第13章三角形分层练习 2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 分层设计覆盖三角形核心知识，以题载法构建“概念-性质-应用”逻辑链，强化推理与模型思想 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础达标|22题（选择10/填空6/解答6）|三角形高定义、三边关系不等式、内角和定理、外角性质、面积中线关系|从三角形基本概念（高、三边）到性质（内角和、外角），再到特殊三角形（等腰、直角）判定及面积计算，形成递进逻辑| |思维达标|3题（20-22）|角平分线性质、飞镖模型构造、动态几何探究|通过变式问题（如动点P、三角板位置变化）深化性质应用，培养抽象能力与推理意识，衔接中考综合题型|

第13章三角形分层练习 基础达标 一．选择题（共10小题） 1．（2026•东莞市校级一模）如图，在△ABC中，BC边上的高为（　　） A．CE B．AF C．DB D．AB 2．（2025秋•江津区期末）把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（　　） A． B． C． D． 3．（2026•长春校级开学）若三角形的两条边的长度分别是4cm和8cm，则第三条边的长度不可能是（　　） A．12cm B．8cm C．6cm D．5cm 4．（2026•兰山区开学）如图，一个顶角为50°的等腰三角形，切去顶角后得到一个四边形．则∠1+∠2＝（　　） A．130° B．180° C．230° D．310° 5．（2026•隆安县一模）一木工有四根长分别为30厘米、50厘米、60厘米、90厘米的木条，要选其中三根木条钉成一个三角形木架，木工的选法有（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 6．（2026•桐城市校级一模）如图，点D，E分别在线段AC，BC上，连接AE，BD交于点F．若∠A＝23°，∠B＝47°，∠C＝42°，则∠AFD的度数为（　　） A．65° B．68° C．70° D．89° 7．（2025秋•宜昌期末）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．（2026•九龙县模拟）如图，AB∥CD，点E在BD上，EF⊥BD交CD于点F．若∠ABD＝140°，则∠EFD的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 9．（2026•新城区校级模拟）如图，在△ABC中，已知D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝12，则△BEF的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2026•福田区校级一模）如图是一架婴儿车的示意图，其中AB∥CD，∠1＝110°，∠2＝70°，则∠3的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 二．填空题（共6小题） 11．（2025秋•任泽区期末）已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：5，则△ABC是　 　 三角形． 12．（2025秋•武冈市期末）若三角形的三边分别是3，4，x，且x是整数，则满足条件的三角形的有　 　 个． 13．（2025秋•天河区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD⊥AB于点D，则∠DCB＝　 　 °． 14．（2025秋•思明区校级期末）如图，在△ABC中，D为AB延长线上一点，DE⊥AC于E．若AC＝BC，∠C＝40°，则∠D＝　 　 ． 15．（2025秋•平顶山期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD平分∠ACB．从点C画射线CP交AB于点E，当∠PCD＝20°时，∠AEC的度数为　 　 ． 16．（2025秋•铅山县期末）如图，AD是△ABC的中线，DE是△ABD的中线，若△ABC的面积是12，则△BDE的面积是　 　 ． 三．解答题（共6小题） 17．（2025秋•东台市期末）如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AD＝2cm，BC＝10cm，求：△ABE的面积． 18．（2026•淄博模拟）如图，在△ABC中，BE是AC边上的高，∠ABC＝50°，∠C＝78°． （1）求∠ABE的度数； （2）若AD是△ABC的角平分线，AD交BE于点F，求∠EFD的度数． 19．（2026春•通许县期末）如图，△ABC中，点E在边BA上，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别是D、F，∠1＝∠2． （1）DG与BA平行吗？为什么？ （2）若∠B＝51°，∠C＝54°，求∠CGD的度数． 思维达标 20．（2025秋•闽侯县期末）如图，在△ABC中，满足∠B＜∠ACB，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，过点P作PE⊥AD交BC的延长线于点E． （1）若∠B＝36°，∠ACB＝84°，求∠E的度数； （2）当P点在线段AD上运动时，试探究∠E与∠B，∠ACB之间的等量关系，并证明． 21．（2026春•曲沃县期末）问题情景：如图1，△ABC中，有一块直角三角板PMN放置在△ABC上（P点在△ABC内），使三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和点C，试问∠ABP与∠ACP是否存在某种确定的数量关系？ （1）特殊探究：若∠A＝40°，则∠ABC+∠ACB＝　 　 度，∠PBC+∠PCB＝　 　 度，∠ABP+∠ACP＝　 　 度． （2）类比探索：请探究∠ABP+∠ACP与∠A的关系； （3）类比延伸：如图2，改变直角三角板PMN的位置：使P点在△ABC外，三角板PMN的两条直角边PM、PN仍然分别经过点B和点C，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论． 22．（2026春•双阳区期末）【基本模型】如图1，我们称之为“飞镖模型”．若∠A＝38°，∠B＝25°，∠C＝30°，求∠BDC的度数． 思路一：延长BD交AC于点E，利用三角形外角性质可求． 思路二：作射线AD，利用三角形外角性质可求． 思路三：连接BC，利用三角形内角和性质可求． 【解决问题】． 请选择其中的一种思路求∠BDC的度数． 【应用拓展】 （1）如图2，若∠B+∠D+∠E＝130°，则∠A+∠C＝　 　 ． （2）如图3，若∠A+∠C+∠D＝240°，则∠B+∠E+∠F＝　 　 ． 第13章三角形分层练习-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2026•东莞市校级一模）如图，在△ABC中，BC边上的高为（　　） A．CE B．AF C．DB D．AB 【分析】此题可根据“过三角形的一个顶点作该顶点所对边的垂线段即为三角形的高”进行求解即可． 【解答】解：在△ABC中，BC边上的高为AF； 故选：B． 【点评】本题主要考查三角形的高，熟练掌握三角形的高的画法是解题的关键． 2．（2025秋•江津区期末）把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边的差一定小于第三边；进行依次分析即可． 【解答】解：A.2+4＝6，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形； B．3+3＝6，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形； C．2+3＜7，两边之和没有大于第三边；所以不能围成三角形； D．2+5＞5，5+5＞2，任意两边之和大于第三边，所以能围成三角形； 故选：D． 【点评】本题考查三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边的差一定小于第三边． 3．（2026•长春校级开学）若三角形的两条边的长度分别是4cm和8cm，则第三条边的长度不可能是（　　） A．12cm B．8cm C．6cm D．5cm 【分析】先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再判断选项中不符合范围的长度即可解答． 【解答】解：设三角形第三条边的长度为xcm， ∴8﹣4＜x＜8+4，即4＜x＜12， ∵12cm不在4＜x＜12的范围内， ∴第三条边的长度不可能是12cm． 故选：A． 【点评】本题考查三角形三边关系，正确进行计算是解题关键． 4．（2026•兰山区开学）如图，一个顶角为50°的等腰三角形，切去顶角后得到一个四边形．则∠1+∠2＝（　　） A．130° B．180° C．230° D．310° 【分析】根据三角形内角和定理可知∠A+∠B＝180°﹣∠C，然后可得∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）． 【解答】解：如图： 在三角形ABC中，∠A+∠B＝180°﹣∠C＝180°﹣50°＝130°， 四边形中，∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣130°＝230°． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形内角和定理和四边形的内角和为360°等知识，整体代入是正确解答本题的关键． 5．（2026•隆安县一模）一木工有四根长分别为30厘米、50厘米、60厘米、90厘米的木条，要选其中三根木条钉成一个三角形木架，木工的选法有（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【分析】根据三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，即可得出答案． 【解答】解：①选30厘米、50厘米、60厘米， ∵30+50＝80＞60， ∴能钉成一个三角木架，符合题意； ②选30厘米、50厘米、90厘米， ∵30+50＝80＜90， ∴不能钉成一个三角木架，不符合题意； ③选30厘米、60厘米、90厘米， ∵30+60＝90， ∴不能钉成一个三角木架，不符合题意； ④选50厘米、60厘米、90厘米， ∵50+60＝110＞90， ∴能钉成一个三角木架，符合题意； 综上所述，木工的选法有2种． 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 6．（2026•桐城市校级一模）如图，点D，E分别在线段AC，BC上，连接AE，BD交于点F．若∠A＝23°，∠B＝47°，∠C＝42°，则∠AFD的度数为（　　） A．65° B．68° C．70° D．89° 【分析】利用三角形内角和为180°可求出∠AEC＝115°，再由三角形外角定理求出∠BFE＝68°，根据对顶角性质即可求解． 【解答】解：∵∠A＝23°，∠C＝42°， ∴∠AEC＝115°， ∵∠AEC＝∠B+∠BFE，∠B＝47°， ∴∠BFE＝115°﹣47°＝68°， ∵∠AFD和∠BFE为对顶角， ∴∠AFD＝68°， 则∠AFD的度数为68°， 故选：B． 【点评】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 7．（2025秋•宜昌期末）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案． 【解答】解：①因为∠A+∠B＝∠C，则2∠C＝180°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形； ②因为∠A：∠B：∠C＝1：2：3，设∠A＝x，则x+2x+3x＝180，x＝30°，∠C＝30°×3＝90°，所以△ABC是直角三角形； ③因为∠A＝90°﹣∠B，所以∠A+∠B＝90°，则∠C＝180°﹣90°＝90°，所以△ABC是直角三角形； ④因为∠A＝∠B∠C，所以∠A+∠B+∠C∠C∠C+∠C＝180°，则∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形； ⑤因为3∠C＝2∠B＝∠A，∠A+∠B+∠C∠A∠A+∠A＝180°，∠A，所以△ABC为钝角三角形． 所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③④共4个， 故选：C． 【点评】解答此题要用到三角形的内角和为180°，若有一个内角为90°，则△ABC是直角三角形． 8．（2026•九龙县模拟）如图，AB∥CD，点E在BD上，EF⊥BD交CD于点F．若∠ABD＝140°，则∠EFD的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠ABD+∠D＝180°． ∵∠ABD＝140°， ∴∠D＝40°． ∵EF⊥BD， ∴∠FED＝90°， ∴∠EFD＝90°﹣40°＝50°． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行线的性质及垂线，熟知平行线的性质及垂线的定义是解题的关键． 9．（2026•新城区校级模拟）如图，在△ABC中，已知D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝12，则△BEF的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由点D是BC的中点，可得，进而由点E是AD的中点，得到，，即得到，最后根据点F是CE边上的中点，可得，即可求解． 【解答】解：∵点D是BC的中点， ∴BD＝CDBC， ∴， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝DEAD， ∴，， ∴， ∵点F是CE边上的中点， ∴EF＝CFCE， ∴， ∵S△ABC＝12， ∴， 即△BEF的面积为3， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形中线的性质，三角形的面积，正确识图是解题的关键． 10．（2026•福田区校级一模）如图是一架婴儿车的示意图，其中AB∥CD，∠1＝110°，∠2＝70°，则∠3的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【分析】根据三角形外角的性质求出∠A＝∠1﹣∠2＝40°，再利用AB∥CD即可求解． 【解答】解：∵∠1＝110°，∠2＝70°， ∴∠A＝∠1﹣∠2＝110°﹣70°＝40°， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠3＝40°（两直线平行，内错角相等）． 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．（2025秋•任泽区期末）已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：5，则△ABC是　直角　 三角形． 【分析】设∠C＝5α，因为∠A：∠B：∠C＝2：3：5，所以∠A＝2α，∠B＝3α，由三角形内角和定理得2α+3α+5α＝180°，求得α＝18°，则∠C＝90°，可知△ABC是直角三角形，于是得到问题的答案． 【解答】解：设∠C＝5α， ∵∠A：∠B：∠C＝2：3：5， ∴∠A＝2α，∠B＝3α， ∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2α+3α+5α＝180°， ∴α＝18°， ∴∠C＝5α＝90， ∴△ABC是直角三角形， 故答案为：直角． 【点评】此题重点考查三角形的内角和等于180°、三角形的分类等知识，正确地求出△ABC的最大内角的度数是解题的关键． 12．（2025秋•武冈市期末）若三角形的三边分别是3，4，x，且x是整数，则满足条件的三角形的有　5　 个． 【分析】根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，列出不等式求解x的取值范围，再取整数值即可． 【解答】解：由三角形三边关系，得： 3+4＞x，即x＜7； 3+x＞4，即x＞1； 4+x＞3，即x＞﹣1， 所以x的取值范围为1＜x＜7， 由于x是整数，因此x可取 2，3，4，5，6，共5个值， 若三角形的三边分别是3，4，x，且x是整数，即满足条件的三角形有5个． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了三角形三边关系的运用，熟练运用三角形三边关系确定第三边的取值范围，是做题的关键． 13．（2025秋•天河区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD⊥AB于点D，则∠DCB＝　20　 °． 【分析】根据等腰三角形的性质，求出∠B＝70°，由垂直的定义，即得∠DCB的度数． 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°， ∴∠B＝∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°， 又∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝90°， ∴∠DCB＝90°﹣70°＝20°． 故答案为：20． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，关键是等腰三角形性质的熟练掌握． 14．（2025秋•思明区校级期末）如图，在△ABC中，D为AB延长线上一点，DE⊥AC于E．若AC＝BC，∠C＝40°，则∠D＝　20°　 ． 【分析】先根据AC＝BC及∠C＝40°，求出∠A的度数，再结合DE⊥AC求出∠D即可． 【解答】解：∵AC＝BC， ∴∠A＝∠ABC． 又∵∠C＝40°， ∴∠A． ∵DE⊥AC， ∴∠AED＝90°， ∴∠D＝90°﹣∠A＝20°． 故答案为：20°． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、三角形的外角性质及等腰三角形的性质，熟知等腰三角形及直角三角形的性质是解题的关键． 15．（2025秋•平顶山期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD平分∠ACB．从点C画射线CP交AB于点E，当∠PCD＝20°时，∠AEC的度数为　125°或85°　 ． 【分析】根据三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD平分∠ACB． ∴∠A＝30°，（角平分线的性质）， 根据题意分情况讨论得， 如图，当点E在AD上时， ∴∠AEC＝∠PCD+∠DCB+∠B＝20°+45°+60°＝125° 如图，当点E在DB上时， ∴∠PCB＝∠DCB﹣∠PCD＝25° ∴∠AEC＝∠PCB+∠B＝85° 综上所述，∠AEC的度数为125°或85° 故答案为：125°或85°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，分两种情况讨论，当点E在AD上时，当点E在DB上时， 16．（2025秋•铅山县期末）如图，AD是△ABC的中线，DE是△ABD的中线，若△ABC的面积是12，则△BDE的面积是　3　 ． 【分析】根据中线与面积的关系可得、即可求解． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵△ABC的面积是12， ∴， ∵DE是△ABD的中线， ∴AE＝BE， ∴． 故答案为：3． 【点评】本题考查的是三角形的面积，熟知三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键． 三．解答题（共6小题） 17．（2025秋•东台市期末）如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AD＝2cm，BC＝10cm，求：△ABE的面积． 【分析】根据三角形的中线得到CE＝BE＝5cm，再由三角形面积公式求解． 【解答】解：∵AD＝2cm，BC＝10cm，由题意可得：CE＝BE＝5cm， ∴． 【点评】本题主要考查了求三角形面积，熟知三角形高和中线的定义是解题的关键． 18．（2026•淄博模拟）如图，在△ABC中，BE是AC边上的高，∠ABC＝50°，∠C＝78°． （1）求∠ABE的度数； （2）若AD是△ABC的角平分线，AD交BE于点F，求∠EFD的度数． 【分析】（1）先根据三角形内角和定理计算出∠BAC＝52°，然后利用互余计算出∠ABE的度数； （2）先根据角平分线的定义得到∠DAC＝26°，然后根据三角形外角性质计算∠EFD的度数． 【解答】解：（1）∵∠ABC+∠C+∠BAC＝180°， 而∠ABC＝50°，∠C＝78°， ∴∠BAC＝180°﹣50°﹣78°＝52°， ∵BE是AC边上的高， ∴∠AEB＝90°， ∴∠ABE＝90°﹣∠BAC＝90°﹣52°＝38°； （2）∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠DAC∠BAC52°＝26°， ∵∠EFD是△AEF的一个外角， ∴∠EFD＝∠DAC+∠AEB＝26°+90°＝116°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，记住三角形内角和为180°是解决问题的关键．也考查了角平分线的定义和三角形外角性质． 19．（2026春•通许县期末）如图，△ABC中，点E在边BA上，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别是D、F，∠1＝∠2． （1）DG与BA平行吗？为什么？ （2）若∠B＝51°，∠C＝54°，求∠CGD的度数． 【分析】（1）根据平行线的判定定理和性质定理证明； （2）根据平行线的性质得到∠CDG＝∠B＝51°，根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：（1）平行， 理由如下：∵EF⊥BC，AD⊥BC， ∴∠BFE＝∠BDA＝90°， ∴EF∥AD， ∴∠2＝∠3， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∴DG∥AB； （2）∵DG∥AB， ∴∠CDG＝∠B＝51°， ∵∠C+∠CDG+∠CGD＝180°， ∴∠CGD＝180°﹣51°﹣54°＝75°． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理、平行线的判定和性质，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键． 20．（2025秋•闽侯县期末）如图，在△ABC中，满足∠B＜∠ACB，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，过点P作PE⊥AD交BC的延长线于点E． （1）若∠B＝36°，∠ACB＝84°，求∠E的度数； （2）当P点在线段AD上运动时，试探究∠E与∠B，∠ACB之间的等量关系，并证明． 【分析】（1）PE⊥AD于点P，得∠DPE＝90°，由∠B＝36°，∠ACB＝84°，求得∠BAC＝60°，则∠BAD＝∠CAD＝30°，所以∠ADC＝∠B+∠BAD＝66°，则∠E＝90°﹣∠ADC＝24°． （2）由PE⊥AD于点P，∠DPE＝90°，由AD平分∠BAC，且∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB，得∠BAD＝∠CAD∠BAC＝90°∠B∠ACB，所以∠ADC＝∠B+∠BAD＝90°∠B∠ACB，则∠E＝90°﹣∠ADC（∠ACB﹣∠B）． 【解答】解：（1）∵PE⊥AD于点P，交BC的延长线于点E， ∴∠DPE＝90°， ∵∠B＝36°，∠ACB＝84°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝60°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD∠BAC＝30°， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝66°， ∴∠E＝90°﹣∠ADC＝24°， ∴∠E的度数是24°． （2）∠E（∠ACB﹣∠B）， 证明：∵PE⊥AD于点P，交BC的延长线于点E， ∴∠DPE＝90°， ∵AD平分∠BAC，且∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB， ∴∠BAD＝∠CAD∠BAC（180°﹣∠B﹣∠ACB）＝90°∠B∠ACB， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+90°∠B∠ACB＝90°∠B∠ACB， ∴∠E＝90°﹣∠ADC＝90°﹣（90°∠B∠ACB）（∠ACB﹣∠B）． 【点评】此题重点考查角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键． 21．（2026春•曲沃县期末）问题情景：如图1，△ABC中，有一块直角三角板PMN放置在△ABC上（P点在△ABC内），使三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和点C，试问∠ABP与∠ACP是否存在某种确定的数量关系？ （1）特殊探究：若∠A＝40°，则∠ABC+∠ACB＝　140　 度，∠PBC+∠PCB＝　90　 度，∠ABP+∠ACP＝　50　 度． （2）类比探索：请探究∠ABP+∠ACP与∠A的关系； （3）类比延伸：如图2，改变直角三角板PMN的位置：使P点在△ABC外，三角板PMN的两条直角边PM、PN仍然分别经过点B和点C，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论． 【分析】（1）利用三角形内角和定理即可解决问题． （2）结论：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．利用三角形内角和定理即可证明． （3）不成立；存在结论：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．利用三角形内角和定理即可解决问题． 【解答】解：（1）∵∠A＝40°， ∴∠ABC+∠ACB＝140°， ∵∠P＝90°， ∴∠PBC+∠PCB＝90°， ∴∠ABP+∠ACP＝140°﹣90°＝50°， 故答案为140，90，50． （2）结论：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A． 证明：∵90°+（∠ABP+∠ACP）+∠A＝180°， ∴∠ABP+∠ACP+∠A＝90°， ∴∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A． （3）不成立； 存在结论：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A． 理由：设AB交PC于O． ∵∠AOC＝∠POB， ∴∠ACO+∠A＝∠P+∠PBO， ∴∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A． 【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 22．（2026春•双阳区期末）【基本模型】如图1，我们称之为“飞镖模型”．若∠A＝38°，∠B＝25°，∠C＝30°，求∠BDC的度数． 思路一：延长BD交AC于点E，利用三角形外角性质可求． 思路二：作射线AD，利用三角形外角性质可求． 思路三：连接BC，利用三角形内角和性质可求． 【解决问题】． 请选择其中的一种思路求∠BDC的度数． 【应用拓展】 （1）如图2，若∠B+∠D+∠E＝130°，则∠A+∠C＝　50°　 ． （2）如图3，若∠A+∠C+∠D＝240°，则∠B+∠E+∠F＝　120°　 ． 【分析】（1）根据三角形外角的性质以及三角形内角和定理进行计算即可； （2）根据三角形外角的性质以及四边形内角和是360°进行计算即可． 【解答】解：（1）如图2， ∵∠1＝∠B+∠E，∠2＝∠A+∠C，而∠1+∠2+∠D＝180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°， ∵∠B+∠D+∠E＝130°， ∴∠A+∠C＝180°﹣130°＝50°， 故答案为：50°； （2）如图3， ∵∠1＝∠A+∠E，∠2＝∠B+∠F，而∠1+∠2+∠C+∠D＝360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°， ∵∠A+∠C+∠D＝240°， ∴∠B+∠E+∠F＝360°﹣240°＝120°， 故答案为：120°． 【点评】本题考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理以及三角形外角的性质是正确解答的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $