精品解析：湖北省黄梅县第一中学2025-2026学年高二上学期数学周测卷1.13（范围：数列的概念与等差数列）

高二数学测试卷20260113 考试范围：数列的概念与等差数列 考试时间：周二晚19:30--21:30 一、单选题（5分*8=40分） 1. 已知等差数列满足，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质即可得到，解出即可. 【详解】由等差中项的性质可得，故，解得. 故选：C． 2. 在数列中，若，，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，依次求出确定周期，进而求出. 【详解】由，， 则，，，， 所以数列是以3为周期的数列， 则. 故选：A 3. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据“冰雹猜想”探讨数列的周期性，再利用该性质求得答案. 【详解】在数列中，，， 因此数列是以3为周期的周期数列，而，所以， 故选：D 4. 已知数列满足：，数列是递减数列，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列的单调性，结合分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为数列满足：，数列是递减数列， 所以函数为减函数，所以，解得， 函数为减函数，所以， 且有，即，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 5. 已知数列满足，设，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用与间的关系，得到，从而有，再利用裂项相消法，即可求解. 【详解】因为①， 当时，②， 由①②得到，得到， 又时，，满足，所以，则， 所以， 则数列的前项和为， 故选：D. 6. 已知等差数列的前项和分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质及求和公式得解. 【详解】根据等差中项的性质， 可得， 再由等差数列的前n项和公式可得， 所以 ， 故选：D 7. 已知等差数列，，．数列满足，，设的前n项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列性质可得，进而可得，，再结合等差数列的求和公式运算求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，即， 且，则，可得， 则， 且， 可知数列是首项为4，公差为的等差数列， 所以. 故选：C. 8. 已知数列中，，则不超过的最大整数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由条件得到，通过累加求和即可求解. 【详解】由， 得，取倒数得：， 所以， 所以 ， 又，所以数列单调递增， 由，可得：， ， ， ， 显然， 所以不超过的最大整数是3， 故选：C 二、多选题（6分*3=18分） 9. 已知等差数列的前n项和为，公差为d，m，n为互不相等的正整数，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是等差数列 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式进行计算即可. 【详解】因为等差数列的前n项和为，公差为d，所以. 所以，所以数列是首项为公差为的等差数列，A正确； 因为，所以. 两式相减得，即， 因为m，n为互不相等正整数，所以，所以. 代入得，所以，B正确； 因为， 当时，. 所以，又， 所以，则，所以C错误； 因为，所以， 化简得，因为m，n为互不相等的正整数，所以， 所以，所以，D正确. 故选：ABD. 10. 斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，…，从第3项开始，每一项都等于前两项之和，即数列满足，，，记数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】直接求解前9项判断A；根据前9项求和判断B；根据累加得判断C；结合累加判断D. 【详解】由题知，，，，，，，，， 故A选项错误； 所以，故B选项正确； 由知：，，，……，，， 将以上式子相加得：，即， 所以，故，C选项正确； 因为，所以 所以，故D选项正确； 故选：BCD 11. 已知为等差数列的前n项和，d为的公差，若，，则（ ） A. B. C. 最小值为 D. 的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由已知结合等差数列的项与和的性质推出，，即得，，由此可判断每个选项的正误即可. 【详解】由，可得，即， 又由，，即， ，且，则， 所以，所以的最小值为，无最大值. 故A，B，C均正确，D错误. 故选：ABC. 三、填空题（5分*3=15分） 12. 在数列中，，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据数列的递推式，利用累加法求得数列的通项，即得的表达式，利用双勾函数分析数列的增减性，即得其最小值. 【详解】由，得， 所以当时， ， 当时，上式成立，所以，所以. 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在时递减，在时递增， 又， 因，所以的最小值为. 故答案为：. 13. 设数列的前项和为，则 _____. 【答案】2760 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分组求和法，结合等差数列前项和求解. 【详解】数列中，， 当为奇数时，，数列是首项，公差为2的等差数列， 当为偶数时，，数列是首项，公差为4的等差数列， 所以 . 故答案为：2760 14. 已知数列的通项公式为，在和之间插入个形成一个新数列，则的前2025项的和为__________. 【答案】7893 【解析】 【分析】先确定前2025项中的项数，然后计算的前63项的和，然后计算插入的2的个数和总和，从而求得结果. 【详解】由于在和之间插入个形成一个新数列， 所以新数列中包含至的总项数由个项和个插入的2构成， 总项数为. 计算最大的，使得，当时，， 即前63个原数对应新数列的2016项，那么剩下的项数为项，为插入的2. 数列的前63项的和为，的前2016项中插入的2的个数为个， 从第2017项到第2025项有9个2，所以插入的2的总个数为个，则插入的2的和为. 所以的前2025项的和为. 故答案为：7893. 四、解答题（13+15+15+17+17=77分） 15. 设数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若数列，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系计算即可求解； （2）由（1）可得，结合裂项相消求和法计算即可求解. 【小问1详解】 由，得， 当时，， 上式对也成立，所以； 小问2详解】 由（1）知，则， 所以， 则. 16. 已知数列的各项均为正数，前项和为，且． （1）求； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用关系，可得是等差数列，利用等差数列通项公式可得答案； （2）先根据求出的通项公式，利用并项求和可得答案. 【小问1详解】 因为，当时，可得； 因为当时，有， 所以，整理得， 所以是首项为4，公差为4的等差数列． 所以， 因为数列的各项均为正数，所以. 【小问2详解】 由（1）知，当时，． 当时，成立，所以． 所以， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 综上，． 17. 已知等差数列中 ，. （1）求数列的通项公式； （2）设是否存在最大的整数，使得对任意， 均有 成立?若存在，求出的值：若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得，即可求得数列 的通项公式； （2）由（1）知，得到，结合裂项法求和，求得，根据题意，转化为对任意恒成立，进而求得的值. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 可得， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，可得， 所以， 若对任意成立，即，即对任意恒成立， 令，函数在上为单调递增函数， 所以的最小值为， 要使得对任意恒成立，即 因为是整数，由可得的最大整数值为， 即存在最大整数，使得对，均有恒成立. 18. 在等差数列中，，为与的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为，判断23是不是数列的项，若是，是第几项？若不是，请说明理由； （3）若，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2）23不是的项，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）结合等差数列及等差中项性质求解即可. （2）求出等差数列前n项和，得到，通过解方程验证正整数解是否存在即可. （3）确定数列的正负分界点，再分情况讨论求和. 【小问1详解】 设的公差为d，则， 所以，，， 因为为与的等差中项，所以， 解得，所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 所以， 令，解得. 因为是正整数，所以23不是的项. 【小问3详解】 由（1）知， 当时，，；当时，，， 所以当时，， 当时， . 所以. 19. 已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和. （1）求数列的通项公式； （2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）设，，求数列的前n项和及使的n的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3），最小值为4. 【解析】 【分析】（1）通过前n项和的差与已知条件相除，推得是等差数列，求出后利用（）得到通项公式； （2）将恒成立问题转化为恒成立，构造数列，分析其单调性找到最大值，确定的取值范围； （3）裂项得，再求和得到，最后解不等式即可. 【小问1详解】 在数列中，①， 又因为②,， 所以得． 又因为，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以． 当时，， 当时，，也满足上式， 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）知，， 因为对于任意恒成立，所以恒成立． 设，则， 当和时，，即； 当时，， 所以， 所以数列的最大项是，所以， 即实数的取值范围为． 【小问3详解】 由（1）知， 所以． 所以， 所以 . 由，得，即． 因为，所以当时，； 当时，． 所以当时，，所以使的的最小值是4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学测试卷20260113 考试范围：数列的概念与等差数列 考试时间：周二晚19:30--21:30 一、单选题（5分*8=40分） 1. 已知等差数列满足，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 2. 在数列中，若，，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 3. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 4. 已知数列满足：，数列是递减数列，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列满足，设，则数列的前项和为（ ） A B. C. D. 6. 已知等差数列的前项和分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列，，．数列满足，，设前n项和为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列中，，则不超过最大整数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（6分*3=18分） 9. 已知等差数列的前n项和为，公差为d，m，n为互不相等的正整数，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是等差数列 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，…，从第3项开始，每一项都等于前两项之和，即数列满足，，，记数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知为等差数列的前n项和，d为的公差，若，，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最大值为 三、填空题（5分*3=15分） 12. 在数列中，，则最小值为__________. 13. 设数列的前项和为，则 _____. 14. 已知数列的通项公式为，在和之间插入个形成一个新数列，则的前2025项的和为__________. 四、解答题（13+15+15+17+17=77分） 15. 设数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若数列，求数列的前项和． 16. 已知数列的各项均为正数，前项和为，且． （1）求； （2）设，求数列前项和． 17. 已知等差数列中 ，. （1）求数列的通项公式； （2）设是否存在最大的整数，使得对任意， 均有 成立?若存在，求出的值：若不存在，请说明理由. 18. 在等差数列中，，为与的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为，判断23是不是数列的项，若是，是第几项？若不是，请说明理由； （3）若，求数列的前n项和. 19. 已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和. （1）求数列的通项公式； （2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）设，，求数列的前n项和及使的n的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $