第十讲 勾股定理最短路径问题 讲义 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

本讲义聚焦勾股定理解决最短路径问题，系统梳理立体图形展开（圆柱、长方体等）和平面图形对称平移（将军饮马等）的方法，通过步骤分解和题型分类构建从基础到综合的学习支架。 特色在于结合几何直观与空间观念（数学眼光），通过分类讨论（如长方体三种展开方案）培养推理意识（数学思维），例题融入实际情境（葛藤缠绕、楼梯铺地毯）发展模型意识（数学语言）。课中例题精析助于理解，课后变式与作业可查漏补缺。

暑 假 提 升 专 题 2026年升初二暑期课程讲义 提升专题 第十讲 勾股定理 —— 最短路径问题 第10讲 讲 最短路径问题 一、知识讲解 最短路径核心思想：化曲面为平面，化折为直，依据 “两点之间，线段最短”，把立体图形侧面展开成平面，再用勾股定理计算线段长度；平面最短路径常用轴对称（将军饮马）、平移转化线段。 1、立体图形最短路径解题步骤 1）将立体（圆柱、长方体、棱柱、台阶）的侧面展开为平面图形； 2）确定展开后两个点对应的位置； 3）两点连线即为理论最短路径，构造直角三角形，利用勾股定理求线段长； 4）长方体要分三种展开方案分别计算，对比取最小值。 注意：蚂蚁在容器外壁、食物在内壁时，展开后要做镜像对称处理。 2、平面最短路径 1）将军饮马模型：作其中一个点关于直线的对称点，两点连线的长度就是两线段之和的最小值； 2）台阶铺地毯：平移台阶的水平、竖直边，总长度 = 全部水平总长 + 全部竖直总高。 3、三大题型分类 1. 立体图形展开求最短距离：三棱柱、圆柱（葛藤缠绕）、长方体、台阶； 2. 平面图形最短距离：将军饮马（角平分线、正方形对角线动点）、楼梯铺地毯； 3. 内外壁综合模型：蚂蚁在容器外壁，食物在容器内壁，展开 + 对称再勾股。 二、例题精析 类型一 利用展开图求立体图形中的最短距离 【例1】如图是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，从顶点 A 到顶点 A' 镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为 5cm，底面边长为 4cm，则这圈金属丝的长度至少为 ( ) A.8 cm B.13 cm C.12 cm D.15 cm 【例2】我国古代有这样一道数学问题:"枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？" 题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱，因一丈是十尺，则该圆柱的高为 20 尺，底面周长为 3 尺，有葛藤自点 A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 B 处，则问题中葛藤的最短长度是 尺。 类型二 利用平移或对称求平面图形中的最短距离 【例3】如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，BD 是∠ABC 的平分线。若 P，Q 分别是 BD 和 AB 上的动点，则 PA+PQ 的最小值是 ( ) A.5 B.4 C. D. 【例4】如图所示，在高 3m，斜坡 5m 的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少要 m。 【例5】如图，在正方形 ABCD 中，AB=4，E 在 BC 边上，BE=1，F 是 AC 上一动点，则 EF+BF 的最小值是 【例6】如图，A，B 两个小镇在河流 CD 的同侧，到河流的距离分别为 AC=10 km，BD=30 km，且 CD=30 km，现要在河流边修建一自来水厂分别向两镇供水，铺设水管的费用为每千米 3 万元。 (1) 请在河流上选择水厂的位置 M，使铺设水管的费用最少。(不写作法，保留作图痕迹) (2) 最低费用为多少？ 类型三 综合利用对称解决立体图形中的最短路径问题 【例7】如图，透明的圆柱形容器 (容器厚度忽略不计) 的高为 12cm，底面周长为 10cm，在容器内壁离容器底部 3cm 的点 B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿 3cm 的点 A 处，求蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长。 三、变式训练 1．如图，圆柱的底面周长是24，高是5，一只在点的蚂蚁想吃到点的食物，沿着侧面需要爬行的最短路径是 ． 2．如图，长方体盒子的长为5，宽为4，高为3．在顶点处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁在顶点处，要沿着长方体盒子的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是 ． 3．如图，矩形为圆柱体的横截面，是上底的直径，其中为，底面圆周长为，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则爬行的最短路程是　　 A． B． C． D． 4．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是　　 A． B． C． D． 5．如图，长方体的长、宽、高分别是6、3、5，一只蚂蚁要从点爬行到点，则爬行的最短距离是　　 A． B． C．10 D． 6．如图，在长为3，宽为2，高为1的长方体中，一只蚂蚁从顶点出发沿着长方体的表面爬行到顶点，那么它爬行的最短路程是　　 A． B． C． D． 7．如图，圆柱的底面半径为，是底面圆的直径，点是上一点，且，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是　　 A． B． C． D． 8．如图，长方体长为8，宽为10，高为6，已知点与点距离为2，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是 ． 9．如图，圆柱形容器的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离． 10．如图，是放在地面上的一个无盖的长方形盒子，长、宽、高分别是，，．一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？ 暑 假 提 升 专 题 课后作业 1．如图，长方体的高为，底面是正方形且边长为，现有一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面到达点，蚂蚁行走的最短路程为 ． 2．如图，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，点是上的一点，且，．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点最短路程是　　． A．17 B．16 C．15 D．13 3．如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为．在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为　　． A．15 B． C．12 D．18 4．如图，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，一只蚂蚁从点出发，沿棱柱外表面到点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是　　 A． B． C． D． 5．葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．现有一段葛藤绕树干盘旋2圈升高为，如果把树干看成圆柱体，其底面周长是，如图是葛藤盘旋1圈的示意图，则这段葛藤的长是　　． A．1.3 B．2.5 C．2.6 D．2.8 6．如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，点离点的距离为1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是　　 A． B．5 C． D． 7．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为、、．和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程为　　 A．15 B．17 C．20 D．25 8．如图，一个正方体木箱子右边连接一个正方形木板，甲蚂蚁从点出发，沿，，三个面走最短路径到点；同时，乙蚂蚁以相同的速度从点出发，沿，两个面走最短路径到点．请你通过计算判断哪只蚂蚁先到达目的地？ 9．如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于、、，和是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点出发经过台阶爬到点的最短路线有多长？ 10．（1）如图1，长方体的长为，宽为，高为．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图2，长方体的长为，宽为，高为．现有一只蚂蚁从点处沿长方体的表面爬到点处，求它爬行的最短路程． （3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿的点处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？ 6 学科网（北京）股份有限公司 $暑 假 提 升 专 题 2026年升初二暑期课程讲义 提升专题 第十讲 勾股定理 —— 最短路径问题 第10讲 讲 最短路径问题 一、知识讲解 最短路径核心思想：化曲面为平面，化折为直，依据 “两点之间，线段最短”，把立体图形侧面展开成平面，再用勾股定理计算线段长度；平面最短路径常用轴对称（将军饮马）、平移转化线段。 1、立体图形最短路径解题步骤 1）将立体（圆柱、长方体、棱柱、台阶）的侧面展开为平面图形； 2）确定展开后两个点对应的位置； 3）两点连线即为理论最短路径，构造直角三角形，利用勾股定理求线段长； 4）长方体要分三种展开方案分别计算，对比取最小值。 注意：蚂蚁在容器外壁、食物在内壁时，展开后要做镜像对称处理。 2、平面最短路径 1）将军饮马模型：作其中一个点关于直线的对称点，两点连线的长度就是两线段之和的最小值； 2）台阶铺地毯：平移台阶的水平、竖直边，总长度 = 全部水平总长 + 全部竖直总高。 3、三大题型分类 1. 立体图形展开求最短距离：三棱柱、圆柱（葛藤缠绕）、长方体、台阶； 2. 平面图形最短距离：将军饮马（角平分线、正方形对角线动点）、楼梯铺地毯； 3. 内外壁综合模型：蚂蚁在容器外壁，食物在容器内壁，展开 + 对称再勾股。 二、例题精析 类型一 利用展开图求立体图形中的最短距离 【例1】如图是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，从顶点 A 到顶点 A' 镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为 5cm，底面边长为 4cm，则这圈金属丝的长度至少为 ( ) A.8 cm B.13 cm C.12 cm D.15 cm 解析： 将三棱柱侧面沿 AA' 展开，侧面展开图是矩形。 底面等边三角形边长为 4，一圈经过 3 个侧面，展开后水平方向总长 = 4×3=12 cm，竖直高度为三棱镜的高 5 cm。 金属丝最短为展开图矩形的对角线。 由勾股定理：==13。 答案：B 【例2】我国古代有这样一道数学问题:"枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？" 题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱，因一丈是十尺，则该圆柱的高为 20 尺，底面周长为 3 尺，有葛藤自点 A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 B 处，则问题中葛藤的最短长度是 尺。 解析： 圆柱侧面展开，缠绕 5 周，水平总长度 = 5×3=15 尺，竖直高度 = 20 尺。 葛藤最短为展开图对角线。 勾股定理：==25。 答案：25 类型二 利用平移或对称求平面图形中的最短距离 【例3】如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，BD 是∠ABC 的平分线。若 P，Q 分别是 BD 和 AB 上的动点，则 PA+PQ 的最小值是 ( ) A.5 B.4 C. D. 解析： 在 Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=6，BC=10。 AC==8。 BD 是角平分线，A 关于 BD 的对称点落在 BC 边上，记为 A'，则 PA=PA'。 PA+PQ=PA'+PQ，最小值等于 A' 到 AB 的垂线段长度，等价于求 AC 边上 AB 的高。 三角形面积 S=21​×AB×AC=21​×BC×h。 21​×6×8=21​×10×h，h=。 答案：D 【例4】如图所示，在高 3m，斜坡 5m 的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少要 m。 解析： 由勾股定理，楼梯水平总长度：​=4。 铺地毯长度 = 水平总长 + 竖直总高 =4+3=7。 答案：7 【例5】如图，在正方形 ABCD 中，AB=4，E 在 BC 边上，BE=1，F 是 AC 上一动点，则 EF+BF 的最小值是 解析： 正方形对角线 AC 为对称轴，点 B、D 关于 AC 对称，BF=DF。 EF+BF=EF+DF，当 D、F、E 三点共线时取得最小值，最小值就是线段 DE 的长。 正方形边长 4，EC=41=3，DC=4。 Rt△DCE 中，DE==​​=5。 答案：5 【例6】如图，A，B 两个小镇在河流 CD 的同侧，到河流的距离分别为 AC=10 km，BD=30 km，且 CD=30 km，现要在河流边修建一自来水厂分别向两镇供水，铺设水管的费用为每千米 3 万元。 (1) 请在河流上选择水厂的位置 M，使铺设水管的费用最少。(不写作法，保留作图痕迹) (2) 最低费用为多少？ 解析： (1) 作点 A 关于直线 CD 的对称点E，连接 EB，交 CD 于 M，M 即为水厂位置。 (2) 过 AE作 EF⊥BD，交 BD 延长线于 F。 EC=AC=10，BF=BD+DF=30+10=40，EF=CD=30。 Rt△EFB，EB=​​=50。 总费用 = 50×3=150（万元）。 答：最低费用 150 万元。 答案：(1) 作图如上；(2) 最低费用 150 万元。 类型三 综合利用对称解决立体图形中的最短路径问题 【例7】如图，透明的圆柱形容器 (容器厚度忽略不计) 的高为 12cm，底面周长为 10cm，在容器内壁离容器底部 3cm 的点 B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿 3cm 的点 A 处，求蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长。 解析： 将圆柱侧面展开，以上沿为对称轴，作 A 的对称点 A'。 水平距离：底面周长一半 = 5 cm； 竖直距离：123+3 =12 cm。 Rt△，A′B=​===13。 答案：13 cm 三、变式训练 1．如图，圆柱的底面周长是24，高是5，一只在点的蚂蚁想吃到点的食物，沿着侧面需要爬行的最短路径是 ． 【解答】解：展开圆柱的半个侧面是矩形， 矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即为12，矩形的宽是圆柱的高5． 根据两点之间线段最短， 知最短路程是矩形的对角线的长，即， 故答案为：13． 2．如图，长方体盒子的长为5，宽为4，高为3．在顶点处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁在顶点处，要沿着长方体盒子的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是 ． 【解答】解：第一种情况：如图1，把我们所看到的前面和右面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是9和3，则所走的最短线段； 第二种情况：如图2，把我们看到的左面与底面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是23和10，所以走的最短线段； 第三种情况：如图3，把我们所看到的前面和底面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是15和18，所以走的最短线段； 三种情况比较而言，第三种情况最短．故答案为：． 3．如图，矩形为圆柱体的横截面，是上底的直径，其中为，底面圆周长为，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则爬行的最短路程是　　 A． B． C． D． 【解答】解：底面周长为，半圆弧长为，画展开图形如下： 由题意得：，， 根据勾股定理得：．故选：． 4．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是　　 A． B． C． D． 【解答】解：如图：高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， ，， 将容器侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离， ．故选：． 5．如图，长方体的长、宽、高分别是6、3、5，一只蚂蚁要从点爬行到点，则爬行的最短距离是　　 A． B． C．10 D． 【解答】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是8和6，则所走的最短线段是； 第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是11和3，所以走的最短线段是； 第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是9和5，所以走的最短线段是； ，三种情况比较而言，第一种情况最短，最短路程，故选：． 6．如图，在长为3，宽为2，高为1的长方体中，一只蚂蚁从顶点出发沿着长方体的表面爬行到顶点，那么它爬行的最短路程是　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线． （1）展开前面右面由勾股定理得； （2）展开前面上面由勾股定理得； （3）展开左面上面由勾股定理得． 所以最短路径的长为．故选：． 7．如图，圆柱的底面半径为，是底面圆的直径，点是上一点，且，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是　　 A． B． C． D． 【解答】解：侧面展开图如图所示： 圆柱的底面半径为，圆柱的底面周长为，． 在中，．故选：． 8．如图，长方体长为8，宽为10，高为6，已知点与点距离为2，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是 ． 【解答】解：如图（1）； （2）； （3）． ，需要爬行的最短距离是，故答案为：． 9．如图，圆柱形容器的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离． 【解答】解：如图，将容器侧面展开，作关于的对称点，连接交于，则即为最短距离． 高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处， ，， 在直角△中，． 故壁虎捕捉蚊子的最短距离为． 10．如图，是放在地面上的一个无盖的长方形盒子，长、宽、高分别是，，．一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？ 【解答】解：（1）如图1所示：， 如图2所示：．， 蚂蚁沿着正面和右面爬行即可；蚂蚁爬行的最短路程是 课后作业 1．如图，长方体的高为，底面是正方形且边长为，现有一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面到达点，蚂蚁行走的最短路程为 ． 【解答】解：如图1所示，， 如图2所示，，，它爬行的最短路程为． 故答案为：5． 2．如图，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，点是上的一点，且，．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点最短路程是　　． A．17 B．16 C．15 D．13 【解答】解：如图所示，圆柱的底面周长为，．， ，在中，．故选：． 3．如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为．在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为　　． A．15 B． C．12 D．18 【解答】解：如图所示，将圆柱沿过的母线剪开， 由题意可知，需在杯口所在的直线上找一点，使最小， 故先作出关于杯口所在直线的对称点，连接与杯口的交点即为，此时， 根据两点之间线段最短，即可得到此时最小，并且最小值为的长度， 如图所示，延长过的母线，过作垂直于此母线于， 由题意可知，，， 由勾股定理得：， 故蚂效到达蜂蜜的最短距离为，故选：． 4．如图，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，一只蚂蚁从点出发，沿棱柱外表面到点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是　　 A． B． C． D． 【解答】解：当沿着平面、平面爬行时，， 当沿着平面、平面爬行时，， 因为，所以蚂蚁需要爬行的最短路径的长是，故选：． 5．葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．现有一段葛藤绕树干盘旋2圈升高为，如果把树干看成圆柱体，其底面周长是，如图是葛藤盘旋1圈的示意图，则这段葛藤的长是　　． A．1.3 B．2.5 C．2.6 D．2.8 【解答】解：葛藤绕树干盘旋2圈升高为，葛藤绕树干盘旋1圈升高为， ．这段葛藤的长．故选：． 6．如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，点离点的距离为1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是　　 A． B．5 C． D． 【解答】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图长方体的宽为2，高为4，点离点的距离是1，； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图 长方体的宽为2，高为4，点离点的距离是1，； 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图 长方体的宽为2，高为4，点离点的距离是1，； ，蚂蚁爬行的最短距离是5．故选：． 7．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为、、．和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程为　　 A．15 B．17 C．20 D．25 【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：，解得．故选：． 8．如图，一个正方体木箱子右边连接一个正方形木板，甲蚂蚁从点出发，沿，，三个面走最短路径到点；同时，乙蚂蚁以相同的速度从点出发，沿，两个面走最短路径到点．请你通过计算判断哪只蚂蚁先到达目的地？ 【解答】解析展开，，与在同一平面内，如图所示． 由题意可知，甲蚂蚁走的路径为，． 乙蚂蚁走的路径为，．因为， 所以，故乙蚂蚁先到达目的地． 9．如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于、、，和是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点出发经过台阶爬到点的最短路线有多长？ 【解答】解：将台阶展开，如下图， 因为，，所以， 所以，所以蚂蚁爬行的最短线路为． 答：蚂蚁爬行的最短线路为． 10．（1）如图1，长方体的长为，宽为，高为．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图2，长方体的长为，宽为，高为．现有一只蚂蚁从点处沿长方体的表面爬到点处，求它爬行的最短路程． （3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿的点处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？ 【解答】解：（1）由题意得：该长方体中能放入木棒的最大长度是：． （2）分三种情况可得：所以最短路程为； （3）高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， ，，将容器侧面展开，作关于的对称点， 连接，则即为最短距离，． 6 学科网（北京）股份有限公司 $