第23章 旋转（单元测试·培优卷）数学人教版九年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元测验卷 第23章 旋 转 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列倡导环保的图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　） A．B． C． D． 2．如图，已知点，，将线段绕点M逆时针旋转到，点A与是对应点，则点M所在象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知点关于原点的对称点在第二象限，则a的取值范围是(   ) A． B． C． D． 4．两块大小相同，含有角的直角三角板如图水平放置，将绕点C按逆时针方向旋转，旋转的角度是（    ） A． B． C． D． 5．如图是等腰直角三角形，是斜边，P为内一点，将绕点A逆时针旋转后与重合，如果，那么线段的长是（    ） A．3 B． C．6 D． 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过中心对称变换得到△A′B′C′，那么对称中心的坐标为（　　） A．（0，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（0，﹣1） 7．如图，的顶点，，将绕原点O顺时针旋转，则点C的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 8．风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．把边长为5的正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点E，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 10．在中，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与边交于E，F两点．下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．如图，中，，将绕点逆时针旋转°得到．当点，，在同一直线上时，的度数为 ． 12．如图，四边形为菱形，对角线交于点E，与关于B点中心对称，已知，则的长为 ． 13．如图，等边的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，，将等边绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为 ． 14．如图，在菱形中，，将菱形绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形，点E在上，与交于点P，则的长是 ． 15．如图，点为正方形的边上一点，且，以点为旋转中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接．若，则的长为 ． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．（6分）如图，△OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点B的坐标为（6，0），将△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD，且点O的对应点C落在OB上． （1）求∠OAC的度数； （2）求点D的坐标． 17．（6分）根据下列各题中的条件，确定字母的值． (1)点与点关于x轴对称，求的值； (2)点与点关于原点对称，求的值； (3)点与点在平行于y轴的一条直线上，且点P在点Q的上面，点间的距离为4，求的值． 18．（6分）如图所示，，，，绕点B逆时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)连接，求的长． 19．（8分）如图，已知 中，，把 绕点顺时针方向旋转得到 ，连接，交于点． (1)求证：； (2)若 ，，当四边形是菱形时，求的长． 20．（8分）在中，，，点D在射线上，连接，将线段逆时针旋转得到线段（点E不在直线上），连接，过点E作，交直线于点F． (1)如图1，当点D与点C重合时，求证：； (2)如图2，当点D在线段上，F在线段的延长线上时，用等式表示与之间的数量关系，并证明． 21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是． (1)①点关于原点中心对称点的坐标为（ ， ）； ②将绕点顺时针旋转后得到，画出； (2)若点为轴上一动点，则的最小值等于 ． 22．（9分）在中，，是绕点C逆时针旋转所得，其中点A，点B的对应点分别是点D，点E，延长交于F，连接． (1)若，，求的长； (2)求证：平分； (3)求证：． 23．（11分）已知线段是正方形的一条对角线，点E在射线上运动，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接． （1）如图1，若点E在线段上，请直接写出线段与线段的数量关系与位置关系； 【模型应用】 （2）如图2，若点E在线段的延长线上运动，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，已知线段是矩形的一条对角线，，，点E在射线上运动，连接，将绕点C顺时针旋转，得到，在上截取线段，连接，若，直接写出线段的长． 24．（12分）如图，在直角坐标系中，，，一次函数的图象过，与x轴交于A点． (1)n=______；A( ， ) (2)判断四边形的形状，并证明； (3)将绕点O顺时针旋转，旋转得，问：能否使以点O、、D、为顶点的四边形是平行四边形？若能，请直接写出的坐标；若不能，请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元测验卷 第23章 旋 转 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列倡导环保的图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 据此即可求解． 【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形是轴对称图形但不是中心对称图形，符合题意； D、该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2．如图，已知点，，将线段绕点M逆时针旋转到，点A与是对应点，则点M所在象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】此题考查了旋转的性质，准确分析作图是解题的关键． 作出对应点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心． 【详解】解：如图，连接、，作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线，交点即为点M，由图可得，点M在第四象限． 故选：D 3．已知点关于原点的对称点在第二象限，则a的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据点所在的象限求参数的范围，求不等式组的解集，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，以及第二象限的点的符号特征，列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：∵点关于原点的对称点为，且在第二象限， ∴，解得：； 故选B． 4．两块大小相同，含有角的直角三角板如图水平放置，将绕点C按逆时针方向旋转，旋转的角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是解题的关键．由旋转的性质和直角三角形的性质可证是等边三角形，可得，从而得出旋转的度数． 【详解】解：三角板是两块大小且含有的角， ， 将绕点C按逆时针方向旋转，当点E的对应点恰好落在上， ， 是等边三角形， ， ； 故选：A． 5．如图是等腰直角三角形，是斜边，P为内一点，将绕点A逆时针旋转后与重合，如果，那么线段的长是（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质证明是等腰直角三角形即可根据勾股定理求得答案． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转后与重合， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过中心对称变换得到△A′B′C′，那么对称中心的坐标为（　　） A．（0，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（0，﹣1） 【答案】B． 【分析】根据点A与点A'关于（﹣1，0）对称，点B与点B'关于（﹣1，0）对称，点C与点C′关于（﹣1，0）对称，得出△ABC与△A′B′C′关于点（﹣1，0）成中心对称． 【详解】解：由图可知，点A与点A'关于（﹣1，0）对称，点B与点B'关于（﹣1，0）对称，点C与点C′关于（﹣1，0）对称， 所以△ABC与△A′B′C′关于点（﹣1，0）成中心对称， 故选：B． 7．如图，的顶点，，将绕原点O顺时针旋转，则点C的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地求出点C的坐标是解题的关键．由平行四边形的性质可得点，由可证，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作轴于E，过点作轴于F， 设点， ∵的顶点，点， ∴点B先向右平移一个单位，再向下平移三个单位得到点O， ∴点A先向右平移一个单位，再向下平移三个单位得到点C， ∴， ∴点， ∴， ∵将绕原点O顺时针旋转， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴点， 故选：B． 8．风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标． 【详解】解：如图． ， 在第一象限的角平分线上， 叶片每秒绕原点顺时针转动， ，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ， 第时，点的对应点的坐标与相同，为． 故选：． 9．把边长为5的正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点E，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接、，由正方形的性质得，，则，，由旋转得，，，则点在上，所以，，则，可证明，则，所以，求得四边形的周长是，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， 四边形是边长为5的正方形， ，， ， ， 把正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点E， ，，， ，点在上， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形的周长是， 故选：D． 10．在中，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与边交于E，F两点．下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，连接，根据等腰直角三角形的性质就可以得出，就可以得出，进而得出，就有，由勾股定理就即可求出结论． 【详解】解：连接， ， 点D为中点，， ．，． ， ， ． 在和中， ， ， ，． ， ， ． ， ． ， ， ． ，， 始终为等腰直角三角形． ， ． ， ． ∴正确的有4个． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．如图，中，，将绕点逆时针旋转°得到．当点，，在同一直线上时，的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理的应用，根据旋转的性质得出，，，进而根据三角形内角和定理求得，即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转°得到． ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．如图，四边形为菱形，对角线交于点E，与关于B点中心对称，已知，则的长为 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了菱形的性质，中心对称图形的性质，勾股定理．根据菱形的性质，可得，再结合中心对称图形的性质，可得的长，然后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴， ∴， ∵与关于B点中心对称， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：13 13．如图，等边的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，，将等边绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解此题的关键．过点作轴于C点，由等边三角形的性质可得：，由旋转的性质可得：，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于C点， 是等边三角形， ， 由旋转可知：， ， ， ， 点的坐标为， 故答案为：． 14．如图，在菱形中，，将菱形绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形，点E在上，与交于点P，则的长是 ． 【答案】 【分析】连接交于，由菱形的性质得出，，，，，由直角三角形的性质求出，，得出，由旋转的性质得：，，得出，证出，由直角三角形的性质得出，，即可得出结果． 【详解】解：连接交于，如图所示： 四边形是菱形， ，，，，， ， ， ， 由旋转的性质得：，， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，含角的直角三角形的性质，平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和菱形的性质是解题的关键． 15．如图，点为正方形的边上一点，且，以点为旋转中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点F作，交的延长线于点G，利用直角三角形的性质和勾股定理求出，然后证明，则，得到，最后在中由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点F作，交的延长线于点G，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， ∴（舍负）， ∵， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 在中由勾股定理得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．（6分）如图，△OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点B的坐标为（6，0），将△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD，且点O的对应点C落在OB上． （1）求∠OAC的度数； （2）求点D的坐标． 【答案】（1）60°；（2）D（7，3）． 【分析】（1）根据旋转的性质得出AO＝AC＝4，由∠AOB＝60°，即可证得△AOC是等边三角形，即可求得∠OAC＝60°； （2）过点D作DE⊥x轴于点E．证∠DCE＝60°，然后解直角三角形求出DE，CE，可得结论． 【解答】解：（1）由旋转的性质可知AO＝AC＝4， ∵∠AOB＝60°， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠OAC＝60°； （2）如图，过点D作DE⊥x轴于点E． ∵B（6，0）， ∴OB＝6， 由旋转的性质可知OB＝CD＝6，∠ACD＝∠AOB＝60°， ∵△AOC是等边三角形， ∴OC＝OA＝4，∠ACO＝60°， ∴∠DCE＝60°， ∴CECD＝3，DE＝3， ∴OE＝OC+CE＝4+3＝7， ∴D（7，3）． 17．（6分）根据下列各题中的条件，确定字母的值． (1)点与点关于x轴对称，求的值； (2)点与点关于原点对称，求的值； (3)点与点在平行于y轴的一条直线上，且点P在点Q的上面，点间的距离为4，求的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查点的坐标，掌握各点的坐标特点是解题的关键． （1）利用关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，进行列式计算，解题即可； （2）利用关于原点对称的点的横坐标相反数，纵坐标互为相反数，进行列式计算，解题即可； （3）结合平行于y轴的一条直线上，得到横坐标相同，进行列式，解得，因为点P在点Q的上面，点间的距离为4，故，进行解题即可． 【详解】（1）解：∵点与点关于x轴对称， ∴ 解得； （2）解：∵点与点关于原点对称， ∴， 整理得， 解得 把代入得， 解得， （3）解：∵点与点在平行于y轴的一条直线上， ∴ ∴ 解得， ∵点P在点Q的上面，点间的距离为4， ∴， ∴． 18．（6分）如图所示，，，，绕点B逆时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质得到，，，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）连接，根据旋转的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵绕点B逆时针旋转得到， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； （2）连接， ∵绕点B逆时针旋转得到， ∴，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴． 19．（8分）如图，已知 中，，把 绕点顺时针方向旋转得到 ，连接，交于点． (1)求证：； (2)若 ，，当四边形是菱形时，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）要证明，需根据旋转性质找到对应边和角的关系，再利用全等三角形判定定理（）来证明． （2）要求的长，先根据菱形性质得出边和角的关系，再结合已知角度推出为等腰直角三角形，利用勾股定理求出，最后结合菱形的边求出． 【详解】（1）证明：∵ 绕点顺时针方向旋转得到， ∴ ，，． ∴ ，即． 又∵ ， ∴ ． 在和中， ， ∴ （）． （2）解：∵ 四边形是菱形， ∴ ，． ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∴ ． 在中，根据勾股定理： ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的性质以及勾股定理，熟练掌握这些知识，通过已知条件逐步推导是解题关键． 20．（8分）在中，，，点D在射线上，连接，将线段逆时针旋转得到线段（点E不在直线上），连接，过点E作，交直线于点F． (1)如图1，当点D与点C重合时，求证：； (2)如图2，当点D在线段上，F在线段的延长线上时，用等式表示与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，熟练掌握旋转的性质，全等三角形判定及平行线性质是解题的关键． （1）由得到．由三角形的内角和定理与旋转的性质证明，，从而得到，进而有，再由得到，从而，因此根据等腰三角形的判定即可解答； （2）延长到点H，使，由得到．由垂直平分线的性质得到，进而根据等腰三角形的“三线合一”得到，从而，即可证明，得到，．证明得到，从而． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：，证明如下： 延长到点H，使， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即 ∵由旋转有 ∴ ∴， ． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是． (1)①点关于原点中心对称点的坐标为（ ， ）； ②将绕点顺时针旋转后得到，画出； (2)若点为轴上一动点，则的最小值等于 ． 【答案】(1)①；②见解析； (2)． 【分析】本题考查了中心对称，图形旋转，利用对称求最短路径等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）①根据关于原点对称的点的坐标特征求解即可； ②根据图形绕原点顺时针旋转的坐标变化规律求解即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， 此时的值最小，根据勾股定理求值即可． 【详解】（1）解：①点的坐标为， 点关于原点的对称点的坐标为． 故答案为：． ②如图，即为所求． （2）解：作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， 此时的值最小， 最小值即为的长，由勾股定理得，， 故答案为：． 22．（9分）在中，，是绕点C逆时针旋转所得，其中点A，点B的对应点分别是点D，点E，延长交于F，连接． (1)若，，求的长； (2)求证：平分； (3)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由旋转性质得，，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理解得，的值，进而可得，再证明，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可获得答案； （2）过点C作垂足分别为M，N，证明，由全等三角形的性质可得，然后根据“在角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上”即可证明结论； （3）过点B作，过点E作，垂足分别为点H，G，结合（1）（2）易得均为等腰直角三角形，进而可得，，再证明，易得，结合即可证明结论． 【详解】（1）解：如下图， 由旋转性质得，， ∴，， ∴在中，， ∴，即， ∴，解得（负值舍去）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）如下图，过点C作垂足分别为M，N， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分； （3）如下图，过点B作，过点E作，垂足分别为点H，G， ∴， 由（1）（2）得，平分， ∴， ∴，， ∴均为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 23．（11分）已知线段是正方形的一条对角线，点E在射线上运动，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接． （1）如图1，若点E在线段上，请直接写出线段与线段的数量关系与位置关系； 【模型应用】 （2）如图2，若点E在线段的延长线上运动，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，已知线段是矩形的一条对角线，，，点E在射线上运动，连接，将绕点C顺时针旋转，得到，在上截取线段，连接，若，直接写出线段的长． 【答案】（1），，理由见解析；（2），见解析；（3）线段的长为或 【分析】（1）利用正方形、旋转的性质以及边角边关系证全等，即可得到结论； （2）利用全等的性质得到，利用勾股定理求得，代入转化即可； （3）利用旋转的性质得到是直角三角形，再根据转化为求的长，通过作垂线构造，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1），； ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵将线段绕点C顺时针旋转，得到线段， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 则，即； （2）； 理由：∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转得，，， ∴， 即， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴； （3）过点C作于点H， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 若点E在线段上， ∵， ∴， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转，得到， ∴，， ∵， ∴， 若点E在的延长线上时， 同理，， ∴， 同理，， 综上，线段的长为或． 24．（12分）如图，在直角坐标系中，，，一次函数的图象过，与x轴交于A点． (1)n=______；A( ， ) (2)判断四边形的形状，并证明； (3)将绕点O顺时针旋转，旋转得，问：能否使以点O、、D、为顶点的四边形是平行四边形？若能，请直接写出的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)4；，0 (2)四边形为平行四边形，见解析 (3)能，的坐标为或或 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，平行四边形的判定，旋转的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由一次函数解析式，令可求得点点坐标，将点坐标代入直线解析式可求C点坐标； （2）由两点距离可求得、的长，可得，由，纵坐标相等可证，则四边形为平行四边形； （3）分三种情况平行四边形，平行四边形，平行四边形，以直角三角形的面积求出斜边上的高再利用勾股定理即可得点的坐标． 【详解】（1）解：当时，， 点， 当时，， 解得， 点坐标为， 故答案为：4；； （2）解：四边形为平行四边形， 理由如下：点，点， ，轴， ∵， ， ，， 四边形为平行四边形； （3）由题意可知；，， 旋转后，若轴，连接，构成四边形，如图1， 四边形构成平行四边形， 此时，设与轴交于， 则，， 点的坐标为； 旋转后，若的中点在轴上，构成四边形，如图2， ， ， 四边形构成平行四边形 作轴交于， 则，， 点的坐标为； 旋转后，若轴，构成四边形，如图3， 又 四边形构成平行四边形 此时，设与轴交于 则，， 点的坐标为， 综上所述，满足条件的坐标为或或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元测验卷 第23章 旋 转 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列倡导环保的图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　） A．B． C． D． 2．如图，已知点，，将线段绕点M逆时针旋转到，点A与是对应点，则点M所在象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知点关于原点的对称点在第二象限，则a的取值范围是(   ) A． B． C． D． 4．两块大小相同，含有角的直角三角板如图水平放置，将绕点C按逆时针方向旋转，旋转的角度是（    ） A． B． C． D． 5．如图是等腰直角三角形，是斜边，P为内一点，将绕点A逆时针旋转后与重合，如果，那么线段的长是（    ） A．3 B． C．6 D． 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过中心对称变换得到△A′B′C′，那么对称中心的坐标为（　　） A．（0，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（0，﹣1） 7．如图，的顶点，，将绕原点O顺时针旋转，则点C的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 8．风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．把边长为5的正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点E，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 10．在中，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与边交于E，F两点．下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．如图，中，，将绕点逆时针旋转°得到．当点，，在同一直线上时，的度数为 ． 12．如图，四边形为菱形，对角线交于点E，与关于B点中心对称，已知，则的长为 ． 13．如图，等边的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，，将等边绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为 ． 14．如图，在菱形中，，将菱形绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形，点E在上，与交于点P，则的长是 ． 15．如图，点为正方形的边上一点，且，以点为旋转中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接．若，则的长为 ． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．（6分）如图，△OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点B的坐标为（6，0），将△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD，且点O的对应点C落在OB上． （1）求∠OAC的度数； （2）求点D的坐标． 17．（6分）根据下列各题中的条件，确定字母的值． (1)点与点关于x轴对称，求的值； (2)点与点关于原点对称，求的值； (3)点与点在平行于y轴的一条直线上，且点P在点Q的上面，点间的距离为4，求的值． 18．（6分）如图所示，，，，绕点B逆时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)连接，求的长． 19．（8分）如图，已知 中，，把 绕点顺时针方向旋转得到 ，连接，交于点． (1)求证：； (2)若 ，，当四边形是菱形时，求的长． 20．（8分）在中，，，点D在射线上，连接，将线段逆时针旋转得到线段（点E不在直线上），连接，过点E作，交直线于点F． (1)如图1，当点D与点C重合时，求证：； (2)如图2，当点D在线段上，F在线段的延长线上时，用等式表示与之间的数量关系，并证明． 21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是． (1)①点关于原点中心对称点的坐标为（ ， ）； ②将绕点顺时针旋转后得到，画出； (2)若点为轴上一动点，则的最小值等于 ． 22．（9分）在中，，是绕点C逆时针旋转所得，其中点A，点B的对应点分别是点D，点E，延长交于F，连接． (1)若，，求的长； (2)求证：平分； (3)求证：． 23．（11分）已知线段是正方形的一条对角线，点E在射线上运动，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接． （1）如图1，若点E在线段上，请直接写出线段与线段的数量关系与位置关系； 【模型应用】 （2）如图2，若点E在线段的延长线上运动，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，已知线段是矩形的一条对角线，，，点E在射线上运动，连接，将绕点C顺时针旋转，得到，在上截取线段，连接，若，直接写出线段的长． 24．（12分）如图，在直角坐标系中，，，一次函数的图象过，与x轴交于A点． (1)n=______；A( ， ) (2)判断四边形的形状，并证明； (3)将绕点O顺时针旋转，旋转得，问：能否使以点O、、D、为顶点的四边形是平行四边形？若能，请直接写出的坐标；若不能，请说明理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元测验卷 第23章 旋转 （参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D B A D B B A D D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共5分） 11．．． 12．13 13．． 14．． 15． ． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．（6分） 【答案】（1）60°；（2）D（7，3）． 【分析】（1）根据旋转的性质得出AO＝AC＝4，由∠AOB＝60°，即可证得△AOC是等边三角形，即可求得∠OAC＝60°； （2）过点D作DE⊥x轴于点E．证∠DCE＝60°，然后解直角三角形求出DE，CE，可得结论． 【解答】解：（1）由旋转的性质可知AO＝AC＝4， ∵∠AOB＝60°， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠OAC＝60°； （2）如图，过点D作DE⊥x轴于点E． ∵B（6，0）， ∴OB＝6， 由旋转的性质可知OB＝CD＝6，∠ACD＝∠AOB＝60°， ∵△AOC是等边三角形， ∴OC＝OA＝4，∠ACO＝60°， ∴∠DCE＝60°， ∴CECD＝3，DE＝3， ∴OE＝OC+CE＝4+3＝7， ∴D（7，3）． 17．（6分） 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查点的坐标，掌握各点的坐标特点是解题的关键． （1）利用关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，进行列式计算，解题即可； （2）利用关于原点对称的点的横坐标相反数，纵坐标互为相反数，进行列式计算，解题即可； （3）结合平行于y轴的一条直线上，得到横坐标相同，进行列式，解得，因为点P在点Q的上面，点间的距离为4，故，进行解题即可． 【详解】（1）解：∵点与点关于x轴对称， ∴ 解得； （2）解：∵点与点关于原点对称， ∴， 整理得， 解得 把代入得， 解得， （3）解：∵点与点在平行于y轴的一条直线上， ∴ ∴ 解得， ∵点P在点Q的上面，点间的距离为4， ∴， ∴． 18．（6分） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质得到，，，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）连接，根据旋转的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵绕点B逆时针旋转得到， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； （2）连接， ∵绕点B逆时针旋转得到， ∴，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴． 19．（8分） 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）要证明，需根据旋转性质找到对应边和角的关系，再利用全等三角形判定定理（）来证明． （2）要求的长，先根据菱形性质得出边和角的关系，再结合已知角度推出为等腰直角三角形，利用勾股定理求出，最后结合菱形的边求出． 【详解】（1）证明：∵ 绕点顺时针方向旋转得到， ∴ ，，． ∴ ，即． 又∵ ， ∴ ． 在和中， ， ∴ （）． （2）解：∵ 四边形是菱形， ∴ ，． ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∴ ． 在中，根据勾股定理： ， ∴ ． 20． （8分） 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，熟练掌握旋转的性质，全等三角形判定及平行线性质是解题的关键． （1）由得到．由三角形的内角和定理与旋转的性质证明，，从而得到，进而有，再由得到，从而，因此根据等腰三角形的判定即可解答； （2）延长到点H，使，由得到．由垂直平分线的性质得到，进而根据等腰三角形的“三线合一”得到，从而，即可证明，得到，．证明得到，从而． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：，证明如下： 延长到点H，使， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即 ∵由旋转有 ∴ ∴， ． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 21．（8分） 【答案】(1)①；②见解析； (2)． 【分析】本题考查了中心对称，图形旋转，利用对称求最短路径等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）①根据关于原点对称的点的坐标特征求解即可； ②根据图形绕原点顺时针旋转的坐标变化规律求解即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， 此时的值最小，根据勾股定理求值即可． 【详解】（1）解：①点的坐标为， 点关于原点的对称点的坐标为． 故答案为：． ②如图，即为所求． （2）解：作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， 此时的值最小， 最小值即为的长，由勾股定理得，， 故答案为：． 22．（9分） 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由旋转性质得，，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理解得，的值，进而可得，再证明，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可获得答案； （2）过点C作垂足分别为M，N，证明，由全等三角形的性质可得，然后根据“在角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上”即可证明结论； （3）过点B作，过点E作，垂足分别为点H，G，结合（1）（2）易得均为等腰直角三角形，进而可得，，再证明，易得，结合即可证明结论． 【详解】（1）解：如下图， 由旋转性质得，， ∴，， ∴在中，， ∴，即， ∴，解得（负值舍去）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）如下图，过点C作垂足分别为M，N， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分； （3）如下图，过点B作，过点E作，垂足分别为点H，G， ∴， 由（1）（2）得，平分， ∴， ∴，， ∴均为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 23．（11分） 【答案】（1），，理由见解析；（2），见解析；（3）线段的长为或 【分析】（1）利用正方形、旋转的性质以及边角边关系证全等，即可得到结论； （2）利用全等的性质得到，利用勾股定理求得，代入转化即可； （3）利用旋转的性质得到是直角三角形，再根据转化为求的长，通过作垂线构造，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1），； ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵将线段绕点C顺时针旋转，得到线段， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 则，即； （2）； 理由：∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转得，，， ∴， 即， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴； （3）过点C作于点H， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 若点E在线段上， ∵， ∴， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转，得到， ∴，， ∵， ∴， 若点E在的延长线上时， 同理，， ∴， 同理，， 综上，线段的长为或． 24．（12分） 【答案】(1)4；，0 (2)四边形为平行四边形，见解析 (3)能，的坐标为或或 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，平行四边形的判定，旋转的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由一次函数解析式，令可求得点点坐标，将点坐标代入直线解析式可求C点坐标； （2）由两点距离可求得、的长，可得，由，纵坐标相等可证，则四边形为平行四边形； （3）分三种情况平行四边形，平行四边形，平行四边形，以直角三角形的面积求出斜边上的高再利用勾股定理即可得点的坐标． 【详解】（1）解：当时，， 点， 当时，， 解得， 点坐标为， 故答案为：4；； （2）解：四边形为平行四边形， 理由如下：点，点， ，轴， ∵， ， ，， 四边形为平行四边形； （3）由题意可知；，， 旋转后，若轴，连接，构成四边形，如图1， 四边形构成平行四边形， 此时，设与轴交于， 则，， 点的坐标为； 旋转后，若的中点在轴上，构成四边形，如图2， ， ， 四边形构成平行四边形 作轴交于， 则，， 点的坐标为； 旋转后，若轴，构成四边形，如图3， 又 四边形构成平行四边形 此时，设与轴交于 则，， 点的坐标为， 综上所述，满足条件的坐标为或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $