3.4 函数的应用(一)-（配套教参）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

数学·必修第一册 3.4岛数 课程标准 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的 要模型 2.会利用已知的函数模型（或建立函数模型）解决实 问题 ● 课前@ [情境引入] 随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外 出的代步工具，下面是某地一汽车销售公司对近三年 的汽车销售量的统计表： 年份 2022 2023 2024 销量/万辆 6 18 30 结合以上三年的销量及人们生活的需要，2025年初， 该汽车销售公司的经理提出全年预售43万辆汽车的 远大目标，经过全体员工的共同努力，2025年实际销 售44万辆，圆满完成销售目标. [问题1]在实际生产生活中，对已收集到的样本数 据常采用什么方式获取直观信息？ [问题2]如果我们分别将2022,2023,2024,2025年 定义为第一、二、三、四年，现在有两个函数模型：二次 函数模型f(x)=ax2十bx十c(a≠0)，一次函数模型 g(x)=ax十b(a≠0)，哪个模型能更好地反映该公司 年销量y与第x年的关系？ [问题3]依照目前的形势分析，你能预测一下2026 年，该公司预销售多少辆汽车吗？ 提示1.建立函数模型.2.通过计算二次函数能更好 地反映该公司的年销量.3.2026年，该公司预销售60 万辆汽车. [知识梳理] [知识点一] 1.常见函数模型 名称 解析式 条件 一次函数模型 y=k.x十b k≠0 反比例函数模型 y=+6 及≠0 x 一般式：y=ax2+b.x+c 二次函数模型 顶点式：y=a(x十 )2+4c-b2 a≠0 2a 4a a≠0， 幂函数模型 y=ax"+b n≠1 的应用（一） 素养解读 重 通过本节的学习，使学生体会常见函数的变化异 同，提升学生数学抽象、数学建模、数据分析等 际 素养 预习学案 对应学生用书P86 -0 2.本质：数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数 学语言表达问题，选择适当的函数模型，数学模型 解决问题， 3.应用：应用于各类与数学相关的应用题！ 招思考解决函数应用问题的基本步骤是什么？ 提示：利用函数知识和函数观，点解决实际问题时， 一般按以下几个步骤进行： (一)审题；（二）建模；（三）求模；（四）还原. 这些步骤用框图表示如图： 实际问题分析、联想、 建立函数模型 抽象、转化 问题 数学 解决 解答 实际问题结论 转译 数学问题结论 [知识点二] 分段函数模型：一种比较复杂的函数模型，可以用来 描述在不同区间上有不同变化规律的实际问题.或者 将定义域上变化复杂的函数分成几段区间来研究，在 每一段区间上函数有各自的变化规律，根据函数的具 体变化，再分段选择相应的函数模型， [预习自测] 1.某地供电公司为鼓励小微企业增加夜间时段用电， 规定在月度所属夜间计费时段内采用按用电量分段 计费的方法来计算电费，夜间月用电量x(kW·h)与 相应电费y(元)之间的函数关系如图所示，当夜间 月用电量为300kW·h时，应交电费为 () y元 110 60 0100200x/kw.h A.130元 B.140元 C.150元 D.160元 答案：D 2.随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含 氧量也随之下降，且含氧量y(g/m3)与大气压强x (kPa)成正比例函数关系.当x=36kPa时，y= 26 108g/m3,则y与x的函数关系式为 A.y=3x(x≥0) B.y=3x C.y=3x(x≥0) D.y=3x 答案：A ● 课堂。 题型 次函数模型的应用 [例1]某服装店经销A,B两种T恤衫，进价和售价 如下表所示： 品名 A B 进价/（元/件） 45 60 售价/（元/件） 66 90 (1)第一次进货时，服装店用6000元购进A,B两 种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？ (2)受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进 价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了 10元，但两种T恤衫的售价不变.服装店计划购进 A,B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进 量不超过A种T恤衫购进量的2倍.设此次购进 A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利 W元. ①请求出W与m的函数关系； ②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说 明理由. [思路点拨](1)设服装店购进A种T恤衫x 件，购进B种T恤衫y件， 则有/x+y=120 从而求得x,. 145.x+60y=6000, (2)W=(66-45-5)m+(90-60-10)(150-m) =一4m十3000，根据一次函数的单调性求解. [解](1)设服装店购进A种T恤衫x件，购进B 种T恤衫y件。 由题意，得十y=120, 解得∫=80， 145.x+60y=6000, 1y=40. (66-45)×80+(90-60)×40=2880(元). 答：全部售完获利2880元 (2)①，购进A种T恤衫m件， .购进B种T恤衫(150-m)件 由题意，得0<150-m≤2m,.50≤m<150. 则W=(66-45-5)m+(90-60-10)(150-m) =-4m+3000, .W与m的函数关系式为W=一4m十3000(50≤ m<150). 第三章函数的概念与性质 3.企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为 C(x)=x2+4x+10(万元)，一万件的售价是30万 元，若商品能全部卖出，则该企业一个月生产该商 品的最大利润为 万元. 答案：159 互动学案 对应学生用书P87 ②服装店第二次获利不能超过第一次获利 理由如下：W=一4m+3000(50≤m<150),-4 <0, .W随m的增大而减小，当m=50时，W取最大 值，最大值为一4×50十3000=2800（元）. 2800<2880, 服装店第二次获利不能超过第一次获利 规律方法 1.一次函数模型解决实际问题的原则 一次函数模型的应用层次要求不高，一般情况 下按照“问什么，设什么，列什么”的原则来处 理，求解过程也比较简单. 2.一次函数模型解决问题的注意点 用一次函数模型解决实际问题时，对于给出图 象的应用题可先结合图象利用待定系数法求出 解析式.对于一次函数y=a.x十b(a≠0)，当 a>0时为增函数，当a<0时为减函数.另外，要 结合题目理解(0，b)或 ,0这些特殊点的 a 意义 ◇[变式训练] 1.某公司在甲、乙两个仓库分别有农用车12辆和6 辆.现需要调往A县10辆，B县8辆，已知从甲仓 库调运一辆农用车到A县、B县的运费分别为40 元、80元；从乙仓库调运一辆农用车到A县、B县 的运费分别为30元、50元.则总费用最少为 A.300元 B.400元 C.700元 D.860元 解析：D[设从甲仓库调往A县的车辆数为x,则 从甲仓库调往B县的车辆数为12一x,从乙仓库调 往A县的车辆数为10一x,从乙仓库调往B县的车 辆数为6-（10-x)=x-4. 设总费用为y,则y=40x+80×(12-x)十30× (10-x)+50×(x-4)=1060-20x(4≤x≤10，x ∈N),要使总费用y最少，则需x最大，所以当x= 10时，总费用y最少，为860元.门 数学·必修第一册 题型三】 三次函数模型的应用 [例2]第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至 2月14日在我国哈尔滨举办，此次亚冬会上中国 体育代表团获得32枚金牌、85枚奖牌，名列金牌 榜和奖牌榜首位.亚冬会结束后，人们对冰雪的热 爱不减，亚冬会周边纪念品依然十分畅销.某商家 以每套30元的价格购进一批纪念品套件.若该纪 念品每套的售价是40元时，每天可售出60套；若 每套的售价每降价1元，则每天可以多卖10套. (1)设纪念品每套降价x元，求该纪念品的销售量 y与x之间的函数解析式. (2)求每套纪念品的售价定为多少元时，每天销售 纪念品套件所获的利润W最大？最大利润是多 少元？ 汇思路点拔]本题主要考查二次函数的实际应 用，掌握相关量之间的关系并列出函数解析式是 解题的关键. (1)根据题意，用含有x的式子将销售量表示出 来，即可求解。 (2)根据总利润等于单件利润乘以销售量，可得到 函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求解， [解](1)根据题意，可知当纪念品每套降价x元 时，每天可以多卖10x套， 则销售量y与x之间的函数解析式为y=10x +60. (2)根据题意，可知当纪念品每套降价x元时，售价 为(40一x)元，由(1)可知每天销售量为(10x十 60)套， 则W=[(40-x)-30](10.x+60)=10x2+40x+ 600=-10(.x-2)2+640, -10<0, ∴.当x=2时，W取最大值为640 故售价为40-2=38元. 答：每套售价定为38元时，每天利润最大，最大利 涧是640元， 规律方法 二次函数模型解题思路 二次函数模型的解析式为g(x)=ax2十b.x十c(a ≠0).在函数建模中，它占有重要的地位.在根据 实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别 式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最 值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求 最值最好结合二次函数的图象来解答. ◇[变式训练] 2.随着人们对交通安全的认识，骑电动车必需戴头 盔，所以头盔已成为人们日常生活中不可或缺的必 备品.某商人将进货单价为8元的某种头盔按10 元一个销售时，每天可卖出100个.现在他采用提 高售价，减少进货量的办法塔加利润，已知这种头 盔销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将 售价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？ 并求出最大值. 解：设每个提价x元(x≥0，x∈N),利润为y元 每天销售总额为(10十x)(100一10.x)元， 进货总额8(100一10x)元，显然100-10x>0,即x <10, 则y=(10+x)(100-10.x)-8(100-10x) =(2+x)(100-10x) =-10(.x-4)2+360(0≤x<10,x∈N). 当x=4时，y取得最大值，此时销售单价应为14 元，最大利润为360元」 所以当售价定为14元时，可使每天所赚的利润最 大，最大利润为360元 题型三 分段函数模型 [例3]为了预防流行性感冒，某↑mg) 学校对教室采用药熏消毒法进 6 行消毒，已知药物燃烧时室内 每立方米空气中的含药量 y(mg)与时间x(min)成正比 0 x(min) 例，药物燃烧完后满足y=,如图所示，现测得药 物8min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量 为6mg,请按题中所供给的信息，解答下列各题. (1)求y关于x的函数解析式： (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于 3mg且持续时间不低于l0min时才能有效杀灭空 气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 汇思路点拨]“依题意，把实际问题转化为数学 问题. [解](1)当0≤x≤8时，设y=Ax,代入(8,6)， 得到入=是，所以y=子(0<≤8. 当x≥8时，把(8,6)代入得到k=48, 是，0≤<8. 所以y=(x>8),所以y宁 48 x>8. 8 (2)当0<8时，令是=3，得x=4, 当x>8时，令48=3，得x=16, 所以空气中每立方米的含药量不低于3mg时的持 续时间为16一4=12(min)>10,所以此次消毒 有效 规律方法 (1)现实生活中有很多问题都是用分段函数表示 的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数是 刻画现实问题的重要模型， (2)分段函数的每一段自变量变化所遵循的规律 不同，因此可以先将其看成几个问题，将各段 的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要 注意各段自变量的范围，特别是端点值， ◇[变式训练] 3.共享单车是城市慢行系统的一种模式创新，对于解 决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停 取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的 热捧.某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单 车，已知生产新样式单车的固定成本为20000元， 每生产一辆新样式单车需要增加投入100元，根据 初步测算，自行车厂生产新样式单车的总收益（单 位：元)满足分段函数h(x),其中h(x) -100x-号，0<≤40 (80000,x>400 x是新样式单车的产量（单位：辆），利润=总收益 一总成本 (1)试将自行车厂生产新样式单车的利润y(单位： 元)表示为产量x的函数； (2)当产量为多少时，自行车厂生产新样式单车的 利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)依题意，生产x辆新样式单车的总成本为 (20000+10x)元， 则y= 号+30x-20o0.0x≤40且eN (60000-100x,x>400且x∈N (2)当0<x≤400时，y=2(x-300)+25000y 则当x=300时，ymax=25000; 当x>400时，y=60000-100x单调递减， 则y<60000-100×400=20000, 所以当产量为300辆时，自行车厂生产新样式单车 的利润最大，最大利涧为25000元. ·1 第三章函数的概念与性质 题型四】 幕函数模型的应用 [例4]美国对中国芯片的技 y千万元 术封锁，激发了中国“芯”的 研究热潮.某公司研发的 01 4x/千万元 A,B两种芯片都已经获得 成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现 在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生 产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每 投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产 B芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万 元)的函数关系为y=kx(x>0),其图象如图 所示. (1)试分别求出生产A,B两种芯片的毛收入y(千 万元)与投入资金x(千万元)的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片 毛收入更大？ (3)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A,B 两种芯片，设投入x千万元生产B芯片，用f(x)表 示公司所获净利润，当x为多少时，可以获得最大 净利润？并求出最大净利润.（净利润=A芯片毛 收入十B芯片毛收入一研发耗费资金) 汇思路点拨]设投入资金为x千万元，则A芯片 的毛收入为y=学(x>0),将(11).4,2)代入y =kx,得生产B芯片的毛收入为y=√x(x>0). [解](1)设投入资金x千万元，则生产A芯片的 毛收入y=若(x>0). 将(1,1)，(4,2)代入y=kx°， 得=1， k=1, 1 {k·4=2,a=2 生产B芯片的毛收入y=√((x>0) (2)由>√元，得x>16: 由若=V丘，得x=16, 由千<丘，得0<<16. .当投入资金大于16千万元时，生产A芯片的毛 收入更大；当投入资金等于16千万元时，生产A,B 芯片的毛收入相等；当投入资金小于16千万元时， 生产B芯片的毛收入更大 (3)由题知投入x千万元生产B芯片，则投入 (40一x)千万元资金生产A芯片，公司所获净利润 9 数学·必修第一册 f()=40-x+F-2=- (G-2)2+9,故当 √(=2，即x=4千万元时，公司所获净利润最大， 最大净利润为9千万元。 规律方法 幂函数模型的应用求解策略 (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求 出参数，明确函数关系式 (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式. ⊙[变式训练] 4.在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形 管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比 (1)写出函数解析式； 随堂® 1.一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满 足一次函数关系.如果购买1000吨，则每吨 800元，购买2000吨，则每吨700元，那么一客户 购买400吨，其价格为每吨 ) A.820元 B.840元 C.860元 D.880元 答案：C 2.某工厂计划在一边长为60m的正三角形空地上建 造一座长方体的厂房，则厂房占地面积的最大值为 () A.400√3m B.450√3m C.400m D.450m2 答案B 3.端午节期间，某商场为吸引顾客，实行买100送20 活动，即顾客购物每满100元，就可以获赠商场购 物券20元，可以当作现金继续购物.如果你有 1460元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以 获赠购物券累计 元 答案：360 4.某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投 入x(万元)与药品利润y(万元)的关系为y=x(a 为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告 费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入 广告费用5万元，预计今年药品利润为 万元 答案：125 5.通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意 力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时， ·1 (2)假设气体在半径为3cm的管道中的流量为 400cm3/s,求该气体通过半径为rcm的管道时， 其流量R的函数解析式； (3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5cm,计算 该气体的流量。 解：(1)由题意，得R=kr(k是大于0的常数) (2)由r=3cm,R=400cm3/s,得k·3=400, 二k=400,流量R的函数解析式为R=O. 81 (3)R=400. 81 r, 当r=5cm时，R=40X5≈3086(em/s. 81 步步夯实 对应学生用书P90 学生的兴趣激塔，中间一段时间，学生保持较理想 的状态，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示 学生注意力随时间t(min)的变化规律f(t)越大， 表明学生注意力越集中)，经实验分析得知： -t2+24t+100,0<t≤10， f(t)={240,10<t≤20， .-7t+380,20t40. (1)讲课开始多少分钟，学生的注意力最集中？能 持续多少分钟？ (2)讲课开始后5min与讲课开始后25min比较， 何时学生的注意力更集中？ (3)一道数学难题，需要讲解24min,并且要求学生 的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师 能否在学生达到所需要的状态下讲完这道题目？ 解：(1)当0<t≤10时，f(t)=-t+24t+100是增 函数，当20<t≤40时，f(t)=一7t十380是减函 数，且f(10)=f(20)=240,所以讲课开始10min, 学生的注意力最集中，能持续l0min. (2)因为f(5)=195,f(25)=205, 所以讲课开始后25min比讲课开始后5min学生 的注意力更集中. (3)当0<t≤10时，令f(t)=-t2+24t+100= 180,得t=4, 当20<t≤40时，令f(t)=-7t十380=180， 得t≈28.57， 又28.57-4=24.57>24， 所以经过适当的安排，老师可以在学生达到所需要 的状态下讲完这道题目. 30 课后 基础过关 1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程 s关于时间t变化的图象如图所示， 那么图象所对应的函数模型是 A.一次函数 B.二次函数 C.分段函数 D.无法确定 答案：C 2.一等腰三角形的周长为20，底边y是关于腰长x 的函数，则它的解析式为 A.y=20-2x(x≤10) B.y=20-2x(x<10) C.y=20-2.x(5≤x≤10) D.y=20-2.x(5<x<10) 答案：D 3.你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真《元夜》的 “火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照， 花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的 花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来 人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度h (单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系式为h 一3.6t十28.8t,则烟花在冲击后爆裂的时刻是 ( A.第4秒 B.第5秒 C.第3.5秒 D.第3秒 答案：A 4,某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计 算，计算公式为： 4.x,1≤x<10,x∈N*, y=2x+10,10≤x<100,x∈N, 1.5x,x≥100，x∈N". 其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数.若应聘 的面试人数为60，则该公司拟录用人数为( A.15 B.40 C.25 D.130 答案：C 5.(多选)在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通 过圆形管道时，其流量v(单位：cm3/s)与管道的半 径r(单位：cm)的四次方成正比，当气体在半径为 5cm的管道中时，流量为1250cm3/s,则() 。18 第三章函数的概念与性质 素养提升 对应学生课时P289 A.当气体在半径为3cm的管道中时，流量 为162cm3/s B.当气体在半径为3cm的管道中时，流量 为152cm3/s C.要使得气体流量不小于512cm3/s,管道的半径 的最小值为4cm D.要使得气体流量不小于512cm3/s,管道的半径 的最小值为3√2cm 解析：AC[依题意可设v=kr,k为常数. 当气体在半径为5cm的管道中时，流量为 1250cm3/s,所以1250=k×54,解得k=2,则v= 2r.当r=3时，v=162,故A正确，B错误. 由2r≥512，解得r≥4，故C正确，D错误.] 6.(多选)某厂有许多形状为直角 8 梯形的铁皮边角料，为了降低 消耗，现要从这些边角料上截 20 取矩形铁片（如图所示）.当截 取的矩形面积最大时，矩形两 -24 边的长x,y应为 A.x=15 B.x=12 C.y=12 D.y=14 解析：AC[结合题图，可得二=24二y,得y=24 20 16 一，矩形铁片的西积S=y=x(24-号) 40+24c,所以当x 24 15时，S 最大，此时y=24-号×15=12.故选A、C.] 7.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生 活用水实行“阶梯水价”，计费方法如表所示.若某 户居民某月缴纳水费60元，则该月用水量为 m'. 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/m3 超过12m3但不超过 6元/m 18m3的部分 超过18m3的部分 9元/m3 数学·必修第一册 解析：设用水量为xm3,缴纳水费为y元，由题可 3x,x≤12， 知y36+6(x-12),12<x≤18，当y=60时，解得 72+9(x-18),x>18, x=16. 答案：16 8.有一批材料可以建成200m的围墙， 如果用此材料在一边靠墙的地方围成x 一块矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的 矩形，如图所示，则围成的矩形最大面积为 m2(围墙厚度不计). 解析：设矩形宽为xm,则矩形长为(200一4x)m, 则矩形面积S=x(200一4.x) =-4(.x-25)2+2500(0<x<500), .x=25m时，Snx=2500m2. 答案：2500 9.某移动公司规定，使用甲种卡，须付“基本月租费” (每月需交的固定费用)30元，在国内通话时每分 钟另收话费0.10元；使用乙种卡，不收“基本月租 费”，但在国内通话时每分钟话费为0.2元.若某用 户每月手机费预算为50元，则使用 种卡 才合算；若要使用甲种卡合算，则该用户每月手机 费预算（元）的区间为 解析：由题意，设月通话时间为t分钟，使用甲种卡 费用为30十0.1t,使用乙种卡费用为0.2t. ,每月手机费预算为50元， ∴.由30十0.1t=50知，使用甲种卡的通话时间为 最长200分钟； 由0.2t=50知，使用乙种卡的通话时间最长为 250分钟. .用户每月手机费预算为50元时，用乙种卡合算. 要使用甲种卡合算，即月通话时间相同的情况下甲 种卡费用更低，即30十0.1t<0.2t,解得t>300, 此时每月手机费预算（元）的区间为(60，十∞). 答案：乙(60，+∞) 10.大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测 的结果上升到12km为止，温度的降低大体上与 升高的距离成正比，在12km以上温度一定，保持 在-55℃. (1)当地球表面大气的温度是a℃时，在xkm的 上空为y℃，求0≤x≤12时，a,x,y间的函数关 系式； (2)当地球表面大气的温度是29℃时，3km上空 的温度是多少？ ·132 解：(1)由题意知y-a=kx(0≤x≤12，k<0), 即y=a十kx. 当x=12时，y=-55,.-55=a+12k, 解得k=-55十a 12 .当0≤x12时y=a-12x, 所求的函数关系式为y=a一 t0<≤2 (2)当a=29,x=3时，y=29- 55+29× 12 3=8(℃)， 即当地球表面大气的温度是29℃时，3km上空 的温度是8℃. 11.“新能源汽车”是如今社会的热门话题，截止到 2025年9月，中国新能源汽车市场的渗透率达到 了53.3%.某汽车厂商计划引进新能源汽车生产 设备，生产某款汽车每月需投入固定成本8000 万元，每生产x(百辆)，需另投入成本f(x)(万 元)，且f(x)= 10x2+700x,0<x<60, 1505x+50000-1800,60≤≤120. x-2 每辆汽车售价15万元，当月生产的汽车可全部销 售完 (1)求出月利润g(x)(万元)关于月产量x(百辆) 的关系 (2)当月产量为多少百辆时，企业所获得的月利润 最大？并求出最大月利润. 解：(1)由题意得g(x)=1500x-f(.x)-8000 [-10x2+800x-8000,0<x<60, 5x 50000+10000,60≤x≤120. x-2 .月利润g(x)(万元)和月产量x(百辆)的关系为 [-10x2+800.x-8000,0<x<60, g(x)= 5x- 0000+10000,60≤x≤120. x-2 (2)由(1)得 -10x2+800x-8000,0<x<60, g(x)= -5x-50000+10000,60≤x≤120. x-2 ①当0<x<60时，g(x)=-10x2+800x-8000 =-10(x-40)2+8000, .当月产量为40百辆时，月利润最大，为8000 万元； ②当60≤x≤120时，g(x)=-5.x- 50000 x-2 50000 10000=-5(x-2)- x-2 +9990≤ -2,√5(x-2).50000 x-2 9990=8990，当且仅当 x=102时等号成立， .当月产量为102百辆时，月利润最大，为8990 万元 又.8990>8000， .当月产量为102百辆时，企业所获得的月利润 最大，最大月利润为8990万元. 能力提升 --》 12.食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥 的滥用对人类的健康造成了一定的危害，为了给 消费者提供放心的蔬菜，某农村合作社将每年投 入200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每 个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红 柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种 西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a (单位：万元)分别满足P=80十42a,Q=子a十 120,设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个 大棚的总收益为f(x)(单位：万元). (1)求f(50)的值； (2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使 总收益f(x)最大？ 解：(1)因为甲大棚投入50万元，则乙大棚投入 150万元，所以f(50)=80十4V2X50+}×150 +120=277.5. (2)fx)）=80+4V2x+子(200-x)+120 1x+4V2.元+250， 1 依题意得/下≥20， →20x180 (200-x≥20 故f(x)= +4w2+250(20≤x≤180). 令1=反∈[25,55则f(x)=-+4E@ +250=-1-8②°+282. 当t=8√2时，即x=128时，f(x)mx=282, 所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元 时，总收益最大，为282万元. ·133 第三章函数的概念与性质 13.某机械厂生产一批零件，受生产能力和技术水平 的限制，会产生一些次品，其次品率力与日产量x 1 12-x ,0xm, (万件)之间满足关系：力= (其 心 x>m 中m为小于12的正整数).已知每生产1万件合 格的零件该厂可以盈利30万元，但每生产1万件 次品将亏损10万元，故厂方希望定出合适的日产 量使得利润最大.（注：次品率=次品数/生产量， 如p=0.1表示每生产10件产品，有1件为次品， 其余为合格品) (1)将生产这批零件每天的盈利额y(万元)表示 为关于日产量x(万件)的函数. (2)当日产量为多少时，该厂可获得最大利润？ 解：(1)由题意知y=30·(1-p)x-10·x =(30-40p)x, 当0K≤m时2故-(30-0·} =320x-30x2 12-x 当>m时，b=是故y=(30-40×)=0, 所以盈利额y(万元)与日产量x(万件)之间的函 -30x2+320x,0<x≤m, 数关系为y= 12-x (0,x>m. (2)当x>m时，每天的盈利额为0元，则只需求 当0<x≤m时y的最大值。 设u=12-x,0<x≤m,则x=12-u,且u∈[12 -m,12), 则 -30(12-u)2+320(12-u) y u -30m2+400-480=-30u+1）+40, ①当12-m≤4，即8≤m<12时，y=-30 (+9+100≤-30x2a·+40=160. 当且仅当u=16,即4=4∈[12-m,12时，y取最 大值160，此时x=8. ②当12-m>4,即0<m<8时，由t=u十16在 [4,十∞)上单调递增， ,16 得y=-30u十6+400在[12-m,12)上单调递减， u 所以当u=12一m,即x=m时，y取最大值. 综上所述，当0<m<8时，日产量为m万件时，该 厂可获得最大利润； 当8≤m<12时，日产量为8万件时，该厂可获最 大利润.