3.4函数的应用（一）（知识清单）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学资料聚焦函数应用，系统梳理函数建模基本步骤及一次、二次、幂、分段、对勾函数模型的实际应用。从建模四步（审题、建模、求解、还原）出发，依次讲解各模型定义、性质、应用场景，辅以归纳总结和特别提醒，构建从理论到实践的学习支架。 知识链路以“建模步骤—具体模型—易错辨析—题型应用”为主线，每个知识点含归纳、提醒和延伸，注重实际问题转化。通过典型例题和方法技巧，引导学生用数学眼光发现数量关系，用数学思维分析性质，用数学语言表达解决方案，强化模型意识与应用能力。

第三章 函数的概念与性质 3.4函数的应用（一） 🔷知识点一 函数建模基本步骤 1．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. ⚠️特别提醒 实际问题定义域绝对不能省略；产量、人数、件数只能取非负实数，人数、商品件数等离散量要求取正整数。 📌归纳总结 建模步骤为读题设元，列式定域，计算求解，检验还原。 💡拓展延伸 解决实际应用问题的过程 复杂多变量问题优先消元，转化为单变量函数再求解。 🔷 知识点二 一次函数与二次函数模型的实际应用 1. 一次函数模型的应用 （1） 一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0). （2） 性质：大于零时函数在定义域内单调递增，小于零时函数在定义域内单调递减。一次函数图像为直线，区间内的最值只会出现在区间左右两个端点。 多用于匀速行程问题，基础阶梯计费问题，线性采购成本问题，两种消费优惠方案对比问题。 📌归纳总结 描述均匀增减变化的实际问题，优先选择一次函数进行建模，参数代表单位变量带来的变化量。 ⚠️特别提醒 参数等于零的式子不属于一次函数。对比两种优惠方案时，需要联立两个一次函数解析式计算取值临界点。 💡拓展延伸 带有分段优惠条件的线性问题，需要联立方程计算分界数值，再分区间判断哪一套方案更加划算。 2. 二次函数模型的应用 （1） 二次函数模型：一般式f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)；顶点式，顶点坐标为理论最值对应点。 （2） 性质： 若，抛物线开口向上，则二次函数在时有最小值； 若，抛物线开口向下，则二次函数在时有最大值． 多用于商品销售利润计算，矩形场地面积求解，工程用料造价规划，农产品产量最值分析。 📌归纳总结 商业利润计算公式为单件利润乘以销量等于总利润。几何类题目可以通过周长边长等量关系，转化为单一变量的二次函数。 ⚠️特别提醒 顶点对应的横坐标数值如果不在题目给定的实际定义域当中，函数的最值只能选取区间左侧端点或者区间右侧端点。 💡拓展延伸 含有参数的二次函数，分段形式的二次函数，都需要分三种情况讨论对称轴和定义域的位置关系。可以搭配一元二次不等式求解价格或者产量的取值范围。 🔷 知识点三 幂函数模型的实际应用 1.幂函数模型的应用 ，简化模型为。 （2）性质：自变量大于零的区间内，指数大于零时函数单调递增，指数小于零时函数单调递减。 多用于理财投资收益计算，产量随投入缓慢增长类问题，自然资源损耗分析。 📌归纳总结 增长速度持续放缓的非线性实际问题，优先选用根式形式的幂函数建立模型。 ⚠️特别提醒 幂函数自变量只能取正数，不存在负数定义域。涉及多种资产分配的题目，可以换元转化为二次函数计算最优分配方案。 💡拓展延伸 经过平移变换的复合幂函数，图像平移不会改变函数整体单调性，这类模型可以和一次函数结合建立混合函数模型。 🔷 知识点四 分段函数模型的实际应用 1．分段函数模型的应用 （1）定义：自变量划分成多个区间，每个区间对应独立的函数解析式，所有分段区间需要满足不重复且不遗漏的要求。 多用于阶梯水费电费计算，出租车分段计价，阶梯个人所得税核算，分批次商品定价成本计算。 📌归纳总结 题目出现分级收费或者阶梯定价条件时，统一建立分段函数求解。 ⚠️特别提醒 区间分界点只能够归属其中一段定义域。已知函数结果反向求解自变量时，需要逐段解方程并且验证解是否落在对应区间。 💡拓展延伸 分段函数每一段可以搭配一次函数、二次函数或者幂函数。求解全局最值时，需要分别算出每一段对应值域，再横向对比选出整体最大值或者整体最小值。 🔷 知识点五 对勾函数模型的实际应用 1． 对勾函数模型的应用 （1） 对勾函数模型：标准形式：；变形形式：y=ax+(a>0,b>0) (2)单调性：y=ax+(a>0,b>0)，当x>0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增 2．“对勾”函数模型的求解方法 (1)利用“对勾”函数的单调性求解； (2)利用基本不等式求解:，当且仅当的时候式子取得最小值。 对勾函数模型多用于仓库场地最低造价计算，货物运输平均成本求解，生产耗材最小损耗规划。 📌归纳总结 两个正数相乘结果固定，需要求解两数之和最小值的题目，优先使用均值不等式计算。 ⚠️特别提醒 均值不等式取等号对应的自变量数值，如果不在题目定义域范围内，需要依靠函数单调性对比区间左侧端点或者区间右侧端点的函数值。 💡拓展延伸 式子在正数区间内单调递增，不存在最值。式子可以变形处理后求解对应最大值。 补充全部模型通用知识点 1.取值约束：产量金额类变量取值大于零，人数商品件数取值为自然数，商品定价存在明确上下区间限制。 2.最值约束：顶点坐标或者均值等号对应的自变量，必须落在实际定义域内才可以直接取用。 3.计算约束：建立函数模型之前，统一题目当中价格长度产量的计量单位。 📌归纳总结 答题完成后三步检查内容依次为定义域核对，单位统一核对，整数取值核对。 ⚠️特别提醒 计算得出小数结果且变量代表实物时，向上取整数或者向下取整数。计算得出负数结果或者超出区间的数值，直接判定为无效解并舍去。 💡拓展延伸 题干同时给出价格上限条件与产量下限条件，需要取两个取值范围的交集作为最终定义域，再开展最值求解。 易错点 1 建模过程忽略实际定义域，直接套用理论最值 错例：某商品利润，售价，直接用顶点计算最大利润，未核对区间。 错因：只关注解析式数学性质，忽略题目给出售价、产量上下限，顶点不在定义域内仍直接使用。 规避方法：写完函数解析式立刻标注定义域；求最值第一步判断顶点或均值等号点是否落在区间内。 易错点 2 分段函数书写时分界点重复或者区间遗漏 错例：阶梯水费单价 2 元，单价 3 元，写成 ，分界点重复。 错因：分段区间重叠、遗漏，临界点两段同时包含，代入求值出现两个结果。 规避方法：分界点只归属于左侧区间，分段区间满足 “不重、不漏”；书写标准分段大括号。 易错点 3 对勾函数直接套用均值，不看自变量范围 错例：，直接写最小值。 错因：等号成立，不在区间内，函数在区间单调递减，最小值在。 规避方法：先用均值求等号点；若不在定义域，根据单调性比较区间两端函数值。 易错点 4 二次函数区间最值只看顶点，不分开口方向 错例：，开口向上，直接把顶点当作最大值。 错因：混淆正负对应的最值类型，开口向上顶点为最小值，开口向下顶点为最大值。 规避方法：先判断开口方向；顶点在区间内取顶点，顶点在区间外，比较左右端点函数值。 易错点 5 单位不统一，列式计算出错 错例：成本单位万元，产量单位件，不换算单位直接代入计算，结果数量级错误。 错因：审题忽略单位差异，总价、产量、长度单位混用。 规避方法：建模第一步统一全部计量单位，全部换算为同一单位再列式。 易错点 6 计算得出数学结果后，不结合现实意义检验 错例：计算得出采购设备 4.7 台，直接写答案 4.7，不调整整数。 错因：只计算数学数值，不结合现实场景取舍，小数实物无实际意义。 规避方法：解答最后一步检验，人数、件数、设备取正整数；无意义解直接舍 题型一： 一次函数模型应用 📝方法技巧 1.设自变量，根据总价、总量、匀速变化等量关系列； 2.由正负判断单调性，确定增减趋势； 3.结合题干限制写出自变量取值范围，列不等式求费用最大或最小值； 4.人数、商品数量等离散变量，最后取符合条件的整数解。 1．（25-26高一上·湖北·期中）2025年9月3日，北京天安门广场举行盛大阅兵仪式.此次阅兵以庄严姿态，向世界传递了中国人民对抗战历史的铭记，对和平的珍视以及对人类美好未来的追求.在排练演习过程中，某队伍长，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，往返速度均为.则当传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则传令兵回到排尾时所走的路程为（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·河北保定·期中）某商场经营一批进价为20元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下表所示的关系，其中.    x … 15 20 30 35 y 50 40 20 10 (1)根据表中提供的数据在直角坐标系中描出实数对的对应点，根据画出的点猜想y与x 之间的函数关系，并写出一个函数解析式； (2)设经营此商品的日销售利润为 P(单位：元)，根据上述关系，写出 P 关于x 的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润. 3．（25-26高三·全国·一轮复习）某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 4．（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资金额成正比，其关系如图①；产品的利润与投资金额的关系满足函数，如图②（注：单位为万元）. (1)分别求出两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 题型二：二次函数模型应用 📝方法技巧 1. 商业利润：单件利润 × 销量 = 总利润； 几何问题：利用边长、周长公式转化单变量二次函数； 2.配方法化为顶点式，标出对称轴横坐标； 3.分三类讨论区间最值： ① 对称轴在区间内：顶点取最值； ② 对称轴小于区间左端点：左端点取最值； ③ 对称轴大于区间右端点：右端点取最值； 4.求解价格、产量限制不等式，解完后结合定义域取有效解集。 1．（25-26高一上·湖南·阶段检测）如图，在一块等腰三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），已知，，则内接矩形花园面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高一·全国·寒假作业）有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的三个小矩形，如图所示，则围成矩形的最大面积为________（围墙厚度不计）． 3．（25-26高三·全国·一轮复习）某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成），售出商品数量就增加成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围． 4．（25-26高一上·云南·阶段检测）某公司生产某种机器的固定成本为10000元，每生产一台机器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数： (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 题型三： 分段函数模型应用 📝方法技巧 1.按价格、产量、时长划分区间，每段单独写解析式，标注对应定义域； 2.求全局最值：分别算出每一段值域，横向对比得到整体最大、最小值； 3.已知总费用或总收益反求自变量：逐段解方程，验证解是否属于本段区间，舍去跨段无效解； 4.书写规范：分段大括号罗列，分界点仅写在其中一侧区间。 1．（25-26高一下·湖南长沙·期中）某市开通“招手即停”公共汽车，票价按下列规则制定： （1）5以内（含5）票价2元， （2）5以上，每增加5，票价增加1元，（不足5的按5计算） 第一期开通的路线为20，请根据题意，选出票价与里程之间的函数图象（    ） A． B． C． D． 2．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，梯形是上底为，下底为，高为的等腰梯形，记梯形位于直线左侧的阴影部分的面积为，则的大致图象是（   ）      A．    B．     B． C．   D．   3．（25-26高一下·广东广州·期末）将药物注射进患者的血液中，药物在血液中释放某有效治疗因子，该因子在血液中的浓度随着时间（单位：小时）的变化情况如图所示，其函数模型可以用函数近似，其中． (1)根据图象求参数，，的值； (2)当浓度时药物才有疗效，求注射该药物一次的有效治疗时长（保留两位小数）． （参考数据：，） 4．（25-26高一上·湖北武汉·期末）为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 题型四：对勾（分式）函数模型应用 📝方法技巧 1.整理为标准形式y=ax+(a>0,b>0); 2.均值不等式计算等号成立自变量； 3.等号点落在定义域内，直接使用均值最小值； 4.等号点不在区间内，根据单调性对比区间两端取值； 5.场地、运输类问题优先设单一变量化简总费用表达式。 1．（25-26高一上·天津北辰·阶段检测）某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建筑一栋至少12层，每层4000平方米的楼房.经初步估计得知，如果将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）.则楼房每平方米的平均综合费用的最小值是________元.（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用） 2．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）某化工厂引进一条龙先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y万元与年产量x吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨. (1)年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求最低平均成本； (2)若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润. 3．（25-26高一上·安徽·阶段检测）某商贸公司计划租地建造仓库储存货物，仓库到车站的距离为千米，经调查了解到下列信息：每月的土地占地费（单位：万元）与成反比，每月的库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则每月的土地占地费和每月的库存货物费分别为3万元和12万元. (1)求与的解析式； (2)该公司把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？ 4.（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）某学校计划建造一座高为10米的长方体形的体艺馆，其中地面面积为，地面的一边长为（单位：米），工程施工单位给出报价：体艺馆的墙面造价为0.03万元，屋顶和地面造价共计40万元，总造价记为万元. (1)求总造价关于的表达式，并求出的最小值； (2)由于学校资金有限，要求总造价不得超过108万元，求边长的限制范围. 题型五： 幂函数模型应用 📝方法技巧 1.设或，代入题干已知点，待定系数求解参数； 2.根据正负判断时单调性； 3.总资金、总产量约束下，列不等式求解最优分配方案； 4.两类资产分配问题，换元转化二次函数快速求最值。 1.（25-26高一上·广东揭阳·期中）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道半径（单位：）的四次方成正比．若气体在半径为的管道中，流量为，气体在半径为的管道中，流量大于且小于，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（广西·模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）某企业生产两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润和投资单位：万元）. (1)分别将两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入两种产品的生产. （ⅰ）若平均投入生产两种产品，可获得多少利润? （ⅱ）问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元? 4．（25-26高一上·上海·期中）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.近年来，某公司已成功研发A、B两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金3千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.2千万元；生产B芯片的净收入y（千万元）是关于投入的资金x（千万元）的幂函数，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产A、B两种芯片的净收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式； (2)现在公司准备投入5亿元资金同时生产A、B两种芯片.设投入x千万元生产B芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产B芯片投入的资金.（利润＝A芯片净收入＋B芯片净收入－研发耗费资金） 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质 3.4函数的应用（一） 🔷知识点一 函数建模基本步骤 1．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. ⚠️特别提醒 实际问题定义域绝对不能省略；产量、人数、件数只能取非负实数，人数、商品件数等离散量要求取正整数。 📌归纳总结 建模步骤为读题设元，列式定域，计算求解，检验还原。 💡拓展延伸 解决实际应用问题的过程 复杂多变量问题优先消元，转化为单变量函数再求解。 🔷 知识点二 一次函数与二次函数模型的实际应用 1. 一次函数模型的应用 （1） 一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0). （2） 性质：大于零时函数在定义域内单调递增，小于零时函数在定义域内单调递减。一次函数图像为直线，区间内的最值只会出现在区间左右两个端点。 多用于匀速行程问题，基础阶梯计费问题，线性采购成本问题，两种消费优惠方案对比问题。 📌归纳总结 描述均匀增减变化的实际问题，优先选择一次函数进行建模，参数代表单位变量带来的变化量。 ⚠️特别提醒 参数等于零的式子不属于一次函数。对比两种优惠方案时，需要联立两个一次函数解析式计算取值临界点。 💡拓展延伸 带有分段优惠条件的线性问题，需要联立方程计算分界数值，再分区间判断哪一套方案更加划算。 2. 二次函数模型的应用 （1） 二次函数模型：一般式f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)；顶点式，顶点坐标为理论最值对应点。 （2） 性质： 若，抛物线开口向上，则二次函数在时有最小值； 若，抛物线开口向下，则二次函数在时有最大值． 多用于商品销售利润计算，矩形场地面积求解，工程用料造价规划，农产品产量最值分析。 📌归纳总结 商业利润计算公式为单件利润乘以销量等于总利润。几何类题目可以通过周长边长等量关系，转化为单一变量的二次函数。 ⚠️特别提醒 顶点对应的横坐标数值如果不在题目给定的实际定义域当中，函数的最值只能选取区间左侧端点或者区间右侧端点。 💡拓展延伸 含有参数的二次函数，分段形式的二次函数，都需要分三种情况讨论对称轴和定义域的位置关系。可以搭配一元二次不等式求解价格或者产量的取值范围。 🔷 知识点三 幂函数模型的实际应用 1.幂函数模型的应用 ，简化模型为。 （2）性质：自变量大于零的区间内，指数大于零时函数单调递增，指数小于零时函数单调递减。 多用于理财投资收益计算，产量随投入缓慢增长类问题，自然资源损耗分析。 📌归纳总结 增长速度持续放缓的非线性实际问题，优先选用根式形式的幂函数建立模型。 ⚠️特别提醒 幂函数自变量只能取正数，不存在负数定义域。涉及多种资产分配的题目，可以换元转化为二次函数计算最优分配方案。 💡拓展延伸 经过平移变换的复合幂函数，图像平移不会改变函数整体单调性，这类模型可以和一次函数结合建立混合函数模型。 🔷 知识点四 分段函数模型的实际应用 1．分段函数模型的应用 （1）定义：自变量划分成多个区间，每个区间对应独立的函数解析式，所有分段区间需要满足不重复且不遗漏的要求。 多用于阶梯水费电费计算，出租车分段计价，阶梯个人所得税核算，分批次商品定价成本计算。 📌归纳总结 题目出现分级收费或者阶梯定价条件时，统一建立分段函数求解。 ⚠️特别提醒 区间分界点只能够归属其中一段定义域。已知函数结果反向求解自变量时，需要逐段解方程并且验证解是否落在对应区间。 💡拓展延伸 分段函数每一段可以搭配一次函数、二次函数或者幂函数。求解全局最值时，需要分别算出每一段对应值域，再横向对比选出整体最大值或者整体最小值。 🔷 知识点五 对勾函数模型的实际应用 1． 对勾函数模型的应用 （1） 对勾函数模型：标准形式：；变形形式：y=ax+(a>0,b>0) (2)单调性：y=ax+(a>0,b>0)，当x>0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增 2．“对勾”函数模型的求解方法 (1)利用“对勾”函数的单调性求解； (2)利用基本不等式求解:，当且仅当的时候式子取得最小值。 对勾函数模型多用于仓库场地最低造价计算，货物运输平均成本求解，生产耗材最小损耗规划。 📌归纳总结 两个正数相乘结果固定，需要求解两数之和最小值的题目，优先使用均值不等式计算。 ⚠️特别提醒 均值不等式取等号对应的自变量数值，如果不在题目定义域范围内，需要依靠函数单调性对比区间左侧端点或者区间右侧端点的函数值。 💡拓展延伸 式子在正数区间内单调递增，不存在最值。式子可以变形处理后求解对应最大值。 补充全部模型通用知识点 1.取值约束：产量金额类变量取值大于零，人数商品件数取值为自然数，商品定价存在明确上下区间限制。 2.最值约束：顶点坐标或者均值等号对应的自变量，必须落在实际定义域内才可以直接取用。 3.计算约束：建立函数模型之前，统一题目当中价格长度产量的计量单位。 📌归纳总结 答题完成后三步检查内容依次为定义域核对，单位统一核对，整数取值核对。 ⚠️特别提醒 计算得出小数结果且变量代表实物时，向上取整数或者向下取整数。计算得出负数结果或者超出区间的数值，直接判定为无效解并舍去。 💡拓展延伸 题干同时给出价格上限条件与产量下限条件，需要取两个取值范围的交集作为最终定义域，再开展最值求解。 易错点 1 建模过程忽略实际定义域，直接套用理论最值 错例：某商品利润，售价，直接用顶点计算最大利润，未核对区间。 错因：只关注解析式数学性质，忽略题目给出售价、产量上下限，顶点不在定义域内仍直接使用。 规避方法：写完函数解析式立刻标注定义域；求最值第一步判断顶点或均值等号点是否落在区间内。 易错点 2 分段函数书写时分界点重复或者区间遗漏 错例：阶梯水费单价 2 元，单价 3 元，写成 ，分界点重复。 错因：分段区间重叠、遗漏，临界点两段同时包含，代入求值出现两个结果。 规避方法：分界点只归属于左侧区间，分段区间满足 “不重、不漏”；书写标准分段大括号。 易错点 3 对勾函数直接套用均值，不看自变量范围 错例：，直接写最小值。 错因：等号成立，不在区间内，函数在区间单调递减，最小值在。 规避方法：先用均值求等号点；若不在定义域，根据单调性比较区间两端函数值。 易错点 4 二次函数区间最值只看顶点，不分开口方向 错例：，开口向上，直接把顶点当作最大值。 错因：混淆正负对应的最值类型，开口向上顶点为最小值，开口向下顶点为最大值。 规避方法：先判断开口方向；顶点在区间内取顶点，顶点在区间外，比较左右端点函数值。 易错点 5 单位不统一，列式计算出错 错例：成本单位万元，产量单位件，不换算单位直接代入计算，结果数量级错误。 错因：审题忽略单位差异，总价、产量、长度单位混用。 规避方法：建模第一步统一全部计量单位，全部换算为同一单位再列式。 易错点 6 计算得出数学结果后，不结合现实意义检验 错例：计算得出采购设备 4.7 台，直接写答案 4.7，不调整整数。 错因：只计算数学数值，不结合现实场景取舍，小数实物无实际意义。 规避方法：解答最后一步检验，人数、件数、设备取正整数；无意义解直接舍 题型一： 一次函数模型应用 📝方法技巧 1.设自变量，根据总价、总量、匀速变化等量关系列； 2.由正负判断单调性，确定增减趋势； 3.结合题干限制写出自变量取值范围，列不等式求费用最大或最小值； 4.人数、商品数量等离散变量，最后取符合条件的整数解。 1．（25-26高一上·湖北·期中）2025年9月3日，北京天安门广场举行盛大阅兵仪式.此次阅兵以庄严姿态，向世界传递了中国人民对抗战历史的铭记，对和平的珍视以及对人类美好未来的追求.在排练演习过程中，某队伍长，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，往返速度均为.则当传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则传令兵回到排尾时所走的路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得传令兵所走的时间，进而求得，可求路程. 【详解】当传令兵回到排尾时所用时间为， 由题意，则，解得， 因为全队正好前进了，即，所以传令兵回到排尾时所走的路程为. 故选：A. 2.（25-26高一上·河北保定·期中）某商场经营一批进价为20元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下表所示的关系，其中.    x … 15 20 30 35 y 50 40 20 10 (1)根据表中提供的数据在直角坐标系中描出实数对的对应点，根据画出的点猜想y与x 之间的函数关系，并写出一个函数解析式； (2)设经营此商品的日销售利润为 P(单位：元)，根据上述关系，写出 P 关于x 的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润. 【答案】(1)  ；， (2)，，当销售单价为30元时，才能获得最大日销售利润 【分析】（1）根据题中表格描点，可知y与x 之间的函数关系为一次函数，利用待定系数法运算求解； （2）根据题意结合（1）中的函数解析式求P 关于x 的函数解析式，并利用基本不等式求最值. 【详解】（1）描出实数对的对应点，如图所示：    根据画出的点猜想y与x 之间的函数关系为一次函数，设为， 代入点可得，解得， 则，代入点依然成立， 所以y与x 之间的函数关系为，. （2）由（1）可知：，， 则经营此商品的日销售利润为 ，， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当销售单价为30元时，才能获得最大日销售利润. 3．（25-26高三·全国·一轮复习）某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出投入成本，出厂价，年销售量，利用年利润公式求解即可. （2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加得到，计算得解. 【详解】（1）投入成本为，出厂价为，年销售量为， 则， 整理得． （2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有， 即，解得， 所以投入成本增加的比例应在范围内． 4．（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资金额成正比，其关系如图①；产品的利润与投资金额的关系满足函数，如图②（注：单位为万元）. (1)分别求出两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元 【分析】（1）利用待定系数法求得，根据图②的数据代入的解析式后可求参数的值，从而可求. （2）列出企业利润的函数解析式，结合换元法可求利润最大值. 【详解】（1）由题设，由图知，故，故. 又，，所以，， 所以，故，故，故． （2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元 则， 令，则， 所以当时，，此时. 故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元 题型二：二次函数模型应用 📝方法技巧 1. 商业利润：单件利润 × 销量 = 总利润； 几何问题：利用边长、周长公式转化单变量二次函数； 2.配方法化为顶点式，标出对称轴横坐标； 3.分三类讨论区间最值： ① 对称轴在区间内：顶点取最值； ② 对称轴小于区间左端点：左端点取最值； ③ 对称轴大于区间右端点：右端点取最值； 4.求解价格、产量限制不等式，解完后结合定义域取有效解集。 1．（25-26高一上·湖南·阶段检测）如图，在一块等腰三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），已知，，则内接矩形花园面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，矩形的面积为．取的中点，连接，交于．由等腰三角形求得，由三角形相似表示出，从而得到，然后得到，通过配方法求得其最大值. 【详解】设，矩形的面积为． 取的中点，连接，交于． 因为，所以，，则． 易知，则，则， 则AI＝，所以， 所以， 当时，取得最大值，且最大值为96，故内接矩形花园面积的最大值为． 故选： 2.（25-26高一·全国·寒假作业）有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的三个小矩形，如图所示，则围成矩形的最大面积为________（围墙厚度不计）． 【答案】2500 【分析】设矩形垂直于墙的边长为x m，则其邻边长为，把面积用函数表示出来，再根据二次函数的性质求得最大值． 【详解】设矩形垂直于墙的边长为x m，则其邻边长为， 故矩形面积， 所以当时，，即最大面积是． 故答案为：2500． 3．（25-26高三·全国·一轮复习）某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成），售出商品数量就增加成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围． 【答案】(1)，定义域为 (2) 【分析】（1）求出售价降低成后每件售价的价钱，销售量增加成后售出商品的数量，列出关于的函数，利用售价不能低于成本价得到的不等式，从而得到函数的定义域. （2）列出关于的不等式，计算得解. 【详解】（1）售价降低成后，每件售价为元， 销售量增加成后售出商品的数量为件， 则． 因为售价不能低于成本价，所以． 所以，定义域为． （2）由题意得，化简得， 解得，所以的取值范围是． 4．（25-26高一上·云南·阶段检测）某公司生产某种机器的固定成本为10000元，每生产一台机器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数： (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)300台，最大利润为20000元 【分析】（1）根据固定成本、生产一台机器需投入的费用，结合利润的计算方式进行求解即可； （2）利用二次函数的单调性分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）由题可知， 化简，得 （2）当时，， 所以当时，取最大值10000； 当时，在上单调递减， 所以， 故当时，取最大值20000， 即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为20000元． 题型三： 分段函数模型应用 📝方法技巧 1.按价格、产量、时长划分区间，每段单独写解析式，标注对应定义域； 2.求全局最值：分别算出每一段值域，横向对比得到整体最大、最小值； 3.已知总费用或总收益反求自变量：逐段解方程，验证解是否属于本段区间，舍去跨段无效解； 4.书写规范：分段大括号罗列，分界点仅写在其中一侧区间。 1．（25-26高一下·湖南长沙·期中）某市开通“招手即停”公共汽车，票价按下列规则制定： （1）5以内（含5）票价2元， （2）5以上，每增加5，票价增加1元，（不足5的按5计算） 第一期开通的路线为20，请根据题意，选出票价与里程之间的函数图象（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意写出分段函数解析式，从而可选出符合函数的图象. 【详解】依题意可得：  ，做出图象，选D. 2．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，梯形是上底为，下底为，高为的等腰梯形，记梯形位于直线左侧的阴影部分的面积为，则的大致图象是（   ）      A．    B．     B． C．   D．   【答案】A 【分析】写出的表达式，再根据分段函数性质选出图象即可. 【详解】根据题意可知在梯形中，； 当时，阴影部分为等腰直角三角形，其面积为； 当时，阴影部分为等腰直角三角形加上一个矩形， 其面积为； 当时，阴影部分面积为整个梯形面积减去右侧空白部分表面积， 即； 所以可得； 根据函数类型对比图象可得A正确. 故选：A 3．（25-26高一下·广东广州·期末）将药物注射进患者的血液中，药物在血液中释放某有效治疗因子，该因子在血液中的浓度随着时间（单位：小时）的变化情况如图所示，其函数模型可以用函数近似，其中． (1)根据图象求参数，，的值； (2)当浓度时药物才有疗效，求注射该药物一次的有效治疗时长（保留两位小数）． （参考数据：，） 【答案】(1) ，， (2) 小时 【分析】（1）根据及待定系数法求解析式中的参数值； （2）应用分类讨论研究时对应的自变量范围，即可得. 【详解】（1）由， 由图象知， 联立得，得，则， 由， 综上，； （2）由（1）知， 当时，，则， 所以，因此第一段满足条件的范围是， 当时，，则， 所以，因此第二段满足条件的范围是， 综上，总有效时长为小时. 4．（25-26高一上·湖北武汉·期末）为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)年产量为万件时，所获利润最大，最大利润为（万元） 【分析】（1）直接根据题中所给的利润关系及相应成本可得函数解析式； （2）根据分段函数的性质，分别求出函数在两段上的最大值，再比较可得最大利润. 【详解】（1）因为年产量（万件），年销售收入为万元，固定成本为万元， 且年利润年销售收入固定成本流动成本， 当时，流动成本， 所以； 当时，流动成本， 所以. 因此，年利润的函数解析式为. （2）分当时，由基本不等式，当且仅当，​即时取等号，满足， 因此，（万元） 当时，是开口向下的二次函数， 对称轴为，且在定义域内，所以当时，利润函数取得最大值. 比较得，因此当年产量为万件时，利润最大，最大利润为（万元）. 题型四：对勾（分式）函数模型应用 📝方法技巧 1.整理为标准形式y=ax+(a>0,b>0); 2.均值不等式计算等号成立自变量； 3.等号点落在定义域内，直接使用均值最小值； 4.等号点不在区间内，根据单调性对比区间两端取值； 5.场地、运输类问题优先设单一变量化简总费用表达式。 1．（25-26高一上·天津北辰·阶段检测）某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建筑一栋至少12层，每层4000平方米的楼房.经初步估计得知，如果将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）.则楼房每平方米的平均综合费用的最小值是________元.（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用） 【答案】 【分析】根据题意建立楼房每平方米的平均综合费用的函数关系，利用基本不等式求解即可. 【详解】设楼房每平方米的平均综合费用为元，依题意得：，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，取得最小值（元） 故答案为： 2．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）某化工厂引进一条龙先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y万元与年产量x吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨. (1)年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求最低平均成本； (2)若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润. 【答案】(1)年产量为80吨时，平均成本最低为14万元/吨； (2)年产量为100吨时，最大利润为900万元. 【分析】（1）列出式子，通过基本不等式即可求得； （2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值. 【详解】（1），， 当且仅当时，即取等号，符合题意； ∴年产量为80吨时，平均成本最低为14万元/吨. （2）， 又，当时，. 答：年产量为100吨时，最大利润为900万元. 3．（25-26高一上·安徽·阶段检测）某商贸公司计划租地建造仓库储存货物，仓库到车站的距离为千米，经调查了解到下列信息：每月的土地占地费（单位：万元）与成反比，每月的库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则每月的土地占地费和每月的库存货物费分别为3万元和12万元. (1)求与的解析式； (2)该公司把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？ 【答案】(1)， (2)4千米 【分析】（1）设，，根据条件列方程求出，即可 （2）直接写出费用之和为，再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）（1）设，， 则，，解得，， 所以，. （2）设两项费用之和为，则， 从而， 当且仅当，即时等号成立， 所以把仓库建在距离车站4千米处，两项费用之和最小. 4.（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）某学校计划建造一座高为10米的长方体形的体艺馆，其中地面面积为，地面的一边长为（单位：米），工程施工单位给出报价：体艺馆的墙面造价为0.03万元，屋顶和地面造价共计40万元，总造价记为万元. (1)求总造价关于的表达式，并求出的最小值； (2)由于学校资金有限，要求总造价不得超过108万元，求边长的限制范围. 【答案】(1)，最小值为万元； (2). 【分析】（1）根据已知用表示出地面的另一边，进而求出墙面面积，再写出表达式，应用基本不等式求最值，注意取值条件； （2）由已知得，整理为一元二次不等式求解即可. 【详解】（1）由题意，地面另一边的长度为米，则墙面面积为平方米， 所以，而， 当且仅当米时取等号，则的最小值为万元； （2）由题意，可得， 所以，即. 题型五： 幂函数模型应用 📝方法技巧 1.设或，代入题干已知点，待定系数求解参数； 2.根据正负判断时单调性； 3.总资金、总产量约束下，列不等式求解最优分配方案； 4.两类资产分配问题，换元转化二次函数快速求最值。 1.（25-26高一上·广东揭阳·期中）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道半径（单位：）的四次方成正比．若气体在半径为的管道中，流量为，气体在半径为的管道中，流量大于且小于，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，当，时，求出的值，再由可求出的取值范围. 【详解】根据题意，设，由题意可得，解得，故， 当时，，解得， 故选：D. 2．（广西·模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】初始状态设为，变化后为，根据，的关系代入后可求解． 【详解】设初始状态为，则，， 又，，即， ，，，，． 故选：D． 3．（2026高三·全国·专题练习）某企业生产两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润和投资单位：万元）. (1)分别将两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入两种产品的生产. （ⅰ）若平均投入生产两种产品，可获得多少利润? （ⅱ）问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元? 【答案】(1)， (2)（i）万元；（ii）当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元 【分析】（1）设两种产品分别投资x万元，x万元，，所获利润分别为万元、万元，可设，.过点，将此点代入函数得到，从而得到的表达式，过点，将此点代入函数得到，从而得到的解析式； （2）（ⅰ）根据和的解析式求出，，从而得到总利润的值； （ⅱ）设产品投入x万元，产品投入万元，该企业可获总利润为y万元.则，.令，，从而得到关于的二次函数，利用二次函数的图像和性质得到该企业获得的最大利润. 【详解】（1）设两种产品分别投资x万元，x万元，， 所获利润分别为万元、万元. 由题意可设，. 过点，则，则， 过点，则，解得，则， 故.. （2）（ⅰ）由（1）得，. 所以总利润万元. （ⅱ）设产品投入x万元，产品投入万元，该企业可获总利润为y万元. 则，. 令，，则. 所以当时，，此时，. 所以当两种产品分别投入2万元、16万元时， 可使该企业获得最大利润，约为8.5万元. 4．（25-26高一上·上海·期中）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.近年来，某公司已成功研发A、B两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金3千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.2千万元；生产B芯片的净收入y（千万元）是关于投入的资金x（千万元）的幂函数，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产A、B两种芯片的净收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式； (2)现在公司准备投入5亿元资金同时生产A、B两种芯片.设投入x千万元生产B芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产B芯片投入的资金.（利润＝A芯片净收入＋B芯片净收入－研发耗费资金） 【答案】(1)， (2)最大利润，生产B投入 【分析】（1）结合已知条件和图像分别求解即可； （2）根据已知条件写出的解析式，并利用二次函数性质求解即可. 【详解】（1）不妨设生产芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式为：， 从而，故； 芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式， 由图像可知，的图像过点，即，解得， 故所求函数关系式为. （2）由题意可知，，， 由二次函数性质可知，当时，即时，有最大值. 即投入千万时，利润最大，最大值为千万. 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $