专题02 与旋转有关的热考模型（题型专练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以旋转为核心，系统整合费马点、瓜豆等六大热考模型，通过“模型定义-典例解析-变式迁移”构建方法体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |费马点模型|1典例+5变式|旋转60°构造等边三角形，化折为直|基于旋转性质，构建距离和最短问题的转化路径| |瓜豆模型|1典例+4变式|“一定两动、定角、定比”轨迹分析|从动点随主动点运动的关联性，培养空间观念| |手拉手模型|1典例+4变式|共顶点等腰三角形旋转全等|通过旋转构造全等，深化图形变换逻辑| |半角模型|1典例+4变式|旋转全等转化半角条件|利用旋转整合分散线段，提升推理能力| |一线三等角模型|1典例+4变式|构造等角相似或全等|结合坐标系，强化几何与代数综合应用| |隐圆模型|1典例+3变式|旋转定长轨迹的圆弧判定|从动态旋转中抽象圆的定义，发展抽象能力|

专题02 与旋转有关的热考模型 （题型突破·举一反三） 题型01 费马点模型 题型02 瓜豆模型 题型03 手拉手模型 题型04 半角模型 题型05 一线三等角模型 题型06 隐圆模型 ▌题型01 费马点模型 运用旋转的方法，以∆ABC任意一条边向外旋转60°构造等边三角形，根据两点之间线段最短，得出最短长度. 【典例1】（23-24九年级上·福建龙岩·期中）如图，在等边三角形内有一点．    (1)若，，，求的度数； (2)若等边三角形边长为，求的最小值； (3)如图，在正方形内有一点，且，，，求正方形的边长．    【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结、，则，得到，，，，证得是等边三角形，求出，，根据勾股定理逆定理证得是直角三角形，，即可求出； （2）根据（1）的方法将绕点顺时针旋转得到，再将绕点顺时针旋转得到，则，当四点共线时，取得最小值，即的长，勾股定理，即可求解． （3）如图，延长，过点作于，得到，求出，勾股定理求出即可． 【详解】（1）解： 如图所示，    将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、， ， ，，，， 是等边三角形， ，， ， 是直角三角形，， ， ， （2）解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，    则，，，则是等边三角形， ， 再将绕点顺时针旋转得到，则 ，，， 当四点共线时，取得最小值，即的长， 设，交于点， ，， ， ， 在中， ， 即的最小值为； （3）如图，将绕点逆时针旋转，得到，   ， ，，，， 是等腰直角三角形， ，， ， 是直角三角形，， 如图，延长，过点作于，则，   ，， ， ， ， ，即正方形的边长为． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【变式1】（23-24九年级上·福建厦门·期中）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，分两种情况讨论，请补充以下推理过程： ①当的三个内角均小于时， 如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，    ∵绕点C顺时针旋转得到 ∴， ∴为_________三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ 由几何公理：_____________可得： ∴当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有________°．    ②当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点，证明略． (2)如图3，在中，三个内角均小于，且，，，若P为的“费马点”，求的值；    (3)如图4，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知，，．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为1万元，1万元，万元，则总的铺设成本最少是_______万元．    【答案】(1)①等边，两点之间线段最短，120；②见解析 (2)7 (3) 【分析】（1）①根据题目所给的推理步骤即可解答；②当时，根据大边对大角得出，进而求出顶点A到另两个顶点距离和最小，即可求证； （2）将绕点C顺时针旋转得到，连接，由（1）可得：当B，P，，在同一条直线上时，取最小值，延长，过点作延长线的垂线，垂足为D， 求出，则，根据勾股定理可得：，最后根据勾股定理得出即可求解； （3）根据题意可得：总的铺设成本为万元，将绕点C顺时针旋转得到，连接，求出，则当B，P，，在同一条直线上时，，此时取最小值，用和（2）同样的方法求解即可． 【详解】（1）解：①当的三个内角均小于时， 如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，    ∵绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由几何公理：两点之间线段最短，可得： ∴当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有．    ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴顶点A到另两个顶点距离和最小， ∵， ∴， ∴当点P和点A重合时，取最小值， 即此时的A点为该三角形的“费马点”．    （2）解：将绕点C顺时针旋转得到，连接，    由（1）可得：当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 延长，过点作延长线的垂线，垂足为D， ∵绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则 根据勾股定理可得：， ∴； （3）解：根据题意可得： 总的铺设成本为万元， 将绕点C顺时针旋转得到，连接， ∴，， ∴，则， 当B，P，，在同一条直线上时，，此时取最小值， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， 根据勾股定理可得：， 即最小值为， ∴总铺设成本最少为万元． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应边相等，对应边夹角等于旋转角，直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 【变式2】（23-24八年级上·山东威海·期末）如图1，已知点是等边内一点，且，，． (1)求的度数； 以下是甲，乙，丙三位同学的谈话： 甲：我认为这道题的解决思路是借助旋转，我选择将绕点B逆时针旋转60°或绕点C顺时针旋转60°； 乙：我也赞成旋转，不过我是将进行旋转； 丙：我是将进行旋转． 请你借助甲，乙，丙三位同学的提示，选择适当的方法求的度数； (2)若改成，，，的度数＝______°，点到的距离为______； 类比迁移： (3)如图2，已知，，，，，，求的度数． 【答案】(1) (2)，4. (3) 【分析】（1）甲：将绕点逆时针旋转，得到，连接，分别计算与的度数即可得到的度数．乙：将绕点顺时针旋转，得到，连接，分别计算与的度数即可得到的度数． （2）利用（1）中的方法，同理可得，再由30度直角三角形性质可求点到的距离； （3）利用（1）中的方法，将绕着点顺时针旋转，得到，同理可得，，由此即可求出． 【详解】（1）解：（1）选择甲：如图1，作，且，连接，，则是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ； 乙：如图2，同理可得，，， ； 丙：如图3同理可得，，， ； （2）同理（1）可得：， ∴， 如图4，过点作的垂线，垂足为， ∴， ∴， 故答案为：，4. （3）如图5，将绕着点顺时针旋转，得到，连接， ∴， ，， ∴， ， ∴， ∴ 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转和平移的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形和全等三角形，依据图形的性质进行计算求解． 【变式3】（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）（1）问题发现： 如图1，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转到处，这样就可以将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请按此方法求的度数，写出求解过程； （2）拓展研究： 请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题： ①如图2，中，,，点E，F为边上的点，且，判断之间的数量关系并证明； ②如图3，在中，，，，在内部有一点P，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1），见解析；（2）①，见解析；② 【分析】（1）连接，根据题意得到，，，进而得到'为等边三角形，，根据勾股定理逆定理证明是直角三角形， 且，即可求出； （2）①证明，将绕点A逆时针旋转， 得到， 连接，得到，，，，进而得到，根据勾股定理得到 ，证明，得到，即可得到； ②将绕点B逆时针旋转，得到， 连接，，即可得到，，，，从而得到为等边三角形，，根据两点之间线段最短得到 ，即可得到当且仅当，，P，C四点共线时， 的值最小为 的长，根据勾股定理求出，即可得到的最小值为 【详解】解： （1）连接， ∵将绕顶点 A 逆时针旋转60°到， ∴，， ∴'为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， 且， ∴， ∴； （2）①． 证明： ∵,， ∴， 如图，将绕点A逆时针旋转， 得到， 连接， 则：，，，， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴； ②的最小值为 如图，将绕点B逆时针旋转，得到， 连接，， 则：，，，， ∴为等边三角形，， ∴ ∴ ， ∴当且仅当，，P，C四点共线时， 的值最小为 的长， ∵， ∴， ∴的最小值为 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质等知识，综合性较强，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键． 【变式4】（24-25九年级下·全国·二轮复习）在边长为的正中有一点，连接，求的最小值． 【答案】 【分析】如图所示，绕点逆时针旋转得到，取的中点，连接，由勾股定理得到，由中位线的性质得到，则，当点共线时，取得最小，最小为的值，如图所示，过点作延长线于点，在中，由勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，绕点逆时针旋转得到，取的中点，连接， ∴，， 在中，，， ∴， 在中，点是的中点， ∴，且， ∴， ∴， 当点共线时，取得最小，最小为的值， 如图所示，过点作延长线于点， ∵点是的中点， ∴， ∵是等边三角形，绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，中位线的判定和性质等知识的综合，掌握等边三角形，旋转的性质，费马点求最短线段的方法是解题的关键． 【变式5】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，，，求的长． (1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程； (2)【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，可判断出，请说明理由： (3)如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】(1)，证明见详解 (2)见解析 (3) 【分析】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理等三角形综合知识，通过旋转构造特殊三角形是解题的关键． （1）根据提示易得等边三角形和直角三角形，继而得解； （2）将绕点顺时针旋转得到，连接，证明，得到相等边，然后利用勾股定理进行证明即可； （3）将绕点顺时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接，利用（1）的思路，得出全等的三角形和等边三角形，得出相等的角和边，最后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：，证明如下： 根据旋转的性质得，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴由勾股定理得，； （2）解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴； （3）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接， 同（1）可得为等边三角形， ∴， 同（1）可得， ∴，， ∴， ∴点在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， 即． ▌题型02 瓜豆模型 瓜豆原理运用满足的三个条件(“一定两动、定角、定比”)； ①有一个定点、两个动点，且一个动点(从动点)因另一个动点(主动点)的运动而随之运动； ②两个动点与定点所连线组成的夹角是定角; ③两个动点到定点的距离的比值是定值. 【典例2】（2022·安徽·三模）如图，已知正方形的边长为4，以点C为圆心，2为半径作圆，P是上的任意一点，将点P绕点D按逆时针方向旋转，得到点Q，连接，则的最大值是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】连接CP，AQ，以A为圆心，以AQ为半径画圆，延长BA交于E．根据正方形的性质，旋转的性质，角的和差关系，全等三角形的判定定理和性质求出AQ的长度，根据三角形三边关系确定当点Q与点E重合时，BQ取得最大值，最后根据线段的和差关系计算即可． 【详解】解：如下图所示，连接CP，AQ，以A为圆心，以AQ为半径画圆，延长BA交于E． ∵正方形ABCD的边长为4，的半径为2， ∴AD=CD=AB=4，∠ADC=90°，CP=2． ∵点P绕点D按逆时针方向旋转90°得到点Q， ∴∠QDP=90°，QD=PD． ∴∠ADC=∠QDP． ∴∠ADC-∠QDC=∠QDP-∠QDC，即∠ADQ=∠CDP． ∴． ∴AQ=CP=2． ∴AE=AQ=2． ∵P是上任意一点， ∴点Q在上移动． ∴． ∴当点Q与点E重合时，BQ取得最大值为BE． ∴BE=AE+AB=6． 故选：A． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，角的和差关系，全等三角形的判定定理和性质，三角形三边关系，线段的和差关系，综合应用这些知识点是解题关键． 【变式1】（2025·天津·一模）如图，是等边三角形的边的中点，为平面内一点，连接，将线段以点为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点之间的距离为1，则的最小值为_____________，最大值为_____________． 【答案】 / / 【分析】连接,将绕点逆时针旋转得到,连接,由等边三角形的性质和勾股定理求出,证明是等边三角形，得到,再证明,得到,得出点在以点 为圆心、1 为半径的圆上运动，由点圆位置关系即可得解． 【详解】解：如图所示，连接,将绕点逆时针旋转得到，连接， 点是等边三角形边的中点， ， ， 由旋转的性质可得, 是等边三角形， , , , , , 点在以点 为圆心、1 为半径的圆上运动， 如图， 当点在线段上时，的值最小，最小值为，当点在射线上时，有最大值，最大值为， 故答案为：，. 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，点圆位置关系等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 【变式2】（2023·山东泰安·二模）如图，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一动点，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接、．则线段长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接，，，证明，可得，由勾股定理可得 ，根据，即可得出的最小值． 【详解】解：如图，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接，，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴ ， ∴， ∵正方形中，，O是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴线段长的最小值为． 故选C． 【点睛】本题考查线段的最值问题，涉及三角形的三边关系、勾股定理、旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，通过添加辅助线构造是解题的关键． 【变式3】（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B是上一点，的半径为2，将绕O点顺时针方向旋转得，连接，则线段的最小值为（    ）    A． B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】把绕O点顺时针方向旋转得，过点作轴于点，过点作轴于点，以点为圆心作，使的半径为2， 点B是上一点，则点是上一点，当点三点共线，即点在上时，最小． 【详解】解：如图，把绕O点顺时针方向旋转得，过点作轴于点，过点作轴于点，以点为圆心作，使的半径为2，   ，， ， ， ， ， 过作于点，， 在中，， 点B是上一点，则点是上一点，， 当点三点共线，即点在上时，最小， ， 故线段的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的基本概念，动点问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，本题的关键是作出正确的辅助线，运用数形结合的思想方法． 【变式4】（2024·山东滨州·二模）如图，菱形中，，G是对角线的中点，是等腰直角三角形，，将绕点B顺时针旋转，连接．已知，，在旋转过程中，当为直角三角形时，的长为________． 【答案】 【分析】由菱形，，可得，是等边三角形，则，，由是等腰直角三角形，可得，在以为圆心，为半径的圆上运动，如图，连接，当为直角三角形时，分，，三种情况求解；当时，由题意知，三点共线，，根据，计算求解；当时，当时，由题意知，此两种情况不成立，然后作答即可． 【详解】解：∵菱形，， ∴，是等边三角形， ∴， ∵G是对角线的中点， ∴， ∵是等腰直角三角形，，， ∴，， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动，如图，连接， 当为直角三角形时，分，，三种情况求解； 当时，由题意知，三点共线， ∴， ∴； 当时，，， 此时到的距离为， ∵， ∴此情况不成立； 当时，由题意知，此情况不成立， 综上所述，的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，余弦，圆，旋转的性质等知识．分类讨论是解题的关键． ▌题型03 手拉手模型 【典例3】（22-23八年级下·山东济南·期中）是等腰直角三角形，点D是外部的一点，连接，，将线段绕点A逆时针旋转90°得到线段，连接，．    (1)如图1，当点D在线段上时，线段与线段的数量关系是_______，位置关系是_______； (2)如图2，线段交于点P，此时（1）中线段与线段的关系是否依然成立，请说明理由； (3)如图3，线段交于点P，点Q是边的中点，连接，当时，求的长． 【答案】(1) (2) （1）中线段与线段的关系是否依然成立， 理由：是等腰直角三角形， ， ∵将线段绕点A逆时针旋转 得到线段， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ； (3)的长为 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，等量代换得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，等量代换得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （3）连接，根据旋转的性质得到，求得，根据等腰三角形 性质得到，根据三角形中位线定理即可得到结论． 【详解】（1）解：，理由如下： 是等腰直角三角形， ， ∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）略 （3）解：连接，    ∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段，， ， ， ， 由（2）知， ， ∵点Q是边的中点， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，旋转的性质，三角形中位线定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【变式1】（23-24九年级上·贵州遵义·期中）数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动：    (1)【操作探究】如图1，为等边三角形，将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接． ①写出图1中一个等于的角 ； ②图1中与的数量关系是 ． (2)【迁移探究】如图2，将（1）中的等边绕点A逆时针旋转，得到，其他条件不变．探究与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】如图3，在，，，，将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接．在旋转过程中，当时，直接写出线段的长． 【答案】(1)①或或或(写出一个即可)；② (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）①根据为等边三角形，将绕点A旋转，得到，可得，又F为中点，故，，可知； ②由是的中位线，可得； （2）由等边绕点A逆时针旋转，得到，可得，，，即得，而F为中点，，有，故是等腰直角三角形，，从而； （3）分两种情况：当在下方时，求出，，可得，故；当在上方时，，，有． 【详解】（1）解：①∵为等边三角形，将绕点A旋转，得到， ∴， ∵F为中点， ∴，是的中位线，也是的中位线， ∴， ∴； 故答案为：或或或(写出一个即可)； ②由①知，是的中位线， ∴； 故答案为：； （2），理由如下： 如图：    ∵等边绕点A逆时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴， ∵F为中点，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）当在下方时，如图： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，F为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当BE在BC上方时，如图：    ∵， ∴； 综上所述，的长为或1． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及等边三角形性质及应用，等腰直角三角形的性质及应用等知识，解题的关键是掌握含特殊角的直角三角形三边的关系． 【变式2】（23-24九年级上·湖北黄冈·期中）如图，和都是等腰直角三角形，． (1)【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 【答案】(1)， (2)（1）中的结论成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，得出，再用，即可得出结论； （2）先由旋转得出，进而判断出，得出，进而得出，即可得出结论； （3）分两种情况，①当点E在线段上时，过点C作于M，求出，再用勾股定理求出，即可得出结论； ②当点E在线段的延长线上时，过点C作于N，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ， ， ∵， ， 故答案为：； （2）解：（1）中结论仍然成立， 理由： 由旋转知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； ②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； 综上，的长为或． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 【变式3】（23-24九年级上·辽宁大连·期末）【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师给出下面问题：如图1，和是等边三角形，点B、C、E不在同一条直线上，请找出图中的全等三角形并直接写出结论________________；（写出一对即可） 上面几何模型被称为“手拉手”模型，面对题目时我们也会“寻模而入，破模而出”．    【类比分析】 （2）如下图，已知四边形中，，，是的平分线，且．将线段绕点E顺时针旋转得到线段．当时，连接，试判断线段和线段的数量关系，并说明理由；    ①小明同学从结论出发给出如下解题思路：可以先猜测线段和线段的数量关系，然后通过逆用“手拉手”模型，合理添加辅助线，借助“全等”来解决问题； ②小玲同学从条件入手给出另一种解题思路：可以根据条件，则，再通过“手拉手”模型，合理添加辅助线，构造与全等的三角形来解决问题． 请你选择一名同学的解题思路（也可另辟蹊径）来解决问题，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如下图，中，当时，点D、E为、上的点，，，若，，求线段的长．    【答案】（1）； （2），理由： 如图2，过点作平分交于，   四边形中，，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平分， ， ， 是等边三角形， ，， ，， 即， 由旋转得：，， ， ， ； （3） 【分析】（1）利用证明即可； （2）过点作平分交于，先证明四边形是平行四边形，可得，再证明是等边三角形，推出，再证得即可； （3）设，以、为边作，连接，将绕点逆时针旋转得，连接，可得是等边三角形，，，再得出，利用勾股定理建立方程求解即可得出答案． 【详解】解：（1）．理由如下： 如图1，   和是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ； （2）略 （3）如图3，以、为边作平行四边形，连接， 则，，，，    设，则， ， ， 又， 是等边三角形， 将绕点逆时针旋转得，连接， 是等边三角形，，， ， ， ， 即， ， 即的长为． 【点睛】本题是几何综合题，考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题关键． 【变式4】（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）【问题背景】数学兴趣小组利用两块大小不同的正方形卡片进行“正方形旋转”的探究活动，如图1，他们将边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B，使边，分别落在边上．容易发现． 【问题探究】将图1中正方形固定，将正方形绕点顺时针方向旋转． （1）如图2，连接，，试探究与是否仍然相等？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 【问题拓展】将图1中正方形固定，将正方形绕点顺时针方向旋转． （2）如图3，在旋转过程中，当三点在同一条直线上时，求线段的长； （3）如图4，连接，取中点，连接，请直接写出线段长度的最小值和最大值． 【答案】（1）成立，证明见解析；（2）或；（3）的最小值为，的最大值为． 【分析】（1）根据正方形的性质，得到，，继而得到，证明，可得； （2）连接，交于点M或N，利用正方形的性质，勾股定理分类计算即可； （3）延长到M，使，连接，则，根据题意得到G在以点B为圆心，为半径的圆上运动，进而分两种情况根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）仍成立．理由如下： ∵边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）当A，G，E三点在的右侧且在同一条直线上时， 连接交于点M， ∵边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∵边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B， ∴，，， ∴； 当A，G，E三点在的左侧且在同一条直线上时， 连接，交于点N， 同理可证，， ∴； 综上所述，的长为或； （3）解：如图，延长到M，使，连接， ∵取中点，， ∴是中位线， 即， ∵将正方形绕点顺时针方向旋转， ∴G在以点B为圆心，为半径的圆上运动， 如图，当G到达时，取得最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， 此时， 当G到达时，取得最大值， 同理可得 即的最小值为，的最大值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形不等式是解题的关键． ▌题型04 半角模型 【典例4】（2024·重庆大渡口·一模）如图，和是等腰直角三角形，，的边AF，AG交边BC于点D，E．若，，则AD的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转全等和勾股定理解三角形，将顺时针旋转到位置，得到直角三角形，可求出，再证明，得到，进而求出，过点A作，由等腰三角形三线合一和直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，再在直角三角形求出． 【详解】解：如图，将绕点A顺时针旋转到位置，连接 ∵和是等腰直角三角形，， ∴，， 由旋转性质可知：，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 过点A作， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题涉及了旋转的性质、半角模型、构造全等三角形转换线段关系和勾股定理，解题关键是通过旋转构造全等三角形得到，由求出． 【变式1】（22-23八年级下·辽宁丹东·期中）通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系    (1)思路梳理： 把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点F、D、G共线，易证_________，故之间的数量关系为_________． (2)类比引申： 如图2，点E、F分别在正方形的边的延长线上，．连接，试猜想之间的数量关系为_________，并给出证明． (3)联想拓展： 如图3，在中，，点D、E均在边上，且．若，直接写出和的长． 【答案】(1)， (2) 如图2，，理由是： 把绕点逆时针旋转至，可使与重合，则在上，    由旋转得：，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； (3)， 【分析】（1）先根据旋转得：，计算，即点、、共线，再根据证明，得，可得结论； （2）作辅助线：把绕点逆时针旋转至，证明，得，所以； （3）同理作辅助线：把绕点逆时针旋转至，证明，得，先由勾股定理求的长，证明，求出，，继而得到，过A作，垂足为，根据等腰直角三角形的性质求出，可得，利用勾股定理可得． 【详解】（1）解：如图1，把绕点逆时针旋转至，可使与重合，即， 由旋转得：，，，， ， 即点、、共线， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 故答案为：，； （2）略 （3）如图3，把绕点逆时针旋转至，可使与重合，连接，，    由旋转得：，，， ，， ， ， ， ，， 由勾股定理得：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， 过A作，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质，通过类比联想，引申拓展，可达到解一题知一类的目的，本题通过旋转一三角形的辅助线作法，构建另一三角形全等，得出结论，从而解决问题． 【变式2】（22-23八年级下·辽宁本溪·期中）【探究】（1）如图1，在四边形中中，，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小李同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系．他的结论是　　　　　　．    【拓展】（2）如图2，已知是等腰直角三角形，．将三角板的角的顶点与点C重合，使这个角落在的内部，两边分别与斜边交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在的内部旋转，在点E、F的位置发生变化时，猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【实际应用】（3）如图2，在四边形中，，，若，则四边形的面积为__________． 【答案】（1）； （2）；理由如下： 将绕点C逆时针旋转得，连接，   ，， ， ， ， ， 在和中 ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 在中，， ， ． （3）12.5 【分析】（1）延长到点G，使，连接，先根据证明得，再证明可得，即可得出结论； （2）将绕点C逆时针旋转得，连接，可证，得，可证是直角三角形，即可得出结论； （3）过点A作垂足为M，作，交延长线于点N，先证，可得，再证，可得,由勾股定理可得长，再求四边形面积，即可求得结论． 【详解】（1）解：结论是：，理由如下： 延长到点G，使，连接， ， ， 在和中 ， ， ，， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：过点A作垂足为M，作，交延长线于点N，   ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 四边形面积=四边形面积=． 【点睛】本题考查的是三角形全等的综合题，主要涉及全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形性质及判定、勾股定理等知识点，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 【变式3】（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，试猜想、、之间的数量关系．        (1)把绕点逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点F、D、G共线，易证≌__________，故、、之间的数量关系为__________． (2)如图2，点E、F分别在正方形的边、的延长线上，．连接，试猜想、、之间的数量关系为__________，并给出证明． (3)如图3，在中，，，点D、E均在边上，且．若，，直接写出的值和的长． 【答案】(1)， (2) ，证明如下： 如下图，把绕点逆时针旋转，与重合， ，， ，， ， ； ； 在和中， ， ∴；    ∴； ∵； 即． (3)， 【分析】（1）根据旋转的性质可得，利用判定定理可直接证明，再依据对应线段相等可求． （2）把绕点逆时针旋转，使与重合，证全等即可到结论． （3）把绕点逆时针旋转，使与重合，点B对应点为点F，连接和即可求解． 【详解】（1）解：，，理由如下： 四边形是正方形， ∴，， 由旋转的性质可知，， ， ，，， ， ， ， ， ． （2）略 （3）如图1.解：∵，， ∴， 把绕点逆时针旋转，与重合，点的对应点为点； ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴在中， ， ； ； ；    在和中， ， ∴， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得： ， ∴， ∵是等腰直角三角形； ∴， ， 同理把绕点顺时针旋转，点的对应点为点，连接，；    ； ，； ； 在直角中，； ∴ ∴， 由旋转的性质可知，； 是等腰直角三角形； ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形中的半角模型，旋转的性质，全等三角形的判定，掌握类比迁移，旋转后三角形全等的证明是解决本题的关键． 【变式4】（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F．当绕B点旋转到时，如图1，易证．（不用证明） (1)当绕B点旋转到时，如图2，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明； (2)当绕B点旋转到时，如图3，（1）中结论是否成立？若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请给予证明． 【答案】(1)图2成立，，证明见解析 (2)图3不成立，、、的关系是，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，本题中求证是关键． （1）将顺时针旋转，可得，证，即可求解； （2）将顺时针旋转，可得，证，即可求解． 【详解】（1）解：将顺时针旋转，如图，    ∵，， ∴A与点C重合， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：不成立，新结论为， 将顺时针旋转，如图，    ∵，， ∴A与点C重合，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ▌题型05 一线三等角模型 【典例5】（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）平面坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标系下的旋转．过点和点分别作轴的垂线，证明，得到，，据此求解即可． 【详解】解：过点和点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵点的坐标为， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：B． 【变式1】（21-22八年级下·山西运城·期中）在平面坐标系中，已知直线与x轴，y轴分别交于点A、B，线段AB绕点A顺时针方向旋转得线段AC，连接BC，则C点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，作于，将，代入，求出的坐标，由旋转的性质可知，证明，，，进而可求点坐标． 【详解】解：如图，作于 将代入得， ∴ 将代入得， ∴ 由旋转的性质可知 ∵ ，， ∴ 在和中 ∵ ∴ ∴， ∴OD=7 ∴ 故选A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于证明三角形全等． 【变式2】（23-24八年级下·河北保定·期中）在四边形中，，，作边的垂直平分线，分别交，于点，连接，恰好，，再将绕点逆时针旋转至位置，以为平面直角坐标系的原点，以所在直线为轴，如图建立平面直角坐标系． (1)点的坐标是______，点的坐标是______； (2)问点是否在直线上？并说明理由； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2) 解：点D在直线上，理由如下： 连接， 由旋转性质可知： ， ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ， 、、三点共线， 点D在直线上； (3) 【分析】本题考查了点的坐标，旋转的性质，全等三角形的判定及性质； （1）延长交轴于，过轴交于，由可判定，由全等三角形的性质得，，即可求解；同理可证：，由全等三角形的性质得，，即可求解； （2）连接，由旋转性质可知：，，，，由可判定，结合全等三角形的性质得，即可求证； （3）连接交y轴于点F，由、的坐标得轴，由即可求解； 掌握判定方法及性质，作出恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：延长交轴于，过轴交于， ， ， 四边形是矩形， ， ， 的垂直平分线， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ； 同理可证：， ， ， ， 故答案：，； （2）略 （3）解：连接交y轴于点F． ，， ， 由（1）知， 轴， ， ∴ ． 【变式3】（24-25八年级下·上海·期中）按要求解题： (1)如图①，在四边形中，，点E是边上一点，，，连接、，则的形状为__________； 【解决问题】 (2)如图②，在长方形中，点P是边上一点，在边、上分别作出点E、F，使得点F、E、P是一个等腰直角三角形的三个顶点，且，． 要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法； 【拓展应用】 (3)如图③，在平面直角坐标系中，已知点，点，点C在第一象限内，若是等腰直角三角形，则点C的坐标是____________________； (4)如图④，在平面直角坐标系中，已知点，点C是y轴上的动点，线段绕着点C按逆时针方向旋转至线段，，连接、，则的最小值为__________． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)如图，点E、F即为所求： (3)或或 (4) 【分析】（1）证明得到，，进而利用三角形的内角和定理得到可得结论； （2）以点D为圆心以的长为半径画弧交于F，以点C为圆心以的长为半径画弧交于E，则点E、F即为所求； （3）分三种情况：①当，时，②当，时，③当，时，分别作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的性质求解即可； （4）作于H，设点C的坐标为，可得，求出的最小值，相当于求点到点和点距离之和的最小值，然后作M关于直线的对称点，易得，连接，则为和距离之和的最小值，即的最小值，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）解：由作图可知：，， ∵在长方形中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：分三种情况： ①当，时， 如图3，过C作轴于D，过B作轴于E， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②当，时， 如图4，过B作轴于E，过C作轴于G，作延长线于F，则，， 同①得：， ∴，， ∴，， ∴， ∴； ③当，时， 如图5，过B作轴于E，过C作轴于D，延长交直线于F，过A作于G， 则，，，， 同①得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点C的坐标是或或； （4）解：如图，作于H， 设点C的坐标为， 由（2）①知：，， 则点， 则， 求的最小值，相当于求点到点和点距离之和的最小值， ∴点P在一、三象限的角平分线上， 如图，作M关于直线的对称点，则，连接， 则为和距离之和的最小值，即的最小值， ∵， ∴的最小值为． 【变式4】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中有、、三个点，如图1所示，如果将点绕点旋转后得到点，则称点与点关于点互为“垂链点”，其中一个点叫做另一个点关于点的“垂链点”． 例如：对于平面直角坐标系中的三个点，，，因为点可以看作是将点绕点旋转后得到的一个点，所以点是点关于点的“垂链点”． 探究任务一： (1)已知点的坐标为，点的坐标为，则点___________点关于点的“垂链点”；（填“是”或“不是”） (2)已知点的坐标为，点的坐标为，若点是点关于点的“垂链点”，那么点的坐标是___________； 探究任务二： 已知点，并且点在轴上． (3)如图2所示，在一次函数的图象上存在点，且点是点关于点的“垂链点”，求点的坐标； (4)若在一次函数的图象上存在无数个点，且点是点关于点的“垂链点”． ①直接写出这个一次函数的表达式___________； ②若一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点是内部一点，且，，若点是线段上的一个动点，设点的横坐标为，求的面积与的函数关系式． 【答案】(1)是 (2)或 (3)或 (4)①；② 【分析】（1）分别过点、作轴的垂线，垂足为、，容易证明，则，，进而求出，符合“垂链点”的定义； （2）分为逆时针旋转和顺时针旋转两种情况讨论，作轴，垂足为，容易证明，则，，进而求出点的坐标； （3）设，仿照（2）的做法，分两类讨论，用表示出点的坐标，然后代入一次函数的解析式求出的值即可； （4）①设，用表示出点的坐标，消去得到点所在直线的函数解析式，且需满足的要求； ②分别过点、作轴的垂线，垂足为、，作，垂足为，先计算出点、的坐标，容易判断出是等腰直角三角形．运用勾股定理的逆定理可证明，由三角形面积公式计算出，进而求出点的坐标．使用作差法求出的面积，进而计算出，使用勾股定理计算出，相乘得到S与的函数关系式． 【详解】（1）解：如图，分别过点、作轴的垂线，垂足为、， ∵，， ∴， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴点可看作将点绕点逆时针旋转后得到，满足“垂链点”的定义， ∴点是点关于点的“垂链点”． 故答案为：是； （2）解：①当点由点绕点逆时针旋转后得到时，如图，作轴，垂足为， ∵轴， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴点的坐标为； ②当点由点绕点顺时针旋转后得到时，如图， 此时点与点关于点对称， ∴点的坐标为，即， 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或； （3）解：设， ①当点由点绕点逆时针旋转后得到时，如图，作轴，垂足为， 同理（2）可得， ∴，， ∵，， ∴，， ∴点的坐标为， 将代入，得 ， ， 解得， ∴点的坐标为； ②当点由点绕点顺时针旋转后得到时，如图，作轴，垂足为， 同理①可得， ∴，， ∴点的坐标为， 将代入，得 ， ， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或； （4）解：①设 由（3）可知，点的坐标为或， 消去可得，或， ∴点在直线或直线上， ∵， ∴一次函数的解析式为； ②如图，分别过点、作轴的垂线，垂足为、，作，垂足为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得，解得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在直角中，， ∴点的坐标为， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， 又∵点的横坐标为， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在直角中，， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数的图象与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关知识并运用数形结合思想是解题关键． ▌题型06 隐圆模型 条件：将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△AB'C’ 图示： 结论：点B(C)的运动轨迹是以点A为圆心，AB(AC)长为半径的一段圆弧(如图中的虚线圆弧) 【典例6】（2026·河南平顶山·三模）如图，和是有公共顶点的两个等腰直角三角形，，点P为射线和射线的交点，若，保持不动，将绕点A旋转一周，则在旋转过程中，线段的最大值为___________．    【答案】 【分析】先证明，得到，因此得到，，故当当最大时，的值最大．由旋转的性质，得点E在以点A为圆心，半径为4的圆上．当与相切且在点A的右侧时，最大，此时的值最大，据此求解即可． 【详解】：， ∴， ． ，， ， ， ， ， ， 当最大时，的值最大． ， 由旋转的性质，得点E在以点A为圆心，半径为4的圆上．    当与相切且在点A的右侧时，最大，此时的值最大，， ． ∵在旋转过程中始终成立， ，， ， 四边形是矩形， ， ， 即在旋转过程中，线段的最大值为． 【变式1】（2025·河南周口·二模）如图，在等腰和等腰中，，，将绕点旋转，连接，若，则旋转过程中，当最大时，其度数为___________°，当最小时，其度数为___________°． 【答案】 75 15 【分析】本题考查了旋转的性质、锐角三角函数、等腰三角形的性质．此题综合性较强，解题关键是利用的轨迹圆确定出取最大值时的位置． 先分析出点轨迹为以为圆心的长为半径的圆，当与该圆相切时，最大，由此确定的最大值和最小值． 【详解】解：∵等腰中，， ∴， 由题意知，点轨迹为以为圆心的长为半径的圆， 当与该圆相切时，最大，此时， 若点E在外部时，如图1所示， ，此时最大， ∵，， ∴， ∴， ∴， 若点E在内部时，如图2所示， ，此时最小， 同理可得： 综上所述：若，则旋转过程中，当最大时，其度数为，当最小时，其度数为． 故答案为，． 【变式2】（24-25九年级下·福建福州·期中）如图，中，，中， ，，直线与直线交于点．现将绕点旋转周，在旋转过程中，线段长度的最大值是_______． 【答案】 【分析】设与交于点，由题意可证得，可得，根据三角形内角和定理推得，可得点在以为直径的圆上运动，弦在直径的下方，、在以点为圆心，或为半径的运动，当与相切于点、与相切于点时，取最大值，可证得四边形为正方形，利用勾股定理求得的值，通过即可求解． 【详解】解：如图，设与交于点， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 点在以为直径的圆上运动， 在中，， ， 弦在直径的下方， 如图，作以为直径的圆，作以点为圆心，或为半径的圆， 、在以点为圆心，为半径的运动， 当与相切于点，与相切于点时，取最大值， ，， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， 在中，， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，圆周角定理的推论，圆的切线的性质，正方形的判定与性质，熟练掌握并灵活运用相关性质是解题关键． 【变式3】（22-23九年级上·江苏南京·阶段检测）是边长为5的等边三角形，是边长为3的等边三角形，直线与直线交于点F．如图，将绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段长度的最小值是___________． 【答案】/ 【分析】如图，设交于点T，先证明，证明，推出点F在的外接圆上运动，当最小时，的值最小，此时，求出可得结论． 【详解】解：如图，设交于点T． ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点F在的外接圆上运动，当最小时，的值最小，此时， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02与旋转有关的热考模型 (题型突破举一反三) 题型01费马点模型 三典例精析 【典例1】 【答案】(1)∠BPC=150°， (2)4V3 (3)V5 举一反三 【变式1】 【答案】(1)①等边，两点之间线段最短，120：②当∠BAC≥120°时， ,∠BAC2120°， .BC>AC,BC>AB ..BC+AB>AC+AB,BC+AC>AB+AC, ∴.顶点A到另两个顶点距离和最小， PA+PB≥AB,PA+PC≥AC, ∴PA+PB+PC≥AB+AC-PA, ∴，当点P和点A重合时，PA+PB+PC取最小值， 即此时的A点为该三角形的“费马点”. D B (2)7 (3)213 【变式2】 【答案】(1)∠ADB=150° 1114 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)150,4. (3)∠BEC=135° 【变式3】 【答案】(1)150°， 解：(1)连接Pp, B ,将△APB绕顶点A逆时针PP旋转60到△ACP', AP=AP'=3,∠PAP'=60°，BP=CP'=4,∠APB=∠AP'C, “.△APP为等边三角形， ..PP'=AP=3,ZAP'P=600 ,Pp2+PC=32+42=25,PC2=52=25, .'P'P2+P'C=PC2, .aPP'C是直角三角形，且∠PP'C=90°， .∠AP'C=∠AP'P+∠CP'P=150°， ∴.∠APB=∠AP'C=150°： (2)①BE2+CF2=EF2 证明：：AB=AC,∠BAC=90°， ∴.∠B=∠ACB=45°， 如图，将△BAE绕点A逆时针旋转90°，得到△CAD,连接DF, B 则：∠BAE=∠DAC,∠ACD=∠B=45°，AD=AE,BE=CD, ∴∠DCE=∠ACB+∠ACD=90°， 2114 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DF2=CF2+CD2=CF2+BE2 .:∠EAF=45°，∠EAD=90°， ∠DAF=∠EAF=45°， 又：AE=AD,AF=AF, .△AEF≌△ADF, .EF =DF, 'BE2+CF2=EF2: ②23 【变式4】(24-25九年级下·全国二轮复习)在边长为4的正△ABC中有一点P,连接PA、PB、PC,求 4pra+5c 2 2 的最小值. B 【答案】20+8v5 【变式5】 【答案】(1)PB=5, 证明如下： 根据旋转的性质得，PA=P'A,∠PAP=60°， ∴△PAP为等边三角形， .PP=PA=3,∠APP=60°， ,△ABC为等边三角形， ∴.AB=AC,∠BAC=60° ∴.∠BAP'=∠CAP=60°-∠BAP. .△BAP'≌aCAP(SAS), ∴.BP'=CP=4,∠AP'B=∠APC=150, .∠BPP=∠AP'B-∠APP=90°， 3114 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴由勾股定理得，PB=√PP2+BP2=√9+16=5 (2)见解析 3)V万 题型02瓜豆模型 典例精析 【典例2)】 【答案】A 举一反三 【变式1】 【答案】 33-1/-1+3v5 3W3+1/1+35 【变式2】 【答案】C 【变式3】 【答案】A 【变式4】( 【答案】2V5 题型03手拉手模型 典例精析 【典例3】 【答案】(1)BD=CE,BD⊥CE (2) (I)中线段EC与线段BD的关系是否依然成立， 理由：：△ABC是等腰直角三角形， ∴.∠BAC=90°，AB=AC ,将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE, .∠DAE=90°，AE=AD ∴，∠BAD=∠CAE, 4114 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在△ABD与△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE .△ABD≌△ACE, ∴.BD=CE,∠ABD=∠ACE,∴∠ACE+∠DBC+∠ACB=∠ABD+∠DBC+∠ACB=∠ABC+∠ACB=90°， ∴.∠BPC=90°， BD⊥CE: 3)Po的长为2 举一反三 【变式1】 【答案】(aO∠AFE或∠AFB或∠BED或∠EBC(写出-个即可：②AF=)DE (2)DE=√2AF,理由如下： 如图： A B D ,等边△ABC绕点A逆时针旋转30°，得到△ADE, .∠BAC=60°，∠CAE=30°，AB=AC=AE=DE, ∴.∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°， ∴∠ABE=∠AEB=45°， :F为BE中点，AB=AE, .AF⊥BC, ∴△ABF是等腰直角三角形， .AB=2AF, .DE=2AF 3)3或1 5114 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式2】 【答案】(1)BE=AD,BE⊥AD (2)解：(1)中结论仍然成立， 理由： 图2 由旋转知，∠BCE=∠ACD. .BC=AC,EC=DC, .△BCE≌△ACD ∴BE=AD,∠CBE=∠CAD, ∠ACB=90°， .∠CBE+∠BHC=90°， ∴.∠CAD+∠BHC=90°， :∠BHC=∠AHG. .∠CAD+∠AHG=90°， .∠AGH=90°， BE⊥AD; (3)4W2-2或4vV2+2 【变式3】 【答案】(1)△ACE≌aBCD: (2)PD=BD,理由： 如图2，过点D作DG平分∠ADC交BC于G, 6/14 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E 四边形 中， B G 图2 ABCD ABI|CD∠ADC=a=120° .∠A=60°， CD=DE, ∴.∠DCE=∠DEC=30°， CE平分∠BCD, ∠BCE=∠DCE, .∠BCD=60°， ∴.∠ADC+∠BCD=180°， .AD∥BC, 四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC, :DG平分∠ADC, ∴.∠ADG=∠CDG=60°， ∠CDG=∠DCG=60°， ∴△CDG是等边三角形， .DG=CD=CG=DE,∠CGD=60°， AD-DE=BC-CG,∠BGD=I20°， 即EA=GB, 由旋转得： EP=EA ∠ABP=5a=60, 2 ∴.∠PED=120°=∠AEP, .△DEP≌aDGB(SAS). :PD=BD: (3)DE=2√6 【变式4】 7114 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)AG=CE仍成立.理由如下： ,边长为4的正方形ABCD与边长为2的正方形BEFG的一个顶点重合于点B, ∴.BA=BC,BG=BE,∠ABC=∠GBE=90°， ∴.∠ABG=∠CBE, BA=BC ∠ABG=∠CBE BG=BE ∴.△ABG≌aCBE(SAS), ..AG=CE: (2)4+2或14-2： (3)CH的最小值为2W2-1,CH的最大值为2W2+1. 题型04半角模型 三典例精析 【典例4】 【答案】35 举一反目 【变式1】 【答案】(1)△AFE,EF=DF+BE (2) 如图2，EF=DF-BE,理由是： 把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合，则G在DC上， C GD 由旋转得：BE=DG,∠DAG=∠BAE,AE=AG, :∠BAD=90°， 8114 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴∠BAE+∠BAG=90°， :∠EAF=45°， ∠FAG=90°-45°=45°， .∠EAF=∠FAG=45°， 在△EAF和△GAF中， AE=AG ∠EAF=LGAF, AF=AF ·.△EAF≌AGAF(SAS). ..EF=FG. :EF DF-DG=DF-BE (3)AD=2+2V5,AE=2√6 【变式2】 【答案】(1)BE+DF=EF: (2)AE2+BF2=EF2;理由如下： 将△ACE绕点C逆时针旋转90°得△BCE',连接E'F, E 图2 ∠ACB=90°∠EAF=45° :∠ACE+∠BCF=45°， LACE =ZBCE', ∴.∠BCE'+∠BCF=45°=∠E'CF, .∠ECF=LE'CF, 在ACEF和△CEF中 CF=CF ∠ECF=∠E'CF CE=CE .ACEF≌aCE'F, 9114 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .EF =E'F, “△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°， ∠A=∠ABC=45°， .∠CBE'=∠A=45°， ∠E'BF=90°， 在RtaBE'F中，BE2+BF2=E'F2, BE'=AE, AE2+BF2=EF2. (3)12.5 【变式3】 【答案】(1)△AFE,EF=DF+BE (2) EF=DF-BE,证明如下： 如下图，把△ABE绕点A逆时针旋转9O°，AB与AD重合， .AABE兰△ADG,∠EAG=90°， .BE=DG,AE=AG. .∠EAF=45° ∠FAG=∠EAG-∠EAF=45°： .∠EAF=∠GAF; 在△EFA和△GFA中， AF=AF ∠EAF=∠FAG AE=AG △EFA≌aGFA(SAS): B d 10/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..EF=FG: .DF=FG+GD, ∴DF=EF+BE 即EF=DF-BE」 (3)AD2=85+16,AE=2W6 【变式4】 【详解】(1)解：将Rt△ABE顺时针旋转120°，如图， B. E M AB=BC,∠ABC=120°， A与点C重合， ..BG=BE,FG=CG+CF=AE+CF :∠ABC=120°，∠MBN=60°， ∴∠GBF=60°， BF BF, AGBF≌aEBF(SAS), .'FG=EF, .EF =AE+CF: (2)解：不成立，新结论为EF=AE-CF, 将Rt△ABE顺时针旋转120°，如图， D E M 图3 AB=BC,∠ABC=120° 11/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A与点C重合，∠ABE=∠CBG, .'.BG=BE,FG=CG-CF=AE-CF, ,∠ABC=∠ABE+∠CBE=120°， .∠CBG+∠CBE=∠GBE=120°， :∠MBN=60° ∴.∠GBF=60°， BF=BF, .△GBF≌aEBF(SAS). .'FG=EF, ∴EF=AE-CF 题型05一线三等角模型 典例精析 【典例5】 【答案】B 举一反三 【变式1】 【答案】A 【变式2】 【答案】(1)(1,3)，(-3，) (2) 解：点D在直线BC上，理由如下： D M x 连接BC, 由旋转性质可知： OB=OD. 12/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠A0C=90°， ∠AOB=∠COD ∠BAO=∠DCO AB⊥OA, ∠BA0=90°， :∠AOB+∠OBA=90°， ∠DC0=90°， :AE垂直平分OB, ..AO=AB, .∠AOB=∠OBA=45° ∴.∠BOC=∠AOC-∠AOB =45°， ∴∠AOB=∠BOC, ∠AOB=∠COD. .∠COD=∠BOC, 在△BOC和△DOC中， BO=DO ∠BOC=∠COD CO=CO .aBOC≌aDOC(SAS), .∠B0C=∠OCD=90°， .∠BCD=∠BOC+∠OCD =180°， B、C、D三点共线， ·点D在直线BC上： 5 3 【变式3】 【答案】(1)等腰直角三角形 (2如图，点E、F即为所求： 13/14 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 53 3)1,2)或(3,3)或22 (4V5 【变式4】 【答案】(1)是 2(-2,-1)咸(2,5) 3)(13,18)或1，-6) 40y=x+5:@5=2 n+2 题型06隐圆模型 典例精析 【典例6】 【答案】4W5+4 举一反三 【变式1】 【答案】 75 15 【变式2】 【答案】14 【变式3】 【答案】4-V5/-5+4 14/14 专题02 与旋转有关的热考模型 （题型突破·举一反三） 题型01 费马点模型 题型02 瓜豆模型 题型03 手拉手模型 题型04 半角模型 题型05 一线三等角模型 题型06 隐圆模型 ▌题型01 费马点模型 运用旋转的方法，以∆ABC任意一条边向外旋转60°构造等边三角形，根据两点之间线段最短，得出最短长度. 【典例1】（23-24九年级上·福建龙岩·期中）如图，在等边三角形内有一点．    (1)若，，，求的度数； (2)若等边三角形边长为，求的最小值； (3)如图，在正方形内有一点，且，，，求正方形的边长．    【变式1】（23-24九年级上·福建厦门·期中）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，分两种情况讨论，请补充以下推理过程： ①当的三个内角均小于时， 如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，    ∵绕点C顺时针旋转得到 ∴， ∴为_________三角形，∴ ∵ ∴ ∴ 由几何公理：_____________可得： ∴当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有________°．    ②当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点，证明略． (2)如图3，在中，三个内角均小于，且，，，若P为的“费马点”，求的值；    (3)如图4，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知，，．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为1万元，1万元，万元，则总的铺设成本最少是_______万元．    【变式2】（23-24八年级上·山东威海·期末）如图1，已知点是等边内一点，且，，． (1)求的度数； 以下是甲，乙，丙三位同学的谈话： 甲：我认为这道题的解决思路是借助旋转，我选择将绕点B逆时针旋转60°或绕点C顺时针旋转60°； 乙：我也赞成旋转，不过我是将进行旋转； 丙：我是将进行旋转． 请你借助甲，乙，丙三位同学的提示，选择适当的方法求的度数； (2)若改成，，，的度数＝______°，点到的距离为______； 类比迁移： (3)如图2，已知，，，，，，求的度数． 【变式3】（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）（1）问题发现： 如图1，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转到处，这样就可以将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请按此方法求的度数，写出求解过程； （2）拓展研究： 请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题： ①如图2，中，,，点E，F为边上的点，且，判断之间的数量关系并证明； ②如图3，在中，，，，在内部有一点P，连接，直接写出的最小值． 【变式4】（24-25九年级下·全国·二轮复习）在边长为的正中有一点，连接，求的最小值． 【变式5】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，，，求的长． (1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程； (2)【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，可判断出，请说明理由： (3)如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值． ▌题型02 瓜豆模型 瓜豆原理运用满足的三个条件(“一定两动、定角、定比”)； ①有一个定点、两个动点，且一个动点(从动点)因另一个动点(主动点)的运动而随之运动； ②两个动点与定点所连线组成的夹角是定角; ③两个动点到定点的距离的比值是定值. 【典例2】（2022·安徽·三模）如图，已知正方形的边长为4，以点C为圆心，2为半径作圆，P是上的任意一点，将点P绕点D按逆时针方向旋转，得到点Q，连接，则的最大值是（    ） A．6 B． C． D． 【变式1】（2025·天津·一模）如图，是等边三角形的边的中点，为平面内一点，连接，将线段以点为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点之间的距离为1，则的最小值为_____________，最大值为_____________． 【变式2】（2023·山东泰安·二模）如图，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一动点，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接、．则线段长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B是上一点，的半径为2，将绕O点顺时针方向旋转得，连接，则线段的最小值为（    ）    A． B． C．5 D．6 【变式4】（2024·山东滨州·二模）如图，菱形中，，G是对角线的中点，是等腰直角三角形，，将绕点B顺时针旋转，连接．已知，，在旋转过程中，当为直角三角形时，的长为________． ▌题型03 手拉手模型 【典例3】（22-23八年级下·山东济南·期中）是等腰直角三角形，点D是外部的一点，连接，，将线段绕点A逆时针旋转90°得到线段，连接，．    (1)如图1，当点D在线段上时，线段与线段的数量关系是_______，位置关系是_______； (2)如图2，线段交于点P，此时（1）中线段与线段的关系是否依然成立，请说明理由； (3)如图3，线段交于点P，点Q是边的中点，连接，当时，求的长． 【变式1】（23-24九年级上·贵州遵义·期中）数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动：    (1)【操作探究】如图1，为等边三角形，将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接． ①写出图1中一个等于的角 ； ②图1中与的数量关系是 ． (2)【迁移探究】如图2，将（1）中的等边绕点A逆时针旋转，得到，其他条件不变．探究与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】如图3，在，，，，将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接．在旋转过程中，当时，直接写出线段的长． 【变式2】（23-24九年级上·湖北黄冈·期中）如图，和都是等腰直角三角形，． (1)【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 【变式3】（23-24九年级上·辽宁大连·期末）【问题初探】（1）在数学活动课上，王老师给出下面问题：如图1，和是等边三角形，点B、C、E不在同一条直线上，请找出图中的全等三角形并直接写出结论________________；（写出一对即可） 上面几何模型被称为“手拉手”模型，面对题目时我们也会“寻模而入，破模而出”．    【类比分析】（2）如下图，已知四边形中，，，是的平分线，且．将线段绕点E顺时针旋转得到线段．当时，连接，试判断线段和线段的数量关系，并说明理由；    ①小明同学从结论出发给出如下解题思路：可以先猜测线段和线段的数量关系，然后通过逆用“手拉手”模型，合理添加辅助线，借助“全等”来解决问题； ②小玲同学从条件入手给出另一种解题思路：可以根据条件，则，再通过“手拉手”模型，合理添加辅助线，构造与全等的三角形来解决问题． 请你选择一名同学的解题思路（也可另辟蹊径）来解决问题，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如下图，中，当时，点D、E为、上的点，，，若，，求线段的长．    【变式4】（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）【问题背景】数学兴趣小组利用两块大小不同的正方形卡片进行“正方形旋转”的探究活动，如图1，他们将边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B，使边，分别落在边上．容易发现． 【问题探究】将图1中正方形固定，将正方形绕点顺时针方向旋转． （1）如图2，连接，，试探究与是否仍然相等？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 【问题拓展】将图1中正方形固定，将正方形绕点顺时针方向旋转． （2）如图3，在旋转过程中，当三点在同一条直线上时，求线段的长； （3）如图4，连接，取中点，连接，请直接写出线段长度的最小值和最大值． ▌题型04 半角模型 【典例4】（2024·重庆大渡口·一模）如图，和是等腰直角三角形，，的边AF，AG交边BC于点D，E．若，，则AD的值是______． 【变式1】（22-23八年级下·辽宁丹东·期中）通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系    (1)思路梳理： 把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点F、D、G共线，易证_________，故之间的数量关系为_________． (2)类比引申： 如图2，点E、F分别在正方形的边的延长线上，．连接，试猜想之间的数量关系为_________，并给出证明． (3)联想拓展： 如图3，在中，，点D、E均在边上，且．若，直接写出和的长． 【变式2】（22-23八年级下·辽宁本溪·期中）【探究】（1）如图1，在四边形中中，，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小李同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系．他的结论是　　　　　　．    【拓展】（2）如图2，已知是等腰直角三角形，．将三角板的角的顶点与点C重合，使这个角落在的内部，两边分别与斜边交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在的内部旋转，在点E、F的位置发生变化时，猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【实际应用】（3）如图2，在四边形中，，，若，则四边形的面积为__________． 【变式3】（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，试猜想、、之间的数量关系．        (1)把绕点逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点F、D、G共线，易证≌__________，故、、之间的数量关系为__________． (2)如图2，点E、F分别在正方形的边、的延长线上，．连接，试猜想、、之间的数量关系为__________，并给出证明． (3)如图3，在中，，，点D、E均在边上，且．若，，直接写出的值和的长． 【变式4】（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F．当绕B点旋转到时，如图1，易证．（不用证明） (1)当绕B点旋转到时，如图2，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明； (2)当绕B点旋转到时，如图3，（1）中结论是否成立？若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请给予证明． ▌题型05 一线三等角模型 【典例5】（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）平面坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22八年级下·山西运城·期中）在平面坐标系中，已知直线与x轴，y轴分别交于点A、B，线段AB绕点A顺时针方向旋转得线段AC，连接BC，则C点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·河北保定·期中）在四边形中，，，作边的垂直平分线，分别交，于点，连接，恰好，，再将绕点逆时针旋转至位置，以为平面直角坐标系的原点，以所在直线为轴，如图建立平面直角坐标系． (1)点的坐标是______，点的坐标是______； (2)问点是否在直线上？并说明理由； (3)求的面积． 【变式3】（24-25八年级下·上海·期中）按要求解题： (1)如图①，在四边形中，，点E是边上一点，，，连接、，则的形状为__________； 【解决问题】(2)如图②，在长方形中，点P是边上一点，在边、上分别作出点E、F，使得点F、E、P是一个等腰直角三角形的三个顶点，且，． 要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法； 【拓展应用】(3)如图③，在平面直角坐标系中，已知点，点，点C在第一象限内，若是等腰直角三角形，则点C的坐标是____________________； (4)如图④，在平面直角坐标系中，已知点，点C是y轴上的动点，线段绕着点C按逆时针方向旋转至线段，，连接、，则的最小值为__________． 【变式4】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中有、、三个点，如图1所示，如果将点绕点旋转后得到点，则称点与点关于点互为“垂链点”，其中一个点叫做另一个点关于点的“垂链点”． 例如：对于平面直角坐标系中的三个点，，，因为点可以看作是将点绕点旋转后得到的一个点，所以点是点关于点的“垂链点”． 探究任务一： (1)已知点的坐标为，点的坐标为，则点___________点关于点的“垂链点”；（填“是”或“不是”） (2)已知点的坐标为，点的坐标为，若点是点关于点的“垂链点”，那么点的坐标是___________； 探究任务二：已知点，并且点在轴上． (3)如图2所示，在一次函数的图象上存在点，且点是点关于点的“垂链点”，求点的坐标； (4)若在一次函数的图象上存在无数个点，且点是点关于点的“垂链点”． ①直接写出这个一次函数的表达式___________； ②若一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点是内部一点，且，，若点是线段上的一个动点，设点的横坐标为，求的面积与的函数关系式． ▌题型06 隐圆模型 条件：将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△AB'C’ 图示： 结论：点B(C)的运动轨迹是以点A为圆心，AB(AC)长为半径的一段圆弧(如图中的虚线圆弧) 【典例6】（2026·河南平顶山·三模）如图，和是有公共顶点的两个等腰直角三角形，，点P为射线和射线的交点，若，保持不动，将绕点A旋转一周，则在旋转过程中，线段的最大值为___________．      【变式1】（2025·河南周口·二模）如图，在等腰和等腰中，，，将绕点旋转，连接，若，则旋转过程中，当最大时，其度数为___________°，当最小时，其度数为___________°． 【变式2】（24-25九年级下·福建福州·期中）如图，中，，中， ，，直线与直线交于点．现将绕点旋转周，在旋转过程中，线段长度的最大值是_______． 【变式3】（22-23九年级上·江苏南京·阶段检测）是边长为5的等边三角形，是边长为3的等边三角形，直线与直线交于点F．如图，将绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段长度的最小值是___________． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $