2.2.4均值不等式及其应用同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册（北京专用）

**基本信息** 聚焦均值不等式及其应用，通过单选、填空、解答题三级分层，实现从概念理解到综合应用的递进，适配新授课知识巩固需求，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|均值不等式概念、应用条件|单选1-5题判断不等式成立条件，强化“一正二定三相等”核心要素| |技能提升层|简单最值计算、符号运算|填空11-14题训练单变量最值求解，单选6-10题融合参数与不等关系推理| |综合应用层|多变量问题、实际建模|解答题17-18题综合最值证明，单选7题结合容器容积问题培养数学建模能力|

2.2.4均值不等式及其应用同步练（北京专用) 教材知识梳理 均值不等式 (1)均值不等式Vab≤ 应用条件：一正、二定、三相等. (2)几个重要的不等式 ①a2+b2≥2ab(a,b∈R). @2+922(a,b同号). a b ®absa+b 2 a,b,∈R）· ④a2+b2、a+b2 2■ Γ2 a,b∈R）. ( (3)利用均值不等式求最值问题 已知X>0,y>0,则 ①如果积xy是定值p,那么X+y有最小值2p,当且仅当X=y时取得.（简记：积定和 最小) ②如果和x+y是定值，那么w有最大值子，当且仅当X=y时取得.（简记：和定积最 大) 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1.(25-26高三上·北京昌平期末)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中恒成立的是 () A.a+b≥2VabB.b<0+b 1,1、2 C. ab-ab D. a+b≥1 2 2b 2a 2.(25-26高一上·北京丰台·期中)下列结论正确的是() A.当x<2时，X+1 B.当x≥2时，X+2的最小值是22 试卷第1页，共3页 C当x>0时，Vx+29 D.当x>0时，X+x+的最小值为1 3.(25-26高一上·北京期末)当0<x<2时，X2-x)的最大值为() A.0 B.1 c.2 D.4 4.(25-26高二·北京期中)已知x∈R且x>0,则4x+二的最小值是() A.1 B.2 C.3 D.4 5.(25-26高三下·北京·开学考试)已知a,b∈R，,且a<b<0,则下列不等关系中正确的 是() A.<1 B.b+9>2 C.atb>Vab a b D.b、 a b a b 6.(25-26高二下·北京朝阳期中)设mxa,b表示a与b的最大值，若x,y都是正数， z=max x+4y,- 4+1 则的最小值为() X y A.2 B.4 C.8 D.16 7.(25-26高二下·北京延庆期末)现有一块边长为1.5米的正方形铁板，如果从铁板的四 个角各截去一个边长相等的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，为了使容器的 容积最大，则截去的小正方形边长应为() B米 * C. 米 8.(25-26高二下北京丰台期末)已知y>0,则“y≠2x”是“上+4x>4”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.(25-26高二下·北京期末)已知a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式中正确的是 () A.a+b2≥3 B.a2+b2≤22 D.1+2≥3+2 a b2 10.(25-26高三上·北京顺义·阶段检测)下列命题为真命题的是() 试卷第2页，共3页 A.Va>0,a+1>2 B.Va>0,a+1<2 a a c.3a>0,0+1>2 D.3a>0,a+1<2 a a 二、填空题 1山.(2425商二下北京怀柔期末)当x>0时，函数fx=术+3 的最小值为 X 12.(2326高二下北京阶段检)画数y27c>0)的最大值为 13.(25-26高一上·北京朝阳·阶段检测)已知m,n为正实数且满足m+2n=2,则mn的最 大值是 ,Vm+/2n的最大值为 14.(25-26高一上·北京阶段检测)已知正数a,b满足/9×27=3，则3a+2b的最小值 为一 15.(25-26高一上江苏常州期中)设正实数X,y满足x+y=1,则4y+上有最小值为 16.(25-26高一上北京·期中)已知x>1.5,则函数y=2x 2x3的最小值是】 此时X= 三、解答题 17.(25-26高一上·北京期中)已知a>0,b>0,a+b=2. (1)求ab的最大值： 12 ②)求。+的最小值： (3)求a+2b2的最小值. 18.(25-26高一上·北京平谷·阶段检测)(1)已知0<a<7,求2a7-a的最大值： 《2)已知x>2,求x+X一2的最小值 试卷第3页，共3页 2.2.4均值不等式及其应用同步练（北京专用） 教材知识梳理 均值不等式 （1）均值不等式________ 应用条件：一正、二定、三相等． （2）几个重要的不等式 ①（）． ②（a，b同号）． ③（）． ④（）． （3）利用均值不等式求最值问题 已知，，则 ①如果积xy是定值p，那么有最小值，当且仅当时取得．（简记：积定和最小） ②如果和是定值p，那么xy有最大值，当且仅当时取得.（简记：和定积最大） 【答案】 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1．（25-26高三上·北京昌平·期末）若，，且，则下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式的性质进行逐项判断即可. 【详解】因为，所以同号. 对于A：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，A错误； 对于B：当时，，即， 此时，所以B错误； 对于C：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，C错误； 对于D：因为同号，所以， 根据基本不等式的性质可得，D正确. 故选：D. 2．（25-26高一上·北京丰台·期中）下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是 C．当时， D．当时，的最小值为1 【答案】C 【分析】由基本不等式对选项逐一判断， 【详解】对于A，当时，，故A错误， 对于B，当时，，当且仅当时等号成立，故B错误， 对于C，当时，，当且仅当即时等号成立，故C正确， 对于D，当时，，当且仅当即时等号成立，故D错误， 故选：C 3．（25-26高一上·北京·期末）当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式直接求解. 【详解】，，又 ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为 故选：B 4．（25-26高二·北京·期中）已知，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用基本不等式即得. 【详解】根据题意，，则， 当且仅当，即时等号成立，即的最小值是4； 故选：D. 5．（25-26高三下·北京·开学考试）已知，且，则下列不等关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质，基本不等式以及作差法，即可根据选项逐一求解. 【详解】对于A,由于，则，故，进而，A错误， 对于B,由于，则，故，B正确， 对于C, 由于，则，故，C错误， 对于D, ，由于，则，故 ，故，D 错误， 6．（25-26高二下·北京朝阳·期中）设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合基本不等式求出最小值. 【详解】由，得， 于是，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 7．（25-26高二下·北京延庆·期末）现有一块边长为1.5米的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相等的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，为了使容器的容积最大，则截去的小正方形边长应为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】设截去的小正方形边长为米， 则长方体形的无盖容器的容积， 当且仅当，即时取等号，所以截去的小正方形边长应为米. 8．（25-26高二下·北京丰台·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合已知的条件，利用基本不等式的等号成立条件，分别验证充分性和必要性即可判断. 【详解】 由可得，，满足基本不等式的使用前提： 充分性验证： 若，根据基本不等式，对任意正数有，当且仅当时等号成立. 令，则，等号成立当且仅当，整理得，结合得. 因，故等号取不到，因此，充分性成立. 必要性验证： 若，说明上述基本不等式的等号不成立，因此等号成立的条件不满足，即，必要性成立. 综上，“”是“”的充要条件. 9．（25-26高二下·北京·期末）已知，，，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用基本不等式计算判断A；举反例判断B，结合常值代换结合基本不等式计算判断C，D. 【详解】对于A，因为，， 当且仅当取等号，故A错误； 对于B，当时，满足，但是，B选项错误； 对于CD，利用乘“1”法，，当且仅当取等号，故C错误，D正确. 10．（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）下列命题为真命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式得恒成立，结合各项命题的描述判断其真假，即可得. 【详解】由，则，当且仅当时等号成立，A、B、D为假命题，C为真命题； 故选：C 二、填空题 11．（24-25高二下·北京怀柔·期末）当时，函数的最小值为 ________________ ． 【答案】 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解． 【详解】当时，函数， 当且仅当，即x时,等号成立，所以的最小值为. 12．（25-26高二下·北京·阶段检测）函数(）的最大值为______． 【答案】/ 【详解】 ，，当且仅当时取等号， 即函数(）的最大值为． 13．（25-26高一上·北京朝阳·阶段检测）已知为正实数且满足，则的最大值是____________，的最大值为____________. 【答案】 / 【分析】直接根据基本不等式得，进而得即可得的最大值；再根据得，进而得的最大值. 【详解】由为正实数且满足， 故根据基本不等式得，当且仅当时等号成立， 即，当且仅当时等号成立， 所以的最大值是； 因为，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 即，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以当且仅当时等号成立， 所以的最大值为 故答案为：； 14．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知正数满足，则的最小值为_____． 【答案】24 【分析】先化简根式，然后根据基本不等式的性质求解即可. 【详解】由题意，， 所以. 所以. 当且仅当即时等号成立，此时的最小值为24. 故答案为：24. 15．（25-26高一上·江苏常州·期中）设正实数满足，则有最小值为___________. 【答案】5 【分析】利用的代换，将转化成，根据基本不等式求得的最小值为，进而得到的最小值为. 【详解】因为正实数满足，则. 因为，当且仅当，即时，等号成立. 所以当，即当且仅当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：. 16．（25-26高一上·北京·期中）已知，则函数的最小值是______，此时______. 【答案】 7 【分析】根据题意利用基本不等式求最值，并求等号成立的条件. 【详解】因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值是7，此时. 故答案为：7；. 三、解答题 17．（25-26高一上·北京·期中）已知． (1)求的最大值： (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）由基本不等式即可求得结果； （2）利用基本不等式中巧用“1”即可求得结果； （3）由等式得到的关系式，然后代入，利用配方法即可求得最小值. 【详解】（1）∵，∴，∴， 当且仅当时取等号， ∴的最大值为1. （2）， 当且仅当，即时取等号， ∴的最小值为. （3）∵， ∴， 当且仅当时取等号， ∴的最小值为. 18．（25-26高一上·北京平谷·阶段检测）（1）已知，求的最大值； （2）已知，求的最小值． 【答案】（1） （2）6 【分析】（1）由基本不等式即可求解； （2）利用结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以，当且仅当即时取等号， 所以所求的最大值为； （2）因为，所以， 所以，当且仅当即时取等号， 所以所求的最小值为6． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $