1.4线段垂直平分线与角平分线（二） 提优特训A·B卷 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 该练习通过A·B卷分层设计，以角平分线性质与判定为核心，构建从基础概念到综合应用的巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A卷基础过关|角平分线概念、性质/判定定理、尺规作图|选择/填空聚焦单一知识点应用，如垂线段长度计算；解答题强化符号语言规范，如证明垂线段相等| |B卷强化提优|内心性质、辅助线模型、跨知识点综合|选择/填空涉及多条件推理，如结合三角形面积与内心；解答题融入实际情境，如选址问题，提升创新意识与应用能力|

数学臻选·2026-2027学年苏科版八年级数学上 《第一章三角形第四节线段垂直平分线与角平分线（二）》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.理解角平分线、三角形角平分线概念，区分角平分线是射线，三角形角平分线是线段；掌握角的轴对称性，抽象概括角平分线性质、判定定理，规范书写几何符号语言。 2.能用全等三角形证明角平分线性质与判定；能在复杂图形中识别条件，完成几何推理证明；区分性质与判定的因果逻辑，提升演绎推理能力。 3.运用角平分线定理求线段长度、三角形面积，利用 “ 角平分线上的点到两边距离相等 ” 进行等线段代换，完成几何计算。 4.掌握尺规作角平分线；能解决生活中选址（到角两边距离相等）实际问题；体会轴对称思想，掌握 “ 遇角平分线，向两边作垂线 ” 的辅助线模型，养成严谨书写证明步骤的习惯。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，会用定理证明垂线段相等。 2.角平分线判定定理（逆定理）：角内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 3.尺规作一个角的平分线的方法与原理。 4.三角形三条角平分线交于一点（内心），内心到三角形三边距离相等。 5.角平分线基础模型：过角平分线上一点向角两边作垂线段。 （二）难点 1.区分性质定理、判定定理的条件与结论，避免因果颠倒；理解 “ 距离 ” 特指垂线段的长度。 2.辅助线构造：题目给出角平分线，主动向角两边作垂线，创造相等线段。 3.综合题型：结合三角形面积、周长，利用内心性质进行推理计算。 4.区分内心（角平分线交点，到三边等距）和外心（垂直平分线交点，到三顶点等距），避免混淆。 )三．知识清单 ( （一）角平分线的相关概念 【探究】 ： 在纸上任意画一个角，不利用工具,请你将这个角分成两个相等的角,你有什么办法? 再打开纸片,看看折痕与这个角有何关系?角是轴对称图形吗? 【解析】 对折 。角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 定义： 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线 。 例如，若OC是 ∠ AOB的角平分线，则 ∠ AOC = ∠ BOC = ∠ AOB。 ) ( 2.理解： （1） 两层含义 ① 判定：射线把角分成两个相等 角 → 射线是角平分线； ② 性质：射线是角平分线 → 分出的两个角大小相等。 （2） 轴对称理解 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴。沿角平分线对折，角两边能够完全重合，这也是角平分线性质定理的几何基础。 （二） 角平分线性质定理 在 ∠ AOB的平分线OC上任取一点P，作PD ⊥ OA，PE ⊥ OB，垂足分别为D、E ，测量PD和PE的长度，发现PD = PE。 已知 ： 如图，OC平分 ∠ AOB，点P是OC上的任意一点，PD ⊥ OA，PE ⊥ OB，垂足分别为D,E. 求证：PD=PE. 证明： ∵ OP平分 ∠ AOB， ∴ ∠ AOP= ∠ BOP ∵ PD ⊥ AO,PE ⊥ OB ∴∠ PDO= ∠ PEO=90 ° 在 △ PDO和 △ PEO中 ∴△ PDO ≌△ PEO（AAS） ∴ PD=PE 也可以用图形运动来证实：把 △ POC沿OP翻折，由翻折得 ∠ POA= ∠ POB. ∵ PD ⊥ AO,PE ⊥ OB，依据基本事实 “ 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ” 可知PD与PE重合， ∴ PD=PE 1. 定理内容 ： 角平分线上的点，到这个角两边的距离相等。 2. 符号语 言 ： ∵ OC平分 ∠ AOB，PD ⊥ OA ，PE ⊥ OB ∴ PD=PE 3. 理解： （1） 点：必须是在角平分线上的点。 （2） 距离：专指垂线段的长度，不是任意连接的斜线段。两个垂直条件缺一不可！只有垂直，才叫 “ 点到直线的距离 ” 。 （3） 定理作用：直接证明两条垂线段相等，可以省去全等的证明步骤，简化几何书写。 （三） 角平分线判定定理（逆定理） 如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点是否在角的平分线上？ 已知： QD ⊥ OA，QE ⊥ OB，垂足分别为D、E，且QD = QE。 求证：点Q在 ∠ AOB的平分线上。 ) ( 证明：连接OQ，在Rt △ QDO和Rt △ QEO中，OQ= OQ，QD = QE ， ∴ Rt △ QDO ≌ Rt △ QEO（HL）， ∴∠ AOQ = ∠ BOQ，即点Q在 ∠ AOB的平分线上。 1. 定理 ： 在角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 2， 符号语言： ∵ OC平分 ∠ AOB，PD ⊥ OA ，PE ⊥ OB ∴ PD=PE 3. 理解： （1） 点在角的内部 ， 这个条件不能省略。 如果点在角外部，也可以满足到角两边（或两边延长线）垂线段相等，但不在这个角的角平分线上。 （2） 距离=垂线段的长度 PC、PD必须垂直于角的两条边，不是任意连接的斜线段。只有垂线段相等，才能推出点在角平分线上。 （3） 它告诉我们判定角平分线的一种方法： 不用测量角，只要看角内某点到两边垂线段是否相等，就能判断该点是否在角平分线上。 4. 用途 ： （1） 证明两个角相等； （2） 证明一条射线是角的平分线； （3） 几何作图、实际选址：找角内部到角两边距离相等的点（如到两条公路距离相等的加油站）； （四） 角平分线的性质定理 与角平分线的判定定理的比较 （五） 尺规作已知角的平分线 已知 ∠ AOB，作角平分线： 作 法： （1） 以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于 A ，交OB于 B ； ) ( （2） 分别以 A 、 B 为圆心，大于 AB 的长为半径，在角内部画弧，两弧交于点 C ； （3） 画射线OP，射线O C 即为 ∠ AOB的角平分线。 因为构造出的两个三角形三边分别相等，根据全等三角形的判定定理（SSS）可知这两个三角形全等，全等三角形对应角相等，所以这条射线就是角平分线。 （六） 三角形角平分线交点 —— 内心 1.定义： 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线 （也叫三角形的内角平分线）。三角形有三条角平分线。 2. 三角形内心 ： 三角形三条内角平分线交于同一点，这个交点称为三角形内心。 3. 性质： 内心到三角形三条边的距离相等。 如图， △ ABC的角平分线BM、CN相交于点P.那么点P到三边AB、BC、CA的距离相等.即 PD=PE=PF 。 （七）经典解题模型 1.利用角平分线定义求角度 解题思路：结合三角形内角和、对顶角、邻补角等知识，通过角平分线得到的等量关系建立等式求解。 技巧：设未知角为x，用含x的式子表示相关角，根据角度关系列方程。 例：在 △ ABC中， ∠ B=50 ° ， ∠ C=70 ° ，AD平分 ∠ BAC，则 ∠ BAD=？ 解：由三角形内角和得 ∠ BAC=60 ° ，因AD平分 ∠ BAC，故 ∠ BAD= ∠ BAC ÷ 2=30 ° 。 2.角平分线性质定理的应用 解题思路：遇角平分线，过线上点向角的两边作垂线，构造相等线段（距离），为全等或等量代换铺垫。 核心模型：角平分线+双垂直（过角平分线上一点作两边垂线，得垂线段相等） 。 例：四边形ABCD中，AD平分 ∠ BAC，DE ⊥ AB于E，DF ⊥ AC于F，求证：DE=DF。 证明：直接应用角平分线性质定理，因AD是角平分线，DE、DF分别垂直两边，故DE=DF。 3.角平分线逆定理的应用 解题思路：先证明某点到角两边的距离相等，再依据逆定理判定该点在角的平分线上，常用于证明 “ 三线共点 ” 或角平分线。 关键步骤：1. 过点作两边的垂线；2. 证明两条垂线段相等；3. 得出点在角平分线上 。 例： △ ABC中，BD ⊥ AC，CE ⊥ AB，BD=CE，求证：点A在 ∠ BOC的平分线上。 证明：过A作AF ⊥ OB、AG ⊥ OC，证明AF=AG，由逆定理得A在 ∠ BOC的平分线上。 4.三角形角平分线的综合应用 解题思路：聚焦 “ 内心 ” 性质（到三边距离相等），结合全等三角形、等腰三角形等知识解题。 常见辅助线：过内心作三边的垂线，构造相等的垂线段 。 例： △ ABC的角平分线BD、CE交于点O，求证：O到AB、BC、AC的距离相等。 证明：过O作OM ⊥ AB、ON ⊥ BC、OP ⊥ AC，由BD平分 ∠ ABC得OM=ON，由CE平分 ∠ ACB得ON=OP，故OM=ON=OP。 ) ( （八）}核心辅助线模型与技巧 1.双垂直模型： 角平分线+一垂直 → 作另一垂直，得全等三角形。例：AD平分 ∠ BAC，DE ⊥ AB，则作DF ⊥ AC，得 △ ADE ≌△ ADF 。 2.延长垂线模型： 角平分线+内垂直 → 延长垂线构造等腰三角形。例：AD平分 ∠ BAC，BE ⊥ AD延长线于E，延长BE交AC于H，得 △ ABE ≌△ AHE，BE=EH 。 3.截长补短模型： 角平分线+无垂直 → 在角的两边截取相等线段，构造全等。例：AD平分 ∠ BAC，在AB上截取AE=AC，得 △ ADE ≌△ ADC 。 4.平行构造模型： 角平分线+平行线 → 构造等腰三角形。例：AD平分 ∠ BAC，过D作DE ∥ AB，得 △ ADE是等腰三角形 。 )A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点 Q 是射线OM上的一个动点，若PA=4，则 PQ的长不可能是 ( ) A.3.5 B.4 C.4.5 D.5 【答案】 A 【解析】∵OP 平分∠MON,PA⊥ON,∴点P到OM 的距离等于 PA,即点 P 到OM 的距离为4,∴PQ≥4.故选 A. 2.如图在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是∠BAC的平分线,已知DC=2,则BD=( 　) A.3.5　　　　B.4　　　　C.4.5　　　　D.5 【答案】B　 【解析】过D点作DE⊥AB于E,如图,∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC, ∴DE=DC=2.在Rt△BDE中,∵∠B=30°,∴BD=2DE=4.故选B. 3.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB,垂足为点E.若△ACD的面积为16,AC=8,则DE的长为(　　) A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.6 【答案】C　 【解析】如图,过点D作DF⊥AC,垂足为F,∵△ACD的面积为16,AC=8,∴AC·DF=16,∴DF=4,∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF=4,故选C. 4.如图,点P是△ABC内部的一点,点P到三边AB,AC,BC的距离相等,即PD=PE=PF,若∠BPC=130°,则∠BAC的度数为　(　　) A.65°　　　　B.80°　　　　C.100°　　　　D.70° 【答案】B　 【解析】由题意可知,BP、CP是∠ABC、∠ACB的平分线,∴∠ABC=2∠PBC,∠ACB=2∠PCB, ∵∠BPC=130°,∴∠PBC+∠PCB=50°,∴∠ABC+∠ACB=2∠PBC+2∠PCB=2(∠PBC+∠PCB)=100°,∴∠BAC=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-100°=80°.故选B. 5．△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A＝40°，则∠BOC＝（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° 【答案】A 【解析】∵O到三角形三边距离相等，∴O是内心，即三条角平分线交点，AO，BO，CO都是角平分线，∴∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝∠ACB，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，∴∠OBC+∠OCB＝70°，∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°．故选：A． 6.如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝9，AC＝6，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，则S△ABD：S△ACD＝（　　） A．4：3 B．9：8 C．9：6 D．3：2 【答案】A 【解析】∵AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∵AB＝8，BC＝9，AC＝6，∴S△ABD：S△ACD＝＝AB：AC＝8：6＝4：3．故选：A． 7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧交AB于M、AC于N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于D，下列四个结论：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的中垂线上；④S△ACD：S△ACB＝1：3．其中正确的有（　　） A．只有①②③ B．只有①②④ C．只有①③④ D．①②③④ 【答案】D 【解析】根据作图方法可得AD是∠BAC的平分线，故①正确；∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAC＝∠DAB＝30°，∴∠ADC＝60°，故②正确；∵∠B＝30°，∠DAB＝30°，∴AD＝DB，∴点D在AB的中垂线上，故③正确；∵∠CAD＝30°，∴CD＝AD，∵AD＝DB，∴CD＝DB，∴CD＝CB，S△ACD＝CD•AC，S△ACB＝CB•AC，∴S△ACD：S△ACB＝1：3，故④正确，故选：D． 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC．若CD＝3，则AD等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】∵∠C＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD＝∠A＝30°，∴BD＝AD，∵∠C＝90°，∠DBC＝30°，∴BD＝2CD＝6，∴AD＝BD＝6．故选：D． 9．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABE，DE⊥BC，如果BC＝10cm，则△DEC的周长是（　　） A．8cm B．10cm C．11cm D．12cm 【答案】B 【解析】∵BD平分∠ABE，DE⊥BC，DA⊥AB∴AD＝DE又∵BD＝BD∴Rt△BAD≌Rt△BED（HL） ∴AB＝BE又∵AB＝AC∴BE＝ACBC＝BE+EC＝AC+EC＝AD+DC+EC＝DE+DC+EC＝10cm∴△DEC的周长是10cm，故选：B． 10.如图，D为△ABC两个内角平分线的交点，若∠A＝90°，AB＝12 cm，AC＝5 cm，BC＝13 cm，则点D到BC边的距离为(　　) A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm 【答案】A 【解析】如图，过点D分别作DG⊥AB于点G，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，连结AD， 因为点D为∠ABC和∠ACB平分线的交点，DG⊥AB，DE⊥BC，DF⊥AC，所以DG＝DE＝DF， 所以S△ABC＝S△ADB＋S△BDC＋S△ADC，所以AB·AC＝AB·DG＋BC·DE＋AC·DF，所以×5×12＝×12DE＋×13DE＋×5DE，解得DE＝2，所以点D到BC边的距离为2 cm. 二．填空题（共30分） 11．如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，则DF的长度是=_________. 【答案】6 【解析】∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF=6，故选：D． 12.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=_______. 【答案】35° 【解析】作MN⊥AD于N，∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°，∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN=MC，∵M是BC的中点，∴MC=MB，∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，∴∠MAB=∠DAB=35°． 13.如图，∠1＝∠2，∠C＝90°，若DC＝6，AC＝8，则D到AB的距离DE＝　　　　. 【答案】6 【解析】因为∠1＝∠2，所以AD是∠BAC的平分线，因为∠C＝90°，DE⊥AB，DC＝6，所以DE＝DC＝6. 14.如图，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA．若OD＝3，AB＝10，则△AOB的面积是 　  　． 【答案】15 【解析】过O作OE⊥AB于点E，∵BO平分∠ABD，OD⊥BC于点D，∴OD＝OE＝5，∴△AOB的面积=AB•OE=×10×3=15，故答案为：15． 15．如图，在△ABC中，点D为AB延长线上一点，点E为AC中点，过C作CF∥AB交射线DE于F，若BD＝1，CF＝5，则AB的长度为　　． 【答案】4． 【解析】解：∵CF∥AB，∴∠ADE＝∠F，∠FCE＝∠A．∵点E为AC的中点，∴AE＝EC．∵在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS）．∴AD＝CF＝5，∵BD＝1，∴AB＝AD﹣BD＝5﹣1＝4．故答案为：4． 16．△ABC的周长为6，∠A和∠B的平分线相交于点P，若点P到边AB的距离为1，则△ABC的面积为　　． 【答案】3 【解析】如图，过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，∵∠A和∠B的平分线相交于点P，∴PD＝PE＝PF＝1，∵△ABC的周长为6，∴△ABC的面积＝AB•PD+BC•PE+AC•PF＝PD（AB+BC+AC）＝×1×6＝3．故答案为：3． 17．小林在没有量角器和圆规的情况下，利用刻度尺和一副三角板画出了一个角的平分线，他的作法是这样的：如图，（1）利用刻度尺在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON； （2）利用两个三角板，分别过点M，N画OM，ON的垂线，交点为P；（3）画射线OP． 则射线OP为∠AOB的平分线．请写出小林的画法的依据___________． 【答案】斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线 【解析】有画法得OM=ON，∠OMP=∠ONP=90°，则可判定Rt△OPM≌Rt△OPN，所以∠POM=∠PON，即射线OP为∠AOB的平分线． 18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积为 　12　． 【答案】12 【解析】如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，CD＝3，AB＝8，∴DE＝CD＝3，∴△ABD的面积＝AB•DE＝8×3＝12．故答案为：12． 19.如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是________． 【答案】42 【解析】过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，∴OE=OD，OD=OF，即OE=OF=OD=4，∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC=×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD=×4×（AB+AC+BC）=×4×21=42，故答案为：42． 20．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面结论：①△ABE的面积＝△BCE的面积；②AF＝AG；③∠FAG＝2∠ACF；④AD＝2.4．其中正确结论的序号是 　 　． 【答案】①②③ 【解析】∵BE是△ABC的中线，∴AE＝EC，∴△ABE的面积等于△BCE的面积，故①正确；∵∠BAC＝90°，AD是△ABC的高，∴∠AFG+∠ACG＝90°，∠DCG+∠DGC＝90°，∵CF是△ABC的角平分线，∴∠ACG＝∠DCG，∴∠AFG＝∠DGC，又∵∠DGC＝∠AGF，∴∠AFG＝∠AGF，∴AF＝AG故②正确；∴∠FAG+∠DAC＝∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠FAG＝∠ACD，∵∠ACD＝∠ACF+∠DCF＝2∠ACF，∴∠FAG＝2∠ACF，故③正确；∵2S△ABC＝AB•AC＝BC•AD，∴AD=4.8， 故④错误；故答案为：①②③． 三．解答题（共60分） 21．如图，请用尺规作图法，求作的平分线． 解：如图，即为所求； 22．AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于点E，且DE＝3，S△ABC＝20． （1）如图1，若AB＝AC，求AC的长； （2）如图2，若AB＝5，请直接写出AC的长． 解：（1）如图1，作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE＝3，由题意得，×AB×3+×AC×3＝20，解得，AC＝AB＝； （2）如图2，作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE＝3， 由题意得，×5×3+×AC×3＝20，解得，AC＝． 23.如图△ABC中,AD平分∠BAC,DG垂直平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC交AC的延长线于F.(1)求证:BE=CF; (2)如果AB=5,AC=3,求AE、BE的长. 解：(1)证明:连接BD、CD,如图.∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AF,∴DE=DF,∠BED=∠CFD=90°,∵DG垂直平分BC,∴BD=CD.在Rt△BED与Rt△CFD中, ∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL),∴BE=CF. (2)∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠FAD.在△AED和△AFD中, ∴△AED≌△AFD(AAS),∴AE=AF,设BE=x,则CF=x,∵AB=5,AC=3,AE=AB-BE,AF=AC+CF, ∴5-x=3+x,解得x=1,∴BE=1,∴AE=5-1=4. 24．如图，在和中，，连接交于点F，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分． 解：（1）设交于点I，∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，∴的度数是． （2）证明：作于点H，于点J，由（1）得，∴，∵，，∴，∴，∴点A在的平分线上，∴平分． 25．如图，已知△ABC，是△ABC的外角的平分线，是的外角的平分线，，相交于点．求证： (1)点到三边，，所在直线的距离相等； (2)点在的平分线上． 解:（1）证明：作于点，于点，于点，如图所示： ∵是的平分线，是的平分线，，相交于点，∴，，∴，∴点到三边，，所在直线的距离相等． （2）证明：由（1）可知，，又∵，，∴点在的平分线上． 26．如图1，在四边形中，已知，，连接．   (1)求证：平分； (2)点M，N分别是，上的动点，，． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，线段，，之间有什么数量关系，请加以证明． 解：（1）证明：，，是的平分线，平分； （2）①，， ， ，， ，， 解得：，； ②， 理由如下：延长到，使，连接，，，，（），，，，，，， 即，，（），， ，． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1．如图，已知AC平分∠PAQ，D、E、F分别是AP、AC、AQ上的三个动点，下列说法不正确的是（　　） A．DE⊥AP，EF⊥AQ，可推出AD＝AF B．若DE＝EF，可推出AD＝AF C．若∠DEA＝∠FEA，可推出AD＝AF D．若∠ADE＝∠AFE，可推出AD＝AF 【答案】B 【解析】A、∵AC平分∠PAQ，DE⊥AP，EF⊥AQ，∴DE＝EF，∴△ADE≌AFE，∴AD＝AF，正确；B、∵DE＝EF，无法得出△ADE≌AFE，错误；C、∵AC平分∠PAQ，∠DEA＝∠FEA，AE＝AE，∴△ADE≌AFE，∴AD＝AF，正确；D、∵AC平分∠PAQ，∠ADE＝∠AFE，AE＝AE，∴△ADE≌AFE，∴AD＝AF，正确；故选：B． 2．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D．下列结论中正确的有（　　） （1）ED＝EC；（2）OD＝OC；（3）∠ECD＝∠EDC；（4）EO平分∠DEC；（5）OE⊥CD；（6）直线OE是线段CD的垂直平分线． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【解析】∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，∴EC＝ED，故（1）正确；在Rt△OCE和Rt△ODE中，，∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL），∴OD＝OC，∠ECD＝∠EDC，故（2）（3）正确；∴EO平分∠DEC，故（4）正确；∵OC＝OD，OE平分∠AOB，∴OE⊥CD，故（5）正确；直线OE是线段CD的垂直平分线，故（6）正确；综上所述，6个结论都正确． 故选：D． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线，BD＝8，DE为点D到AB的距离，则CD长度为（　　） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AC，DE为点D到AB的距离，∴DE⊥AB， ∵AD是∠BAC的平分线，∴CD＝DE，∵∠B＝30°，∴CD=DE=BD=4，故选：D． 4.如图AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　) A.3 B.4 C.6 D.5 【答案】A 【解析】如图，过点D作DF⊥AC于点F，因为AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， 所以DF＝DE＝2，所以S△ABC＝S△ABD＋S△ADC＝AB·DE＋AC·DF＝×4×2＋AC×2＝7， 解得AC＝3. 5．如图，△ABC的角平分线AD与中线BE交于点O，对于下列结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线；③AE＝CE；④OB＝OE．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【解析】∵△ABC的角平分线AD与中线BE交于点O，∴AO是△ABE的角平分线，AE＝EC，BO不是△ABD的中线，故①③正确，符合题意；②错误，不符合题意；∵AO不是△ABE的中线，∴BO≠EO，故④错误，不符合题意；故选：B． 6．如图，已知点P到△ABC三边的距离相等，DE∥AC，AB＝8.1cm，BC＝6cm，△BDE的周长为（　　）cm． A．12 B．14.1 C．16.2 D．7.05 【答案】B 【解析】∵点P到△ABC三边的距离相等，∴AP平分∠BAC，∴∠DAP＝∠CAP，∵DE∥AC，∴∠DPA＝∠PAC，∴∠DAP＝∠APD，∴AD＝PD，同理PE＝CE，∴△BDE的周长＝BD+DE+BE＝BD+PD+PE+BE＝BD+AD+BE+CE＝AB+BC＝14.1cm，故选：B． 7.要想富,先修路.道路通,百业兴.古往今来,人们一直很重视修建道路.因为只有交通便利,货物才能流通,商业才能发达.如图,三条公路两两相交,现计划在△ABC内部安装一个探照灯,要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等,则探照灯的位置是△ABC　　　　的交点.(　　)  A.三条角平分线　　　B.三条中线 C.三边上高的交点　　D.三边垂直平分线　 【答案】A　 【解析】∵探照灯的位置到这三条公路的距离都相等,∴探照灯的位置是△ABC三条角平分线的交点. 8．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【解析】∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，∴DF＝DE＝4．又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝8，∴28＝×8×4+×AC×4，∴AC＝6．故选：C． 9．甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，其中作图正确的是（　　） 问题：某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，如图所示，先要在道路AB边上建一个休息点M，使它到AC和BC两边的距离相等，在图中确定休息点M的位置． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【解析】∵M点到AC和BC两边的距离相等，∴点M为∠ACB的平分线与AB的交点，∴丙同学的作图正确．故选：C． 10．如图，OP平分∠AOB，PF⊥OA于点F，点D在OB上，DH⊥OP于点H，若OD＝4，OP＝8，PF＝3.5，则DH的长为（　　） A．4.5 B．5 C．7 D． 【答案】D 【解析】作PN⊥OB于N，∵OP平分∠AOB，PF⊥OA，PN⊥OB，∴PF＝PN＝3.5， ∵S△ODP=OP×DH=OD×PN，∴8×DH=4×3.5，解得，DH=，故选：D． 二．填空题（共30分） 11.小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则OC的长度是 　   　． 【答案】3cm 【解析】过P作PN⊥OB于N，由题意得：PM＝PN，∵PM⊥OA，∴PO平分∠AOB，∴∠COP＝∠NOP，∵PC∥OB，∴∠CPO＝∠NOP，∴∠COP＝∠CPO，∴OC＝PC，∵C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，∴PC＝5﹣2＝3（cm），∴OC的长度是3cm．故答案为：3cm． 12.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB,垂足为E.若AC=2,DE=1,则S△ACD=　　.  【答案】1 【解析】过D点作DH⊥AC于H,如图,∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DH⊥AC,∴DE=DH=1,∴S△ACD=×2×1=1. 13．如图，已知△ABC的周长是20，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是________. 【答案】30 【解析】如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OE=OF=OD=3，∵△ABC的周长是20，OD⊥BC于D，且OD=3，∴S△ABC=×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF=×（AB+BC+AC）×3=×20×3=30， 14．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=10，DE=2，AC=6，则AB长是______. 【答案】4 【解析】如图：过D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DE=2， ∴DF=DE=2，∵S△ABC=10，∴AB×DE+AC×DF=10，∴×AB×2+6×2=10，∴AB=4， 15．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE⊥AC于点E．若BC＝8，DE＝3，则△BCD的面积为 　　． 【答案】12 【解析】作DF⊥BC于点F，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，DE＝3，∴DF＝DE＝3，又∵BC＝8，∴△DBC的面积为：BC×DF=8×3=12,故答案为：12． 16．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有______处． 【答案】4 【解析】∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，∴△ABC内角平分线的交点满足条件；如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，∴PE=PF，PF=PD，∴PE=PF=PD，∴点P到△ABC的三边的距离相等，∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；综上，到三条公路的距离相等的点有4个，∴可供选择的地址有4个．故答案为：4． 17．如图，AB∥CD，O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于______． 【答案】4 【解析】过点O作OF⊥AB于F，作OG⊥CD于G，∵O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC，∴OE=OF，OE=OG，∴OE=OF=OG=2，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°， ∴∠EOF+∠EOG=（180°﹣∠BAC）+（180°﹣∠ACD）=180°，∴F、O、G三点共线，∴AB与CD之间的距离=OF+OG=2+2=4．故答案为：4． 18. 如图，已知在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于__________． 【答案】5 【解析】过作于点，是边上高，平分，，，故答案为：5． 19．如图，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝15，DF＝3，AC＝5，则AB的长是 　 　． 【答案】5 【解析】∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DF＝3，∴DE＝DF＝3，∵S△ABC＝15，∴S△ADB+S△ADC＝15，∴×AB×DE+×AC×DF＝15，∴×5×3+AB×3＝15，解得：AB＝5，故答案为：5． 20．如图，已知△ABC中，AB＝8，BC＝10，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥AB，AF⊥BC，垂足分别为点E、F，若DE＝3，则AF＝　 　． 【答案】 【解析】：过D作DH⊥BC于H，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∴DH＝DE＝3，∵BC＝10，∴S△BDC＝BC•DH＝×10×3＝15；∵S△ABC＝S△ABD+S△CBD，∴AF•BC＝AB•DE+15，∴×10AF＝×8×3+15，∴AF＝，故答案为：15，． 三．解答题（共60分） 21.如图，在△ ABC中，∠C=90°. （1）用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点D.(保留作图痕迹，不写作法) （2）若∠ABC=60°，求证:AD=BD. 解:（1）作图如图所示，则BD为所求作的角平分线 （2）证明:在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，∴∠A=30°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBA=∠CBD=30°，∴∠A=∠DBA，∴△DAB是等腰三角形，∴AD=BD. 22.如图,△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于点P,PD⊥BA交BA的延长线于点D,PE⊥AC于点E. (1)求证:BD=CE; (2)若AB=6 cm,AC=12 cm,求AD的长. 解：(1)证明:连接PB,PC,如图,∵PQ垂直平分BC,∴PB=PC,∵AP平分∠DAC,PD⊥AB,PE⊥AC,∴PD=PE.在Rt△BPD和Rt△CPE中,∴Rt△BPD≌Rt△CPE(HL),∴BD=CE. (2)在Rt△ADP和Rt△AEP中,∴Rt△ADP≌Rt△AEP(HL),∴AD=AE,∵BD=CE,∴AD+AB=AC-AE,∴AD+6=12-AD,∴AD=3 cm. 23．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E． （1）若∠BAC=54°，求∠EDA的度数； （2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线． 解：（1）∵∠BAC=54°，AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠BAC=27°，∵DE⊥AB， ∴∠AED=90°，∴∠EDA=90°﹣27°=63°． （2）∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC，∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴AE=AC，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE，即直线AD是线段CE的垂直平分线． 24．如图①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠A＝α． （1）如图①，若∠A＝50°，求∠BOC的度数． （2）如图②，连接OA，求证：OA平分∠BAC． （3）如图③，若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P，求证OC⊥PC． 解：（1）∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝65°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°； （2）证明：过点O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F， ∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，∴OD＝OE，OD＝OF， ∴OE＝OF，∴OA平分∠BAC； （3）证明：∵OC平分∠ACB，OP平分∠ACD，∴∠ACO＝∠ACB，∠ACP＝∠ACD，∴∠OCP＝∠ACO+∠ACP＝∠ACB+∠ACD＝∠BCD＝×180°＝90°，∴OC⊥CP 25．如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC． （1）求证：OC平分∠ACD； （2）求证：OA⊥OC； （3）求证：AB+CD＝AC． 解：（1）证明：过点O作OE⊥AC于E，∵∠ABD＝90゜，OA平分∠BAC，∴OB＝OE， ∵点O为BD的中点，∴OB＝OD，∴OE＝OD，∴OC平分∠ACD； （2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，，∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），∴∠AOB＝∠AOE，同理求出∠COD＝∠COE，∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝×180°＝90°，∴OA⊥OC； （3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB＝AE，同理可得CD＝CE，∵AC＝AE+CE，∴AB+CD＝AC． 26．在△ABC中，AE、BF是角平分线，交于O点． （1）如图1，AD是高，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的度数． （2）如图2，若OE＝OF，AC≠BC，求∠C的度数． （3）如图3，若∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，AB＝10，求S△AOB． 解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝70°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°； ∵∠BAC＝50°，∠C＝70°，∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，∵BF是∠ABC的角平分线，∴∠ABO＝30°，∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°； （2）连接OC，∴AE、BF是角平分线，交于O点，∴OC是∠ACB的角平分线，∴∠OCF＝∠OCE，过O作OM⊥BC，ON⊥AC，则OM＝ON，在Rt△OEM与Rt△OFN中，， ∴Rt△OEM≌Rt△OFN，（HL），∴∠EOM＝∠FON，∴∠MON＝∠EOF＝180°﹣∠ACB，∵AE、BF是角平分线，∴∠AOB＝90°+∠ACB，即90°+∠ACB＝180°﹣∠ACB，∴∠ACB＝60°； （3）连接OC，过O作OD⊥AB于D，OG⊥BC于G，OH⊥AC于H，∵AE、BF是角平分线，交于O点，∴OD＝OG＝OH，∴S△ABC＝×8×6＝×10OD+6×OG+8×OH，∴OD＝2，∴S△AOB＝10×2＝10． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年苏科版八年级数学上 《第一章三角形第四节线段垂直平分线与角平分线（二）》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.理解角平分线、三角形角平分线概念，区分角平分线是射线，三角形角平分线是线段；掌握角的轴对称性，抽象概括角平分线性质、判定定理，规范书写几何符号语言。 2.能用全等三角形证明角平分线性质与判定；能在复杂图形中识别条件，完成几何推理证明；区分性质与判定的因果逻辑，提升演绎推理能力。 3.运用角平分线定理求线段长度、三角形面积，利用 “ 角平分线上的点到两边距离相等 ” 进行等线段代换，完成几何计算。 4.掌握尺规作角平分线；能解决生活中选址（到角两边距离相等）实际问题；体会轴对称思想，掌握 “ 遇角平分线，向两边作垂线 ” 的辅助线模型，养成严谨书写证明步骤的习惯。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，会用定理证明垂线段相等。 2.角平分线判定定理（逆定理）：角内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 3.尺规作一个角的平分线的方法与原理。 4.三角形三条角平分线交于一点（内心），内心到三角形三边距离相等。 5.角平分线基础模型：过角平分线上一点向角两边作垂线段。 （二）难点 1.区分性质定理、判定定理的条件与结论，避免因果颠倒；理解 “ 距离 ” 特指垂线段的长度。 2.辅助线构造：题目给出角平分线，主动向角两边作垂线，创造相等线段。 3.综合题型：结合三角形面积、周长，利用内心性质进行推理计算。 4.区分内心（角平分线交点，到三边等距）和外心（垂直平分线交点，到三顶点等距），避免混淆。 )三．知识清单 ( （一）角平分线的相关概念 【探究】 ： 在纸上任意画一个角，不利用工具,请你将这个角分成两个相等的角,你有什么办法? 再打开纸片,看看折痕与这个角有何关系?角是轴对称图形吗? 定义： 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线 。 例如，若OC是 ∠ AOB的角平分线，则 ∠ AOC = ∠ BOC = ∠ AOB。 ) ( 2.理解： （1） 两层含义 ① 判定：射线把角分成两个相等 角 → 射线是角平分线； ② 性质：射线是角平分线 → 分出的两个角大小相等。 （2） 轴对称理解 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴。沿角平分线对折，角两边能够完全重合，这也是角平分线性质定理的几何基础。 （二） 角平分线性质定理 在 ∠ AOB的平分线OC上任取一点P，作PD ⊥ OA，PE ⊥ OB，垂足分别为D、E ，测量PD和PE的长度，发现PD = PE。 已知 ： 如图，OC平分 ∠ AOB，点P是OC上的任意一点，PD ⊥ OA，PE ⊥ OB，垂足分别为D,E. 求证：PD=PE. 1. 定理内容 ： 角平分线上的点，到这个角两边的距离相等。 2. 符号语 言 ： ∵ OC平分 ∠ AOB，PD ⊥ OA ，PE ⊥ OB ∴ PD=PE 3. 理解： （1） 点：必须是在角平分线上的点。 （2） 距离：专指垂线段的长度，不是任意连接的斜线段。两个垂直条件缺一不可！只有垂直，才叫 “ 点到直线的距离 ” 。 （3） 定理作用：直接证明两条垂线段相等，可以省去全等的证明步骤，简化几何书写。 （三） 角平分线判定定理（逆定理） 如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点是否在角的平分线上？ 已知： QD ⊥ OA，QE ⊥ OB，垂足分别为D、E，且QD = QE。 求证：点Q在 ∠ AOB的平分线上。 ) ( 1. 定理 ： 在角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 2， 符号语言： ∵ OC平分 ∠ AOB，PD ⊥ OA ，PE ⊥ OB ∴ PD=PE 3. 理解： （1） 点在角的内部 ， 这个条件不能省略。 如果点在角外部，也可以满足到角两边（或两边延长线）垂线段相等，但不在这个角的角平分线上。 （2） 距离=垂线段的长度 PC、PD必须垂直于角的两条边，不是任意连接的斜线段。只有垂线段相等，才能推出点在角平分线上。 （3） 它告诉我们判定角平分线的一种方法： 不用测量角，只要看角内某点到两边垂线段是否相等，就能判断该点是否在角平分线上。 4. 用途 ： （1） 证明两个角相等； （2） 证明一条射线是角的平分线； （3） 几何作图、实际选址：找角内部到角两边距离相等的点（如到两条公路距离相等的加油站）； （四） 角平分线的性质定理 与角平分线的判定定理的比较 （五） 尺规作已知角的平分线 已知 ∠ AOB，作角平分线： 作 法： （1） 以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于 A ，交OB于 B ； （2） 分别以 A 、 B 为圆心，大于 AB 的长为半径，在角内部画弧，两弧交于点 C ； ) ( （3） 画射线OP，射线O C 即为 ∠ AOB的角平分线。 因为构造出的两个三角形三边分别相等，根据全等三角形的判定定理（SSS）可知这两个三角形全等，全等三角形对应角相等，所以这条射线就是角平分线。 （六） 三角形角平分线交点 —— 内心 1.定义： 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线 （也叫三角形的内角平分线）。三角形有三条角平分线。 2. 三角形内心 ： 三角形三条内角平分线交于同一点，这个交点称为三角形内心。 3. 性质： 内心到三角形三条边的距离相等。 如图， △ ABC的角平分线BM、CN相交于点P.那么点P到三边AB、BC、CA的距离相等.即 PD=PE=PF 。 （七）经典解题模型 1.利用角平分线定义求角度 解题思路：结合三角形内角和、对顶角、邻补角等知识，通过角平分线得到的等量关系建立等式求解。 技巧：设未知角为x，用含x的式子表示相关角，根据角度关系列方程。 例：在 △ ABC中， ∠ B=50 ° ， ∠ C=70 ° ，AD平分 ∠ BAC，则 ∠ BAD=？ 解：由三角形内角和得 ∠ BAC=60 ° ，因AD平分 ∠ BAC，故 ∠ BAD= ∠ BAC ÷ 2=30 ° 。 2.角平分线性质定理的应用 解题思路：遇角平分线，过线上点向角的两边作垂线，构造相等线段（距离），为全等或等量代换铺垫。 核心模型：角平分线+双垂直（过角平分线上一点作两边垂线，得垂线段相等） 。 例：四边形ABCD中，AD平分 ∠ BAC，DE ⊥ AB于E，DF ⊥ AC于F，求证：DE=DF。 证明：直接应用角平分线性质定理，因AD是角平分线，DE、DF分别垂直两边，故DE=DF。 3.角平分线逆定理的应用 解题思路：先证明某点到角两边的距离相等，再依据逆定理判定该点在角的平分线上，常用于证明 “ 三线共点 ” 或角平分线。 关键步骤：1. 过点作两边的垂线；2. 证明两条垂线段相等；3. 得出点在角平分线上 。 例： △ ABC中，BD ⊥ AC，CE ⊥ AB，BD=CE，求证：点A在 ∠ BOC的平分线上。 证明：过A作AF ⊥ OB、AG ⊥ OC，证明AF=AG，由逆定理得A在 ∠ BOC的平分线上。 4.三角形角平分线的综合应用 解题思路：聚焦 “ 内心 ” 性质（到三边距离相等），结合全等三角形、等腰三角形等知识解题。 常见辅助线：过内心作三边的垂线，构造相等的垂线段 。 例： △ ABC的角平分线BD、CE交于点O，求证：O到AB、BC、AC的距离相等。 证明：过O作OM ⊥ AB、ON ⊥ BC、OP ⊥ AC，由BD平分 ∠ ABC得OM=ON，由CE平分 ∠ ACB得ON=OP，故OM=ON=OP。 ) ( （八）}核心辅助线模型与技巧 1.双垂直模型： 角平分线+一垂直 → 作另一垂直，得全等三角形。例：AD平分 ∠ BAC，DE ⊥ AB，则作DF ⊥ AC，得 △ ADE ≌△ ADF 。 2.延长垂线模型： 角平分线+内垂直 → 延长垂线构造等腰三角形。例：AD平分 ∠ BAC，BE ⊥ AD延长线于E，延长BE交AC于H，得 △ ABE ≌△ AHE，BE=EH 。 3.截长补短模型： 角平分线+无垂直 → 在角的两边截取相等线段，构造全等。例：AD平分 ∠ BAC，在AB上截取AE=AC，得 △ ADE ≌△ ADC 。 4.平行构造模型： 角平分线+平行线 → 构造等腰三角形。例：AD平分 ∠ BAC，过D作DE ∥ AB，得 △ ADE是等腰三角形 。 )A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点 Q 是射线OM上的一个动点，若PA=4，则 PQ的长不可能是 ( ) A.3.5 B.4 C.4.5 D.5 2.如图在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是∠BAC的平分线,已知DC=2,则BD=( 　) A.3.5　　　　B.4　　　　C.4.5　　　　D.5 3.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB,垂足为点E.若△ACD的面积为16,AC=8,则DE的长为(　　) A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.6 4.如图,点P是△ABC内部的一点,点P到三边AB,AC,BC的距离相等,即PD=PE=PF,若∠BPC=130°,则∠BAC的度数为　(　　) A.65°　　　　B.80°　　　　C.100°　　　　D.70° 5．△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A＝40°，则∠BOC＝（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° 6.如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝9，AC＝6，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，则S△ABD：S△ACD＝（　　） A．4：3 B．9：8 C．9：6 D．3：2 7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧交AB于M、AC于N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于D，下列四个结论：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的中垂线上；④S△ACD：S△ACB＝1：3．其中正确的有（　　） A．只有①②③ B．只有①②④ C．只有①③④ D．①②③④ 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC．若CD＝3，则AD等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABE，DE⊥BC，如果BC＝10cm，则△DEC的周长是（　　） A．8cm B．10cm C．11cm D．12cm 10.如图，D为△ABC两个内角平分线的交点，若∠A＝90°，AB＝12 cm，AC＝5 cm，BC＝13 cm，则点D到BC边的距离为(　　) A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm 二．填空题（共30分） 11．如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，则DF的长度是=_________. 12.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=_______. 13.如图，∠1＝∠2，∠C＝90°，若DC＝6，AC＝8，则D到AB的距离DE＝　　　　. 14.如图，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA．若OD＝3，AB＝10，则△AOB的面积是 　  　． 15．如图，在△ABC中，点D为AB延长线上一点，点E为AC中点，过C作CF∥AB交射线DE于F，若BD＝1，CF＝5，则AB的长度为　　． 16．△ABC的周长为6，∠A和∠B的平分线相交于点P，若点P到边AB的距离为1，则△ABC的面积为　　． 17．小林在没有量角器和圆规的情况下，利用刻度尺和一副三角板画出了一个角的平分线，他的作法是这样的：如图，（1）利用刻度尺在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON； （2）利用两个三角板，分别过点M，N画OM，ON的垂线，交点为P；（3）画射线OP． 则射线OP为∠AOB的平分线．请写出小林的画法的依据___________． 18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积为 　12　． 19.如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是________． 20．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面结论：①△ABE的面积＝△BCE的面积；②AF＝AG；③∠FAG＝2∠ACF；④AD＝2.4．其中正确结论的序号是 　 　． 三．解答题（共60分） 21．如图，请用尺规作图法，求作的平分线． 22．AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于点E，且DE＝3，S△ABC＝20． （1）如图1，若AB＝AC，求AC的长； （2）如图2，若AB＝5，请直接写出AC的长． 23.如图△ABC中,AD平分∠BAC,DG垂直平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC交AC的延长线于F.(1)求证:BE=CF; (2)如果AB=5,AC=3,求AE、BE的长. 24．如图，在和中，，连接交于点F，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分． 25．如图，已知△ABC，是△ABC的外角的平分线，是的外角的平分线，，相交于点．求证： (1)点到三边，，所在直线的距离相等； (2)点在的平分线上． 26．如图1，在四边形中，已知，，连接．   (1)求证：平分； (2)点M，N分别是，上的动点，，． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，线段，，之间有什么数量关系，请加以证明． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1．如图，已知AC平分∠PAQ，D、E、F分别是AP、AC、AQ上的三个动点，下列说法不正确的是（　　） A．DE⊥AP，EF⊥AQ，可推出AD＝AF B．若DE＝EF，可推出AD＝AF C．若∠DEA＝∠FEA，可推出AD＝AF D．若∠ADE＝∠AFE，可推出AD＝AF 2．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D．下列结论中正确的有（　　） （1）ED＝EC；（2）OD＝OC；（3）∠ECD＝∠EDC；（4）EO平分∠DEC；（5）OE⊥CD；（6）直线OE是线段CD的垂直平分线． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线，BD＝8，DE为点D到AB的距离，则CD长度为（　　） A．8 B．6 C．5 D．4 4.如图AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　) A.3 B.4 C.6 D.5 5．如图，△ABC的角平分线AD与中线BE交于点O，对于下列结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线；③AE＝CE；④OB＝OE．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 6．如图，已知点P到△ABC三边的距离相等，DE∥AC，AB＝8.1cm，BC＝6cm，△BDE的周长为（　　）cm． A．12 B．14.1 C．16.2 D．7.05 7.要想富,先修路.道路通,百业兴.古往今来,人们一直很重视修建道路.因为只有交通便利,货物才能流通,商业才能发达.如图,三条公路两两相交,现计划在△ABC内部安装一个探照灯,要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等,则探照灯的位置是△ABC　　　　的交点.(　　)  A.三条角平分线　　　B.三条中线 C.三边上高的交点　　D.三边垂直平分线　 8．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 9．甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，其中作图正确的是（　　） 问题：某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，如图所示，先要在道路AB边上建一个休息点M，使它到AC和BC两边的距离相等，在图中确定休息点M的位置． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 10．如图，OP平分∠AOB，PF⊥OA于点F，点D在OB上，DH⊥OP于点H，若OD＝4，OP＝8，PF＝3.5，则DH的长为（　　） A．4.5 B．5 C．7 D． 二．填空题（共30分） 11.小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则OC的长度是 　   　． 12.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB,垂足为E.若AC=2,DE=1,则S△ACD=　　.  13．如图，已知△ABC的周长是20，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是________. 14．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=10，DE=2，AC=6，则AB长是______. 15．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE⊥AC于点E．若BC＝8，DE＝3，则△BCD的面积为 　　． 16．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有______处． 17．如图，AB∥CD，O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于______． 18. 如图，已知在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于__________． 19．如图，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝15，DF＝3，AC＝5，则AB的长是 　 　． 20．如图，已知△ABC中，AB＝8，BC＝10，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥AB，AF⊥BC，垂足分别为点E、F，若DE＝3，则AF＝　 　． 三．解答题（共60分） 21.如图，在△ ABC中，∠C=90°. （1）用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点D.(保留作图痕迹，不写作法) （2）若∠ABC=60°，求证:AD=BD. 22.如图,△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于点P,PD⊥BA交BA的延长线于点D,PE⊥AC于点E. (1)求证:BD=CE; (2)若AB=6 cm,AC=12 cm,求AD的长. 23．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E． （1）若∠BAC=54°，求∠EDA的度数； （2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线． 24．如图①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠A＝α． （1）如图①，若∠A＝50°，求∠BOC的度数． （2）如图②，连接OA，求证：OA平分∠BAC． （3）如图③，若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P，求证OC⊥PC． 25．如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC． （1）求证：OC平分∠ACD； （2）求证：OA⊥OC； （3）求证：AB+CD＝AC． 26．在△ABC中，AE、BF是角平分线，交于O点． （1）如图1，AD是高，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的度数． （2）如图2，若OE＝OF，AC≠BC，求∠C的度数． （3）如图3，若∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，AB＝10，求S△AOB． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $