1.4线段垂直平分线与角平分线同步练习 2026--2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 苏科版八年级上册1.4同步练，新授课使用，以“基础认知-技能应用-综合拓展”分层，覆盖线段垂直平分线与角平分线性质、作图及应用，强化几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|性质判定（角平分线距离相等、垂直平分线到两端距离相等）|选择填空（第1、7题）结合校园场景，考查单一知识点应用| |技能应用|尺规作图（作角平分线、垂直平分线）|作图题（第14题）直接操作，强化动手与空间观念| |综合拓展|性质与全等、面积计算综合|解答题（第17题）结合角平分线性质与全等证明，提升推理能力|

苏科版数学八年级上册1.4线段垂直平分线与角平分线同步练习 一、选择题 1．（2026七下·吉林期中） 某学校内有三条主干道，分别连接教学楼A、实验楼B、图书馆C，形成了一个如图所示的三角形区域，学校计划在这个三角形区域内修建一个校园超市，要求校园超市到三条主干道的距离都相等，那么这个校园超市应建在的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 2．（2026八上·黔南期末）观察图中尺规作图的痕迹，下列说法正确的是（　　） A．作已知线段的垂直平分线 B．作一个角等于已知角 C．经过直线外一点作已知直线的垂线 D．作一个角的平分线 3．（2026八下·光明期中） 如图，在中，为直角，用无刻度的直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到，的距离相等．下列符合要求的作图痕迹是（　　） A． B． C． D． 4．（2025八上·临夏期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（　　） A．角平分线、高线、中线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、中线、高线 D．中线、角平分线、高线 5．（2026八上·临夏期末）王岗社区是由，，三条路围成的小型社区，社区准备修建一个电动车充电点现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在（　　） A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 6．（2024八上·河东期末）如图，在中，平分平分，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．（2026八下·贵阳期中）如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使文化广场到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（　　) A．AC，BC两边高线的交点处 B．AC，BC两边中线的交点处 C．AC，BC两边垂直平分线的交点处 D．∠A，∠B两内角平分线的交点处 8．（2024七下·东平期末）如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②；③；④．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．（2026八上·祁东期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=10，DE=2，AB=4，则AC长是　 　． 10．（2026八上·余杭期末）如图，小杭在数学实践课上用直尺和圆规作图，设∠B=α，∠C=β根据尺规作图痕迹，则可求得∠CAD=　 　(用含α，β的代数式表示) 11．（2026八上·金东期末） 如图， △ABC的外角∠CBG的角平分线与AC边的中垂线交于点E， 过E作 ED⊥BC于点D，则AB、BC、BD三条线段之间的数量关系为　 　． 12．（2025八上·纳雍期末）如图，中，的平分线与的垂直平分线相交于点D，于点F，，，则的长度是　 　． 13．（2025七下·二道期末）如图，在中，平分于点E，点F为的中点，连结．给出下面五个结论：①；②；③；④当点E是线段的中点时，；⑤当时，．上述结论中，正确结论的序号有　 　． 三、作图题 14．（2026八上·防城期末）如图所示，在中，为边上的高． （1）尺规作图：作出的垂直垂直平分线，交于点，于点不写作法，保留作图痕迹 （2）连接，若，，求的度数． 15．（2026·黔南期末）如图，锦簇公园有一块三角形菊花地．为了能更好地赏花，现计划在AB边上找一点D，向AC，BC边各修一条小路，且使得点D到AC，BC边的距离相等.请用直尺和圆规作出点D的位置，要求保留作图痕迹，不写作法. 四、解答题 16．（2020八上·嵩县期末）如图△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，垂足分别是M，N （1）若BC＝10，求△ADE的周长. （2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数. 17．（2025八上·义乌月考）已知：平分，点A，B分别在边上，且． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当时，作于点C．求证： ①； ②请直接写出之间的数量关系为　 　． 18．（2025八上·宝安月考） （1）如图1，四边形ABCD中，若连接CA，则CA平分，某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长CD到点E，使得DE=BC，连接AE，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明.请你参考他们的想法，写出完整的证明过程. （2）借助上一问的尝试，继续探究：如图2所示，在五边形ABCDE中，，连接CA，CA平分吗?请说明理由. 19．（2021八上·丹徒月考）如图，在△ABC中，AB＜AC，边的垂直平分线交的外角的平分线于点，垂足为E，DF⊥AC于点F，于点，连接CD． （1）求证：BG＝CF； （2）若AB＝10cm，AC＝14cm，求AG的长． 20．（2025八上·深圳开学考）项目式学习 项目主题 设计与制作风筝 项目背景 风筝制作在中国具有悠久的历史．以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸鸢”．以下是某小组开展制作风筝项目的实施过程． 驱动任务一 （1）在正方形网格（如图1）中进行风筝骨架的设计：请你以直线l为对称轴画出风筝骨架的另一半． 驱动任务二 （2）用细竹条扎制风筝骨架，竹条与的交点为O（如图2），测得，．下面结论错误的是（　　）（单选题） A．平分 B． C． D． 驱动任务三 （3）将设计与制作的风筝进行试飞，根据试飞结果对风筝（如图2）进一步改良．若．则风筝面积是 ▲ cm2 项目小结 （4）为了编写“简易风筝制作方法”，需对制作过程进行小结，请你写出一条制作过程中用到的数学知识： ▲ 答案解析部分 1．【答案】C 【知识点】角平分线的应用 【解析】【解答】解：要求校园超市到三条主干道的距离都相等，那么这个校园超市应建在的位置是三条角平分线的交点. 故答案为：C . 【分析】根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案. 2．【答案】C 【知识点】尺规作图-垂直平分线 【解析】【解答】解：A、作线段垂直平分线需要以线段两端点为圆心画弧，得到两个交点后再连线。图中是从直线外一点 C 出发，并非平分线段 AB，A错误；B、作一个角等于已知角需要利用角的两边和弧来复制角度，图中没有出现角的元素，B错误； C、图中先在直线 AB 上取两点 D、E，再分别以 D、E 为圆心画弧交于点 F，最后连接 CF，这正是 “过直线外一点作已知直线垂线” 的标准作图步骤， C正确； D、作角平分线需要以角的顶点为圆心画弧，再在角的两边上取点画弧，图中没有角的元素，D错误； 故答案为：C。 【分析】本题中，先在直线 AB 上取两点 D、E，再分别以 D、E 为圆心画弧交于点 F，最后连接 CF。 3．【答案】B 【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线 【解析】【解答】解：要使点P到AB、BC的距离相等，则点P必须在的角平分线上，同时点P在AC边上，因此只需作出的角平分线，与AC的交点即为所求的点P。 对照各选项的作图痕迹，只有B选项是作的角平分线，符合要求。 故答案为：B 【分析】本题考查角平分线的尺规作图与角平分线的性质。解题时首先根据“点到角两边距离相等”的条件，推导出该点位于这个角的平分线上，因此问题转化为作的角平分线，再结合角平分线与AC边的交点确定点P的位置，据此判断各选项的作图痕迹是否符合要求。 4．【答案】A 【知识点】角平分线的判定；三角形的中线；三角形的高 【解析】【解答】解：由图①得在AC上，， ∴是的角平分线； 由图②得在BC上，，AD⊥BC ∴是的高线； 由图③得与B重合，，D是BC的中点 ∴是的中线； ∴综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． 故选：A． 【分析】 本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线、中线的定义，三角形的一个角的平分线把这个角分成两个相等的角；三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高； 在三角形中，连接一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线 。 5．【答案】A 【知识点】角平分线的性质 【解析】【解答】解：∵将充电点建设在到三条路的距离相等的位置， ∴充电点应该建在△ABC三个角的平分线的交点处． 故答案为：A． 【分析】利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）分析求解即可. 6．【答案】A 【知识点】三角形内角和定理；三角形的双内角平分线模型；三角形的角平分线 【解析】【解答】解：在中，． ． 平分，平分． ，． ． 在中，． 故选：A． 【分析】 本题考查了三角形内角和定理与角平分线的定义，核心是角的倍分关系的转化.在中，由∠BFC=130°得；因BF、CF是角平分线，故；再由三角形内角和得∠A=80°. 7．【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质 【解析】【解答】解：如图，作线段AC的垂直平分线和线段BC的垂直平分线，相交于点P， ∴PA=PB=PC ∴满足到 A、B、C 三点距离相等的点，是AC、BC 两边垂直平分线的交点， 故答案为：C. 【分析】本题主要是将实际问题转化为几何模型，核心需求是找到到三角形三个顶点距离相等的点。根据线段垂直平分线的性质，到两点距离相等的点在这两点连线的垂直平分线上，因此到三个顶点距离相等的点，就是任意两条边的垂直平分线的交点。 8．【答案】D 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；角平分线的判定 【解析】【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D，如图所示， ∵PB平分∠ABC，PM⊥BE，PN⊥BF， ∴PM＝PN， ∵PC平分∠FCA，PD⊥AC， ∴CD=CN， ∴PN＝PD， ∴PM＝PN＝PD， ∴AP平分∠EAC，①正确； ②在Rt△PAM和Rt△PAD中， ， ∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL）， ∴∠APM＝∠APD， 同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）， ∴∠CPD＝∠CPN， ∴∠MPN＝2∠APC， ∵PM⊥AB，PN⊥BC， ∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°， ∴∠ABC+∠MPN＝180°， ∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确； ③∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC， ∴∠ACF＝∠ABC+∠BAC＝2∠PCN，∠PCN＝∠ABC+∠BPC， ∴ ∴∠BAC＝2∠BPC，③正确； ④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL） ∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN， ∴S△APM+S△CPN＝S△APC，④正确， 故答案为：D. 【分析】根据角平分线的性质和判定可判断①；根据全等三角形的判定HL可证出Rt△PAM≌Rt△PAD， Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）， 进而得到 ∠MPN＝2∠APC ，再根据四边形的内角和可判断②；根据角平分线的概念和三角形的外角性质可判断③；根据全等三角形的性质可判断④． 9．【答案】6 【知识点】三角形的面积；角平分线的性质 【解析】【解答】解：过D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，、 ∴DE=DF=2， ∴， ∵△ABC的面积为10， ∴△ADC的面积为10-4=6， ∴1AC×DF=6 ∴AC=6 故答案为：6. 【分析】根据角平分线性质求出DF，根据三角形面积公式求出△ABD的面积，求出△ADC面积，即可求出答案. 10．【答案】180°-2α-β 【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质 【解析】【解答】 解：∵由作图知DE垂直平分AB ∴DA=DB ∴∠DAB=∠DBA=α ∵∠ADC=∠B+∠DAB ∴∠ADC=2α ∵∠CAD=180°-∠ADC-∠C ∴∠CAD=180°-2α-β 故答案：180°-2α-β. 【分析】由垂直平分线的性质知∠B=∠DAB，再由外角的性质和三角形内角和定理得∠CAD的度数. 11．【答案】AB +2BD =BC 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；全等三角形中对应边的关系 【解析】【解答】解：过点E作EH⊥AG于点G。连接AE，EC， ∵BE平分∠GBC，ED⊥BC， ∴EG=ED，∠BHE=∠BDE=∠BDC=90°， 又∵EB=EB， ∴Rt△BEH≌Rt△BED， ∴BH=BD， 又∵BF垂直平分AC， ∴AE=CE， ∴Rt△AEH≌Rt△CED， ∴CD=AH， ∴BC=BD+CD=BD+AB+BE=AB+2BD， 故答案为：AB +2BD =BC. 【分析】过点E作EH⊥AG于点G。连接AE，EC，先根据角平分线的性质得到EG=ED，然后根据HL得到Rt△BEH≌Rt△BED，即可得到BH=BD，再根据垂直平分线的性质得到AE=CE，即可证明Rt△AEH≌Rt△CED，进而得到CD=AH，然后根据线段的和差解答即可. 12．【答案】1 【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质 【解析】【解答】解：如图，连接，过点D作交的延长线于点M， 是的平分线， ，， ， ， 在和中， ， （）， ， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， （）， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 【分析】本题考查角平分线的性质、线段垂直平分线的性质及直角三角形全等的判定与性质。首先连接CD，过点D作交AC的延长线于点M，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得；在和中，、，满足HL全等判定条件，可证明两三角形全等，进而得出；又因为DE是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以；同理，在和中，、，可证两三角形全等，得；结合和，且，可推出，代入、，解方程，得。 13．【答案】②③⑤ 【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念；利用三角形的中线求面积 【解析】【解答】解：在中，，平分、 ∴， ∵点D不是中点， ∴，故①错误，不符合题意； ∵是的一个外角， ∴； ∵于点E， ∴， ∴，即，故②正确，符合题意； ∵点F是的中点， ∴， ∴；故③正确，符合题意； ∵于点E，当点E是线段的中点时，则是的垂直平分线， ∴， ∴平分， ∴， ∵平分， ∴ ∴，故④错误，不符合题意∶ 当时， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴．故⑤正确，符合题意， 故答案为∶②③⑤． 【分析】①在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC。依据角平分线仅平分角，只有在等腰三角形中，顶角平分线才同时是底边中线，本题中AB≠AC，因此AD不是BC边上的中线，点D不是BC中点，故BD≠DC，结论①错误；②结论②正确。依据：三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和可直接判定；③结论③正确。依据：三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，或中线分边为相等的两部分，可直接判断；④结论④错误。依据：角平分线的定义（平分角）与三角形内角和定理（三角形内角和为180°），通过计算或推导，可验证结论不成立；结论⑤正确，依据：角的和差关系，或结合三角形内角和、外角性质，通过角的加减运算可判定结论成立. 14．【答案】（1）解：如图，的垂直垂直平分线即为所求； （2）解：，， ， 由（1）可知：垂直平分， ， ， ． 【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线 【解析】【分析】（1）根据垂直平分线定义作图即可求出答案. （2）根据三角形内角和定理可得∠BAC，根据垂直平分线性质可得，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系即可求出答案. （1）如图，的垂直垂直平分线即为所求； （2），， ， 由（1）可知：垂直平分， ， ， ． 15．【答案】解：作图痕迹：作∠ACB的角平分线，与AB的交点即为点D. 【知识点】尺规作图-作角的平分线 【解析】【分析】作∠ACB的角平分线，与AB的交点即为点D. 16．【答案】（1）∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，垂足分别是M、N， ∴AD＝BD，AE＝CE， ∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC＝10. （2）∵∠BAC＝100°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°， ∵AD＝BD，AE＝CE， ∴∠BAD＝∠B，∠CAE＝∠C， ∴∠BAD+∠CAE＝80°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝100°﹣80°＝20°. 【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质 【解析】【分析】（1）由线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，AE=EC，继而可得△ADE的周长等于BC的长； （2）由∠BAC=100°，可求得∠B+∠C的度数，又由AD=BD，AE=EC，即可求得∠BAD+∠CAE的度数，继而求得答案. 17．【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①证明：如图，过点作于点，∵平分，且，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴；②OA-OB=2AC 【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系 【解析】【解答】解：（2）②∵， ∴， ∵，， ∴， 由①得，且， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：. 【分析】（1）根据角的和差得出，根据角平分线定义得出，证明，即可得出结论； （2）①过点作于点，根据角平分线的性质和同角的补角相等，证明，即可得出结论； ②根据得出的相等线段，利用线段的和差即可表示出数量关系． 18．【答案】（1）证明：∵∠B+∠ADC=180°，∠ADE+∠ADC=180°， ∴∠B=∠ADE， ∴在和中， ， ∴≌（SAS）， ∴∠ACB=∠E，AC=AE， ∴为等腰三角形， ∴∠ACE=∠E， ∴∠ACB=∠ACE， ∴CA平分∠BCD. （2）证明：延长CB，使BP=DE，连接AP，AD. ∵∠B+∠AED=180°，∠B+∠ABP=180°， ∴∠AED=∠ABP， ∴在和中， ， ∴≌（SAS）， ∴AP=AD，BP=DE， 又CD=BC+DE=BC+BP=CP， 即CD=CP， ∴在和中， ， ∴≌（SSS）， ∴∠ACP=∠ACD， ∴CA平分∠BCD. 【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念 【解析】【分析】(1)运用同角的补角相等得出∠B=∠ADE，运用三角形全等的判定（边角边）可证明≌，根据三角形全等的性质及等量代换得到∠ACB=∠ACE，由角平分线的定义即证明得到CA平分∠BCD，由角平分线的定义即可证明CA平分∠BCD. （2）延长CB，使BP=DE，连接AP，AD.运用同角的补角相等得出∠AED=∠ABP，运用三角形全等的判定（边角边）可证明≌，根据三角形全等的性质及等量代换得到AP=AD，CD=CP，再次运用三角形全等的判定（边边边）可证明≌，根据三角形全等的性质得∠ACP=∠ACD，由角平分线的定义即可证明CA平分∠BCD. 19．【答案】（1）证明：如图所示，连接DB， AD是△ABC的外角平分线，DG⊥AB，DF⊥CA， DF=DG， DE垂直平分BC， DC=DB， 在Rt△CDF与Rt△BDG中 ， Rt△CDF≌Rt△BDG (HL) ， BG=CF． （2）解： GAD= FAD， AGD= AFD，AD=AD， 在△ADG与△ADF中 △ADG≌△ADF(AAS)， AG=AF， BG=CF， ， AG= (AC-AB)= (14-10)=2 (cm) ． 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-AAS 【解析】【分析】（1）连接DB，根据角平分线的性质可得DF=DG，根据垂直平分线的性质可得DC=DB，证明Rt△CDF≌Rt△BDG ，据此可得结论； （2）证明△ADG≌△ADF，得到AG=AF，结合BG=CF以及线段的和差关系可得AC-AB=AF+FC-AB=AF+BG-AG=AF+AG=2AG，据此计算. 20．【答案】解：（1）：图形如图所示： （2）： C； （3）：900； （4）：在轴对称图形中，对应点的连线段被对称轴垂直平分． 【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；轴对称的性质；作图﹣轴对称 【解析】【解答】解：（2）∵，，． ∴，是的垂直平分线； ∴，即平分，故A选项结论正确，不合题意； ，故D选项结论正确，不合题意； ∴故B选项结论正确，不合题意； 与不一定正确. 故C选项结论不正确，符合题意； 故答案为：C； （3）四边形的面积． 故答案为：900 （4）在轴对称图形中，对应点的连线段被对称轴垂直平分． 故答案为：在轴对称图形中，对应点的连线段被对称轴垂直平分． 【分析】（1）根据对称性质作出顶点关于直线l的对称点，再依次连接即可求出答案. （2）根据全等三角形判定定理可得，根据垂直平分线性质可得，根据角平分线判定定理可判断A，根据垂直平分线性质可判断D，根据全等三角形判定定理可判断B，根据全等三角形判定定理可判断C. （3）根据四边形面积即可求出答案. （4）根据对称性质即可求出答案. 学科网（北京）股份有限公司 $