第5章 一元一次方程 数学活动 导学案 2026--2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦一元一次方程应用，通过生活中的阶梯计价（水费、电费等）和木杆挂重物实验导入，引导学生从实际问题抽象数量关系，建立方程模型，衔接方程解法，形成理论到实践的学习支架。 特色在于生活实际与实验探究结合，阶梯计价问题培养数学建模和应用意识，木杆挂重物实验发展抽象能力和推理意识，实例与变式训练提升运算能力，助力学生用数学眼光观察、思维分析、语言表达现实世界。

姓名: 学科: 日期: 第5章 一元一次方程 数学活动 导学案（教用版） （ 制作：许 鸥 课时：1课时 日期：2026年9月8日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 经历数学活动探究（生活中的阶梯计价问题、木杆挂重物问题），进一步加深对一元一次方程相关知识的理解与掌握，并培养浓厚的数学兴趣.（数学建模、数学运算、分类讨论思想·重难点） 【学习过程】 1、 活动1：生活中的阶梯计价问题 （一）问题探究 居民生活用水通常按户计费.下表是某城市居民生活用水的收费标准(户内人口不超过4人),称这样的收费方式为阶梯计价. 考虑如下问题: （1）设某户居民的年用水量为 (是正整数).请你列表说明,当在不同范围内取值时,如何计费. （2）已知某户居民一年的水费为930元,这户居民的年用水量是多少立方米? （3）查阅资料,了解自己所在地区的城市居民生活用水收费标准,据此你能提出一些数学问题并加以解决吗? （4）查阅资料,了解生活中还有哪些阶梯计价问题(如电费、停车场收费、出租车收费等),根据相应的收费标准,自己提出可以利用一元一次方程解决的问题,并正确地表述问题及其解决过程. 探究： （1） 由题意可分如下3种情况讨论： ①当时，该户居民的年用水费用（元）为 ②当时，该户居民的年用水费用（元）为 ②当时，该户居民的年用水费用（元）为 (2）若某户居民一年的水费为930元， ①先确定930元所属阶梯. ∵第一阶梯最大水费为：令，则水费为 元 第二阶梯最大水费为：令，则水费为 元 又∵， ∴该用户用水量的范围是. ②列方程，求用水量. 由上分析可列如下方程 解得 答：这户居民年用水量是200立方米. （3）以昆明居民用水为例 昆明居民生活用水（一户4人内）：第一阶梯； 第二阶梯； 第三阶梯 自编问题：一户一年用水220m²，应交多少水费？ 解：由题意可得 答：应交水费 980元. （4） 详见实例运用. （2） 实例运用 例1．某市从5月1日起对居民用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下． 每户居民用电量的范围 电费价格（单位：元/度） 不超过150度的部分 0.6 超过150度，但不超过300度的部分 超过300度的部分 5月份该市居民甲用电200度，缴纳电费122.5元；居民乙用电350度，缴纳电费232.5元． (1)表中 ； ． (2)李老师缴纳5月份的电费后发现，他家该月平均电价实际为每度0.62元，你知道李老师家5月份用电多少度吗？ 【答案】(1)； (2)李老师家5月份用电度 【难度】0.65 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【详解】（1）解：根据题意得 （元）， ； （元/度）， ； （2）解：设李老师家5月份用电度， （元/度）， ， ， 列方程得， 解得， 答：李老师家5月份用电度． 例2． 1.阅读理解： 随着出行方式的多样化，我市三类打车方式的收费标准如下： 出租车 滴滴快车 同城快车 3千米以内：8元 路程：1.4元/千米 路程：1.8元/千米 超过3千米的部分：2.4元/千米 时间：0.6元/分钟 时间：0.4元/分钟 如：假设打车的平均车速为40千米/小时，乘坐8千米，耗时分钟，出租车的收费为：（元）；滴滴快车的收费为：（元）：同城快车的收费为：（元）． 2.解决问题： (1)小明乘车从清音公园去莲花山，全程10千米，打车的平均车速为40千米/小时，如果小明使用滴滴快车，需要支付的打车费用为______元． (2)小丽乘车从甲地去乙地，打车的平均车速为40千米/小时，用滴滴快车比乘坐出租车节省了20.8元，求甲、乙两地的距离． 【答案】(1)23； (2)甲、乙两地的距离为200千米． 【难度】0.65 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算的实际应用，读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键． （1）根据表格求出耗时时间，然后根据滴滴快车的收费标准求解即可； （2）由于滴滴快车比乘坐出租车节省了20.8元，可知行驶的路程超过了3千米．故可设两地的距离为S，然后根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：根据上表可得，乘坐10千米，耗时分钟， 则滴滴快车的收费为：元； 故答案为：23； （2）解：滴滴快车比乘坐出租车节省了20.8元，而出租车起步价为8元， 甲、乙两地的距离大于3千米， 设两地的距离为S， 根据题意得，， 整理得 解得 故甲、乙两地的距离为200千米． （3） 变式训练 【变式1】某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算． 用气量（立方米） 单价（元） 第一档 （含） 2.53 第二档 （含） 2.78 第三档 600以上 3.54 (1)李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？ (2)赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？ 【答案】(1)1133.20元 (2)500立方米 【难度】0.61 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据燃气缴费方式求解即可． （2）先计算600立方米用气量的总费用，然后再算出平均每立方米的费用，比较得出用气量不足600立方米，设赵刚家用气量为立方米，根据题意列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：（元） 答：李强家需交燃气费1133.20元． （2）解：600立方米用气量的总费用：（元） 平均每立方米的费用：（元） ，因此用气量不足600立方米． 设赵刚家用气量为立方米． 答：赵刚家年用气量是500立方米． 【变式2】综合与实践 停车场的收费方案选择问题 素材一 小张开车去公司上班，公司附近有一个停车场提供了两种收费方案． 方案一：不购买月卡时，每天停车6小时内（含6小时），收费4元，超过6小时的部分每小时收费元（不足1小时按1小时计算）． 方案二：购买99元月卡后，每天停车5小时内（含5小时）免费，超过5小时的部分每小时收费1元（不足1小时按1小时计算）． 素材二 小张平均每月上班22天，每天停车时间相同． 解决问题 问题1 若小张上班期间每天停车8小时，则她选择方案一时平均每月的费用为__________元；选择方案二时平均每月的费用为__________元． 问题2 若小张上班期间每天停车小时（为正整数），她应选择哪种方案，使平均每月的费用更省钱？请说明理由． 问题3 已知方案二的月卡价格调整为元（为整数，且）． ①若小张上班期间每天停车小时，要使两种方案平均每月费用相同，求的值； ②若小张上班期间每天停车时间在小时之间，且方案一平均每月费用比方案二的倍少63元，求的值． 【答案】问题1：154；165；问题2：当正整数时，选择方案一更省钱；当时，两种方案费用相同；当时，选择方案二更省钱； 问题3：①88；②m的值为62． 【难度】0.15 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意列方程求解． 问题1：按两种方案的分段规则，分别算出单日费用，再乘22天得到月费； 问题2：按停车时长分区间，分别列费用表达式，通过比较和等式求分界点来判断； 问题3：①按小时计为8小时，列等式求m；②对小时按整小时算，代入关系式求整数m． 【详解】解：问题1：方案一：每天费用：元， 每月费用：元； 方案二：每天额外费用：元， 每月费用：元， 所以，方案一每月费用为154元，方案二每月费用为165元， 故答案为：154；165； 问题2：设每天停车t小时（t为正整数）， 分情况讨论：①当时， 方案一：每天4元，每月元， 方案二：每月费用元，因为，所以选方案一； ②当时， 方案一：每天4元，每月88元， 方案二：每月费用：，因为，所以选方案一； 当时，方案一每月费用：， 方案二每月费用：， 令， 解得； 当时，， 选方案一； 当时，费用相同，两者均可； 当时，，选方案二； 问题3：①方案一每月费用：元， 方案二每月费用：， 令两者相等：， 解得， 所以，m的值为88； ②方案一每月费用：若时，元， 若时，元， 方案二每月费用：若时：， 若时，， 根据题意：方案一费用方案二费用， 即当时：， 解得， 当时：， 解得， 所以，m的值为62． 2、 活动2：木杆挂重物问题 （一）问题探究 用一根质地均匀的木杆和一些等重的小物体，做下列实验： （1）在木杆中间处拴绳，将木杆吊起并使其左右平衡，吊绳处为木杆的支点； （2）在木杆两端各悬挂一重物，看看左右是否保持平衡； （3）在木杆左端小物体下加挂一重物，然后把这两个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点与木杆左右两边挂重物处的距离； （4）在木杆左端两小物体下再加挂一重物，然后把这三个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点与木杆左右两边挂重物处的距离； （5）在木杆左边继续加挂重物，并重复以上操作和记录.根据记录你能发现什么规律？ 如图1，在木杆右端挂一重物，支点左边挂个重物，并使左右平衡.设木杆长为，支点在木杆中点处，支点与木杆左边挂重物处的距离为，把作为已知数，列出关于的一元一次方程. 探究： 由实验可得如下规律：木杆平衡时， 如图1， ∵左边挂个重物，支点与木杆左边挂重物处的距离为, 右边挂1个重物，支点与木杆右边挂重物处的距离为 ∴据实验发现的规律可列如下的一元一次方程为 （2） 实例运用 例3．小明在数学活动课上学习了木杆挂重物问题，觉得意犹未尽，在课余时间制作了如图简易杆秤，其中秤盘质量，秤砣质量，秤纽与秤盘的水平距离为 ，秤纽与零刻线的水平距离为，零刻线与末刻线水平距离为．当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡；当秤盘放入质量为的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡． (1)求l，a的值； (2)小明将数学教材放在秤盘上，秤砣位于零刻线右侧处时，杆秤平衡，求数学教材的质量． 【答案】(1)， (2)数学教材的质量为 【难度】0.65 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了杠杆平衡原理的应用及一元一次方程的求解，解题的关键是根据杆秤平衡时“动力动力臂阻力阻力臂”的原理列出方程，进而求解未知量． （1）根据秤盘不放重物、秤砣在零刻线时杆秤平衡的条件，列出关于l和a的第一个方程；再根据秤盘放入重物、秤砣在末刻线时杆秤平衡的条件，结合零刻线与末刻线的距离列出第二个方程，联立求解得到l和a的值． （2）设数学教材的质量为未知数，根据秤盘放教材、秤砣在零刻线右侧处时杆秤平衡的条件，利用杠杆平衡原理列出方程，求解得出教材质量． 【详解】（1）∵秤盘不放重物，在零刻线时，杆秤平衡， ∴． ∴， 当秤盘放入质量为的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡． ， ∵， ∴， ∴， ∴，； （2）设数学教材的重量为 ， ∴， ∴， 答：数学教材的质量为． 三、达标检测 1.综合与实践 生活中的阶梯计价问题 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市2024年居民用水采用“阶梯收费”． 素材2 第一阶梯（月用水量≤14吨）：水费为2.3元/吨，其中自来水为1.4元/吨，污水处理费为0.9元/吨．第二阶梯（14吨<月用水量≤21吨）：超出水费为3元/吨，其中自来水为2.1元/吨，污水处理费为0.9元/吨．第三阶梯（月用水量>21吨）：超出水费为5.1元/吨，其中自来水为4.2元/吨，污水处理费为0.9元/吨． 素材3 如某用户2024年8月份用水15吨，则各种费用如下： 自来水费 （元） 污水处理费 （元） 应缴水费 （元） 问题解决 任务1 确定污水处理费 已知某用户2024年12月份所缴水费中，自来水费为32.2元，求该用户12月份需缴污水处理费多少元？ 任务2 确定水费 某用户2024年11月用水吨，则应缴水费多少元？ 任务3 确定用水量 如果该用户2024年9、10月份共用水42吨（10月份用水量超过9月份用水量），共缴水费112.7元，则该用户9、10月份各用水多少吨？ 【答案】（1）设该用户 12 月份的污水处理费为 18 元 （2）当 时，应缴水费为 元；当 时，应缴水费为元，当 时，应缴水费为 元 （3）该户居民 9，10 月份各用水 18 吨和 24 吨 【难度】0.65 【知识点】列代数式、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，用代数式表示， （1）先求出前两个阶梯的费用，即可知12月份用水量超过14 吨不超过 21 吨，再设该用户 12 月份的用水量为吨，根据费用相等列出方程，求出解即可； （2）分，，三种情况，分别求出应缴水费即可； （3）设该用户9月份的用水量为吨，10月份的用水量为吨，分，两种情况列出方程，求出解． 【详解】解：（1）由 ， ∵， 月份用水量超过14 吨不超过 21 吨． 设该用户 12 月份的用水量为吨， ， 解得， （元）， 答： 设该用户 12 月份的污水处理费18 元； （2）当时，应缴水费为 元； 当时，应缴水费为 元； 当时，应缴水费为 元； （3）设该用户9月份的用水量为吨，10月份的用水量为吨， 当 时，， 解得（不合题意，舍去）， 时，， 解得：， ， 答：该户居民9，10月份各用水18吨和24吨． 2.某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 a 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元； (1)表中a的值为______；若用电420度，则应缴电费______元； (2)若11月份老李家交电费183元，求老李家11月份的用电量． 【答案】(1)； (2) 老李家11月份的用电量为300度 【难度】0.62 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）利用10月的用电数据列等式求，再按阶梯电价分三档计算420度的总电费； （2）先通过临界电费判断用电量所属档位，再列一元一次方程求解； 【详解】（1）解：∵用电200度未超过240度，属第1档， ∴，解得， 用电420度时，分三档计费： 第1档费用：（元）， 第2档费用：（元）， 第3档费用：（元）， 总电费：（元）； （2）解：用电240度时，电费为（元）， 用电400度时，电费为（元）， ∵， ∴11月份用电量在第2档， 设11月份用电量为度， 则， 解得， 答：老李家11月份的用电量为300度． 3.生活与实践：随着出行方式的多样化，某市三类打车方式的收费标准如下表： 出租车 滴滴快车 T3出行 a千米以内：10元 路程：1.2元/千米 路程：1.6元/千米 超过a千米的部分；2.4元/千米 时间：0.6元/分钟 时间：0.4元/分钟 已知打车的平均车速均为40千米/小时，如：乘坐6千米，耗时分钟，出租车的收费为：（元）；滴滴快车的收费为：（元）；出行的收费为：（元）．在平均车速的前提下解答下列问题： (1)如果乘车从甲地到乙地，①全程10千米．使用滴滴快车，需要支付的打车费用是_____元； ②全程m千米．使用T3出行，需要支付的打车费用是_____元； (2)若坐出租车去8千米外的某地，滴滴快车出行比出租车出行少5.2元，求a的值． (3)在（2）的前提下，某天张老师需去千米外的某地办事，在三种方式中，应选择何种方式更划算？请说明理由． 【答案】(1)21； (2)； (3)滴滴快车最划算． 【难度】0.4 【知识点】列代数式、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题主要考查列代数式、解一元一次方程． （1）根据计算即可求解； （2）由题意得，求解a即可； （3）首先计算出三种方式的费用函数为，再进行讨论哪一种更合算． 【详解】（1）解：①全程10千米， 滴滴快车费用：路程费元，时间费元，合计21元； ②全程m千米， T3出行费用：路程费元，时间费元，合计元； 故答案为：21；； （2）解：出租车行驶8千米， 若，费用为元； 滴滴快车费用为元， 由题意得， 解得； 若，出租车费用为10元，与22元不相符， 故； （3）解：当时，三种方式的费用为： 出租车：； 滴滴快车：； T3出行：； 当时，,且，故滴滴最便宜； 当时，,,，显然，且，故滴滴仍最便宜； 因此，对于任意，选择滴滴快车最划算． 4．综合与实践 某校七年级数学课外活动小组在一次课外活动时进行了以下实验探究： 活动目的 探究木杆挂重物问题 实验器材 一根质地均匀的木杆，一些等重的小物体． 实验步骤 第一步，在木杆中间处拴绳，将木杆吊起并使其左右平衡，吊绳处为木杆的支点； 第二步，在木杆两端各悬挂一重物，使木杆继续保持平衡； 第三步，在木杆左端小物体下加挂一重物，然后把这两个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离； 第四步，在木杆左端两小物体下再加挂一重物，然后把这三个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离； 第五步，在木杆左端继续挂重物，重复上面的实验． 实验记录 该数学课外活动小组经过反复实验，记录每一次数据如下表： 实验 次数 支点左边 支点右边 物重（单位：） 挂重物处到支点的距离（单位：cm） 物重（单位：） 挂重物处到支点的距离（单位：cm） 1 5 30 5 30 2 15 15 5 3 10 10 5 ··· 实验发现 （1）根据以上记录写出你发现的规律． 解决问题 利用你发现的规律解答下面问题： （2）在一个质地均匀且平衡的木杆支点的左边处挂的重物，若使木杆继续保持平衡，则应在木杆支点右边处挂_____g的重物； （3）如图，将一根1m的质地均匀的木杆中点处用细绳拴住（支点），此时木杆左右两边平衡．在木杆的最右端挂上的重物，在支点的左边挂上30g的重物，求支点左边挂重物处到支点的距离． 【答案】（1）（2）18（3） 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了探究规律，一元一次方程的应用； （1）由，，，据此即可求解； （2）由（1）得，即可求解； （3）由（1）得，即可求解； 找出规律是解题的关键． 【详解】解：（1）由表格得 ， ， ， ； （2）由题意得 ， 解得：； 故答案为：； （3）由题意得 ， 解得：， 答：支点左边挂重物处到支点的距离． - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓名: 学科: 日期: 第5章 一元一次方程 数学活动 导学案（学生版） （ 制作：许 鸥 课时：1课时 日期：2026年9月8日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 经历数学活动探究（生活中的阶梯计价问题、木杆挂重物问题），进一步加深对一元一次方程相关知识的理解与掌握，并培养浓厚的数学兴趣.（数学建模、数学运算、分类讨论思想·重难点） 【学习过程】 1、 活动1：生活中的阶梯计价问题 （一）问题探究 居民生活用水通常按户计费.下表是某城市居民生活用水的收费标准(户内人口不超过4人),称这样的收费方式为阶梯计价. 考虑如下问题: （1）设某户居民的年用水量为 (是正整数).请你列表说明,当在不同范围内取值时,如何计费. （2）已知某户居民一年的水费为930元,这户居民的年用水量是多少立方米? （3）查阅资料,了解自己所在地区的城市居民生活用水收费标准,据此你能提出一些数学问题并加以解决吗? （4）查阅资料,了解生活中还有哪些阶梯计价问题(如电费、停车场收费、出租车收费等),根据相应的收费标准,自己提出可以利用一元一次方程解决的问题,并正确地表述问题及其解决过程. 探究： （1） 由题意可分如下3种情况讨论： ①当时，该户居民的年用水费用（元）为 ②当时，该户居民的年用水费用（元）为 ②当时，该户居民的年用水费用（元）为 (2）若某户居民一年的水费为930元， ①先确定930元所属阶梯. ∵第一阶梯最大水费为：令，则水费为 第二阶梯最大水费为：令，则水费为 又∵ ， ∴该用户用水量的范围是 . ②列方程，求用水量. 由上分析可列如下方程 答：这户居民年用水量是 立方米. （3）以昆明居民用水为例 昆明居民生活用水（一户4人内）：第一阶梯； 第二阶梯； 第三阶梯 自编问题：一户一年用水220m²，应交多少水费？ 解：由题意可得 答：应交水费 元. （4） 详见实例运用. （2） 实例运用 例1．某市从5月1日起对居民用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下． 每户居民用电量的范围 电费价格（单位：元/度） 不超过150度的部分 0.6 超过150度，但不超过300度的部分 超过300度的部分 5月份该市居民甲用电200度，缴纳电费122.5元；居民乙用电350度，缴纳电费232.5元． (1)表中 ； ． (2)李老师缴纳5月份的电费后发现，他家该月平均电价实际为每度0.62元，你知道李老师家5月份用电多少度吗？ 例2． 1.阅读理解： 随着出行方式的多样化，我市三类打车方式的收费标准如下： 出租车 滴滴快车 同城快车 3千米以内：8元 路程：1.4元/千米 路程：1.8元/千米 超过3千米的部分：2.4元/千米 时间：0.6元/分钟 时间：0.4元/分钟 如：假设打车的平均车速为40千米/小时，乘坐8千米，耗时分钟，出租车的收费为：（元）；滴滴快车的收费为：（元）：同城快车的收费为：（元）． 2.解决问题： (1)小明乘车从清音公园去莲花山，全程10千米，打车的平均车速为40千米/小时，如果小明使用滴滴快车，需要支付的打车费用为______元． (2)小丽乘车从甲地去乙地，打车的平均车速为40千米/小时，用滴滴快车比乘坐出租车节省了20.8元，求甲、乙两地的距离． （3） 变式训练 【变式1】某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算． 用气量（立方米） 单价（元） 第一档 （含） 2.53 第二档 （含） 2.78 第三档 600以上 3.54 (1)李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？ (2)赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？ 【变式2】综合与实践 停车场的收费方案选择问题 素材一 小张开车去公司上班，公司附近有一个停车场提供了两种收费方案． 方案一：不购买月卡时，每天停车6小时内（含6小时），收费4元，超过6小时的部分每小时收费元（不足1小时按1小时计算）． 方案二：购买99元月卡后，每天停车5小时内（含5小时）免费，超过5小时的部分每小时收费1元（不足1小时按1小时计算）． 素材二 小张平均每月上班22天，每天停车时间相同． 解决问题 问题1 若小张上班期间每天停车8小时，则她选择方案一时平均每月的费用为__________元；选择方案二时平均每月的费用为__________元． 问题2 若小张上班期间每天停车小时（为正整数），她应选择哪种方案，使平均每月的费用更省钱？请说明理由． 问题3 已知方案二的月卡价格调整为元（为整数，且）． ①若小张上班期间每天停车小时，要使两种方案平均每月费用相同，求的值； ②若小张上班期间每天停车时间在小时之间，且方案一平均每月费用比方案二的倍少63元，求的值． 2、 活动2：木杆挂重物问题 （一）问题探究 用一根质地均匀的木杆和一些等重的小物体，做下列实验： （1）在木杆中间处拴绳，将木杆吊起并使其左右平衡，吊绳处为木杆的支点； （2）在木杆两端各悬挂一重物，看看左右是否保持平衡； （3）在木杆左端小物体下加挂一重物，然后把这两个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点与木杆左右两边挂重物处的距离； （4）在木杆左端两小物体下再加挂一重物，然后把这三个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点与木杆左右两边挂重物处的距离； （5）在木杆左边继续加挂重物，并重复以上操作和记录.根据记录你能发现什么规律？ 如图1，在木杆右端挂一重物，支点左边挂个重物，并使左右平衡.设木杆长为，支点在木杆中点处，支点与木杆左边挂重物处的距离为，把作为已知数，列出关于的一元一次方程. 探究： 由实验可得如下规律：木杆平衡时， 如图1， ∵左边挂 个重物，支点与木杆左边挂重物处的距离为, 右边挂 个重物，支点与木杆右边挂重物处的距离为 ∴据实验发现的规律可列如下的一元一次方程为 （2） 实例运用 例3．小明在数学活动课上学习了木杆挂重物问题，觉得意犹未尽，在课余时间制作了如图简易杆秤，其中秤盘质量，秤砣质量，秤纽与秤盘的水平距离为 ，秤纽与零刻线的水平距离为，零刻线与末刻线水平距离为．当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡；当秤盘放入质量为的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡． (1)求l，a的值； (2)小明将数学教材放在秤盘上，秤砣位于零刻线右侧处时，杆秤平衡，求数学教材的质量． 三、达标检测 1.综合与实践 生活中的阶梯计价问题 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市2024年居民用水采用“阶梯收费”． 素材2 第一阶梯（月用水量≤14吨）：水费为2.3元/吨，其中自来水为1.4元/吨，污水处理费为0.9元/吨．第二阶梯（14吨<月用水量≤21吨）：超出水费为3元/吨，其中自来水为2.1元/吨，污水处理费为0.9元/吨．第三阶梯（月用水量>21吨）：超出水费为5.1元/吨，其中自来水为4.2元/吨，污水处理费为0.9元/吨． 素材3 如某用户2024年8月份用水15吨，则各种费用如下： 自来水费 （元） 污水处理费 （元） 应缴水费 （元） 问题解决 任务1 确定污水处理费 已知某用户2024年12月份所缴水费中，自来水费为32.2元，求该用户12月份需缴污水处理费多少元？ 任务2 确定水费 某用户2024年11月用水吨，则应缴水费多少元？ 任务3 确定用水量 如果该用户2024年9、10月份共用水42吨（10月份用水量超过9月份用水量），共缴水费112.7元，则该用户9、10月份各用水多少吨？ 2.某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 a 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元； (1)表中a的值为______；若用电420度，则应缴电费______元； (2)若11月份老李家交电费183元，求老李家11月份的用电量． 3.生活与实践：随着出行方式的多样化，某市三类打车方式的收费标准如下表： 出租车 滴滴快车 T3出行 a千米以内：10元 路程：1.2元/千米 路程：1.6元/千米 超过a千米的部分；2.4元/千米 时间：0.6元/分钟 时间：0.4元/分钟 已知打车的平均车速均为40千米/小时，如：乘坐6千米，耗时分钟，出租车的收费为：（元）；滴滴快车的收费为：（元）；出行的收费为：（元）．在平均车速的前提下解答下列问题： (1)如果乘车从甲地到乙地，①全程10千米．使用滴滴快车，需要支付的打车费用是_____元； ②全程m千米．使用T3出行，需要支付的打车费用是_____元； (2)若坐出租车去8千米外的某地，滴滴快车出行比出租车出行少5.2元，求a的值． (3)在（2）的前提下，某天张老师需去千米外的某地办事，在三种方式中，应选择何种方式更划算？请说明理由． 4．综合与实践 某校七年级数学课外活动小组在一次课外活动时进行了以下实验探究： 活动目的 探究木杆挂重物问题 实验器材 一根质地均匀的木杆，一些等重的小物体． 实验步骤 第一步，在木杆中间处拴绳，将木杆吊起并使其左右平衡，吊绳处为木杆的支点； 第二步，在木杆两端各悬挂一重物，使木杆继续保持平衡； 第三步，在木杆左端小物体下加挂一重物，然后把这两个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离； 第四步，在木杆左端两小物体下再加挂一重物，然后把这三个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离； 第五步，在木杆左端继续挂重物，重复上面的实验． 实验记录 该数学课外活动小组经过反复实验，记录每一次数据如下表： 实验 次数 支点左边 支点右边 物重（单位：） 挂重物处到支点的距离（单位：cm） 物重（单位：） 挂重物处到支点的距离（单位：cm） 1 5 30 5 30 2 15 15 5 3 10 10 5 ··· 实验发现 （1）根据以上记录写出你发现的规律． 解决问题 利用你发现的规律解答下面问题： （2）在一个质地均匀且平衡的木杆支点的左边处挂的重物，若使木杆继续保持平衡，则应在木杆支点右边处挂_____g的重物； （3）如图，将一根1m的质地均匀的木杆中点处用细绳拴住（支点），此时木杆左右两边平衡．在木杆的最右端挂上的重物，在支点的左边挂上30g的重物，求支点左边挂重物处到支点的距离． - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $