广西壮族自治区来宾高级中学2026-2027学年高二上学期9月阶段检测数学试题

2028届高二（上）数学空间向量与立体几何（基础卷） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（ ）． A．4 B．3 C．2 D．1 2．已知空间向量，满足，，，则向量，的夹角为（ ） A． B． C． D． 3．已知四棱锥，底面为平行四边形，，分别为棱，上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（ ） A． B． C． D． 4．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（ ） A． B． C． D． 5．设，，向量，，，且，，则（ ） A． B． C．5 D．6 6．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ） A． B． C． D． 7．已知异面直线，所成的角为60°，，在直线上，，在直线上，，，，，，则，间的距离为（ ） A．或 B．4 C． D．或4 8．如图，在棱长为1的正方体中，为正方形的中心，为线段的中点，在上，且满足，则直线到直线的距离为（ ） A． B． C．1 D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知平面与平面平行，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为（ ）． A． B． C． D． 10．直线的方向向量为，两个平面，的法向量分别为，，则下列命题为真命题的是（ ） A．若，则直线平面 B．若，则平面平面 C．若，则平面，所成锐二面角的大小为 D．若，则直线与平面所成角的大小为 11．如图，在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ） A．点到点的距离为 B．点到直线的距离为 C．点到平面的距离为 D．平面到平面的距离为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上） 12．已知向量，，，若，，共面，则等于________． 13．空间中直线、平面的垂直 （1）线线垂直：设直线的方向向量为，直线的方向向量为，则________． （2）线面垂直：设直线的方向向量是，平面的法向量是，则________． （3）面面垂直：若平面的法向量，平面的法向量，则________． 14．二面角中，，，，，且，，若，，，，则此二面角的大小为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）如图，在四棱锥中，底面为正方形、平面，，分别为棱，的中点． （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值 16．（15分）在直三棱柱中，，，，是的重心，点在线段（不包括两个端点）上． （1）若为的中点，证明：平面； （2）若直线与平面所成的角正弦值为，求． 17．（15分）如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，平面，为上一点，且，连接、、． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 18．（17分）如图，在四面体中，是正三角形，是直角三角形，，． （1）证明：平面平面； （2）若二面角的正切值为，求四面体与四面体的体积之比． 19．（17分）如图1，在等腰直角三角形中，，，、分别是，上的点，，为的中点．将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D D D A D A D D AD BCD ABC 12．9 13．； ； 14． 15．【详解】（1）、分别为，的中点 为正方形 平面，平面 平面． （2）由题知平面，，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为 则，令，则，， 设直线与平面所成的角为， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 16．【详解】（1）连接并延长，交于点，则为的中点，连接，， 因为为直三棱柱，所以平面平面，，， 又，分别为，的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 因为，平面，且， 所以平面平面，又平面， 所以平面． （2）以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图空间直角坐标系， 设（）， 则，，，，，， 所以，， 由直三棱柱可得，为的中点， 所以，则， 设平面的一个法向量为， 由得，，取，则， 因为直线与平面所成的角正弦值为， 所以， 整理得，， 解得或（不合题意舍），所以． 17．（1）因为平面，又平面， 所以．又，且， 所以平面．因为，所以平面． （2）作，垂足为．则．又， 所以四边形是平行四边形，又， 所以四边形是矩形，又四边形为等腰梯形，且，， 所以．由（1）知平面，所以．又， 所以．在中，． 在中，． 由上可知，能以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图空间直角坐标系． 则，，，，，所以，，， ，，设平面的法向量为， 由，得可取． 设平面的法向量为， 由，得可取． 因此，． 依题意可知，平面与平面的夹角的余弦值为． 18．（1）由题设得，，从而． 又是直角三角形，所以． 取的中点，连接、，则且， 又是正三角形，故． 则中，，又， 所以，故． 而且都在面，故面， 而面，所以平面平面． （2）设，，结合（1）结论， 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，易知平面的法向量为， 设，由，可得，得，， 设面的法向量为，则， 取，得，，所以， 因为二面角的正切值为，则， 又，解得，所以， 所以到底面的距离与到底面的距离之比为， 所以四面体与四面体的体积之比． 19．（1）连接，，则，，， 在中，由余弦定理可得， 同理得， 因为，则，可得， 因为，则， 可知，， 又因为，，平面，所以平面． （2）取中点，则， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，，， 设平面的一个法向量为，所以， 令，则，，可得， 所以点到平面的距离为． 学科网（北京）股份有限公司 $