3.1.2函数的单调性同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册（北京专用）

**基本信息** 以北京同步考题为载体，分层覆盖函数单调性定义、应用及综合探究，通过基础填空-中档选择填空-综合解答题梯度设计，强化从概念理解到逻辑推理的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固层|单调函数定义、最值概念|教材梳理填空匹配概念记忆，单选题1-5题聚焦单调性判断基础应用| |综合应用层|单调性与参数范围、充要条件|填空题11-14题结合北京期中真题，考查恒成立问题与分段函数单调性| |拓展提升层|抽象函数单调性证明、含参最值|解答题16题设计抽象函数性质探究，培养推理能力与数学表达|

3.1.2函数的单调性同步练（北京专用） 教材知识梳理 1.单调函数的定义 增函数 减函数 设函数y=fx的定义域是D 如果对于 的X1,X2∈D 如果对于 的X1,X2∈D,当 当 时，都有 时，都有 ，那么就称 定义 那么就称函数 函数y=fx是减函数特别地，当I是定 y=fx是增函数特别地，当I 义域D上的一个区间时，也称函数在区 是定义域D上的一个区间时，也 间I上 称函数在区间I上 y=f(x) f(x2) y=f(x) fx1)月 f(x)f(x2) 图像描述 X2 自左向右看 X2 自左向右看图象 是下降的 图象是上升的 2.函数的最小值 设函数y=fx的定义域为I,如果存在实数M满足： (1)Hx∈I,都有； (2)3x∈I,使得 那么，我们称M是y=fx的最小值 3.函数的最大值 设函数y=fx的定义域为I,如果存在实数M满足： (1)x∈I,都有一： (2)3x∈I,使得 那么，我们称M是y=fx的最大值， 试卷第1页（共3页） 同步练（最新北京同步考题) 一、单选题 1.(24-25高一上·北京丰台·期中)下列函数中，在区间(-∞，0)上单调递减的是() A.f(x)=x B.f(x=- X C.f(x)=x2+2x D.fx=lx刈 2.(24-25高一上·北京·期中)二次函数y=x2+2ax+b在[-1，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是 () A.1,+∞ B.(-00,-1] C.（-0,1] D.[-1,+o 3.（25-26高一上北京期中)已知函数fX=-X+2x在区间a,a+1上是单调函数，则实数。的取值 范围为() A.-o,0lUj1,+∞ B.-0,0lU1,+o∞ C.-o,-2U-1,+o D.-00,-2U-1,+00 4.(25-26高一上北京大兴期中)已知函数fx= 2a-1x+3a,x<2 g,x22 满足对任意实数x>X,都有 f(x)<f(x》则实数a的取值范围是() A.（-o,2 B(0,2 c告 D.（-0,0 5.(25-26高一上北京期中)“a>-2”是“函数fX=X2+2ax在区间2，+∞ 上是增函数”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.(26-27高三上北京·开学考试)不等式x2-mx+16≤0对任意x∈2,4恒成立，则m的最小值是 () A.-10 B.-8 C.8 D.10 7.(25-26高一上·北京朝阳·阶段检测)设函数y=f(x)的定义域为D,开区间I≤D,则“ 试卷第2页（共3页） vx∈1，x,∈I且x<x,都有f(x>fx,)”是“y=fx在1上是减函数”的(） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.(25-26高一上北京期中)已知函数fx-X-k+1,X<0,若函数fx存在最小值，则实数k的 x2-2x+k,x≥0 取值范围为() A.-2,1 B.-2,1 C.-0,-2U1,+0 D.-0,-2U1,+∞ 9.(25-26高一上北京期中)若函数fx= x,x≤a a>0存在最小值，则。的最大值为 x2-2ax+4a,x>a () A.1 B.2 C.3 D.4 10.(25-26高一上·北京阶段检测)若命题“Vx∈0,3，x2-2x-3a>0”为假命题，则实数a可取 的最小整数值是() A.-1 B.0 C.1 D.3 二、填空题 11.(26-27高三上北京延庆开学考试)若fx=。X,x≥0在R上为增函数，则。的取值范围是 3x+4,x<a 12.(2526高二上北京朝阳阶段检测)若对任意X>1,关于X的不等式a<士+X恒成立，则实数a的取 X 值范围为 13.(25-26高一上北京朝阳期中)已知函数f(x)=x+(x>0).若f(x)≥4恒成立，则a的取值范围 是 14.(25-26高一上北京阶段检测)已知函数fx= a-3x-1,x≤1 则f0=一 若在R上 单调递增，则实数α的取值范围为 试卷第3页（共3页） 三、解答题 15.(25-26高一上北京期中)已知fx=X2-2tx+4 (1)求fx在区间2,4上的最小值mt的表达式： (2)当X>0时，fx>0恒成立，求t的取值范围. 16.(25-26高一上·北京朝阳·期中)已知函数fx的定义域为0，+∞，且对于任意x>0,y>0都有 f=fx-fy小当x>1时，有fx0 (1)求f1的值； (2)判断fx的单调性并证明. ⑧若f2=1r解不等式fx+3-f日<2 试卷第4页（共3页） 3.1.2函数的单调性同步练（北京专用） 教材知识梳理 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数的定义域是 如果对于________的，当________时，都有________，那么就称函数是增函数.特别地，当是定义域上的一个区间时，也称函数在区间上________. 如果对于________的，，当________时，都有________，那么就称函数是减函数.特别地，当是定义域上的一个区间时，也称函数在区间上________. 图像描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 【答案】 任意 单调递增 任意 单调递减 2．函数的最小值 设函数的定义域为，如果存在实数满足： （1），都有_____； （2），使得_____. 那么，我们称是的最小值. 【答案】 3．函数的最大值 设函数的定义域为，如果存在实数满足： （1），都有_______； （2），使得________. 那么，我们称是的最大值. 【答案】 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1．（24-25高一上·北京丰台·期中）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数，二次函数，反比例函数，绝对值函数及单调性定义判断． 【详解】在上，是增函数，是增函数， 在上是减函数，在上是增函数， 时，是减函数， 故选：D． 2．（24-25高一上·北京·期中）二次函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的单调性求解即可. 【详解】函数开口向上，对称轴为， 因为函数在上单调递增， 所以，解得，则实数的取值范围是. 故选：A 3．（25-26高一上·北京·期中）已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二次函数的单调区间与对称轴的关系求解. 【详解】函数的对称轴方程为， 因为函数在区间单调， 所以对称轴位于区间的一侧，所以或， 解得或， 所以实数的取值范围为， 故选：A. 4．（25-26高一上·北京大兴·期中）已知函数满足对任意实数，都有，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数单调性的性质，列出不等式，求出参数范围即可； 【详解】由题意得，对于任意实数，都有成立， 所以在上单调递减， 所以， 解得． 故选：C. 5．（25-26高一上·北京·期中）“”是“函数在区间上是增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由函数的递增区间求得的范围，由集合关系即可判断. 【详解】的单调递增区间是， 因函数在区间上是增函数， 则，即， 又是的真子集， 故“”是“函数在区间上是增函数”的充分不必要条件， 故选：A 6．（26-27高三上·北京·开学考试）不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．10 【答案】D 【详解】对任意，不等式恒成立， 而函数在上单调递减，则，因此 所以的最小值是10. 7．（25-26高一上·北京朝阳·阶段检测）设函数的定义域为，开区间，则“且，都有”是“在上是减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用减函数的定义，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】函数，，满足，都有， 而函数在上递增，在上递减，即函数在上不是减函数； 反之在上是减函数，则且，都有， 所以“且，都有”是“在上是减函数”的必要不充分条件. 故选：B 8．（25-26高一上·北京·期中）已知函数，若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先分析函数在各段的单调性，即可求出的取值范围，结合函数存在最小值得到不等式，解得即可. 【详解】因为， 当时，所以在上单调递减，则； 当时，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 要使函数存在最小值，则，解得， 即实数的取值范围为. 故选：B 9．（25-26高一上·北京·期中）若函数存在最小值，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用分段函数的性质结合二次函数的性质计算即可. 【详解】因为，所以，在时取得等号； 又，在时取得等号， 而时，无最小值， 所以由题意可知，即,又,所以, 则的最大值为4. 故选：D 10．（25-26高一上·北京·阶段检测）若命题“，”为假命题，则实数a可取的最小整数值是（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】B 【分析】写出原命题的否定，根据原命题的否定为真命题求实数的取值范围，再进行判断. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以原命题的否定“，”为真命题. 所以，使得，所以，. 因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以. 由 ，所以实数a可取的最小整数值为0. 故选：B 二、填空题 11．（26-27高三上·北京延庆·开学考试）若在上为增函数，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据二次函数、一次函数的单调性，结合分段函数的性质列不等式组求解即可. 【详解】易知在上为增函数，在上单调递增. 若在上为增函数，则，即，解得. 故的取值范围是. 12．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）若对任意，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用对勾函数的单调性求出值域，再利用恒成立求出范围. 【详解】函数在上单调递增， 故， 因对任意，不等式恒成立，得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 13．（25-26高一上·北京朝阳·期中）已知函数．若恒成立，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用恒成立的不等式分离参数，借助二次函数求出最大值即可. 【详解】当时，不等式， 依题意，恒成立， 而当时，，当且仅时取等号， 因此. 故答案为： 14．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知函数，则________，若在R上单调递增，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】空1：直接代入计算即可；空2：由分段函数在其定义域内单调得在各段单调，且在连接点处须注意函数值大小，得，从而求出实数的取值范围． 【详解】空1：. 空2：∵， 且函数在上单调递增， ∴，解得：， 故答案为：；. 三、解答题 15．（25-26高一上·北京·期中）已知 (1)求在区间上的最小值的表达式； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，即可得出的表达式； （2）由参变量分离法可得对任意的恒成立，结合基本不等式可求得实数的取值范围. 【详解】（1）函数的图象开口向上，对称轴为直线. 当时，函数在上单调递增，此时； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时； 当时，函数在上单调递减，此时. 综上所述，. （2）对任意的，恒成立，即， 当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故，即. 因此，实数的取值范围是. 16．（25-26高一上·北京朝阳·期中）已知函数的定义域为，且对于任意都有，当时，有． (1)求的值； (2)判断的单调性并证明． (3)若，解不等式； 【答案】(1)0 (2)在上是增函数，证明： 设，则由，得， 因为，所以，所以，即， 即在上是增函数； (3) 【分析】（1）令进行求解即可； （2）根据函数的单调性，结合等式变形进行判断证明即可； （3）结合等式化简不等式，然后根据函数单调性的性质求解即可. 【详解】（1）令，得； （2）略 （3）因为，所以在中令， 即，所以， 于是由， 由（2）可知在上是增函数， 所以，解得，故原不等式的解集为. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $