湖北武汉市蔡甸区汉阳一中2026-2027学年高二上学期数学周测试卷（8.12）

**基本信息** 涵盖统计、复数、立体几何等模块，以信号塔测量、诗词大赛等现实情境设计问题，通过基础题与探究题梯度分布，提升知识应用与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|第1题百分位数（统计）、第4题投影向量（立体几何）|基础概念与空间想象结合，如第6题异面直线成角考查空间观念| |多选题|3/18|第9题互斥对立事件（概率）、第10题仰角测量（解三角形）|情境化问题设计，如第10题汽车行驶测塔高体现数学眼光| |填空题|3/15|第12题分层抽样（统计）、第14题外接球表面积（立体几何）|数据处理与空间模型应用，如第14题求外接球最小值考查数学思维| |解答题|5/77|第16题频率分布直方图（统计）、第18题比赛概率模型（概率）、第19题外接球证明（立体几何）|综合探究能力，如第19题多面体旋转外接球问题培养创新意识与数学语言表达|

高二数学周测试卷 考试时间：2026年8月12日晚上19:30----21:30 试卷满分： 150分 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将答案填涂在答题卡上. 1．数据12，8，10，15，11的第60百分位数为 （ ） A．11 B．11.5 C．12 D．10 【答案】B 【详解】因为此组数据即为，一共有个数据，且， 所以此组数据的第60百分位数为第、这两个数的平均数，即为. 2．设为虚数单位．若复数满足，则的值为 （ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】因为，所以，解得，即， 即 ，则选项B正确. 3．把某班五名学生在一周内阅读数学竞赛书籍的时间1，2，3，4，5（单位：小时）作为一组样本数据，现增加统计两位学生，他们一周内阅读数学竞赛书籍的时间分别为正整数（单位：小时），与原有样本数据一起构成一组新样本数据，与原组样本数据比较，下列说法正确的是 （ ） A．若，则方差不变 B．若极差不变，则 C．若，则中位数变大 D．若平均数不变，则 【答案】D 【分析】举例说明，ABC错误，求出原数据与新数据的平均数，可判断D是否正确. 【详解】原数据的平均数为：， 原数据的方差为：. 对A：若，则满足，此时所得新数据的平均数为：， 方差为：，方差变小，故A错误； 对B：若极差不变，由可能是，，……，不一定要，故B错误； 对C：若，如，则新数据的中位数是3， 因为原数据的中位数也是3，没变，故C错误； 对D：新数据的平均数为：，由，故D正确.故选：D. 4．中，设角的对边分别为，则在方向上的投影向量为 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】   在方向上的投影向量为. 5．已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中， ，则原四边形的面积为 （ ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】过点作，垂足为 则由已知可得四边形为矩形，为等腰直角三角形 ，则，根据直观图画出原图如下：   可得原图形为直角梯形，，且， 可得原四边形的面积为. 6．为异面直线，且所成角为，过空间一点作直线，直线与均异面，且所成角均为，若这样的共有四条，则的范围为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将异面直线平移至均过点，得到相交直线，其夹角为，所以原问题等价于过点作直线，使与所成角均为，过点且与两条相交直线成等角的直线，其方向只可能落在两个角平分面上. 平面：平分所成角的平面（内平分面）， 平面：平分所成补角的平面（外平分面），且， 在任何一个角平分面内，固定一条角平分线（它与两直线的夹角为半角），然后让直线在该面内绕点旋转，与两直线的夹角会连续变化，范围如下： 1. 在平面内（平分角）. 在平面内与相交的角平分线，它与和所成的夹角是， 在平面内，将该角平分线绕点旋转，它与的夹角会从连续增大至， 因此平面内满足条件的直线条数为： 当时：条； 当时：条（即角平分线本身）； 当时：条（关于角平分线对称的两条）； 当时：条（垂直于平面的直线）. 2. 在平面内（平分角）. 在平面内与相交的角平分线与的夹角为， 同理，在平面内旋转该角平分线，夹角会从连续增大至， 因此平面内满足条件的直线条数为： 当时：条； 当时：条（即角平分线本身）； 当时：条（关于角平分线对称的两条）； 当时：条（垂直于平面的直线）. 综上所述，只有当时，满足条件的直线恰有条. 7．在中，所对的边分别为，已知且，若面积为4，则 （ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为. 所以 所以，所以. 由正弦定理可得：，又，所以. 因为面积为4，所以① 由余弦定理可得：, 所以：②，①②可得：，即.所以. 8．已知圆锥的高为1，体积为．为的一条直径，为上一点（不与，重合）．设二面角 和的正切值分别为，，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆锥底面半径为．由得，所以． 作，垂足为；作，垂足为，如图所示． 因为 底面，底面，所以．又，故 平面，平面，从而． 因此 为二面角的平面角．所以 同理，为二面角的平面角，故 因为为圆心，，，所以，分别为弦，的中点． 又为直径，所以．在中，为的中点，为的中点，为的中点， 因此于是 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9．设，为随机事件．以下说法正确的有 （ ） A．若，对立，则 B．若，则，对立 C．若，互斥，则 D．若，相互独立，则 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，对立，所以，不同时发生，则，故A正确； 对于B，由，不能得出，对立，如投掷一枚质地均匀的骰子， “出现的点数为1，2”，“出现的点数为3，4”，显然，但，不对立，故B错误； 对于C，因为，互斥，，则，故C正确； 对于D，因为，相互独立，，则，故D正确. 10．如图1，为测量某垂直于地面的信号塔的高度，某同学坐在一辆匀速缓慢行驶的汽车内，每5 s测量一次该信号塔的仰角（即图1中的），并将测量结果记录于图2所示的方格表中，其中取第一个记录点为初始时刻．已知汽车行驶于一条水平、笔直的公路上，且速度为，则以下说法正确的有 （ ） A．时，汽车与信号塔的距离最近 B．时，汽车与信号塔的距离最远 C．公路与信号塔的距离约为150 m D．信号塔的高度约为250 m 【答案】AD 【详解】由题设，其中塔高恒定，为汽车与信号塔的距离， 由图2，时，最大，即最小，故A对，B错， 对于C：汽车速度为，每5秒行驶，令表示公路与信号塔的距离，结合题设图， 由时汽车距离最近点的行驶距离为，此时， 而时，则， 联立两式解得，即公路与信号塔的垂直距离约为200m，C错， 对于D：代入，得，D对. 11．长方体中，，，，若为棱中点，，经过，，三点的平面将已知长方体分成两部分，则 （ ） A．当时，平面截长方体所得截面多边形为四边形 B．当时，体积较小的部分对应几何体内部可放进一个半径为的小球 C．当时，截面与平面所成二面角的正弦值为 D．当时，截面分长方体所得两部分中，体积较小部分与体积较大部分的体积之比为 【答案】ABD 【详解】A项，当时，与重合，所以平面即平面.设该平面与棱交于点. 因为长方体中面与面平行，所以平面与这两个面的交线与平行. 因为，所以四边形为平行四边形，所以， 所以，因为为中点，所以为中点，连接， 因此平面截长方体所得截面为四边形，故A正确； B项，由，且，则与相交于一点，设为. 设平面平面，则，则三线交于一点，且， 即体积较小的部分对应几何体为三棱台.将三棱台可补成三棱锥. 在中，由，的高为， 设三棱锥的内切球半径为，则 由，解得，三棱台的高， 由，内切球与下底面相切，且直径小于棱台的高， 所以球不会穿出上底面，可知三棱锥的内切球在三棱台内，又， 故三棱台内可放进半径为的小球，故B正确； C项，当时，为的中点.设为在底面上的射影，则为的中点，则， 因为底面，所以平面，易知，截面与底面的交线为. 在底面内，过作，垂足为.因为，且，所以平面， 故即为截面与平面所成二面角的平面角. ，，所以 于是，则，故C错误； D项，当时，设平面与棱交于点，与棱交于点. 顺次连接可得截面为五边形. 由平面平面，平面截面，平面截面，则， 由平行截线及相似关系可得，过作平行于底面的平面，分别交于点. 由平面平面，平面截面，平面截面，则， 故四边形为平行四边形，所以. 同理可得，，由为三等分点，可知分别为的三等分点， 在平面中过点作，垂足为，又由为的四等分点，可得为中点. 由上分析可知截面分长方体所得的两部分中，体积较小部分共由三棱台、三棱柱、三棱柱三部分组成.其中三棱台的高，三棱柱的高， 且三棱柱的高，则；； ；所以体积较小部分的体积为. 又长方体总体积为，故体积较大部分为. 于是体积较小部分与体积较大部分的体积之比为，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 请将答案写在答题纸上. 12．高二年级有男生490人，女生510人。张华通过分层抽样抽取男生20人，女生80人，并得到男生样本的平均身高为170，女生样本的平均身高为160，请你估计高二全体学生的平均身高为______________ 【答案】164.9‌ 13．已知随机事件满足，，，则________________． 【答案】. 【详解】事件可拆分为互斥事件与，即, 由互斥事件加法公式 ,所以，解得： 事件可拆分为互斥事件与，即 , 同理，所以，. 14．在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为__________________. 【答案】 【详解】设，在等腰中，， 设的外心是，外接圆半径是，则，∴， 设外接球球心是，则平面，平面，则，同理，， 又平面，所以，是直角梯形，设，外接球半径为，即， 则，所以，在直角中，，， ，，∴， ，令，则， ， 当且仅当，时等号成立，所以的最小值是．故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，满分77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并将答案写在答题纸上. 15．（本小题满分13分）复平面中，已知点，，为的中点． （1）求点对应的复数； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题意，，因此点对应的复数为． （2）由题意，，． 因为二者夹角为锐角，所以，解得； 同时有与不共线，即，解得．综上，的取值范围是． 16．（本小题满分15分）某校举办了校园诗词大赛，学生的比赛成绩均在内（单位：分），随机抽取了名学生的成绩，整理后按照，，，，分成五组，并绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并基于频率分布直方图估计这名学生成绩的中位数． （2）现从样本成绩在与两个分数段内，按分层随机抽样的方法选取人，再从这5人中随机选取 人．写出该试验的样本空间，并用古典概型的概率计算公式求这人中恰有人的成绩落在内的概率． 【答案】(1)（或），（分） (2)样本空间， 【详解】（1）由频率分布直方图的性质，，解得， 设名学生成绩中位数的估计结果为．记第组的频率为（按分数从低到高，）， 则由频率分布直方图可得：，，，， 因为，，所以． 由比例关系，，解得（分）. （2）由（1）得，．由分层抽样定义，在分数段内抽取人，在分数段内抽取人．记中选取的四人为，，，，中选取的一人为， 则样本空间， 设事件“这2人中恰有1人的成绩落在内”，则， 所以． 17．（本小题满分15分）中，设角，，的对边分别为，，．已知． （1）求的值； （2）若，求的值； （3）若为锐角三角形，且边上的高为2，求面积的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）已知．由正弦定理，得. 又由余弦定理，则，因为，，所以. 又 ，故 ，从而. （2）由（1）知，所以． 又，且 ，所以. 由正弦定理，，因此. 由已知条件，故. 因为，，均为正数，所以. （3）由（1）知，故．因为 为锐角三角形，所以 由边上的高为，有．于是三角形面积 又，所以. 当 时，故当时取到等号，而不能取到． 因此所以面积的取值范围为 18．（本小题满分17分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 解：（1）甲连胜四场的概率为． （2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛． 比赛四场结束，共有三种情况： 甲连胜四场的概率为；乙连胜四场的概率为；丙上场后连胜三场的概率为． 所以需要进行第五场比赛的概率为． （3）丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为． 比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，．因此丙最终获胜的概率为． 19．（本小题满分17分）回答以下问题： （1） 如图1，设点为三棱锥外接球的球心，过作平面于点，作平面于点．设棱的中点为，连接，．设二面角为（），，，，，球的半径为．求证： （i）．为的外心； （ii）．，，，四点共面； （iii）．． （注：当三棱锥的形状变化时，图1的形状也可能发生变化（例如图2）．事实上，上述求解的公式对任意三棱锥都成立，不过你只需基于图1证明即可．） （2）已知等边三角形的边长为，直线将其分成两个多边形．将其中一个多边形绕旋转角度（），然后以这两个多边形为底面，连接它们边界上的对应点，构成一个多面体．若该多面体的所有顶点都在同一个球面上，求该球半径的最小值． 【答案】(1)（i）．因为平面，，，平面，所以，，， 则，，．又点为三棱锥外接球的球心，则，因此，即为的外心． （ii）．因为为的外心，且为的中点，所以．同理可证． 因为，平面，，所以平面． 因为平面，平面，所以． 因为，平面，，所以平面． 因为过点有且仅有一个平面与直线垂直， 所以平面与平面重合，即，，，四点共面． （iii）．因为，，所以是二面角的平面角，即． 设．因为，，，四点共面，所以在图1中，有． 因为平面，平面，所以．同理． 因此，即，解得． 因此． 因为（i．问中已经证明），所以． 同理，，． 因此． （2）在图1中有，因此由（1）的第iii问可得，对给定的，，和， 当在内变化时，若，则，此时当时，取得最小值； 若，则，此时当时，取得最小值； 若，则，此时， 因此当趋近于时，趋近于其下界（但无法取得）． 由对称性，仅需考虑以下两种情况：情况1：，设， 此时两个多边形为和，多面体为三棱锥 ， 设和的外接圆半径分别为，， 则由正弦定理，．而，等号成立当且仅当点为中点． 因此由前述结论，当趋近于时且为中点时，趋近于其下界． 情况2：与线段，各有一交点（非端点），设，， 此时两个多边形为和四边形， 多面体为四棱锥 （这里为旋转后的对应点）． 若该四棱锥有外接球，则四边形有外接圆，即． 此时，设和四边形的外接圆半径分别为，，（）， 则，，． 因为，且当（即为的中位线）时，取得最小值， 所以由前述结论，的最小值为．综上，外接球半径的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学周测试卷 考试时间：2026年8月12日晚上19:30----21:30 试卷满分： 150分 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将答案填涂在答题卡上. 1．数据12，8，10，15，11的第60百分位数为 （ ） A．11 B．11.5 C．12 D．10 2．设为虚数单位．若复数满足，则的值为 （ ） A． B． C．1 D． 3．把某班五名学生在一周内阅读数学竞赛书籍的时间1，2，3，4，5（单位：小时）作为一组样本数据，现增加统计两位学生，他们一周内阅读数学竞赛书籍的时间分别为正整数（单位：小时），与原有样本数据一起构成一组新样本数据，与原组样本数据比较，下列说法正确的是 （ ） A．若，则方差不变 B．若极差不变，则 C．若，则中位数变大 D．若平均数不变，则 4．中，设角的对边分别为，则在方向上的投影向量为 （ ） A． B． C． D． 5．已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中， ，则原四边形的面积为 （ ）    A． B． C． D． 6．为异面直线，且所成角为，过空间一点作直线，直线与均异面，且所成角均为，若这样的共有四条，则的范围为 （ ） A． B． C． D． 7．在中，所对的边分别为，已知且，若面积为4，则 （ ） A．2 B． C． D． 8．已知圆锥的高为1，体积为．为的一条直径，为上一点（不与，重合）．设二面角 和的正切值分别为，，则 （ ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9．设，为随机事件．以下说法正确的有 （ ） A．若，对立，则 B．若，则，对立 C．若，互斥，则 D．若，相互独立，则 10．如图1，为测量某垂直于地面的信号塔的高度，某同学坐在一辆匀速缓慢行驶的汽车内，每5 s测量一次该信号塔的仰角（即图1中的），并将测量结果记录于图2所示的方格表中，其中取第一个记录点为初始时刻．已知汽车行驶于一条水平、笔直的公路上，且速度为，则以下说法正确的有 （ ） A．时，汽车与信号塔的距离最近 B．时，汽车与信号塔的距离最远 C．公路与信号塔的距离约为150 m D．信号塔的高度约为250 m 11．长方体中，，，，若为棱中点，，经过，，三点的平面将已知长方体分成两部分，则 （ ） A．当时，平面截长方体所得截面多边形为四边形 B．当时，体积较小的部分对应几何体内部可放进一个半径为的小球 C．当时，截面与平面所成二面角的正弦值为 D．当时，截面分长方体所得两部分中，体积较小部分与体积较大部分的体积之比为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 请将答案写在答题纸上. 12．高二年级有男生490人，女生510人。张华通过分层抽样抽取男生20人，女生80人，并得到男生样本的平均身高为170，女生样本的平均身高为160，请你估计高二全体学生的平均身高为______________ 13．已知随机事件满足，，，则________________． 14．在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为__________________. 四、解答题：本大题共5小题，满分77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并将答案写在答题纸上. 15．（本小题满分13分）复平面中，已知点，，为的中点． （1）求点对应的复数； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 16．（本小题满分15分）某校举办了校园诗词大赛，学生的比赛成绩均在内（单位：分），随机抽取了名学生的成绩，整理后按照，，，，分成五组，并绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并基于频率分布直方图估计这名学生成绩的中位数． （2）现从样本成绩在与两个分数段内，按分层随机抽样的方法选取人，再从这5人中随机选取 人．写出该试验的样本空间，并用古典概型的概率计算公式求这人中恰有人的成绩落在内的概率． 17．（本小题满分15分）中，设角，，的对边分别为，，．已知． （1）求的值； （2）若，求的值； （3）若为锐角三角形，且边上的高为2，求面积的取值范围． 18．（本小题满分17分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 19．（本小题满分17分）回答以下问题： （1） 如图1，设点为三棱锥外接球的球心，过作平面于点，作平面于点．设棱的中点为，连接，．设二面角为（），，，，，球的半径为．求证： （i）．为的外心； （ii）．，，，四点共面； （iii）．． （注：当三棱锥的形状变化时，图1的形状也可能发生变化（例如图2）．事实上，上述求解的公式对任意三棱锥都成立，不过你只需基于图1证明即可．） （2）已知等边三角形的边长为，直线将其分成两个多边形．将其中一个多边形绕旋转角度（），然后以这两个多边形为底面，连接它们边界上的对应点，构成一个多面体．若该多面体的所有顶点都在同一个球面上，求该球半径的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $