第一章 有理数 单元卷 2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦初中数学“有理数”核心内容，通过文化情境、生活实例及探究性问题，全面覆盖正负数、数轴、相反数、绝对值等知识点，适配单元复习，助力夯实基础与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|正负数意义（如《九章算术》负数应用）、有理数分类、数轴表示、相反数判断|结合数学史（第1题）与生活情境（温度、海拔），考查抽象能力与几何直观| |填空题|6/18|负整数识别、数轴距离计算、误差判断（零件直径）、数的大小比较|设置开放问题（墨迹盖住整数个数），培养量感与数据意识| |解答题|8/72|实际意义说明、数集分类、数轴作图与排序、绝对值应用（乒乓球误差）、行程问题、数轴折叠、距离最小值探究|分层设计，基础题（数集分类）、能力题（a,b大小比较）、创新题（距离最小值），体现推理意识与模型观念|

第一章 有理数（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、中国古代数学著作《九章算术》第八章（《方程》篇）中最早使用了负数．如果支出160元记作元，那么元表示（ ） A. 收入60元 B. 支出60元 C. 收入100元 D. 支出100元 【答案】A 【详解】∵支出160元记作元， ∴元表示收入60元． 2、在，5，，，，中，有理数有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【详解】解：，5，，是有理数，一共有4个， 3、人们通常把水结冰的温度记为0℃，而比水结冰时温度高3℃则记为，那么比水结冰时温度低5℃应记为（　　） A. 3℃ B. C. 5℃ D. 【答案】D 【详解】解：比水结冰时温度高3℃记为，那么比水结冰时温度低5℃应记为， 4、亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如下表： 大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 最低海拔 其中最低海拔最小的大洲是（    ） A．亚洲 B．欧洲 C．非洲 D．南美洲 【答案】A 【详解】，，， ∵， ∴， ∴海拔最低的是亚洲． 5、下列数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，故表示错误； B、不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，故表示错误； C、没有原点，故表示错误； D、符合数轴的定定义，故表示正确； 6、下面两个数互为相反数的是( ) A. 与 B. 与 C. 与 D. 与3.14 【答案】C 【详解】解：故A错误； 故B错误； 故C符合题意； 与3.14不互为相反数，故D错误； 7、如图所示，点M表示的数的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】解：由数轴得，点M表示的数大于且小于， ∴点M表示的数的相反数大于2且小于3， 只有选项A符合， 8、有理数a，b满足a＞0，b＜0，，则下列结论正确是（　　） A. ﹣a＜b＜﹣b＜a B. b＜﹣a＜a＜﹣b C. ﹣a＜﹣b＜b＜a D. b＜﹣a＜﹣b＜a 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴在数轴上表示出，， 然后根据相反数的定义分别表示出，对应的位置，如图所示： 由数轴的性质可得：， 9、下列说法正确的个数是（ ） ①是绝对值最小的有理数；       ②一个有理数不是正数就是负数； ③数轴上原点两侧的数互为相反数； ④两个数比较，绝对值大的反而小； ⑤一个有理数不是整数就是分数；   ⑥相反数大于本身的数是负数． A.1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【详解】0是绝对值最小的有理数，故①正确； 正数、0和负数统称为有理数，故②错误； 5和-3在原点两侧，而5和-3不是相反数，故③错误； 8的绝对值大于6的绝对值，而8大于6，故④错误； 整数和分数统称有理数，故⑤正确； 相反数大于本身的数是负数，故⑥正确．一共有3个正确。 10、下列说法正确的个数是（　　） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． A. B. C. D. 【答案】C 【详解】解：①相等的两个数的绝对值相等，故说法①正确，符合题意； ②互为相反数的两个数的绝对值相等，故说法②正确，符合题意； 绝对值相等的两个数相等或互为相反数，故说法③与说法④不正确，不符合题意， ∴说法正确的个数是． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、比－1.3大的负整数是________． 【答案】-1 【详解】解：符合此两条件：（1）x是负整数，（2）-1.3＜x＜0的数只有1个-1． 故大于-1.3的负整数是-1． 故答案为：-1 12、墨迹盖住的整数有________个 【答案】10 【详解】解：由数轴的特征可知，墨迹盖住的整数有： -6、-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3，共10个数. 故答案为：10． 13、在数轴上与表示数7的点距离5个单位长度的点表示的数是________． 【答案】2或12 【详解】解：数轴上与表示7的点的距离为5个单位长度的点表示的数是7+5=12或7-5=2． 故答案为：2或12 14、某种零件，标明要求是（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是，该零件 ________（填“合格”或“不合格”）． 【答案】不合格 【详解】解：∵， ∴零件直径最大是，最小是， ∴零件合格范围在和之间， ∵， ∴不合格． 故答案为：不合格． 15、某厂检测员对编号①，②，③，④，⑤的五只手表进行走时准确性测试，一天小时比标准时间快记为正，慢记为负（单位：秒）．记录如下： ① ② ③ ④ ⑤ 4 仅从走时准确性来考虑，编号为______的手表质量好一些（填序号）． 【答案】④ 【详解】，，， ，， 其中绝对值最小的为， 编号为④的手表质量好一些， 故答案为：④． 16、比较大小：__________ 【答案】 【详解】解：∵=－2.7，，负数小于正数， ． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17--20，每题8分, 21--24，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、说明下列每句话的实际意义。 写出与下面各量具有相反意义的量，并用正负数表示． (1)气温是零上8℃，零上为正； (2)向南走200米，向南为负； (3)转动转盘，顺时针转动5圈，顺时针旋转为正； (4)高于海平面8米，高于海平面为正． 【答案】 见详解 【详解】（1）解：依题意，气温是零下，即； （2）解：依题意，向北走200米，米 （3）解：依题意，逆时针转动转盘5圈，即圈 （4）解：依题意，低于海平面8米，即米 18、 把下列各数的序号填在相应的数集内： ①1，②，③，④0，⑤，⑥，⑦． （1）正数集合{____________________..}； （2）整数集合{____________________..}； （3）负分数集合{____________________..}； （4）非负整数集合{____________________..}． 【答案】 （1）①③⑥ （2）①④⑦ （3）②⑤ （4）①④ 【详解】 解：，， 故正数集合{ ①③⑥ } 整数集合{ ①④⑦ } 负分数集合{ ②⑤ } 非负整数集合{ ①④ }． 19. 已知一组数：，0，，，． （1）画出数轴，并把数在数轴上表示出来； （2）请将这些数按从小到大的顺序排列（用“<”连接）． 【答案】（1）见详解 （2） 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 由（1）可知，． 20、化简下列各对数，并指出哪些互为相反数： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）见详解 （4）见详解 【详解】（1）， 所以与互为相反数； （2），， 所以与互为相反数； （3），， 所以与相等； （4），， 所以与相等． 21、世乒赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果（单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数）． 一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球 0.1 0.2 0 (1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明． (2)若规定与标准质量误差不超过的为优等品，超过但不超过的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【详解】（1）解：四号球，正好等于标准的质量， 五号球，，比标准球轻克， 二号球，，比标准球重克． （2）解：在这六个乒乓球中，优等品是二号球、四号球、五号球，共3个；合格品是三号球、六号球，共2个；不合格品是一号球，共1个； 理由如下：一号球，，不合格， 二号球，，优等品， 三号球，，合格品， 四号球，，优等品， 五号球，，优等品， 六号球，，合格品． 22、六一到了，小赵和同学要表演节目．小赵骑车到同学家拿东西，再到学校，他从自己家出发，向东骑了2km到达小王家，继续向东骑了1.5km到达小刘家，然后又向西骑了4.5km到达学校．演出结束后又向东骑回到自己家． (1)以小赵家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1km，在图中的数轴上，分别用点A表示出小王家，用点B表示出小刘家，用点C表示出学校的位置； (2)求小王家与学校之间的距离； (3)如果小赵骑车的速度是，那么小赵骑车一共用了多长时间？ 【答案】（1）见详解 （2）3km （3）30min 【详解】（1）解：根据题意得： ∵以小赵家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1km，且向东骑了2km到达小王家，继续向东骑了1.5km到达小刘家， 则； ∴小王家的位置对应的数为2，小刘家的位置对应的数为3.5，学校的位置对应的数为，如图所示： ； （2）解：依题意，． 答：小王家与学校之间的距离是3km． （3）解：依题意， 则， ∴． 答：小赵骑车一共用了30min． 23、已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数___________表示的点重合； (2)若表示的点与4表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数___________表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ 【答案】（1）2 （2）①-3；②两点表示的数分别是-3.5，5.5 【详解】（1）解：表示的点与表示的点重合， 对称中心是原点， 表示的点与2表示的点重合； （2）①若表示的点与4表示的点重合， 对称中心是1表示的点， 表示的点与数表示的点重合； ②由题意可得，、两点距离对称点的距离为， 对称点是表示1的点， 两点表示的数分别是-3.5，5.5． 24、 【问题提出】 的最小值是多少？ 【阅读理解】 为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1． 如图②，在1，2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1． 如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是____________，请你结合数轴研究：的最小值是____； (2)请你结合图④探究的最小值是____，由此可以得出a为____； (3)的最小值是____； (4)的最小值为____； 【答案】（1）a在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和；3 （2）2；2 （3）6 （4）1021110 【详解】（1）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和 当a在4和7之间时（包括4，7上），a到4和7的距离之和等于3，此时取得最小值是3 故答案为：a在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和；3 （2）当a取中间数2时，绝对值最小 的最小值是1＋0＋1＝2 故答案为：2；2 （3）当a取最中间数时，绝对值最小 的最小值是 ； （4）当a取中间数1011时，绝对值最小， 的最小值为： 故答案为：1021110 —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 有理数（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、中国古代数学著作《九章算术》第八章（《方程》篇）中最早使用了负数．如果支出160元记作元，那么元表示（ ） A. 收入60元 B. 支出60元 C. 收入100元 D. 支出100元 2、在，5，，，，中，有理数有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3、人们通常把水结冰的温度记为0℃，而比水结冰时温度高3℃则记为，那么比水结冰时温度低5℃应记为（　　） A. 3℃ B. C. 5℃ D. 4、亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如下表： 大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 最低海拔 其中最低海拔最小的大洲是（    ） A．亚洲 B．欧洲 C．非洲 D．南美洲 5、下列数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 6、下面两个数互为相反数的是( ) A. 与 B. 与 C. 与 D. 与3.14 7、如图所示，点M表示的数的相反数是（ ） A. B. C. D. 8、有理数a，b满足a＞0，b＜0，，则下列结论正确是（　　） A. ﹣a＜b＜﹣b＜a B. b＜﹣a＜a＜﹣b C. ﹣a＜﹣b＜b＜a D. b＜﹣a＜﹣b＜a 9、下列说法正确的个数是（ ） ①是绝对值最小的有理数；       ②一个有理数不是正数就是负数； ③数轴上原点两侧的数互为相反数； ④两个数比较，绝对值大的反而小； ⑤一个有理数不是整数就是分数；   ⑥相反数大于本身的数是负数． A.1 B. 2 C. 3 D. 4 10、下列说法正确的个数是（　　） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、比－1.3大的负整数是________． 12、墨迹盖住的整数有________个 13、在数轴上与表示数7的点距离5个单位长度的点表示的数是________． 14、某种零件，标明要求是（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是，该零件 ________（填“合格”或“不合格”）． 15、某厂检测员对编号①，②，③，④，⑤的五只手表进行走时准确性测试，一天小时比标准时间快记为正，慢记为负（单位：秒）．记录如下： ① ② ③ ④ ⑤ 4 仅从走时准确性来考虑，编号为______的手表质量好一些（填序号）． 16、比较大小：__________ 三、解答题：本题共8小题，共72分，17--20，每题8分, 21--24，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、说明下列每句话的实际意义。 写出与下面各量具有相反意义的量，并用正负数表示． (1)气温是零上8℃，零上为正； (2)向南走200米，向南为负； (3)转动转盘，顺时针转动5圈，顺时针旋转为正； (4)高于海平面8米，高于海平面为正． 18、 把下列各数的序号填在相应的数集内： ①1，②，③，④0，⑤，⑥，⑦． （1）正数集合{____________________..}； （2）整数集合{____________________..}； （3）负分数集合{____________________..}； （4）非负整数集合{____________________..}． 19. 已知一组数：，0，，，． （1）画出数轴，并把数在数轴上表示出来； （2）请将这些数按从小到大的顺序排列（用“<”连接）． 20、化简下列各对数，并指出哪些互为相反数： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 21、世乒赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果（单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数）． 一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球 0.1 0.2 0 (1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明． (2)若规定与标准质量误差不超过的为优等品，超过但不超过的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由． 22、 六一到了，小赵和同学要表演节目．小赵骑车到同学家拿东西，再到学校，他从自己家出发，向东骑了2km到达小王家，继续向东骑了1.5km到达小刘家，然后又向西骑了4.5km到达学校．演出结束后又向东骑回到自己家． (1)以小赵家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1km，在图中的数轴上，分别用点A表示出小王家，用点B表示出小刘家，用点C表示出学校的位置； (2)求小王家与学校之间的距离； (3)如果小赵骑车的速度是，那么小赵骑车一共用了多长时间？ 23、已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数___________表示的点重合； (2)若表示的点与4表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数___________表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ 24、 【问题提出】 的最小值是多少？ 【阅读理解】 为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1． 如图②，在1，2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1． 如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是____________，请你结合数轴研究：的最小值是____； (2)请你结合图④探究的最小值是____，由此可以得出a为____； (3)的最小值是____； (4)的最小值为____； —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $