3.4函数的应用（一）教案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.4　函数的应用（一）

教案

人教A版必修第一册　第三章　教材第 93—96 页　课时：1 课时（45 分钟）

一、教材分析

本节是第三章的最后一节，教材第 93—96 页，安排 1 个课时。教材开头一句话交代了定位：我们学习过的一次函数、二次函数、幂函数等都与现实世界有紧密联系，下面通过一些实例感受它们的广泛应用，体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法。所以本节没有新概念，是把 3.1 的函数概念与表示（尤其是分段函数）、3.2 的单调性与最值、3.3 的幂函数一起拿出来用。

教材只给了两道例题，选得很讲究。例 1 是个税，接着 3.1.2 例 8 往下走，那里已经得到个税 y 关于应纳税所得额 t 的分段解析式，本节要补上 t 关于综合所得收入额 x 的一次关系，再把两个函数接起来——它示范的是"两个模型的衔接"。例 2 是速率—时间图与里程表读数，从图象出发建立分段函数，还要画出图象——它示范的是"读图与作图"。练习三题分别用二次函数（矩形面积）、幂函数（刹车距离 y＝ax²）、一次函数（成本利润）建模，习题里又加了分段的往返路程和阶梯水价。整节课的主线只有一条：审题 → 建模 → 解模 → 还原。这四步要写在黑板上，每道题都对照走一遍。

本节最要教的两处：一是写解析式必须跟上自变量的实际范围（练习 2 里若不写 0＜x＜l/2，就没法说明对称轴在区间内）；二是分段计费"超过……的部分"的算法，学生极易整体乘新价格。

二、学情分析

学生已经学完函数的概念与表示、三个基本性质和幂函数，工具是齐的，3.1.2 里也接触过分段函数和个税这个背景。困难有四处。第一，读不懂题，找不出谁是自变量、谁是因变量，尤其是文字长的题（例 1）。第二，写出解析式就完事，不写自变量的实际范围，后面求最值时对称轴在不在范围内也不检查。第三，阶梯计费按整体乘新单价算，用水 14 m³ 直接算成 14×6。第四，算完不写答语，只留一个数字。对策：第一处把"自变量是谁、范围是什么"做成每题必答的两句口令；第二处在板书里把范围单独用括号标出来，学生不写就当场补；第三处用一张小表把"前 12 m³""超

出的部分"分开算给学生看；第四处要求每道应用题的最后一行必须以"答："开头。优生班加做蓄水池造价（对勾型函数求最值）与习题 3.4 第 4 题的读图；普通班把重心放在分段计费与二次函数最值两类上。

三、教学目标

1．能说出用函数模型解决实际问题的四步：审题、建模、解模、还原，并在每道题里对照执行。

2．会由文字或图象建立一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型，写出解析式并注明自变量的实际范围。

3．会用配方或单调性求实际问题中的最大（小）值，会检查对称轴是否落在实际范围内。

4．会读速率—时间图，说明图中阴影部分面积的实际含义，并画出分段函数的图象。

四、教学重难点

重点：建立函数模型的四步流程；分段函数模型与二次函数模型的建立与求解。

难点：自变量实际范围的确定；例 1 中两个分段函数的衔接；"超过……的部分"的分段计费写法。

五、教学方法与教具准备

以练代讲，学生先做、教师后评。教具：课件 28 页（其中 13 页带答案浮入动画），学案（附参考答案）人手一份，课时作业分 A、B 两组。板书主张：黑板左上角写四步流程，整节课不擦；中间留出例 2 的两块画图区（速率—时间图与里程表读数图）；右侧写三类常用模型（一次、二次、幂/反比）与它们的典型情境。

六、教学过程

环节一　引入与流程（约 5 分钟）

问题1　这一章我们学了函数的概念、三个性质和幂函数。这些东西能拿来做什么？你能举一个生活中用到函数的例子吗？

师生活动：指名两三个学生说，教师把答案分类记在黑板右侧：出租车计费、水电费、买东西算总价、行程问题、利润。

明确：这些都能用函数描述。教材说得很清楚——一次函数、二次函数、幂函数等都与现实世界有紧密联系。本节就是用函数模型解决实际问题。（板书课题）

讲授并板书（四步流程，整节课不擦）：审题（找变量，定自变量与因变量）→ 建模（写解析式，注明实际范围）→ 解模（用单调性、最值等性质求解）→ 还原（把结论翻译回实际，写答语）。

环节二　例 1　个税模型（约 12 分钟）

过渡语：3.1.2 例 8 我们算过小王的个税，那时是从应纳税所得额 t 出发的。现在换一个问法：直接给全年收入 x，能不能一步算出个税？

例1（教材第 93 页）　设小王的专项扣除比例、专项附加扣除金额、依法确定的其他扣除金额与 3.1.2 例 8 相同，全年综合所得收入额为 x 元，应缴纳综合所得个税税额为 y 元。（1）求 y 关于 x 的函数解析式；（2）如果小王全年的综合所得由 117600 元增加到 153600 元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？

板书（3.1.2 例 8 已得的③式，先抄在黑板右侧备用）：个税税额 y 关于应纳税所得额 t 的解析式为——当 0≤t≤36000 时 y＝0.03t；36000＜t≤144000 时 y＝0.1t－2520；144000＜t≤300000 时 y＝0.2t－16920；300000＜t≤420000 时 y＝0.25t－31920；420000＜t≤660000 时 y＝0.3t－52920；660000＜t≤960000 时 y＝0.35t－85920；t＞960000 时 y＝0.45t－181920。

说明：这七段不是本节新算的，是 3.1.2 例 8 的结论，直接取用。本节要补的只是 t 与 x 的关系。

问题2　这道题里有几个量？它们之间是怎么串起来的？

师生活动：学生答有 x（收入）、t（应纳税所得额）、y（个税）。教师板书链条：x → t → y，并指出 3.1.2 例 8 已经给出了后半段 y＝f(t)。

明确：本题的新工作只有一件——把 t 用 x 表示出来，再把两段接起来。

问题3　应纳税所得额怎么算？请写出 t 关于 x 的式子。

师生活动：学生按公式②列式，一生板演。

　　t＝x－60000－x(8％＋2％＋1％＋9％)－9600－560＝0.8x－70160。

　　令 t＝0 得 x＝87700，所以当 0≤x≤87700 时 t＝0；当 x＞87700 时 t＝0.8x－70160。