3.4函数的应用（一）课时作业-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层设计清晰（A组基础巩固8题、B组能力提升3题），知识覆盖从单一函数模型应用到综合优化建模，强化数学建模与运算推理，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|二次函数模型、分段函数、成本利润等基础应用|结合刹车距离、阶梯水价等生活情境，强调自变量范围与规范表达，巩固函数概念与运算| |B组|造价优化、数据拟合、收支差额分析等综合应用|通过蓄水池造价、弹簧伸长数据等复杂情境，培养数学建模与优化思维，提升问题解决能力|

3.4　函数的应用（一） 课时作业 班级：＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿　　建议用时：30 分钟 A 组全体必做；B 组（★）优生班必做、普通班选做。每道应用题都要写出自变量的实际范围，最后一行以"答："开头，数字带单位。 A 组　基础巩固 1．若用模型 y＝ax² 描述汽车紧急刹车后滑行的距离 y（单位：m）与刹车时的速率 x（单位：km/h）的关系，而某种型号的汽车在速率为 60 km/h 时，紧急刹车后滑行的距离为 20 m。在限速为 100 km/h 的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为 50 m，那么这辆车是否超速行驶？ 2．某广告公司要为客户设计一幅周长为 l（单位：m）的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？ 3．某城市对居民生活用水实行"阶梯水价"，计费方法如下：每户每月不超过 12 m³ 的部分 3 元/m³；超过 12 m³ 但不超过 18 m³ 的部分 6 元/m³；超过 18 m³ 的部分 9 元/m³。 　（1）写出每户每月水费 y（单位：元）关于用水量 w（单位：m³）的函数解析式； 　（2）若某户居民本月交纳的水费为 48 元，求此户居民本月用水量。 4．某人开汽车以 60 km/h 的速率从 A 地到 150 km 远处的 B 地，在 B 地停留 1 h 后，再以 50 km/h 的速率返回 A 地。 　（1）把汽车与 A 地的距离 x（单位：km）表示为时间 t（单位：h）（从 A 地出发时开始）的函数； 　（2）把车速 v（单位：km/h）表示为时间 t 的函数； 　（3）分别说出这两个函数图象的形状。 5．某公司生产某种产品的固定成本为 150 万元，而每件产品的可变成本为 2500 元，每件产品的售价为 3500 元。若该公司所生产的产品全部销售出去， 　（1）设总成本为 y₁（单位：万元），单位成本为 y₂（单位：万元），销售总收入为 y₃（单位：万元），总利润为 y₄（单位：万元），分别求出它们关于总产量 x（单位：件）的函数解析式； 　（2）根据所求函数，对这个公司的经济效益做出简单分析。 6．某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值 y 与这种新材料的含量 x（单位：克）的关系：当 0≤x＜6 时，y 是 x 的二次函数；当 x≥6 时，y＝。测得部分数据如下：x＝0 时 y＝0；x＝1 时 y＝；x＝2 时 y＝3；x＝9 时 y＝。 　（1）求 y 关于 x 的函数关系式 y＝f(x)； 　（2）求函数 f(x) 的最大值。 7．填空：某市出租车收费标准为起步价 8 元（含 3 km），超过 3 km 但不超过 10 km 的部分每公里 2 元，超过 10 km 的部分每公里 3 元。某乘客付车费 26 元，则他乘车的路程为＿＿＿＿＿ km。 8．填空：某工厂日产量 x（件）与日总成本 y（元）满足 y＝＋10（x＞0），则日产量越大，每件产品分摊到的固定成本越＿＿＿＿（填"大"或"小"），理由是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 B 组　能力提升（★） 9．要建造一个容积为 1200 m³、深为 6 m 的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为 95 元/m²，池底的造价为 135 元/m²。 　（1）设池底一边长为 x m，求总造价 y（单位：元）关于 x 的函数解析式； 　（2）如何设计水池的长与宽，才能使总造价最低？最低造价是多少？ 　（3）若要把水池的总造价控制在 7 万元以内，求 x 的取值范围（精确到 0.1 m）。 10．下表是拉力 F（单位：N）与弹簧伸长长度 x（单位：cm）的相关数据： 　　F　　1　　　2　　　3　　　4　　　5 　　x　14.2　28.8　41.3　57.5　70.2 　（1）在下面的坐标网格中描点，画出弹簧伸长长度随拉力变化的图象； 第 10 题用图 　（2）写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式，并说明理由。 11．某条公共汽车线路的收支差额 y（单位：元）关于乘客量 x（单位：人）的图象是一条射线：起点 A 在 y 轴负半轴上，射线与 x 轴交于点 B，B 的右侧图象在 x 轴上方。 　（1）说明点 A、点 B 以及射线 AB 上的点的实际意义； 　（2）公司有关人员提出两种扭亏为盈的建议：建议一是把整条射线向上平移（起点 A 上移、倾斜程度不变）；建议二是保持起点 A 不动、把射线变陡。请根据图象说明这两种建议分别是什么措施。 第 11 题用图 参考答案与详解 A 组 1．解：由题意，当 x＝60 时 y＝20，代入 y＝ax² 得 20＝a×60²＝3600a， 　所以 a＝，于是 y＝（x＞0）。 　令 y＝50，得 ＝50，x²＝9000，x＝30≈94.9（负值舍去）。 　因为 94.9＜100，所以这辆车没有超速行驶。 　答：这辆车没有超速行驶。 　（常见错解：用"60 对 20，50 对应 60×50÷20＝150"按正比例放大。模型是平方关系，不能这样算。） 2．解：设矩形的一边长为 x m，则另一边长为 (－x) m，其中 0＜x＜。 　面积 S＝x(－x)＝－x²＋x＝－(x－)²＋。 　对称轴 x＝ 落在区间 (0，) 内，所以当 x＝ 时 S 取得最大值 。 　此时另一边长也是 m。 　答：把广告牌设计成边长为 m 的正方形时面积最大，最大面积为 m²。 　（坑在"周长"：周长为 l 时两邻边之和是 ，不是 l。） 3．解：（1）当 0≤w≤12 时，y＝3w； 　　当 12＜w≤18 时，y＝3×12＋6(w－12)＝6w－36； 　　当 w＞18 时，y＝3×12＋6×6＋9(w－18)＝9w－90。 　（2）先算两个分段点处的水费：w＝12 时 y＝36，w＝18 时 y＝72。 　　因为 36＜48≤72，所以用水量落在第二段，由 6w－36＝48 得 w＝14。 　　答：此户居民本月用水量为 14 m³。 　（常见错解：直接用 48÷6＝8 或 48÷3＝16。"超过 12 m³ 的部分"才按 6 元算，前 12 m³ 仍按 3 元。） 4．解：去程用时 150÷60＝2.5 h；停留 1 h，到 t＝3.5 h；返程用时 150÷50＝3 h，到 t＝6.5 h。 　（1）当 0≤t≤2.5 时，x＝60t； 　　当 2.5＜t≤3.5 时，x＝150； 　　当 3.5＜t≤6.5 时，x＝150－50(t－3.5)＝325－50t。 　（2）当 0≤t≤2.5 时，v＝60；当 2.5＜t≤3.5 时，v＝0；当 3.5＜t≤6.5 时，v＝50。 　（3）x 的图象是三段相连的折线：先是从 (0，0) 到 (2.5，150) 的上升线段，再是从 (2.5，150) 到 (3.5，150) 的水平线段，最后是从 (3.5，150) 到 (6.5，0) 的下降线段。 　　v 的图象是三条互不相连的水平线段（阶梯状），高度依次为 60、0、50。 第 4 题参考图象：距离—时间图（左）与车速—时间图（右） 　（提醒：v 表示车速，是非负的，返程时取 50 而不是 －50。） 5．解：（1）先统一单位：每件可变成本 2500 元＝0.25 万元，售价 3500 元＝0.35 万元。 　　总成本 y₁＝150＋0.25x（xN*）； 　　单位成本 y₂＝＝＋0.25（xN*）； 　　销售总收入 y₃＝0.35x（xN*）； 　　总利润 y₄＝y₃－y₁＝0.35x－(150＋0.25x)＝0.1x－150（xN*）。 　（2）由 y₄＝0.1x－150＝0 得 x＝1500。 　　所以产量不足 1500 件时公司亏损；产量为 1500 件时不亏不盈；产量超过 1500 件后开始盈利，且每多生产 1 件，利润增加 0.1 万元。 　　又 y₂＝＋0.25 在 (0，＋∞) 上单调递减，说明产量越大，单位成本越低，但始终高于 0.25 万元。 　　答：公司应把产量提高到 1500 件以上才能盈利，且产量越大单位成本越低。 6．解：（1）当 0≤x＜6 时，设 f(x)＝ax²＋bx＋c（a0）。 　　由 f(0)＝c＝0，f(1)＝a＋b＋c＝，f(2)＝4a＋2b＋c＝3， 　　解得 a＝－，b＝2，c＝0，即 f(x)＝－＋2x（0≤x＜6）。 　　当 x≥6 时，y＝，由 x＝9 时 y＝ 得 ＝， 　　即 9－t＝4，解得 t＝5，所以当 x≥6 时 f(x)＝。 　　综上：当 0≤x＜6 时 f(x)＝－＋2x；当 x≥6 时 f(x)＝。 　（2）当 0≤x＜6 时，f(x)＝－＋4，对称轴 x＝4 在 [0，6) 内，所以最大值为 f(4)＝4； 　　当 x≥6 时，f(x)＝ 单调递减，所以最大值为 f(6)＝1。 　　因为 4＞1，所以函数 f(x) 的最大值为 4。 　　答：f(x) 的最大值为 4（此时新材料含量为 4 克）。 　（分段函数求最值的固定动作：各段分别求，再比较各段结果取最大者。） 7．（约 11.3）。当 0＜x≤3 时 y＝8；当 3＜x≤10 时 y＝8＋2(x－3)＝2x＋2，此时 y≤22； 　当 x＞10 时 y＝8＋14＋3(x－10)＝3x－8。 　因为 26＞22，所以路程超过 10 km，由 3x－8＝26 得 x＝≈11.3。 8．小； 是固定成本分摊到每件产品上的部分，它在 (0，＋∞) 上单调递减，所以日产量越大，每件分摊到的固定成本越小（但总成本 y 始终大于 10 元）。 B 组 9．解：（1）由容积与深度得池底面积为 1200÷6＝200 m²，所以池底另一边长为 m（x＞0）。 　　池底造价为 200×135＝27000（元）； 　　池壁面积为 2(x＋)×6＝12(x＋) m²，池壁造价为 95×12(x＋)＝1140(x＋)（元）。 　　所以 y＝27000＋1140(x＋)（x＞0）。 　（2）由 3.2 第一课时的结论，函数 x＋ 在 (0，10) 上单调递减、在 (10，＋∞) 上单调递增， 　　所以当 x＝10≈14.1 时 y 取得最小值， 　　y＝27000＋1140×2×10＝27000＋22800≈59245（元）。 　　此时另一边长 ＝10，即池底是正方形。 　　答：把池底设计成边长约 14.1 m 的正方形时总造价最低，最低造价约为 5.92 万元。 　（3）由 y≤70000 得 1140(x＋)≤43000，即 x＋≤≈37.72， 　　化为 x²－37.72x＋200≤0，判别式 Δ＝37.72²－4×200＝622.8，.8≈24.96，解得 ≤x≤， 　　即约 6.4≤x≤31.3。 　　答：池底一边长控制在约 6.4 m 到 31.3 m 之间即可（另一边长同时也落在这个范围内）。 10．解：（1）以 F 为横轴、x 为纵轴描出五个点 (1，14.2)、(2，28.8)、(3，41.3)、(4，57.5)、(5，70.2)，它们大致落在一条经过原点的直线附近。 　（2）算一算每组数据的 ：14.2、14.4、13.8、14.4、14.0，五个比值都在 14 附近波动， 　　所以可以认为 x 与 F 近似成正比例，取比例系数约为 14.2，得 　　x＝14.2F（F≥0）。 　　理由：五个点近似共线且直线过原点（不挂重物时弹簧不伸长），所以用正比例函数模型；比例系数取各组 的平均值。 　　（若以 x 为自变量，也可写成 F≈0.07x，两种写法都可以，只要说明自变量是谁。） 11．解：（1）点 A 是射线与 y 轴的交点，纵坐标为负，表示乘客量为 0 时的收支差额，即这条线路的固定支出（成本）； 　　点 B 是射线与 x 轴的交点，表示收支差额为 0 时的乘客量，即不亏不盈时所需的乘客数； 　　射线 AB 上的点表示乘客量与收支差额的对应关系：B 左边的点纵坐标为负，表示亏损；B 右边的点纵坐标为正，表示盈利。 　（2）建议一（整条射线上移，倾斜程度不变）：票价没有变（每位乘客带来的收入不变），但起点抬高了，说明降低了线路的固定支出，即节约成本。 　　建议二（起点不动，射线变陡）：固定支出没有变，但每增加一位乘客带来的收入变多了，说明提高了票价。 　　（两种建议都能使点 B 左移，即用更少的乘客量就能扭亏为盈。） 学科网（北京）股份有限公司 $