6.1.1立体图形与平面图形 导学案 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦立体图形与平面图形，涵盖概念、三视图及展开图等核心知识点。通过特色民居、冬奥会标志等生活情境导入，联系小学学过的点、线段等图形，搭建从实物到抽象几何图形的学习支架。 注重情境观察与动手操作，如剪开粉笔盒探究展开图，培养直观想象。问题设计层层递进，实例与变式训练结合生活实际，提升数学抽象和应用意识，达标检测覆盖全面，助力学生空间观念形成。

姓名: 学科: 日期: 第6章 几何图形初步 6.1.1立体图形与平面图形 导学案（学生版） （ 制作：许 鸥 课时：2课时 日期：2026年9月8日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1. 经历情景观察，认识与理解几何学与几何图形，立体图形与平面图形的概念.（直观想象、数学抽象·重点） 2. 经历实物观察，认识与理解从不同方向看立体图形得到的平面图形，并能运用其解决相关的实际问题.（直观想象•重点） 3. 经历实物观察与手工操作，理解与掌握立体图形的展开图（特别是正方体的展开图），并能运用其解决相关的实际问题.（直观想象•重难点） 【学习过程】 1、 几何学与几何图形 （1） 情境导入 从古朴的特色民居到宏伟的城市建筑，从街头巷尾的交通标志到四通八达的立交桥，从古老的剪纸艺术到现代的城市雕塑，从自然界形态各异的生物到北京2022年冬奥会标志（图6.1-1）……，图形世界多姿多彩！ （2） 几何学 各种各样的物体除了具有颜色、质量、材质等性质，还具有 （如方的、圆的等）、 （如长度、面积、体积等）和 （如相交、垂直、平行等），物体的形状、大小和位置关系是几何中研究的内容. 几何就是一门研究图形的 、 和 的学科. （3） 几何图形的概念 我们在小学学习过的点、线段、三角形、四边形、圆、长方体、圆柱、圆锥、球等，都是从形形色色的物体 得出的，它们都是几何图形（geometric figure)，几何图形是数学研究的主要对象之一. 2、 立体图形与平面图形 （1） 立体图形 1. 问题探究 请大家仔细观察下列生活中的物体以及由它们抽象出来的几何图形，它们都有什么共同的特征？ 探究：由观察可知，这些几何图形的各个部分 同一平面内. 2. 立体图形的概念 有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分 同一平面内，它们是立体图形. 棱柱、棱锥也是常见的立体图形.图6.1-2中的包装盒、储物盒等都给我们以 的形象，金字塔则给我们以 的形象. 3. 思考 图6.1-3中实物的形状对应哪些立体图形？把相应的实物与图形用线连起来.并思考立体图形有哪些类型？ 探究：连线如上图所示. 4. 立体图形的分类 由上面思考可得如下结论：数学中常见的立体图形分为 、 与 . （2） 平面图形 1.问题探究 请大家仔细观察下列几何图形，它们都有什么共同的特征？ 探究：这些几何图形的各个部分 同一平面内. 2. 平面图形的概念 有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分 同一平面内，它们是平面图形. 3. 思考 图6.1-4的各图中包含哪些简单平面图形？请再举出一些平面图形的例子. 探究： 图中包含的平面图形有 等简单平面图形. （3） 立体图形与平面图形的区别与联系 类型 平面图形 立体图形 区别 各部分 同一平面内 各部分 同一平面内 联系 ①立体图形中的某些部分是 ，例如，长方体的侧面和底面是 图形. ②它们都是 . （四）实例运用 例1．下列几何图形中，属于平面图形的是（    ） A．圆柱 B．四棱锥 C．圆锥 D．圆形 （4） 变式训练 【变式】如图所示几何体中，是圆柱的为（     ） A． B． C． D． 3、 从不同方向看立体图形 （1） 问题探究 如图是一个工件的立体图，你能分别画出从前面、左面、上面看到的平面图形吗？ 探究： 从前面、左面、上面看到的平面图形分别为 （2） 从不同方向看立体图形 由上探究可以发现， 对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究.从不同方向看立体图形，往往会得到不同形状的 ，这些平面图形叫做立体图形的 . 在建筑、工程等设计中，也常常用从不同方向看到的平面图形来表示立体图形. 【注1】当我们从不同方向看立体图形时，在画看到的平面图形时应注意——可见棱画 线段，不可见棱画 线段；突出的尖端用 表示. 【注2】常见立体图形的三视图如下图所示 （3） 实例运用 例2图6.1-7是一个由9个大小相同的正方体组成的立体图形，分别从前面、左面、上面观察这个图形，各能得到什么平面图形？ 解：分别从前面、左面、上面观察这个立体图形，得到的平面图形如下图所示. （4） 变式训练 【变式1】从上面观察如图的物体，看到的形状是（     ） A． B． C． D． 【变式2】桌面上放着三个立体图形，小明从前面看到的是，他观察的三个立体图形可能是（     ） A． B． C． D． 4、 立体图形的展开图 （1） 做一做 动手把一个粉笔盒剪开铺平，看看它的展开后的形状由哪些平面图形组成？ 探究：粉笔盒展开后的图形如下图所示 由图可知，粉笔盒展开后的形状由 、 与 组成. （2） 立体图形的展开图的概念 像上面这样， 有些立体图形是由一些 围成的，将它们的表面适当展开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的 . （3） 问题探究 下面是一些立体图形的展开图，用它们能围成什么样的立体图形？ 探究：由观察可知，这些展开图能围成的立体图形分别为 ， ，三棱柱， 与 ，如下图所示 . （4） 正方体的展开图 你能画出正方体的所有展开图吗？这些展开图能进行分类吗？请动手做一做. 探究：由题意可做如下正方体的展开图 由上图可知，正方体的展开图可分为： 、 、 与 4种类型. （5） 实例运用 例3如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（     ） A．圆锥，正方体，三棱锥，圆柱 B．正方体，圆锥，四棱锥，圆柱 C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱 例4如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字是（     ） A．我 B．中 C．国 D．梦 例5如图是某种几何体表面的展开图． (1)该几何体是：________（填写几何体名称）： (2)根据图中标注的数据，求该几何体的体积和表面积． （6） 变式训练 【变式1】如图是三棱柱的立体图形，下列图形中可以作为三棱柱的展开图的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】下列图形中，不是正方体展开图的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】小明想送给同桌一套迷你文具，他找到了一个长方体纸盒，其表面展开图及尺寸如图（单位：），为了确定能否装下这套文具，需要计算盒子的容积．这个盒子的容积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 5、 达标检测 1．下列图形中，是平面图形的是（   ） A． B． C． D． 2．观察如图所示的立体图形，从上面看到的图形是（     ） A． B． C． D． 3．（三视图）如图是由6个小立方体搭成的，从左面观察这个几何体，看到的是（     ） A． B． C． D． 4．下列不属于一个正方体展开图的是（     ） A． B． C． D． 5．下列图形是正方体的展开图的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．将“弘扬五四精神”六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体的表面上，与“弘”字所在面相对的面上的汉字是（    ） A．扬 B．四 C．精 D．神 7．“有志者，事竟成”出自《后汉书·耿弇传》，这句话的含义是有志向的人，做事终究会成功．如图是正方体的某个展开图，则这个正方体与“成”字所在面相对的面上的字为（     ） A．有 B．志 C．者 D．事 8．七巧板是中国传统数学文化的重要载体，利用七巧板可以拼出许多有趣的图案，如图，用边长为1dm的正方形纸板，制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积是_____dm2． 9．周末，小明同学准备了一份礼物送给自己的好朋友．他设计了一个正方体盒子进行包装，如图，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子． (1)共有___________种弥补方法； (2)任意画出一种成功的设计图（在图中补充），并将这些数字分别填入六个小正方形，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0（直接在图中填上即可）． 10．小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形，于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒． (1)小明总共剪开了________条棱； (2)展开的纸盒如图所示，根据图中数据，如果长方体盒子的长比宽多，求这种长方体纸盒的高． - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓名: 学科: 日期: 第6章 几何图形初步 6.1.1立体图形与平面图形 导学案（教用版） （ 制作：许 鸥 课时：2课时 日期：2026年9月8日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1. 经历情景观察，认识与理解几何学与几何图形，立体图形与平面图形的概念.（直观想象、数学抽象·重点） 2. 经历实物观察，认识与理解从不同方向看立体图形得到的平面图形，并能运用其解决相关的实际问题.（直观想象•重点） 3. 经历实物观察与手工操作，理解与掌握立体图形的展开图（特别是正方体的展开图），并能运用其解决相关的实际问题.（直观想象•重难点） 【学习过程】 1、 几何学与几何图形 （1） 情境导入 从古朴的特色民居到宏伟的城市建筑，从街头巷尾的交通标志到四通八达的立交桥，从古老的剪纸艺术到现代的城市雕塑，从自然界形态各异的生物到北京2022年冬奥会标志（图6.1-1）……，图形世界多姿多彩！ （2） 几何学 各种各样的物体除了具有颜色、质量、材质等性质，还具有形状（如方的、圆的等）、大小（如长度、面积、体积等）和位置关系（如相交、垂直、平行等），物体的形状、大小和位置关系是几何中研究的内容. 几何就是一门研究图形的形状、大小和位置关系的学科. （3） 几何图形的概念 我们在小学学习过的点、线段、三角形、四边形、圆、长方体、圆柱、圆锥、球等，都是从形形色色的物体外形中得出的，它们都是几何图形（geometric figure)，几何图形是数学研究的主要对象之一. 2、 立体图形与平面图形 （1） 立体图形 1. 问题探究 请大家仔细观察下列生活中的物体以及由它们抽象出来的几何图形，它们都有什么共同的特征？ 探究：由观察可知，这些几何图形的各个部分不都在同一平面内. 2. 立体图形的概念 有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形. 棱柱、棱锥也是常见的立体图形.图6.1-2中的包装盒、储物盒等都给我们以棱柱的形象，金字塔则给我们以棱锥的形象. 3. 思考 图6.1-3中实物的形状对应哪些立体图形？把相应的实物与图形用线连起来.并思考立体图形有哪些类型？ 探究：连线如上图所示. 4. 立体图形的分类 由上面思考可得如下结论：数学中常见的立体图形分为柱体、椎体与球. （2） 平面图形 1.问题探究 请大家仔细观察下列几何图形，它们都有什么共同的特征？ 探究：这些几何图形的各个部分都在同一平面内. 2. 平面图形的概念 有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形. 3. 思考 图6.1-4的各图中包含哪些简单平面图形？请再举出一些平面图形的例子. 探究： 图中包含的平面图形有长方形、圆、三角形、正方形、五边形、梯形、线段等简单平面图形. （3） 立体图形与平面图形的区别与联系 类型 平面图形 立体图形 区别 各部分都在同一平面内 各部分不都在同一平面内 联系 ①立体图形中的某些部分是平面图形，例如，长方体的侧面和底面是平面图形. ②它们都是几何图形. （4） 实例运用 例1．下列几何图形中，属于平面图形的是（    ） A．圆柱 B．四棱锥 C．圆锥 D．圆形 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】常见的几何体、平面图形形状的识别 【分析】本题考查了几何图形的分类，根据几何图形的分类结合所给几何图形进行分析判断即可． 【详解】解：圆柱、四棱锥、圆锥都是立体图形；圆形是平面图形； 故选：D． （5） 变式训练 【变式】如图所示几何体中，是圆柱的为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.95 【知识点】常见的几何体 【分析】根据各选项几何体的特征判断即可． 【详解】解：A．圆柱，故A符合题意； B．四棱柱，故B不符合题意； C．圆锥，故C不符合题意； D．四棱锥，故D不符合题意． 3、 从不同方向看立体图形 （1） 问题探究 如图是一个工件的立体图，你能分别画出从前面、左面、上面看到的平面图形吗？ 探究： 从前面、左面、上面看到的平面图形分别为 （2） 从不同方向看立体图形 由上探究可以发现， 对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究.从不同方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形，这些平面图形叫做立体图形的三视图. 在建筑、工程等设计中，也常常用从不同方向看到的平面图形来表示立体图形. 【注1】当我们从不同方向看立体图形时，在画看到的平面图形时应注意——可见棱画实线段，不可见棱画虚线段；突出的尖端用点表示. 【注2】常见立体图形的三视图如下图所示 （3） 实例运用 例2图6.1-7是一个由9个大小相同的正方体组成的立体图形，分别从前面、左面、上面观察这个图形，各能得到什么平面图形？ 解：分别从前面、左面、上面观察这个立体图形，得到的平面图形如下图所示. （4） 变式训练 【变式1】从上面观察如图的物体，看到的形状是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】从不同方向看几何体 【详解】解：从上面看有2行，前边1行3个小正方形，后边1行靠左1个小正方形， 则从上面观察，看到的形状是． 【变式2】桌面上放着三个立体图形，小明从前面看到的是，他观察的三个立体图形可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】从不同方向看几何体 【详解】 解：小明从前面看到的是， 他观察的三个立体图形可能是． 4、 立体图形的展开图 （1） 做一做 动手把一个粉笔盒剪开铺平，看看它的展开后的形状由哪些平面图形组成？ 探究：粉笔盒展开后的图形如下图所示 由图可知，粉笔盒展开后的形状由长方形、正方形与梯形组成. （2） 立体图形的展开图的概念 像上面这样， 有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当展开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图. （3） 问题探究 下面是一些立体图形的展开图，用它们能围成什么样的立体图形？ 探究：由观察可知，这些展开图能围成的立体图形分别为正方体，圆柱，三棱柱，圆锥与长方体，如下图所示 . （4） 正方体的展开图 你能画出正方体的所有展开图吗？这些展开图能进行分类吗？请动手做一做. 探究：由题意可做如下正方体的展开图 由上图可知，正方体的展开图可分为：一四一、二三一、二二二与三三4种类型. （5） 实例运用 例3如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（     ） A．圆锥，正方体，三棱锥，圆柱 B．正方体，圆锥，四棱锥，圆柱 C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】常见的几何体、几何体展开图的认识 【分析】根据展开图的组成特征，再结合常见几何体展开图的判定规则，确定对应的几何体即可． 【详解】解：根据几何体的平面展开图，从左到右，其对应的几何体名称分别为：正方体，圆锥，圆柱，三棱柱． 例4如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字是（     ） A．我 B．中 C．国 D．梦 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】在正方体的表面展开图中，相对的面之间一定相隔一个正方形，由此即可得出结果． 【详解】解：由图形可得，有“的”字一面的相对面上的字是中． 例5如图是某种几何体表面的展开图． (1)该几何体是：________（填写几何体名称）： (2)根据图中标注的数据，求该几何体的体积和表面积． 【答案】(1)长方体 (2)该几何体的体积为，表面积为 【难度】0.85 【知识点】由展开图计算几何体的表面积、几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的体积 【分析】本题主要考查了长方体展开图识别以及长方体体积和表面积的计算． （1）通过展开图的特征，即可判定该几何体是长方体； （2）根据长方体的体积公式和表面积公式计算即可． 【详解】（1）解：通过展开图的特征，可知该几何体是长方体； （2）长方体的长为：， 体积为； 表面积为；   因此，该几何体的体积为，表面积为． （6） 变式训练 【变式1】如图是三棱柱的立体图形，下列图形中可以作为三棱柱的展开图的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】几何体展开图的认识 【详解】 解：可以作为三棱柱的展开图的是． 【变式2】下列图形中，不是正方体展开图的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】根据正方体展开图的种特征进行判断，主要类型包括“”型、“”型、“”型、“”型，出现“田”字格或“凹”字型的不是正方体展开图，据此判断即可求解． 【详解】解：∵ 正方体展开图共有种，选项属于“”型，能折叠成正方体；选项中，中间个正方形连成一行，另外个正方形在同一侧，折叠后有两个面重合，不能折叠成正方体；选项属于“”型，能折叠成正方体；选项属于“”型，能折叠成正方体， ∴ 不是正方体展开图的是选项． 【变式3】小明想送给同桌一套迷你文具，他找到了一个长方体纸盒，其表面展开图及尺寸如图（单位：），为了确定能否装下这套文具，需要计算盒子的容积．这个盒子的容积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由展开图计算几何体的体积 【详解】解：， ∴这个盒子的容积为． 5、 达标检测 1．下列图形中，是平面图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】平面图形形状的识别 【分析】本题考查了平面图形的定义 ，立体图形的定义，理解平面图形和立体图形的定义是解题的关键．根据平面图形的定义回答即可． 【详解】解：选项A是长方形，长方形是平面图形； 选项B是球体，球是立体图形； 选项C是长方体，长方体是立体图形； 选项D是三棱柱，三棱柱是立体图形； 故选：A． 2．观察如图所示的立体图形，从上面看到的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】从不同方向看几何体 【详解】解：从上面看到的图形如图所示： 3．（三视图）如图是由6个小立方体搭成的，从左面观察这个几何体，看到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】根据从左面看：共有2列，从左往右分别有2，1个小正方形，据此可画出图形． 【详解】 解：从左面观察这个几何体，看到的是： 4．下列不属于一个正方体展开图的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】利用正方体展开图的“”、“”、“”等常见类型及“一线不过四，田凹应弃之”的口诀进行判断． 【详解】解： A、属于“”型，能折叠成正方体 ． B、属于“”型，能折叠成正方体 ． C、属于“”型，能折叠成正方体． D、属于“凹”字型结构，折叠后会有两个面重合，不能围成正方体． 5．下列图形是正方体的展开图的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】根据平面图形的折叠及正方体的展开图解题． 【详解】解：一、二、三、四图能折叠成正方体，共4个． 6．将“弘扬五四精神”六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体的表面上，与“弘”字所在面相对的面上的汉字是（    ） A．扬 B．四 C．精 D．神 【答案】C 【难度】0.88 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】根据正方体相对面之间间隔一个正方形解答． 【详解】解：由题意得，与“弘”字所在面相对面上的汉字是“精”． 7．“有志者，事竟成”出自《后汉书·耿弇传》，这句话的含义是有志向的人，做事终究会成功．如图是正方体的某个展开图，则这个正方体与“成”字所在面相对的面上的字为（     ） A．有 B．志 C．者 D．事 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正方体相对两面上的字、含图案的正方体的展开图 【分析】利用正方体展开图的特点，相对的面之间一定相隔一个正方形，或者通过“Z”字形两端判断相对面． 【详解】解：“者”与“竟”相对，“有”与“事”相对，“志”与“成”相对． 8．七巧板是中国传统数学文化的重要载体，利用七巧板可以拼出许多有趣的图案，如图，用边长为1dm的正方形纸板，制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积是_____dm2． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】阴影部分的面积等于边长为1的正方形面积减去一个直角边的长为1的等腰直角三角形的面积，再减去一个直角边的长为的等腰直角三角形的面积，据此列式求解即可 【详解】解：， ∴阴影部分的面积为． 9．周末，小明同学准备了一份礼物送给自己的好朋友．他设计了一个正方体盒子进行包装，如图，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子． (1)共有___________种弥补方法； (2)任意画出一种成功的设计图（在图中补充），并将这些数字分别填入六个小正方形，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0（直接在图中填上即可）． 【答案】(1)4 (2) 解：如图所示，答案不唯一． 【难度】0.65 【知识点】正方体相对两面上的字、补一个面使图形围成正方体 【分析】本题考查了正方体展开图，知道正方体展开图的形状是关键； （1）根据正方体展开图即可求解； （2）根据（1）中4种正方体展开图任选一个完成即可． 【详解】（1）解：根据正方体展开图特点知，中间三连方，两侧各一、二个，有三种；两排各三个，有一种，共4种． 故答案为：4； （2）略 10．小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形，于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒． (1)小明总共剪开了________条棱； (2)展开的纸盒如图所示，根据图中数据，如果长方体盒子的长比宽多，求这种长方体纸盒的高． 【答案】(1)7； (2)长方体纸盒高为． 【难度】0.65 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的体积 【分析】本题考查长方体的展开图、一元一次方程的应用，熟练掌握长方体的表面展开图的特征，根据已知条件列出方程是解题的关键． （1）根据长方体的表面展开图的特征进行解答即可； （2）设纸盒的高为，则宽为，长为，根据体积的公式列出方程，解答即可． 【详解】（1）解：长方体共有12条棱，展开图中还有5条棱未剪开， 则小明总共剪开了条棱， 故答案为：7； （2）解：设纸盒的高为，则宽为，长为，由题意得： 解得： 答：长方体纸盒高为． - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $