培优01 旋转综合提升（大单元专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 聚焦旋转几何变换，通过线段、面积、角度及综合问题的分层训练，系统构建旋转性质应用体系，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线段问题|25题|以旋转构造全等/相似三角形为核心，考查线段最值、动点轨迹等|旋转性质→全等/相似判定→几何模型（如手拉手模型）→线段关系推导| |面积问题|25题|结合旋转动态变化，涉及重叠面积、面积最值及不规则图形面积计算|旋转不变性→图形割补→面积公式应用→动态几何量关系分析| |角度问题|20题|围绕旋转角与图形内角关系，考查角度计算、旋转后位置关系判断|旋转角定义→三角形内角和→全等三角形对应角→角度转化推理| |其他问题|20题|综合旋转与坐标、四边形性质、新定义等，体现跨知识整合|旋转性质→坐标系变换→特殊四边形判定→创新题型建模|

专题01 旋转综合提升 目录 A题型建模・专项突破 题型一、 线段问题 1 题型二、 面积问题 9 题型三、 角度问题 17 题型四、 其他问题 23 B综合攻坚・能力跃升 题型一、线段问题 1．如图，在中，，，以为边作，，点D与点A在的两侧，则的最大值为（   ） A．4 B．6 C． D． 2．如图，四边形是边长为2的正方形，动点E在边上，连接，将绕点E顺时针旋转至，连接，则的最小值是（    ） A．4 B． C．5 D． 3．如图，等边的边长为，点，分别在，上，，为上的动点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，．下列结论不正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 4．如图，在中，，，点分别是的中点．将绕点顺时针旋转，射线与射线交于点，在这个旋转过程中有下列结论：①；②存在最大值为；③存在最小值为；④点运动的路径长为．其中，正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 5．如图，在中，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 6．在中，，，点在边上，．若，，则的长为（    ） A．9 B． C．10 D． 7．如图，平面直角坐标系中，已知，，，线段上有一点，连，且绕点逆时针旋转得，则的最小值和最大值（   ） A．9，18 B．9，10 C．3， D．3， 8．如图，平面直角坐标系中，已知，，为轴正半轴上一个动点，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为，则线段的最小值是（   ） A． B．12 C． D． 9．如图，是等边内一点，，，．将线段以点为旋转中心按逆时针方向旋转得到线段，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．在中，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与边交于E，F两点．下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图，中，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到，连接，则长的最小值是（　　） A．2 B．2.5 C． D． 12．如图，点E是边长为4的正方形内部一点，，将按逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 13．如图，在矩形中，，，将矩形绕点A逆时针旋转至矩形，旋转角为，当点C，和三点共线时，的长为（        ）．    A． B． C． D． 14．年是癸卯兔年，“瑞兔呈祥”，小明同学查阅资料后得知，兔子的耳朵有很多功能，其中包括通过竖起耳朵利用风来散热，起到调节体温的功能．小明用图中的七巧板拼成图所示的一只奔跑中的兔子，已知小正方形的边长为，点是边的中点，通过旋转“耳朵”这块七巧板，可以将“耳朵”耷拉的状态转到竖直（如图），在旋转过程中，耳朵尖的点离小兔子的前脚掌尖的距离的最大值为（    ）．    A． B． C． D． 15．如图，在平面直角坐标系中，在轴上，．若点A的坐标为，将绕点A逆时针旋转，点的对应点恰好落在双曲线上，则的值为（    ） A．10 B．15 C．16 D．24 16．如图，已知是等边三角形，边长为3，以为顶点，作等边，边长为6，连接、，若等边绕点在平面内旋转，则的最小值为________． 17．如图，四边形是边长为5的正方形，点P为线段的上一点，，点E是直线上的动点，连接，将绕点E顺时针旋转，点A的对应点为点F，连接，则的最小值为____． 18．如图，是边长为8的等边三角形，是射线上一动点（点在点的右侧），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，F为的中点，连接，在点运动的过程中，线段长度的最小值是__________．    19．如图，在矩形中，，，点为边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为，连接，，则的最小值为_____． 20．如图，矩形中，，，为的中点，为矩形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，则的最小值为________． 21．如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到（点、的对应点分别是点、)，取的中点，连接，则线段的最大值为____________． 22．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，直线相交于点，连接，在旋转过程中，线段的最大值为_______． 23．如图，在中，，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段．则线段的最小值为 ___________． 24．如图，在等边中，，是内一点，将线段绕点逆时针旋转，得到，直线与交于点，则的最大值是___________． 25．如图，菱形的边长为2，，若为直线上一动点，将线段绕着点顺时针旋转得到，连接，线段最小值为___________． 26．在矩形中，点是直线上一个动点，连接． (1)如图1，若平分，，，连接，求的面积； (2)如图2，点是的中点，将直线绕点逆时针旋转后，恰好经过点，交于点，连接，若．求证：． (3)如图3，点是的中点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，．若，，当取最小值时，请直接写出此时的长度． 27．在菱形中，，，点为对角线所在直线上的一个动点，以为边，沿着点顺时针方向作，角的另一边交射线于点，交射线于点，连接、． (1)如图1，当点在对角线上（点不与点、重合）时， ①求证：； ②设的长为，的面积为．求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)连接，当是直角三角形时，直接写出的长． 28．如图，中，，，于点，，点为的中点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿的路线向终点运动．连结，将绕点逆时针旋转得到，连结，设点的运动时间为． (1)填空：____________，____________． (2)当时，求的长． (3)当点落在边上时，求的值． (4)当点在线段上，的中点落在的边上时，直接写出所有满足条件的值． 29．在中，，，． (1)①尺规作图：在图1中作的垂直平分线与交于点，与交于点； ②连接，求证：． (2)在（1）的基础上，如图2，将沿着剪开，将绕点逆时针方向旋转得到，在旋转过程中，点，的对应点分别是点，，射线与边交于点，（不与点重合），与边交于点，线段与交于点． ①试判断与的数量关系，并证明你的结论； ②如图，当时，求的长； ③如图，当经过点时，直接写出的长． 30．如图，已知等边三角形，将线段绕点逆时针旋转（）得到线段，连接，，作于点． (1)求的度数； (2)用等式表示线段，，的数量关系，并证明． 题型二、面积问题 31．如图，已知在中，，，把一块含有角的三角板的直角顶点D放在的中点上，将绕点按顺时针方向旋转度（始终在点上方），则与重叠部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 32．如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，且点C的对应点D恰好落在上，连接 ，则的面积为（     ） A． B． C． D． 33．如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（    ） A．32 B．24 C． D．16 34．如图，点是正方形的边上一动点(点不与点，重合)，连接，以为旋转中心，将顺时针旋转后，点与点对应，连接，，若，则面积的最大值为(　　)    A． B． C．3 D． 35．如图，正方形和的边长分别是2和5，将正方形绕点C旋转，在旋转过程中，的面积S的取值范围是（   ） A． B． C． D． 36．剪两个同样大的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上．旋转其中一个正方形，重叠部分所形成的图形如何变化？三位同学经过研究后得到以下结论，你的意见是（   ） 小天：重叠图形的形状在变化，所以面积也在发生变化． 小亮：我选择几个特殊位置试一试，发现重叠图形的面积始终是这个正方形的四分之一． 小丽：通过割补，我发现重叠图形可以变成一个正方形，所以重叠部分的面积不变． A．小天对 B．小亮对 C．小丽对 D．小亮和小丽都对 37．如图，中，，，，，D为AB中点．将绕点B旋转一周，设点A、C对应的点分别为、，的面积为S，则S的取值范围是（   ） A． B． C． D． 38．把边长为1的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，边与交于点，则四边形的面积为（    ） A．2 B． C． D． 39．如图，边长为的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 40．如图（1），有两全等的正三角形，，且，A分别为，的重心.固定点，将逆时针旋转，使得A落在上，如图（2）所示.则图（1）与图（2）中，两个三角形重叠区域的面积比为（    ） A．2：1 B．3：2 C．4：3 D．5：4 41．如图，在和中，，，且，若将绕点旋转，则： ①________°； ②在旋转过程中，面积的最大值为________． 42．如图，在矩形中， ，以点 为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形得到矩形 ，旋转角为（ ）．取的中点 ，连接 ，， ，在矩形旋转的过程中， 面积的最大值为_________． 43．如图，在中，．将绕点旋转得到，点的对应点分别为点，连接．在旋转过程中，当点在直线两旁时， 面积的最大值分别是和，则______． 44．生活中有很多图形可以通过图形变换得到．如图是把正方形绕中心顺时针旋转以后与原图形组成的十六边形，若十六边形的面积为16，则阴影部分的面积为__________． 45．如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，且点A的对应点恰好落在AB的延长线上，的面积是______． 46．如图，在四边形中，，，，，将绕点逆时针旋转得到点E，则的面积为______ 47．如图，在正方形中，O为对角线的中点．正方形在绕点O旋转的过程中，边与交于点E（不与点A，B重合），边与交于点F．若，则四边形的面积为______． 48．如图，中，已知，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为，连接．如果直线垂直于，连接，那么此时的面积是___________．    49．如图，中，，，，将绕C点旋转一个角度到，直线、交于F点，在旋转过程中，的面积的最大值是______． 50．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，点B，点E是边的中点，把绕点A顺时针旋转得，点O，B旋转后的对应点分别为D，C． 连接，，，在旋转的过程中，面积的最大值为 ___． 51．如图1，在正方形中，，点E为正方形内一点，连结，，． (1)如图2，将线段绕点B按顺时针方向旋转得到，连结，求证：． (2)如图3，在（1）的条件下，当时，连结，，求的面积． (3)如图4，若将绕点B按顺时针方向旋转得到，当点C在直线上，且面积为3时，求的值． 52．如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接，，． (1)当时，求证：； (2)如图3，当时，延长交于点F，求证：垂直平分； (3)在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数． 53．如图，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点． (1)观察猜想：图中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 54．【问题情境】 绕点A逆时针旋转得，连接、，恰好点落在线段上． 【数学思考】 (1)如图1，求证：； 【探究实践】 (2)如图1，已知，，求的长； 【拓展提升】 (3)如图2，当时，过点作交于点，连接，求的面积的最大值． 55．【问题背景】在几何学习中，利用旋转的性质可以将一些零散、难以关联的条件进行有效转化，从而使题目变得简单． (1)【问题提出】如图1，在等边中有一点，，求的度数； (2)【问题解决】如图2，某地计划新建一个四边形的休闲场所（四边形），在点处修建两个管理室，且两个管理室的距离为．根据设计要求，将休闲场所分为与两部分，其中在中，，用来作为游乐场，由管理室负责管理；在中，，将它作为开心农场，由管理室负责，为了容纳更多动物，要求开心农场的面积尽可能大，请你利用所学知识求出开心农场（）的最大面积． 题型三、角度问题 56．将一副三角板如图放置（为含的直角三角板，，，为含的直角三角板，）将三角板绕点逆时针旋转，使得三角板的一边所在的直线与垂直，则的度数为（    ）    A． B． C．或 D．或 57．如图，在中，，，将它绕点沿顺时针方向旋转后得到若点恰好落在线段上，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 58．把边长为5的正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点E，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 59．如图，在平行四边形中，，，将绕点逆时针旋转角得到，连接，．给出下面四个旋转角的度数：①；②；③；④．其中能使为直角三角形的旋转角的度数为（    ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①③④ 60．如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（    ） A． B． C． D． 61．如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 62．如图，将绕点顺时针旋转得到，若点共线，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 63．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A的坐标为，，过D作于P，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第986s时，点F的坐标为（    ）    A． B． C． D． 64．如图，为等边三角形，以为边向外侧作，使得，再以点C为旋转中心把沿着顺时针旋转至，则下列结论： ①D、A、E三点共线；②为等边三角形；③平分；④，其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 65．如图，等腰中，，，将绕点B顺时针旋转，得到，连结，过点A作交的延长线于点H，连结，则的度数（    ） A． B． C． D．随若的变化而变化 66．如图，在矩形中，，，将绕点A旋转得到，连接，，当的度数最大时，的长为___________． 67．如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，则__________°． 68．如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则的度数为_________°． 69．如图，绕点C顺时针旋转后得到了，且于点D，则的度数为______． 70．将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，如图2，，，且，当与三角板的一条直角边（边或）平行时，则满足条件的t的值为__________ ． 71．如图1，在中，点D为边上的一个定点，射线与边交于点E，射线与边交于点F，与关于直线对称，与关于直线对称． (1)如图2，当点落在边上，点落在边上时，若，则的度数为 ； (2)在图1中，设，，求x与y满足的数量关系式； (3)如图3，，射线从位置出发，绕点D顺时针旋转，到位置停止；射线从位置出发，绕点D逆时针旋转，到位置停止．两条射线同时开始旋转，射线的旋转速度为每秒，射线的旋转速度为每秒，当时，求旋转时间t的值． 72．【问题情境】 在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放．其中，，，，，在同一直线上． (1)如图1， ； 【操作探究】 (2)如图2，如果把图1所示的以为中心逆时针旋转得到，当转到与直线首次重合时，停止转动．当时，为多少度？ 【拓展延伸】 (3)如图3，作关于直线的对称，保持不动，绕点逆时针旋转，在转到与直线首次重合过程中，当与的一边所在直线垂直时，请直接写出旋转角的度数 ． 73．数学活动课上，如图1，同学们将小三角形纸片与大三角形纸片中的小三角形重合放置，如图2，固定顶点，然后将纸片绕顶点逆时针旋转，来探究图形旋转的性质．已知和中，，，直线与直线交于点． (1)如图2，当旋转角小于时，的度数会发生改变吗？若改变，请说明理由；若不变，请求出的度数； (2)在纸片绕点旋转过程中，当时，求的面积； (3)在纸片绕点旋转过程中，连接，当线段的长度最小时，求的值． 74．数学在我们生活中无处不在，一节广播操的运动过程就有数学问题．如图1为一节广播操动作的示意图，为了研究方便，两手手心位置分别记为A，B两点，两脚脚跟位置分别记为C，D两点，若A，B，C，D在同一个平面内，做操过程中将手脚运动近似看作A，B，C，D绕点O转动，其中O为该平面内的一个定点． (1)在腿部运动的过程中，A，O，B三点始终共线．如图2，当A，B不在水平方向上时，若，，求的度数； (2)图3为体侧运动，在运动前，A，O，B三点共线，且，，平分，且．绕点O顺时针旋转，若的旋转速度为，的旋转速度为，当运动到位置时，运动停止．运动停止时，直接写出______；（用小于平角的度数表示） 75．综合与实践 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题． (1)【观察猜想】 如图1，在中，，，点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的值是___________，直线与直线相交所成的较小角的度数是___________； (2)【类比探究】 如图2，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段于点． ①求的度数； ②连接交于点，若，求； (3)【拓展延伸】 如图3，中，，，，分别是，的中点，连接．如图4，将绕着点顺时针旋转角度交于点，连接，射线交于点．若射线将分成的两个角满足，求的值． 题型四、其他问题 76．如图，在中，，，将绕点 C顺时针旋转得到． 点 E是边的中点，点F为线段上的动点，在绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是，则线段长度的最小值为（     ） A．4.8 B．3 C．2.4 D．1.8 77．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形绕O点顺时针旋转i个，得到正六边形．当时，顶点的坐标是（    ） A． B． C． D． 78．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点B，D的对应点分别为C，E，将线段绕着点B顺时针旋转得到线段，点D的对应点是F，连接，．当的度数从逐渐增大到的过程中．四边形的形状依次是：平行四边形→______→平行四边形．画线处应填入（　　） A．菱形→矩形→正方形 B．矩形→菱形→正方形 C．菱形→平行四边形→矩形 D．矩形→平行四边形→菱形 79．如图已知中，，，，将绕着边中点旋转得到，、分别交于点、，若，则（    ）    A． B． C． D． 80．如图，在中，，若是边上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，连接，则在下列结论中：①，②；③，④，一定正确的是（　　）    A．①③ B．③ C．①③④ D．①②③④ 81．对于题目：“如图，平面上，正方形内有一长为、宽为的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转即平移或旋转的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数”甲、乙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长，再取最小整数． 甲：如图，思路是当为矩形对角线长时就可移转过去；结果取． 乙：如图，思路是当为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去：结果取． 下列正确的是（  ） A．甲的思路对，他的值错 B．乙的思路错，他的值对 C．甲和乙的思路都对 D．甲和乙的值都对 82．如图，每次旋转都以图中的A、B、C、D、E、F中不同的点为旋转中心，旋转角度为k•90°（k为整数），现在要将左边的阴影四边形正好通过n次旋转得到右边的阴影四边形，则n的值可以是（    ） A．n＝1可以，n＝2，3不可 B．n＝2可以，n＝1，3不可 C．n＝1，2可以，n＝3不可 D．n＝1，2，3均可 83．如图，平行四边形中，，，，于点，为边上一动点．将绕点顺时针旋转至（旋转角），使得、、三点恰好共线，当为等腰三角形时，的长为________． 84．如图1，直线a与直线b相交于点O，点P在内部．规定：先以a为对称轴作点P关于a的对称点，再以b为对称轴作点关于b的对称点，从点P到点的变换（两次轴对称）称为“1次T变换”，经过n次T变换的过程为．若经过n次T变换后，点与点P第一次重合，我们就称n为“变换的最优值”． 例如：如图2，当时，点P经过第1次T变换得到点，点经过第2次T变换得到点，点经过第3次T变换得到点，此时点与点P第一次重合，所以为“变换的最优值”． （1）如图3，当时，______为“变换的最优值”． （2）若时，且变换的最优值，则此时为______°． 85．如图，在矩形中，，，是的中点．将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，边与边交于点，连结．当点落在上时，__________． 86．已知矩形，，，为延长线上的一点，连接， （1）若时，的值为______； （2）当在延长线上运动时，的最小值为______． 87．如图，在和中，，，，连接，，将绕点旋转，当最大时，的长为 ________． 88．探究以下问题： 【探索求知】 (1)如图1，在四边形中，连接，，以为边在左侧作等边，连接． ①判断能否由旋转得到，并说明理由； ②求的长； 【实践运用】 (2)如图2，步道将等腰广场分为三部分，用于规划不同的功能区，经测量，，，，，求的长． 89．综合与探究 【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动．如图，在中，，，，为斜边的中点，将与全等的绕点旋转得到． 【操作发现】 (1)如图1，顺时针旋转一定角度，记和分别与交于点E，F，当时，猜想和的数量关系为________，并证明你的猜想； (2)如图2，继续旋转一定角度，当线段经过点B时，连接，，试判断四边形的形状，并证明你的结论； 【实践探究】 (3)在整个旋转过程中，当在下方，且的直角边恰好与垂直时，设线段与直线交于点G，直线交射线于点H，连接，请直接写出的长． 90．旋转是图形的一种基本变换，通过图形的旋转变换、能将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，并且保持对应“元素”． 【问题解决】如图1，是等边内一点，且 若将绕点顺时针旋转得到． (1)则点与之间的距离为 ， （直接写出答案）． (2)如图2，在（1）的条件下，过作交延长线于，则 （直接写出答案）． 【类比探究】 (3)如图3，点是正方形内一点，．求的度数和正方形面积． 1．请根据小明的数学探究活动单，完成下列任务． 研究内容：“变换” 提出概念：已知点，如果点满足，那么称点是点P的“变换”点． 理解概念： (1)如图1，已知点和点，当时，求点P，Q对应的“变换”点，并在图1中画出线段． 探究性质： (2)研究发现：线段可由线段通过一次图形变换得到； 请描述这种图形变换（如果是平移请说明平移方向，距离；如果是轴对称请说明对称轴，如果是旋转请说明旋转中心，旋转方向，旋转角度）． (3)线段是线段的“变换”线，，请你求出直线的“变换”线，． 运用性质： (4)如图2，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C的坐标分别为，，，曲线是反比例函数图象的“变换”线，，交边于点M，N，直线，分别交边于点E，F，记，，，的面积分别为，，，，求的值． 2．在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点A和线段，给出如下定义： 将线段绕点A顺时针旋转α可以得到线段（，分别是B，C的对应点），点P为线段上任意一点，若最小值为1，则称线段是的以点A为中心关于“α”的“关联线段”． (1)若． ①当时，如图点，，，，，，，的横、纵坐标都是整数，在线段，，，中，的以点A为中心关于“”的“关联线段”是_____； ②当时，且在直线上（点B在点C左侧），线段是的以点A为中心关于“”的“关联线段”，直接写出点B横坐标的取值范围； (2)若，，，点A在线段上，，直线与线段有交点，且线段是的以点A为中心关于“”的“关联线段”．直接写出b的取值范围． 3．在正方形中，点E是边上的一个动点，点F是的中点，点G在边上且，，的延长线交于点M． (1)如图1，当点E与点B重合时，求的度数； (2)如图2，当点E与点B不重合时，（1）中的度数是否发生变化？若有改变；请求出的度数，若不变，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，作于点N，连接，，取的中点P，连接，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 4．如图，在等腰三角形中，，点E在直线上，点D是平面内一点，连接. (1)如图1，若，点E在线段上，，连接，将绕点A逆时针旋转至，连接，点D为中点，连接，求出此时的面积； (2)如图2，若，点D在外部，点E，点F分别是，的中点，连接，将绕点F顺时针旋转至，连接，，，试猜想线段和的数量关系，并证明； (3)如图3，若，若点D是平面内一动点，连接，将沿翻折得，当B，D，Q三点共线时，在线段上取一点N，使，点E是直线上的动点，将绕点E顺时针旋转至，连接，当取最小值时，直接写出的值． 5．问题情境 借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，，分别取、的中点、，作．如图2所示，将绕点逆时针旋转，连接、． 【探究发现】旋转过程中，线段和存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明． 【类比应用】如图3，当所在直线首次经过点时，求的长． 【延伸思考】如图4，在中，，，，分别取、的中点、．作，将绕点逆时针旋转，连接、．当首次与平行时，求的面积． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 旋转综合提升 目录 A题型建模・专项突破 题型一、 线段问题 1 题型二、 面积问题 51 题型三、 角度问题 86 题型四、 其他问题 116 B综合攻坚・能力跃升 题型一、线段问题 1．如图，在中，，，以为边作，，点D与点A在的两侧，则的最大值为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、旋转的性质、三角形的三边关系、二次根式的性质．作出合适的辅助线是解题的关键．由于的长度是变化的，所以把绕顺时针旋转，进而使的长度和，建立联系，再利用构成三角形的条件求解即可． 【详解】解：如图，把绕顺时针旋转得到，连接， ，，， ． ， 的最大值为． 2．如图，四边形是边长为2的正方形，动点E在边上，连接，将绕点E顺时针旋转至，连接，则的最小值是（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】过点作的垂线交延长线于点，并在延长线上取点，使得，连接，连接，证明，进而证明是等腰直角三角形，得到，再证明，推出，当点在线段上时，有最小值，最小值为的长，利用勾股定理求出即可得到结果． 【详解】解：过点作的垂线交延长线于点，并在延长线上取点，使得，连接，连接， ∵四边形是边长为2的正方形， ∴，， 由旋转性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点在线段上时，有最小值，最小值为的长， 在中，，， ∴， ∴的最小值为． 3．如图，等边的边长为，点，分别在，上，，为上的动点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，．下列结论不正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】C 【分析】先构建平行四边形、，结合等边三角形性质得出，结合全等三角形的判定和性质推得点为上的定点，点在过点与平行的直线上运动，即可推得当时，的值最小，根据锐角三角函数的定义即可求出的最小值；通过证明、是等边三角形，结合等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质得出，，进一步可证明得出是等边三角形，分析可得当点与点重合时，点与点重合，当点与点重合时，点与点重合，此时的值最大，最大值为的长，结合垂直平分线的性质以及勾股定理求出的值，即可得出的最大值为；结合三角形的三边关系，得出当、、三点共线时，此时的值最大，最大值为；结合垂直平分线的判定和性质得出，进一步推得当、、三点共线时，此时的值最小，最小值为的长，即可得出答案． 【详解】过点作交于点，过点作交于点，交于点，过点作交于点，连接、、、、、．过点作于点，如图： 则四边形、为平行四边形， 故，，，，， ∵三角形是等边三角形， 故， 即， ∵， ∴，， 故， 又∵， ∴， ∴， 故， 即点为上的定点，点在过点与平行的直线上运动， ∵， ∴， 当时，的值最小，此时的最小值为；故A选项说法正确． ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， 故， ∴， 即是等边三角形． 则，，， ，， 即，，， ∴， ∴，， 故， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴． 当点与点重合时，，此时点与点重合， 当点与点重合时，，此时点与点重合， 当点与点重合时，的值最大，即的最大值为的长． ∵，，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴垂直平分， 故， ∴， 在中，， 在中，， 即的最大值为，B选项说法正确． 在中，， 即当、、三点共线时，此时点与点重合，的值最大，最大值为，故C选项说法错误． ∵，， ∴点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， 故是的垂直平分线， 又∵点在直线上， 故， ∴， 即当、、三点共线时，此时的值最小，最小值为的长， ∵， 故的最小值为，D选项说法正确． 【点睛】本题考查了四边形与三角形的综合应用，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的判定和性质，锐角三角函数的应用等．构建平行四边形、，通过全等三角形的判定和性质得出点为上的定点，点在过点与平行的直线上运动，结合等边三角形的判定得出是等边三角形是解题的关键． 4．如图，在中，，，点分别是的中点．将绕点顺时针旋转，射线与射线交于点，在这个旋转过程中有下列结论：①；②存在最大值为；③存在最小值为；④点运动的路径长为．其中，正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】①根据可证得；②③在中，斜边是定值，当最小时，最大，作出图形，计算即可；④点在以点为圆心，长为半径的圆上运动轨迹为，计算即可得点运动的路径长． 【详解】解：设与交于点，如图2所示， ∵，，点分别是的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， 在中，由勾股定理得：， 在中，斜边是定值，当最小时，最大， ∵当最小时，最小，而， ∴当最大时，最小，此时，如图3所示 ， 在中，，∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴存在最大值为，存在最小值为，故②正确，③不正确； 取的中点，连接、， ∵，∴点在以为直径的圆上运动， ∴，如图4， 当时，， ∴，∴， ∵将绕点顺时针旋转， ∴点在以点为圆心，长为半径的圆上运动轨迹为， ∴点运动的路径长为：，故④正确； 综上，①②④正确，③不正确， 故选：B． 5．如图，在中，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题为利用旋转求最短距离问题，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，直角三角形的性质等知识，综合性强，难度较大﹒根据题意得到， ，根据等边三角形性质得到，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连接﹒证明是等边三角形，得到﹒证明，得到，进而得到，从而得到点Q在经过定点R且的定直线上运动，即可得到当，线段的值最小，结合，求出，得到的最小值为1． 【详解】解：∵，点D是边的中点，点P是边上一个动点， ∴， ， ∵是等边三角形， ∴， 如图，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连接， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点Q在经过定点R且的定直线上运动， ∴当，即时，线段的值最小， ∵， ∴， ∴的最小值为1， 故选：D． 6．在中，，，点在边上，．若，，则的长为（    ） A．9 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】解题的核心思路是旋转构造．将绕点顺时针旋转至，连接、．首先利用证明，从而得到，并推导出．再证明，得到．这样，在中，由勾股定理得，即．最后代入已知数值，即可求出的长度． 【详解】解：如图， 将绕点顺时针旋转得到，连接． 由旋转可知，，且． ∴． 在与中， ∵，，， ∴． ∴，． ∵中，，， ∴． ∴． ∴． 在中，由勾股定理得：． 又∵， ∴． 在与中， ∵，，， ∴． ∴． ∴，即． 已知，， 代入得：． 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查旋转法构造全等三角形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．解题的关键是成功构造旋转全等，并利用角证明第二次全等，从而将转移到． 7．如图，平面直角坐标系中，已知，，，线段上有一点，连，且绕点逆时针旋转得，则的最小值和最大值（   ） A．9，18 B．9，10 C．3， D．3， 【答案】C 【分析】过点作轴的垂线，根据全等三角形的判定与性质，得出点在直线上，据此求出的最大值及最小值即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为， 由旋转可知，， 所以， 所以． 在和中， ， 所以， 所以， 所以点在直线上． 当与直线垂直时，取得最小值， 因为点坐标为， 所以的最小值为． 当点在点处时， 点坐标为， 则； 当点在点处时， 点坐标为， 则， 因为， 所以的最大值为， 显然只有C选项符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转，全等三角形的性质和判定，勾股定理，实数的大小比较等知识点，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 8．如图，平面直角坐标系中，已知，，为轴正半轴上一个动点，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为，则线段的最小值是（   ） A． B．12 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变换−旋转，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用以及二次函数的性质，表示出点Q的坐标是解题的关键．设，则，证明，由全等三角形的性质可得，，可确定点Q的坐标，然后根据勾股定理得到，即可求得当时，有最小值，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， 作轴于点，如下图， ∵将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴当时，BQ有最小值，最小值为． 故选：A． 9．如图，是等边内一点，，，．将线段以点为旋转中心按逆时针方向旋转得到线段，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据旋转的性质得，，推出是等边三角形，证明得，由得，由可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，将线段以点为旋转中心按逆时针方向旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形，，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即的度数为． 故选：D． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识点，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 10．在中，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与边交于E，F两点．下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，连接，根据等腰直角三角形的性质就可以得出，就可以得出，进而得出，就有，由勾股定理就即可求出结论． 【详解】解：连接， ， 点D为中点，， ．，． ， ， ． 在和中， ， ， ，． ， ， ． ， ． ， ， ． ，， 始终为等腰直角三角形． ， ． ， ． ∴正确的有4个． 故选：D． 11．如图，中，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到，连接，则长的最小值是（　　） A．2 B．2.5 C． D． 【答案】B 【分析】取的中点为点D，连接，过点D作，垂足为H，在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出的长，的度数，再根据线段的中点定义可得，从而可得，然后利用旋转的性质可得：，，从而利用等式的性质可得，进而利用证明，最后利用全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短，即可解答． 【详解】解：取的中点为点D，连接，过点D作，垂足为H， ∴， ∵，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， 由旋转得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，即当点E和点H重合时，有最小值，且最小值为2.5， ∴长的最小值是2.5， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 12．如图，点E是边长为4的正方形内部一点，，将按逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得到，则点E在以为直径的圆上，取中点G，当过点G时，有最小值，由旋转的性质得到，则此时也取最小值，即可解答． 【详解】解：在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的圆上， 取中点G，连接，当过点G时，有最小值，    又∵按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴此时也取最小值， ∵，为的半径，即， ∴此时， ∴， 即的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了角度的转化与判断点的轨迹，解题的关键是运用数学结合思想处理题给条件，从而得到点的轨迹． 13．如图，在矩形中，，，将矩形绕点A逆时针旋转至矩形，旋转角为，当点C，和三点共线时，的长为（        ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当点C，和三点共线，，先根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，通过证明，得出，设，则，在中，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：∵点C，和三点共线， ∴， ∵矩形绕点A逆时针旋转至矩形， ∴，， 在中，根据勾股定理可得：， 在中，根据勾股定理可得：， 在和中， ， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即，解得：， 故选：A．    【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确画出图形，根据勾股定理列出方程求解． 14．年是癸卯兔年，“瑞兔呈祥”，小明同学查阅资料后得知，兔子的耳朵有很多功能，其中包括通过竖起耳朵利用风来散热，起到调节体温的功能．小明用图中的七巧板拼成图所示的一只奔跑中的兔子，已知小正方形的边长为，点是边的中点，通过旋转“耳朵”这块七巧板，可以将“耳朵”耷拉的状态转到竖直（如图），在旋转过程中，耳朵尖的点离小兔子的前脚掌尖的距离的最大值为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据小正方形的边长为，结合等腰直角三角形以及勾股定理可求出七巧板中各个边的长度，根据题意可知耳朵尖（平行四边形）的点绕D点旋转，当M、D、O点三点共线时，耳朵尖点离前脚掌尖的距离有最大值，再分别求出、，问题得解． 【详解】根据小正方形的边长为，结合等腰直角三角形以及勾股定理可求出七巧板中各个边的长度，如下图所示：    ∵耳朵尖（平行四边形）的点绕D点旋转， ∴当M、D、O点三点共线时，耳朵尖点离前脚掌尖的距离有最大值， 如图，    ∵点是边的中点， ∴， ∴， 如图，连接，过D点作，    根据等腰直角三角形的性质可知：， 即， 利用勾股定理可得：， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及旋转的性质等知识，明确题意，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出各边是解答本题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，在轴上，．若点A的坐标为，将绕点A逆时针旋转，点的对应点恰好落在双曲线上，则的值为（    ） A．10 B．15 C．16 D．24 【答案】C 【分析】由可知，，由旋转的性质求出、，联系旋转角及点的坐标的概念可得到轴、轴的距离；根据点所在的象限确定点的坐标，接下来将点的坐标代入反比例函数的解析式，可求出的值． 【详解】解：由点的坐标得，，， 由旋转的性质可知，，，． 点的横坐标为，点的纵坐标为， 点的坐标为． 将点的坐标代入双曲线，得． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的求解，关键是确定点的坐标． 16．如图，已知是等边三角形，边长为3，以为顶点，作等边，边长为6，连接、，若等边绕点在平面内旋转，则的最小值为________． 【答案】 【分析】取的中点，连接并延长至点，使得，用判定证明，进而用判定证明，所以可得，所以当三点共线时，最短，最短为，求出的长即可求出最终答案． 【详解】解：∵、是等边三角形， ∴，，， 取的中点，连接并延长至点，使得， ， ， ，， ，即， 又，， ， ， ， ∴当且仅当三点共线时，最短，最短为， ∵点F为的中点， ， ， 因此的最小值为． 17．如图，四边形是边长为5的正方形，点P为线段的上一点，，点E是直线上的动点，连接，将绕点E顺时针旋转，点A的对应点为点F，连接，则的最小值为____． 【答案】 【分析】过点作，利用一线三垂直证得，得到，从而得到，找出点是在的角平分线上运动，利用点到直线垂线段最短求解． 【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点， ， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵绕点E顺时针旋转，点A的对应点为点F， ∴， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴点在的角平分线上运动， 作的角平分线，过点作交于点，交于点， 当点与点重合时，取得最小值， ∵是的角平分线， ∴ 在中，, ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， 解得， ∴， 即的最小值为． 18．如图，是边长为8的等边三角形，是射线上一动点（点在点的右侧），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，F为的中点，连接，在点运动的过程中，线段长度的最小值是__________．    【答案】 2 【分析】连接，取的中点，连接，先由旋转的性质及等腰三角形的性质得，再由三角形中位线定理得，则，得点的轨迹为射线，且，当时，最短，即可求解 ． 【详解】解：如图所示，连接，取的中点，连接，      线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， 为等腰三角形， ， 点为的中点，点为的中点， 是的中位线， ， ， 点的轨迹为射线，且， ∴当时，最短， 是边长为的等边三角形， ， 点为的中点， ， ∵在中，， ， 线段长度的最小值为2． 19．如图，在矩形中，，，点为边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为，连接，，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】以点为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标为，过点作，过点作，可证，根据全等三角形的性质可知，，把点的坐标用含的代数式表示出来，根据平面直角坐标系中两点之间的距离公式可得，可知当时，有最小值，最小值为． 【详解】解：如下图所示，以点为原点建立平面直角坐标系， 在矩形中，，， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 设点的坐标为， 如下图所示，过点作，过点作， 则，，， 由旋转可知，， ，， ， 在和中，， ， ，， ，， 点的坐标为， ， 当时，有最小值，最小值为． 20．如图，矩形中，，，为的中点，为矩形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】如图，连接，根据勾股定理得，过点作且，连接、，得，证明得，然后根据三角形三边的关系得到（、、共线时取等号），可得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作且，连接、， ∴， ∵在矩形中，，，为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， 当点、、共线时取等号，此时取得最小值，最小值为：， ∴的最小值为． 21．如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到（点、的对应点分别是点、)，取的中点，连接，则线段的最大值为____________． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理及线段最值问题，解题关键是确定点的运动轨迹，利用“点圆位置关系”求最值． 【详解】解：如图，连接． 在中，，，， 由勾股定理得． 绕点顺时针旋转得到， ， ，． 是的中点， ． 由题意，点在以为圆心、为半径的圆上运动， 根据线段的最值性质，(当且仅当、、三点共线且在延长线上时取等号)， 的最大值为． 故答案为：． 22．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，直线相交于点，连接，在旋转过程中，线段的最大值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、勾股定理，直角三角形的斜边中线，等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质．取的中点，连接，设交于点，在中，由勾股定理得到，由旋转可知：，从而，，由，可得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，在中，当在一条直线上时，有最大值为． 【详解】解：取的中点，连接，设交于点， 在中，， ∵， ∴， 由旋转可知：， ∴，，， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 当在一条直线上时，有最大值， ∴线段的最大值为． 故答案为：． 23．如图，在中，，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段．则线段的最小值为 ___________． 【答案】 【分析】首先构造辅助线与全等三角形，将转化为；再用代数表达式表示的长度；最后通过二次函数的性质求的最小值，即的最小值． 【详解】 过B作，使，连接、． 由，得，； 又，设，则． 由旋转性质，得，， ， ，故． 在中，， 由勾股定理得，在中， 代入、，化简得： 当时，取最小值24，故，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形、勾股定理、二次函数最值．解题关键为将线段最值转化为代数表达式的最值，结合取值范围求解．注意全等三角形的对应关系混淆，或代数化简时计算错误． 24．如图，在等边中，，是内一点，将线段绕点逆时针旋转，得到，直线与交于点，则的最大值是___________． 【答案】 【分析】结合等边三角形的性质及旋转的性质，由可判定，由全等三角形的性质得，由三角形内角和得，可得、、、四点共圆，圆心为等边三角形的外心，当点在线段的延长线上时，时，最小，当点在线段上时，时，最小，点的运动轨迹为以为圆心，的长为半径的，当是的直径时，取得最大值，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， 线段绕点逆时针旋转至， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 、、、四点共圆，圆心为等边三角形的外心， 如图， 点的运动轨迹为以为圆心，的长为半径的， 当是的直径时，取得最大值， 连接，过点作交于， ，， ∴， ∴ ， 取得最大值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，圆的基本性质，勾股定理等；掌握等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，圆的基本性质，能找出动点的运动轨迹，并能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 25．如图，菱形的边长为2，，若为直线上一动点，将线段绕着点顺时针旋转得到，连接，线段最小值为___________． 【答案】 【分析】将线段绕点顺时针旋转得到，连接，证明，得到点的运动轨迹．再由全等三角形的性质以及菱形的性质得到是等腰三角形，用等腰三角形的性质证明，得到线段最小值就是的长度．最后用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：如图所示，将线段绕点顺时针旋转得到，连接． 由题意得，，，， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ， 直线为定直线， 线段的最小值为点到直线的距离． 如图，连接，作， 菱形的边长为2，且， ，． 又， ． ， ， 是等腰三角形， ，， ，， 线段的最小值就是的长度． 在中， ， ， 线段的最小值为． 故答案为． 【点睛】本题考查旋转变换，轨迹，菱形的性质，含30°角的直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 26．在矩形中，点是直线上一个动点，连接． (1)如图1，若平分，，，连接，求的面积； (2)如图2，点是的中点，将直线绕点逆时针旋转后，恰好经过点，交于点，连接，若．求证：． (3)如图3，点是的中点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，．若，，当取最小值时，请直接写出此时的长度． 【答案】(1)6 (2)证明：如图：过A作交于M点， ∴， ∵P是中点， ∴， 在与中 ， ∴； ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∴即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）利用矩形的性质、等腰三角形的判定与性质可得，即；再利用三角形的面积公式求解即可； （2）如图：过A作交于M点，证明可得，，再根据旋转的性质、三角形外角的性质、等角对等边以及等量代换可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可证明结论； （3）如图：取的中点F，连接，即，过Q作垂直于直线于G，即，证明可得，如图：以D为坐标原点建立直角坐标系，则Q在直线l：上，易得当共线时，有最小值；再求得直线的解析式为，易得；如图：过作垂直于直线于，则，如图：根据题意旋转逆向作图，得到，求得，最后根据两点间距离公式求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． （2）略 （3）解：∵矩形，，， ∴， 如图：取的中点F，连接，即， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， 如图：过Q作垂直于直线于G，即， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图：以D为坐标原点建立直角坐标系，则Q在直线l：上， ，作C关于直线l的对称点，连接交直线l于，连接， ∴ ∴当共线时，有最小值， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：，即， 如图：过作垂直于直线于，则，如图：根据题意旋转逆向作图，得到， 同理可证：∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴当取最小值时，的长度为． 27．在菱形中，，，点为对角线所在直线上的一个动点，以为边，沿着点顺时针方向作，角的另一边交射线于点，交射线于点，连接、． (1)如图1，当点在对角线上（点不与点、重合）时， ①求证：； ②设的长为，的面积为．求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)连接，当是直角三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)①证明：∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②； (2)或 【分析】（1）①先证明，可得，，利用三角形外角性质可得，即得，即可求证； ②过点作于，解直角三角形得到，，可得，由等腰三角形三线合一可得，即可由三角形面积公式得到与的函数表达式，最后由点在对角线上且点不与点、重合，可得自变量的取值范围； （2）根据题意分和两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】（1）①略； ②解：过点作于，则， ∵， ∴， ∵四边形为菱形，， ∴，， 即， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 点在对角线上且点不与点、重合， ， ∴； （2）解：当时，是直角三角形，如图所示， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ，即， 的长为； 当时，是直角三角形，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴的长为， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题以菱形为背景，综合考查全等三角形的判定与性质、锐角三角函数解直角三角形、二次函数面积建模以及直角三角形存在性分类讨论，解题关键在于通过全等及角度传递证明，架起边角转化的桥梁，利用等腰三角形“三线合一”将底边用表示，再借助角的三角函数建立面积与的二次函数关系，最后对直角三角形可能情形逐一排除，锁定唯一情况，结合边长关系列方程求解，体现数形结合与分类讨论的核心思想． 28．如图，中，，，于点，，点为的中点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿的路线向终点运动．连结，将绕点逆时针旋转得到，连结，设点的运动时间为． (1)填空：____________，____________． (2)当时，求的长． (3)当点落在边上时，求的值． (4)当点在线段上，的中点落在的边上时，直接写出所有满足条件的值． 【答案】(1)； (2)或 (3)或 (4)和 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余及等角对等边得，再计算即可，最后根据勾股定理得； （2）分两种情况：①当点在上时；②当点在上时，分别画图求解即可； （3）分两种情况：①当点在上时；②当点在上时，分别画图求解即可； （4）设点为的中点，①当的中点在上时；②当的中点在上时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，； （2）解：∵，， 又∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿的路线向终点运动， ∴点从点到点所需时间：； 点从点到点所需时间：； 点从点到点所需时间：， ①当点在上时，如图， ∵，点为的中点，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； ②当点在上时，如图， ∵，点为的中点，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； （3）解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ①当点在上时，且时，如图， ∴， ∴点在所在的直线上， 由（2）①知：，且， ∴， ∴点为的中点， 此时点与点重合，即点在上， ∴； ②当点在上时，过点作于点，过点作于点，过点作于点，如图， ∴，，，， 在中，，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，点为的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或； （4）解：设点为的中点， ①当的中点在上时，过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图， ∴， ∵，点为的中点，， ∴，， 由（2）①知：， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，点为的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 此时； ②当的中点在上时，过点作于点，过点作于点，设，以点为原点，以所在的直线水平向右为轴，以所在的直线竖直向上为轴建立如图所示的直角坐标系，设， ∴， ∵，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，点为的中点，， ∴， 由（2）①知：， ∴，， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，，， ∴，， ∵点是的中点， ∴点的坐标为，即， 又∵的中点在（直线的解析式为）上， ∴， 解得：， ∴， 此时； 综上所述，满足条件的值有和． 29．在中，，，． (1)①尺规作图：在图1中作的垂直平分线与交于点，与交于点； ②连接，求证：． (2)在（1）的基础上，如图2，将沿着剪开，将绕点逆时针方向旋转得到，在旋转过程中，点，的对应点分别是点，，射线与边交于点，（不与点重合），与边交于点，线段与交于点． ①试判断与的数量关系，并证明你的结论； ②如图，当时，求的长； ③如图，当经过点时，直接写出的长． 【答案】(1)①； ②证明：由作图可知，，， 又， ， ， ，， ， ． (2)①与的数量关系是． 证明如下：连接，如图所示： 由旋转的性质得，， 在和中，， ， ． ②3；③的长为 【分析】（1）①根据尺规作图作垂直平分线的方法即可作出；②利用垂直平分线得 与，再通过平行线性质与等腰三角形性质导出，从而． （2）①连接，由旋转的性质得，，据此可依据“”判定，然后根据全等三角形的性质可得出与的数量关系；②先利用勾股定理求出，再由（1）得，根据三角形中位线的性质得出，根据矩形的判定和性质得出，根据三角形的面积求出，，利用相似三角形的性质得出，再利用，求得，再用勾股定理求得；③设，则，由旋转的性质得，，再根据得，根据等边对等角得出，从而得，根据等角对等边得出，然后根据勾股定理求出的值，从而可得的长． 【详解】（1）①略；②略． （2）①略； ②过点作于，交于，如图所示： 在中，，，， 由勾股定理，得， 由（1）可知，，，，， ， 是的中位线， ． 由旋转的性质，得 ，， ， 四边形是矩形， ． ， ， ． ， ， ， ． ③的长为． 设，则， 由旋转的性质得，， 又， ， ， ， ， 在中，由勾股定理，得， ，解得， 的长为． 【点睛】本题考查了尺规作图，旋转变换，轴对称的性质，直角三角形全等的判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会添加常用辅助线． 30．如图，已知等边三角形，将线段绕点逆时针旋转（）得到线段，连接，，作于点． (1)求的度数； (2)用等式表示线段，，的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据旋转的性质，，可得为等腰三角形，为等腰三角形，可得， ，即可求出； （2）过点作交于，先证明，可得，再在中得到，进而得到线段，，的数量关系． 【详解】（1）解：等边三角形，将线段绕点逆时针旋转（）得到线段， ，， 为等腰三角形，为等腰三角形， ， 为旋转角，， ， ， ， （2）解：如图，过点作交于， 由（1）得， ， ， ，， 在和中，， ， ． 由（1）得， 在中，， ， ，即， ， 即． 题型二、面积问题 31．如图，已知在中，，，把一块含有角的三角板的直角顶点D放在的中点上，将绕点按顺时针方向旋转度（始终在点上方），则与重叠部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用等腰直角三角形斜边中线的性质构造全等三角形，证明旋转过程中重叠部分面积为定值，和旋转角度无关． 【详解】解：如图，连接， ，，点是的中点， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 32．如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，且点C的对应点D恰好落在上，连接 ，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点B作于点F，于点H，先根据图形旋转的性质及三角形内角和的性质，证明，再分别求出，的长即可． 【详解】解：过点B作于点F，于点H， ，，， ， 绕点B顺时针旋转得到， ， ，，， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的面积为． 33．如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（    ） A．32 B．24 C． D．16 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，含的直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线． 过作交于点，根据旋转得到，，，根据含的直角三角形的性质即可得到，即可得到答案； 【详解】解：如图，过作交于点， 绕点按逆时针方向旋转后得到，， ，，， ， ， ， ， 又，， ． 故选：D． 34．如图，点是正方形的边上一动点(点不与点，重合)，连接，以为旋转中心，将顺时针旋转后，点与点对应，连接，，若，则面积的最大值为(　　)    A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形判定与性质及二次函数求最值．先过点作，先通过证明与全等，得到对应边相等，再用和表示的面积，最后通过二次函数求面积的最大值． 【详解】解：如图，过点作，则．    设()． ∵四边形是正方形， ∴，． ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，． ∴． 又， ∴． 在和中：， ∴． ∴， ∴， ∴的面积， ∵是关于的二次函数，图象开口向下，， ∴当时，面积取得最大值：， 故选：A． 35．如图，正方形和的边长分别是2和5，将正方形绕点C旋转，在旋转过程中，的面积S的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，垂线段最短，勾股定理，旋转的性质，利用数形结合的思想是解题关键． 由题意可求出，可判断点A的运动轨迹为以C为圆心，为半径的圆，交点A的运动轨迹于点和，从而得出以为底时，高的取值范围，进而即可求解． 【详解】解：∵正方形的边长5， ∴． ∵正方形的边长是2， ∴点A的运动轨迹为以C为圆心，为半径的圆，设线段的中点为，连接，交点A的运动轨迹于点和，如图， ∵，， ∴点A在运动过程中，距离的最小距离为， 最长距离为， ∴， ， ∴S的取值范围是． 故选：D． 36．剪两个同样大的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上．旋转其中一个正方形，重叠部分所形成的图形如何变化？三位同学经过研究后得到以下结论，你的意见是（   ） 小天：重叠图形的形状在变化，所以面积也在发生变化． 小亮：我选择几个特殊位置试一试，发现重叠图形的面积始终是这个正方形的四分之一． 小丽：通过割补，我发现重叠图形可以变成一个正方形，所以重叠部分的面积不变． A．小天对 B．小亮对 C．小丽对 D．小亮和小丽都对 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的形状、全等三角形的判定与性质、正方形的性质，过点作，，利用可证，根据全等三角形的性质可得，从而可知小亮和小丽的说法正确． 【详解】解：如下图所示，过点作，， ， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ， ， 两个图形都是正方形， ， ， ， 点是正方形的中心， ， 在和中，， ， ， 重叠部分的面积没有发生变化， 故小天的说法错误； 点是正方形的中心， ， 重叠部分的面积是原正方形面积的， 故小亮的说法正确； 把割下来补到的位置，可以得到正方形， 故小丽的说法正确； 综上所述，小亮和小丽的说法都对，小天的说法错误． 故选：D． 37．如图，中，，，，，D为AB中点．将绕点B旋转一周，设点A、C对应的点分别为、，的面积为S，则S的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转，三角形的面积，中点，正确作出图形是解题的关键． 过点D作所在的直线，确定：①当两点重合时，取得最小值，②当在同一直线上时，取得最大值，此时两点重合，逐一求解，即可解答． 【详解】解：过点D作所在的直线，如图，有，， 即， ①当两点重合时，取得最小值，如图 ∴， ∴， ②当在同一直线上时，取得最大值，此时两点重合，如图 ∴， ∴， 综上所述，． 故选A． 38．把边长为1的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，边与交于点，则四边形的面积为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，特殊三角形边长的求法，连接构造等腰是解题的关键．连接，利用正方形的性质得，再根据旋转的性质得到点在上，证明为等腰三角形，最后利用四边形的面积进行计算即可． 【详解】解：连接，如图， 四边形为正方形， ，， 正方形绕点逆时针旋转得到正方形， 点在上，， 为等腰直角三角形， 而， ， 四边形的面积． 故选C． 39．如图，边长为的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转与正方形的相关知识，根据旋转的性质以及正方形的性质可得到的度数，根据三角函数求得的长，则的面积即可求得，然后利用正方形的面积减去和的面积即可求解，熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，将与的交点记为，连接，    解：在和中，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：． 40．如图（1），有两全等的正三角形，，且，A分别为，的重心.固定点，将逆时针旋转，使得A落在上，如图（2）所示.则图（1）与图（2）中，两个三角形重叠区域的面积比为（    ） A．2：1 B．3：2 C．4：3 D．5：4 【答案】C 【分析】连接，交于点O，根据等边三角形的性质及三角形重心的性质得出，，再结合图形及三角函数计算阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，交于点O， 设等边三角形的边长是x， 则高长为， 图（1）中阴影部分为一个内角是的菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 则阴影部分的面积为：， 图2中，，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：， 两个重叠区域的面积比为：， 故选：C． 【点睛】题目主要考查等边三角形的性质及解三角形的应用，菱形的性质等，理解题意，作出相应辅助线及掌握三角形重心的性质是解题关键． 41．如图，在和中，，，且，若将绕点旋转，则： ①________°； ②在旋转过程中，面积的最大值为________． 【答案】 【分析】①利用含有角的直角三角形的性质和勾股定理，可证得和是等腰三角形，且顶角、底角对应相等，通过角度的等量代换即可得到； ②，当点到的距离最大时，面积取得最大值，此时，通过的面积计算可解得，即可得到面积的最大值． 【详解】解：①如图， 在和中，，，且， ∴，， ∴， ， ∵， ， ∴， 在和中，，， ∴， 在直角中，， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②解：如图，过作于，连接， 则， 当点，，三点共线时，取最大值，即点到的距离最大， 此时，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 面积的最大值． 42．如图，在矩形中， ，以点 为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形得到矩形 ，旋转角为（ ）．取的中点 ，连接 ，， ，在矩形旋转的过程中， 面积的最大值为_________． 【答案】 【分析】依题意，为等腰直角三角形，由题意证得当三点共线时，面积最大，此时，的最大值为，计算即可得出答案． 【详解】解： 连，由题意得 ， ∵ ， ， ∴，为等腰直角三角形， ， ∵的底边是个定值， 如图，作边上的高， ∴当高最大时， 面积才能取得最大值， ∴如图，当矩形旋转到三点共线时，高才能取得最大值， 此时， 的最大值为， ∴ 的面积最大值为． 43．如图，在中，．将绕点旋转得到，点的对应点分别为点，连接．在旋转过程中，当点在直线两旁时， 面积的最大值分别是和，则______． 【答案】 【分析】根据旋转性质可知，为定值，点在以点为圆心，为半径的圆上，面积最值为圆上点到的距离最值． 【详解】解：根据旋转性质可知，为定值，点在以点为圆心，为半径的圆上， 设到的距离为，又， ， 当点在直线远离点的一侧，点到的距离最大为， 当点在直线靠近点的一侧，点到的距离最小为， ， ． 44．生活中有很多图形可以通过图形变换得到．如图是把正方形绕中心顺时针旋转以后与原图形组成的十六边形，若十六边形的面积为16，则阴影部分的面积为__________． 【答案】6 【分析】根据旋转的性质和正方形的性质可知，该十六边形是中心对称图形，对称中心为点，且阴影部分与空白部分的分界线经过对称中心，根据中心对称图形的性质可得阴影部分的面积是十六边形面积的． 【详解】解：由题意可知，该十六边形是由正方形绕中 顺时针旋转 以后与原图形组成的， 该十六边形是中心对称图形，对称中心为点． 观察图形可知，阴影部分与空白部分的分界线经过对称中心， 阴影部分的面积等于十六边形面积的． 十六边形的面积为 ， 阴影部分的面积为 ． 45．如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，且点A的对应点恰好落在AB的延长线上，的面积是______． 【答案】 【分析】过作于，于，延长交于，由三角形面积公式求出，由旋转的性质得到，推出，，，，由等腰三角形的性质推出，，由等腰三角形的性质求得，由三角形的面积公式求出，的面积． 【详解】解：过作于，于，延长交于， ，，， ， 的面积， ， ， 绕点顺时针旋转得到， ， ，，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积， ， 的面积． 46．如图，在四边形中，，，，，将绕点逆时针旋转得到点E，则的面积为______ 【答案】 【分析】过点作交延长线于点，过点作于点，则，利用平行线间的距离可得，进而得出，利用旋转的性质证明，得到，即可求出的面积． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 47．如图，在正方形中，O为对角线的中点．正方形在绕点O旋转的过程中，边与交于点E（不与点A，B重合），边与交于点F．若，则四边形的面积为______． 【答案】/6.25/ 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质及等腰三角形三线合一的性质．连接，利用正方形的性质及已知条件得出，，再由得出，从而证明，进而得出，求出面积． 【详解】解：如图，连接， 在正方形中，，， ∴， 又∵O为对角线中点， ∴，， ∴， ∴， 又∵四边形为正方形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 48．如图，中，已知，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为，连接．如果直线垂直于，连接，那么此时的面积是___________．    【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，先根据勾股定理求出，延长交于D，则，证明，求出，在中，根据勾股定理求出，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 延长交于D，则，    ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 49．如图，中，，，，将绕C点旋转一个角度到，直线、交于F点，在旋转过程中，的面积的最大值是______． 【答案】 【分析】先求解，如图，取的中点，连接，证明，，，，可得， ∴，可得过作于，则，当重合时，的面积最大，再进一步求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 如图，取的中点，连接， 由旋转可得：，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 过作于，则， 当重合时，的面积最大， 最大面积为：． 故答案为： 【点睛】本题考查的是旋转的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，二次根式的乘法运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 50．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，点B，点E是边的中点，把绕点A顺时针旋转得，点O，B旋转后的对应点分别为D，C． 连接，，，在旋转的过程中，面积的最大值为 ___． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的性质，旋转的性质，利用圆模型求面积的最大值，构造圆，利用直径是圆中最长的弦来解决，是解决本题的关键． 以A为圆心，为半径画，过点作交的延长线于点，当三点共线时，此时高最大，面积最大，求出的值，利用面积公式直接求解即可． 【详解】以A为圆心，为半径画，过点作交的延长线于点， 点A，点B ， 在，, ， 为中点，是直角三角形， ， ， 圆中最长的弦是直径， ∴当点旋转到如图所示的位置时，即三点共线时，此时高最大，面积最大， ∵， ∴在中， ∵， ∴， ∴， 此时，； 51．如图1，在正方形中，，点E为正方形内一点，连结，，． (1)如图2，将线段绕点B按顺时针方向旋转得到，连结，求证：． (2)如图3，在（1）的条件下，当时，连结，，求的面积． (3)如图4，若将绕点B按顺时针方向旋转得到，当点C在直线上，且面积为3时，求的值． 【答案】(1)解：∵正方形， ∴， ∵线段绕点B按顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ，即， 在和中， ， ； (2)10 (3)或1或 【分析】（1）根据正方形的性质及旋转的性质得出，，，确定，再由全等三角形的判定证明即可； （2）延长交于点M．根据全等三角形的性质得出，勾股定理得出，利用矩形的判定和性质得出，，结合图形求面积即可； （3）分两种情况分析：当在正方形内部时，当在正方形外部时，作出辅助线，利用全等三角形的判定和性质，勾股定理等结合图形求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：延长交于点M， ， ，， ，， ∴， ， ∵， ∴， 四边形是矩形， ，， ． （3）解：当在正方形内部时，过点A作，垂足为F， ∵将绕点B按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵点C在直线上， ∴， 在正方形中，， ∴， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ． 设，，则，， ， ． ，即， 整理得：， 解得：或，即或1． 当在正方形外部时， 同理得：，， ， ． ，即， 整理得：， ，即． 综上所述，或1或． 52．如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接，，． (1)当时，求证：； (2)如图3，当时，延长交于点F，求证：垂直平分； (3)在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数． 【答案】(1)证明：根据题意可得，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2)证明：根据题意可得，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线； (3)， 【分析】（1）利用证明即可得证； （2）利用证明即可得证； （3）中，边的长是定值，则边上的高取最大值时的面积有最大值，即当点D在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：中，边的长是定值，则边上的高取最大值时的面积有最大值， ∴当点D在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值， 延长交于点，则， ∵，，，， ∴，， ∴，， ∴的面积的最大值，旋转角． 【点睛】旋转的性质：旋转不改变图形的大小与形状，只改变图形的位置；对应点与旋转中心所连线段间的夹角为旋转角． 53．如图，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点． (1)观察猜想：图中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 【答案】(1)； (2)是等腰直角三角形 (3) 【分析】（1）利用三角形的中位线得出，，再推出，即可得出结论，然后利用三角形中位线的性质推出得，最后根据互余即可得出结论； （2）证明得，利用三角形的中位线得出，，继而得到，结合（1）的方法即可得出结论； （3）先判断出最大时，的面积最大，而最大是，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点，分别是，的中点， ∴，， ∵点，是，的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴图中，线段与的数量关系是，位置关系是； （2）解：是等腰直角三角形．理由如下： ∵把绕点逆时针方向旋转到图的位置， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∵点，是，的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：由（2）知：是等腰直角三角形，且， ∴， ∴最大时，的面积最大， ∵绕点在平面内自由旋转，，， ∴当在的延长线上时，最大 此时， ∴， 即面积的最大值． 54．【问题情境】 绕点A逆时针旋转得，连接、，恰好点落在线段上． 【数学思考】 (1)如图1，求证：； 【探究实践】 (2)如图1，已知，，求的长； 【拓展提升】 (3)如图2，当时，过点作交于点，连接，求的面积的最大值． 【答案】(1) 证明：由旋转可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴． (2)； (3)的面积的最大值是． 【分析】（1）由旋转可得，，，可得，，可得，即可证得结论； （2）由旋转可得，，，，可得，证明，可得，解直角三角形，可得，，根据勾股定理可得，可得，，即可得的长； （3）由旋转可得，，，，解直角三角形可得，由平行线的性质，结合等角对等边，可得，证明，可得，，设，则，，可得，即可得的面积的最大值． 【详解】（1）略 （2）解：由旋转可得，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． （3）解：由旋转可得，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 设，则，， ∴（当时取等号）， ∴的面积的最大值是． 55．【问题背景】在几何学习中，利用旋转的性质可以将一些零散、难以关联的条件进行有效转化，从而使题目变得简单． (1)【问题提出】如图1，在等边中有一点，，求的度数； (2)【问题解决】如图2，某地计划新建一个四边形的休闲场所（四边形），在点处修建两个管理室，且两个管理室的距离为．根据设计要求，将休闲场所分为与两部分，其中在中，，用来作为游乐场，由管理室负责管理；在中，，将它作为开心农场，由管理室负责，为了容纳更多动物，要求开心农场的面积尽可能大，请你利用所学知识求出开心农场（）的最大面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图：将绕顶点A旋转到处，此时，连接，即，；易得是等边三角形，则，，再利用勾股定理逆定理可得，再根据角的和差即可解答； （2）如图2，连接，将绕点A顺时针旋转得，连接．利用旋转的性质以及勾股定理可得，再说明；如图2∶过点 B 作， 垂足为 N， 过点作， 交的延长线于点 M．则，进而得到；设点 O 为所在圆的圆心， 连接．过点 O 作 ， 垂足为 F； 过点 B 作， 垂足为 E， 则．利用三角形的不等关系可得的最大值为．最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图：将绕顶点A旋转到处，此时，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， ∴． （2）解：如图2，连接，将绕点A顺时针旋转得，连接． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． 如图2∶过点 B 作， 垂足为 N， 过点作， 交的延长线于点 M． 则， ∴． ∴，， ∴， ∵， ∴ 点B在以 为弦， 所含圆周角为的弧上． 设点 O 为所在圆的圆心， 连接．过点O作 ， 垂足为 F； 过点 B 作， 垂足为 E， 则． ∴． ∵， ∴， ∴的最大值为． ∵， ∴开心农场（）的最大面积为． 题型三、角度问题 56．将一副三角板如图放置（为含的直角三角板，，，为含的直角三角板，）将三角板绕点逆时针旋转，使得三角板的一边所在的直线与垂直，则的度数为（    ）    A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查的是旋转的性质，根据旋转的性质和已知条件进行分类讨论是解题的关键．根据题目要求，需要分两种情况讨论，第一种情况是当时，第二种情况是当时，再根据已知条件求解即可． 【详解】解：当时，如图，   ，， ， ， ， 旋转角为； 当时，如图，   ，， ， 旋转角为； 故选：C． 57．如图，在中，，，将它绕点沿顺时针方向旋转后得到若点恰好落在线段上，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、角的计算依据外角的性质，解题的关键是算出本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据旋转的性质找出相等的角和相等的边，再通过角的计算求出角的度数是关键． 由三角形的内角和为可得出，由旋转的性质可得出，从而得出，再依据计算即可得出结论． 【详解】解：在三角形中，，， ， 由旋转的性质可知：， ， 又， ， ， 故选：D． 58．把边长为5的正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点E，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接、，由正方形的性质得，，则，，由旋转得，，，则点在上，所以，，则，可证明，则，所以，求得四边形的周长是，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， 四边形是边长为5的正方形， ，， ， ， 把正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点E， ，，， ，点在上， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形的周长是， 故选：D． 59．如图，在平行四边形中，，，将绕点逆时针旋转角得到，连接，．给出下面四个旋转角的度数：①；②；③；④．其中能使为直角三角形的旋转角的度数为（    ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】连接，根据已知条件可得，进而分类讨论即可求解． 【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示， ∵在平行四边形中，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为． 当点在的延长线上时，如图所示，则． 当点在的延长线上时，如图所示，则旋转角的度数为． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 即是直角三角形， 综上所述，则旋转角的度数为或或， 故选． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 60．如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，求角度的问题，由题意可知，旋转角，结合的度数可得的度数即可，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点在同一条直线上，， ∴， 故选：C． 61．如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质及旋转的性质可得是等腰直角三角形，再根据，即得结果． 【详解】解：由旋转的性质得，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等． 62．如图，将绕点顺时针旋转得到，若点共线，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用旋转的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，且点共线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了三角形的内角和定理，比较简单． 63．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A的坐标为，，过D作于P，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第986s时，点F的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】四边形是菱形，且点A的坐标为，得为等边三角形，进而证得，过F作于M，解直角三角形得，，如图，菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，8次是一循环，第986s时，F的对应点为G，易证，于是得，，故第986s时，点F的坐标为． 【详解】∵四边形是菱形，且点A的坐标为，， ∴． ∴为等边三角形． ∵于F． ∴． ∴ 过F作于M，则，， ∴点F的坐标为． ∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，8次是一循环， 又∵， ∴第986s时，F的对应点为G， ∵， ∴， ∴． ∴，． 第986s时，点F的坐标为． 故选：D．    【点睛】本题考查规律探索，菱形性质，全等三角形，解直角三角形，明确循环规律，确定动点位置是解题的关键． 64．如图，为等边三角形，以为边向外侧作，使得，再以点C为旋转中心把沿着顺时针旋转至，则下列结论： ①D、A、E三点共线；②为等边三角形；③平分；④，其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】如图，由为等边三角形得到，由得到，再根据旋转的性质得，即旋转角等于，，，于是可计算出，则可对①进行判断；由，，根据等边三角形的判定可对②进行判断；由为等边三角形得，于是可得，则可对③进行判断；根据旋转的性质得，根据等边三角形的性质得，所以，则可对④进行判断． 【详解】解：为等边三角形， ， ， ， 点C为旋转中心把沿着顺时针旋转至， ，即旋转角等于，，， ，即， 三点共线，所以①正确； ，， 为等边三角形，所以②正确； 为等边三角形， ， ， 平分，所以③正确； 为等边三角形， ， 而点C为旋转中心把沿着顺时针旋转至， ， ， ，所以④正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质． 65．如图，等腰中，，，将绕点B顺时针旋转，得到，连结，过点A作交的延长线于点H，连结，则的度数（    ） A． B． C． D．随若的变化而变化 【答案】B 【分析】由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求，由外角的性质可求，即可求解． 【详解】解：根据旋转有：， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 66．如图，在矩形中，，，将绕点A旋转得到，连接，，当的度数最大时，的长为___________． 【答案】或 【分析】当时，的度数最大，；分两种情况讨论：当点E在下方时，过点E作于点F，由可得，，故，故在中，；当点E在上方时，过点E作交的延长线于点G，由可得，，故，故在中； 【详解】解：∵， ∴点E在以点A为圆心，3为半径的圆上运动， 如图，当与相切于点E时，即时，的度数最大，此时； 如图，当点E在下方时，过点E作于点F， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； 如图，当点E在上方时，过点E作交的延长线于点G， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，即， ，， ∴， ∴； 综上可知，的长为或． 67．如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，则__________°． 【答案】130 【分析】设交于，根据题意可得，，再由四边形内角和求出，进而得到即可． 【详解】解：设交于， 由题可知，， ， 在四边形中，， ， ． 68．如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则的度数为_________°． 【答案】 【分析】先由，利用平行线内错角相等得；再根据旋转性质得，推出为等腰三角形，结合三角形内角和求出旋转角，即；最后用减去，算出． 【详解】解：∵， ∴， ∵绕点旋转得到， ∴对应边相等，旋转角相等， ∴， ∴， ∴， ∴． 69．如图，绕点C顺时针旋转后得到了，且于点D，则的度数为______． 【答案】 【分析】此题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了垂直的定义以及直角三角形两锐角互余的性质． 根据旋转的性质，可得知，，利用垂直的定义以及直角三角形两锐角互余求得的度数，即可求出的度数． 【详解】解：∵绕点C顺时针旋转后得到了， ∴，． ∵于点D， ∴， ∴， ∴． 故答案为：53． 70．将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，如图2，，，且，当与三角板的一条直角边（边或）平行时，则满足条件的t的值为__________ ． 【答案】15或60 【分析】当时，延长交于点P，分两种情况讨论：①在上方时，②在下方时，，列式求解即可；当时，延长交于点I，①在上方时，，②在下方时，，列式求解即可． 【详解】解：由题意得，，，如图1， 当时，延长交于点P， ①在上方时， ，，， ， ， ， ， ， 即 解得； ②在下方时，， ，，， ， ， ， ， ，即， ； ， （舍去，不符合题意） 当时，延长交于点I， 在上方时，， ，， ， ， ， ， ，即， ； ②在下方时，， ，，， ， ， ， ， ，即， （不符合题意，舍去）， 综上，所有满足条件的t的值为15或60， 故答案为：15或60． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 71．如图1，在中，点D为边上的一个定点，射线与边交于点E，射线与边交于点F，与关于直线对称，与关于直线对称． (1)如图2，当点落在边上，点落在边上时，若，则的度数为 ； (2)在图1中，设，，求x与y满足的数量关系式； (3)如图3，，射线从位置出发，绕点D顺时针旋转，到位置停止；射线从位置出发，绕点D逆时针旋转，到位置停止．两条射线同时开始旋转，射线的旋转速度为每秒，射线的旋转速度为每秒，当时，求旋转时间t的值． 【答案】(1)40 (2)时；当时 (3)t为或 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，由平角的定义及计算得到，在四边形中根据内角和定理即可求解； （2）由折叠的性质得：，，结合图形分类讨论：当在的左侧时（）；当在的右侧时（）；结合角度的数量关系列式求解即可； （3）根据题意得到射线到的时间为秒，射线到的时间为秒，，，结合运动情况分类讨论：与相遇前；在与相遇后；由平角的定义列式求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵与关于直线对称，点落在边上，，与关于直线对称，点落在边上， ∴， ∴， ∵，则， ∴， 在四边形中，， 故答案为：40； （2）解：由折叠的性质得：，， ，， ①当在的左侧时（）， ， ， ， ； ②当在的右侧时（）， ， ， ， ． 综上，x，y满足当时；当时． （3）解：当时，， ∵射线的旋转速度为每秒，射线的旋转速度为每秒，到位置停止， ∴射线到的时间为秒，射线到的时间为秒， 由题意可知，，， ①与相遇前，则， ∴， 解得； ②与相遇后，则， ∴， 解得，不合题意舍去； ∴在与相遇后，当时，射线已停止旋转， ∴此时， ， 解得， 综上，当t为或时，． 72．【问题情境】 在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放．其中，，，，，在同一直线上． (1)如图1， ； 【操作探究】 (2)如图2，如果把图1所示的以为中心逆时针旋转得到，当转到与直线首次重合时，停止转动．当时，为多少度？ 【拓展延伸】 (3)如图3，作关于直线的对称，保持不动，绕点逆时针旋转，在转到与直线首次重合过程中，当与的一边所在直线垂直时，请直接写出旋转角的度数 ． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）根据平角的定义列式计算即可； （2）先求出的度数，然后分在内部和在外部两种情况，根据角的和差关系列式求解； （3）分旋转后与所在直线垂直、与所在直线垂直、与所在直线垂直三种情况求解． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：由（1）可知， ， 如图，当在内部时， 由旋转可知， ， ； 如图，当在外部时， 由旋转可知， ， ； 综上所述，或； （3）解：如图，当旋转得到的边所在的直线时，垂足为， ， 四边形是矩形， ， 由折叠可知， ； 如图，当旋转得到的边所在的直线时，此时在线段上， 由折叠可知， ； 如图，当旋转得到的边所在的直线时， ， ． 综上所述，当与的一边所在直线垂直时，旋转角的度数为或或． 73．数学活动课上，如图1，同学们将小三角形纸片与大三角形纸片中的小三角形重合放置，如图2，固定顶点，然后将纸片绕顶点逆时针旋转，来探究图形旋转的性质．已知和中，，，直线与直线交于点． (1)如图2，当旋转角小于时，的度数会发生改变吗？若改变，请说明理由；若不变，请求出的度数； (2)在纸片绕点旋转过程中，当时，求的面积； (3)在纸片绕点旋转过程中，连接，当线段的长度最小时，求的值． 【答案】(1)的度数不改变， (2)的面积为或 (3) 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，，进一步可以得到，由相似三角形带来的等角进行角度转化，即可得到的值． （2）注意题干条件，此时纸片的旋转范围为，需注意在满足题干要求的前提下是否会有多种情况，画出符合题干要求的情况后再结合（1）带来的信息作出适当的辅助线，充分利用这个带来的几何关系进行解题． （3）根据确定出点的轨迹，从而得到当三点共线时，最小，再构造适当的辅助线将放入直角三角形中求解． 【详解】（1）的度数不改变，，理由如下： 由旋转的性质可得，均为旋转角，且，， ∴，， ∴， ∴， 记与交于点M， ∵， ∴， 由题得，， ∴为等腰直角三角形， ∴． （2）第一种情况如图， 过点E作，由（1）得， ∵， ∴为等腰直角三角形， 设，则， ∴， ∴在中，由勾股定理有，即， 解得， ∴． 第二种情况如图， 同（1）可证得， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点E作， ∵， ∴为等腰直角三角形， 设，则， ∴， ∴在中，由勾股定理有，即， 解得 ∴． 综上的面积为或． （3）由（1）（2）可得在纸片绕点旋转的过程中，当点H在线段上方时，总有， 又∵为定长， ∴当点H在线段上方时，点H的轨迹为以为弦，所含圆周角为的一段圆弧， 如图优弧，其中点O为圆心， 故当点C，H，O三点共线，且点H在点C，O之间时线段的长度最小，如图所示， 同时由于，可得也为的外接圆， ∵，， ∴， ∴的半径， 【法一】 过点O，点H作， ∵为等腰直角三角形的外接圆， ∴圆心O为斜边的中点， ∵，，， 由勾股定理可得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴， 在中，由勾股定理有， ∴ ∵，， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴在中，． 【法二】 作直线交于点M，连接，过点C作直线于点N，过点H作， ∵为等腰直角三角形，且点O为斜边的中点， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵等腰直角三角形的斜边， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴在中，， ∴设，， ∴在中，由勾股定理有，即， 解得， 即，， ∴， ∴在中，， ∵在中，均为所对的圆周角， ∴， ∴． 74．数学在我们生活中无处不在，一节广播操的运动过程就有数学问题．如图1为一节广播操动作的示意图，为了研究方便，两手手心位置分别记为A，B两点，两脚脚跟位置分别记为C，D两点，若A，B，C，D在同一个平面内，做操过程中将手脚运动近似看作A，B，C，D绕点O转动，其中O为该平面内的一个定点． (1)在腿部运动的过程中，A，O，B三点始终共线．如图2，当A，B不在水平方向上时，若，，求的度数； (2)图3为体侧运动，在运动前，A，O，B三点共线，且，，平分，且．绕点O顺时针旋转，若的旋转速度为，的旋转速度为，当运动到位置时，运动停止．运动停止时，直接写出______；（用小于平角的度数表示） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）不妨设，故，因为，求解即可； （2）此时转动的时间为：，因为的旋转速度为， 故转过的角度为：，此时． 【详解】（1）解：因为， 不妨设， 故， 因为， 所以， 解得， ； （2）解：根据题意，，得， 因为，平分， 所以， 所以， 当运动到位置时，运动停止， 的旋转速度为，此时转动的时间为：， 因为的旋转速度为， 故转过的角度为：， 此时． 75．综合与实践 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题． (1)【观察猜想】 如图1，在中，，，点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的值是___________，直线与直线相交所成的较小角的度数是___________； (2)【类比探究】 如图2，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段于点． ①求的度数； ②连接交于点，若，求； (3)【拓展延伸】 如图3，中，，，，分别是，的中点，连接．如图4，将绕着点顺时针旋转角度交于点，连接，射线交于点．若射线将分成的两个角满足，求的值． 【答案】(1)； (2)①；②； (3) 【分析】（1）根据题意可得和为等边三角形，结合角的和差可得，利用全等三角形的性质可得，结合三角形内角和可得直线与直线相交所成的较小角的度数． （2）①连接，根据正方形的性质可得， ，证明，根据相似三角形的性质可得． ②连接交于点，根据正方形的性质可得，进而证明，利用相似三角形的性质可得， 进而得出． （3）连接，根据题意可利用中位线定理和等腰三角形的性质，得，，， ，根据平行线的性质可得，根据三角形内角和可得，根据勾股定理即可求得，由题意可知，，直线交于点，直线交于点，过点作垂线，垂足为，直线交于点，连接，根据相似三角形的性质和判定，勾股定理，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴为等边三角形， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴如图，延长交于点，则直线与直线相交所成的较小角的度数是：． （2）解：①如图，连接，交与点， ∵四边形是正方形， ∴，且，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． ②解：补充图，如图所示： ∵是正方形的对角线， ∴， 由①可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：连接，如图所示： ∵，点、分别是、的中点， ∴是的中位线，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 射线将分成的两个角， ， 旋转后，直线交于点，直线交于点，过点作垂线，垂足为，直线交于点，连接，如图所示： ∵， ∴， 又∵，，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则，，， ∵ ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，（舍）， ． 题型四、其他问题 76．如图，在中，，，将绕点 C顺时针旋转得到． 点 E是边的中点，点F为线段上的动点，在绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是，则线段长度的最小值为（     ） A．4.8 B．3 C．2.4 D．1.8 【答案】D 【分析】过A作于F，过C作于E，根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式求出；此时过C作于F，以C为圆心为半径画圆交于，有最小值，解答即可． 【详解】解：过A作于F，过C作于E，如图1： ∵， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ， ∴，， ∴， 如图2，过C作于F，以C为圆心为半径画圆交于，有最小值， 此时在中，， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 【点睛】此题考查了几何变换问题，等腰三角形的性质，旋转的性质，面积法求三角形的高，解直角三角形；（1）题关键用面积法求出三角形的高，（2）题关键是能画出旋转的轨迹． 77．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形绕O点顺时针旋转i个，得到正六边形．当时，顶点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是旋转的旋转，正六边形的性质，圆的对称性，锐角三角函数，掌握以上知识是解题的关键；以O为圆心，为半径作 得到将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个，即把绕点O顺时针旋转i个，与重合，利用正六边形的性质与锐角三角函数求解的坐标，从而可得答案． 【详解】解：如图以O为圆心，为半径作 ； 将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个； 即把绕点O顺时针旋转i个； C旋转后对应点依次为，，……； ∵1周； ∴绕点O顺时针旋转8次回到原位置； ∵； ∴与重合； 如图： ∵多边形是正六边形； ∴每个内角为； 即； ∵正六边形是轴对称图形； ∴ ∵； ∴； ∴坐标为； 即的坐标为； 故答案为：B． 78．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点B，D的对应点分别为C，E，将线段绕着点B顺时针旋转得到线段，点D的对应点是F，连接，．当的度数从逐渐增大到的过程中．四边形的形状依次是：平行四边形→______→平行四边形．画线处应填入（　　） A．菱形→矩形→正方形 B．矩形→菱形→正方形 C．菱形→平行四边形→矩形 D．矩形→平行四边形→菱形 【答案】D 【分析】分逐渐变大，B、D、E三点共线之前；B、D、E三点共线时；B、D、E三点共线后，之前；时；后，讨论即可． 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转得到，线段绕着点B顺时针旋转得到线段， ，，， ，， ①当逐渐变大，B、D、E三点共线之前时， ， ， 又， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形； ②当B、D、E三点共线且D在B、E之间， ，， ， ， ， 又， ， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形； ③当逐渐变大，B、D、E三点共线之后， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ④当时， ， 又， ， ， 由③同理可证， ， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形； 当后时， 由③同理可证， ， 又， ∴四边形是平行四边形． 当的度数从逐渐增大到的过程中，四边形的形状依次是：平行四边形→矩形一平行四边形一菱形一平行四边形． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定等知识，明确题意，合理分类讨论，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 79．如图已知中，，，，将绕着边中点旋转得到，、分别交于点、，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设交与点，先利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得到，接着证明得到，则，求得，然后利用平行线分线段成比例定理求出的值． 【详解】设交与点， ， ， 为中点， ， 将绕着边中点旋转得到， ， ， ， ， ， ， 即， ， ∵平行于， ∴， ， 即， 解得， 故选A．      【点睛】本题考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点到旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前后的图形全等，也考查了平行线的性质和平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质等． 80．如图，在中，，若是边上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，连接，则在下列结论中：①，②；③，④，一定正确的是（　　）    A．①③ B．③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据旋转变换的性质，等边三角形的性质，平行线的性质判断即可． 【详解】解：①， ， 由旋转的性质可知，， ，故本选项结论错误，不符合题意； ②当为等边三角形时，，除此之外，与不平行，故本选项结论错误，不符合题意； ③由旋转的性质可知，，， ，， ， ，本选项结论正确，符合题意； ④只有当点为的中点时，，才有，故本选项结论错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是旋转变换，等腰三角形的性质，平行线的判定，掌握旋转变换的性质是解题的关键． 81．对于题目：“如图，平面上，正方形内有一长为、宽为的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转即平移或旋转的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数”甲、乙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长，再取最小整数． 甲：如图，思路是当为矩形对角线长时就可移转过去；结果取． 乙：如图，思路是当为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去：结果取． 下列正确的是（  ） A．甲的思路对，他的值错 B．乙的思路错，他的值对 C．甲和乙的思路都对 D．甲和乙的值都对 【答案】A 【分析】据矩形长为宽为，可得矩形的对角线长为，由矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，可得该正方形的边长不小于，进而可得正方形边长的最小整数的值． 【详解】解：矩形长为宽为， 矩形的对角线长为：， 矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放， 该正方形的边长不小于， ， 该正方形边长的最小正数为． 故甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，； 乙的思路与计算都错误，图示情况不是最长； 故选：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，熟练运用矩形的性质是解题的关键． 82．如图，每次旋转都以图中的A、B、C、D、E、F中不同的点为旋转中心，旋转角度为k•90°（k为整数），现在要将左边的阴影四边形正好通过n次旋转得到右边的阴影四边形，则n的值可以是（    ） A．n＝1可以，n＝2，3不可 B．n＝2可以，n＝1，3不可 C．n＝1，2可以，n＝3不可 D．n＝1，2，3均可 【答案】D 【分析】利用旋转变换的性质一一判断即可． 【详解】解：将左边的阴影四边形绕点E顺时针旋转90°得到右边的阴影四边形，此时n＝1． 左边的阴影四边形绕点A逆时针旋转90°，再将得到的四边形绕点C顺时针旋转180°可得右边的阴影四边形，此时n＝2． 左边的阴影四边形绕点B顺时针旋转90°，再将得到的四边形绕点E顺时针旋转90°，将得到的四边形绕点C逆时针旋转90°可得右边的阴影四边形，此时n＝3． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了旋转变换，理解题意、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 83．如图，平行四边形中，，，，于点，为边上一动点．将绕点顺时针旋转至（旋转角），使得、、三点恰好共线，当为等腰三角形时，的长为________． 【答案】2或 【分析】依次对三条边两两相等进行分类，①时，可得出不可能有三点共线，故舍弃；②时，先通过旋转的性质和等边对等角推出，然后利用三角形内角和求得这些角等于，进而可求解；③时，先通过旋转性质和三角形内角和定理求出，从而得到，作垂线，通过等腰直角三角形和含角的直角三角形表示出，根据求出，进而可求解． 【详解】解：等腰三角形共有三种情况，依次分类讨论： ①当时， ∵旋转， ，， ∴， 如下图所示： 则此时不可能有三点共线，故这种情况不存在，舍去； ②当时， 如下图所示，连接， 此时， ∵旋转，，且三点共线， ，，，，， ∴，，， ∵， ∴， 如图，设， 在中，， 即， ∴， ∴，，， 即， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，，， ， ∴； ③当时， 如图所示，过作于， 由②可知，此时， ∵旋转，， ∴，， ， ， ，三点共线， ， ∴， ， ∴， ， 是等腰直角三角形，， 设，则， ， ， ， 解得， ； 综上，当、、三点恰好共线，为等腰三角形时，的长为2或． 84．如图1，直线a与直线b相交于点O，点P在内部．规定：先以a为对称轴作点P关于a的对称点，再以b为对称轴作点关于b的对称点，从点P到点的变换（两次轴对称）称为“1次T变换”，经过n次T变换的过程为．若经过n次T变换后，点与点P第一次重合，我们就称n为“变换的最优值”． 例如：如图2，当时，点P经过第1次T变换得到点，点经过第2次T变换得到点，点经过第3次T变换得到点，此时点与点P第一次重合，所以为“变换的最优值”． （1）如图3，当时，______为“变换的最优值”． （2）若时，且变换的最优值，则此时为______°． 【答案】 6 144 【分析】根据轴对称的性质，两次轴对称变换相当于一次旋转变换. 当时，旋转角为；当时，旋转角为．点与点第一次重合，说明次变换后的总旋转角度为，据此列式计算即可． 【详解】解：（1）由轴对称的性质可知，1次T变换相当于将点绕点旋转的角度． 当时，每次T变换旋转的角度为． 若经过次T变换后，点与点第一次重合，则旋转的总角度应为， ； （2）当时，，此时1次T变换，点绕点旋转的角度（考虑能使旋转角小于的方向作为旋转方向）为． 变换的最优值， 经过5次T变换，点旋转的总角度为， ， 解得． ， 符合题意． 85．如图，在矩形中，，，是的中点．将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，边与边交于点，连结．当点落在上时，__________． 【答案】或 【分析】连接，设，根据矩形性质和旋转性质可得，，进而得出，利用勾股定理表示出和，结合共线及推导出，利用角度转换运算可得，再根据三角函数建立方程求解即可． 【详解】解：连接，如图： 四边形是矩形，，，是的中点， ，，，， 由旋转的性质可得，，， ，，， 在和中， ， ， ， 设，则， ， 点在边上 ， 在中，， 在中，， ， 点落在上， 是的中点， 在中，， 在中，， 由旋转性质可知， ， 是的中点， ，即， 点在上， ， ， ， ， ， 即， 解得，． 【点睛】解题核心是利用旋转性质与全等三角形转化线段，结合等腰三角形“三线合一”和三角函数建立方程，将几何关系转化为代数问题求解． 86．已知矩形，，，为延长线上的一点，连接， （1）若时，的值为______； （2）当在延长线上运动时，的最小值为______． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查勾股定理、相似三角形的性质及判定、图形的旋转： （1）为等腰直角三角形，根据勾股定理分别求得，的长度即可； （2）如图所示，以点为旋转中心，将顺时针旋转，点，的对应点分别为点，，取线段的中点为点，在线段上取一点，使，证明，求得，然后分别求得，，结合，即可求得答案． 【详解】解：（1）根据题意可知，为等腰直角三角形． ∴． ∴，． ∴． ∴． （2）如图所示，以点为旋转中心，将顺时针旋转，点，的对应点分别为点，，取线段的中点为点，在线段上取一点，使． 根据题意可知，，，． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 又，， ∴． ∵线段的中点为点，． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． ∴最小值为． 故答案为：； 87．如图，在和中，，，，连接，，将绕点旋转，当最大时，的长为 ________． 【答案】 【分析】先确定点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，过作的垂线交延长线于，由分析出当最大时，最大，再由直角三角形斜边大于直角边得在旋转过程中，即时，取得最大值，再通过取中点，连接并延长至，使得，利用勾股定理可求出、的长度，再证明即可． 【详解】解：如图，将绕点旋转一周，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，过作的垂线交延长线于， ∵， ∴当最大时，最大， 在旋转过程中，， ∴， 即时，取得最大值， 此时在直角三角形中， ， ∴， 如图，取中点，连接并延长至，使得， ∴在直角三角形中， ，； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，难度较大，掌握相关知识是解题关键． 88．探究以下问题： 【探索求知】 (1)如图1，在四边形中，连接，，以为边在左侧作等边，连接． ①判断能否由旋转得到，并说明理由； ②求的长； 【实践运用】 (2)如图2，步道将等腰广场分为三部分，用于规划不同的功能区，经测量，，，，，求的长． 【答案】(1)①能由旋转得到， 理由：是等边三角形，， ，， ， 在和中， ， ， 点为和的共同顶点， 可以由旋转得到； ②； (2) 【分析】（1）①先证明，再证明，可得结论；②绕点按顺时针方向旋转得到，证明，再结合勾股定理可得答案； （2）将绕点逆时针旋转得，作于，连接， 进而可得，，，， ，证明，得，再结合勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：①略 ②绕点按顺时针方向旋转得到， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， 将绕点逆时针旋转得，作于，连接， ， ，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 于， ， ， ， ， ， ， 中，， 中，， ． 89．综合与探究 【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动．如图，在中，，，，为斜边的中点，将与全等的绕点旋转得到． 【操作发现】 (1)如图1，顺时针旋转一定角度，记和分别与交于点E，F，当时，猜想和的数量关系为________，并证明你的猜想； (2)如图2，继续旋转一定角度，当线段经过点B时，连接，，试判断四边形的形状，并证明你的结论； 【实践探究】 (3)在整个旋转过程中，当在下方，且的直角边恰好与垂直时，设线段与直线交于点G，直线交射线于点H，连接，请直接写出的长． 【答案】(1)，证明如下： ， ， ， ， 根据旋转可得，，， ， ， ； (2)四边形是菱形，证明如下： 在中，，为斜边的中点， ∴， 由旋转可得，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴将和代入中， 得，即是斜边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴垂直平分，垂直平分， ∴四边形为菱形； (3)的长为或 【分析】（1）根据旋转的性质可知，再根据“等角对等边”得出答案； （2）在中，是中点，故；由旋转得，是中点，故；再证，结合，得与互相垂直平分，故四边形是菱形； （3）分两种情况讨论：①当时，根据勾股定理，得，再根据中点定义得，结合，得，即可求出，进而求出，然后证明，可知，可求，最后根据得出答案；②当时，设交于点，可得，再说明，结合中点的定义求出，然后证明，可得，即可求出，最后根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：①当时，如图， ，， ∴， 是的中点， ． 在中，， 由旋转的性质得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图，设交于点，点与点重合， ， ， ， ， 为的中点，则， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题核心是三角形旋转性质直角三角形中点模型相似和三角函数的综合应用，利用旋转前后对应边、角相等，结合中点性质、菱形判定、三角函数或相似求解；要先明确旋转等量关系，复杂图形画辅助线拆解，分类讨论要覆盖所有位置情况． 90．旋转是图形的一种基本变换，通过图形的旋转变换、能将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，并且保持对应“元素”． 【问题解决】如图1，是等边内一点，且 若将绕点顺时针旋转得到． (1)则点与之间的距离为 ， （直接写出答案）． (2)如图2，在（1）的条件下，过作交延长线于，则 （直接写出答案）． 【类比探究】 (3)如图3，点是正方形内一点，．求的度数和正方形面积． 【答案】(1)； (2) (3)的度数为，正方形面积 【分析】（1）利用旋转的性质和全等三角形的性质可得，为等边三角形，，，再根据全等三角形的性质和勾股定理逆定理可得为直角三角形，进而求解即可． （2）根据所对的直角边为斜边的一半，可得，利用勾股定理可得，从而求得，进而利用勾股定理可得． （3）将绕点按顺时针方向旋转，使与重合，过点作，交的延长线于点，由旋转可得：，，，，根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，则，根据勾股定理可得，，，再根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，即，再根据角之间的关系可得；然后可推出为等腰直角三角形，求得，最后同（2）可得，即可求出正方形面积． 【详解】（1）解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴，为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∴； （2）解：由（1）知，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：将绕点按顺时针方向旋转，使与重合，得到，过点作，交的延长线于点，如图： ， 由旋转可得：，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴， 在中，， 即， ∴， 综上，的度数为，正方形面积． 1．请根据小明的数学探究活动单，完成下列任务． 研究内容：“变换” 提出概念：已知点，如果点满足，那么称点是点P的“变换”点． 理解概念： (1)如图1，已知点和点，当时，求点P，Q对应的“变换”点，并在图1中画出线段． 探究性质： (2)研究发现：线段可由线段通过一次图形变换得到； 请描述这种图形变换（如果是平移请说明平移方向，距离；如果是轴对称请说明对称轴，如果是旋转请说明旋转中心，旋转方向，旋转角度）． (3)线段是线段的“变换”线，，请你求出直线的“变换”线，． 运用性质： (4)如图2，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C的坐标分别为，，，曲线是反比例函数图象的“变换”线，，交边于点M，N，直线，分别交边于点E，F，记，，，的面积分别为，，，，求的值． 【答案】(1)，图见详解 (2)线段可由线段通过绕原点逆时针旋转变换得到 (3) (4) 【分析】（1）代入给出的方程组求解，然后在坐标系中画出图形即可； （2）根据（1）可进行求解； （3）设直线上的任意一点坐标为，，则“变换”后的，然后可得，进而把代入进行求解即可； （4）由题意易得曲线l的解析式为，然后可得直线的解析式为，则有，进而根据菱形的性质及两点距离公式可得，最后问题可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， 所作线段如图所示： （2）解：如图，由（1）可知：， ∴P点绕点O逆时针旋转得到点，Q点绕点O逆时针旋转得到； 综上可知：线段绕点O逆时针旋转得到线段； （3）解：设直线上的任意一点坐标为，，则“变换”后的， ∴， 解得：， 代入直线得：， 整理得：， ∴直线的“变换”线为； （4）解：设反比例函数上任意一点P为，点P的“变换”点， ∵， ∴，解得：， 代入反比例函数得，， 整理得：， 由图象可知：， ∴， ∴曲线的表达式为， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，解得：， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 设O点到的距离为h， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 由菱形是中心对称图形可知：， ∴． 2．在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点A和线段，给出如下定义： 将线段绕点A顺时针旋转α可以得到线段（，分别是B，C的对应点），点P为线段上任意一点，若最小值为1，则称线段是的以点A为中心关于“α”的“关联线段”． (1)若． ①当时，如图点，，，，，，，的横、纵坐标都是整数，在线段，，，中，的以点A为中心关于“”的“关联线段”是_____； ②当时，且在直线上（点B在点C左侧），线段是的以点A为中心关于“”的“关联线段”，直接写出点B横坐标的取值范围； (2)若，，，点A在线段上，，直线与线段有交点，且线段是的以点A为中心关于“”的“关联线段”．直接写出b的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】（1）①根据定义求解即可； ②根据逆向思维，将点O绕点A逆时针旋转后确定点的坐标，利用定义结合相似三角形，解直角三角形的性质求解即可； （2）先求出线段的解析式，根据定义，分情况讨论点A的位置，利用等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：①根据题意，得，，，，，，，，， 旋转后， ，，，，，，，， 点O到的最小距离为，满足定义，此时符合要求； 点O到的最小距离为，不满足定义，此时不符合要求； 点O到的最小距离为点到的距离，与圆相切，距离等于半径1，满足定义，此时符合要求； 点O到的最小距离大于，不满足定义，此时不符合要求； ∴的以点A为中心关于“”的“关联线段”是；； ②设直线与x轴交于点G，与y轴交于点E， 则，， ∴， ∴， ∴， 将点O绕点逆时针旋转，得到， 连接，过点作轴于点Q，则，， ∴， ∴， ∵，且线段在直线上，点P为线段任意一点，的最小值为1， 此时分情况讨论： ①当点为临界点时， 如图，过点作， ∴， 在中，， ∴，即； ②当点为临界点时，此时点与点重合， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 此时点与点E重合， 在中，，， ∴， ∵，， ∴，即点，，Q三点共线， ∴， 过点作轴交点K， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴点B横坐标的取值范围为． （2）解：设的解析式为， 将点M，N分别代入得：， 解得， ∴线段的解析式为， ①如图，当点N与点重合，将点O绕点逆时针旋转得点， ∵，且直线与线段有交点， ∴存在的区域为阴影部分的圆环， 当时，b有临界值， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴b的临界值为； ②如图，当点M与点重合， ∵，， ∴， 将点O绕点逆时针旋转得点，此时点在线段上， 同理可得，当时，b有临界值， ∵与的k均为1， ∴， ∴， 延长交于点S， ∵， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴ ∴b的临界值为， 综上所述，b的取值范围是． 3．在正方形中，点E是边上的一个动点，点F是的中点，点G在边上且，，的延长线交于点M． (1)如图1，当点E与点B重合时，求的度数； (2)如图2，当点E与点B不重合时，（1）中的度数是否发生变化？若有改变；请求出的度数，若不变，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，作于点N，连接，，取的中点P，连接，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：不变， 理由：如图，连接，取中点O，连接，，， 在正方形中，，，， 又∵点F是的中点， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵O，F分别是，的中点， ∴， ∴． (3) 解：， 理由：如图，取中点Q，连接，，， 由题意得，是等腰直角三角形， ∵Q为中点， ∴， 设，则，， ∵P，Q分别是，的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【分析】（1）利用中点的性质得出，再由已知条件根据线段等量代换得到，利用等腰直角三角形的性质得出，最后由正方形的性质即可得到结果； （2）连接，取中点O，连接，，，通过构造正方形中常见的旋转型全等，结合中位线得出结论； （3）取中点Q，连接，，，通过题目中给出的中点条件考虑可取其他中点结合中位线推导，并找到一组旋转型相似的三角形，进而解决问题． 【详解】（1）解：∵点F是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵正方形中，，， ， ∴， ∵， ∴． （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质及相似三角形的判定与性质．准确添加辅助线是正确解答此题的关键． 4．如图，在等腰三角形中，，点E在直线上，点D是平面内一点，连接. (1)如图1，若，点E在线段上，，连接，将绕点A逆时针旋转至，连接，点D为中点，连接，求出此时的面积； (2)如图2，若，点D在外部，点E，点F分别是，的中点，连接，将绕点F顺时针旋转至，连接，，，试猜想线段和的数量关系，并证明； (3)如图3，若，若点D是平面内一动点，连接，将沿翻折得，当B，D，Q三点共线时，在线段上取一点N，使，点E是直线上的动点，将绕点E顺时针旋转至，连接，当取最小值时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) 猜想：，理由如下： 如图2，连接，过点D作交延长线于点Q，连接，， ∵点F是的中点， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵将绕点F顺时针旋转至， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，     ∵，， ∴， ∴． ∵在等腰三角形中，，， ∴， ∵，点E是的中点， ∴，即， 在中，     ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，     ∵， ∴， ∴， ， ∴； (3) 【分析】（1）过点F作于点K，证明三角形是等边三角形，再证，在中，求出的长，最后求出； （2）连接，过点D作交延长线于点Q，连接，，先证，再证，最后运用相似三角形性质，特殊角的三角函数值等知识，得出； （3）先证明A，B，C，D四点共圆，再推导出点D在圆上，在上确定一个点F，连接，，使得，连接，，证得，连接，将绕F点顺时针旋转，并将缩短，得到，则点N在圆上，运用瓜豆原理得到点K的运动轨迹，最后得到取最小值时， ． 【详解】（1）解：如图1，过点F作于点K， ∵等腰三角形中，，， ∴三角形是等边三角形， ∵， ∴，， ∵将绕点A逆时针旋转至， ∴，， ∴， ∴，即， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∵点D为中点，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵等腰三角形中，，， ∴三角形是等边三角形， ∵将沿翻折得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴A，B，C，D四点共圆， ∴， 设， 则点D在以O为圆心的圆上，点O为等边的内心， 如图3，作，连接，， 则，，， ∴，，， ∴， ∴如图3，点D在以O为圆心，为半径的圆上， 如图4，在上确定一个点F，连接，，使得，连接，， ∵，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 如图5，连接，将绕F点顺时针旋转，并将缩短，得到， 即，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴点N在以为圆心，为半径的圆上， ∵，， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴，． ∵点E是直线上的动点，将绕点E顺时针旋转至， ∴点K也在直线上运动， 如图6，设点E运动到中点处为，点E运动到B点处为，作出，的对应点，，连接，则点K在直线上运动， 设直线与延长线交于点S，作于点K，当，N，K三点共线，且点N位于之间时，取最小值． ∵，，， ∵为中点，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴， 过点K作于点P，设交于点L， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴如图7，在中， 作于点Z， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了等边及等腰三角形的性质与判定，相似三角形及全等三角形的性质与判定，隐圆，瓜豆线等动点问题，综合难度大． 5．问题情境 借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，，分别取、的中点、，作．如图2所示，将绕点逆时针旋转，连接、． 【探究发现】旋转过程中，线段和存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明． 【类比应用】如图3，当所在直线首次经过点时，求的长． 【延伸思考】如图4，在中，，，，分别取、的中点、．作，将绕点逆时针旋转，连接、．当首次与平行时，求的面积． 【答案】【探究发现】： ， 理由如下： ∵点和点分别为中点， ∴， ， ∴， ， ， ∴为直角等腰三角形， ∴， 根据旋转的性质可得：， ， ， 即． 【类比应用】：；【延伸思考】： 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定及性质，旋转的性质，勾股定理等知识点，综合程度比较大，熟练运用这些知识是解题关键； 【探究发现】根据中点的定义得出，进而得出，再通过直角等腰三角形的性质得到，通过证明，即可得出结论； 【类比应用】根据题意推出当所在直线经过点时，，根据勾股定理可得，根据【探究发现】可得，即可求解； 【延伸思考】过点作于点，根据平行线的性质得出，根 据 旋转的 性 质 得 出，进 而 推 出，则，进而可求 出，再根据三角形面积公式，即可解答． 【详解】【探究发现】解：略． 【类比应用】解：由图1可知 ∵点和点分别为中点， ， ， ， ∴当所在直线首次经过点时，， 根据勾股定理可得：， 由【探究发现】可得：， ， 解得：； 【延伸思考】解：过点作于点， 根据题意可得：， ， ， ， ∵， ， 根据旋转的性质可得：， ， 又∵， ∴， ∴， ， ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $