精品解析：上海市民立中学2025-2026学年高一上学期12月阶段性调研数学试题

2025级高一数学12月阶段性调研 20251215 一、填空题（每题4分，满分32分） 1. 函数 的定义域为_____. 2. 已知幂函数的图像经过点，则_____________． 3. 若集合，则__________. 4. 若，则__________. 5. 不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是___________ 6. 函数在区间上值域为__________． 7. 函数的单调递增区间为_____. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，在上严格增函数.若，则实数的取值范围是________. 二、选择题（每题4分，满分12分） 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 11. 设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如:. 现有关于“取整函数”的两个命题: ① 集合是单元素集: ②对于任意成立，则以下说法正确的是（ ） A. ①②都是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①②都是真命题 三、解答题（12分+14分+14分+16分，满分56分） 12. 求下列关于的不等式的解集： （1）； （2）. 13. 已知为常数. （1）若为偶函数，求的值； （2）若函数为单调函数，求实数的取值范围. 14. 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，设游玩时间为，规则如下：①当的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的累计经验值（单位：EXP）与游玩时间（单位：小时）满足关系式：；②当的时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）：③当的时间为不健康时间，累计经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50. （1）写出与的函数关系式，并求出当，时的值； （2）该游戏厂商把与的比值称为“玩家愉悦指数”，记为.若，当时，求的最小值. 15. 已知函数． （1）证明：函数是奇函数； （2）用定义证明：函数在上是严格增函数； （3）若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一数学12月阶段性调研 20251215 一、填空题（每题4分，满分32分） 1. 函数 的定义域为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用给定的函数的意义，列出不等式组求解即得. 【详解】依题意，，解得， 所以原函数的定义域为. 故答案为： 2. 已知幂函数的图像经过点，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，再求出函数值作答. 【详解】依题意，设函数，且为常数，则有，解得，即， 所以. 故答案为： 3. 若集合，则__________. 【答案】； 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性即可求解. 【详解】由可得，解得， 故， 故答案为： 4. 若，则__________. 【答案】8 【解析】 【分析】结合分段函数解析式先求，再求结论. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：. 5. 不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】二次函数开口向上恒大于等于0，则即可。 【详解】因为对一切实数都成立，所以， 即。 故答案为： 【点睛】此题考查二次函数，开口向上恒大于0只需即可，属于简单题目。 6. 函数在区间上值域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数在上的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上是减函数，所以，故值域为. 故答案为：. 7. 函数的单调递增区间为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用复合函数法可得出函数的单调递增区间. 【详解】对于函数，有，解得或， 所以，函数的定义域为， 因为内层函数在区间上单调递减，在上单调递增， 外层函数为增函数， 故函数的单调递增区间为. 故答案为：. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，在上严格增函数.若，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】先由定义域关于原点对称解得，再结合函数单调性与对称性，转化不等式为求解可得. 【详解】因为为偶函数，故即， 即为， 由为偶函数，则， 又在上严格增函数，且为偶函数， 故在上为严格减函数， 故，解得或. 则实数的取值范围是. 故答案为：. 二、选择题（每题4分，满分12分） 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用特值法排除A，C，D，利用不等式的性质判断B. 【详解】根据题意，，则， 当时，，A错误； 由，所以，B正确； 当时，，C错误； 当时，不存在，D错误. 故选：B 10. 下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指对幂函数的性质依次判断各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，函数为奇函数，在定义域上无单调性，故错误； 对于B选项，函数为奇函数，当时，为减函数，故函数在定义域内为减函数，故B正确； 对于C，由于函数均为增函数，故在定义域内为单调递增函数，故C错误； 对于D选项，函数为非奇非偶函数，故错误. 故选：B 11. 设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如:. 现有关于“取整函数”的两个命题: ① 集合是单元素集: ②对于任意成立，则以下说法正确的是（ ） A. ①②都是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①②都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】分段解方程求出集合中元素判断①；利用不等式性质结合取整数的意义推理判断②. 【详解】对于①，当时，，方程化为，则； 当时，，方程化为，则； 当时，，方程化为，无解， 因此，①是假命题； 对于②，令，则，， 当时，，， 则，； 当时，，， 则，， 因此对任意，，②是真命题， 故选：B 【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧： ①可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； ②可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； ③发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； ④如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 三、解答题（12分+14分+14分+16分，满分56分） 12. 求下列关于的不等式的解集： （1）； （2）. 【答案】（1）或 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）将原不等式变形为，再利用分式不等式的解法可得原不等式的解集； （2）分、、三种情况讨论，利用二次不等式的解法可得原不等式的解集. 【小问1详解】 由可得， 即，解得或， 即原不等式的解集为或； 【小问2详解】 当时，原不等式即为，该不等式的解集为； 当时，，原不等式即为. ①若，则，原不等式的解集为或； ②若，则，原不等式的解集为或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. 13. 已知为常数. （1）若为偶函数，求的值； （2）若函数为单调函数，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的定义求出参数值 . （2）化函数为分段函数，按分类求出的单调区间，再结合已知求出参数范围. 【小问1详解】 函数的定义域为R，由是偶函数，得， 则，即，整理得，而不恒为0， 所以. 【小问2详解】 ， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上单调，则或，因此或； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上单调，则或，因此； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 显然，函数在上单调递增，因此， 所以实数的取值范围是或. 14. 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，设游玩时间为，规则如下：①当的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的累计经验值（单位：EXP）与游玩时间（单位：小时）满足关系式：；②当的时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）：③当的时间为不健康时间，累计经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50. （1）写出与的函数关系式，并求出当，时的值； （2）该游戏厂商把与的比值称为“玩家愉悦指数”，记为.若，当时，求的最小值. 【答案】（1），59 （2）. 【解析】 【分析】（1）分别求得、和时的解析式，综合即可得答案，代入数据，即可求得，时的值. （2）分别求出、时的表达式，结合基本不等式，反比例函数性质，分析即可得答案. 【小问1详解】 由题意可得，当时，则， 且； 当时，则； 当时，则； 综上所述：则， 所以当时，； 【小问2详解】 由题可得， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 当时，，随着的增大，减小， 所以当时，， 因为，所以当游玩时间为5小时，取到最小值为. 15. 已知函数． （1）证明：函数是奇函数； （2）用定义证明：函数在上是严格增函数； （3）若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求函数的定义域，根据奇函数的定义证明结论； （2）根据严格增函数的定义证明结论； （3）利用函数性质化简不等式，由条件可得不等式对于任意实数恒成立，结合二次函数性质列不等式求结论. 【小问1详解】 由函数，可得其定义域为，定义域关于原点对称， 因为， 所以函数为定义域上的奇函数． 【小问2详解】 当时，， 任取，且， 可得 因为，且，可得，，， 所以， 即，所以函数在上是严格增函数． 【小问3详解】 因为函数为定义域上的奇函数，且在上是严格增函数， 所以函数在上也是严格增函数，所以函数在上是严格增函数. 又由，可得， 因为不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 可得不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 当时，不等式即为恒成立，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，，即实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $