高一数学上学期第一次月考（沪教版必修第一册第1章～第2章集合与逻辑+等式与不等式，高效培优·强化卷）

**基本信息** 高一数学月考卷聚焦集合与逻辑、等式与不等式，通过基础填空（如集合符号、命题真假）、综合解答（如基本不等式应用、集合参数范围）实现梯度考查，培养运算能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|集合表示、逻辑命题、不等式恒成立|基础概念与符号应用，如用列举法表示集合| |选择题|4/18|集合概念、充要条件、取整函数|结合新定义（如取整函数）考查数学思维| |解答题|5/78|集合运算、不等式证明、创新迁移|综合应用与探究，如基本不等式材料迁移题|

2026-2027学年高一数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第一册第1章~第2章集合与逻辑+等式与不等式。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．用符号“”或“”填空：______. 2．命题：空集是任何集合的真子集，此命题是______命题（填“真”或“假”） 3．已知集合且，请用列举法表示该集合__________. 4．已知集合，．若，则______． 5．已知全集为，若，则______. 6．用反证法证明：“若且，则且”时，第一步应假设___________． 7．设，.若集合，则______. 8．满足的集合的个数为________个． 9．已知方程的两个根为、，则_______． 10．对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是________ 11．若，且，则的取值范围是___________． 12．设关于的一元二次不等式与的解集分别为与，则不等式的解集为_____． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．下列说法正确的是（    ） A．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 B．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 C．由不大于3的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3 D．数1，0，5，，，，组成的集合中有6个元素 14．如果，那么下列式子中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 15．设U为全集，A、B为集合，则“存在集合C使得，”是“”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 16．设表示不超过的最大整数，如，若为正实数，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知集合， (1)当时，求 (2)若，求实数的取值范围． 18．（14分）（1）设、均为正实数，试比较和的大小. （2）已知、为实数，求证：，并指出等号成立的条件. 19．（14分）已知，. (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 20．（18分）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础，两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一，通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题.例如此题：已知，为正实数，且，则的最小值为__________.其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题， (1)已知，，均为正实数，且，求的最小值； (2)已知，，且，求的最小值以及此时实数，的值； (3)某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少？”时，给出如下解法：令，则化为. 原式，当且仅当，即，即，时，等号成立. 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，，，则的最大值是多少？ 21．（18分）已知集合A包含有个元素，． (1)若，写出； (2)写出一个，使得； (3)当时，是否存在集合A，使得？若存在，求出此时的集合A，若不存在，请说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期第一次月考卷 数学·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 2. 假 3. 4. 5 5. 6. 或 7. 0 8 . 8 9. 4 10 . 11. 12. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 A A C C 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【详解】（1）， 当时，， 所以……（7分） （2），根据， 则，即， 所以实数的取值范围为.……（14分） 18．（14分） 【详解】（1）， 当时，，则， 当时，， 当时，，则.……（7分） （2）由三角不等式有：， 当且仅当取等号， 同理， 当且仅当取等号， 两式相加， 当且仅当取等号， 即：，当且仅当取等号.……（14分） 19．（14分） 【详解】（1）令，， 因为是的必要条件， 所以, 可得：解得：， 即实数的取值范围是；……（7分） （2）由是的充分条件， 可得：， 当时，满足题意，此时，即； 当时，需满足此时，解集为； 综上：实数的取值范围……（14分） 20．（18分） 【详解】（1）， 当且仅当时取等号， 所以最小值为7；……（6分） （2）， 当且仅当，即，时，等号成立， 则的最小值是……（12分） （3）， 令，原式，令， 原式， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以的最大值为……（18分） 21．（18分） 【详解】（1）因，， 则都是中的元素， 故；……（6分） （2）取，此时，符合；……（10分） (3)当时，不存在集合A，使得，理由如下： 假设存在，且，则， 故为中7个不同的元素， 则， 由解得：， 此时与矛盾，故假设不成立，即不存在这样的集合.……（18分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第一册第1章~第2章集合与逻辑+等式与不等式。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．用符号“”或“”填空：______. 【答案】 【详解】不是自然数，因此应填， 故答案为：． 2．命题：空集是任何集合的真子集，此命题是______命题（填“真”或“假”） 【答案】假 【详解】空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以命题：空集是任何集合的真子集为假命题. 故答案为：假. 3．已知集合且，请用列举法表示该集合__________. 【答案】 【详解】由集合且，得. 故答案为： 4．已知集合，．若，则______． 【答案】5 【详解】因为集合，，，所以， 故答案为： 5．已知全集为，若，则______. 【答案】 【详解】由，则全集， 又，所以. 故答案为： 6．用反证法证明：“若且，则且”时，第一步应假设___________． 【答案】或 【详解】对于用反证法证明命题“若且，则且”时， 第一步应假设的是“且”的否定，即：或. 故答案为：或. 7．设，.若集合，则______. 【答案】0 【详解】由易知，， 由两个集合相等的定义可知包括两种情况： ①，得，经验证，符合题意； ②，易知该方程组无解， 综上，，， 则． 故答案为：0. 8．满足的集合的个数为________个． 【答案】 【详解】由于， 则，设集合的子集为， 则，由于集合的子集有个， 所以满足条件的集合的个数为个. 故答案为： 9．已知方程的两个根为、，则_______． 【答案】4 【详解】由题设，，则. 故答案为：4 10．对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是________ 【答案】 【详解】由绝对值的几何意义知，当且仅当时等号成立， 对于任意的实数，不等式恒成立， 所以，即的取值范围为. 11．若，且，则的取值范围是___________． 【答案】 【详解】因为，所以. 所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以的取值范围是. 故答案为：. 12．设关于的一元二次不等式与的解集分别为与，则不等式的解集为_____． 【答案】 【详解】由不等式的解集为， 可得是的解，且， 由不等式的解集为可得恒成立， 则不等式可化为，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．下列说法正确的是（    ） A．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 B．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 C．由不大于3的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3 D．数1，0，5，，，，组成的集合中有6个元素 【答案】A 【详解】对于A：联合国安理会常任理事国包括中国、俄罗斯、英国、法国和美国，能组成一个集合，A正确； 对于B：“很喜欢”不是一个明确的标准，具有不确定性，B错误； 对于C：不大于3的自然数包括,C错误； 对于D：，不同的数有共5个，D错误； 故选：A. 14．如果，那么下列式子中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，，，，A正确，BCD错误. 故选：A 15．设U为全集，A、B为集合，则“存在集合C使得，”是“”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】C 【详解】充分性：若存在集合C使得，，则， 所以，所以，充分性成立； 必要性：若，取，则，，必要性成立. 故选：C 16．设表示不超过的最大整数，如，若为正实数，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【详解】因为为正实数，所以， 当且仅当时等号成立， 从而中至少有一个不小于2，不妨设，则，所以.假设的最小值为2，，，所以， 所以，与矛盾，假设不成立，A错误；假设的最小值为3，则，或，， 同理，可得，显然不成立，B错误；假设的最小值为4，同理，易得， 若取，则，即，假设成立，C正确，D错误. 故选：. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知集合， (1)当时，求 (2)若，求实数的取值范围． 【详解】（1）， 当时，， 所以……（7分） （2），根据， 则，即， 所以实数的取值范围为.……（14分） 18．（14分）（1）设、均为正实数，试比较和的大小. （2）已知、为实数，求证：，并指出等号成立的条件. 【详解】（1）， 当时，，则， 当时，， 当时，，则.……（7分） （2）由三角不等式有：， 当且仅当取等号， 同理， 当且仅当取等号， 两式相加， 当且仅当取等号， 即：，当且仅当取等号.……（14分） 19．（14分）已知，. (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【详解】（1）令，， 因为是的必要条件， 所以, 可得：解得：， 即实数的取值范围是；……（7分） （2）由是的充分条件， 可得：， 当时，满足题意，此时，即； 当时，需满足此时，解集为； 综上：实数的取值范围……（14分） 20．（18分）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础，两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一，通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题.例如此题：已知，为正实数，且，则的最小值为__________.其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题， (1)已知，，均为正实数，且，求的最小值； (2)已知，，且，求的最小值以及此时实数，的值； (3)某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少？”时，给出如下解法：令，则化为. 原式，当且仅当，即，即，时，等号成立. 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，，，则的最大值是多少？ 【详解】（1）， 当且仅当时取等号， 所以最小值为7；……（6分） （2）， 当且仅当，即，时，等号成立， 则的最小值是……（12分） （3）， 令，原式，令， 原式， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以的最大值为……（18分） 21．（18分）已知集合A包含有个元素，． (1)若，写出； (2)写出一个，使得； (3)当时，是否存在集合A，使得？若存在，求出此时的集合A，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）因，， 则都是中的元素， 故；……（6分） （2）取，此时，符合；……（10分） (3)当时，不存在集合A，使得，理由如下： 假设存在，且，则， 故为中7个不同的元素， 则， 由解得：， 此时与矛盾，故假设不成立，即不存在这样的集合.……（18分） 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $