3.2 圆的对称性（分层作业）数学北师大版九年级下册

3.2 圆的对称性 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示，在中，若C是的中点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东济南·月考）如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C．到、的距离相等 D． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，已知，则与的关系是（　　）    A． B． C． D．不确定 4．（2023·江苏扬州·三模）下列各项命题中，属于真命题的是（   ） A．相等的弦，所对的圆周角相等 B．同圆或等圆中，较长的弧，所对的弦也长 C．相等的圆心角所对的弦相等 D．相等的弧，所对的弦相等 5．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，弦平行于直径，连接，，则弧所对的圆心角的度数为（　　） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．等弧所对的弦相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．相等的圆心角所对的弦相等 7．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，是的直径，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在⊙O中，是直径，点C，D，E在圆上，，，，．以下结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图，半径为10的⊙中，弦，所对的圆心角分别是，．已知，，则点到的距离等于（   ） A．8 B．6 C． D． 10．（2021·陕西西安·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且点C为弧BAD的中点，连接CD、CB、OD，CD与AB交于点F．若∠AOD＝100°，则∠ABC的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 11．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，四边形内接于，E为延长线上一点，连接，若，且，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·广东阳江·月考）如图，A、B、C是上的三点，点B是劣弧的中点，，则的度数等于 ． 13．（22-23九年级上·江苏镇江·期末）如图，点A，B，C都在上，B是的中点，，则等于 ． 14．（2024·湖南长沙·模拟预测）“天下名瓷出醴陵”，湖南省醴陵是釉下五彩瓷的原产地，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地．如图是醴陵生产的某种瓷碗的正面的形状示意图．是的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接．已知，碗深，则的半径为 ． 15．（2025·广西·一模）图1中建筑的上半部分是由圆弧形成的尖顶结构，图2为其示意图．与关于直线成轴对称，长，长，且，所在圆的圆心，落在线段上，则长为 ． 16．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，以为直径的分别交于点E，F．求证：． 17．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）已知：如图，、、、是上的点，，． (1)求证：； (2)求的长． 1．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，点是半圆上一个三等分点，点是弧的中点，点是直径上一动点，的半径为1，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．无法计算 2．（2025·山东临沂·二模）如图，已知，求作，使． 作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径作，分别交，于点E，F，连接； （2）以F为圆心，的长为半径作弧，交于点C，连接，； （3）作射线，即为所求作的角．下列结论正确的个数是（） ①作图构造的依据是两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等； ②；③；④是等腰三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025·江苏扬州·一模）如图，在中，，以为直径的圆O分别与相交于点E、F，若，则的值为（  ） A．1 B． C． D． 4．（24-25九年级下·重庆江北·阶段练习）如图，平行四边形，，，以点为圆心，为半径画弧，分别交、于，，连接，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（2021·湖北鄂州·中考真题）如图，中，，，．点为内一点，且满足 ．当的长度最小时，的面积是（   ） A．3 B． C． D． 6.（2024·江苏南京·二模）如图，、是的两条弦，与相交于点E,． (1)求证：； (2)连接，作直线，求证：． 7．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图，已知是的直径，弦与弦交于点E，且，垂足为点F．若点C是的中点． (1)求的度数； (2)若，求的值； 1．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图所示，在扇形中，，半径，点F在上，且．点C、D分别在线段、上，，E为的中点，连接．在滑动过程中（长度始终保持不变），当取最小值时，的长为 ． 2．（19-20九年级上·浙江温州·月考）如图，正方形ABCD中，AB=5cm，以B为圆心，2cm长为半径画⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP，并将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′，连接BP′．在点P移动的过程中，BP′长度的最小值为 cm． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点（在的左侧），点关于抛物线对称轴的对称点为点，动点在轴上，点在以点为圆心，半径为的圆上，则的最小值是 ． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 圆的对称性 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示，在中，若C是的中点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系，等腰三角形的性质的应用，解决本题的关键是重点掌握这三个量之间的关系． 根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出,根据点C是弧的中点，得到． 【详解】解： 点是弧的中点， 故选：C． 2．（24-25九年级上·山东济南·月考）如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C．到、的距离相等 D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．根据圆心角、弧、弦的关系判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴O到、的距离相等， 所以A、C、D选项正确， 不能证明是等边三角形，不一定成立， 故选：B． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，已知，则与的关系是（　　）    A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，由，得到，于是推出，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论． 【详解】解： ， ， ， ． 故选：A． 4．（2023·江苏扬州·三模）下列各项命题中，属于真命题的是（   ） A．相等的弦，所对的圆周角相等 B．同圆或等圆中，较长的弧，所对的弦也长 C．相等的圆心角所对的弦相等 D．相等的弧，所对的弦相等 【答案】D 【分析】本题考查了弦、弧、圆周角、圆心角的关系，理解 “在同圆或等圆中，弦、弧、圆周角、圆心角一组量相等，其它都相等”是解题的关键． 【详解】解：A.同圆或等圆中相等的弦，所对的圆周角相等；结论错误，故不符合题意； B.同圆或等圆中，若弧为优弧，则较长的弧，所对的弦越短；不符合题意，故结论错误； C.同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；结论错误，故不符合题意； D.相等的弧，意味着在同圆或等圆中，那么所对的弦相等；结论正确，故符合题意； 故选：D． 5．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，弦平行于直径，连接，，则弧所对的圆心角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的相关性质，平行线的基本性质，根据平行得出（内错角相等）即可求出答案． 【详解】连接， ∵弦平行于直径， ∴， 又∵，则， ∴， ∵ ∴． 故选：A． 6．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．等弧所对的弦相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．相等的圆心角所对的弦相等 【答案】A 【分析】根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等,即可解答． 【详解】解：A、等弧所对的弦一定相等；故原说法正确； B、在同圆和等圆中，相等的弦所对的弧相等，故原说法错误； C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误； D、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．故原说法错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．此题比较简单，注意掌握定理的条件（在同圆或等圆中）是解此题的关键． 7．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，是的直径，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧、圆心角的关系，先求出，然后根据弧、圆心角的关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 8．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在⊙O中，是直径，点C，D，E在圆上，，，，．以下结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】连接、，由，得到，所以①错误；由是直径，得到，利用勾股定理求出的长，进而可判断，，故②③正确，由得到，所以④正确． 【详解】解：连接、，如图， ，， ，即， 而， ， ，所以①错误； ∵是直径， ， ， ， ，所以②正确； ，所以③正确； ， ，所以④正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查同弧或等弧所对的弦相等，解题的关键是弧长与弦长的相互转化． 9．（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图，半径为10的⊙中，弦，所对的圆心角分别是，．已知，，则点到的距离等于（   ） A．8 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的相等关系，垂径定理和三角形中位线性质．作于，作直径，连接，先利用等角的补角相等得到，再利用圆心角、弧、弦的关系得到，由，根据垂径定理得，可证为的中位线，然后根据三角形中位线性质得到． 【详解】解：作于，作直径，连接，如图， ，， ， ， ， ， ， 又， 为的中位线， ， 故选B． 10．（2021·陕西西安·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且点C为弧BAD的中点，连接CD、CB、OD，CD与AB交于点F．若∠AOD＝100°，则∠ABC的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】B 【分析】先根据邻补角的性质求出∠BOD，再根据点C为弧BAD的中点，求出∠BOC的度数，再根据等腰三角形的性质即可求出∠ABC的度数． 【详解】∵∠AOD＝100°， ∴∠BOD=180°-∠AOD＝80°， ∵点C为弧BAD的中点 ∴∠BOC=∠DOC=（360°-80°）=140° ∵OC=OB ∴∠ABC=∠BCO=（180°-140°）=20° 故选B． 【点睛】此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知圆心角、弧的关系． 11．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，四边形内接于，E为延长线上一点，连接，若，且，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，连接，由， 证明四边形是平行四边形，由可证明四边形是菱形，得再证明是等边三角形即可得出结论． 【详解】连接，如图， ∵， ， ∴四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是菱形， ∴ ， ∵ ∴，即是等边三角形， ∴， ∴, 故选：D 12．（24-25九年级上·广东阳江·月考）如图，A、B、C是上的三点，点B是劣弧的中点，，则的度数等于 ． 【答案】/72度 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键。 由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再由圆心角、弧、弦的关系求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵点B是劣弧的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 13．（22-23九年级上·江苏镇江·期末）如图，点A，B，C都在上，B是的中点，，则等于 ． 【答案】/80度 【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，然后根据圆心角、弧的关系即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵B是的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆心角、弧的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 14．（2024·湖南长沙·模拟预测）“天下名瓷出醴陵”，湖南省醴陵是釉下五彩瓷的原产地，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地．如图是醴陵生产的某种瓷碗的正面的形状示意图．是的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接．已知，碗深，则的半径为 ． 【答案】13 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，三线合一，勾股定理，根据D是的中点，得到，三线合一，得到，，设半径为，在中，利用勾股定理，进行求解即可． 【详解】解：∵是的一部分，D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设的半径为，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 故答案为：13． 15．（2025·广西·一模）图1中建筑的上半部分是由圆弧形成的尖顶结构，图2为其示意图．与关于直线成轴对称，长，长，且，所在圆的圆心，落在线段上，则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质；首先根据对称与等腰三角形的三线合一得到，再由勾股定理求得半径的长，进而得到，解题即可． 【详解】解 与关于直线对称， ，且， 与的半径相等， 设半径为， ， 由勾股定理可知，即， 解得， ， ， 故答案为：． 16．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，以为直径的分别交于点E，F．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”证明即可． 【详解】证明：∵， ∴ ∴ ， ∴， ∴， ∴． 17．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）已知：如图，、、、是上的点，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系定理； （1）先证明即可得到结论； （2）由证明即可. 【详解】（1）证明：， ， 即． ∴． （2）解：∵，， ． 1．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，点是半圆上一个三等分点，点是弧的中点，点是直径上一动点，的半径为1，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．无法计算 【答案】B 【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理，对称的性质；作点B关于的对称点C，连接交于点D，连接，当点P与D重合时，最小，利用勾股定理即可求得最小值． 【详解】解：如图，作点B关于的对称点C，连接交于点D，连接， 则，； ∵点是半圆上一个三等分点，点是弧的中点， ∴，， ∴； ∵， ∴当点P与D重合时，最小，最小值为线段的长； 在中，， 由勾股定理得：， 即的最小值为； 故选：B． 2．（2025·山东临沂·二模）如图，已知，求作，使． 作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径作，分别交，于点E，F，连接； （2）以F为圆心，的长为半径作弧，交于点C，连接，； （3）作射线，即为所求作的角．下列结论正确的个数是（） ①作图构造的依据是两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等； ②；③；④是等腰三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的定义，根据作图可得，，根据证明两三角形全等判断①；根据全等得到，即可判断②；利用圆周角定理判断③；根据等腰三角形的定义判断④解答即可． 【详解】解：由作图可得，， ∴，故①错误； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴是等腰三角形，故④正确； 故选：C． 3．（2025·江苏扬州·一模）如图，在中，，以为直径的圆O分别与相交于点E、F，若，则的值为（  ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 过点E作，根据等腰三角形的性质得出，确定，求出，根据相似三角形的判定和性质证明，设，结合图形得出，再由平行线间距离相等及三角形面积求解即可． 【详解】解：过点E作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．（24-25九年级下·重庆江北·阶段练习）如图，平行四边形，，，以点为圆心，为半径画弧，分别交、于，，连接，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，圆心角定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，根据平行四边形的性质得到 ，，得到，求出，可证明是等边三角形，继而得到得出阴影部分的面积，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， 弓形面积弓形面积， 阴影部分的面积， 故选：A 5．（2021·湖北鄂州·中考真题）如图，中，，，．点为内一点，且满足 ．当的长度最小时，的面积是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，又长度一定，则点P的运动轨迹是以中点O为圆心，长为半径的圆弧，所以当B、P、O三点共线时，BP最短；在中，利用勾股定理可求BO的长，并得到点P是BO的中点，由线段长度即可得到是等边三角形，利用特殊三边关系即可求解． 【详解】解： 取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆 由题意知：当B、P、O三点共线时，BP最短 点P是BO的中点 在中， 是等边三角形 在中， ． 【点睛】本题主要考查动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P的运动轨迹，即隐形圆． 6.（2024·江苏南京·二模）如图，、是的两条弦，与相交于点E,． (1)求证：； (2)连接，作直线，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出，进而可得； （2）因为，所以，即．结合，得出E、O都在的垂直平分线上，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 即， ∴； （2）连接、、，并作直线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴E、O都在的垂直平分线上， ∴． 7．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图，已知是的直径，弦与弦交于点E，且，垂足为点F．若点C是的中点． (1)求的度数； (2)若，求的值； 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，根据三线合一得到，再根据等弧所对圆心角相等得到，推出，即可求解； （2）根据含30度角的直角三角形的性质以及线段的和差即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵C是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴． 1．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图所示，在扇形中，，半径，点F在上，且．点C、D分别在线段、上，，E为的中点，连接．在滑动过程中（长度始终保持不变），当取最小值时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查弧与圆心角的关系，线段最小值问题，等边三角形的判定及性质，解题的关键是明确当，，共线时，的值最小，此时． 连接，，结合题意得，再求出当，，共线时，的值最小，此时，得为等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ，， ， ∵E为的中点， ， ， ， 当，，共线时，的值最小，如图， 此时，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，则， 故答案为：． 2．（19-20九年级上·浙江温州·月考）如图，正方形ABCD中，AB=5cm，以B为圆心，2cm长为半径画⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP，并将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′，连接BP′．在点P移动的过程中，BP′长度的最小值为 cm． 【答案】 【分析】连接BP、DP′、BD，根据题意易得点P′的运动轨迹是以D为圆心，2cm长为半径的圆，进而可知当点B、D、P′三点共线时，BP′长度的为最小，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接BP、DP′、BD，如图所示： 四边形ABCD是正方形，AB=5cm， AB=AD=5cm，∠DAB=90°， ， 将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′， AP= AP′，∠P′AP=90°， ∠DAP为∠P′AP与∠DAB的公共角， ∠P′AD=∠PAB， △P′AD≌△PAB， PB=2cm， DP′=2cm， 点P′的运动轨迹是以D为圆心，2cm长为半径的圆，如图所示： 当点B、D、P′三点共线时，BP′长度的为最小， ； 故答案为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及圆的基本性质，关键是利用正方形的性质得到动点的运动轨迹，然后利用圆的最短路径问题求解即可． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点（在的左侧），点关于抛物线对称轴的对称点为点，动点在轴上，点在以点为圆心，半径为的圆上，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】首先根据抛物线的对称性求出点的坐标，再找到点关于轴的对称点，连接交轴于点，交圆于点，则点、为所求点，根据两点之间线段最短可知的最小值为线段的长度，利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式求出最小值． 【详解】解：当时，可得方程， 解方程得：，， 点的坐标为，点的坐标为， 当时，， 点的坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 的对称点的坐标为， 如下图所示，过点作轴的对称点，连接交轴于点，交圆于点，则点、为所求点， 点、关于轴对称，则， 则为最小， 则最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、轴对称的性质、勾股定理，圆的基本性质，解决本题的关键是作出点关于轴的对称点，利用对称的性质求出最小值． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $