6.1.2点、线、面、体 导学案 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦点、线、面、体的概念及关系，通过观察实物抽象立体图形，从体到面、线、点逐步探究，构建从具体到抽象的认知支架，帮助学生理解几何元素的层级联系。 特色在于问题探究引导学生抽象概念，模型演示（动画演示）直观呈现“点动成线、线动成面、面动成体”，实例与变式训练联系生活，培养数学抽象、直观想象和空间观念，提升用数学眼光观察现实世界的能力。

姓名: 学科: 日期: 6.1.2点、线、面、体 导学案（教用版） （ 制作：许 鸥 课时：1课时 日期：2026年9月9日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1. 经历问题探究，认识与理解点、线、面、体的概念.（数学抽象、直观想象•重点） 2. 通过模型演示（动画演示），理解与掌握点线面体之间的关系，并能运用其解决相关的实际问题.（直观想象•重难点） 【学习过程】 1、 点、线、面、体的概念 我们可以用简单图形构造出复杂图形，也可以把复杂图形转化为简单图形进行研究，构成图形的元素是什么？这些元素之间又存在着什么关系？ （1） 体的概念 1.问题探究 观察下列实物，从它们的外形中可以抽象出什么立体图形？ 探究：由观察可以从图中实物中抽象出的立体图形分别是长方体、正方体、圆柱、圆锥、球与三棱锥. 2.体的概念 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体也简称体. （2） 面的概念 1. 问题探究 观察下列长方体与圆柱，包围着它们的元素是什么？这些元素有什么区别吗？ 探究：由观察可知 长方体由6个长方形面围成；圆柱由2个圆面和1个曲面围成.这些面分为平面与曲面2种.如下图所示 2.面的概念与分类 包围着体的是面，面有平面和曲面两种. 平静的水面给我们以平面的形象，而一些建筑物的屋顶则给我们以曲面的形象. （3） 线的概念 1. 问题探究 观察下列长方体与圆柱，它们面与面相交的地方形成什么元素？这些元素有什么区别吗？ 探究：由观察可知 面与面相交的地方形成了线，线分为直线与曲线2种. 2. 面的概念与分类 面和面相交的地方形成线，线分为直线与曲线2种. 例如，夜晚流星划过天空时留下一道明亮的光线，节日的焰火画出的曲线组成优美的图案（图6.1-13），这些都给我们以线的形象. 长方体6个面两两相交所成的12条棱（线）是直的，圆柱的侧面与底面相交得到的圆是曲的. （4） 点的概念 1. 问题探究 观察下列长方体与三棱锥，它们线与线相交的地方是什么元素？这些元素有什么特征？ 探究：由观察可知 线与线相交的地方形成了点，且点只代表位置，没有大小之分. 2. 点的概念与特征 线和线相交的地方是点，点表示位置，没有大小之分. 例如，天上的星星、世界地图上的城市等都给我们以点的形象. （五）小结 一个实际物体可以抽象得到几何体. 其中，包围着体的是面，面与面相交的地方是线，线与线相交的地方是点. （六）实例运用 例1图6.1-11是一个长方体，它有几个面？面和面相交的地方形成了几条棱？棱和棱相交成几个顶点？ 解：长方体由6个面围成，面与面相交的地方形成12条棱，棱与棱相交的地方形成8个点. （七）变式训练 【变式】（课本156页练习题第1题） 围成下面这些立体图形的各个面中，哪些面是平的？哪些面是曲的？ 解： 围成（1）长方体、（2）三棱锥的各个面都是平面； 围成（4）球的面是曲面； 围成（3）圆锥、（5）半球与圆柱的组合体的面既有平面，又有曲面. 2、 点、线、面、体之间的关系 （一）问题探究 1.探究1 如果把笔尖看成一个点，这个点在纸上运动时，形成的图形是什么？动手试一试. 探究： 由作图可知：如果把笔尖看成一个点，这个点在纸上运动时，形成的图形是线. 2.探究2 清洁玻璃时，刮窗器在玻璃上运动会形成什么图形？ 探究： 由观察可知：如果把刮窗器看成一条线，这条线运动时，形成的图形是面. 3.探究3 长方形硬纸片绕它的一边旋转一周，会形成什么图形？ 探究：由演示可知 如果把长方形硬纸片看做一个面，长方形硬纸片绕它的一边旋转一周，会形成圆柱. （2） 点、线、面、体之间的关系 由上问题探究可知，点线面体之间的关系是： 点动成线，线动成面，面动成体. 几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素. 用图象表示如下， （3） 实例运用 例2．“赣水欢腾  马跃新春”，南昌市举办了第四届迎春烟花晚会．如图是烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点定线 【答案】A 【难度】0.95 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【详解】解：烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为点动成线． 例3．如图，用一个平面截下面的几何体，截面形状不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】截一个几何体 【分析】根据三棱柱的特征，其表面全部由平面多边形组成，用平面去截该几何体，截面边界只能是线段，不可能出现曲线，据此判断即可． 【详解】 该几何体是三棱柱，其表面由个平面围成， 用一个平面去截该几何体，截面与各个面的交线均为线段， 截面形状只能是多边形（如三角形、四边形等），不可能是圆， 选项A、C、D均为多边形，选项B为圆， 截面形状不可能是B． 例4．观察下列图形，解决相关问题： (1)把左侧的平面图形绕直线MN旋转一周，得到的几何体是右图中的________（填“”或“”）； (2)根据图中的数据，计算（1）中所得几何体的体积．（结果保留） （已知：，，其中为对应几何体的高，为圆柱底面圆的半径，，为棱锥底面的面积，为棱锥的高） 【答案】(1) (2) 【难度】0.8 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形、 圆柱与圆锥体积的关系 【分析】（1）旋转得到的几何体是上半部分为圆锥，下半部分为圆柱的图形． （2）由题意得，得到的圆柱底面圆半径和圆锥底面圆半径均为，圆柱高为，圆锥高为，代入到圆柱和圆锥的体积公式中即可求解． 【详解】（1）解：将左侧的平面图形绕直线旋转一周得到的几何体是上半部分为圆锥，下半部分为圆柱的图形， 故答案为：． （2）解：由题意得，得到的圆柱底面圆半径和圆锥底面圆半径均为，圆柱高为，圆锥高为， ∴圆锥的体积为，圆柱的体积为， ∴这个几何体的体积为． （4） 变式训练 【变式1】下列几何体中可以由平面图形绕某条直线旋转一周得到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】常见的几何体、平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】根据面动成体原理，判断各几何体能否由平面图形绕直线旋转一周得到，选出符合条件的选项． 【详解】解：正方体是由平面图形平移得到，不能由平面图形绕直线旋转一周得到，故A选项错误，不符合题意． 圆台可以由直角梯形绕垂直于底的腰所在直线旋转一周得到，故选项正确，符合题意． 三棱柱是由平面图形平移得到，不能由平面图形绕直线旋转一周得到，故C选项错误，不符合题意． 四棱锥不能由平面图形绕直线旋转一周得到，故D选项错误，不符合题意． 【变式2】下列几何体中，截面可能是三角形的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】截一个几何体 【分析】根据用一个平面截一个几何体得到的面叫做几何体的截面，分别根据选项判断得出即可． 【详解】解：圆柱的截面跟圆、四边形有关，截面不可能是三角形；过圆锥的顶点和下底圆心的面得到的截面是三角形，过正方体的三个面得到的截面是三角形，过长方体的三个面得到的截面是三角形， 所以，截面可能是三角形的有3个． 【变式3】想一想，连一连． 【答案】 连线如下： 【难度】0.85 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查了圆柱的认识及特征、圆锥的认识及特征，了解点、线、面、体的关系是解题的关键．圆柱是由以长方形的一条边所在直线为旋转轴，其余三边绕该旋转轴旋转一周而形成的几何体．以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．据此分析各平面图形的特点，确定旋转可以形成的立体图形．根据点动成线，线动成面，面动成体的特征即可求解．                3、 达标检测 1．汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，用数学知识解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查点、线、面、体的动态转化关系，需结合雨刷的运动形式判断对应数学原理． 【详解】解：汽车雨刷可看作一条线，汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净， 用数学知识解释为线动成面． 2．将一个梯形以虚线为轴从右向左旋转一周（如图），得到的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【详解】 解：将以虚线为轴从右向左旋转一周，得到的图形是． 3．如图，将直角三角形绕它的斜边所在直线旋转一周后形成的几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】过直角顶点B作于点D，根据直角三角形绕直角边所在的直线旋转得到圆锥即可判断． 【详解】解：过直角顶点B作于点D，如图， 则绕直线旋转一周后得到两个圆锥，且这两个圆锥共底面， 故得到选项D的几何体． 4．将选项中的图形绕虚线旋转一周，可以得到如图所示的茶杯的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】先将各平面图形根据面动成体得出对应的几何体，再判断即可． 【详解】解：将图A绕虚线转一周，可以得到类似于球的几何体，不符合题意； 将图B绕虚线转一周，可以得到类似于圆柱的几何体，不符合题意； 将图C绕虚线转一周，可以得到类似于圆台的几何体，符合题意； 将图D绕虚线转一周，可以得到类似于圆锥的几何体，不符合题意． 5．如图，将直角三角形绕它的这条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【详解】 解：将直角三角形绕它的这条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是． 6．用一个平面分别截下列几何体，可能得到圆形截面的几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】截一个几何体 【详解】解：选项A：长方体是由六个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形，用一个平面去截长方体，其截面边缘是由直线段组成的，因此截面只能是多边形（如三角形、四边形、五边形、六边形），不可能是圆形，故A不符合题意； 选项B：该几何体是由两个三角形底面和三个长方形侧面围成的立体图形，用一个平面去截三棱柱，其截面边缘也是由直线段组成的，截面只能是多边形（如三角形、四边形、五边形），不可能是圆形，故B不符合题意； 选项C：圆锥是由一个扇形侧面和一个圆形底面围成的立体图形，当用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥时，截面是一个圆，故C符合题意； 选项D：正方体是由六个正方形围成的立体图形，用一个平面去截正方体，其截面边缘由直线段组成，截面只能是多边形（如三角形、四边形、五边形、六边形），不可能是圆形，故D不符合题意． 7．“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为______． 【答案】点动成线，线动成面 【难度】0.85 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】根据点、线、面的运动关系，将生活实物抽象为几何图形，结合点动成线、线动成面的性质分析即可． 【详解】解：枪尖可看作点，点运动形成线，因此“枪挑一条线”对应点动成线； 棍可看作线，线运动形成面，因此“棍扫一大片”对应线动成面． 8．诗人张协在《杂诗十首》中用“腾云似涌烟，密雨如散丝”描写雨的细密．其中“密雨如散丝”表现的数学原理是___________（从“点动成线”，“线动成面”，“面动成体”中选一个填入）． 【答案】 点动成线 【难度】0.94 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题主要考查了“点线面体”的关系， 根据点、线、面、体的运动关系，雨滴可视为点，散丝表示线，点移动形成线． 【详解】解：诗句“密雨如散丝”中，雨滴是点，散丝是线，数学原理是点动成线． 故答案为：点动成线． 9．如图，已知直角三角形纸板，，．绕这个直角三角形的边所在直线旋转一周得到一个几何体． (1)这个几何体的名称是______； (2)计算这个几何体的体积．（，，结果保留） 【答案】(1)圆锥 (2) 【难度】0.75 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】（1）旋转得到的几何体为圆锥； （2）以直角三角形绕边所在直线旋转一周得到的圆锥底面圆半径为，高为，然后根据圆锥的体积公式进行计算即可解答． 【详解】（1）解：将这个直角三角形绕边所在直线旋转一周得到的几何体为圆锥； （2）解：由题意得，得到的圆锥底面圆半径为，高为， ， 答：这个几何体的体积为． 10．如图是一个粮仓，已知粮仓底面直径为，粮仓顶部顶点到地面的垂直距离为，粮仓下半部分高为，观察并回答下列问题： (1)用一个平面去截粮仓，截面可能是____________（写出一个即可）； (2)将下面的图形分别绕虚线旋转一周，____________（填字母）能形成粮仓； (3)求出该粮仓的容积（计算结果保留）．（，） 【答案】(1)圆形或四边形或梯形（答案不唯一） (2)D (3)粮仓的容积为． 【难度】0.65 【知识点】截一个几何体、平面图形旋转后所得的立体图形、 圆柱的体积、 圆柱与圆锥体积的关系 【分析】本题考查旋转体及圆锥圆柱的体积，用平面截一个几何体所形成的图形． （1）用一个平面去截圆锥或圆柱，都可以得到一个圆，即可解答； （2）根据图形的旋转体：直角三角形沿直角边旋转得到圆锥，矩形旋转得到圆柱即可得到答案； （3）根据圆锥圆柱的体积公式代入求解即可得到答案； 【详解】（1）解：用一个平面去截粮仓，截面可能是圆形、四边形、梯形； 故答案为：圆形或四边形或梯形（答案不唯一）． （2）解：图形的上部是一个圆锥，下部是圆柱，直角三角形按直角边旋转得到圆锥，矩形旋转得到圆柱， 故选：D； （3）解：∵粮仓底面直径为，粮仓顶部顶点到地面的垂直距离为，粮仓下半部分高为， ∴， 答：粮仓的容积为． 11．如图是由几个完全相同的小正方体搭成的一个立体图形， (1)请画出从不同方向看该立体图形得到的平面图形． (2)如图是一张长方形纸片，长为5，长为2．将此长方形纸片绕边所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积．（结果保留） 【答案】(1) 如图； (2) 【难度】0.65 【知识点】从不同方向看几何体、平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题考查了三视图和立体图形的表面积求解，掌握其基本知识体系是解题关键； （1）根据三视图画出图形即可求解； （2）根据圆柱展开图为长方形和圆即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：根据长方形纸片绕一周形成圆柱， ∴ . - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓名: 学科: 日期: 6.1.2点、线、面、体 导学案（学生版） （ 制作：许 鸥 课时：1课时 日期：2026年9月9日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1. 经历问题探究，认识与理解点、线、面、体的概念.（数学抽象、直观想象•重点） 2. 通过模型演示（动画演示），理解与掌握点线面体之间的关系，并能运用其解决相关的实际问题.（直观想象•重难点） 【学习过程】 1、 点、线、面、体的概念 我们可以用简单图形构造出复杂图形，也可以把复杂图形转化为简单图形进行研究，构成图形的元素是什么？这些元素之间又存在着什么关系？ （1） 体的概念 1.问题探究 观察下列实物，从它们的外形中可以抽象出什么立体图形？ 探究：由观察可以从图中实物中抽象出的立体图形分别是 . 2.体的概念 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是 ，几何体也简称 . （2） 面的概念 1. 问题探究 观察下列长方体与圆柱，包围着它们的元素是什么？这些元素有什么区别吗？ 探究：由观察可知 长方体由 面围成；圆柱由 和 围成.这些面分为 与 2种.如下图所示 2.面的概念与分类 包围着体的是 ，面有 和 两种. 平静的水面给我们以 的形象，而一些建筑物的屋顶则给我们以 的形象. （3） 线的概念 1. 问题探究 观察下列长方体与圆柱，它们面与面相交的地方形成什么元素？这些元素有什么区别吗？ 探究：由观察可知 面与面相交的地方形成了 ，线分为 与 2种. 2. 面的概念与分类 面和面相交的地方形成 ，线分为 与 2种. 例如，夜晚流星划过天空时留下一道明亮的光线，节日的焰火画出的曲线组成优美的图案（图6.1-13），这些都给我们以 的形象. 长方体6个面两两相交所成的12条棱（线）是 ，圆柱的侧面与底面相交得到的圆是 . （4） 点的概念 1. 问题探究 观察下列长方体与三棱锥，它们线与线相交的地方是什么元素？这些元素有什么特征？ 探究：由观察可知 线与线相交的地方形成了 ，且点只代表 ，没有 之分. 2. 点的概念与特征 线和线相交的地方是 ，点表示 ，没有 之分. 例如，天上的星星、世界地图上的城市等都给我们以 的形象. （五）小结 一个实际物体可以抽象得到 . 其中，包围着体的是 ，面与面相交的地方是 ，线与线相交的地方是 . （六）实例运用 例1图6.1-11是一个长方体，它有几个面？面和面相交的地方形成了几条棱？棱和棱相交成几个顶点？ 解：长方体由 个面围成，面与面相交的地方形成 条棱，棱与棱相交的地方形成 个点. （七）变式训练 【变式】（课本156页练习题第1题） 围成下面这些立体图形的各个面中，哪些面是平的？哪些面是曲的？ 解： 围成（1） 、（2） 的各个面都是 ； 围成（4） 的面是 ； 围成（3） 、（5） 的面既有 ，又有 . 2、 点、线、面、体之间的关系 （一）问题探究 1.探究1 如果把笔尖看成一个点，这个点在纸上运动时，形成的图形是什么？动手试一试. 探究： 由作图可知：如果把笔尖看成一个 ，这个点在纸上运动时，形成的图形是 . 2.探究2 清洁玻璃时，刮窗器在玻璃上运动会形成什么图形？ 探究： 由观察可知：如果把刮窗器看成一条 ，这条线运动时，形成的图形是 . 3.探究3 长方形硬纸片绕它的一边旋转一周，会形成什么图形？ 探究：由演示可知 如果把长方形硬纸片看做一个 ，长方形硬纸片绕它的一边旋转一周，会形成 . （2） 点、线、面、体之间的关系 由上问题探究可知，点线面体之间的关系是： 点动成 ，线动成 ，面动成 . 几何图形都是由 组成的，点是构成图形的 . 用图象表示如下， （3） 实例运用 例2．“赣水欢腾  马跃新春”，南昌市举办了第四届迎春烟花晚会．如图是烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点定线 例3．如图，用一个平面截下面的几何体，截面形状不可能是（     ） A． B． C． D． 例4．观察下列图形，解决相关问题： (1)把左侧的平面图形绕直线MN旋转一周，得到的几何体是右图中的________（填“”或“”）； (2)根据图中的数据，计算（1）中所得几何体的体积．（结果保留） （已知：，，其中为对应几何体的高，为圆柱底面圆的半径，，为棱锥底面的面积，为棱锥的高） （4） 变式训练 【变式1】下列几何体中可以由平面图形绕某条直线旋转一周得到的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】下列几何体中，截面可能是三角形的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】想一想，连一连． 3、 达标检测 1．汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，用数学知识解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 2．将一个梯形以虚线为轴从右向左旋转一周（如图），得到的图形是（     ） A． B． C． D． 3．如图，将直角三角形绕它的斜边所在直线旋转一周后形成的几何体是（     ） A． B． C． D． 4．将选项中的图形绕虚线旋转一周，可以得到如图所示的茶杯的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，将直角三角形绕它的这条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是（     ） A． B． C． D． 6．用一个平面分别截下列几何体，可能得到圆形截面的几何体是（     ） A． B． C． D． 7．“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为______． 8．诗人张协在《杂诗十首》中用“腾云似涌烟，密雨如散丝”描写雨的细密．其中“密雨如散丝”表现的数学原理是___________（从“点动成线”，“线动成面”，“面动成体”中选一个填入）． 9．如图，已知直角三角形纸板，，．绕这个直角三角形的边所在直线旋转一周得到一个几何体． (1)这个几何体的名称是______； (2)计算这个几何体的体积．（，，结果保留） 10．如图是一个粮仓，已知粮仓底面直径为，粮仓顶部顶点到地面的垂直距离为，粮仓下半部分高为，观察并回答下列问题： (1)用一个平面去截粮仓，截面可能是____________（写出一个即可）； (2)将下面的图形分别绕虚线旋转一周，____________（填字母）能形成粮仓； (3)求出该粮仓的容积（计算结果保留）．（，） 11．如图是由几个完全相同的小正方体搭成的一个立体图形， (1)请画出从不同方向看该立体图形得到的平面图形． (2)如图是一张长方形纸片，长为5，长为2．将此长方形纸片绕边所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积．（结果保留） - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $