29.1.1 圆的有关概念（分层作业）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以圆的概念与位置关系为核心，通过基础辨析、性质应用到综合模型的分层设计，构建从概念理解到动态问题解决的知识巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础概念辨析|圆的基本概念（半径、弦、弧等）|结合定义判断（如直径是最长弦），融入图形性质辨析题| |性质应用|弦的性质、点与圆位置关系|通过图形判断弦的条数、点与圆位置，基础计算与判断结合| |综合应用|半径计算、位置关系逆向应用|涉及分类讨论（如点到圆最长最短距离求半径），培养运算能力| |模型拓展|“一箭穿心”模型、动态最值|结合矩形、正方形等图形探究动点最值，发展空间观念与模型意识|

29.1.1 圆的有关概念（原卷版） 目 录 类型一、圆的基本概念辨析 1 类型二、圆中的弦 5 类型三、判断点和圆的位置关系 8 类型四、利用点和圆的位置关系求半径 10 类型五、“一箭穿心”模型 11 类型一、圆的基本概念辨析 1．在中，最长的弦是，则的半径为（     ） A． B． C． D． 2．如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做“平移重合图形”．下列图形中，是“平移重合图形”的是（     ） A．等腰三角形 B．平行四边形 C．正六边形 D．圆 3．如图，扇形，点C在上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．如图，某考古队在发掘一处古代遗址时，发现了一枚残缺的青铜四边形挂饰．经检测，挂饰的三条线段满足，且工匠在边角处清晰刻下了，为完整复原这枚挂饰的形制，考古人员需要计算出的度数．根据所学几何知识，点，，在以点为圆心的同一个圆上，则的度数为（  ） A． B． C． D． 5．如图，点、在以为直径的上，连接，，，．若，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，三点均在圆上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，中，，，以为圆心，长为半径画弧，交边于点；则的长（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 8．如图所示，已知过B，C两点，圆心O在等腰直角的内部，，则的半径为（　　） A．5 B． C． D． 9．如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆分别交于点，交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．在图中没有出现的几何图形是（    ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 11．如图，三点在上，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 12．下列结论错误的是（       ） A．圆是轴对称图形 B．圆是中心对称图形 C．半圆不是弧 D．直径是圆中最长的弦 13．下列说法中，正确的是（    ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．三角形的内心一定在三角形内部 C．三角形的重心到三边的距离相等 D．同弦所对的圆周角相等 14．下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．下个月，重庆将下一场雨 B．同位角相等 C．圆的直径平分任意一条弦 D．三角形任意两边之和大于第三边 15．如图，直角中，，，将点放至量角器左侧刻度位置．斜边经过量角器的中心点，边与量角器的交点为，连接，则_________度． 16．如图，两矩形和彼此相邻内接于半圆，其中点、、在圆上，点、、在直径上，已知，，则_____ ． 17．如图，是⊙的一条弦，A为圆上一点，，，则的度数为____________． 18．如图，正方形中，，点在以为直径的圆上，连接，交于，，当经过圆心时，线段的长度为________． 19．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，半径均为2的半圆，，，…，组成一条平滑的曲线，其中，，，…，在每一段半圆上均有两个点，从左向右分别记为，，，…，且它们到x轴的距离均为1，则点的坐标为______． 20．下列命题中，不正确的是________ ①圆心角相等，所对的弧相等  ②平分弦的直径垂直于弦  ③长度相等的弧是等弧 ④等弧所对的圆周角相等  ⑤同圆或等圆中，长度相等的弧所对的圆周角相等． 21．如图，是的直径，E是上一点，A为延长线上一点，连接与交于点B，且，若，则的度数是________． 22．如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则的长为______． 23．如图，是的直径，点C，D在的异侧，连接，，，若，且，则的度数为__________． 24．如图，在以为直径的半圆中，有一个内接正方形，其边长为，，则_____． 类型二、圆中的弦 25．如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 26．如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 27．如图，图中⊙O的弦共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 28．如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 29．如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有(   ) A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 30．已知、为上的两点，若的半径为，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 31．已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 32．已知的半径是，则中最长弦长是 （    ） A． B． C． D． 33．如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 34．已知的半径3，则中最长的弦长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 35．已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 36．如图，在四边形中，，，，求的最大值为______． 37．已知的半径为5，是的弦，则的长度a的取值范围是________． 类型三、判断点和圆的位置关系 38．已知的半径为，线段，则点A与的位置关系是（     ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．不能确定 39．在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 40．已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 41．已知的半径为．若点P到圆心O的距离为，则（   ） A．点P在上 B．点P在内 C．点P在外 D．无法判断 42．已知的半径为4，若点在内，则点到圆心的距离可能为（    ） A．4 B． C．5 D．7 43．在同一平面内，已知的半径，点P到圆心O的距离，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法确定 44．已知的半径是3，点在上，则点到圆心的距离满足（    ） A． B． C． D． 45．点O为坐标原点，若的半径为10，则点与的位置关系是（    ） A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定 46．已知圆的半径是，则点和圆的位置关系是（  ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 47．如图，在的正方形网格中，点，，，均在格点上，一条圆弧经过，，三点，那么点与这条圆弧所在圆的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．在圆内或圆上 48．已知的直径为，若点到点的距离为，则点在________．（填“内”“外”或“上”） 49．如图，已知正方形，以点A为圆心，以为半径作，则点C在_______．（填“外”或“内”） 50．若的半径为5，，且点P在外，则m的取值范围为________ ． 51．若的半径为8，，且点在外，则的取值范围为______． 52．已知的直径是10，点P到圆心O的距离d为方程的一个根，则点P在的 _____．（填“内部”、“外部”、“上”） 53．的半径为3，点到圆心的距离为2，点与的位置关系为____． 54．已知的直径为4，平面内一点到圆心的距离为3，则点在_____．（填“上”“内”或“外”） 55．如图，在中，，，以点为圆心，为半径画圆，则点与的位置关系是___________． 56．如图，在矩形中，，．以点为圆心作，且使点、、中至少有一个点在内，同时至少有一个点在外，则的半径应满足的条件是________． 57．如图，在菱形中，点E，F，G，H分别为各边的中点．求证：E，F，G，H四点在同一个圆上． 类型四、利用点和圆的位置关系求半径 58．平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 59．点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 60．点与的位置关系如图所示，若，，则的半径可能是（   ） A． B． C． D． 61．已知点P在半径为2的上，则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 62．点是外一点，的半径是，则的长可能是（    ） A． B． C． D． 63．平面上的一点和的最近点距离为，最远距离为，则这个圆的半径是（   ） A． B．或 C．或 D．或 64．如图，已知在矩形中，，如果分别以A、C为圆心的两圆相切，且点在内，点在外，的半径的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 65．若点P在内，且，则的半径可能为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 66．已知是线段的中点，点在半径为的外，点与点的距离是8，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 67．已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是（   ） A．6 B．2 C．2或3 D．4或6 68．圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径为（   ） A． B． C． D． 69．点P到圆心O的距离为7，若点P在圆O内，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 70．若点到上的点的最小距离是4，最大距离是6，则的半径为________ ． 71．在中，，，，以点为圆心作，要使、两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么的半径长的取值范围为______． 72．已知P点到的最大距离是6，最小距离是2，则的半径是______． 73．在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 74．如图，在中，，以点C为圆心作，半径为r． (1)当r取什么值时，点A，B都在圆外？ (2)当r取什么值时，点A在圆内，点B在圆外？ 类型五、“一箭穿心”模型 75．如图，矩形中，，，以、为圆心，半径分别为2和1画圆，、分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（     ） A．6 B．7 C．8 D．10 76．如图，正方形的边长为4，点E和正方形在同一平面内，连接，点F是上一点，已知，连接，，，下列结论正确的是（     ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为5 77．如图，中，，，．点P为内一点，且满足．当的长度最小时，则的长是（     ） A．1 B． C． D． 78．如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．在计算过程中发现线段长度的最小值是，则正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 79．综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小明同学准备了一张长方形纸片，，，他在边上取中点N，又在边上任取一点M，再将沿折叠得到，连接．则的长度不可能是（     ） A．16 B．18 C．24 D．26 80．如图，在正方形中，，点E，F分别在上，相交于点G，连结．当点E从点C运动到点D的过程中，的最小值为（     ） A．2 B． C．4 D． 81．如图，已知菱形，对角线与相交于点，，，菱形内部有一点，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，则的最大值（     ） A． B． C． D． 82．如图，在平行四边形中，，，，点是边的中点，动点在边上运动，以为折痕将折叠到，连接，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 83．已知：点O是正方形对角线的交点，P是平面内一点（不与点D重合），连接，将以D为中心，逆时针旋转90度，得到线段，连接，．E、F分别是，的中点，连接，． (1)在图1中补全图形； (2)直接写出图1中； (3)当点P在正方形外，时，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明； (4)如图2，若,，点M是中点，点N是线段上的一个动点，在点P绕点D旋转的过程中，线段长度的最小值为 ，最大值为 ． 84．投掷铅球比赛中，裁判员一般按以下步骤测量并给出成绩： 1．将皮尺的零刻度线拉至铅球落点； 2．将皮尺的另一端拉长并经过投掷区的圆心； 3．将皮尺拉直，读取皮尺上落在投掷区抵趾板内沿处的数值，作为运动员的成绩． 乐乐投掷铅球后（如图1），裁判员将皮尺零刻度线拉至铅球落点，皮尺的另一端拉长经过投掷区的圆心，交抵趾板内沿于点，测量落点到投掷区圆心点的距离为12.7米，乐乐铅球的成绩是9.2米． (1)投掷区所在圆的半径长为_____米； (2)如图2，如果测量时错选了抵趾板内沿的点（点与不重合），测量铅球落点到点的距离作为成绩，那么这个成绩相较于实际成绩偏大还是偏小呢？请说明理由． 解：连接、． 和都是投掷区所在圆的半径， ∴_____________． 在中，_____（_____________________）， ． ∴_________________________． 即这个成绩相较于实际成绩_____．（填“偏小”或“偏大”） 1．如图，正方形是由四个边长为2的小正方形拼成的，连接和，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于正方形的中心处，图中阴影部分的面积是（     ） A．4 B．6 C． D． 2．小明把一个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形（如图）．这个新图形的周长与半圆周长相比（     ） A．半圆周长更长 B．新图形的周长更长 C．一样长 D．无法比较． 3．如图，已知是的直径，为的弦，，连接，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于一点．直线交于点，连接．若，则为（     ） A． B． C． D． 4．如图，已知是的直径，为的弦，，连接，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于一点．直线交于点，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点、和．将绕点B逆时针旋转后得到，其中点的对应点是，点的对应点是．下列说法中错误的是（    ） A．是直角三角形 B．点的坐标是 C．点C与点关于y轴对称 D．点在以点为圆心，为半径的圆上 6．如图，在中，，，，是平面内的一动点，，连接，是的中点，连接，则下列结论错误的是（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是1 D．点到的最大距离为 7．如图，在正方形中，点、分别是、边上的动点，且，垂足为，连接．若正方形的边长为1．则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，，点是边上一点，连接，将沿直线折叠得到，连接交于点，连接，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． 9．如图，从原点A开始，以为直径画半圆，记为第1个半圆；以为直径画半圆，记为第2个半圆；以为直径画半圆，记为第3个半圆；以为直径画半圆，记为第4个半圆；…，按此规律，继续画半圆，则第5个半圆的面积为__，第n个半圆的面积为________． 10．如图，在矩形中，，，以为斜边在矩形所在平面作，，点为的中点，则的最小值为________． 11．如图，点A，B的坐标分别为，，C为上一点，，M为线段的中点，连接，则的最小值为______． 1．实践与探究 (1)操作一：如图①，将矩形对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，折痕为．展平后，将矩形沿过点B的直线折叠，折痕为，点G在边上，使点A的对应点落在上，连接．若点、、共线，求证：； (2)①操作二：如图②，在矩形中，，，若矩形沿过点B的直线折叠，点G在边上，折痕为，点A的对应点落在矩形的内部． 连接，的最小值为________； ②如图③，将矩形再沿过点B的直线折叠，使点C在直线边上．折痕为，点C的对应点为点，将矩形沿过点H的直线继续折叠，点R在上，折痕为，点D的对应点为点．我们发现，点R的位置不同，点的位置也不同．当点恰好与点C重合时，线段的长为________． 2．根据题目条件，解答下列问题 (1)如图，在中，C是上任意一点，若的半径为2，点O到的距离为5，则C到直线距离的最小值为________． (2)如图，在矩形 中， ，，P为 上一点，，求长； (3)如图，某城市有一块四边形空地 ，经测量， ， 米， 米， 米．城市规划部门准备把它建造成一个城市花园，为开放型入口，为了保证安全，设计师想在边上安装一个摄像头P，摄像头的观测角度为（即 ），同时，计划在花园内划定景观用地 ，其中，E是步道 上一点，F是步道上一点，连接，且 米，Q是线段的中点，连接、 ，为了控制建设成本，请帮助规划部门求出景观用地 面积的最小值． 3．如图，在矩形中，，，点，点分别为，边上的动点，且满足． (1)连接 ，求证： ； (2)若，在点的运动过程中满足，求证：此时点为边的中点； (3)如图2，若，连接，求的最小值． 4．【背景材料】 随着我国经济迅猛发展，人民生活水平持续提升，民用汽车数量也在不断攀升．汽车数量的激增，带来了对停车位的极大需求．在设计停车位时，除了要研究停车位的情况，还要研究汽车进出停车位的通道宽度．因此，需要知道汽车如何进出停车位，即汽车转弯的运动轨迹． 如图1，车辆固定方向倒车入库时，行驶轨迹可近似视为以点O 为圆心、R 为半径的圆弧，符合圆的相关几何性质．某车型前轮最大转向角为，车辆最小转向半径满足公式（其中L为车辆轴距，即车辆前后车轮轴心的水平间距，为车辆固定几何参数；θ为前轮最大转向角）． 如图2，建立平面直角坐标系，将停车位抽象为矩形，各顶点坐标分别为：，，，． 根据车辆转向几何特征，该车倒车圆弧轨迹的圆心O 在x轴正半轴上，倒车行驶轨迹是以点O为圆心，R为半径的圆弧．（参考数据：，，，，，计算结果均保留两位小数．） 【问题解决】 (1)计算该车型前轮打满方向时的最小转向半径R． (2)车辆车身存在一定宽度，实际倒车入库需结合车身尺寸判断安全间距，避免车身与车位边界剐蹭．经测算，该车车身有效横向宽度为，可将车身简化为随轨迹运动的整体安全区域．请结合几何知识推理判断：车辆沿该圆弧轨迹完成右侧倒车入库时，车身是否会与车位左侧边发生剐蹭，并说明理由． (3)根据驾考安全规范，倒车过程中，车辆任意行驶点位与原点的连线和x轴正半轴的锐角夹角不得小于 ，防止侧边压线．设车辆倒车轨迹上任意一点为． ①结合三角函数知识，推导出车辆安全入库时，点位纵坐标y与横坐标x的数量关系； ②判断关键点位是否满足安全入库条件，并从几何角度写出一条精准的入库优化方案． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 29.1.1圆的有关概念（解析版) 目录 类型一、圆的基本概念辨析… 类型二、圆中的弦… 19 类型三、判断点和圆的位置关系… 20 类型四、利用点和圆的位置关系求半径. 类型五、“一箭穿心”模型 30 夯基础 类型一、圆的基本概念辨析 1.在⊙0中，最长的弦是5cm,则⊙0的半径为() A.2cm B.2.5cm C.5cm D.10cm 【答案】B 【分析】根据圆中最长的弦是直径解答即可， 【详解】解：，在⊙0中，最长的弦是5cm, .⊙0的直径为5cm, .⊙0的半径为5÷2=2.5(cm) 2.如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合， 那么我们把这个图形叫做“平移重合图形”.下列图形中，是“平移重合图形”的是() A.等腰三角形 B.平行四边形 C.正六边形 D.圆 【答案】B 【分析】根据新定义“平移重合图形”，判断哪个图形可被一条线分割为两部分，且其中一部分平移后能 与另一部分重合，即可得出结论， 【详解】解：对于平行四边形，过一组对边的中点的直线分割得到的两个四边形全等，将其中一个四边形 沿对边方向平移后，即可与另一个四边形重合，平行四边形满足“平移重合图形”的定义， 等腰三角形、正六边形、圆均无法找到满足要求的分割线 3.如图，扇形OAB,点C在AB上.若∠AOB=60°，则∠ACB的度数是() 1179 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 00 A.150° B.140° C.130° D.120° 【答案】A 【分析】连接0C,则0A=0C=O8,根据等边对等角与三角形内角和定理得到∠4C0=90- ∠AOC, ∠BC0=90-B0C.根据∠ACB=∠4C0+∠BC0即可求业∠4C8的度数. 【详解】解：连接OC,则OA=OC=OB, 60° ∠4c0=∠01c=5080°-∠40c)=90-340c, ∠sc0=∠08c-080-∠B0C)=0P-3∠B0c, a∠4CB=∠4c0+∠BC0=90e-∠40C+90B0C=-180-(40C+∠B0C) 2 =180-408=180-x60r=150. 4.如图，某考古队在发掘一处古代遗址时，发现了一枚残缺的青铜四边形挂饰ABCD.经检测，挂饰的 三条线段满足AB=AC=AD,且工匠在边角处清晰刻下了∠CBD=15°，为完整复原这枚挂饰的形制，考 古人员需要计算出∠CAD的度数.根据所学几何知识，点B,C,D在以点A为圆心的同一个圆上，则 ∠CAD的度数为() D 4 2179 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.20° B.30° C.40° D.15° 【答案】B 【分析】根据题意可得点B，C,D在以点A为圆心的同一个圆上，然后通过圆周角定理即可求解」 【详解】解：如图， D A .AB=AC=AD, ∴点B,C,D在以点A为圆心的同一个圆上， <CBD=3<C4D=15 .∠CAD=30° ∴.∠CAD的度数为30° 5.如图，点C、D在以AB为直径的OO上，连接AC,CD,OC,BD.若OC∥BD,且∠DBA=50° 则∠BDC的度数为() B A.105° B.115° C.120° D.125° 【答案】B 【分析】连接OD,由OB=OD得∠ODB=∠DBO=50°，由OC∥BD,根据两直线平行，内错角相等得 LCOD=LODB=50°，再由OC=OD求出LODC,然后根据LBDC=LODC+∠ODB即可求解. 【详解】如图，连接OD, 3179 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A B :OB=OD,∠DBA=50° .∠ODB=∠DB0=50°， :OC∥BD, LCOD=LODB=50°， .OC=OD :∠0DC=(180°-∠C0D)=65°， ,∠BDC=∠0DC+∠0DB=65°+50°=115° 6.如图，在⊙0中，∠OCB=25°，A,B,C三点均在圆上，AB=CB,则∠B的度数为() A.30° B.45° C.50° D.60° 【答案】C 【分析】解：连接A0,BO,由等边对等角得出∠OCB=∠OBC=25°，∠OAB=∠AB0,证明 △BOA≌△BOC(SSS),由全等三角形的性质得出∠AB0=∠OBC=25°，最后再根据角度的和差关系即可求解. 【详解】解：如图，连接AO,BO, O C B ∴.OA=OB=OC ∴.∠OCB=∠OBC=25°，∠OAB=∠ABO AB=BC,OA=OC,OB=OB, ∴ABOA≌△BOC(SSS). .∠ABO=∠OBC=25° 4179 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABC=∠OBC+∠ABO=50° 7.如图，口ABCD中，DC=10,CB=6,以A为圆心，AD长为半径画弧，交边AB于点E:则BE的长 () E A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质得AD=CB=6,AB=DC=10,再根据题意得AD=AE,即可得出答案. 【详解】解：，在ABCD中， ∴.AD=CB=6,AB=DC=10, 根据题意，得AE=AD=6, .BE=AB-AE=10-6=4 8.如图所示，己知⊙0过B,C两点，圆心0在等腰直角△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=2,BC=8,则 ⊙0的半径为() A.5 B.25 c.3V2 D.2V5 【答案】D 【分析】连接OB,OC,根据AB=AC,OB=OC可得OA是BC的垂直平分线，再根据等腰直角三角形的性 质得出4D=BD=CD=)BC=4,从而求出OD:然后根据匀股定理即可符答案 【详解】解：连接OB,OC,延长AO交BC于D, B D ,△ABC为等腰直角三角形， 5179 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABC=45,AB=AC. .OB=OC, .AD是BC的垂直平分线， ZADB-9,8D-AD-CD-C4 .∠BAD=45°， ∴.DA=DB=4,则2+OD=4 OD=2, 在Rt△OBD中，OB=V42+22=2√5 9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=28°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB于点D,交 AC于点E,则BD的度数为() B A.28° B.64° C.56 D.124° 【答案】C 【分析】先利用直角三角形的两锐角互余求出∠B的度数，再利用圆的半径相等得到CB=CD,从而利用 等腰三角形的性质得到∠CDB=∠B,最后根据三角形内角和定理求出圆心角∠BCD的度数，即可得到BD 的度数 【详解】解：，∠ACB=90°，∠A=28°， .∠B=90°-28°=62°， ..CB=CD, ∠CDB=∠B=62°， ∠BCD=180°-62°-62°=56°， .BD的度数为56° 10.在图中没有出现的几何图形是() B 0 6179 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.弦 B.弧 C.弓形 D.扇形 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本概念，关键是熟练应用定义判断；根据弦、弧、弓形及扇形的定义判断即可 【详解】解：A:弦是连接圆上两点的线段，AB是弦； B:弧是圆上两点及其之间的部分，AB是弧： C:弓形是由弦和弧围成的图形，AB与其所对的弧围成的图形即是弓形： D:扇形是由两条半径和一段弧围成的图形，图中没有半径，也没有扇形： 故选：D、 11.如图，A,B,C三点在⊙0上，若AB∥0C,∠A=34°，则∠C的度数是() A.73° B.74° C.83o D.84° 【答案】A 【分析】本题考查的是圆与三角形综合，熟练掌握圆的基本性质，等腰三角形性质，是解题的关键 连接OB,由圆的半径相等得∠ABO=34°，由平行线性质得∠BOC=∠AB0=34°，由等腰三角形性质即得 2c=80-∠B0c)=73. 【详解】解：连接OB, OA=OB,且∠A=34°， ∠AB0=34°， AB∥OC, .∠BOC=∠AB0=34°. ..OC=OB. 5∠CI80°-∠B0C)=73P 故选：A. 7179 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 12.下列结论错误的是（) A.圆是轴对称图形 B.圆是中心对称图形 C.半圆不是弧 D.直径是圆中最长的弦 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本性质，包括对称性、弧和弦的定义，根据圆的定义和性质判断各选项的正误 即可 【详解】解：A、圆是轴对称图形，正确，故本选项不符合题意： B、圆是中心对称图形，正确，故本选项不符合题意： C、半圆是弧，原说法错误，故本选项符合题意： D、直径是圆中最长的弦，正确，故本选项不符合题意： 故选：C 13.下列说法中，正确的是() A.长度相等的两条弧是等弧 B.三角形的内心一定在三角形内部 C,三角形的重心到三边的距离相等 D,同弦所对的圆周角相等 【答案】B 【分析】本题考查圆的相关概念和性质，以及重心的性质.根据等弧的定义、三角形的内心、重心以及圆 周角定理逐一判断即可. 【详解】解：A,等弧需在同圆或等圆中长度相等且能重合，故原说法错误： B.三角形的内心是角平分线的交点，一定在三角形内部，正确： C,三角形的重心是中线交点，到三边的距离不一定相等，故原说法错误： D.同弦所对的圆周角相等或互补，故原说法错误， 故选B. 14.下列事件中，属于必然事件的是() A.下个月，重庆将下一场雨 B.同位角相等 C.圆的直径平分任意一条弦 D.三角形任意两边之和大于第三边 【答案】D 8179 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】本题考查了必然事件的概念，解决本题的关键是熟练掌握必然事件的概念， 必然事件指一定发生的事件，需判断各选项是否必然成立即可. 【详解】解：A选项，是随机事件，不是必然事件： B选项，需两直线平行才成立，不是必然事件： C选项，当弦不是直径时，需弦垂直于直径才成立，不是必然事件： D选项，是三角形基本性质，恒成立. 故选：D 15.如图，直角△ABC中，∠CAB=90°，∠ABC=60°，将点B放至量角器左侧0刻度位置.斜边BC经过 量角器的中心O点，边AB与量角器的交点为D,连接OD,则∠BOD= 度 【答案】60 【分析】根据题意可知O为圆心，B、D为圆上的点，利用等边对等角及三角形内角和定理即可求解. 【详解】解：，OB=OD, .∠ODB=∠OBD :∠ABC=60°，即∠OBD=60°，， .∠ODB=60° .∠BOD=180°-∠OBD-∠ODB=180°-60°-60°=60° 16.如图，两矩形ABCD和BFEG彼此相邻内接于半圆O,其中点C、D、E在圆上，点A、B、G在直 B 径MN上，己知AB=2BC,BG=2BF,则B M A 【答案】5 【分析】连接OD,OC,OE,根据矩形的性质得BF=EG,AD=BC,∠DAB=∠CBA=90°，证明 RaD402RACB0然后利用全等三角形的性质可得O1=0B-2AB,从而可得OM=OB=BC,设 OA=OB=BC=a,BF=EG=b,则BG=2b,在RtAOBC中，利用勾股定理可得OC=V2a,从而可得 9179 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OC=OE=√2a,再在RtAOEG中，利用勾股定理进行计算可得a=5b,从而进行计算即可解答. 【详解】解：如图，连接OD,OC,OE, D :四边形ABCD和四边形BFEG都是矩形， BF=EG,AD=BC,∠DAB=LCBA=90°， ..OD=OC, ..RtADAORtACBO(HL). 之01=o0-4, .AB=2BC, ∴.OA=OB=BC, OA=OB=BC=a,BF=EG=b, ..BG=2BF, .'BG=2b. 在RtAOBC中，OC=VOB2+BC2=V2a, .0C=0E=√2a, 在RtAOEG中，OE2=OG+EG2, :(2a=(a+2b2+b2, 整理得：a2-4ab-5b2=0, (a-5b)(a+b)=0 .a=5b或a=-b(舍去)， ,AB_2a-9-5b-5. ∴BG2bbb 17.如图，BC是⊙O的一条弦，A为圆上一点，OA⊥BC,∠OAB=60°，则∠ABC的度数为 10/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】30° 【分析】根据题意可得△OAB为等边三角形，进而可得∠OBC=30°，再求∠ABC即可. 【详解】解：OA=OB,∠OAB=60° ∴.∠OBA=∠OAB=60°，则∠A0B=60°， ∴.△OAB为等边三角形， :OA⊥BC, .∠OBC=90°-∠AOB=30°， .∠ABC=∠OBA-∠OBC=60°-30°=30° 18.如图，正方形ABCD中，AB=2,点E在以AD为直径的圆上，连接BE,CE交AD于M,N,当 BE经过圆心时，线段MN的长度为 M 【答案】5-1 2 【分析】根据正方形的性质及圆的性质得出ME=AM=)AD=1,利用勾股定理求出BM=5, ME MN BE=√5+1，根据ADI‖BC得出AEMN∽AEBC,根据相似三角形的性质得出BE=BC,进而求出MN的 值即可。 【详解】解：正方形ABCD中，AB=2, AD=AB=BC=2,∠BAD=90°，AD‖BC :点E在以AD为直径的圆上，BE经过圆心，BE交AD于M, .ME=AM-74D=1. 11/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BM=VAB2+AM=+5,BE=5+1, .ADII BC. ∴.△EMN∽△EBC. ME MN MN ÷BEBC,即5+12： 解得：MW=5-l 2 19.如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，半径均为2的半圆0,0,0，…，组成一条平滑的 曲线，其中O(2,0),0(6,0),0,(10,0),,在每一段半圆上均有两个点，从左向右分别记为R,B, 乃，…，且它们到x轴的距离均为1，则点P25的坐标为一 01 03 【答案】(4050-V5, 【分析】过R,B分别作R阳1x轴，BQ1x轴，利用勾股定理得到(2-V5,),￡(2+V3,) P(6-V5,,P(6+√5，，，再根据其变化规律得到点Bs的坐标. 【详解】解：过乃，B分别作P21x轴，B21x轴， P 101 03 P P 则P2=1,00=2,0R=0E=2. 0g=v0P2-P0=V5,0g,=2-5, r(2-5,1,B(2+5,,B(6-5,-1,P(6+5,-,… 12/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴P的横坐标，当n为奇数时，横坐标为2n-V5, 则2s的横坐标为2×2025-√5=4050-√5 对于P,其纵坐标的变化规律是每4个一组循环， .02s的纵坐标为1， .Ps(4050-V5,1. 20.下列命题中，不正确的是 ①圆心角相等，所对的弧相等②平分弦的直径垂直于弦③长度相等的弧是等弧 ④等弧所对的圆周角相等⑤同圆或等圆中，长度相等的弧所对的圆周角相等. 【答案】①②③ 【详解】解：①只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，本命题缺少前提条件，故①不正确： ②平分非直径的弦的直径垂直于弦，若被平分的弦是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，本命题缺少 限制条件，故②不正确： ③能够完全重合的弧才是等弧，长度相等的弧不一定能完全重合，故③不正确： ④等弧可以完全重合，必在同圆或等圆中，根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，故④正确： ⑤同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，故⑤正确 综上所述，不正确的是①②③. 21.如图，CD是⊙0的直径，E是⊙0上一点，A为DC延长线上一点，连接AE与O0交于点B,且 AB=0C,若∠A=24°，则∠D0E的度数是 【答案】72 【分析】连接OB,利用等腰三角形的性质得到∠AOB=∠A=24°，以及三角形外角的性质求出 ∠OBE=∠E=48°，结合∠DOE=∠E+∠A即可求解. 【详解】解：连接OB, E B .AB=OC OB=OC :AB=OB, 13/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠AOB=∠A=24°， 而∠OBE=∠A+∠AOB, ∠0BE=2∠A=48°， .OB=OE, .∠OBE=∠E=48°， .∠D0E=∠E+∠A=48°+24°=72°. 22.如图，A,B,C是⊙O上的点，OC⊥AB,垂足为点D,且D为OC的中点，若OA=5,则BC的长 为 D 【答案】5 【分析】连接OB,可得OA=OB,根据垂直平分线的性质可得OB=BC,即可得出BC=OA=5. 【详解】解：如图，连接OB, B :A,B,C是⊙O上的点， ∴.OA=OB, ,OC⊥AB,垂足为点D,且D为OC的中点， ∴AB是OC的垂直平分线， ∴OB=BC, .'BC=OA=5 23.如图，AB是⊙0的直径，点C,D在AB的异侧，连接BC,OD，,OC,若∠BOC=80°，且 BC∥OD,则LBOD的度数为 14/79 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 【答案】50°/50度 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得∠OBC的度数，再根据平行线的性质即可得出 ∠BOD 【详解】解：，OB=OC, .∠OBC=∠OCB. :∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，∠BOC=80°， :∠0BC=180°-800 =50° 2 ,BC∥OD, .∠BOD=∠OBC=50° 24.如图，在以AB为直径的半圆O中，有一个内接正方形EFDC,其边长为lAE=a,BE=b,则 a b b a D E 【答案】3 【分析】根据圆的对称性可得FB=AE=a,进而得到b-a=1,再证明△ACE∽aCBE可得 AE·BE=CE2=1,即b=1,再根据异分母分式加减法、完全平方公式化简，最后整体代入求值即可. 【详解】解：由圆的对称性可得：FB=AE=a, .BE=b ∴.BE-FB=EF=1,即b-a=1, 15/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图：连接AC、BC,则∠ACB=90°， ∴.∠ACE+∠BCE=90°， ,:∠AEC=∠CEB=90°， ∴.∠ACE+∠CAE=90°， ∴∠ECB=∠CAE. .△ACE∽aCBE, 4.E=C,即AE:BE=CE2=1'即ab .4bd2+_a-b+2b_P+2x1=3. 6+aab ab 1 类型二、圆中的弦 25.如图，在⊙0中，弦的条数是() D 0 B A.2 B.3 C.4 D.以上均不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的弦.熟练掌握弦的定义是解决问题的关键.弦的定义：连接圆上任意两点的 线段叫做弦 根据圆的弦的定义解答。 【详解】在OO中，有弦AB、弦DB、弦CB、弦CD, 共有4条弦. 故选：C, 26.如图所示，点A,O,D,点C,D,E以及点B,O,C分别在一条直线上，则圆中弦的条数为( 16/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E D A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】A 【分析】本题考查了圆的有关概念，由连接圆上任意两点的线段叫做弦，即可判断得出答案，掌握圆的有 关概念是解题的关键 【详解】解：圆中的弦有：BC、CE,共两条， 故选：A. 27.如图，图中⊙0的弦共有() E A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 【答案】C 【分析】根据弦的定义即可求解.连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是一 个圆里最长的弦 【详解】解：图中有弦AB,BD,CD共3条， 故选C. 【点睛】本题考查了弦的定义，理解弦的定义是解题的关键， 28.如图，已知A,B,C,D四点都在⊙O上，则⊙0中的弦的条数为() D B A.2 B.3 C.4 D.5 17/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【分析】根据弦的定义求解即可. 【详解】解：根据弦的定义可知，AB、CD和BD都是圆的弦，所以⊙O中的弦的条数为3， 故选：B 【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫圆的弦 29.如图所示，在⊙O中，点A,O,D以及点B,O,C分别在一条直线上，则图中的弦有() B A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 【答案】B 【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案. 【详解】解：图中的弦有AB,BC,CE共三条， 故选B 【点睛】本题主要考查了弦的定义，熟知定义是解题的关键：连接圆上任意两点的线段叫弦， 30.己知A、B为⊙0上的两点，若⊙0的半径为3，则AB的长不可能是() A.1 B.3 c.5 D.7 【答案】D 【分析】本题考查圆的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，根据题意，可得圆的直径为3×2=6，直 径是圆上最长的弦，即0<AB≤2r,即可得到答案， 【详解】解：，A、B为⊙0上的两点，若⊙0的半径为3， ∴.0<AB≤2r=6, .D不符合题意. 故选：D 31.已知⊙0中最长的弦为6cm,则O0的半径为()cm. A.2 B.3 C.6 D.12 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本知识；熟练理解圆中最长的弦是直径是解题的关键。 18/79 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根据圆中最长的弦是直径以及同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即可求得结果. 【详解】解：⊙0中最长的弦长为6cm, ∴.⊙0的直径的长为6cm, ∴.⊙0的半径为3cm. 故选B. 32.已知⊙0的半径是8cm,则⊙0中最长弦长是() A.6cm B.12cm C.16cm D.20cm 【答案】C 【分析】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、 等圆、等弧等)·利用圆的直径为圆中最长的弦求解. 【详解】解：，⊙O的半径是8cm, .∴⊙0中最长弦长是16cm 故选：C 33,如图，在O0中，AB是直径，BC是弦，点P是劣弧BC上任意一点.若AB=4,∠B=30°，则AP的 长不可能是() B A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】D 【分析】本题主要考查直径是最长的弦，由AB是O0直径得AB是⊙0中最长的弦，且AB=4,故有 AP≤AB,所以可得结论， 【详解】解：AB是OO直径， AB是⊙O中最长的弦， .AP≤AB, AB=4, .AP≤4， ∴.只有选项D符合题意， 故选：D 19/79 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 34.已知⊙0的半径3，则⊙0中最长的弦长为() A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】B 【分析】此题考查了圆的性质，根据直径是圆中最长的弦解答即可 【详解】解：：直径是圆中最长的弦，⊙0的半径为3， .⊙0最长的弦为6， 故选：B 35.已知AB是半径为6的圆的一条弦，则AB的长不可能是() A.8 B.10 C.12 D.14 【答案】D 【分析】根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可. 【详解】解：，圆的半径为6， .直径为12， AB是一条弦， .AB的长应该小于等于12，不可能为14， 故选：D 【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径，难度较小. 36.如图，在四边形ABCD中，AC=3,∠ABC=120°，∠ADC=60°，求CD的最大值为. 【答案】25 【分析】本题考查四点共圆的性质、垂径定理等性质，解题的关键是判断出四点共圆以及圆内最长的弦为 直径 根据角度关系判断出A,B,C,D四点共圆，而∠ADC为圆周角，AC为圆周角60°所对的弦，根据垂径定 理等性质可求出圆的半径，最终求出CD的最大值. 【详解】解：在四边形ABCD中，∠ABC=120°，∠ADC=60°， .∠ABC+∠ADC=120°+60°=180°， 20/79 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.A,B,C,D四点共圆，设圆心为O,过点O作OE⊥AC交AC于点E,连接OA、OC如图： ,圆周角∠ADC=60°， ∴圆心角∠A0C=120°， ∴.△AOC为顶角120°的等腰三角形， .△EOC为锐角30°的直角三角形， AC=3, EC=1.5. .∠0CE=30° ∴OC=20E,由勾股定理可得方程OC2=0E2+EC2,解得OC=V5, CD为圆内的弦，而圆内长度最大的弦为直径，故CD大=2OC=2V3 故答案为：2V3 37.已知⊙0的半径为5，AB是⊙0的弦，则AB的长度a的取值范围是 【答案】0<a≤10 【分析】本题考查了圆的相关知识，明确圆中最长的弦是直径是解题的关键. 利用直径是圆内最长的弦即可求解， 【详解】解：⊙0的半径为5， ∴.⊙0的弦AB的长度的取值范围为：0<a≤2×5=10， 故答案为：0<a≤10. 类型三、判断点和圆的位置关系 38.已知⊙0的半径为3Cm,线段OA=5cm,则点A与⊙0的位置关系是() A.点A在OO外B.点A在O0上 C.点A在⊙0内 D.不能确定 【答案】A 【分析】比较点A到圆心的距离与⊙O半径的大小，即可判断点与圆的位置关系. 【详解】解：，⊙0的半径为3cm,OA=5cm,且5>3， 21/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点A在⊙0外 39.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4.分别以B、C为圆心，BC长为半径作圆B、圆C,下 列关于点A的位置描述正确的是() A.在圆B外部，在圆C外部 B.在圆B外部，在圆C内部 C.在圆B内部，在圆C内部 D.在圆B内部，在圆C外部 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系，比较点A到两个圆心的距离和对应圆的半径，即可判断点A的位置，点 与圆的位置关系为：设圆半径为r,点到圆心的距离为d,则d>r时点在圆外，d<r时点在圆内. 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4, :.由勾股定理得AB=√AC2+BC2=V32+42=5, 对于圆B,圆心为B,半径B=BC=4, :AB=5>4=B,点A在圆B外部， 对于圆C,圆心为C,半径=BC=4, AC=3<4=e,.点A在圆C内部。 40.已知O0的半径为10cm,点A为平面内一点，且0A=8cm,则点A与⊙0的位置关系是() A.点A在⊙0上B.点A在O0内 C.点A在⊙0外 D.无法判断 【答案】B 【详解】·⊙O的半径r=10cm,点A到圆心O的距离OA=8cm, ..OA<r ∴点A在⊙0内 41.已知⊙0的半径为7cm.若点P到圆心O的距离为l0cm,则（) A.点P在⊙0上B.点P在⊙O内 C.点P在⊙0外 D.无法判断 【答案】C 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小，即可判断点的位置. 【详解】解：设OO的半径为r,点P到圆心O的距离为， ,由题意得r=7cm,d=l0cm, ∴d=10>7=r,即d>r, 根据点与圆的位置关系判定规则：当>r时，点在圆外， 点P在⊙O外 42.已知⊙0的半径为4，若点P在⊙0内，则点P到圆心0的距离可能为() 22/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4 B.√13 C.5 D.7 【答案】B 【分析】利用点在圆内的性质：点到圆心的距离小于圆的半径，判断各选项即可· 【详解】解：，点P在⊙O内，⊙O的半径为4， 、点P到圆心O的距离d满足d<4: A选项4=4，不符合要求： B选项V3<6=4,即V13<4,符合要求； C选项5>4，不符合要求： D选项7>4，不符合要求. 43.在同一平面内，已知⊙0的半径r=5cm,点P到圆心0的距离OP=6cm,则点P与⊙O的位置关系是 () A.点P在圆内 B.点P在圆上 C.点P在圆外 D.无法确定 【答案】C 【分析】点到圆心的距离大于半径，点在圆外：点到圆心的距离等于半径，点在圆上：点到圆心的距离小 于半径，点在圆内 【详解】，OO的半径r=5cm,点P到圆心0的距离OP=6cm, .6>5,即OP>r, ∴点P在⊙0外。 44.已知⊙0的半径是3，点P在⊙0上，则点P到圆心O的距离d满足() A.d<3 B.d=3 c.d>3 D.d=6 【答案】B 【分析】根据点在圆上时，点到圆心的距离与半径相等，即可求解. 【详解】解：：点P在⊙0上，⊙0的半径为3， d=3 45.点0为坐标原点，若⊙0的半径为10，则点A(6,8)与⊙0的位置关系是（) A.点A在圆内 B.点A在圆上 C.点A在圆外 D.不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点 到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系，也考查了坐标与图形的性质，先计算点A到坐标 原点O的距离，再将该距离与⊙O的半径比较，依据点与圆的位置关系判定规则得出结论 23/79 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】：点A的坐标为(6,8)，0为坐标原点， .0A=V62+82=V36+64=V100=10, 又，⊙0的半径r=10, ..OA=r, ∴点A在⊙0上， 故选：B 46.己知圆0的半径是5cm,0P=4cm,则点P和圆0的位置关系是() A.点P在圆O内B.点P在圆O上 C.点P在圆O外 D.无法确定 【答案】A 【分析】设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,当d<r时，点在圆内：当d=时，点在圆上：当d>r 时，点在圆外。 【详解】解：，圆O的半径r=5cm,点P到圆心O的距离d=OP=4cm,即d<r, ∴点P在圆O内. 47.如图，在5×5的正方形网格中，点A,B,C,D均在格点上，一条圆弧经过A,B,C三点，那么 点D与这条圆弧所在圆的位置关系是() D A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.在圆内或圆上 【答案】A 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，先确定圆心的位置，再求出圆的半径，进而根据点到圆心的距离 和圆的半径的大小关系进行判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键. 【详解】解：，圆心到A,B,C三点距离相等 圆心在线段AB,BC的垂直平分线上， 如图，线段AB和BC的垂直平分线相交于点O,点O即为圆心， 24/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 圆的半径0C=VP+22=5, :0D=2<5, 点D在圆内， 故选：A 48.已知O0的直径为6，若点P到点0的距离为4，则点P在⊙0 (填“内”“外”或 “上”) 【答案】外 【分析】先根据⊙O的直径求出圆的半径，再比较点P到圆心O的距离与半径的大小关系，根据点与圆的 位置关系判断点P的位置即可. 【详解】解：⊙0的直径为6， .⊙0的半径r=3, 点P到圆心O的距离d=OP=4, i.d>r, 点P在⊙0外 49.如图，己知正方形ABCD,以点A为圆心，以AB为半径作⊙A,则点C在⊙A (填“外” 或“内”) B D 【答案】外 【分析】根据正方形的性质得到AC=√2AB>AB,于是得到结论. 【详解】解：连接AC,如图， 25/79 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :正方形ABCD的对角线AC=V2AB>AB, ∴，点C在⊙A外 50.若O0的半径为5，OP=m,且点P在⊙0外，则的取值范围为 【答案】m>5 【分析】根据点在圆外时，点到圆心的距离大于半径，即可求出m的取值范围 【详解】解：⊙0的半径为5，OP=m,且点P在⊙0外， OP>5,即m>5. 51.若⊙0的半径为8，OP=m,且点P在⊙0外，则m的取值范围为 【答案】m>8 【分析】根据点与圆的位置关系，当点在圆外时，点到圆心的距离大于半径求解即可， 【详解】解：，OO的半径为8，OP=m,且点P在⊙O外， .m的取值范围为m>8, 52.己知⊙0的直径是10，点P到圆心0的距离d为方程x2-4x-5=0的一个根，则点P在⊙0的 (填“内部”、“外部”、“上”) 【答案】上 【分析】先解一元二次方程得到的值，再求出圆的半径，比较后判断即可. 【详解】解：x2-4x-5=0, 解得x=5或x=-1, ,点P到圆心O的距离d为方程x2-4x-5=0的一个根， .d=5, :⊙0的直径是10， ∴⊙0的半径r=5, ∴.d=r, 点P在⊙0上 53.⊙0的半径为3，点A到圆心O的距离为2，点A与⊙0的位置关系为 【答案】在⊙0内 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系判断，点到圆心的距离小于半径，点在圆内；距离等于半径， 点在圆上；距离大于半径，点在圆外.熟练掌握点与圆的位置关系判断方法是解题的关键。 通过比较点A到圆心O的距离与圆的半径的大小关系来判断位置. 【详解】解：，⊙0的半径为3，点A到圆心0的距离为2， ∴.点到圆心的距离小于半径， 26/79 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点A在⊙0内. 故答案为：A在⊙0内. 54.已知⊙0的直径为4，平面内一点A到圆心0的距离为3，则点A在⊙0 (填“上”“内”或 “外”) 【答案】外 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据圆的直径求出半径，比较点A到圆心O的距离与半径的大小 关系，即可判断点A与⊙O的位置关系. 【详解】解：，⊙0的直径为4， ,500的半径r=号=2， 点A到圆心O的距离d=3, ∴.d>r, ∴点A在⊙0外. 故答案为：外 55.如图，在Rt△ABC中，AC=6,BC=8,以点A为圆心，BC为半径画圆，则点C与⊙A的位置关系 是 B 【答案】点C在⊙A内 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，由题意并结合6<8即可得解，熟练掌握点与圆的位置关系是解此 题的关键， 【详解】解：：在Rt△ABC中，AC=6,BC=8,以点A为圆心，BC为半径画圆，且6<8， .AC<BC, ∴点C与⊙A的位置关系是点C在⊙A内， 故答案为：点C在⊙A内 56.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4.以点A为圆心作⊙A,且使点B、C、D中至少有一个点 在OA内，同时至少有一个点在OA外，则⊙A的半径r应满足的条件是 27/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D ⊙ 【答案】3<r<5 【分析】根据勾股定理求出AC的长，进而得出点B,C,D与OA的位置关系，即可得出半径r的取值范 围 【详解】如图，连接AC, D B C..AB=3 AD=4 .AC=5, :以点A为圆心作⊙A,使点B、C、D中至少有一个点在⊙A内，同时至少有一个点在⊙A外， ∴.⊙A的半径r的取值范围是：3<r<5. 【点睛】当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内. 57.如图，在菱形ABCD中，点E,F,G,H分别为各边的中点.求证：E,F,G,H四点在同一个圆上. D E B 【答案】证明：：四边形ABCD是菱形， AC⊥BD,即∠AOD=90°，AD=AB=BC=CD ,H是AD的中点， :.OH =AD 2 同理可得：oE40,0r4c,0ccD, ..OH=OE=OF=OG ∴.E,F,G，,H四点在以点O为圆心，OH为半径的圆上， 28/79 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 即E,F,G,H四点在同一个圆上. 【分析】先根据菱形的性质，结合直角三角形斜边上中线的性质证得OH=4D,同理可证得O5=号4B。 OF=BC,OG=,CD,再根据点与圆的位置关系求解。 2 2 【详解】略 类型四、利用点和圆的位置关系求半径 58.平面上有⊙0及一点P,P到⊙0上一点的距离最长为6cm,最短为2cm,则O0的半径为()cm A.4 B.2或4 C.3或2 D.4或3 【答案】B 【分析】根据点P在⊙O内或⊙O外分类讨论，由最长最短距离与圆直径的关系计算半径即可. 【详解】当点P在⊙O外时， :点P到oO上点的最长距离为6cm,最短距离为2cm, .⊙0的直径为6-2=4cm,半径为4÷2=2cm, 当点P在⊙0内时， ,点P到⊙O上点的最长距离为6cm,最短距离为2cm, :⊙0的直径为6+2=8cm,半径为8÷2=4cm. 因此⊙O的半径为2cm或4cm 59.点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足() A.0<r<6 B.0≤r≤6 C.r≤6 D.r>6 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是关键.点在圆外时，点到圆心的距离 大于半径，且圆的半径为正数即可求解. 【详解】解：点P在圆O外， :点P到圆心O的距离大于圆O的半径r, 点P到圆心O的距离为6，且圆的半径r>0, .0<r<6 故选：A. 60.点PQ与⊙0的位置关系如图所示，若OP=8,O0=6,则⊙0的半径可能是() 29/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3 B.5 C.7 D.9 【答案】C 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系即可求解，解题 的关键是正确理解当点到圆心的距离d小于圆的半径r时，则点在圆内：点到圆心的距离等于圆的半径r, 则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径r,则点在圆外 【详解】解：设⊙O的半径为r, ,点P在圆外且OP=8, r<8 :点Q在圆内且00=6 .r>6, ∴⊙0的半径是6<r<8, C选项7符合题意， 故选：C 61.己知点P在半径为2的⊙0上，则OP的长是() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本性质，利用“圆上任意一点到圆心的距离等于圆的半径”这一性质即可求解 【详解】解：点P在半径为2的⊙O上， ∴.OP是⊙O的半径， .OP=2 故选：B 62.点P是⊙0外一点，⊙O的半径是1lcm,则OP的长可能是() A.4cm B 8cm c 10cm D.12cm 【答案】D 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点P在⊙O外的性质，可知OP的长度大于圆的半径，结合选 项即可得出答案. 30/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：：⊙O的半径是11cm,点P是⊙O外一点， .OP>11cm 只有12cm满足OP>11cm, 故选：D 63.平面上的一点和⊙0的最近点距离为4cm,最远距离为l0cm,则这个圆的半径是() A.7cm B.3cm或5cm C.3cm或7cm D.5cm或7cm 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系， 分点在圆外和点在圆内两种情况讨论，利用最近和最远距离与半径的关系求解 【详解】解：设点与圆心距离为d,半径为r, 当点在圆外时， :最近距离为d-r=4,最远距离为d+r=10, ∴两式相加，2d=14, 即d=7, 代入d-r=4. 得r=3: 当点在圆内时， ,最近距离为r-d=4,最远距离为r+d=10, .两式相加，2r=14, 解得：r=7; ∴.圆的半径为3cm或7cm. 故选：C 64.如图，己知在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,如果分别以A、C为圆心的两圆相切，且点D在⊙C内， 点B在⊙C外，⊙A的半径r的取值范围是() 刀 B A.6<r<8或10<r<18 B.2<r<4或10<r<18 31/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.2<r<4或16<r<18 D.6<r<8或16<r<18 【答案】C 【分析】此题考查了点和圆的位置关系，两圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质等知识，熟练掌握两圆 的位置关系是解题的关键.首先求出⊙C的半径R的取值范围为6<R<8,再根据两圆的圆心距是10，分 内切和外切两种情况进一步即可求出答案 【详解】解：连接AC, B :四边形ABCD是矩形，AB=6,BC=8, :.AC=VAB2+BC2=V62+82=10, :点D在⊙C内，点B在⊙C外， ∴.⊙C的半径R的取值范围为6<R<8, 当分别以A、C为圆心的两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，是10，即R+r=10, .6<10-r<8. 解得2<r<4, 当分别以A、C为圆心的两圆内切时，圆心距等于两圆半径之差，是10，即”-R=10, 6<r-10<8, .16<r<18, 综上可知，⊙A的半径r的取值范围是2<r<4或16<r<18, 故选：C 65.若点P在⊙0内，且0P=5,则⊙0的半径可能为() A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】D 【分析】本题考查点和圆的位置关系，点P在圆内时，点P到圆心的距离小于圆的半径.掌握点和圆的位 置关系是解题的关键。 【详解】点P在⊙0内， ..op<r, 32/79 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OP=5, r>5, .⊙0的半径可能为6. 故选：D 66.已知P是线段OA的中点，点P在半径为r的©0外，点A与点O的距离是8，则r的取值范围是 () A.r>4 B.r>8 C.0<r<4 D.0<r<8 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，牢记点与圆的位置关系是解题关键。 根据点与圆的位置关系，点P在圆外等价于OP>r,由此可得r的取值范围。 【详解】解：P是OA的中点，OA=8, .OP=4, 点P在⊙0外， ∴.OP>r, 即4>r, 又，r>0 .0<r<4 故选：C 67.已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是() A.6 B.2 C.2或3 D.4或6 【答案】C 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键.点应分为位 于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径=最小距离+最大距离：②当点在圆外时，直径 =最大距离·最小距离 【详解】解：分为两种情况： M B 图1 图2 ①当点在圆内时，如图1， 33/79 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :点到圆上的最小距离MB=1,最大距离MA=5, ∴，直径AB=1+5=6, 即半径为3： ②当点在圆外时，如图2， ,点到圆上的最小距离MB=1,最大距离MA=5, ∴直径AB=5-1=4, 即半径为2， 故选：C 68.圆外一点到圆的最大距离是8，最小距离是2，则这个圆的半径为() A.6 B.3 C.8 D.4 【答案】B 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径为解题的 关键，根据圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径即可得出答案。 【详解】解：圆外一点到圆的最大距离是8，最小距离是2， 圆的直径是8-2=6， ∴圆的半径是3 故选：B 69.点P到圆心O的距离为7，若点P在圆O内，则圆O的半径r满足() A.0<r<7 B.0<r≤7 C.r>7 D.r≥7 【答案】C 【分析】本题考查对点与圆的位置关系的判断.解题的关键：要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆 心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为d,圆的半径r,则d>r时，点在圆外：当d=r时， 点在圆上：当d<r时，点在圆内，反过来与成立.据此解答即可 【详解】解：点P到圆心O的距离为7，点P在圆O内， ∴.OP<r,即r>7 故选：C 70.若点P到⊙0上的点的最小距离是4，最大距离是6，则⊙0的半径为 【答案】5或1 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，利用分类讨论的思想求解是解题的关键，根据点与圆的位置关 系解答即可. 【详解】解：~点P到⊙0上的点的最小距离是4，最大距离是6， 34/79 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :当点p在圆内时，Q0的半径=416 5 2 6-4=1, 当点p在圆外时，O0的半径= 综上所述，⊙0的半径为5或1. 故答案为：5或1. 71.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,BC=5,以点A为圆心作⊙A,要使B、C两点中的一点在圆 外，另一点在圆内，那么⊙A的半径长”的取值范围为一· 【答案】 12<r<13 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，点到圆心的距离大于圆的半径时点在圆外，点到圆心的距离等于 圆的半径时点在圆上，点到圆心的距离小于圆的半径时点在圆内 计算点A到点B和点C的距离，再根据一个点在圆内一个点在圆外的条件，结合点与圆的位置关系，确定 半径r的取值范围. 【详解】解：：在Rt△ABC中，∠C=90,AC=12,BC=5, ∴.由勾股定理得AB=VAC2+BC2=V122+52=13. ∴.点C到圆心A的距离为12，点B到圆心A的距离为13， 且12<13 要使点B和点C中一个在圆外一个在圆内， 须使⊙A的半径r的值在12和13之间， .⊙A的半径长r的取值范围为12<r<13 故答案为：12<r<13 72.已知P点到O0的最大距离是6，最小距离是2，则⊙0的半径是 【答案】2或4 【分析】本题主要考查了点和圆的位置关系，掌握分类讨论思想是解题的关键。 分点P在圆外和圆内两种情况讨论，分别利用距离关系列方程求解即可， 【详解】解：设⊙O的半径为r,点P到圆心O的距离为d, 35/79 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若点P在⊙0外，则最大距离为d+r,最小距离为d-r. 若点P在⊙0外， [d+r=6 由题意得： d-r=2两式相减，解得： r=2 若点P在⊙O内，则最大距离为r+d,最小距离为r-d. r+d=6 由题意得： r-d=2解得： r=4 综上，⊙0的半径为2或4. 故答案为：2或4。 73.在矩形ABCD中，AB=6,AD=8 (1)若以A为圆心，8长为半径作⊙A,则B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作⊙A,使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是 【答案】(1)点B在⊙A内，点C在⊙A外，点D在⊙A上 (2)6<r<10 【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位 置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系 (1)根据勾股定理求出AC的长，进而得出点B,C,D与OA的位置关系： (2)利用(1)中所求，即可得出半径r的取值范围. 【详解】(1)解：如图所示，连接AC, B :在矩形ABCD中，AB=6,AD=8, 、.AB=CD=6,AD=BC=8,∠B=90°， .AC=V62+82=10, ,AB=6<8, ∴.点B在⊙A内， 36/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD=8, ∴点D在⊙A上， AC=10>8, 点C在⊙A外： (2)以点A为圆心作⊙A,使B,C,D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， :.⊙A的半径r的取值范围是6<r<10 74.如图，在△ABC中，∠C=90,AC=3,BC=4,以点C为圆心作⊙C,半径为r. (1)当r取什么值时，点A,B都在圆外？ (2)当”取什么值时，点A在圆内，点B在圆外？ 【答案】(1)当0<r<3时，点A,B都在圆外. (2)3<r<4时，点A在圆内，点B在圆外. 【分析】(1)根据点与圆的位置关系，判断点AB到圆心C的距离与半径r的大小关系，从而确定r的 范围。 (2)同样根据点与圆的位置关系，分别确定点A在圆内、点B在圆外时r的范围，再取交集. 【详解】(1)解：“AC=3,AC>r, ∴.当0<r<3时，点A,B都在圆外 (2)解：·AC=3,BC=4 当AC<r<BC,即3<r<4时，点A在圆内，点B在圆外. 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，掌握点到圆心的距离与半径r的关系：d>r时点在圆外，d<r时 点在圆内是解题的关键. 类型五、“一箭穿心”棋型 75.如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=6,以A、D为圆心，半径分别为2和1画圆，E、F分别是 ⊙A、⊙D上的一动点，P是BC上的一动点，则PE+PF的最小值是() 37/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.6 B.7 C.8 D.10 【答案】B 【分析】以BC为轴作矩形ABCD的对称图形A'BCD以及对称⊙D',连接AD'交BC于P,则EF'就是 PE+PF最小值，根据勾股定理求得AD的长，即可求得PE+PF最小值， 【详解】解：如图，以BC为轴作矩形ABCD的对称图形ABCD'以及对称⊙D',连接AD交BC于P,则 EF'就是PE+PF最小值： A B 矩形 中， 的半径为2， 的半径为1， A、 ABCD AB=4BC=6⊙A ⊙D ..A'D'=BC=6,AA'=2AB=8,AE=2,D'F'=DF=1, .AD=V62+82=10, ∴.EF'=10-2-1=7, :(PE+PF)in=PE+PF'=EF'=7. 76.如图，正方形ABCD的边长为4，点E和正方形ABCD在同一平面内，连接BE,点F是BE上一点， 己知BE=AB=4BF,连接CE,DE,AF,下列结论正确的是() D B A.DE的最小值为4V2-2 B.AF的最小值为2√2+1 C.DE+AB的最大值为8-2V2 D.AF+DE的最小值为5 38/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】D 【分析】先由BE=AB=4、4BF=AB得BF=1,确定E在以B为圆心4为半径、F在以B为圆心1为半 径的圆上；分别用圆上点到定点距离最值判断A、B、C选项均错：取小圆与AB交点G,由SAS证明 △ABF≌△EBG得AF=EG,转化AF+DE为DE+EG,根据两点之间线段最短，D、E、G共线时取最小 值Rt△ADG斜边DG=5,故D正确 【详解】解：点E和正方形ABCD在同一平面内，BE=AB=4BF, :点B在以B为圆心，AB为半径的圆上，点F在以B为圆心，4AB为半径的圆上， 如图1， D 图1 BE=4 DE+BE BD .当D,E,B三点共线时，DE取得最小值， 在Rt△ABD中，BD=√2AB2=4V2, :DE的最小值为BD-BE=4V2-4,故A错误： :AF+BF≥AB'AB=4' BF=4B=1, 4 ∴.当A,F,B三点共线时，AF取得最小值， ∴AF的最小值为AB-BF=4-1=3,故B错误： 由题意可知BE=AB=4, ∴.当DE取得最大值时，DE+AB即可取得最大值， 如图2， 39/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图2 当D,E,B三点共线时，DE取得最大值，最大值为BD+BE=4V2+4, .DE+AB的最大值为4V2+4+4=4V2+8,故C错误： 如图3，点F所在的圆与AB交于点G,连接EG, D G 图3 ∴.AG=AB-BG=4-1=3 在△ABF与△EBG中， AB=EB ∠ABF=∠EBG BF=BG ∴△ABF≌△EBG(SAS)」 :AF =EG, ∴AF+DE=EG+DE, DE+EG DG, ∴.当D,E,G三点共线时，AF+DE有最小值，最小值为DG的长， 在Rt△ADG中，DG=VAD2+AG2=V4+32=5, .AF+DE的最小值为5，故D正确. 77.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=25,BC=3.点P为△ABC内一点，且满足 PA+PC2=AC2.当PB的长度最小时，则CP的长是() 40/79 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P C.5 3W3 A.1 【答案】C 1 【分析】根据勾股定理的逆定理得∠APC=90°，又AC长度一定，则点P在以AC中点O为圆心，2AC长 为半径的圆上运动，所以当B、P、O三点共线时，PB最短：在Rt△BCO中，利用勾股定理可求BO的长， 并得到点P是BO的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质可求解， 【详解】解：PA+PC2=AC2, .∠APC=90°， 取4C中点O,并以O为圆心，24C长为半径画圆，则点P在此圆上运动，当B、P、O三点共线时，PB 最短， ∴AO=PO=CO, :C0=54C=2x25=5,BC-3 2 2 .B0=√BC2+C02=2V3, ..BP=BO-PO=3, 点P是BO的中点， 在RtABCO中，CP=)B0=V5 78.如图，E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF.连接CF交BD于点G,连接BE 交AG于点H.在计算过程中发现线段DH长度的最小值是V5-1,则正方形的边长是() 41179 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.5 B.2 C.1 D.V5+1 【答案】B 【分析】根据正方形的性质证明△ABE≌aDCF(SAS),△ADG≌aCDG(SAS),根据全等三角形的性质结合 等量代换证明∠ABE=∠DAG,根据∠BAH+∠DAG=90°，即可证得∠AHB=90°，取AB的中点O,连接 OH,可得到H的运动轨迹为以O为圆心，OA为半径的半圆，当O,H,D三点共线时，DH最小，根 据勾股定理可得OD的长，从而可表示出DH的长，根据已知的DH长度的最小值列方程即可得解. 【详解】设正方形ABCD的边长为x, :四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD=CD=x,∠BAE=∠CDF=90°，∠ADG=∠CDG, 在△ABE和△DCF中， AB=CD ∠BAE=∠CDF AE=DF :.AABE≌△DCF(SAS), .∠ABE=∠DCF, 在△ADG和△CDG中， AD=CD ∠ADG=∠CDG DG=DG :.△ADG≌ACDG(SAS), ∴，∠DCG=∠DAG, .∠ABE=∠DAG, ∠BAH+∠DAG=90°， .∠BAH+∠ABE=90°. ∠AHB=90°， 如图1，取AB的中点O,连接OH, 42/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 ..OA=OH=- 4B=2*. ∴.H的运动轨迹为以O为圆心，OA为半径的半圆， H B 图1 图2 如图2，当O,H,D三点共线时，DH最小， 2 ..OD=VOA2+AD2 2 2t, 的最小值为OD-OH=1 -x, DH 2 ~DH长度的最小值为V5-1, 5-1 2 x=5-1,解得x=2' ∴正方形的边长是2. 79.综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动.小明同学准备了一张长方形纸片 ABCD,AB=24,BC=20,他在边BC上取中点N,又在边AB上任取一点M,再将△BMN沿MN折叠 得到△BMN,连接AB.则AB的长度不可能是() B A.16 B.18 C.24 D.26 【答案】D 【分析】根据折叠的性质和中点的定义，可得BN=NB'=1O,从而可得当点M在边AB上运动时，点B在 以点N为圆心的圆弧上运动，利用勾股定理，求AW,根据“圆外一点到圆上最短距离”可得， AB之AN-NB=16,根据点M在边AB上运动，可得AB'≤24，则16≤AB'≤24，即可求解. 【详解】解：如图1，连接AW, 43/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 将 沿 折叠得到 B 图1 .·△BMN MN △B'MN :BN NB', 点N为BC的中点，BC=20, .BN CN=NB'=10. 当点M在边AB上运动时，点B'在以点N为圆心的圆弧上运动， 如图2，在RteABN中，AW=VBN2+AB2=V102+242=26, D M 图2 AB≥AN-NB .AB216, ∴AB的最小值为16， :AB≤AN+NB',且点M在边AB上， .AB≤AB=24, .16≤AB≤24，故不可能是26， 8O.如图，在正方形ABCD中，AB=4,点E,F分别在CD,AD上，CE=DF,BE,CF相交于点G,连 结DG.当点E从点C运动到点D的过程中，DG的最小值为() A G B A.2 B.2V5-2 C.4 D.25 【答案】B 【分析】先利用正方形的边相等、内角为直角的性质，结合CE=DF证明△BCE≌△CDF,进而推出 44/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠CGB=90°，从而确定点G的运动轨迹是以BC为直径的圆弧， 将求线段最小值问题转化为圆外一点到 圆上一点的最短距离问题，当O,G,D共线时，DG有最小值，用点到圆心的距离减去半径即可求解. 【详解】解：，四边形ABCD是正方形， .BC=CD,∠BCE=∠CDF=90° 在Rt△BCE和RtACDF中， BC=CD ∠BCE=∠CDF CE=DF △BCE≌aCDF(SAS), :.∠EBC=∠FCD. :∠FCD+∠BCG=90°， ∴.∠CBE+∠BCG=90°， .∠CGB=90°， ∴点G的运动轨迹是以BC为直径的圆弧，当O,G,D共线时，DG有最小值， 如图，以BC为直径作⊙O,连接OG, A F 在正方形ABCD中，AB=4, ∴.OC=2,CD=AB=4 .0D=VCD2+0C2=V42+22=25, .DG=0D-0G=2N5-2, 即DG的最小值为2W5-2. 【点睛】“定弦定角”模型是发现隐圆、进而求解最值的关键核心 81.如图，己知菱形ABCD,对角线AC与BD相交于点O,AC=4,BC=2V5,菱形内部有一点M, OM=1,连接BM,将线段BM绕点M顺时针旋转90°得到MN,则CN的最大值() 45/79 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.6+V2 B.4+V2 c.62 D.4V2 【答案】A 【分析】利用菱形性质求出OB,OC长，构造辅助点K使得△OBK为等腰直角三角形，通过证明 △MBO~aNBK得出KN为定值，从而确定点N的轨迹，利用点与圆的位置关系求CN最大值即可· 【详解】解：四边形ABCD是菱形，AC=4, .AC⊥BD: 0C=4C=2」 在RtaB0C中，0B=VBC2-0C2=V(2V52-2=4, 将点B绕点O顺时针旋转9O°得到点K,连接BK,KN, .OK=OB=4,∠BOK=90°， ,△OBK是等腰直角三角形，KB=V2OB=4V2,∠OBK=45°， :线段BM绕点M顺时针旋转90°得到MN, ∴.MB=MN,∠BMN=90° ∴.△BMN是等腰直角三角形，NB=√2MB,∠MBN=45°， :∠MBN=∠OBK=45° .∠MBN-∠OBN=∠OBK-∠OBN,即∠MBO=∠NBK, .MB 1 OB 4 1 又NB2,KB4W22' MB OB NB KB' ∴△MBO~△NBK, 46179 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OM OB 1 KNKB√2： OM=1, KW=2, 点N在以K为圆心，√2为半径的圆上运动， ∠BOK=∠BOC=90°， ∴.C,O,K三点共线， .CK=C0+OK=2+4=6, ∴.当N在CK延长线上时，CW取得最大值=CK+KN=6+V2. 82.如图，在平行四边形ABCD中，∠C=45°，AB=2,BC=2V2,点E是DC边的中点，动点F在 BC边上运动，以EF为折痕将△CEF折叠到△MEF,连接AM,则AM的最小值是() M A.1 B.2 c.3-1 D.2W2-1 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质得到AB=CD=2,AD=BC=2V2,进而得到DE=CE=1,根据折叠的 性质得到ME=CE=1,即无论F如何运动，M点都在以E为圆心、半径为1的圆上，以E为圆心、1为半 径作圆，连接AE,过E作EN⊥AD交AD延长线于N,可知AM的最小值是AE-I,根据三角形内角和定 理及等角对签边得到，N,根据勾股定理求出小一一2·则AWsV2 2，根据勾股定理求出 AE=V3,即可求出AM的最小值。 【详解】解：，平行四边形ABCD, .AB=CD=2,AD=BC=22, ,点E是DC边的中点， ∴.DE=CE=1, ,以EF为折痕将△CEF折叠到△MEF, ∴.ME=CE=l, 即无论F如何运动，M点都在以E为圆心、半径为1的圆上， 如图，以E为圆心、1为半径作圆，连接AE,过E作EN⊥AD交AD延长线于N, 47179 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 子 可知AM的最小值是AE-1. .ADIl BC. ∴.∠EDN=∠C=45°， ,∠N=90°， ∴.∠EDN=∠DEN=45°， .'.DN EN, .DN2+EN2 DE2. ·DW=EW=2 (负值舍去)， .AN= 5v5 2 .AE ∴AM的最小值=AE-1=V3-1 83.己知：点O是正方形ABCD对角线的交点，P是平面内一点（不与点D重合），连接DP,将DP以D 为中心，逆时针旋转90度，得到线段DQ,连接A0,CP.E、F分别是AQ,CP的中点，连接EF, OF A D A M D ●O ●O B B 图1 图2 (1)在图1中补全图形： (2)直接写出图1中∠0FE=_°： EF (3)当点P在正方形外，0°<∠CDP<90时，判断OF的值是否发生变化，并对你的结论进行证明： (4)如图2，若AB=4,DP=3,点M是AD中点，点N是线段PQ上的一个动点，在点P绕点D旋转的过程 48/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 中，线段MW长度的最小值为_，最大值为_， 【答案】(1) F B 图1 (2)45 (3)不变：理由： 如图1，连接OE、CO、AP、AC,设AP交CQ于点R,CO交DP于点S, :四边形ABCD为正方形， 1 六AD=CDN∠ADC=90、A0= 由旋转的性质得：DP=DO、∠PDQ=90°， ∴.∠CDQ=∠PDQ+∠CDP=90°+∠CDP, :∠ADP=∠ADC+∠CDP=90°+∠CDP, ∴.∠ADP=∠CDQ 在△ADP和△CDQ中， AD=CD ∠ADP=∠CDQ DP=DO :.△ADP≌aCDQ(SAS), .AP=CQ、∠DPA=∠DQC 在△D2S中，∠PD0+∠DQC+∠DSQ=180°. 在△PSR中，∠SRP+∠DPA+∠PSR=180°， .'∠DSQ=∠PSR ∴.∠SRP=∠PDQ=90° ∴.AP⊥CQ, 点F是CP的中点，点O是AC的中点， ∴.OF是△ACP的中位线， 49/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴OF∥APN OF=AP, 2 :点E是AQ的中点，点O是AC的中点， .OE是△ACQ的中位线， 0E1C0、OE=)C9, 2 :AP⊥CQ、AP=C9, ∴.OE⊥OF、OE=OF, ∴.△OEF为等腰直角三角形， 在Rt△OEF中，由勾股定理得：EF=VOE2+OF2=VOF2+OF2=√2OF, =2 OF EF F的值不变： 354,5 2 【分析】(1)根据题意补全图形即可： (2)根据正方形的性质和旋转的性质证明△ADP≌aCDQ(SAS),进而得到AP=CQ、∠DPA=∠DOC, 根据三角形内角和定理得到∠SRP=∠PDO,再利用三角形中位线定理求出△OEF是等腰直角三角形，从 而求出∠OFE的度数： EF (3)同(2)证明AOEF是等腰直角三角形，根据勾股定理求出EF=√20F,从而求出OF的值： (4)过点D作DHLP№于点H,以点D为圆心，分别以DH、DP为半径作圆，则点N在图示的圆环部 分，根据旋转的性质得到△PDQ是等腰直角三角形，根据勾股定理求出P巴长，根据直角三角形斜边中线 的性质求出DH长，从而求出MN的最大值和最小值. 【详解】(1)略： (2)解：如图1，连接OE、CO、AP、AC,设AP交CQ于点R,CQ交DP于点S, :四边形ABCD为正方形， 1 AD=CDN∠ADC=90、AO=)AC, 由旋转的性质得：DP=DQ、∠PDQ=90° .∠CDQ=∠PDQ+∠CDP=90°+∠CDP 50179 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ADP=∠ADC+∠CDP=90°+∠CDP, ∴.∠ADP=∠CDQ 在△ADP和△CDO中， AD=CD ∠ADP=∠CDQ DP=DO .∴AADP≌aCDQ(SAS), ∴.AP=CQ、∠DPA=∠DQC, 在△DQS中，∠PDQ+∠DQC+∠DSQ=180°， 在aPSR中，∠SRP+∠DPA+∠PSR=180° :∠DSO=∠PSR ∠SRP=∠PD0=90°， AP⊥CQ, :点F是CP的中点，点O是AC的中点， ∴OF是△ACP的中位线， OF∥AP、 OF-24P :点E是A9的中点，点O是AC的中点， ∴.OE是△ACQ的中位线， OEC、o6-2c0, :AP⊥CQ、AP=CQ, .OE⊥OF、OE=OF, ∴.△OEF为等腰直角三角形， :∠0FE=∠0EF=45°： (3)略； (4)解：如图2，过点D作DH1P№于点H, 以点D为圆心，分别以DH、DP为半径作圆，则点N在图示的圆环部分， 51/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 四边形 是正方形， 图2 ABCD .AD=AB=4, 点M是AD的中点， D-40-4=2。 1 由旋转的性质得：DQ=DP=3、∠PD0=90°， .△PDO是等腰直角三角形， 由勾股定理得：P9=VDQ+DP2=V32+32=3√2， :DH⊥PQ, .点H为PQ的中点， 2， N的最小值为DH=DM22N的最大值为DM+DP-23= 2 【点睛】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰直角 三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握相关性质定理，数形结合的运用 是解题的关键 84.投掷铅球比赛中，裁判员一般按以下步骤测量并给出成绩： 1.将皮尺的零刻度线拉至铅球落点； 2.将皮尺的另一端拉长并经过投掷区的圆心： 3.将皮尺拉直，读取皮尺上落在投掷区抵趾板内沿处的数值，作为运动员的成绩， 乐乐投掷铅球后（如图1），裁判员将皮尺零刻度线拉至铅球落点P,皮尺的另一端拉长经过投掷区的圆 心O,P0交抵趾板内沿于点M,测量落点P到投掷区圆心点O的距离为127米，乐乐铅球的成绩是9.2 米. 52179 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P 一、一铅球落点 一铅球落点 投掷区 抵趾板 投掷区 抵趾板 图1 图2 (1)投掷区所在圆的半径长为_米： (2)如图2，如果测量时错选了抵趾板内沿的点N(点N与M不重合)，测量铅球落点P到点N的距离作 为成绩，那么这个成绩相较于实际成绩偏大还是偏小呢？请说明理由. 解：连接OW、NP :ON和OM都是投掷区所在圆的半径， 在△ONP中，·ON+NP> ∴.ON+NP>OM+MP 即这个成绩相较于实际成绩 (填“偏小”或“偏大”) 【答案】(13.5 (2)ON=OM;OP;两点之间，线段最短；NP>MP;偏大 【分析】(1)根据题意得，OP=12.7米，PM=9.2米，然后相减求解即可： (2)根据半径相等得到ON=OM,然后结合两点之间，线段最短列不等式求解即可. 【详解】(1)解：根据题意得，OP=12.7米，PM=9.2米 .0M=12.7-9.2=3.5(米) .投掷区所在圆的半径长为3.5米： (2)解：连接ON、NP」 :ON和OM都是投掷区所在圆的半径， ..ON =OM 在△ONP中，ON+P>OP(两点之间，线段最短)， .ON+NP>OM MP. ..NP>MP 即这个成绩相较于实际成绩偏大 53/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 提能力 1,如图，正方形ABCD是由四个边长为2的小正方形拼成的，连接AF和DF,分别以E,G为圆心，AE 的长为半径画弧，两弧交于正方形ABCD的中心O处，图中阴影部分的面积是() B A.4 B.6 C.2π D.4π 【答案】C 【分析】先根据角角边分别证明△AET三△FOT和△DGK三△FOK,从而证明S。MEr=SFOr和SDGx=SFOK, 通过等量转化即可推出阴影部分的面积就是半圆的面积，利用圆的面积公式即可求出阴影部分的面积. 【详解】解：设AF与OE的交点为T,设DF与OG的交点为K,如图所示， 由题意可知AE=OF=DG,∠AET=∠FOT=∠FOK=∠DGK=90°， 「∠ATE=∠FTO 在 和 中{∠AET=∠FOT. .Rt△AET RtAFTO AE-FO ∴△AET≌aFOT(AAS). S.AET=S.FOT, ∠GKD=∠OKF 在 和 中∠KGD=∠KOF, :Rt△DGK RtAFOK GD=OF .aDGK≌△FOK(AAS). S.DGK =S.FOK 54179 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根据SDGK=SFoK和S.AEr=SFor, 观察图可知，图中阴影部分的面积为S扇形0+S扇形DoG即是以AE为半径的半圆的面积. AE=2, r2 :半圆的面积为2 =2π， 2 ∴.阴影部分的面积为2π. 2.小明把一个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形（如图），这个新图形的周长与半圆周长相比( 半圆 新图形 A.半圆周长更长 B.新图形的周长更长 C.一样长 D.无法比较 【答案】C 【详解】解：通过观察图形可知，把这个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形，这个新图形的两条边之 和等于半圆的弧，另外两条边之和等于半圆的直径，所以这个新图形的周长等于半圆的周长 3.如图，已知AB是⊙O的直径，AD为⊙O的弦，COI‖AD,连接AC,CD.分别以点A,C为圆心， 以大于2AC的长为半径作弧，并使两弧交于一点G:直线OG交AD于点E,连接CE.若∠BOC=56, 则∠CAE为() A.56 B.40° C.38 D.28° 【答案】D 【分析】由等腰三角形的性质得∠OCA=∠OAC,由平行线的性质得∠BOC=∠OAD,∠OCA=CAD,则 ∠OAC=∠CAD,即可求解， 【详解】解：：OC=OA, .∠OCA=∠OAC 55/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :CO‖AD :.∠BOC=∠OAD=56°，∠OCA=∠CAD, 201C=∠CE=0D=28 4.如图，已知AB是⊙0的直径，AD为⊙0的弦，CO‖AD,连接AC,CD.分别以点A,C为圆心， 以大于24C的长为半径作弧，并使两弧交于一点G·直线OG交AD于点E,连接CE·若∠BOC=50, 则∠CAE的度数为() D B 1G A,50° B.40° C.25° D.20° 【答案】C 【分析】由等边对等角得∠OCA=∠OAC,由平行线的性质得∠BOC=∠OAE=50°，∠OCA=∠CAE,即 可求解。 【详解】解：，OC=OA, .∠OCA=∠OAC. .CO‖AD ∴.∠BOC=∠OAE=50°，∠OCA=∠CAE ,.∠OAC=∠CAE=25° 5.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(-1,0)、B(0,3)和C(-2,1).将△ABC绕点B逆时针旋转 90°后得到△ABC',其中点A的对应点是A',点C的对应点是C'.下列说法中错误的是() -3-2-10 123衣 -1 A.△ABC是直角三角形 B.点A的坐标是(2,3) C.点C与点C关于y轴对称 56/79 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.点A在以点B为圆心，V10为半径的圆上 【答案】B 【分析】根据勾股定理逆定理可判断A选项：过点A作AD上y轴于点D,根据旋转的性质可得 AB=AB=0,BC'=BC,∠ABA=90°，∠C'=∠C=90°，可判断D:再证明△AOB≌aBDA'(AAS),可 得点A'(3,2),可判断B选项：同理点C(2,),可判断C选项. 【详解】解：：点A(-1,0)、B(0,3)和C(-2,1) ∴AB=VP+3=V10,AC=-2+)+1P=V2,BC=V22+(1-3=22,0A=1,0B=3, .'.AC2+BC2=AB2, .△ABC是直角三角形，且∠C=90°，故A选项正确，不符合题意： 如图，过点A作A'D1y轴于点D, V B -3-2-10 123 由旋转的性质得：AB=AB=V10,BC'=BC,∠ABA=90°，∠C'=∠C=90°，故D选项正确，不符合题 意： ∴.∠ABO+∠A'BO=90°=∠BAD+∠ABO, ∴，∠ABO=∠BAD .∠AOB=∠A'DB=90°， .△AOB≌aBDA'(AAS). .A'D=OB=3,BD=OA=1. OD=2. 、点4(3,2)，故B选项错误，符合题意： 同理点C(2,1), ∴点C与点C关于y轴对称，故C选项正确，不符合题意. 6,如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8,BC=6,M是平面内的一动点，∠BAM+∠ABM=90°， 连接CM,N是AC的中点，连接MN,则下列结论错误的是() 57179 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.CM的最小值是2V13-4 B.CM的最大值是2V13+4 C.MN的最小值是1 D.点N到AM的最大距离为25 【答案】D 【分析】先判断点M在以AB为直径的圆上运动，取AB的中点O,连接CO,ON,则当点M在OC上时， CM最小；当点M在CO的延长线上时，CM最大，即可判断选项A、B;根据三角形中位线定理求出 ON=1,则MN≥OM-ON=1,当MN的延长线经过点O时，MN最小，即可判断选项C;过点N作 ND⊥AM于点D,根据垂线段最短得出ND≤NA,即可判断选项D. 【详解】解：∠ABM+∠BAM=90°， .∠AMB=90°， ∴.点M在以AB为直径的圆上运动. 取AB的中点O,连接CO,ON.如图1，当点M在OC上时，CM最小. 4 图1 AB=8 BC=6 ∴.OB=4,AC=VAB2+BC2=V82+62=10 :.0C=VOB2+BC2=V42+62=213, .CM的最小值为OC-OM=2W13-4,故A正确： 如图2，当点M在C0的延长线上时，CM最大，CM的最大值为OC+OM=2V3+4,故B正确： 58/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 0 、 分别是、 的中点， B 图2 .O N AB AC ..ON= 2BC=3, .MN≥OM-ON=1, 如图3，当O、N、M三点共线，即MN的延长线经过点O时，MN最小，MN的最小值为 OM-ON=4-3=1,故C正确： M B 图3 如图4，过点N作ND⊥MAM于点D'ND≤NM:即ND的最大值为AN=2AC=5,故D错误， A D B 图4 故选项D符合题意。 7.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是DC、AD边上的动点，且AE⊥BF,垂足为P,连接CP 若正方形的边长为1.则线段CP的最小值为() 59179 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A. B.② c.5-1 D. 5 2 2 4 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，首先根据∠APB得到点P的轨迹，从而得到 CP最小时点P的位置，再根据勾股定理求解即可. 【详解】解：：AE⊥BF交于点P,且∠APB=90°，则点P的轨迹为以AB为直径的半圆上，连接 AC、BD,交于点P',此时，CP的值最小， D B ..BC=AB=1, .AC=√AB2+BC2=V2, cwe 2· 当C、P、A三点共线时，CP最小， CP的最小值=Cp=2 2 故选：B 8.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=4,点E是CD边上一点，连接AE,将△ADE沿直线AE折叠得 到△AD'E,连接DD'交AE于点F,连接CF,则线段CF的最小值为() 60/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2V10-2 B.2V10+2 C.2V5-2 D.2V5+2 【答案】A 【分析】题目主要考查矩形的性质，折叠的性质，圆周角定理，勾股定理解三角形等，理解题意，作出辅 助线是解题关键. 根据题意得出点F在以AD为直径的半圆O上运动，确定当点QCF在一条直线上时，CF的长度最小，即 CF=OC-OF,然后利用勾股定理结合图形求解即可， 【详解】解：如图所示： ,△AD'E由△ADE沿AE折叠得到， A B .·.AE⊥DD .∠AFD=90°， ∴.点F在以AD为直径的半圆O上运动， ·当点QCF在一条直线上时，CF的长度最小，即CF=OC-OF, :矩形ABCD,AD=4,AB=CD=6, ..OD=OF=2. ∴在Rt△0CD中，0C=VOD2+CD2=V22+62=2√10， .CF=0C-0F=2W10-2. 故选：A, 9.如图，从原点A开始，以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC=2为直径画半圆，记为第2个 半圆；以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆：…，按此规 61/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 律，继续画半圆，则第5个半圆的面积为一，第个半圆的面积为】 LCA○B D -4-3-2- 0 2 45 【答案】 32元 22m-5π 【分析】根据题意得到第n个半圆的直径为2”，再根据圆的面积公式进行求解即可. 【详解】解：由题意，第1个半圆的直径为2°=1， 第2个半圆的直径为2=2， 第3个半圆的直径为22=4， 以此类推， 第5个半圆的直径为24=16， 第n个半圆的直径为2"， 16 + 1、2-1) ∴.第5个半圆的面积为 π=32π，第n个半圆的面积为22 元=22n-5元 10.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,以BC为斜边在矩形所在平面作RtABEC,∠BEC=90°， 点F为CD的中点，则EF的最小值为 【答案】1 【分析】取BC的中点G,连接BD,FG,EG,先求出FG,EG的长，再得出点E的运动轨迹，利用圆 的性质求最值即可。 62/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：如图，取BC的中点G,连接BD,FG,EG, A ,在矩形ABCD中，AB=6,AD=8, .BC=AD=8,∠A=90°， ∴.在Rt△ABD中，BD=VAB2+AD2=10, :点G为BC的中点，点F为CD的中点， rG-80=5, :在RtABEC中，∠BEC=9O°，点G为斜边BC的中点， 六EG=BC=4, .∴点E在以点G为圆心、GE长为半径的圆上， ∴当点E与OG和线段GF的交点重合时，EF的值最小，最小值为GF-GE=1, 【点睛】本题的难点在于正确找出点E的运动轨迹。 11.如图，点A,B的坐标分别为A(8,0),B(0,8),C为⊙B上一点，BC=4,M为线段AC的中点，连 接OM,则OM的最小值为 B 【答案】4W2-2 【分析】先证点C在半径为4的⊙B上，可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，根据三角形的中位线 定理可得结论 【详解】解：：A(8,0),B(0,8). .OA=OB=8 ,点C为坐标平面内一点，BC=4, 63/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C在⊙B上，且半径为4， 如图，在x轴上取OD=OA=8,连接CD, A .M为线段AC的中点，OD=OA, ∴.OM是△ACD的中位线， OM-CD 当OM最小时，即CD最小，而D,B,C三点共线时， 当C在线段DB上时，OM最小， OB=OD=8,∠BOD=90°， .BD =20B=82. .CD=BD-4=8V2-4, 0M=CD=45-2, 即OM的最小值为4V2-2. 拓展培优题 1.实践与探究 (1)操作一：如图①，将矩形ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，折痕为EF.展平后，将 矩形ABCD沿过点B的直线折叠，折痕为BG,点G在AD边上，使点A的对应点A落在EF上，连接A'C, 若点G、A'、C共线，求证：△BA'C≌aCDG: (2)①操作二：如图②，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,若矩形ABCD沿过点B的直线折叠，点G在 AD边上，折痕为BG,点A的对应点A'落在矩形ABCD的内部. 64/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B Ar B G COD' D 图① 图② 图③ 连接A'D,AD的最小值为 ②如图③，将矩形ABCD再沿过点B的直线折叠，使点C在直线AB边上.折痕为BH,点C的对应点为 点C,将矩形沿过点H的直线继续折叠，点R在AD上，折痕为HR,点D的对应点为点D'.我们发现， 点R的位置不同，点D'的位置也不同.当点D'恰好与点C重合时，线段DR的长为 【答案】(1)证明：：四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠D=90°，CD=AB,AD‖BC, ∴.∠DGC=∠BCG 由折叠可知，∠BA'G=∠BAG=90°，BA'=BA, .BA'=CD,∠BA'C=180°-∠BA'G=90° ∴.∠BA'C=∠D 在△BA'C和△CDG中， [∠BA'C=∠D ∠BCA'=∠DGC, BA'=CD .ABA'C≌aCDG(AAS)】 9 2①4：②8 【分析】(1)四边形ABCD是矩形，可得∠A=∠D=90°，∠DGC=∠BCG,由折叠可知， ∠BA'G=∠BAG=90°，BA=BA,即可证明结论： (2)①由折叠可知，BA=BA=6,可得点A在以B为圆心，BA=6为半径的圆上运动，可得当B,A,D 三点共线时，A'D最小，即可求解： ②由折叠可得，DH=CH=CH,BC'=BC=8,DR=CR,设DR=CR=x,则AR=8-x, BR=BC+CR=8+x,在Rt△BAR中，运用勾股定理列出方程，即可求解. 【详解】(1)略 (2)解：①由折叠可知，BA'=BA=6 ∴点A在以B为圆心，BA=6为半径的圆上运动， 65/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，连接BD,交OB于A”, B D C ∴，当A'运动到A"时，AD最小， ,四边形ABCD是矩形， ∴.∠BAD=90°， :在RteBAD中，BD=√AB2+BC2=V6+82=10, .A"D=BD-BA”=10-6=4, ∴.AD的最小值为4. ②由折叠可得，DH=C'H=CH,BC'=BC=8,DR=CR, 设DR=CR=x,则AR=8-x,BR=BC'+CR=8+x, 由①可知，∠BAR=90°， ,在Rt△BAR中，AB2+AR2=BR2, .62+(8-x2=(8+x2, 9 9 解得x=8,即DR=8 8 2.根据题目条件，解答下列问题 D A B B 图1 图2 图3 (1)如图1，在△ABC中，C是⊙0上任意一点，若⊙0的半径为2，点O到AB的距离为5，则C到直线AB 66/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 距离的最小值为. (2如图2，在矩形ABCD中，BC=12,AB=4,P为AD上一点，∠BPC=90°，求AP长： (3)如图3，某城市有一块四边形空地ABCD,经测量，∠D=∠C=90°，AD=600米，BC=300米， AB=500米.城市规划部门准备把它建造成一个城市花园，AB为开放型入口，为了保证安全，设计师想 在DC边上安装一个摄像头P,摄像头的观测角度为45°（即∠APB=45°），同时，计划在花园内划定景 观用地△APQ，其中，E是步道AD上一点，F是步道PD上一点，连接EF,且EF=2O0米，Q是线段 EF的中点，连接AQ、P№，为了控制建设成本，请帮助规划部门求出景观用地△AP№面积的最小值. 【答案】(1)3 (2)AP=6-2W5或6+25 3)△4Pg的面积最小值为(90000-15000W5(平方米) 【分析】 (I)过点O作OD1AB于点D.由题意知，OD=5,当OD与OO的交点为点C,即O,C,D三点 共线时，C到直线AB距离的最小，结合已知条件“⊙0的半径为2”，求得C到直线AB距离的最小值： (2)由∠BPC=90°可知，点P为以BC为直径的圆与线段AD的交点.作出该圆，则符合题意的点P有 两个，分别为B,B,连接PE，BE,过点B作PF1BC于点F,过点B作BG1BC于点G先在 Rt△PFE中，运用勾股定理求出FE的长度，从而求得A的长：再证Rt△RFE≌RtAPGE,求得 FE=GE=25,再求出AB的长： (3)过点B作BG⊥AD于点G运用勾股定理，求出CD.以AB为斜边，作Rt△AIB,以I为圆心， AI为半径作圆，该圆与CD交于点P,则∠APB=45°，取AB的中点H,连接H,IP,过点I作 LK∥AD交CD于点L,交AB于点K,LK交BG于点R.运用相似三角形的判定与性质，结合勾股定理， 求出AP,点Q在以D为圆心，1O0为半径的圆上运动.过点D作DM⊥AP于点M.当D,O,M三点 共线时， O到AP的距离的最小，最小值为QM的长度，即此时△AP№的面积最小.运用等面积法求出DM,从 而求得QM,最后求出△APQ的面积最小值. 【详解】(1)解：如图1，过点O作OD⊥AB于点D 67179 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 点O到AB的距离为5，OD⊥AB, .OD=5 由垂线段最短可知：OD>OC+C到直线AB的距离， 当OD与⊙0的交点为点C,即O,C,D三点共线时， C到直线AB的距离最小，最小值为OD-2=5-2=3, 即C到直线AB距离的最小值为3. (2)解：：∠BPC=90°，P为AD上一点， ∴，点P为以BC为直径的圆与线段AD的交点. 如图2，取BC的中点E,以点E为圆心，BE为半径作圆，该圆交线段AD于两点，分别记这两点为B, B,则∠BPC=∠BPC=90°，即符合题意的点P有两个，分别为R,B,连接PE，BE,过点P作 PF⊥BC于点E,过点B作RG LBC于点G. P 2““、、 P D E G 图2 ,矩形ABCD ∴.∠A=LABF=90°， RF⊥BC, .∠PFB=90° “四边形APFB是矩形， ..AP=FB,AB=PF=4, :BC=12,E为BC的中点， 68/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE=EC=BC=6, :以点E为圆心，BE为半径作圆，该圆交线段AD于点P, .'.BE=EP=6 :PF⊥BC, .∠RFE=90° FE=VEP2-FR2=V6-4=25, .BF=BE-FE=6-25, A=BF=6-2N5: ,矩形ABCD, .∠D=∠DCG=90°， PG⊥BC, ∠BGC=90°， “四边形DBGC是矩形， ..CD=PG=4, ,矩形ABCD, ..CD=AB=4, :AB=PF, ..PG=CD=AB=PF=4, 即BG=PF, 由题意可知：PE=RE=)BC, 又：PF⊥BC,BG⊥BC, ·∠PFE=∠PGE=90°， 在RtAPFE与RtAPGE中， 「EF=PG BE=BE' ·.Rt△PFE≌RtAPGE(HL), ..FE=GE=25, 69179 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..FG=FE+GE=45 :矩形ABCD, .AD/IBC, .∠PFE+∠FRB=180°， ,∠PFE=90° ·∠FPB=∠PFE=∠PGE=90°， ∴四边形FGP是矩形， .FG=PE=4v5」 .A=AR+PE=6-2N5+4V5=6+2V5 综上所述，AP=6-2V5或6+25. (3)解：如图3，过点B作BG⊥AD于点G D E G 图3 :BG⊥AD, .∠BGD=∠BGA=90°， .∠D=∠C=90°， .∠D=∠C=∠BGD=90°， .四边形DGBC是矩形， .BC=DG=300(米)， :AD=600(米)， 、.AG=AD-DG=600-300=300(米)， :AB=500(米)，∠BGA=90°， .BG=VAB2-AG2=V5002-3002=400(米)， :四边形DGBC是矩形， :.DC=BG=400(米). 70179 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠APB=45°，点P在DC上，AB=500(米)， ∴点P在圆上 如图4，以AB为斜边，作Rt△AIB,以I为圆心，AI为半径作圆，该圆与CD交于点P,则∠APB=45°， 取AB的中点H,连接H,P,过点I作LK∥AD交CD于点L,交AB于点K,LK交BG于点R -、 P( G H A 图4 :AB=500(米)，点H为AB的中点， 1 ·4H=BH=2AB=250(米)， :Rt△AB为等腰直角三角形，点H为斜边AB的中点， .∠IAB=45°，IH⊥AB, 、.∠AH=∠AB=45°， ∴.H=AH=250(米). :LKI∥AD .∠GAB=∠IKH, :BG⊥AD,IH⊥AB, .LBGA=∠1HK=90°， .△BGAAIHK, BG AG AB HKHK’ 400300500 250KH IK· 解得：KH=3 2(米)，K=625 2 (米)， BH=250(米)， ·BK=KH+BH=37 +250=875 (米). ...LKIAD 71179 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠GAB=∠RKB ,∠GBA=∠RBK, .△3GAABRK, .BGAG AB ·BRRK BK' 400_300_500 ·BRRK BK' 即RK=2K=x 3875525 5 X。=(米)，BR=BK=×2=350(米)， 5 52 ·R=IK-RK=625525 22 =50(米)· :LK∥AD .∠D+∠DLR=180°， :∠D=90°， .∠DLR=∠D=90°， ,BG⊥DA, .∠DGR=90°， ·四边形DGRL是矩形， RL=DG=300(米)， .LI=LR-IR=300-50=250(米). :Rt△AIB为等腰直角三角形，AB为斜边，AB=5O0(米)， =如454AB-2×50=250wN5C米). :∠PLI=180°-∠DLR=90°，PI=IB=250W2(米)， ：PL=VP72-Z7=2502-2502=250(米). ,GR=GB-BR=400-350=50(米)， :矩形DGRL, .DL=GR=50(米)， :DP=DL+LP=50+250=300(米)， 在RtAADP中， :∠D=90°，DP=300(米)，DA=600(米)， :.AP=VDP2+AD2=V3002+6002=3005(米). 72179 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠D=90°，EF=200(米)，Q是线段EF的中点， ÷0-F=1m (米)， ∴，点Q在以D为圆心，100为半径的圆上运动. 如图5，过点D作DM⊥AP于点M, D L F 、D E B H 图5 当D,Q,M三点共线时， Q到AP的距离的最小，最小值为M的长度，即此时△AP的面积最小. 50-xDPxAD-xAPxDM 1 2 ∴.DP×AD=AP×DM, 即300×600=300V5×DM, .DM=120W5(米)， :.QM=DM-D0=(120W5-100)(米)， .S.4OP= ×4PxQM-x30w5×2w5-10)-(00-15005)(平方米). 即△4PQ的面积最小值为(90000-15000W5)(平方米). 3.如图，在矩形ABCD中，AB=12,AD=8,点E,点F分别为AB,AD边上的动点，且满足 △FEBP△FGC. D D G E B B (1连接EG,求证：△FEGAFBC； 73179 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S.FEG.=1 (2)若AE=2BE’在点F的运动过程中满足S,Fc2,求证：此时点r为AD边的中点： (3)如图2，若AE=BE,连接BG,求BG的最小值. 【答案】(1)证明：：△FEB∽aFGC, FB FE FCFG'∠EFB=LGFC :.∠EFB+∠BFG=∠GFC+∠BFG,即∠EFG=LBFC, ∴.AFEGAFBC: (2)证明：设AF=x, .AE =2BE,AB=12, AE=8, 在RtAEF中，EF2=x2+82, 在Rt△ABF中，BF2=x2+12, ”FEGAFBC'SFc2' (EF21 8F=2' x2+82 1 x2+122=2,即2(x+8)=x2+122, 解得=4，为=-4（舍去）， 4r=4号4D, .点F为AD边的中点： (3)BG的最小值为6V2-2. FB FE 【分析】(1)由AFEB∽aFGC,得到FC=FG:∠EFB=∠GFC,推出∠EFG=∠BFC,即可证明 △FEG∽aFBC: (2)设AF=x,利用勾股定理求得EF2=x2+8,BF2=x2+122,根据相似三角形的性质得到 EF 1 〔)-分：再刻式计算可得到4F=4=4D,即可证明点p为4D边的中点： AD (3)在矩形内部找一点O,过点E作AB的垂线EO,使EO=6,连接OB,OG,如图，通过计算得到 点G在以点O为圆心，2为半径的圆上运动，当点G在线段BO上时，BG取得最小值，据此计算即可得到 BG的最小值为6W2-2. 74179 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：AE=BE,AB=12, .AE=BE=AB=6. 在矩形内部找一点O,过点E作AB的垂线EO,使EO=6,连接OB,OG,如图， B E 设AF=x,同理，EF=X2+6,BF=V2+12, 矩形ABCD, ∴.AD∥BC, .∠AFB=∠FBC, .△FEGAFBC, EG EF ∴BCBF,∠FEG=∠FBC, ..EG= 8EF 8x2+62 BF x2+122 ∠AFB-∠FEG1 ,∠AFB=∠AFE+∠EFB, ∴.∠AFB-∠AFE=∠EFB, ..OEll AF, ∴.∠AFE=∠OEF, .∠OEG=∠EFB, 作EN⊥BF于点N, 1 CSBE)BF×EN=BEx AF .EN = 6x Vx2+122, 2 ∴.FN=VEF2-EN2 2+62) 6x x2+72 Vx2+122 Vx2+144 作OM⊥EG交EG延长线于点M, 75179 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠OEM=LEFN,∠OME=∠ENF=90°， ∴.AOEMAEFN, OM EM OE 6 EN FN EFEF .EN=- 6x x2+122, ..OM=EN.6=6x 6 36x EFP+12‘F+6+122×+6, EM=x+72 6 6x2+432 Vx2+144Vx2+62Vx2+144Vx2+62 :EG=8V2+6 Vx2+122, ∴EG= 8(x2+62) 8x2+288 x2+122Vx+6Vx2+122.√x2+6 .MG=EM-EG 6x2+432 8x2+288 2x2-144 x2+144x+6x+122.√x2+6Vx2+122V0+62 .0G2=0M2+GM2 36x 2x2-144 4(x4+180x2+5184) =4, x4+180x2+5184 .OG=2(负值已舍)， ∴点G到定点O的距离始终为2，即点G在以点O为圆心，2为半径的圆上运动， :.当点G在线段BO上时，BG取得最小值， .BE=OE=6, ∴OB=62, 六BG的最小值为6W2-2. 4.【背景材料】 随着我国经济迅猛发展，人民生活水平持续提升，民用汽车数量也在不断攀升，汽车数量的激增，带来了 对停车位的极大需求.在设计停车位时，除了要研究停车位的情况，还要研究汽车进出停车位的通道宽度 因此，需要知道汽车如何进出停车位，即汽车转弯的运动轨迹. 76179 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图1，车辆固定方向倒车入库时，行驶轨迹可近似视为以点O为圆心、R为半径的圆弧，符合圆的相关 L 几何性质，某车型前轮最大转向角为43，车辆最小转向半径满足公式R= sin ,(其中L为车辆轴距2.4m 即车辆前后车轮轴心的水平间距，为车辆固定几何参数；日为前轮最大转向角)： 如图2，建立平面直角坐标系，将停车位抽象为矩形EFGH,各顶点坐标分别为：E(0,O),F(4,0), G(0,3),H(4,3)」 根据车辆转向几何特征，该车倒车圆弧轨迹的圆心O在x轴正半轴上，倒车行驶轨迹是以点O为圆心，R 为半径的圆弧.（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58 计算结果均保留两位小数.) 2.4m 图1 图2 【问题解决】 (1)计算该车型前轮打满方向时的最小转向半径R (2)车辆车身存在一定宽度，实际倒车入库需结合车身尺寸判断安全间距，避免车身与车位边界刷蹭.经测 算，该车车身有效横向宽度为1.8m,可将车身简化为随轨迹运动的整体安全区域.请结合几何知识推理判 断：车辆沿该圆弧轨迹完成右侧倒车入库时，车身是否会与车位左侧边EG发生刷蹭，并说明理由 (3)根据驾考安全规范，倒车过程中，车辆任意行驶点位与原点的连线和x轴正半轴的锐角夹角不得小于 30°，防止侧边压线.设车辆倒车轨迹上任意一点为P(x,y) ①结合三角函数知识，推导出车辆安全入库时，点位纵坐标y与横坐标x的数量关系： ②判断关键点位N(3.0,1.8)是否满足安全入库条件，并从几何角度写出一条精准的入库优化方案. 【答案】(1)该车型的最小转向半径R约为3.53m (2) 解：车身不会发生刷蹭，理由如下： 车辆以半径R≈3.53m(OA<R)的圆弧轨迹行驶，车辆最内侧边缘的运动轨迹半径为： r=3.53-1.8=1.73m(0D>r) 要保证车辆行驶区域与车位侧边无交集，车身不会发生刷蹭， 则OF<r,OE>R, 77179 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x-4<1.73 设0(x,0) 则 x>3.53, 解得3.53<x<5.73, 综上，可取3.53<x<5.73中的x值，使得车辆行驶区域与车位左侧边无交集，车身不会发生剐蹭. 上(x0:②该点位清安全入年系件：优化方案示例：控车辆低速平稳驶，保 转角稳定，始终维持安全夹角范围，规避车身压线、刷蹭风险 【分析】(1)直接把数据代入题干中的公式求解即可： (2)先求出车辆最内侧边缘的运动轨迹半径，然后根据车辆行驶区域与车位侧边无交集，车身不会发生 刷蹭，列不等式求解即可： (3)①设连线PE与x轴正半轴的锐角为a,由题意得a≥30°，根据锐角三角函数的定义可得 tana='≥tan30°= 3，即可求解： ②将点H6013)代入ma=兰得mr=06> 3，可判断答案，即可写出优化方案。 【详解】(1)解：将轴距L=2.4m’in43°≈0.68代入公式R-乙 sin' 得R-L≈2.4 sin0≈0.68 3.53(m), 答：该车型的最小转向半径R约为3.53m. (2)略 (3)解：①设连线EP与x轴正半轴的锐角为a,由题意得α≥30°， 过P作P吧⊥x轴于点Q, :P(x,y), ..Po=y,EO=x, tana=上 Y≥tan30=5 .纵坐标v与横坐标x的数量关系是y之5 x(x>0). 78179 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 ②将点H(3.0,1.8)代入tana= ￥得ma=8-060. 3.0 0.603 3 ∴该点位满足安全入库条件： 优化方案示例：控制车辆低速平稳行驶，保持方向盘转角稳定，始终维持安全夹角范围，规避车身压线、 刷蹭风险. 79179