2.3 单摆（重难点专练）物理沪科版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦单摆核心题型，通过回复力分析、周期公式应用及实验数据处理的系统方法，构建从概念到应用的完整逻辑链，培养科学思维与探究能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单摆的回复力|6题（含图像分析、受力辨析）|区分回复力与向心力，明确不同位置合力构成|从受力分析切入，建立简谐运动回复力模型| |单摆的周期|6题（含振动图像、等效摆长）|周期公式三要素理解（摆长、g、小摆角条件）|原理推导到公式应用，拓展等效摆长与g的情境| |实验：测重力加速度|6题（含误差分析、图像法）|公式法与图像法（l-T²图像斜率计算）|实验原理到数据处理，强化误差分析与科学论证|

2.3 单摆（题型突破） 题型01 单摆的回复力 题型02 单摆的周期 题型03 实验：用单摆测量重力加速度 ▌题型01 单摆的回复力 1.单摆振动过程中回复力、向心力与合力的区别与联系 单摆振动中的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供；单摆振动过程中，由于摆球的轨迹是圆弧，故还需要向心力。 (1)在最大位移处时，速度为零，向心力为零，此时合力等于回复力。 (2)在平衡位置处时，速度不为零，向心力也不为零，此时回复力为零，合力等于向心力。 (3)在其他位置时，重力沿圆弧切线方向的分力提供回复力，绳子的拉力与重力沿着半径方向的分力的合力提供向心力。 1．某同学设计了如图所示的单摆实验，将摆长为l的单摆上端固定在天花板上O点处，下端连接一小球，在O点正下方的处有一固定细铁钉。将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度（约为2°）后由静止释放，并从释放时开始计时。当小球摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡。不计空气阻力，设小球在运动过程中受到的回复力为F，取向右为正方向。下列图像中，能描述小球在开始一个周期内的关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】摆长为时单摆的周期 最大回复力（为摆角） 摆长为时单摆的周期 故最大回复力（为摆角）。 根据机械能守恒定律得 利用， 解得 可得，故。 综上有，，故ACD错误，B正确。 故选B。 2．（多选）将一台智能手机水平粘在秋千的座椅上，使手机边缘与座椅边缘平行（图甲），让秋千以小摆角（小于5°）自由摆动，此时秋千可看作一个理想的单摆，摆长为L。从手机传感器中得到了其垂直手机平面方向的关系图如图乙所示。则以下说法不正确的是（     ） A．忽略空气阻力，秋千的回复力由重力和拉力的合力提供 B．当秋千摆至最低点时，秋千对手机的支持力大于手机所受的重力 C．秋千摆动的周期为 D．该地的重力加速度 【答案】AD 【详解】A．忽略空气阻力，秋千的回复力由重力沿切线方向的分力提供，故A错误，符合题意； B．当秋千摆至最低点时，秋千的加速度方向竖直向上，则有 得，即秋千对手机的支持力大于手机所受的重力，故B正确，不符合题意； C．结合秋千的运动可知，秋千在和时刻相继通过同一侧的最大位移处，故秋千摆动的周期为，故C正确，不符合题意； D．由单摆的周期公式，得，故D错误，符合题意。 故选AD 。 3．（多选）关于单摆的摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是（　　） A．摆球受重力、摆线的拉力作用 B．摆球的回复力为0时，向心力最大 C．摆球的回复力最大时，摆线的拉力大小比摆球的重力大 D．摆球的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向 【答案】AB 【详解】A. 单摆在运动过程中，摆球受重力和摆线的拉力，故A正确； B. 在平衡位置处，回复力为0，速度最大，向心力最大，故B正确； C. 重力垂直于摆线的分力提供回复力，当回复力最大时，摆球在最大位移处，速度为0，向心力为0，则拉力小于重力，故C错误； D.在平衡位置处，回复力为0，速度最大，向心力最大，摆球的加速度方向沿摆线指向悬点，故D错误。 故选AB。 4．如图所示装置，一刚性小球在固定的光滑圆弧槽内来回摆动，其左右摆动的幅度远小于圆弧半径。关于该装置，下列说法正确的是（     ） A．小球质量越大，摆动的频率就越大 B．小球摆动幅度越大，对应周期越大 C．小球经过最低点时，回复力为零 D．小球经过最低点时，加速度为零 【答案】C 【详解】A．根据题意可知，小球的运动为单摆，其周期公式为 所以频率为 根据公式可知，摆动频率和质量没有关系，只与摆长有关，A错误； B．公式为 可知周期与振幅无关，只与摆长有关，B错误； C．小球做简谐运动的回复力由重力的一个分力提供 其中为摆角，最低点时，所以最低点回复力为，C正确； D．在最低点切向加速度为，但是向心加速度不为，由向心加速度公式 最低点速度不为，可知向心加速度不为，D错误。 故选C。 5．（多选）如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，g取，对于这个单摆的振动过程，下列说法中正确的是（　　） A．单摆的位移x随时间t变化的关系式为 B．单摆的摆长约为 C．从到的过程中，摆球所受的回复力逐渐减小 D．从到的过程中，摆球所受绳子拉力逐渐减小 【答案】BC 【详解】A．根据图乙可知，故A错误； B．图乙可知单摆周期为T=2s 根据 联立解得摆长，故B正确； C．从到的过程中，位移在减小，根据 可知回复力逐渐减小，故C正确； D．从到的过程中，摆球靠近平衡位置，速度变大，根据牛顿第二定律可知摆球所受绳子拉力逐渐增大，故D错误。 故选BC。 6．如图所示，单摆在竖直平面内的A、C之间做简谐运动，O点为单摆的固定悬点，B点为运动中的最低位置，则下列说法正确的是（     ） A．摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用 B．摆球在B点时，动能最大，回复力最大 C．摆球在A点和C点时，速度为零，故细线拉力最小，但回复力最大 D．摆球由A点向B点摆动过程中，细线拉力增大，回复力增大 【答案】C 【详解】A．摆球在运动过程中只受到重力和拉力作用，故A错误； B．单摆做简谐运动，在最低点B处，即平衡位置处时，速度最大，动能最大，回复力为零，故B错误； C．摆球在A点和C点时，即最大位移处时，速度为零，故细线拉力最小，回复力最大，故C正确； D．摆球由A点向B点摆动过程中，速度增大，细线拉力增大，回复力减小，故D错误。 故选C。 ▌题型02 单摆的周期 1．对周期公式的三点理解 (1)对单摆周期公式T＝2π的理解 ①T与振幅和摆球质量无关，故T又叫作单摆的固有周期。 ②适用条件：摆角很小(一般小于5°)。 (2)对摆长l的理解 ①摆长l：从悬点到摆球重心的长度。 ②实际单摆的摆长：l＝l′＋，l′为从悬点到摆球上端的摆线长度，D为摆球直径。 ③等效摆长：图(a)中，甲、乙在垂直纸面方向上小角度摆动起来效果是相同的，甲摆的等效摆长为lsin α。其周期T＝2π。 图(b)中，如果乙在垂直纸面方向小角度摆动时，其等效摆长等于甲摆的摆长；如果乙在纸面内小角度摆动时，等效摆长等于丙摆的摆长。 (3)对公式T＝2π中g的理解 ①在地球表面某处，g应为当地的重力加速度。 ②在不同的天体表面，g应为对应天体表面的重力加速度，即g＝，式中R为天体半径，M为天体的质量。 7．甲、乙两个单摆，做简谐振动时的图像如图所示，由此可知甲，乙两单摆（     ） A．摆长之比为 B．振动频率之比为2∶3 C．在时刻，振动方向相反 D．在时刻，加速度均不为零 【答案】D 【详解】A．由图像可知，甲、乙单摆振动周期之比为2：1，根据单摆的周期公式可知，甲、乙单摆摆长之比为4：1，故A错误； B．根据周期与频率的关系所以振动频率之比为1：2，故B错误； C．根据振动图像可知，在时刻，甲、乙两单摆均沿轴正向振动，故C错误； D．在时刻，沿振动方向的加速度均为零，但还有向心加速度，因此加速度不为零，故D正确。 故选D。 8．（多选）劲度系数相同的两根弹簧分别与甲、乙两个小钢球组成弹簧振子，让两弹簧振子各自在水平面内做简谐运动，某时刻开始计时，两者的振动图像如图所示。已知弹簧振子的振动周期，其中m为振子质量、k为弹簧劲度系数，下列说法正确的是（     ） A．甲球质量等于乙球质量 B．甲球的加速度始终大于乙球的加速度 C．时，甲弹簧对小球的作用力大于乙弹簧对小球的作用力 D．若用两根相同的无弹性细长绳分别系住两个小球制成单摆，甲球做成的单摆周期大于乙球做成的单摆周期 【答案】AC 【详解】A．由图可知，甲、乙的周期均为，又因两弹簧的劲度系数相同，由。 可知两小球质量相等，故A正确； B．简谐运动的加速度满足 时，甲位于平衡位置，乙位于负向最大位移处，此时甲球加速度大小小于乙球，故B错误； C．由图可知，甲、乙的角速度均为 两者的位移分别为、 时， 由关系式 由，可知两弹簧劲度系数相同，甲弹簧对小球的作用力大小大于乙弹簧对小球的作用力，故C正确； D．单摆周期 与摆球质量无关。两根细绳长度相同，故两小球构成的单摆周期相等，故D错误。 故选AC。 9．如图所示，两个完全相同的小球A、B（均可视为质点），分别用长为、的轻质细线悬挂在不同高度的水平天花板上，两球静止时细线均竖直，两球紧挨着且重心在同一水平线上。现把小球A向左拉至细线与竖直方向成较小角度（小于）的位置，由静止释放小球A，两小球间的碰撞均为弹性碰撞，重力加速度大小为，则小球A从被释放到第3次经过最高点（刚释放时记为0次）所用的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】完全相同的小球A、B发生弹性碰撞时会出现速度交换，且两球运动到最高点时相应细线与竖直方向的夹角均小于5°，可将两球交替摆动的过程等效为小球A做摆长变化的单摆运动，周期 小球A从被释放到第3次经过最高点（刚释放时记为0次）所用的时间 故选A。 10．（多选）如图甲，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间，现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置，图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中为摆球从A点开始运动的时刻，g取。下列说法正确的是（　　） A．单摆的振动周期为 B．单摆的摆长为0.8m C．摆球的质量为0.05kg D．摆球运动过程中的最大速度为0.5m/s 【答案】AC 【详解】AB．由图可知单摆的周期为，根据单摆周期公式 解得单摆的摆长为，故A正确，B错误； CD．小球在最高点时 小球在最低点时 从最高点到最低点根据机械能守恒定律 解得，，故C正确，D错误。 故选AC。 11．长为的轻绳一端固定在点，另一端系一个质量为的小球。重力加速度为，不计空气阻力。 (1)如图1所示，将小球拉至某一位置，轻绳与竖直方向夹角为，静止释放小球。 a．求小球运动到最低点时受到绳的拉力大小； b．若较小，释放后小球做简谐运动。求一个周期内绳对小球拉力的冲量大小。 (2)如图2所示，使小球在水平面内做匀速圆周运动，轻绳与竖直方向夹角为，求小球运动的周期。 【答案】(1)a．；b． (2) 【详解】（1）a．小球从静止释放到最低点的过程中，根据机械能守恒可得 解得 在最低点，由牛顿第二定律可得 解得 b．若较小，释放后小球做简谐运动；根据单摆周期公式可得 根据动量定理可得 联立解得一个周期内绳对小球拉力的冲量大小为 （2）使小球在水平面内做匀速圆周运动，轻绳与竖直方向夹角为，根据牛顿第二定律可得 其中 解得小球运动的周期为 12．如图甲，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中为摆球从A点开始运动的时刻，g取。 (1)求单摆的振动周期和摆长。 (2)求摆球的质量和摆球运动过程中的最大速度。 【答案】(1)，0.4m (2)0.05kg， 【详解】（1）单摆的周期为 由单摆的周期 得 （2）设AO与竖直面的夹角为θ，由图可知 在A点时 在B点 由A到B，机械能守恒 由以上三式解得， ▌题型03 实验：用单摆测量重力加速度 数据分析 1．公式法 改变摆长l，测得对应的周期T，分别代入公式g＝ 　中算出重力加速度g的值，再算出g的平均值，即为当地重力加速度的值。 2．图像法 由单摆周期公式T＝2π可得：l＝ ·T2　，因此，作出l－T2图像，如图1所示，图像应是一条通过原点的直线，求出图线的斜率k，k＝＝，g＝ 4π2k　。即可求得g值。 13．小张同学用如图甲所示实验装置做“用单摆测重力加速度”的实验。 (1)如图甲所示安装好实验装置后，先用刻度尺测量摆线长L，再用游标卡尺测量摆球直径d，其示数如图乙所示，则d＝_________mm； (2)为了减小测量误差，下列说法正确的是_________（选填字母代号）； A．将钢球换成塑料球 B．当摆球经过平衡位置时开始计时 C．把摆球从平衡位置拉开一个很大的角度后释放 D．记录一次全振动的时间作为周期，根据公式计算重力加速度g (3)悬挂后，用米尺测量摆长L1，将小球拉离平衡位置一个小角度（小于5°），由静止释放小球，稳定后小球在某次经过平衡位置时开始计时，经过50个全振动时停止计时，测量结果如图丙所示，则通过测量和计算可得出单摆周期T＝_________s。 (4)若测得的重力加速度g值偏小，可能的原因是_________（选填字母代号）； A．把悬点到摆球下端的长度记为摆长 B．把摆线的长度记为摆长 C．摆线上端未牢固地系于悬点，在振动过程中出现松动 D．实验中误将摆球经过平衡位置49次记为50次 (5)某同学在家里做用单摆测量重力加速度的实验，但没有合适的摆球，他找到了一块外形不规则的石块代替了摆球，摆球的重心不在球心，但是在球心与悬点的连线上。他仍将从悬点到石块中心的距离当作摆长L，通过改变摆线的长度，测得几组L和对应的周期T，画出T2－L图线； 首先根据图像判断测量摆长L_________（填“大于”“小于”或“等于”）真实摆长；然后在图线上选取A、B两个点，坐标分别为（LA，），（LB，）如图所示。由图可计算出重力加速度g＝_________。 【答案】(1)18.9 (2)B (3)2.6 (4)BC (5) 大于 【详解】（1）游标卡尺有10小格，精度值为，主尺部分读数为，游标尺上的第9格与主尺对齐，小球的直径 （2）A．将钢球换成塑料球，会增大小球摆动时受到的阻力，增大误差，故A错误； B．摆球摆到平衡位置时开始计时，此时摆球的速度最大，可以减小测量周期产生的误差，故B正确； C．摆球摆动时的角度应小于5°，否则就不是简谐运动了，把摆球从平衡位置拉开一个很大的角度，会增大实验的误差，故C错误； D．至少应该测量30次全振动的时间，以减小摆球周期测量的误差，故D错误。 故选B。 （3）停表读数为。 单摆周期为。 （4）根据，可知 A．把悬点到摆球下端的长度记为摆长，可知l偏大，故g偏大，故A错误； B．把摆线的长度记为摆长，可知l偏小，故g偏小，故B正确； C．摆线上端未牢固地系于悬点，在振动过程中出现松动，实际摆长变大，计算所用摆长偏小，故g偏小，故C正确； D．实验中误将摆球经过平衡位置49次记为50次，导致周期测量值偏小，故g偏大，故D错误； 故选BC。 （5）[1]设石块重心到石块“中心”的距离为（重心在悬点和石块中心连线上），真实摆长为（是悬点到石块中心的测量摆长），代入周期公式得 从图线可以看出，当时，截距对应的为正值，说明，即我们测量的摆长比真实摆长大，也就是测量摆长大于真实摆长。 [2]摆球重心在球心上方，摆球重心与球心的距离为x，则，解得，则图像的斜率，故重力加速度。 【点睛】 14．某同学利用单摆测定当地的重力加速度。 (1)下列器材和操作最合理的是_________； A． B． C． D． (2)为了减小测量周期的误差，实验时需要在适当的位置做一标记，当摆球通过该标记时开始计时，该标记应该放置在摆球摆动的_________； A．最高点 B．最低点 C．任意位置 (3)用停表测量单摆的周期，当单摆摆动稳定且到达计时标记时开始计时并记为n＝1，单摆每经过标记计一次数，当数到n＝60时停表的示数如图甲所示，该单摆的周期是T＝_________s；（结果保留三位有效数字） (4)用最小刻度为1mm的刻度尺测摆线长，测量情况如图乙所示。O为悬挂点，从图乙中可知单摆的摆线长为99.00cm；用游标卡尺测量摆球的直径如图丙所示，则摆球的直径为_________cm；单摆的摆长为_________m；（第2空保留3位有效数字） (5)若用L表示摆长，T表示周期，那么重力加速度的表达式为g＝_________； (6)改变摆线长度l，记录并分析单摆的振动视频，得到相应的振动周期。他们发现，分别用l和l＋作为摆长，这两种计算方法得到的重力加速度数值的差异大小Δg随摆线长度l的变化曲线如图丁所示。由图可知，该实验中，随着摆线长度l的增加，Δg的变化特点是___________________________，原因是______________________________________________________。 【答案】(1)D (2)B (3)2.28 (4) 2.075 1.00 (5) (6) 逐渐减小 随着摆线长度l的增加，l＋越接近l，此时计算得到的Δg越小 【详解】（1）根据单摆模型可知，为减少空气阻力的影响，摆球应采用密度较大，体积较小的铁球，为使摆球摆动时摆长不变化，摆线应用不易伸长的细丝线，悬点应用铁夹来固定。 故选D。 （2）当摆球运动至最低点时速度最大，以此作为计时标记位置对时间的测量相对误差最小。 故选B。 （3）停表读数为 该单摆的周期为 （4）[1]摆球的直径为 [2]摆线长为l＝99.00cm，所以单摆的摆长为 （5）根据单摆周期公式 可得 （6）[1][2]由题图可知，随着摆线长度l的增加，Δg逐渐减小，原因是随着摆线长度l的增加，与l的比值越小，两种摆长的相对差异越小，因此计算得到的Δg越小。 15．在“利用单摆测重力加速度”的实验中 (1)以下做法中正确的是______； A．测量摆长的方法：用刻度尺量出从悬点到摆球间的细线长 B．测量周期时，从小球到达最大振幅位置开始计时，摆球完成50次全振动时，及时截止，然后求出完成一次全振动的时间 C．要保证单摆自始至终在同一竖直面内摆动 D．单摆振动时，应注意使它的偏角开始时不能小于10° (2)某同学先用米尺测得摆线长为97.43cm，用游标卡尺测得摆球直径如图甲所示为______cm，然后用秒表记录了单摆振动50次所用的时间如图乙所示为______s。（结果均保留4位有效数字） (3)在“用单摆测定重力加速度”的实验中，由于没有游标卡尺，无法测小球的直径d，实验中将悬点到小球最低点的距离作为摆长L，测得多组周期T和L的数据，作出L－T2图像，如图丙所示。实验得到的L－T2图像是______（选填“a”“b”或“c”）； (4)关于实验操作或结果分析，下列说法正确的是______（填正确答案标号）。 A．如果有两个大小相等且都带孔的铁球和木球，应选用铁球 B．摆线要选细些的、伸缩性好的 C．为了使单摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度 D．测量周期时，误将摆球（n+1）次全振动的时间t记成了n次全振动的时间，测量的重力加速度g值偏小 【答案】(1)C (2) 2.125 100.0 (3)c (4)AD 【详解】（1）A．摆长是悬点到摆球球心的距离，不是仅摆线长度，故A错误； B．测量周期应从摆球经过平衡位置时开始计时，此处速度大、计时误差小，最大振幅位置速度小，计时误差大，故B错误； C．单摆必须保证在同一竖直面内摆动，避免形成圆锥摆，故C正确； D．单摆做简谐运动要求偏角不大于5°，偏角过大会偏离简谐运动规律，故D错误。 故选 C。 （2）[1]图甲为20分度游标卡尺，精度0.05mm。主尺读数为21mm，游标尺第5条刻度线对齐，游标尺读数为 总直径为。 [2]小表盘（分钟盘）指针在1~2min之间且超过1.5min，即1min=60s； 大表盘（秒盘）读数为40.00s，总时间为，保留4位有效数字，其结果为 （3）设摆球半径为，将悬点到小球最低点的距离代入单摆周期公式，整理得。这说明图像的纵轴截距为正的，对应图线。 （4）A．选铁球可减小空气阻力的影响，故A正确； B．摆线应选细、伸缩性小的，避免摆长在摆动中变化，故B错误； C．摆角必须小于5°，否则单摆不再做简谐运动，周期公式不再成立，故C错误； D．误将次全振动时间记为次，计算出的周期会偏大，由可知，测得的值偏小，故D正确。 故选 AD。 【点睛】 16．学习了单摆后，同学们做“利用单摆测重力加速度”的实验，实验中进行了如下的操作： （1）用游标上有10个小格的游标卡尺测量摆球直径d为18.4。把摆球用细线悬挂在铁架台上，测量摆线长L，通过计算得到摆长l。 （2）使摆球在竖直平面内摆动稳定后，当摆球到达最低点时启动停表开始计时，并记录此后摆球再次经过计时起点的次数n（、2、3……），当时停止计时，此时停表的示数如图1所示，其读数为_______s。 （3）经过正确的操作与测量，得到多组周期T与对应的摆长l数值后，画出图像是一条过坐标原点的直线，测得此直线的斜率为k，则实验所测得重力加速度的表达式为_______（用k及相关的常数表示） （4）若某小组的同学测量出多组周期T和对应摆长l数值，画出图像如图2所示，造成图线不过坐标原点的原因可能是_____。 A．摆球的振幅过小        B．将L计为摆长l C．将计为摆长l    D．摆球质量过大 （5）某小组的同学小明没有使用游标卡尺测摆球直径，也测出了重力加速度，他采用的方法是：先测出一摆线较长的单摆的振动周期，然后把摆线缩短适当的长度，再测出其振动周期。则该小组同学测出的重力加速度的表达式为_____。（用相关的测量量和常数表示） 【答案】 67.5 B 【详解】[1]由图1可知，停表小表盘指针超过，大表盘读数为，故停表示数为 [2]由单摆周期公式 可得 则图像的斜率 解得 [3]由图2可知，当时，测得的摆长，说明测量的摆长偏小，漏加了摆球半径，即误将摆线长计为摆长。 故选B。 [4]由单摆周期公式得， 两式相减得 解得 17．利用如图甲所示的装置做“用单摆测重力加速度”的实验。 (1)实验室有如下器材可供选用： A．长约1m的细线 B．长约1m的橡皮绳 C．直径约2cm的均匀铁球 D．直径约5cm的均匀木球 E.秒表 F.时钟 G.10分度的游标卡尺 H.最小刻度为毫米的米尺 用了米尺后，还需要从上述器材中选择________________（填写器材前面的字母）。 (2)用10分度的游标卡尺测量小球的直径d，测量的示数如图乙所示，读出小球直径的值为________________ mm。 (3)将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，将其上端固定，下端自由下垂。用米尺测量摆线长度为L。小球在竖直平面内小角度平稳摆动后，测得小球完成n次全振动的总时间为t，请写出重力加速度的表达式________________。（用L、d、n、t表示） (4)正确操作后，根据多次测量数据计算出实验所在处的重力加速度值，比较后发现：此值比北京的重力加速度值略小，则实验所在处的地理位置与北京的主要不同点可能是______________________________________________（写出一条即可）。 【答案】(1)ACEG (2)17.6 (3) (4)实验所在处比北京纬度低或海拔高 【详解】（1）摆线的长度不能伸长，所以摆线选择长约1m的细线，摆球选择质量大、体积小的球，所以选择直径约2cm的均匀铁球，实验中需要用秒表测量单摆摆动的时间，从而得出周期，实验中需用10分度的游标卡尺测量摆球的直径。 故选ACEG。 （2）游标卡尺的主尺读数为17mm，游标尺读数为，则小球直径为。 （3）根据题意可知，单摆的摆长，单摆的周期 根据单摆周期公式 可得 （4）多次测量数据计算出实验所在处的重力加速度值比北京的重力加速度值略小，可能实验所在处纬度低或海拔比较高。 18．在“用单摆做测量重力加速度”的实验中，采用双线摆，装置如图1所示。 (1)改单线摆为双线摆的目的是__________。 A．便于测量摆长 B．便于小球在竖直面内摆动 C．无需控制摆角大小 (2)调整悬挂点、等高，如图2所示，用刻度尺测量两悬挂点之间的距离______cm。 (3)测得小球直径为，两根摆线的长度均为，则摆长__________。（用、、表示） (4)如图3所示，将小磁铁吸在小球底端，手机放置在小球摆动最低点的正下方。打开手机磁力传感器，采集到磁感应强度随时间变化的图像如图4所示，则单摆的周期__________s。（结果保留3位有效数字） (5)改变两铁架台之间的距离，多次测量，作出图像。忽略手机对摆的影响，若仅考虑磁铁对摆长的影响，用图像法计算的重力加速度______（填偏大、偏小、无偏差）。 【答案】(1)B (2)7.20 (3) (4)1.82 (5)无偏差 【详解】（1）双线摆的作用是约束摆球，保证摆球始终在竖直平面内摆动，避免发生扭转或形成圆锥摆；单摆实验仍然要求摆角小于，摆长测量并没有比单线摆更简便。 故选B。 （2）刻度尺分度值为，需要估读到分度值下一位，A对齐，B对齐 刻度尺测量两悬挂点之间的距离 （3）根据勾股定理，摆线竖直方向的有效长度为，加上小球半径 总摆长为 （4）由图可知，共，包含个完整周期 因此周期 （5）磁铁仅让摆长增加了一个固定的常量，实际摆长（为定值） 代入单摆周期公式得 因此图像的斜率不变，计算得到的重力加速度无偏差。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 单摆（题型突破） 题型01 单摆的回复力 题型02 单摆的周期 题型03 实验：用单摆测量重力加速度 ▌题型01 单摆的回复力 1.单摆振动过程中回复力、向心力与合力的区别与联系 单摆振动中的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供；单摆振动过程中，由于摆球的轨迹是圆弧，故还需要向心力。 (1)在最大位移处时，速度为零，向心力为零，此时合力等于回复力。 (2)在平衡位置处时，速度不为零，向心力也不为零，此时回复力为零，合力等于向心力。 (3)在其他位置时，重力沿圆弧切线方向的分力提供回复力，绳子的拉力与重力沿着半径方向的分力的合力提供向心力。 1．某同学设计了如图所示的单摆实验，将摆长为l的单摆上端固定在天花板上O点处，下端连接一小球，在O点正下方的处有一固定细铁钉。将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度（约为2°）后由静止释放，并从释放时开始计时。当小球摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡。不计空气阻力，设小球在运动过程中受到的回复力为F，取向右为正方向。下列图像中，能描述小球在开始一个周期内的关系的是（     ） A． B． C． D． 2．（多选）将一台智能手机水平粘在秋千的座椅上，使手机边缘与座椅边缘平行（图甲），让秋千以小摆角（小于5°）自由摆动，此时秋千可看作一个理想的单摆，摆长为L。从手机传感器中得到了其垂直手机平面方向的关系图如图乙所示。则以下说法不正确的是（     ） A．忽略空气阻力，秋千的回复力由重力和拉力的合力提供 B．当秋千摆至最低点时，秋千对手机的支持力大于手机所受的重力 C．秋千摆动的周期为 D．该地的重力加速度 3．（多选）关于单摆的摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是（　　） A．摆球受重力、摆线的拉力作用 B．摆球的回复力为0时，向心力最大 C．摆球的回复力最大时，摆线的拉力大小比摆球的重力大 D．摆球的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向 4．如图所示装置，一刚性小球在固定的光滑圆弧槽内来回摆动，其左右摆动的幅度远小于圆弧半径。关于该装置，下列说法正确的是（     ） A．小球质量越大，摆动的频率就越大 B．小球摆动幅度越大，对应周期越大 C．小球经过最低点时，回复力为零 D．小球经过最低点时，加速度为零 5．（多选）如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，g取，对于这个单摆的振动过程，下列说法中正确的是（　　） A．单摆的位移x随时间t变化的关系式为 B．单摆的摆长约为 C．从到的过程中，摆球所受的回复力逐渐减小 D．从到的过程中，摆球所受绳子拉力逐渐减小 6．如图所示，单摆在竖直平面内的A、C之间做简谐运动，O点为单摆的固定悬点，B点为运动中的最低位置，则下列说法正确的是（     ） A．摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用 B．摆球在B点时，动能最大，回复力最大 C．摆球在A点和C点时，速度为零，故细线拉力最小，但回复力最大 D．摆球由A点向B点摆动过程中，细线拉力增大，回复力增大 ▌题型02 单摆的周期 1．对周期公式的三点理解 (1)对单摆周期公式T＝2π的理解 ①T与振幅和摆球质量无关，故T又叫作单摆的固有周期。 ②适用条件：摆角很小(一般小于5°)。 (2)对摆长l的理解 ①摆长l：从悬点到摆球重心的长度。 ②实际单摆的摆长：l＝l′＋，l′为从悬点到摆球上端的摆线长度，D为摆球直径。 ③等效摆长：图(a)中，甲、乙在垂直纸面方向上小角度摆动起来效果是相同的，甲摆的等效摆长为lsin α。其周期T＝2π。 图(b)中，如果乙在垂直纸面方向小角度摆动时，其等效摆长等于甲摆的摆长；如果乙在纸面内小角度摆动时，等效摆长等于丙摆的摆长。 (3)对公式T＝2π中g的理解 ①在地球表面某处，g应为当地的重力加速度。 ②在不同的天体表面，g应为对应天体表面的重力加速度，即g＝，式中R为天体半径，M为天体的质量。 7．甲、乙两个单摆，做简谐振动时的图像如图所示，由此可知甲，乙两单摆（     ） A．摆长之比为 B．振动频率之比为2∶3 C．在时刻，振动方向相反 D．在时刻，加速度均不为零 8．（多选）劲度系数相同的两根弹簧分别与甲、乙两个小钢球组成弹簧振子，让两弹簧振子各自在水平面内做简谐运动，某时刻开始计时，两者的振动图像如图所示。已知弹簧振子的振动周期，其中m为振子质量、k为弹簧劲度系数，下列说法正确的是（     ） A．甲球质量等于乙球质量 B．甲球的加速度始终大于乙球的加速度 C．时，甲弹簧对小球的作用力大于乙弹簧对小球的作用力 D．若用两根相同的无弹性细长绳分别系住两个小球制成单摆，甲球做成的单摆周期大于乙球做成的单摆周期 9．如图所示，两个完全相同的小球A、B（均可视为质点），分别用长为、的轻质细线悬挂在不同高度的水平天花板上，两球静止时细线均竖直，两球紧挨着且重心在同一水平线上。现把小球A向左拉至细线与竖直方向成较小角度（小于）的位置，由静止释放小球A，两小球间的碰撞均为弹性碰撞，重力加速度大小为，则小球A从被释放到第3次经过最高点（刚释放时记为0次）所用的时间为（　　） A． B． C． D． 10．（多选）如图甲，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间，现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置，图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中为摆球从A点开始运动的时刻，g取。下列说法正确的是（　　） A．单摆的振动周期为 B．单摆的摆长为0.8m C．摆球的质量为0.05kg D．摆球运动过程中的最大速度为0.5m/s 11．长为的轻绳一端固定在点，另一端系一个质量为的小球。重力加速度为，不计空气阻力。 (1)如图1所示，将小球拉至某一位置，轻绳与竖直方向夹角为，静止释放小球。 a．求小球运动到最低点时受到绳的拉力大小； b．若较小，释放后小球做简谐运动。求一个周期内绳对小球拉力的冲量大小。 (2)如图2所示，使小球在水平面内做匀速圆周运动，轻绳与竖直方向夹角为，求小球运动的周期。 12．如图甲，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中为摆球从A点开始运动的时刻，g取。 (1)求单摆的振动周期和摆长。 (2)求摆球的质量和摆球运动过程中的最大速度。 ▌题型03 实验：用单摆测量重力加速度 数据分析 1．公式法 改变摆长l，测得对应的周期T，分别代入公式g＝ 　中算出重力加速度g的值，再算出g的平均值，即为当地重力加速度的值。 2．图像法 由单摆周期公式T＝2π可得：l＝ ·T2　，因此，作出l－T2图像，如图1所示，图像应是一条通过原点的直线，求出图线的斜率k，k＝＝，g＝ 4π2k　。即可求得g值。 13．小张同学用如图甲所示实验装置做“用单摆测重力加速度”的实验。 (1)如图甲所示安装好实验装置后，先用刻度尺测量摆线长L，再用游标卡尺测量摆球直径d，其示数如图乙所示，则d＝_________mm； (2)为了减小测量误差，下列说法正确的是_________（选填字母代号）； A．将钢球换成塑料球 B．当摆球经过平衡位置时开始计时 C．把摆球从平衡位置拉开一个很大的角度后释放 D．记录一次全振动的时间作为周期，根据公式计算重力加速度g (3)悬挂后，用米尺测量摆长L1，将小球拉离平衡位置一个小角度（小于5°），由静止释放小球，稳定后小球在某次经过平衡位置时开始计时，经过50个全振动时停止计时，测量结果如图丙所示，则通过测量和计算可得出单摆周期T＝_________s。 (4)若测得的重力加速度g值偏小，可能的原因是_________（选填字母代号）； A．把悬点到摆球下端的长度记为摆长 B．把摆线的长度记为摆长 C．摆线上端未牢固地系于悬点，在振动过程中出现松动 D．实验中误将摆球经过平衡位置49次记为50次 (5)某同学在家里做用单摆测量重力加速度的实验，但没有合适的摆球，他找到了一块外形不规则的石块代替了摆球，摆球的重心不在球心，但是在球心与悬点的连线上。他仍将从悬点到石块中心的距离当作摆长L，通过改变摆线的长度，测得几组L和对应的周期T，画出T2－L图线； 首先根据图像判断测量摆长L_________（填“大于”“小于”或“等于”）真实摆长；然后在图线上选取A、B两个点，坐标分别为（LA，），（LB，）如图所示。由图可计算出重力加速度g＝_________。 14．某同学利用单摆测定当地的重力加速度。 (1)下列器材和操作最合理的是_________； A． B． C． D． (2)为了减小测量周期的误差，实验时需要在适当的位置做一标记，当摆球通过该标记时开始计时，该标记应该放置在摆球摆动的_________； A．最高点 B．最低点 C．任意位置 (3)用停表测量单摆的周期，当单摆摆动稳定且到达计时标记时开始计时并记为n＝1，单摆每经过标记计一次数，当数到n＝60时停表的示数如图甲所示，该单摆的周期是T＝_________s；（结果保留三位有效数字） (4)用最小刻度为1mm的刻度尺测摆线长，测量情况如图乙所示。O为悬挂点，从图乙中可知单摆的摆线长为99.00cm；用游标卡尺测量摆球的直径如图丙所示，则摆球的直径为_________cm；单摆的摆长为_________m；（第2空保留3位有效数字） (5)若用L表示摆长，T表示周期，那么重力加速度的表达式为g＝_________； (6)改变摆线长度l，记录并分析单摆的振动视频，得到相应的振动周期。他们发现，分别用l和l＋作为摆长，这两种计算方法得到的重力加速度数值的差异大小Δg随摆线长度l的变化曲线如图丁所示。由图可知，该实验中，随着摆线长度l的增加，Δg的变化特点是___________________________，原因是______________________________________________________。 15．在“利用单摆测重力加速度”的实验中 (1)以下做法中正确的是______； A．测量摆长的方法：用刻度尺量出从悬点到摆球间的细线长 B．测量周期时，从小球到达最大振幅位置开始计时，摆球完成50次全振动时，及时截止，然后求出完成一次全振动的时间 C．要保证单摆自始至终在同一竖直面内摆动 D．单摆振动时，应注意使它的偏角开始时不能小于10° (2)某同学先用米尺测得摆线长为97.43cm，用游标卡尺测得摆球直径如图甲所示为______cm，然后用秒表记录了单摆振动50次所用的时间如图乙所示为______s。（结果均保留4位有效数字） (3)在“用单摆测定重力加速度”的实验中，由于没有游标卡尺，无法测小球的直径d，实验中将悬点到小球最低点的距离作为摆长L，测得多组周期T和L的数据，作出L－T2图像，如图丙所示。实验得到的L－T2图像是______（选填“a”“b”或“c”）； (4)关于实验操作或结果分析，下列说法正确的是______（填正确答案标号）。 A．如果有两个大小相等且都带孔的铁球和木球，应选用铁球 B．摆线要选细些的、伸缩性好的 C．为了使单摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度 D．测量周期时，误将摆球（n+1）次全振动的时间t记成了n次全振动的时间，测量的重力加速度g值偏小 16．学习了单摆后，同学们做“利用单摆测重力加速度”的实验，实验中进行了如下的操作： （1）用游标上有10个小格的游标卡尺测量摆球直径d为18.4。把摆球用细线悬挂在铁架台上，测量摆线长L，通过计算得到摆长l。 （2）使摆球在竖直平面内摆动稳定后，当摆球到达最低点时启动停表开始计时，并记录此后摆球再次经过计时起点的次数n（、2、3……），当时停止计时，此时停表的示数如图1所示，其读数为_______s。 （3）经过正确的操作与测量，得到多组周期T与对应的摆长l数值后，画出图像是一条过坐标原点的直线，测得此直线的斜率为k，则实验所测得重力加速度的表达式为_______（用k及相关的常数表示） （4）若某小组的同学测量出多组周期T和对应摆长l数值，画出图像如图2所示，造成图线不过坐标原点的原因可能是_____。 A．摆球的振幅过小        B．将L计为摆长l C．将计为摆长l    D．摆球质量过大 （5）某小组的同学小明没有使用游标卡尺测摆球直径，也测出了重力加速度，他采用的方法是：先测出一摆线较长的单摆的振动周期，然后把摆线缩短适当的长度，再测出其振动周期。则该小组同学测出的重力加速度的表达式为_____。（用相关的测量量和常数表示） 17．利用如图甲所示的装置做“用单摆测重力加速度”的实验。 (1)实验室有如下器材可供选用： A．长约1m的细线 B．长约1m的橡皮绳 C．直径约2cm的均匀铁球 D．直径约5cm的均匀木球 E.秒表 F.时钟 G.10分度的游标卡尺 H.最小刻度为毫米的米尺 用了米尺后，还需要从上述器材中选择________________（填写器材前面的字母）。 (2)用10分度的游标卡尺测量小球的直径d，测量的示数如图乙所示，读出小球直径的值为________________ mm。 (3)将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，将其上端固定，下端自由下垂。用米尺测量摆线长度为L。小球在竖直平面内小角度平稳摆动后，测得小球完成n次全振动的总时间为t，请写出重力加速度的表达式________________。（用L、d、n、t表示） (4)正确操作后，根据多次测量数据计算出实验所在处的重力加速度值，比较后发现：此值比北京的重力加速度值略小，则实验所在处的地理位置与北京的主要不同点可能是______________________________________________（写出一条即可）。 18．在“用单摆做测量重力加速度”的实验中，采用双线摆，装置如图1所示。 (1)改单线摆为双线摆的目的是__________。 A．便于测量摆长 B．便于小球在竖直面内摆动 C．无需控制摆角大小 (2)调整悬挂点、等高，如图2所示，用刻度尺测量两悬挂点之间的距离______cm。 (3)测得小球直径为，两根摆线的长度均为，则摆长__________。（用、、表示） (4)如图3所示，将小磁铁吸在小球底端，手机放置在小球摆动最低点的正下方。打开手机磁力传感器，采集到磁感应强度随时间变化的图像如图4所示，则单摆的周期__________s。（结果保留3位有效数字） (5)改变两铁架台之间的距离，多次测量，作出图像。忽略手机对摆的影响，若仅考虑磁铁对摆长的影响，用图像法计算的重力加速度______（填偏大、偏小、无偏差）。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $