22.4相似三角形的性质分层同步练习 2026-2027学年沪科版数学九年级上册

**基本信息** 本练习通过“夯实基础-能力提升-拓展创新”三层设计，以相似三角形性质为核心，从单一知识点应用到跨图形综合，再到实际问题创新解决，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|相似三角形性质（对应中线/面积/周长比）、基础应用（影子/小孔成像）|结合生活情境（土圭测量），基础计算与证明，强化几何直观| |能力提升|平行四边形/正方形与相似综合、中位线、格点作图、探究性问题|跨图形综合（矩形剪拼），含开放作图，发展推理能力| |拓展创新|反比例函数与相似结合、复杂实际问题（露营基地）|跨学科应用，含模型构建，培养创新意识与应用能力|

沪科版数学九年级上册22.4相似三角形的性质分层同步练习 一、夯实基础 1．如果两个相似三角形对应中线的比为8：9，则它们的相似比为（　　）. A．8：9 B．9：8 C．64：81 D． 2．若，面积比为，则与的周长比为（　　） A． B． C． D． 3．如图，当点、、在同一直线上时，在处与处测得的视力相同．若米，米，米，则是（　　）米． A． B． C． D． 4．小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长为米，又测得墙上影高为米，旗杆的高度为　 　米． 5．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．－1图是小孔成像的示意图，其对应的数学模型如－2图所示．已知AC与BD交于点O，AB∥CD．若点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，蜡烛火焰AB的高度为2.4cm．则蜡烛火焰倒立的像CD的高度为　 　cm． 6． 如图，在中，点，分别在，上，，若，则　 　． 7．中国古人发明利用物体的影子确定四季的工具——土圭，具体方法是在平台中央竖立一根杆子，尺，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角．和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第二时刻的影长为24尺，则第一时刻的影长为　 　尺． 8．如图，在中，，分别是边和上的点，其中，，，． （1）求证：； （2）记的面积为，的面积为，则______． 9．学习了相似三角形相关知识后，小明想利用“标杆”测量教学楼的高度.如图，小明站在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得点E、A、C在一条直线上(点F、B、D也在一条直线上)已知小明的目高EF为1.6米， “标杆”AB为3米， BD =30米， FB=3米， EF、AB、CD均垂直于地面DF， 求教学楼CD的高度. 10．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为 m，若两次日照的光线互相垂直，求树的高度. 二、能力提升 11．如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连接AC，DE，AC 与 DE 相交于点 F，若 则 A． B． C． D． 12．在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的周长之比为（　　） A． B． C． D． 13．如图，正方形ABCD的边长为3，点E在BC的延长线上，以CE为边，在CE上方构造正方形CEFG，连接AF与BF，分别交CD于点M和点N.若CE=1，则△MNF的面积是　 　. 14．如图，甲、乙两人和木杆依次直立在同一条直线上，甲、乙的视线恰好越过木杆的顶端看到对方的脚。已知甲、乙的眼睛距离地面高度分别为 m和 m，则木杆高为　 　m。 15．在正方形网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的三角形称为格点三角形.请按下列要求画出格点三角形. （1）在图1中画一个格点三角形，使该三角形与格点△ABC全等； （2）在图2中画一个格点三角形，使该三角形的一条边与格点△ABC的一条边重合，且与△ABC相似. 16．如图，是一张锐角三角形的硬纸片，是边上的高，，，从这张硬纸片剪下一个矩形，使它的一边在上，顶点分别在上，且，与的交点为． （1）求证：． （2）求这个矩形的周长． 17． （1） 问题背景 如图 ①，在△ABC 中，DE∥BC，与AB，AC 分别交于D，E 两点，过点 E 作EF∥AB 交BC 于点 F.请按图示数据填空：四边形DBFE 的面积S=　 　，△EFC的面积S1=　 　，△ADE 的面积　 　； （2） 探究发现 在(1)中，若 BF=a，FC=b，DE 与 BC间的距离为h，请证明 （3）拓展迁移 如图②，▱DEFG 的四个顶点在△ABC的三边上，若△ADG，△DBE，△GFC 的面积分别为 2，5，3，试利用(2)中的结论求△ABC 的面积. 三、拓展创新 18．如图，在平行四边形OABC中，OA在x轴上，双曲线经过点C交AB于D，连接CD并延长交x轴于点E，连接BE，若则k的值为（　　）. A． B． C．-2 D．2 19． （1）【问题探究】如图1，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，点 P 在边AC 上，点 E，F 分别在边AB，BC上，连接PE，PF，∠EPF=60°，点G为BC上一点，连接PG，且PG=PC.求证：△AEP∽△GFP. （2）【问题解决】如图 2，某地拟建造一个形如四边形ABCD 的露营基地，其中AD=CD，∠D=∠BAD=∠B=90°，为考虑露营客人娱乐休闲的需求，计划沿线段 AC 修建隔离防护栏，将△ACD 区域设立成花卉观赏区，分别在线段AC，AB，BC上取点P，E，F，将△PEF 区域设立成烧烤区，∠EPF=90°，已知 PF=120米，求烧烤区△PEF 的面积. 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】相似三角形的性质-对应三线 【解析】【解答】解：∵两个相似三角形对应中线的比是8：9， ∴它们的相似比8：9. 故选：A. 【分析】由相似三角形的性质可知，相似三角形的对应边的中线之比等于两三角形的相似比解答即可 2．【答案】B 【知识点】相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的性质-对应面积 【解析】【解答】解：∵，面积比为， ∴△ABC与△DEF的相似比为3：4， ∴与的周长比为3：4， 故答案为：B. 【分析】利用相似三角形的性质（相似三角形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方）分析求解即可. 3．【答案】A 【知识点】相似三角形的实际应用 【解析】【解答】解：由题意得：， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴，解得：， 故答案为：． 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，关键是利用平行线构造相似三角形。由题意可知 ，结合 、、O 共线，可判定 （两角分别相等的两个三角形相似）。根据相似三角形的性质，对应边成比例，即 。其中 、、，，将这些数值代入比例式，解方程即可求出 的值。 4．【答案】 【知识点】相似三角形的实际应用 【解析】【解答】解：过点D作于点E，连接， 则， ∵他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长米， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 【分析】过点D作于点E，连接，则，根据相似三角形性质建立方程，解方程即可求出答案. 5．【答案】3.6 【知识点】相似三角形的实际应用 【解析】【解答】解：由题意可得：AB∥CD ∴△ABO∽△DOC ∵点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm ∴ ∵蜡烛火焰AB的高度为2.4cm ∴ 解得：CD=3.6 故答案为：3.6 【分析】由题意可得：AB∥CD，根据相似三角形判定定理可得△ABO∽△DOC，则，代值计算即可求出答案. 6．【答案】 【知识点】相似三角形的性质-对应面积 【解析】【解答】解：∵ ∴△ADE∽△ABC ∴ 故答案为： 【分析】根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案. 7．【答案】 【知识点】相似三角形的实际应用 【解析】【解答】解：，， ∴， ， ∴ 则尺， 第一时刻的影长为尺， 故答案为：． 【分析】先根据相似三角形的判定证明得到，从而代入数值即可求解。 8．【答案】（1）证明：∵，，，，，， ， ∵， ． （2） 【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积 【解析】【解答】解：（2）∵，且， ． 故答案为：． 【分析】（1）根据SAS即可得出； （2）根据相似三角形的性质，即可得出． （1）证明：∵，，，， ，， ， ∵， ． （2）解：∵，且， ． 答：． 9．【答案】解：过点E作EH⊥CD交AB于点Q，交CD于点H，如图。 则EQ=FB =3 米， AQ=AB-EF=1.4 米， QH=BD =30 米， DH=EF=1.6 米 ∵AB∥CD ∴△EAQ∽△ECH 即 ∴CH=15.4 米 ∴CD =CH+DH=17 米 【知识点】相似三角形的实际应用 【解析】【分析】构造相似三角形，利用其性质求出CH的长即可求CD。 10．【答案】解：如图，CD代表树的高度，由题意知，ED＝2，DF＝8，EC⊥CF，CD⊥EF. 则∠E＋∠ECD＝∠ECD＋∠DCF＝90°， ∴∠E＝∠DCF， ∴Rt△EDC∽Rt△CDF， ∴＝，即DC2＝ED•FD. ∵ED＝2，FD＝8， ∴DC2＝16，∴DC＝4，即树的高度为4 m 【知识点】相似三角形的实际应用 【解析】【分析】如图，根据两角相等得到Rt△EDC∽Rt△CDF，利用对应边成比例解答即可. 11．【答案】C 【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应面积 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，AB//CD ∵ ∴AE：DC=2：5，△AEF∽△CDF ∴ 故答案为：. 【分析】先由平行四边形的性质得出AB=CD，AB//CD，进而得出AE：DC=2：5，△AEF∽△CDF，根据相似比即可解答. 12．【答案】A 【知识点】三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】【解答】如图， ∵点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的中点， ∴AD＝BD，AE＝EC， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，且DE＝BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵DE：BC＝1：2， ∴△ADE与△ABC的周长比为1：2， 故选：A． 【分析】根据中位线得到DE∥BC，且DE＝BC，进而根据相似三角形的判定与性质证明△ADE∽△ABC，从而即可求解。 13．【答案】 【知识点】三角形的面积；正方形的性质；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】 【解答】解：如图，延长FG交AB于点R， ∵四边形ABCD、四边形CEFG均为正方形 ∴AB∥CD∥EF，GF∥CE，∠E=90° ∴FR∥BE，BR∥EF ∴四边形BRFE是矩形 ∴FR⊥AB，FR=BC+CE=4 又∵CD∥AB ∴△FMN∽△FAB ∵ ∴ ∵ ∴. 故答案为：. 【分析】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及面积的计算.先利用正方形的性质求出△FAB底边AB上的高FR，计算△FAB的面积；再利用平行线判定三角形相似，计算相似比；最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解. 14．【答案】 【知识点】相似三角形的实际应用 【解析】【解答】解：对图中各点进行标注，如图， ∵甲、乙两人和木杆依次直立， ∴AD∥EF∥BC， ∴△BEF∽△BDA，△AEF∽△ACB， ∴，， ∴BF＝，AF＝， ∵BF＋AF＝AB， ∴+＝AB， ∵AD＝m，BC＝m， ∴+＝AB， 解得EF＝． 故答案为：． 【分析】对各点进行标注，由甲、乙两人和木杆依次直立，得AD∥EF∥BC，即△BEF∽△BDA，△AEF∽△ACB，根据线段成比例关系得出方程，求解即可． 15．【答案】（1）解：全等作图：将△ABC 整体平移、左右翻折或旋转 180°，在图 1 空白网格区域画出新三角形，新三角形三边网格长度与△ABC 完全一致，满足 SSS 全等判定，即为所求格点三角形； （2）(2) 相似作图：选取 BC 边作为重合边，根据原三角形三边比例，沿 BC 边作新格点，使新三角形另外两条直角边长度为原对应边长的 2 倍，得到三边对应成比例的格点三角形，与△ABC 相似，且有一条边和 BC 重合。 ​​​​​​​ 【知识点】相似三角形的判定；作图﹣相似变换；三角形全等的判定-SSS；运用勾股定理解决网格问题 【解析】【分析】(1) 先算出△ABC 三条边的网格长度，利用平移、翻折或旋转的作图方法，在图 1 网格内画出三边长度完全相等的格点三角形，满足全等判定条件； (2) 先计算△ABC 各边长的比例，选定△ABC 其中一条边作为公共重合边，在图 2 网格中找到格点，构造出三边和原三角形对应成比例的格点三角形，保证两个三角形相似. 16．【答案】（1）证明： ∵四边形EFGH为矩形， ∴EF∥GH， ∴∠AHG=∠ABC， 又∵∠HAG=∠BAC， ∴△AHG-△ABC， （2）解：设HE= 3x， MD=HE= 3x， ∵AD=3， ∴AM =3-x， ∵ ， ∴HG=2x， 由（1） 可得 解得 ， ∴矩形的周长为2×(3x+2x)=10x=. 【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质-对应三线 【解析】【分析】(1)根据矩形性质得出∠AHG=∠ABC， 再证明△AHG-△ABC， 即可证出； (2)根据 (1) 中比例式即可求出HE和HG的长度. 17．【答案】（1）6；9；1 （2）证明：∵DE∥BC，EF∥AB， ∴ 四 边 形 . DBFE 为 平 行 四 边.形，∠AED=∠C，∠A=∠CEF， ∴DE=BF=a，△ADE∽△EFC， 又∵S= ah， （3）解：过点G作GH∥AB交BC于H， 则四边形DBHG为平行四边形. ∴∠GHC =∠B， BD=HG， DG=BH， ∵四边形DEFG为平行四边形， ∴DG=EF. ∴BH=EF. ∴BE = HF， ∴△DBE≌△GHF. ∴△GHC的面积为5+3 = 8. 由(2)得， 平行四边形DBHG的面积为 ∴△ABC的面积为2+8+8=18 【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积 【解析】【解答】解： ∴四边形DBFE是平行四边形， 故答案为6， 9， 1. 【分析】(1)根据平行四边形面积公式、三角形面积公式，相似三角形的性质即可解决问题. (2)根据平行四边形面积公式、三角形面积公式，相似三角形的性质，分别求出， 即可解决问题. (3)过点G作( 交BC于H， 则四边形DBHG为平行四边形，利用 (2)的结论求出▱DBHG的面积， 的面积即可. 18．【答案】B 【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】【解答】如图，过点B作BF⊥OE于点F，过点D作DG⊥OE于点G，过点C作CH⊥OE于点H. 设点C(a，)，∵点C在第二象限， ∴a<0，k<0.则 ∵四边形OABC是平行四边形， ∴OA=BC，OA∥BC.∵BF⊥OE，CH⊥OE， .∴D（）.∴OG=-4a. ∵四边形OABC是平行四边形， ∴OC=AB，OC∥AB， ∴∠BAE=∠COA. 在△ABF和△OCH中， ∴△ABF≌△OCH(AAS). ∴AF=OH=-a. 即 解得 故答案为：B. 【分析】过点B作于点F，过点D作于点G，过点C作 于H，易证 B，得到 可得 =6；设点 则 ；能够得到 则OG=-4a.利用 可求得 则得GA 最后利用. 列出比例式即可求得k的值. 19．【答案】（1）证明：∵BA＝BC，∠B＝120°， ∴∠A＝∠C＝30°. ∵PG＝PC， ∴∠C＝∠CGP＝30°， ∴∠APG＝60°，∠A＝∠PGF＝30°. ∵∠EPF＝60°， ∴∠EPF－∠EPG＝∠APG－∠EPG， ∴∠APE＝∠GPF， ∴△AEP∽△GFP （2）如图，过点P作PG⊥BC，垂足为G，过点P作PH⊥AB，垂足为H， ∵∠D＝∠BAD＝∠B＝90°， ∴四边形ABCD是矩形. ∵AD＝CD，∴矩形ABCD是正方形， ∴∠PAH＝∠PCG＝45°. ∵PG⊥BC，PH⊥AB， ∴∠PHB＝∠PGB＝∠B＝90°， ∴∠HPG＝90°. 易证Rt△APH∽Rt△CPG， ∴＝. ∵∠EPF＝90°， ∴∠EPH＝∠FPG， ∴△EPH∽△FPG， ∴＝， ∴＝，即＝. ∵＝，AC＝AP＋PC， ∴＝. ∵PF＝120 m， ∴＝， ∴PE＝280 m， ∴ S△PEF＝×120×280＝16 800（m2）. ∴烧烤区△PEF的面积为16 800 m2 【知识点】正方形的判定与性质；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【分析】(1) 先根据等腰三角形顶角 120° 算出两个底角均为 30°，结合 PG=PC 得到∠CGP=30°，推导出∠APG=60°，再结合∠EPF=60° 利用角的等量代换得到一组等角，结合已有相等角，用两角对应相等证明三角形相似； (2) 先由已知直角与邻边相等判定四边形 ABCD 为正方形，得出对角线分出 45° 角；作两条垂线构造直角三角形，证明△APH 与△CPG 相似得到边长比例；再根据∠EPF=90° 推导角相等，证△EPH∽△FPG，得到 PE、PF 的长度比值；结合 PC 与 AC 的比例算出 PE 长度，最后用直角三角形面积公式算出△PEF 面积。 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪科版数学九年级上册22.4相似三角形的性质分层同步练习 一、夯实基础 1．如果两个相似三角形对应中线的比为8：9，则它们的相似比为（　　）. A．8：9 B．9：8 C．64：81 D． 【答案】A 【知识点】相似三角形的性质-对应三线 【解析】【解答】解：∵两个相似三角形对应中线的比是8：9， ∴它们的相似比8：9. 故选：A. 【分析】由相似三角形的性质可知，相似三角形的对应边的中线之比等于两三角形的相似比解答即可 2．若，面积比为，则与的周长比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的性质-对应面积 【解析】【解答】解：∵，面积比为， ∴△ABC与△DEF的相似比为3：4， ∴与的周长比为3：4， 故答案为：B. 【分析】利用相似三角形的性质（相似三角形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方）分析求解即可. 3．如图，当点、、在同一直线上时，在处与处测得的视力相同．若米，米，米，则是（　　）米． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相似三角形的实际应用 【解析】【解答】解：由题意得：， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴，解得：， 故答案为：． 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，关键是利用平行线构造相似三角形。由题意可知 ，结合 、、O 共线，可判定 （两角分别相等的两个三角形相似）。根据相似三角形的性质，对应边成比例，即 。其中 、、，，将这些数值代入比例式，解方程即可求出 的值。 4．小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长为米，又测得墙上影高为米，旗杆的高度为　 　米． 【答案】 【知识点】相似三角形的实际应用 【解析】【解答】解：过点D作于点E，连接， 则， ∵他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长米， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 【分析】过点D作于点E，连接，则，根据相似三角形性质建立方程，解方程即可求出答案. 5．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．－1图是小孔成像的示意图，其对应的数学模型如－2图所示．已知AC与BD交于点O，AB∥CD．若点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，蜡烛火焰AB的高度为2.4cm．则蜡烛火焰倒立的像CD的高度为　 　cm． 【答案】3.6 【知识点】相似三角形的实际应用 【解析】【解答】解：由题意可得：AB∥CD ∴△ABO∽△DOC ∵点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm ∴ ∵蜡烛火焰AB的高度为2.4cm ∴ 解得：CD=3.6 故答案为：3.6 【分析】由题意可得：AB∥CD，根据相似三角形判定定理可得△ABO∽△DOC，则，代值计算即可求出答案. 6． 如图，在中，点，分别在，上，，若，则　 　． 【答案】 【知识点】相似三角形的性质-对应面积 【解析】【解答】解：∵ ∴△ADE∽△ABC ∴ 故答案为： 【分析】根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案. 7．中国古人发明利用物体的影子确定四季的工具——土圭，具体方法是在平台中央竖立一根杆子，尺，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角．和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第二时刻的影长为24尺，则第一时刻的影长为　 　尺． 【答案】 【知识点】相似三角形的实际应用 【解析】【解答】解：，， ∴， ， ∴ 则尺， 第一时刻的影长为尺， 故答案为：． 【分析】先根据相似三角形的判定证明得到，从而代入数值即可求解。 8．如图，在中，，分别是边和上的点，其中，，，． （1）求证：； （2）记的面积为，的面积为，则______． 【答案】（1）证明：∵，，，，，， ， ∵， ． （2） 【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积 【解析】【解答】解：（2）∵，且， ． 故答案为：． 【分析】（1）根据SAS即可得出； （2）根据相似三角形的性质，即可得出． （1）证明：∵，，，， ，， ， ∵， ． （2）解：∵，且， ． 答：． 9．学习了相似三角形相关知识后，小明想利用“标杆”测量教学楼的高度.如图，小明站在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得点E、A、C在一条直线上(点F、B、D也在一条直线上)已知小明的目高EF为1.6米， “标杆”AB为3米， BD =30米， FB=3米， EF、AB、CD均垂直于地面DF， 求教学楼CD的高度. 【答案】解：过点E作EH⊥CD交AB于点Q，交CD于点H，如图。 则EQ=FB =3 米， AQ=AB-EF=1.4 米， QH=BD =30 米， DH=EF=1.6 米 ∵AB∥CD ∴△EAQ∽△ECH 即 ∴CH=15.4 米 ∴CD =CH+DH=17 米 【知识点】相似三角形的实际应用 【解析】【分析】构造相似三角形，利用其性质求出CH的长即可求CD。 10．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为 m，若两次日照的光线互相垂直，求树的高度. 【答案】解：如图，CD代表树的高度，由题意知，ED＝2，DF＝8，EC⊥CF，CD⊥EF. 则∠E＋∠ECD＝∠ECD＋∠DCF＝90°， ∴∠E＝∠DCF， ∴Rt△EDC∽Rt△CDF， ∴＝，即DC2＝ED•FD. ∵ED＝2，FD＝8， ∴DC2＝16，∴DC＝4，即树的高度为4 m 【知识点】相似三角形的实际应用 【解析】【分析】如图，根据两角相等得到Rt△EDC∽Rt△CDF，利用对应边成比例解答即可. 二、能力提升 11．如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连接AC，DE，AC 与 DE 相交于点 F，若 则 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应面积 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，AB//CD ∵ ∴AE：DC=2：5，△AEF∽△CDF ∴ 故答案为：. 【分析】先由平行四边形的性质得出AB=CD，AB//CD，进而得出AE：DC=2：5，△AEF∽△CDF，根据相似比即可解答. 12．在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的周长之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】【解答】如图， ∵点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的中点， ∴AD＝BD，AE＝EC， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，且DE＝BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵DE：BC＝1：2， ∴△ADE与△ABC的周长比为1：2， 故选：A． 【分析】根据中位线得到DE∥BC，且DE＝BC，进而根据相似三角形的判定与性质证明△ADE∽△ABC，从而即可求解。 13．如图，正方形ABCD的边长为3，点E在BC的延长线上，以CE为边，在CE上方构造正方形CEFG，连接AF与BF，分别交CD于点M和点N.若CE=1，则△MNF的面积是　 　. 【答案】 【知识点】三角形的面积；正方形的性质；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】 【解答】解：如图，延长FG交AB于点R， ∵四边形ABCD、四边形CEFG均为正方形 ∴AB∥CD∥EF，GF∥CE，∠E=90° ∴FR∥BE，BR∥EF ∴四边形BRFE是矩形 ∴FR⊥AB，FR=BC+CE=4 又∵CD∥AB ∴△FMN∽△FAB ∵ ∴ ∵ ∴. 故答案为：. 【分析】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及面积的计算.先利用正方形的性质求出△FAB底边AB上的高FR，计算△FAB的面积；再利用平行线判定三角形相似，计算相似比；最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解. 14．如图，甲、乙两人和木杆依次直立在同一条直线上，甲、乙的视线恰好越过木杆的顶端看到对方的脚。已知甲、乙的眼睛距离地面高度分别为 m和 m，则木杆高为　 　m。 【答案】 【知识点】相似三角形的实际应用 【解析】【解答】解：对图中各点进行标注，如图， ∵甲、乙两人和木杆依次直立， ∴AD∥EF∥BC， ∴△BEF∽△BDA，△AEF∽△ACB， ∴，， ∴BF＝，AF＝， ∵BF＋AF＝AB， ∴+＝AB， ∵AD＝m，BC＝m， ∴+＝AB， 解得EF＝． 故答案为：． 【分析】对各点进行标注，由甲、乙两人和木杆依次直立，得AD∥EF∥BC，即△BEF∽△BDA，△AEF∽△ACB，根据线段成比例关系得出方程，求解即可． 15．在正方形网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的三角形称为格点三角形.请按下列要求画出格点三角形. （1）在图1中画一个格点三角形，使该三角形与格点△ABC全等； （2）在图2中画一个格点三角形，使该三角形的一条边与格点△ABC的一条边重合，且与△ABC相似. 【答案】（1）解：全等作图：将△ABC 整体平移、左右翻折或旋转 180°，在图 1 空白网格区域画出新三角形，新三角形三边网格长度与△ABC 完全一致，满足 SSS 全等判定，即为所求格点三角形； （2）(2) 相似作图：选取 BC 边作为重合边，根据原三角形三边比例，沿 BC 边作新格点，使新三角形另外两条直角边长度为原对应边长的 2 倍，得到三边对应成比例的格点三角形，与△ABC 相似，且有一条边和 BC 重合。 ​​​​​​​ 【知识点】相似三角形的判定；作图﹣相似变换；三角形全等的判定-SSS；运用勾股定理解决网格问题 【解析】【分析】(1) 先算出△ABC 三条边的网格长度，利用平移、翻折或旋转的作图方法，在图 1 网格内画出三边长度完全相等的格点三角形，满足全等判定条件； (2) 先计算△ABC 各边长的比例，选定△ABC 其中一条边作为公共重合边，在图 2 网格中找到格点，构造出三边和原三角形对应成比例的格点三角形，保证两个三角形相似. 16．如图，是一张锐角三角形的硬纸片，是边上的高，，，从这张硬纸片剪下一个矩形，使它的一边在上，顶点分别在上，且，与的交点为． （1）求证：． （2）求这个矩形的周长． 【答案】（1）证明： ∵四边形EFGH为矩形， ∴EF∥GH， ∴∠AHG=∠ABC， 又∵∠HAG=∠BAC， ∴△AHG-△ABC， （2）解：设HE= 3x， MD=HE= 3x， ∵AD=3， ∴AM =3-x， ∵ ， ∴HG=2x， 由（1） 可得 解得 ， ∴矩形的周长为2×(3x+2x)=10x=. 【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质-对应三线 【解析】【分析】(1)根据矩形性质得出∠AHG=∠ABC， 再证明△AHG-△ABC， 即可证出； (2)根据 (1) 中比例式即可求出HE和HG的长度. 17． （1） 问题背景 如图 ①，在△ABC 中，DE∥BC，与AB，AC 分别交于D，E 两点，过点 E 作EF∥AB 交BC 于点 F.请按图示数据填空：四边形DBFE 的面积S=　 　，△EFC的面积S1=　 　，△ADE 的面积　 　； （2） 探究发现 在(1)中，若 BF=a，FC=b，DE 与 BC间的距离为h，请证明 （3）拓展迁移 如图②，▱DEFG 的四个顶点在△ABC的三边上，若△ADG，△DBE，△GFC 的面积分别为 2，5，3，试利用(2)中的结论求△ABC 的面积. 【答案】（1）6；9；1 （2）证明：∵DE∥BC，EF∥AB， ∴ 四 边 形 . DBFE 为 平 行 四 边.形，∠AED=∠C，∠A=∠CEF， ∴DE=BF=a，△ADE∽△EFC， 又∵S= ah， （3）解：过点G作GH∥AB交BC于H， 则四边形DBHG为平行四边形. ∴∠GHC =∠B， BD=HG， DG=BH， ∵四边形DEFG为平行四边形， ∴DG=EF. ∴BH=EF. ∴BE = HF， ∴△DBE≌△GHF. ∴△GHC的面积为5+3 = 8. 由(2)得， 平行四边形DBHG的面积为 ∴△ABC的面积为2+8+8=18 【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积 【解析】【解答】解： ∴四边形DBFE是平行四边形， 故答案为6， 9， 1. 【分析】(1)根据平行四边形面积公式、三角形面积公式，相似三角形的性质即可解决问题. (2)根据平行四边形面积公式、三角形面积公式，相似三角形的性质，分别求出， 即可解决问题. (3)过点G作( 交BC于H， 则四边形DBHG为平行四边形，利用 (2)的结论求出▱DBHG的面积， 的面积即可. 三、拓展创新 18．如图，在平行四边形OABC中，OA在x轴上，双曲线经过点C交AB于D，连接CD并延长交x轴于点E，连接BE，若则k的值为（　　）. A． B． C．-2 D．2 【答案】B 【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】【解答】如图，过点B作BF⊥OE于点F，过点D作DG⊥OE于点G，过点C作CH⊥OE于点H. 设点C(a，)，∵点C在第二象限， ∴a<0，k<0.则 ∵四边形OABC是平行四边形， ∴OA=BC，OA∥BC.∵BF⊥OE，CH⊥OE， .∴D（）.∴OG=-4a. ∵四边形OABC是平行四边形， ∴OC=AB，OC∥AB， ∴∠BAE=∠COA. 在△ABF和△OCH中， ∴△ABF≌△OCH(AAS). ∴AF=OH=-a. 即 解得 故答案为：B. 【分析】过点B作于点F，过点D作于点G，过点C作 于H，易证 B，得到 可得 =6；设点 则 ；能够得到 则OG=-4a.利用 可求得 则得GA 最后利用. 列出比例式即可求得k的值. 19． （1）【问题探究】如图1，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，点 P 在边AC 上，点 E，F 分别在边AB，BC上，连接PE，PF，∠EPF=60°，点G为BC上一点，连接PG，且PG=PC.求证：△AEP∽△GFP. （2）【问题解决】如图 2，某地拟建造一个形如四边形ABCD 的露营基地，其中AD=CD，∠D=∠BAD=∠B=90°，为考虑露营客人娱乐休闲的需求，计划沿线段 AC 修建隔离防护栏，将△ACD 区域设立成花卉观赏区，分别在线段AC，AB，BC上取点P，E，F，将△PEF 区域设立成烧烤区，∠EPF=90°，已知 PF=120米，求烧烤区△PEF 的面积. 【答案】（1）证明：∵BA＝BC，∠B＝120°， ∴∠A＝∠C＝30°. ∵PG＝PC， ∴∠C＝∠CGP＝30°， ∴∠APG＝60°，∠A＝∠PGF＝30°. ∵∠EPF＝60°， ∴∠EPF－∠EPG＝∠APG－∠EPG， ∴∠APE＝∠GPF， ∴△AEP∽△GFP （2）如图，过点P作PG⊥BC，垂足为G，过点P作PH⊥AB，垂足为H， ∵∠D＝∠BAD＝∠B＝90°， ∴四边形ABCD是矩形. ∵AD＝CD，∴矩形ABCD是正方形， ∴∠PAH＝∠PCG＝45°. ∵PG⊥BC，PH⊥AB， ∴∠PHB＝∠PGB＝∠B＝90°， ∴∠HPG＝90°. 易证Rt△APH∽Rt△CPG， ∴＝. ∵∠EPF＝90°， ∴∠EPH＝∠FPG， ∴△EPH∽△FPG， ∴＝， ∴＝，即＝. ∵＝，AC＝AP＋PC， ∴＝. ∵PF＝120 m， ∴＝， ∴PE＝280 m， ∴ S△PEF＝×120×280＝16 800（m2）. ∴烧烤区△PEF的面积为16 800 m2 【知识点】正方形的判定与性质；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【分析】(1) 先根据等腰三角形顶角 120° 算出两个底角均为 30°，结合 PG=PC 得到∠CGP=30°，推导出∠APG=60°，再结合∠EPF=60° 利用角的等量代换得到一组等角，结合已有相等角，用两角对应相等证明三角形相似； (2) 先由已知直角与邻边相等判定四边形 ABCD 为正方形，得出对角线分出 45° 角；作两条垂线构造直角三角形，证明△APH 与△CPG 相似得到边长比例；再根据∠EPF=90° 推导角相等，证△EPH∽△FPG，得到 PE、PF 的长度比值；结合 PC 与 AC 的比例算出 PE 长度，最后用直角三角形面积公式算出△PEF 面积。 学科网（北京）股份有限公司 $