第3章 3.4 函数的应用(一)-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课时作业（人教A版）

**基本信息** 本同步练习以函数应用为主线，分层设计清晰，从概念识别到复杂建模，覆盖函数模型、解析式、分段函数及优化问题，适配新授课知识巩固与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|函数模型识别、解析式求法|如第1题函数图象辨析、第2题等腰三角形周长函数，强化概念理解| |综合应用|分段函数、二次函数性质|如第4题招聘面试人数计算、第7题阶梯水价，融合运算与推理| |建模提升|复杂情境优化问题|如第11题新能源汽车利润、第13题零件次品率利润，培养模型观念与应用意识|

1．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是(　　) A．一次函数　　　 B．二次函数 C．分段函数 D．无法确定 答案：C 2．一等腰三角形的周长为20，底边y是关于腰长x的函数，则它的解析式为(　　) A．y＝20－2x(x≤10) B．y＝20－2x(x＜10) C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(5＜x＜10) 答案：D 3．你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真《元夜》的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”．烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩．已知某种烟花距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系式为h＝－3.6t2＋28.8t，则烟花在冲击后爆裂的时刻是(　　) A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒 答案：A 4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为： y＝ 其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为(　　) A．15 B．40 C．25 D．130 答案：C 5．(多选)在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量v(单位：cm3/s)与管道的半径r(单位：cm)的四次方成正比，当气体在半径为5 cm的管道中时，流量为1 250 cm3/s，则(　　) A．当气体在半径为3 cm的管道中时，流量为162 cm3/s B．当气体在半径为3 cm的管道中时，流量为152 cm3/s C．要使得气体流量不小于512 cm3/s，管道的半径的最小值为4 cm D．要使得气体流量不小于512 cm3/s，管道的半径的最小值为3 cm 解析：AC　[依题意可设v＝kr4，k为常数． 当气体在半径为5 cm的管道中时，流量为1 250 cm3/s，所以1 250＝k×54，解得k＝2，则v＝2r4.当r＝3时，v＝162，故A正确，B错误． 由2r4≥512，解得r≥4，故C正确，D错误．] 6．(多选)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为了降低消耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图所示)．当截取的矩形面积最大时，矩形两边的长x，y应为(　　) A．x＝15 B．x＝12 C．y＝12 D．y＝14 解析：AC　[结合题图，可得＝，得y＝24－，矩形铁片的面积S＝xy＝x＝－＋24x，所以当x＝－＝15时，S最大，此时y＝24－×15＝12.故选A、C.] 7．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如表所示．若某户居民某月缴纳水费60元，则该月用水量为　________　m3. 每户每月用水量 水价 不超过12 m3的部分 3元/m3 超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/m3 超过18 m3的部分 9元/m3 解析：设用水量为x m3，缴纳水费为y元，由题可知y当y＝60时，解得x＝16. 答案：16 8.有一批材料可以建成200 m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的矩形，如图所示，则围成的矩形最大面积为　________　m2(围墙厚度不计)． 解析：设矩形宽为x m，则矩形长为(200－4x)m，则矩形面积S＝x(200－4x) ＝－4(x－25)2＋2 500(0＜x＜500)， ∴x＝25 m时，Smax＝2 500 m2. 答案：2 500 9．某移动公司规定，使用甲种卡，须付“基本月租费”(每月需交的固定费用)30元，在国内通话时每分钟另收话费0.10元；使用乙种卡，不收“基本月租费”，但在国内通话时每分钟话费为0.2元．若某用户每月手机费预算为50元，则使用　________　种卡才合算；若要使用甲种卡合算，则该用户每月手机费预算(元)的区间为　________　. 解析：由题意，设月通话时间为t分钟，使用甲种卡费用为30＋0.1 t，使用乙种卡费用为0.2 t. ∵每月手机费预算为50元， ∴由30＋0.1 t＝50知，使用甲种卡的通话时间为最长200分钟； 由0.2 t＝50知，使用乙种卡的通话时间最长为250分钟． ∴用户每月手机费预算为50元时，用乙种卡合算． 要使用甲种卡合算，即月通话时间相同的情况下甲种卡费用更低，即30＋0.1 t＜0.2 t，解得t＞300， 此时每月手机费预算(元)的区间为(60，＋∞)． 答案：乙　(60，＋∞) 10．大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12 km 为止，温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12 km以上温度一定，保持在－55 ℃. (1)当地球表面大气的温度是a ℃时，在x km的上空为y ℃，求0≤x≤12时，a，x，y间的函数关系式； (2)当地球表面大气的温度是29 ℃时，3 km上空的温度是多少？ 解：(1)由题意知y－a＝kx(0≤x≤12，k＜0)， 即y＝a＋kx. ∵当x＝12时，y＝－55，∴－55＝a＋12k， 解得k＝－， ∴当0≤x≤12时，y＝a－x， ∴所求的函数关系式为y＝a－x(0≤x≤12)． (2)当a＝29，x＝3时，y＝29－×3＝8(℃)， 即当地球表面大气的温度是29 ℃时，3 km上空的温度是8 ℃. 11．“新能源汽车”是如今社会的热门话题，截止到2025年9月，中国新能源汽车市场的渗透率达到了53.3%.某汽车厂商计划引进新能源汽车生产设备，生产某款汽车每月需投入固定成本8 000万元，每生产x(百辆)，需另投入成本f(x)(万元)，且f(x)＝ 每辆汽车售价15万元，当月生产的汽车可全部销售完． (1)求出月利润g(x)(万元)关于月产量x(百辆)的关系． (2)当月产量为多少百辆时，企业所获得的月利润最大？并求出最大月利润． 解：(1)由题意得g(x)＝1 500x－f(x)－8 000＝ ∴月利润g(x)(万元)和月产量x(百辆)的关系为g(x)＝ (2)由(1)得 g(x)＝ ①当0＜x＜60时，g(x)＝－10x2＋800x－8 000＝－10(x－40)2＋8 000， ∴当月产量为40百辆时，月利润最大，为8 000万元； ②当60≤x≤120时，g(x)＝－5x－＋10 000＝－5(x－2)－＋9 990≤－2＋9 990＝8 990，当且仅当x＝102时等号成立， ∴当月产量为102百辆时，月利润最大，为8 990万元． 又∵8 990＞8 000， ∴当月产量为102百辆时，企业所获得的月利润最大，最大月利润为8 990万元． 12．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人类的健康造成了一定的危害，为了给消费者提供放心的蔬菜，某农村合作社将每年投入200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)分别满足P＝80＋4，Q＝a＋120，设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)． (1)求f(50)的值； (2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？ 解：(1)因为甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，所以f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5. (2)f(x)＝80＋4＋(200－x)＋120 ＝－x＋4＋250， 依题意得⇒20≤x≤180， 故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)． 令t＝∈[2，6]，则f(x)＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282， 当t＝8时，即x＝128时，f(x)max＝282， 所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，为282万元． 13．某机械厂生产一批零件，受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x(万件)之间满足关系：p＝(其中m为小于12的正整数)．已知每生产1万件合格的零件该厂可以盈利30万元，但每生产1万件次品将亏损10万元，故厂方希望定出合适的日产量使得利润最大．(注：次品率＝次品数/生产量，如p＝0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品)． (1)将生产这批零件每天的盈利额y(万元)表示为关于日产量x(万件)的函数． (2)当日产量为多少时，该厂可获得最大利润？ 解：(1)由题意知y＝30·(1－p)x－10·px＝(30－40p)x， 当0＜x≤m时，p＝，故y＝x＝， 当x＞m时，p＝，故y＝·x＝0， 所以盈利额y(万元)与日产量x(万件)之间的函数关系为y＝ (2)当x＞m时，每天的盈利额为0元，则只需求当0＜x≤m时y的最大值． 设u＝12－x,0＜x≤m，则x＝12－u，且u∈[12－m,12)， 则y＝＝＝－30＋400， ①当12－m≤4，即8≤m＜12时，y＝－30＋400≤－30×2＋400＝160， 当且仅当u＝，即u＝4∈[12－m,12)时，y取最大值160，此时x＝8. ②当12－m＞4，即0＜m＜8时，由t＝u＋在[4，＋∞)上单调递增， 得y＝－30＋400在[12－m,12)上单调递减， 所以当u＝12－m，即x＝m时，y取最大值． 综上所述，当0＜m＜8时，日产量为m万件时，该厂可获得最大利润； 当8≤m＜12时，日产量为8万件时，该厂可获最大利润． 学科网（北京）股份有限公司 $