DAF≌△DCE（A, ∴.AD=CD: 3) 证明：如图3，在BC上取BH=BD, D .△ABC ∠BAC=100° H 图3 是等腰三角形， .∠ABC=∠C=180°100°=40， 2 BD平分∠ABC, .∠DBH= :∠ABC=1×40=200, BH=BD 、∠BHD=∠BDH=18020°=80， 2 ∴.∠A+∠BHD=100°+80°=180°， 由(2)可得，AD=DH, .∠C+∠CDH=∠BHD .∴.∠CDH=∠BHD-∠C=80°-40°=40°， .∴.∠CDH=∠C, 48 ∴.DH=CH, ∴.AD=CH, .∴.BC=BH+CH=BD+AD, 即BD+AD=BC」 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定 和性质，三角形内角和定义及外角性质，正确作出辅助线是解题的关键 (1)若a=90°，可得DA⊥BA,DC⊥BC,再根据角平分线的性质即可求解； (2)如图2，过点D分别作DE⊥BC于E,DF⊥BA的延长线于点F,由角平分线 的性质可得DE=DF,再由∠DAF=180°-&，∠BCD=180°-a可得 ∠DAF=∠DCE,即可证明△DAF≌△DCE(A,得到AD=CD: (3)如图3，在BC上取BH=BD,由等腰三角形的性质可得 ∠ABC=∠C=180°10°-40，进得到∠DBI-方ABC-×40=20, 2 2 再得到∠BHD=∠BDH=180°，20°=80，即得 2 ∠A+∠BHD=100°+80°=180°，再由(2)可得AD=DH,然后根据三角形外 角性质可得∠CDH=∠BHD-∠C=80°-40°=40°，可得到∠CDH=∠C,进 而得到DH=CH,即得AD=CH,据此即可求证. 【详解】(1)解：若a=90°，则∠BAD=90°，∠BCD=180°-90°=90°， ∴.DA⊥BA,DC⊥BC, .BD平分∠ABC, .∴.DC=DA=2cm, 故答案为：2cm: (2)略 (3)略 31.【回顾】如图1，点P是∠AOB的平分线上一点，过点P作PC⊥OA于点C, PD⊥OB于点D,依据角平分线的性质可得PC=PD (1)【探究】如图2，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，点E在 AC边上，∠AED+∠B=180° ①证明：DB=DE: g ②请判断AB,AE,CE三条线段之间的数量关系，并说明理由 (2)【拓展】如图3，△ABC的外角，∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线 BP交于点P,若∠BAC=82°，请直接写出∠CAP的度数， D B 图1 图2 图3 【答案】(1)①证明：过D作DF⊥AB于F,如图： E D ,AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DF⊥AB, .CD=FD,∠DFB=∠C=90°， ,∠AED+∠B=180°，且∠AED+∠DEC=180°. .∠B=∠DEC, 在△DCE和△DFB中， ∠DEC=∠B ∠C=∠DFB 。 CD=FD ,△DCE≌△DFB, .DE=DB ②AB,AE,CE之间的数量关系为AB=AE+2CE, 理由如下： 50 由①知△DCE≌△DFB, ..CE=BF. ,∠C=90°，DF⊥AB, .∠ACD=∠AFD=90°， ,AD平分∠BAC, ∴.∠CAD=∠FAD, AD=AD. .△ACD≌△AFD, ..AF=AC, .AB=AF+BF, ..AB=AC+CE, .AC=AE+CE. ∴，AB=AE+CE+CE=AE+2CE: (2)∠CAP=49°. 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟记相关定 理内容是解题关键。 (1)①过D作DF⊥AB于F,则CD=FD:证△DCE≌△DFB即可； ②根据△DCE≌△DFB推出CE=BF,再证△ACD≌△AFD,得AF=AC,即 可： (2)过P作PH⊥BA交BA延长线于H,PG⊥AC于G,PK⊥CD于K,由题意 得PG=PK,PK=PH,推出PG=PH,得出AP平分∠HAC,即可求解： 【详解】(1)①略 ②略 (2)解：过P作PH⊥BA交BA延长线于H,PG⊥AC于G,PK⊥CD于K,如 图： 51 B D ,CP平分∠ACD,PG⊥AC,PK⊥CD, ..PG=PK ,BP平分∠ABC,PK⊥CD,PH⊥BA, ..PK=PH, :.PG=PH, AP平分∠HAC, CAP-Z HAC. ,∠BAC=82°， .∠HAC=180°-∠BAC=98°， ∴.∠CAP=49 【题型08：倍长中线法模型】 32.(1)如图①，在四边形ABCD中，AB‖CD,点E是BC的中点，若AE是∠BAD的 平分线，试判断AB,AD,DC之间的等量关系. 图① 图② 解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F,易证△AEB≌△FEC 得到AB=FC,从而把AB,AD,DC转化在一个三角形中即可判断. AB,AD,DC之间的等量关系 (2)问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB‖CD,AF与DC的延长线交于点 F,点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB,AF,CF之间的等量 52 关系，并证明你的结论， 【答案】(1)AD=AB+DC (2)AB=AF+CF 证明如下：如图②，延长AE交DF的延长线于点G. E 图② G :AB‖DC, .∠BAE=∠G, 又：BE=CE,∠AEB=∠GEC, .△AEB≌△GECAAS, ∴AB=GC,∠BAG=∠G, :AE是∠BAF的平分线， .∠BAG=∠FAG ,∠BAG=∠G, ∠AG=∠G, ..FA=FG. .CG=CF+FG, ..AB=AF+CF 【分析】(1)先根据角平分线的定义和平行线的性质证得AD=DF,再根据AAS证 得△CEF≌△BEA,于是AB=CF,进一步即得结论： (2)延长AE交DF的延长线于点G,如图②，先根据AAS证明△AEB≌△GEC, 可得AB=CG,再根据角平分线的定义和平行线的性质证得FA=FG,进而得出结论. 【详解】解：(1)AD=AB+DC, 理由如下： :AE是∠BAD的平分线， 53 .∠DAE=∠BAE, .AB DC. ,∠F=∠BAE .∠DAF=∠F, ..AD=DF ,点E是BC的中点， .CE=BE, 又，∠F=∠BAE,∠AEB=∠CEF, .△CEF≌△BEA AAS, ∴.AB=CF .AD=DF=CD+CF=CD+AB. 故答案为AD=AB+DC. (2)略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义和等 角对等边等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键， 33.【问题提出】如图①，在△ABC中，AB=6,AC=4,求BC边上的中线AD的取值 范围. 【问题解决】经过组内合作交流.小明得到了如下的解决方法：延长AD到点E,使得 DE=AD,连接BE,经过推理可知△ADC≌△EDB.… (1)由已知和作图得到△ADC≌△EDB的理由是() A.边边边 B.边角边 C.角边角D.斜边直角边 (2)AD的取值范围为 【方法总结】解题时若条件中出现“中点”或“中线”，则可以考虑将中线加倍来构 造全等三角形，从而将分散的已知条件转换到同一个三角形中，我们称这种添加辅助 线的方法为“倍长中线法”、 【应用】(3)如图②，在△ABC中，点D为BC边的中点，点E在AB边上，AD与 CE相交于点F,EA=EF.求证：AB=CF 【拓展】(4)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD平分∠BAC,点E为BC边 的中点，过点E作EF‖AD,交AC于点F,交BA的延长线于点G,若AF=1.5, CF=4.5,则△ABC的面积为 54 图① 图② 图③ 【答案】(1)B:(2)1<AD<5: (3)证明：如图所示，延长AD到点G使DG=AD,连接GC G :AD=DG,∠ADB=∠CDG,BD=CD .△ABD≌△GCD SAS .∠BAD=∠G,AB=CG .EA=EF ∴.∠BAD=∠AFE :∠CFG=∠AFE ∴.∠G=∠CFG .∴.CF=CG ∴.AB=CF: (4)9 【分析】(1)根据题意利用SAS证明出△ADC≌△EDB求解： (2)根据三角形三边关系得到2<AE<10,然后结合AE=2AD求出1<AD<5: (3)延长AD到点G使DG=AD,连接GC,首先证明出△ABD≌△GCD SAS, 然后得到∠BAD=∠G,AB=CG,然后结合EA=EF得到∠G=∠CFG, CF=CG,进而可证明出AB=CF: (4)延长GE到点H,使就=HE,连接CH,首先证明出△GEB≌△HEC SAS, 得到BG=CH,∠G=∠H,然后结合平行线的性质和角平分线的概念得到 55 AG=AF=1.5,GB=CF=4.5,进而求出AB和AC得长度，然后利用三角形面积公 式求解即可。 【详解】(1)在△ADC和△EDB中， AD-DE ∠ADC=∠EDB, CD=BD ∴.△ADC≌△EDB SAS, ∴.由已知和作图得到△ADC≌△EDB的理由是边角边， 故选：B (2),△ADC≌△EDB ∴.BE=AC=4 ∴.在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE .6-4<AE<6+4 ∴.2<AE<10 .AE=2AD ∴.1<AD<5 ∴.AD的取值范围为1<AD<5, 故答案为：1<AD<5: (3)略 (4)如图所示，延长GE到点H,使乙=HE,连接CH DE :U=EH,∠GEB=∠HEC,BE=CE ∴.△GEB≌△HEC SAS .BG=CH,∠G=∠H EF‖AD 56 .∠G=∠BAD,∠DAF=∠AFG ,AD平分∠BAC .∠BAD=∠DAF .∠G=∠AF ∴.AG=AF=1.5 又：∠AFG=∠CFH ∴.∠CFH=∠H ..CF=CH ∴.GB=CF=4.5 .AB=BG-AG=4.5-1.5=3 ∴.AC=AF+CF=1.5+4.5=6 :'∠BAC=90 △A5C的面积为号ABAC-×3×6=9, 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，倍长中线法的应用，解题的关键是熟 练掌握以上知识点 34.【发现问题】 (1)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在△ABC中，若AB=3,AC=2, 求BC边上的中线AD的取值范围.小亮在组内经过合作交流，得到了如下解决方法： 如图①，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,得到△ADC≌△EDB,他用到 的判定定理是 (用字母表示) 【解决问题】 (2)小刚发现，解题时，条件中若出现“中点”，“中线”的字样，可以考虑构造全 等三角形，要学好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题： 如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若 DM⊥DN.求证：MN<BM+CN. 57 1 ② 【答案】(1)SAS: (2)证明：如图，延长MD到点E,使得MD=ED,连接CE,NE, ·.·AD△ABC 是 的中线， ∴.BD=CD '在△BDM和△CDE中， CD=BD ∠MDB=∠EDC: ED=MD ..△BDM≌△CDE SAS, ∴.BM=CE, .·ED=MD,DM⊥DN, .∴.MN=NE, 在△NEC中，NE<CE+NC, .MN<BM+CN 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，熟练掌握全等三 角形的判定与性质是解答本题的关键。 (1)延长AD至E,使得ED=AD,连接BE,由AD是△ABC的中线，得到 BD=CD,进而得到△ADC≌△EDB|SASl. (2)延长MD到点E,使得MD=ED,连接CE,NE,通过证明 58 △BDM≌△CDESAS,得到BM=CE,再由ED=MD,DM⊥DN,得到 MN=NE,在△NEC中，NE<CE+NC,得到MN<BM+CN 【详解】(1)解：如图①，延长AD至E,使得ED=AD,连接BE, :AD是△ABC的中线， ∴.BD=CD, 在△ADC和△EDB中， CD=BD ∠ADC=∠EDB, AD=ED .△ADC≌△EDB SAS, 故答案为：SAS (2)略 35.(1)如图①，在△ABC中，若AB=6,AC=4,AD为BC边上的中线，求AD的取 值范围； (2)如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF,DE交AB于点E,DF 交AC于点F,连接EF,判断BE+CF与EF的大小关系并证明： (3)如图③，在四边形ABCD中，AB‖CD,AF与DC的延长线交于点F,点E是 BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线.试探究线段AB,AF,CF之间的数量关系， 并加以证明。 B 图① 图② 图③ 【答案】(1)1<AD<5: (2)BE+CF>EF,理由如下： 延长FD至点M,使DM=DF,连接BM、EM,如图②所示。 59 B D 图② M 同(1)得：△BMD≌△CFD SAS), ..BM=CF. DE⊥DF,DM=DF, ∴.EM=EF, 在△BME中，由三角形的三边关系得： BE+BM>EM, .BE+CF>EF: (3)AF+CF=AB,理由如下： 如图③，延长AE,DF交于点G, D 图③ G .AB CD, ∴.∠BAG=∠G, 在△ABE和△GCE中， CE=BE, ∠BAG=∠G, ∠AEB=∠GEC ∴.△ABE≌△GEC AAS, ∴.CG=AB ,AE是∠BAF的平分线， ∴.∠BAG=∠GAF, 60 ∴.∠AG=∠G, ..AF=GF, .FG+CF=CG. ∴.AF+CF=AB. 【分析】(1)由已知得出AB-BE<AE<AB+BE,即6-4<AE<6+4,AD为 AE的一半，即可得出答案： (2)延长FD至点M,使DM=DF,连接BM,EM,可得△BMD≌△CFD,得 出BM=CF,由线段垂直平分线的性质得出EM=EF,在△BME中，由三角形的三 边关系得出BE+BM>EM即可得出结论： (3)延长AE,DF交于点G,根据平行和角平分线可证AF=FG,也可证得 △ABE≌△GCE,从而可得AB=CG,即可得到结论 【详解】解：(1)如图①，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE, B D E 图① D是BC的中点， ..BD=CD, :∠ADC=∠BDE, .△ACD≌△EBD SAS, ∴.BE=AC=4, 在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE, .6-4<AE<6+4,, .2<AE<10, ∴.1<AD<5, 故答案为：1<AD<5: (2)略 (3)略 61 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，作辅助线一倍长中线 法、全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一 定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键， 62 专题03 全等三角形常考八大模型突破 【题型01：平移型】 【题型02：翻折型】 【题型03：旋转型】 【题型04：一线三等角型】 【题型05：手拉手模型】 【题型06：半角模型】 【题型07：对角互补模型】 【题型08：倍长中线法模型】 【题型01：平移型】 1．如图，A、C、E、F四点在同一直线上，，，．求证：． 2．如图，，，求证：． 3．如图，，，．求证：． 4．如图，在和中，点A，C，D，F在同一条直线上，，，，求证：． 【题型02：翻折型】 5．如图，．求证：． 6．如图，平分，，求证． 7．如图，已知和中，，点B、F、C、E在同一条直线上，且，，证明：． 8．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于春秋战国时期，距今已2000多年，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动．如图1，小华制作了一个风筝，风筝的骨架示意图如图2， 其中， 求证：． 【题型03：旋转型】 9．如图，在和中，，，．求证：． 10．如图，点C在线段上，，，．延长分别交、于G、F． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 11．如图，在中，为边上一点，以为边作，使，．若，，求的长度． 12．如图，平分，，点在上，且．求证：． 13．如图，在四边形​中，​，平分​，连接​，若​，​． (1)求证：​； (2)若​，求证：​． 【题型04：一线三等角型】 14．如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，与此同时，点在线段上由点向点运动，当，中的一点到达终点时，两点都停止运动，它们的运动时间为连接，． (1)如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当，时，写出与的数量关系与位置关系，并说明理由； (2)如图2，当时，设点的运动速度为，是否存在实数，使以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的，的值；若不存在，请说明理由． 15．【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；在中，，），并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点，易证，若，，则 ； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上，且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，连接，求的面积． 16．如图，在平面直角坐标系中，点分别是轴、轴上的两个动点，以为直角边作等腰直角三角形交轴于点D，斜边BC交轴于点E． (1)如图1，证明： (2)如图2，若将沿着CB折叠，点D恰好落在轴的点G处，求证：点是的中点． (3)如图3，点在轴负半轴上且，分别以为直角边在第二、一象限作等腰直角三角形和，且，连接交轴于点．当点A在轴的正半轴上运动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由．若不变化，请求出的长度． 17．（1）【探究发现】如图1，在中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是________； （2）【反思感悟】问题：如图2，在四边形中，，是上一点，，．请探究与的位置关系，并说明理由； （3）【生活应用】校园广场的景观规划： 如图3，校园广场有一块空地为四边形，为了优化广场景观，学校计划筑造成两个直角三角形花坛和，以便种植不同的花卉．数学兴趣小组通过测量得知，且，他们在上取一点，当测量到时，恰好．请结合（1）和（2）小问的结论，试判断是否符合要求为直角三角形，并说明你的理由． 18．如图，是等腰直角三角形，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． (1)如图，若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标为______． (2)如图，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于点，问与有怎样的数量关系？并说明理由． (3)如图，直角边的两个端点在两坐标轴上滑动，使点在第三象限内，过点作轴于点，在滑动的过程中，为定值，求出这个定值． 【题型05：手拉手模型】 19．如图，已知和均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，与相交于点O，与交于点G，与相交于点F，连接，．求证： (1)； (2)． 20．如图，A，B，C三点在同一直线上，等边三角形和等边三角形在线段同侧，连接，交于点M，连接，交于点N． (1)如图1，当是的中点，时，的长为 ，的度数为 ； (2)如图2，当不是的中点时，求证：； (3)在（2）的条件下，连接，试探究与之间的位置关系，并说明理由． 21．如图1，，都是等边三角形，点A、B、C在同一直线上，和交于点P． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，M，N分别是，的中点，试判断的形状，并证明你的结论． 22．如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BD、AE交于点O，BC与AE交于于点P． （1）求证：△ACE ≌ △BCD． （2）求∠AOB的度数． （3）连接OC，求证：OC平分∠AOD 【题型06：半角模型】 23．（1）如图1，在四边形中， ，E，F分别是边上的点，且，则的长为______． （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，请判断之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边延长线上的点，且，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 24．问题背景： (1)如图1，在四边形中，，E、F分别是上的点．且．探究图中线段之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论：，请你写出证明过程． 探索延伸： (2)如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 25．（1）如图1：在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学探究的方法是：延长到点．使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是_____（直接写结论，不需证明）； （2）如图2，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，猜想上述结论是否仍然成立，并证明； （3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当，，时，求的周长． 26．解答下列问题： (1)【观察猜想】如图1，在四边形中，，，，，小王同学想探究线段，，之间的数量关系． 他的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，请你帮小王同学写出得到的结论：________． (2)【探索延伸】如图2，在四边形中，，，，四边形面积的最大值，并说明理由． (3)【实际应用】如图3，延安红色旅游景区的步道规划过程中，在游客中心点处观测到：红色文化广场在点的北偏西方向，革命旧址在点的南偏东方向，且两处景点到游客中心的距离均为，红色旅游专线开通后，1号观光车从点出发向正东方向以/分的速度行驶，同时2号观光车从点出发沿北偏东的方向以/分的速度行驶，15分钟后分别到达、处（观光车停车点），按景区规划要求，请你尝试求出观光车从游客中心出发，沿绕景区一圈的总路线长度． 【题型07：对角互补模型】 27．为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法． 已知：在四边形ABCD中，AC平分，． (1)如图①，当时，试说明：． (2)如图②，当时，试说明：． 28．已知是的角平分线，点是上一点，，分别是，上的动点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，、、在同一直线上，平分，交于点，作于点．若，，，请直接写出的值_____． 29．如图，在四边形中，，，E是上的一点，过点E作，使得，延长至点G，使． (1)求证：． (2)求证：平分． 30．如图，在四边形中，，，平分． (1)如图，若，，则 ； (2)问题解决：如图，求证：； (3)问题拓展：如图，在等腰中，，平分，求证：． 31．【回顾】如图1，点是的平分线上一点，过点作于点，于点，依据角平分线的性质可得． （1）【探究】如图2，在中，，是的平分线，点在边上，． ①证明：； ②请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由． （2）【拓展】如图3，的外角，的平分线与内角的平分线交于点，若，请直接写出的度数． 【题型08：倍长中线法模型】 32．（1）如图①，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断． ，，之间的等量关系________； （2）问题探究：如图②，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 33．【问题提出】如图①，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【问题解决】经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点E，使得，连接，经过推理可知…… （1）由已知和作图得到的理由是（    ） A．边边边        B．边角边        C．角边角        D．斜边直角边 （2）的取值范围为______． 【方法总结】解题时若条件中出现“中点”或“中线”，则可以考虑将中线加倍来构造全等三角形，从而将分散的已知条件转换到同一个三角形中，我们称这种添加辅助线的方法为“倍长中线法”． 【应用】（3）如图②，在中，点D为边的中点，点E在边上，与相交于点F，．求证：． 【拓展】（4）如图，在中，，平分，点E为边的中点，过点E作，交于点F，交的延长线于点G，若，，则的面积为______．    34．【发现问题】 （1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，若，，求边上的中线的取值范围．小亮在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：如图①，延长到点，使，连接，得到，他用到的判定定理是________；（用字母表示） 【解决问题】 （2）小刚发现，解题时，条件中若出现“中点”，“中线”的字样，可以考虑构造全等三角形，要学好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图②，在中，点是的中点，点在边上，点在边上，若．求证：．    35．（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $