精品解析：湖北孝感市2025-2026学年上学期期末高二数学 B卷

高二数学B 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 数列的第8项为（ ） A. B. C. D. 2. 已知曲线的方程为.若曲线表示的是双曲线，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 或 3. 直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆，一条光线从点射出经轴上的点反射.若反射光线与圆相切于点，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列对于有关概率的计算或说法错误的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，设事件出现的点数不小于5出现的点数为偶数，则出现的点数为6 B. 若事件两两互斥，则 C. 随机事件发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值. D. 若，则事件相互独立与互斥能同时成立. 6. 已知圆，一动圆与直线相切且与圆外切，动圆圆心的轨迹为.为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线的方程是 B. 的最小值为3 C. 为曲线上的两点，点为线段的中点，则所在的直线方程为 D. 以线段为直径的圆与轴相切 7. 在平行六面体中，是的中点，为平面内一点，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 曲线是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出的下列结论中正确的个数为（ ） ①曲线关于坐标轴和直线均对称； ②曲线恰好经过8个整点（即横､纵坐标均为整数的点）； ③曲线围成的图形的面积是； ④曲线上任意两点间的距离的最大值为4； ⑤若是曲线上任意一点，则的最小值是2. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 现有一双运动鞋和一双凉鞋，从这四只鞋中随机取出2只，记事件“取出的鞋不成双”；“取出的鞋都是同一只脚”.则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 空间直角坐标系中，已知向量，则经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，根据上面的材料，以下选项说法正确的是（ ） A. 若直线的方程为，则点在直线上 B. 已知平面的方程，平面的方程为，则这两平面所成角的正弦值为 C. 已知平面的方程为，则点到平面的距离为 D. 已知平面的方程为，平面的方程为，平面的方程为，则直线与平面的夹角的余弦值为 11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 若点的坐标为，则 C. 的最小值为16 D. 若直线与直线相交于点，则三点共线 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 直线经过点，则点到的距离为__________. 13. 若圆上到直线的距离为3的点恰好有2个，则的取值范围__________. 14. 已知椭圆.若圆的方程为，椭圆上存在点，过作圆的两条切线，切点分别为，使得，则椭圆的离心率的取值范围为__________. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. （1）已知数列的前项和，求数列的通项公式； （2）已知数列的通项公式.试判断是否有最大值并说明理由. 16. 在平面直角坐标系中，圆为过点的圆. （1）求圆的标准方程； （2）已知斜率为的直线与圆相交于异于原点的两点，直线的斜率分别为，且证明：直线恒过定点. 17. 某奖闯关活动共设置三道试题，选手需依次进行答题，每次答题正确后均会获得相应奖金，且奖金累积.选手每次独自答题正确后选择继续答题或放弃答题的概率相同，若选择放弃答题，则奖金有效；若选择继续答题，当答题错误时，选手可以使用一次场外求助机会，若求助后答题正确，则奖金有效，同时答题结束，若求助后答题错误，则奖金清零，同时答题结束.已知甲在本次活动中依次独自答题正确的概率分别为，场外求助后答题正确的概率为. （1）求甲答题两次并获得奖金的概率； （2）求甲在后两题中使用场外求助并获得奖金的概率. 18. 如图，在四棱锥中，平面与底面所成的角为，底面为直角梯形，. （1）证明：平面平面； （2）求点到平面的距离； （3）棱上是否存在点，使二面角的余弦值为.若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由. 19. 我们把下面的定义称为双曲线的第二定义：平面内到定点的距离与到定直线：的距离之比为常数的点的轨迹叫做双曲线，其方程为，其中，此时叫做该双曲线的右准线.已知双曲线的左､右焦点分别为，直线是的右准线. （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线交E的右支于两点，过点作直线的垂线，垂足为.证明：直线过定点； （3）过点作直线交曲线于异支两点记为.设直线分别与直线轴相交于点.问：在实轴上是否存在定点使恒成立，若存在，则求出对应定直线，若不存在，则说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学B 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 数列的第8项为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给数列，写出数列的一个通项公式，再求解第8项. 【详解】记数列为，通过观察分子分母的特征，可得数列的一个通项公式为，. 故选：B 2. 已知曲线的方程为.若曲线表示的是双曲线，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线方程的结构得到，求解即可. 【详解】由方程表示双曲线， 可得， 解得或， 故选：D 3. 直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程可得直线的斜率，再根据斜率的定义结合正切函数的性质运算求解. 【详解】因为直线，即的斜率， 又因为，且，所以. 故选：A. 4. 已知圆，一条光线从点射出经轴上的点反射.若反射光线与圆相切于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】数形结合后，由对称性可知即为过点作圆的切线所得的切线长； 【详解】如图所示，有两种情况， 若反射光线与圆相切，分别记切点为， 关于轴的对称点为， ， 易知， 又 又， 即 故选：C 5. 下列对于有关概率的计算或说法错误的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，设事件出现的点数不小于5出现的点数为偶数，则出现的点数为6 B. 若事件两两互斥，则 C. 随机事件发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值. D. 若，则事件相互独立与互斥能同时成立. 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】对于A：事件，因此，A正确； 对于B：事件两两互斥时，由互斥事件的加法公式可知，B正确； 对于C：概率的统计定义表明，随机事件的概率是其频率在试验次数增多时的稳定值，频率是概率的近似值，C正确； 对于D：若，则事件相互独立时，， 事件互斥时，，两者不可能同时成立，D错误. 故选：D. 6. 已知圆，一动圆与直线相切且与圆外切，动圆圆心的轨迹为.为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线的方程是 B. 的最小值为3 C. 为曲线上的两点，点为线段的中点，则所在的直线方程为 D. 以线段为直径的圆与轴相切 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件求出轨迹的方程，然后根据抛物线的定义、中点公式等知识逐项计算即可. 【详解】圆的半径为，圆心，设动圆圆心，半径为，则根据题意可得 ，化简得，所以准线方程为，A错误； 根据抛物线的定义可知等于点到准线的距离， 所以的最小值为点到准线的距离，即，B错误； 因为为线段的中点，根据抛物线的对称性可知，直线的斜率存在， 设，因为为线段的中点， 则，由相减可得 ，所以. 所以直线的方程为，即，C错误； 设，则的中点为，中点到轴的距离为， 而，故圆的半径为，等于中点到轴的距离， 因此该圆与轴相切，D正确. 故选：D. 7. 在平行六面体中，是的中点，为平面内一点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件和空间向量基本定理求出，进而求得结果. 【详解】由图可知，，而， 若，所以. 因为，所以. 代入得， 因为为平面内一点，所以，解得. 所以. 故选：C. 8. 曲线是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出的下列结论中正确的个数为（ ） ①曲线关于坐标轴和直线均对称； ②曲线恰好经过8个整点（即横､纵坐标均为整数的点）； ③曲线围成的图形的面积是； ④曲线上任意两点间的距离的最大值为4； ⑤若是曲线上任意一点，则的最小值是2. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】分别讨论，，和四种情况，去掉绝对值，可得曲线的方程，作出其图象，可判断①的正误；根据图象的对称性及特殊值，可判断②的正误；根据面积公式，代入求解，可判断③的正误；根据圆的性质及图象，分析可得曲线上任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，代入数据，即可判断④的正误；根据点到直线距离公式，变形整理，结合直线与圆的位置关系，即可判断⑤的正误. 【详解】当时，曲线， 整理化简可得，表示圆心为半径为的半圆， 同理可得当时，，表示圆心为半径为的半圆， 当时，，表示圆心为半径为的半圆， 当时，，表示圆心为半径为的半圆， 作出曲线图形如图所示， 对于①，由图象可得，曲线关于坐标轴和直线均对称，故①正确； 对于②，当时，曲线，则过点， 同理曲线还过，共个整数点，故②正确； 对于③，曲线围成的图形的面积为，故③错误； 对于④，曲线上任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和， 即为，故④错误； 对于⑤，因为点到直线的距离， 所以，当最小时，易得点在曲线的第一象限图象上， 且最小距离为圆心到直线的距离减去半径， 所以， 所以，故⑤正确， 综上所述总共有个正确. 故选： 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 现有一双运动鞋和一双凉鞋，从这四只鞋中随机取出2只，记事件“取出的鞋不成双”；“取出的鞋都是同一只脚”.则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意列出事件的情况总数，然后逐项计算判断即可. 【详解】设左脚运动鞋为，右脚运动鞋为，左脚凉鞋为，右脚凉鞋为， 则， 所以，A错误； ，B正确； ，C正确； ，D正确. 故选：BCD. 10. 空间直角坐标系中，已知向量，则经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，根据上面的材料，以下选项说法正确的是（ ） A. 若直线的方程为，则点在直线上 B. 已知平面的方程，平面的方程为，则这两平面所成角的正弦值为 C. 已知平面的方程为，则点到平面的距离为 D. 已知平面的方程为，平面的方程为，平面的方程为，则直线与平面的夹角的余弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，将点代入直线检验，即可判断正误；对B，根据题设定义求出两平面的法向量，再由面面角的向量法，即可求解；对C，根据条件，求出平面的法向量及内一个点的坐标，再由点面距的向量法，即可求解；对D，根据条件，求出直线的方向向量及平面的法向量，再由线面角的向量法，即可求解. 【详解】对于A，因为直线的方程为，则， 所以点不在直线上，故A错误； 对于B，因为平面的方程，所以平面的法向量为， 又平面的方程为，所以平面的法向量为， 所以， 则这两平面所成角的正弦值为，所以B正确， 对于C，因为平面的方程为，即为， 所以平面的法向量，且点在平面内，所以， 设点到平面的距离为，则，所以C正确； 对于D，因为平面的方程为，所以平面的法向量； 又平面的方程为，所以平面的法向量； 设直线的方向向量为，则有， 取，则，又因为平面的方程为， 所以平面的法向量为， 设直线与平面的夹角为，则， 所以，故D错误， 故选：BC. 11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 若点的坐标为，则 C. 的最小值为16 D. 若直线与直线相交于点，则三点共线 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，直线方程可设为，与抛物线方程联立，结合韦达定理判断即可；对于B，将点坐标代入抛物线方程即可求出结果；对于C，利用基本不等式的性质求出最小值；对于D，计算即可判断是否共线. 【详解】根据抛物线的对称性，不妨设点在第一象限. 对于A：抛物线的焦点坐标为，根据抛物线的光学性质可知直线经过， 直线方程可设为，与抛物线方程联立， 得， 所以，所以选项A正确； 对于B：若点的坐标为，由题意可知：，代入中，得， 代入中，得，代入中，得，则， 所以，因此B正确； 对于C：点的坐标为，由题意可知：，代入中，得， 代入中，得，代入中，得， ， 即，当且仅当时取等号，即当时， 的最小值为18，所以C错误； 对于D：点坐标为，因为，所以， 又直线都经过同一点，所以三点共线. 故选：ABD. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 直线经过点，则点到的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由条件结合数量积的坐标表示，得到，结合向量模长公式即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以即为点到的距离，. 故答案为： 13. 若圆上到直线的距离为3的点恰好有2个，则的取值范围__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的几何性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 当圆上到直线的距离为3的点恰好有1个时，直线在圆外， 此时圆心到直线的距离为7，即，解得； 当圆上到直线距离为3的点恰好有3个时，直线到圆心的距离为1， 则，解得， 当直线位于到圆心距离为1和到圆心距离为7的两条平行直线之间时， 圆上到直线距离为3的点恰好有2个，此时的取值范围是. 故答案为： 14. 已知椭圆.若圆的方程为，椭圆上存在点，过作圆的两条切线，切点分别为，使得，则椭圆的离心率的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况，利用圆与椭圆的位置关系、切线性质及三角函数单调性，推导出椭圆离心率的取值范围. 【详解】若，此时与椭圆有公共点，故存在点， 过作圆的两条切线，切点分别为， 使得，此时，即； 若，即时，如图， 连接，显然，则， 因为在上单调递增，要想最大，只需最大， 故当最小时，满足要求，故点与上顶点C或下顶点D重合时，最大， 故当时满足要求，所以， 即，所以，解得，所以， 综上，椭圆的离心率的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. （1）已知数列的前项和，求数列的通项公式； （2）已知数列的通项公式.试判断是否有最大值并说明理由. 【答案】（1） （2）有最大值，理由： 因为， 当时，，则， 结合函数单调性可知此时数列单调递减， 当时，，则， 结合函数单调性可知，此时数列单调递减， 故， 故数列最大项为.故的最大值为6. 【解析】 【分析】（1）由和的关系即可求解； （2）由再结合单调性即可求解. 【详解】（1）因为数列的前项和， 所以当时，， 所以， 当时，不符合上式， 所以 （2）略 16. 在平面直角坐标系中，圆为过点的圆. （1）求圆的标准方程； （2）已知斜率为的直线与圆相交于异于原点的两点，直线的斜率分别为，且证明：直线恒过定点. 【答案】（1） （2） 设直线的方程为， 由，得， 因为直线与圆相交，所以 ， 且 所以 ，化简得， 故直线的方程为，恒过点. 【解析】 【分析】（1）设圆的标准方程，将圆上三点坐标代入，解方程组求得圆心坐标与半径，从而确定圆的标准方程； （2）联立直线与圆的方程，利用韦达定理和斜率乘积条件推导出直线斜率与截距的关系，进而确定直线恒过的定点. 【小问1详解】 设圆的标准方程为 ∴圆的标准方程为. 【小问2详解】 略 17. 某奖闯关活动共设置三道试题，选手需依次进行答题，每次答题正确后均会获得相应奖金，且奖金累积.选手每次独自答题正确后选择继续答题或放弃答题的概率相同，若选择放弃答题，则奖金有效；若选择继续答题，当答题错误时，选手可以使用一次场外求助机会，若求助后答题正确，则奖金有效，同时答题结束，若求助后答题错误，则奖金清零，同时答题结束.已知甲在本次活动中依次独自答题正确的概率分别为，场外求助后答题正确的概率为. （1）求甲答题两次并获得奖金的概率； （2）求甲在后两题中使用场外求助并获得奖金的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将甲答题两次并获奖的事件拆分为 “第一题正确→选择继续→第二题独立答对并选择放弃答题” 和 “第一题正确→选择继续→第二题独立答错但场外求助答对” 两种互斥情况，再用概率加法公式计算总概率； （2）将甲在后两题使用场外求助并获奖的事件拆分为 “第一题正确→选择继续→第二题独立答错但求助答对” 和 “前两题独立答对→选择继续→第三题独立答错但求助答对” 两种互斥情况，再用概率加法公式计算总概率. 【小问1详解】 记甲第一题独自答题正确为事件､第二题独自答题正确为事件､ 第三题独自答题正确为事件，甲选择继续答题为事件， 甲场外求助后答题正确为事件， 则 甲答题两次并获得奖金包含两种情况： ①第一题独自答题正确且选择继续答题，同时第二题独自答题正确且选择放弃答题； ②第一题独自答题正确且选择继续答题，第二题独自答题错误但场外求助后答题正确.故甲答题两次并获得奖金的概率： ； 【小问2详解】 甲在后两题中使用场外求助并获得奖金包含两种情况： ①第一题独自答题正确且选择继续答题，同时第二题独自答题错误 但场外求助后答题正确；②前两次均独自答题正确且均选择继续答题， 同时第三题独自答题错误但场外求助后答题正确. 因为， 所以甲在后两题中使用场外求助并获得奖金的概率. 18. 如图，在四棱锥中，平面与底面所成的角为，底面为直角梯形，. （1）证明：平面平面； （2）求点到平面的距离； （3）棱上是否存在点，使二面角的余弦值为.若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 因为平面平面， 所以，为与底面所成的角， 所以， 因为， 取中点，连接，则， 则四边形为长方形，又,故四边形为正方形， 则 ，故， 所以 又因为， 所以平面 因为平面， 所以平面平面. （2） （3）存在，是靠近的三等分点 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直性质证得，结合几何关系推出，进而证明⊥ 平面，再根据面面垂直判定定理得到平面⊥ 平面； （2）过点作，结合⊥ 平面证得⊥ 平面，从而将点到平面的距离转化为线段的长度，再通过直角三角形面积公式求出的值； （3）建立空间直角坐标系，设出点的坐标，求出平面与平面的法向量，利用二面角的余弦值条件列方程求解参数，从而确定点的位置. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作于点， 由于平面平面APC， 所以 因为， 所以平面 故即为点到平面的距离， 因为， 所以. 【小问3详解】 令.以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 其中平面的法向量为，设平面的法向量为， , 则，令得：， 所以 设二面角的平面角为，则， 其中 解得：或 因为，所以.故是靠近的三等分点. 19. 我们把下面的定义称为双曲线的第二定义：平面内到定点的距离与到定直线：的距离之比为常数的点的轨迹叫做双曲线，其方程为，其中，此时叫做该双曲线的右准线.已知双曲线的左､右焦点分别为，直线是的右准线. （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线交E的右支于两点，过点作直线的垂线，垂足为.证明：直线过定点； （3）过点作直线交曲线于异支两点记为.设直线分别与直线轴相交于点.问：在实轴上是否存在定点使恒成立，若存在，则求出对应定直线，若不存在，则说明理由. 【答案】（1） （2） 证明：设，则， 由斜率不为0，可设， 联立双曲线并整理得， 则， 所以 由，直线， 根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上， 令，则，解得 因为，所以， 而，所以，则， 所以过定点 （3）存在定点，直线是 【解析】 【分析】（1）根据，再根据准线方程得到，求解即可； （2）设，，联立双曲线方程，结合韦达定理得到，再结合对称性即可求证； （3）设直线的方程，与双曲线的方程联立，由等式成立，可得为的角平分线，可得直线的斜率之和为0，求出直线的斜率之和的代数式，利用韦达定理整理可得参数的值. 【小问1详解】 设的半焦距为，易知， 因为为的右准线，所以， 解得，所以， 所以的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由过点作直线交曲线于异支两点，得直线的斜率存在，且斜率不为0， 设直线的方程为，其中或 因为恒成立，即，得为的角平分线， 设，假设存在， 联立，整理可得：， ， 因为，所以， 整理可得， ， 即， 因为，整理可得，即， 综上所述，在实轴上存在定点使恒成立，对应定直线是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $