第4章 章末检测-【名师带你过关】2026-2027学年高考数学一轮复习

**基本信息** 高中数学第四章章末检测，聚焦三角函数与解三角形核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，适配一轮复习巩固与能力提升需求，融入逻辑推理与数学运算素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|三角函数图像平移（题1）、三角恒等变换（题2）、解三角形（题3）|基础巩固，覆盖核心概念| |多选|3/18|函数性质（奇偶性、周期性，题9）、三角函数图像（题10）|能力辨析，考查综合理解| |填空|3/15|角平分线长度（题12）、三角恒等变换（题13）|中档应用，强化运算能力| |解答|5/77|解三角形证明与判断（题15）、三角函数与解三角形综合（题16）|综合创新，体现逻辑推理与数学建模|

第四章 章末检测 一、选择题 1.C　2.B　3.C　4.A　5.B　6.B　7.D　8.B 5.B　解析:因为△ABC的面积为, 所以有bcsin A=×b×2×=,则b=1. 由余弦定理可得,a= ==, 因为点D为边BC的中点,所以BD=DC=. 因为∠ADC+∠ADB=π, 所以cos∠ADC+cos∠ADB=0,即+=0,解得AD=. 7.D　解析:令△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 由正弦定理及sin B+sin C=2sin A,得b+c=2a=8,即c=8-b, 在锐角三角形ABC中,cos A=>0,即b2+c2-a2>0, 同理a2+b2-c2>0,c2+a2-b2>0, 于是解得3<b<5, 又线段AD为△ABC边BC上的中线, 所以2=+. 又=-,于是4+=(+)2+(-)2=2+2, 因此||===, 当b=4 时,||min=2,又||<,所以中线AD的取值范围是[2,). 8.B　解析:设BC=a,AC=b,AB=c,由题意可得BF=a-EF,EC=a,由BF,EF,EC成等差数列,得2EF=a-EF+a,则EF=a,故BF=a,由角平分线定理可得=,即=,故===tan C. 二、多选题 9.AD　10.ABD　11.AD 11.AD　解析:由题意及正弦定理得, 2sin∠ABCsin∠BAC=sin∠BACcos∠ABC, 因为sin∠BAC≠0,所以2sin∠ABC=cos∠ABC,又因为sin2∠ABC+cos2∠ABC=1,所以sin∠ABC=,cos∠ABC=, 在△ABC中,由b2=a2+c2-2accos∠ABC,得a=6(负值已舍去). 对于A,cos∠BAC===-,故A正确; 对于B,S△ABC=casin∠ABC=×2×6×=2,故B错误; 对于C,由角平分线定理可知,==,所以AE=,BE2=AB2+AE2-2AB·AEcos∠BAC=4+-2×2××=,所以BE=,故C错误; 对于D,在△ABD中,AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos∠ABD=4+9-2×2×3×=5,所以AD=,故D正确. 三、填空题 12.　13.　14. 12.　解析:由S△ABC=S△ABD+S△ACD 得,×2×3×sin 120°=×2AD×sin60°+×3AD×sin60°,解得AD=. 14.　解析:因为acos C-2bcos B+ccos A=0, 由正弦定理可得sin Acos C-2sin Bcos B+sin Ccos A=0, 即sin(A+C)-2sin Bcos B=0,因为A+B+C=π, 所以sin B-2sin Bcos B=0, 因为sin B≠0,所以cos B=, 因为B∈(0,π),所以B=, 由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B,即得a2+c2-ac=9, 因为=(+), 所以||2=(||2+||2+2·), 即(a2+c2+ac)=4,解得ac=, 所以S△ABC=acsin B=××=. 四、解答题 15.(1)解:证明:因为=, 由正弦定理得,sin C(2cos A-cos B)=sin Bcos C+sin B, 整理可得,2sin Ccos A=sin Bcos C+sin Ccos B+sin B=sin A+sin B, 又sin B=sin (A+C)=sin Acos C+cos Asin C, 于是sin Ccos A-cos Csin A=sin A, 即sin(C-A)=sin A,因为A,C∈(0,π),所以-π<C-A<π,所以C-A=A或C-A=±π-A(舍去),所以C=2A. (2)根据等面积法可知S△ABC=AB·hc=BC·ha,即c·hc=a·ha,由hc∶ha=1∶,可得c=a, 又由C=2A及正弦定理可得,===, 解得cos A=,由于A∈(0,π),所以A=,C=, 所以B=π-A-C=,所以△ABC是直角三角形. 16.(1)解:f(x)=cos ωxsin- =cos ωxsin ωx+cos2ωx- =sin 2ωx+cos 2ωx=sin, 由题意得=,又T=,ω>0, 所以ω=1,则f(x)=sin. 当x∈时, 则2x+∈,sin∈, 所以f(x)∈. (2)由题意得g(x)=sin, 由-+2kπ≤4x+≤+2kπ(k∈Z), 得-+kπ≤x≤-+kπ(k∈Z); 由+2kπ≤4x+≤+2kπ(k∈Z), 得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z). 所以函数g(x) 在(k∈Z)上单调递增, 在(k∈Z)上单调递减. (3)由f(A)=sin=-,得 sin=-1, 因为0<A<π,所以A=. 由题意得,△ABC外接圆的半径R=2, tan B=tan==(2-)tan C, 解得tan C=1(负值已舍去).则C=,B=. 而∠ADE=π--=, 且由AD,AE分别为△ABC的内角∠BAC的内、外角平分线可知AD⊥AE,故E=. 因此AE=c,DE==, 在△ABC中,由正弦定理可知,c=2Rsin C=4sin=2,故DE===4-4. 17.(1)解:由余弦定理的推论得cos C==, 又0<C<π,所以C=. 所以cos B=sin C=,所以cos B=, 又0<B<π,所以B=. (2)由(1)得A=π-B-C=, 由正弦定理=,得=,所以a=c. 所以△ABC的面积S=acsin B=c2×=3+, 解得c=2. 18.(1)解:由CD=BD,可设BD=m(m>0),则CD=m. 由∠BAC=,AD=,得tan∠BAC=tan(∠BAD+∠CAD)===, 由于tan∠BAC=tan=tan==2+, 所以(2+)(6-m2)=3m+m, 整理得m2+(-)m-2=0, 即(m-)(m+)=0, 解得m=或m=-(舍去),即BD=,CD=. 因此AB===2. (2)由(1)知cos∠ABC===, 又∠ABC∈,所以∠ABC=. 因此∠CBE=,C=π--=, ∠CEB=π--=. 在△BCE 中,由正弦定理得BE=·sin C=×==2, S△BCE=BC·BEsin∠CBE=×(+)×2×=+1. 19.解(1)由题意可得周期T==2×,故ω=2, f=sin=-cos φ=⇒cos φ=, 由于φ∈,故φ=,故f(x)=sin, 当x∈时,2x+∈, 由于f(x)在区间上有最大值无最小值,故<2m+≤,解得<m≤,故<m≤. (2)f'(x)=2cos,f'=2cos=2, f=sin=0,故直线l方程为y=2, 令g(x)=2-sin,则g'(x)=2-2cos≥0, 故g(x)在定义域内单调递增,又g=0, 因此g(x)有唯一的的零点-, 故l与曲线y=f(x)有唯一的交点,得证. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 章末检测 (考试时间:120分钟　总分:150分) 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.为了得到函数y=sin的图象,只要把函数y=sin 2x图象上所有的点 (　　) A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 2.已知α∈,且sin=,则sin= (　　) A.- B. C.- D. 3.在△ABC中,若A=,AB=1,AC=,则BC边上的高为 (　　) A.1 B. C. D.2 4.已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)= (　　) A.-3m B.- C. D.3m 5.已知△ABC中,若A=,c=2,△ABC的面积为,点D为边BC的中点,则AD的长度是 (　　) A. B. C.1 D.2 6.函数f(x)=sin x+sin 2x在区间上的零点个数为 (　　) A.4 B.5 C.6 D.7 7.在锐角三角形ABC中,BC=4,sin B+sin C=2sin A,则中线AD的取值范围是 (　　) A.(2,2] B.[2,) C.[2,4) D.[2,) 8.(2025·苏州模拟)在Rt△ABC中,A=90° ,AE,AF分别为△ABC的中线,角平分线,若线段BF,EF,EC的长度成等差数列,公差d>0,则tan C= (　　) A.5 B. C.2 D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知函数f(x)=sin x·,则 (　　) A.f(x)是奇函数 B.f(x)的最小正周期为π C.f(x)在上单调递增 D.f(x)的最小值为- 10.函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 (　　) A.ω=2 B.f(φ)=0 C.f(x)在区间上值域为 D.函数为偶函数 11.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,2bsin∠BAC=acos∠ABC,c=2,b=2,D为BC的中点,E为AC上的点,且BE为∠ABC的平分线,下列结论正确的是 (　　) A.cos∠BAC=- B.S△ABC=3 C.BE=2 D.AD= 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.在△ABC中,∠BAC=120°,AB=2,AC=3,D为BC上一点,AD为∠BAC的平分线,则AD=　　　　.  13.在△ABC中,已知C=,tan A·tan B=2-,则cos(A-B)=　　　　.  14.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=3,且acos C-2bcos B+ccos A=0,BD为AC边上的中线,BD=2,则△ABC的面积为　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,=. (1)证明:C=2A; (2)记边AB和BC上的高分别为hc和ha,若hc∶ha=1∶,判断△ABC的形状. 16.(15分)设函数f(x)=cos ωxsin-(ω>0),且函数f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为. (1)若x∈,求f(x)的值域; (2)把函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),再将所得图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,讨论函数g(x)的单调性; (3)在△ABC中,记内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,f(A)=-,△ABC的外接圆面积为4π,tan B=(2-)tan C,△ABC的内角∠BAC的平分线与外角平分线分别交直线BC于D,E两点,求DE的长度. 17.(15分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin C=cos B,a2+b2-c2=ab. (1)求B; (2)若△ABC的面积为3+,求c. 18.(17分)如图,在锐角三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,角B的平分线交AC于点E,CD=BD,AD=,∠BAC=. (1)求AB; (2)求BE与△BCE的面积. 19.(17分)设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π).已知f(x)的图象的两条相邻对称轴间的距离为,且f=. (1)若f(x)在区间(0,m)上有最大值,无最小值,求实数m的取值范围; (2)设l为曲线y=f(x)在x=-处的切线,证明:l与曲线y=f(x)有唯一的公共点. 学科网（北京）股份有限公司 $