第1章一元二次方程分层练习 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 这份分层练习通过“基础达标”与“思维达标”两级设计，覆盖一元二次方程全章知识点，从概念辨析到综合应用，梯度清晰，适配单元复习巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|定义、解法、根的判别式、简单应用|选择填空聚焦基础概念，解答题强化运算与基本应用，如第17题解方程、第19题利润问题，培养运算能力与模型意识| |思维达标|动态几何、新定义、项目式实践|综合题融合多知识点，如第20题动点几何、第21题新定义“和差”方程、第22题无人机营销方案，发展推理能力与创新意识|

第1章一元二次方程分层练习 基础达标 一．选择题（共10小题） 1．（2025秋•洪湖市期末）下列方程是一元二次方程（　　） A．x+2y＝1 B．2x（x﹣1）＝2x2+3 C．3x4 D．x2﹣2＝0 2．（2026•光明区校级三模）若关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根是x＝1，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 3．（2026•埇桥区模拟）已知关于x的一元二次方程（b﹣c）x2+（c﹣a）x+（a﹣b）＝0有两个相等的实数根，则以下结论正确的是（　　） A．b＝a+c B．2c＝a+b C．2a＝b+c D．2b＝a+c 4．（2026•海珠区校级二模）关于x的方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜4 B．m≤4 C．m＜4且m≠2 D．m≤4且m≠2 5．（2026•天等县一模）若实数a，b满足a2﹣3a﹣5＝0，b2﹣3b﹣5＝0且a≠b，则a﹣b的值为（　　） A． B． C． D．或 6．（2026•河南一模）已知三角形两边长分别为4和8，第三边长是方程x2﹣10x+24＝0的解，则这个三角形的周长是（　　） A．12 B．16 C．16或18 D．18 7．（2026•福州模拟）某景区2023年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2025年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（　　） A．10% B．20% C．22% D．44% 8．（2026•萧山区一模）在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长和宽各多少步？设长为x步，则下列所列方程中，正确的是（　　） A．x2﹣12x﹣864＝0 B．x2﹣12x+864＝0 C．x2+12x﹣864＝0 D．x2+12x+864＝0 9．（2026•五华区校级三模）如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种草坪，要使草坪的面积为540m2．设道路的宽为xm，则下列方程正确的是（　　） A．20（32﹣x）＝540 B．（32﹣x）（20﹣x）＝540 C．32（20﹣x）＝540 D．（32﹣2x）（20﹣2x）＝540 10．（2026•南山区校级三模）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺．根据题意，可列方程为（　　） A．x2+62＝102 B．102+62＝x2 C．x2+（10﹣x）2＝62 D．x2+62＝（10﹣x）2 二．填空题（共6小题） 11．（2025秋•成华区期末）若关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣3x﹣2＝0是一元二次方程，则m的值为　 　 ． 12．（2026•嵊州市二模）已知关于x的一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2，则该一元二次方程的解为　 　 ． 13．（2026•头屯河区校级模拟）若α，β是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值为　 　 ． 14．（2026•顺城区一模）学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请x个球队参加比赛？列方程为：　 　 ． 15．（2026•德州一模）两个非零实数m，n满足，，且m＜n，则的值为　 　 ． 16．（2025秋•白云区期末）定义新运算“a⊗b”：对于任意实数a，b，都有a⊗b＝（a﹣b）2﹣b，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如3⊗2＝（3﹣2）2﹣2＝﹣1．若x⊗k＝0（k为实数）是关于x的方程，且x＝2是这个方程的一个根，则k的值是 　 　 ． 三．解答题（共6小题） 17．（2026•北京校级开学）解方程： （1）x2﹣2x﹣6＝0； （2）3x（x﹣1）＝2x﹣2． 18．（2026春•迎江区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣4）x﹣4m＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若方程有一个根不小于5，求m的取值范围． 19．（2025秋•广信区期末）第12届成都世界运动会吉祥物“蜀宝、锦仔”深受大家的喜爱，某商家购进一批进价为60元/件的迷你款“蜀宝、锦仔”玩偶套装，当销售价为每件100元时，每天可售出50件．为了推广宣传，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，从而扩大销售量．经调查发现，若每件玩偶套装每降价1元，则每天可多售出5件． （1）设每件玩偶套装降价x元，则每天可销售　 　 件；（用含x的代数式表示） （2）当每件玩偶套装降价多少元时，平均每天盈利3000元？ 思维达标 20．（2025秋•卢龙县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）运动开始后，当t为何值时，PQ的长度等于5cm？ （2）连接PC，当t为何值时，△PQC的面积等于8cm2？ 21．（2025秋•湘潭期末）阅读材料并解答相关问题． 材料1：规定：如果实数a，b，c满足a+c＝b，那么称一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“和差”二次方程． 材料2：韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则： （1）【概念辨析】问题1：下列方程是“和差”二次方程的有　 　 （填写序号）； ①x2+3x﹣2＝0；②2x2+5x+3＝0；③x2+2x+1＝0；④x2+2x+3＝0． （2）【特例感知】①问题2：分别求出“问题1”中所有“和差”二次方程的根． ②问题3：若“和差”二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根5，求这个方程的另一个根． （3）【结论归纳】问题4：设m，n是“和差”二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，请写出你发现的关于两根m，n的结论，并说明理由． 22．（2026•安徽模拟）综合与实践 【项目主题】 探究新款迷你无人机校园营销方案 【项目背景】 某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为STEM教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费．为制定科学的销售方案，小组对某线上旗舰店的销售数据展开了调研，旨在通过数学建模方法优化无人机定价策略． 【项目准备】 数据调研：收集该线上旗舰店2025年11月至2026年1月的月销售数据，梳理该款迷你无人机进价、售价与销量之间的动态关系，记录不同定价下的日销售情况． 知识复习：复习一元二次方程及其应用，熟练掌握增长率计算模型与利润计算公式． 工具准备：数据记录表、图表绘制工具、决策分析表格． 【项目实施】 阶段一：销售增长趋势分析 任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月份该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求该款迷你无人机的月平均增长率． 阶段二：校园促销方案设计 任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ 【项目成果】 科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案． （1）解决任务1． （2）解决任务2． 第1章一元二次方程分层练习-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（2024） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2025秋•洪湖市期末）下列方程是一元二次方程（　　） A．x+2y＝1 B．2x（x﹣1）＝2x2+3 C．3x4 D．x2﹣2＝0 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 一元二次方程有三个特点： （1）只含有一个未知数； （2）未知数的最高次数是2； （3）是整式方程． 【解答】解：A、x+2y＝1是二元一次方程，故错误； B、方程去括号得：2x2﹣2x＝2x2+3， 整理得：﹣2x＝3，为一元一次方程，故错误； C、3x4是分式方程，故错误； D、x2﹣2＝0，符合一元二次方程的形式，正确． 故选：D． 【点评】要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程． 2．（2026•光明区校级三模）若关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根是x＝1，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【分析】把x＝1代入一元二次方程得到1+m﹣3＝0，然后解关于m的一次方程即可． 【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0得1+m﹣3＝0， 解得m＝2． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 3．（2026•埇桥区模拟）已知关于x的一元二次方程（b﹣c）x2+（c﹣a）x+（a﹣b）＝0有两个相等的实数根，则以下结论正确的是（　　） A．b＝a+c B．2c＝a+b C．2a＝b+c D．2b＝a+c 【分析】利用一元二次方程有两个相等实数根可得判别式Δ＝0，展开化简判别式即可得到正确结论． 【解答】解：由条件可知b﹣c≠0，且Δ＝0． 即Δ＝（c﹣a）2﹣4（b﹣c）（a﹣b） ＝c2﹣2ac+a2﹣4（ab﹣b2﹣ac+bc） ＝c2﹣2ac+a2﹣4ab+4b2+4ac﹣4bc ＝a2+2ac+c2﹣4ab﹣4bc+4b2 ＝（a+c）2﹣4b（a+c）+（2b）2 ＝（a+c﹣2b）2 ＝0， ∴（a+c﹣2b）2＝0， ∴a+c﹣2b＝0， 即2b＝a+c． 故选：D． 【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 4．（2026•海珠区校级二模）关于x的方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜4 B．m≤4 C．m＜4且m≠2 D．m≤4且m≠2 【分析】根据题意得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【解答】解：∵关于x的方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝16﹣8（m﹣2）＞0且m﹣2≠0， 解得m＜4且m≠2， 故选：C． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义，熟知以上知识是解题的关键． 5．（2026•天等县一模）若实数a，b满足a2﹣3a﹣5＝0，b2﹣3b﹣5＝0且a≠b，则a﹣b的值为（　　） A． B． C． D．或 【分析】由题意可知，a和b是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个不相等实根，利用根与系数的关系以及完全平方公式求解． 【解答】解：由条件可知a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两个不相等的实数根， ∴a+b＝3，ab＝﹣5， ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝9+20＝29， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及完全平方公式，熟练掌握以上知识点是关键． 6．（2026•河南一模）已知三角形两边长分别为4和8，第三边长是方程x2﹣10x+24＝0的解，则这个三角形的周长是（　　） A．12 B．16 C．16或18 D．18 【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，再根据三角形三边关系筛选出符合条件的第三边，最后计算周长得到结果． 【解答】解：x2﹣10x+24＝0， （x﹣4）（x﹣6）＝0， x﹣4＝0或x﹣6＝0， 解得x＝4或x＝6， ∵三角形两边长为4和8， ∴8﹣4＜c＜8+4，即4＜c＜12， ∴x＝4不符合三边关系，舍去； x＝6符合要求， ∴三角形的周长为4+8+6＝18． 故选：D． 【点评】本题考查的是解一元二次方程，三角形的三边关系，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键． 7．（2026•福州模拟）某景区2023年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2025年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（　　） A．10% B．20% C．22% D．44% 【分析】设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x，利用该景区2025年接待游客的人数＝该景区2023年接待游客的人数×（1+该景区这两年接待游客的年平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x， 根据题意得：25（1+x）2＝36， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， 即该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8．（2026•萧山区一模）在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长和宽各多少步？设长为x步，则下列所列方程中，正确的是（　　） A．x2﹣12x﹣864＝0 B．x2﹣12x+864＝0 C．x2+12x﹣864＝0 D．x2+12x+864＝0 【分析】根据矩形面积公式和长宽关系，长为x步，则宽为（x﹣12）步，利用面积公式列方程即可． 【解答】解：∵宽比长小12步，长为x步， ∴宽为（x﹣12）步， ∵一块长方形田地的面积为864平方步， ∴x（x﹣12）＝864，即x2﹣12x﹣864＝0， 故选：A． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 9．（2026•五华区校级三模）如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种草坪，要使草坪的面积为540m2．设道路的宽为xm，则下列方程正确的是（　　） A．20（32﹣x）＝540 B．（32﹣x）（20﹣x）＝540 C．32（20﹣x）＝540 D．（32﹣2x）（20﹣2x）＝540 【分析】根据平移的性质可得草坪正好是一个长方形，其长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m，据此列出方程即可． 【解答】解：在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种草坪，要使草坪的面积为540m2． 由平移的性质可知，草坪正好是一个长方形，其长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m， 则可列方程为（32﹣x）（20﹣x）＝540． 故选：B． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，正确进行计算是解题关键． 10．（2026•南山区校级三模）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺．根据题意，可列方程为（　　） A．x2+62＝102 B．102+62＝x2 C．x2+（10﹣x）2＝62 D．x2+62＝（10﹣x）2 【分析】根据竹子的长度及折断处离地面高度，可得出图中直角三角形的斜边长（10﹣x）尺，再利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：由题意可知，竹子原高十尺，竹子折断处离地面x尺，则图中直角三角形的斜边长（为10﹣x）尺， 根据题意得：x2+62＝（10﹣x）2． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用等知识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．（2025秋•成华区期末）若关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣3x﹣2＝0是一元二次方程，则m的值为　﹣2　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义得出|m|＝2且m﹣2≠0，即可求出m的值． 【解答】解：根据题意得|m|＝2且m﹣2≠0， 解得m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0），特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点． 12．（2026•嵊州市二模）已知关于x的一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2，则该一元二次方程的解为x1＝1，x2＝2　 ． 【分析】直接移项，然后利用因式分解法求解即可． 【解答】解：原方程整理得： x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0， ∴（x﹣1）（x﹣2）＝0， ∴（x﹣1）＝0或（x﹣2）＝0， ∴x1＝1，x2＝2． 故答案为：x1＝1，x2＝2． 【点评】本题考查了解一元二次方程，正确掌握因式分解法是解题的关键． 13．（2026•头屯河区校级模拟）若α，β是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值为　7　 ． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可，利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算即可． 【解答】解：由条件可知α+β＝2，αβ＝﹣5， ∴α+β﹣αβ＝2﹣（﹣5）＝7． 故答案为：7． 【点评】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根x1，x2，满足，． 14．（2026•顺城区一模）学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请x个球队参加比赛？列方程为：　　 ． 【分析】设应邀请x个球队参加比赛，则总共需安排场比赛，根据计划安排15场比赛建立方程，解方程即可得． 【解答】解：设应邀请x个球队参加比赛，则总共需安排场比赛， 由题意得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 15．（2026•德州一模）两个非零实数m，n满足，，且m＜n，则的值为　　 ． 【分析】根据题意，可知m，n是一元二次方程的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系得到两根和与两根积，再将所求式子变形，代入计算即可． 【解答】解：∵两个非零实数m，n满足，，且m＜n， ∴m，n满足方程，且m≠n， ∴m，n是一元二次方程的两个不相等的实数根． ∴，mn＝﹣1． ∵m＜n， ∴m﹣n＜0． ∴． 即． 将，mn＝﹣1，代入得：． 故答案为：． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，实数的运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 16．（2025秋•白云区期末）定义新运算“a⊗b”：对于任意实数a，b，都有a⊗b＝（a﹣b）2﹣b，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如3⊗2＝（3﹣2）2﹣2＝﹣1．若x⊗k＝0（k为实数）是关于x的方程，且x＝2是这个方程的一个根，则k的值是 　1或4　 ． 【分析】根据定义新运算列出方程（x﹣k）2﹣k＝0，再根据一元二次方程的根的定义把x＝2代入得出关于k的一元二次方程，求解即可． 【解答】解：x⊗k＝0， （x﹣k）2﹣k＝0， ∵x＝2是这个方程的一个根， ∴（2﹣k）2﹣k＝0， 整理得k2﹣5k+4＝0， 解得k1＝1，k2＝4， 故答案为：1或4． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，一元二次方程的解，理解新定义运算法则是解题的关键． 三．解答题（共6小题） 17．（2026•北京校级开学）解方程： （1）x2﹣2x﹣6＝0； （2）3x（x﹣1）＝2x﹣2． 【分析】（1）利用解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）x2﹣2x﹣6＝0， x2﹣2x＝6， x2﹣2x+1＝6+1， （x﹣1）2＝7， ， x﹣1或x﹣1， ∴，； （2）3x（x﹣1）＝2x﹣2， 3x（x﹣1）＝2（x﹣1）， 3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0， （x﹣1）（3x﹣2）＝0， ∴x﹣1＝0或3x﹣2＝0， ∴，x2＝1． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，因式分解法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 18．（2026春•迎江区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣4）x﹣4m＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若方程有一个根不小于5，求m的取值范围． 【分析】（1）根据根的判别式求出Δ的值，再进行判断即可； （2）解方程得到x1＝﹣m，x2＝4，根据方程有一个根不小于5，得到不等式，解不等式即可得到结论． 【解答】（1）证明：由条件可知Δ＝（m﹣4）2﹣4×1×（﹣4m）＝m2+8m+16＝（m+4）2， ∵（m+4）2是非负数， ∴b2﹣4ac≥0． ∴无论m取何实数时，原方程总个实数根； （2）解：x2+（m﹣4）x﹣4m＝0， 解得x1＝﹣m，x2＝4， ∵原方程有一个根不小于5， ∴﹣m≥5， ∴m≤﹣5． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．熟练掌握该知识点是关键． 19．（2025秋•广信区期末）第12届成都世界运动会吉祥物“蜀宝、锦仔”深受大家的喜爱，某商家购进一批进价为60元/件的迷你款“蜀宝、锦仔”玩偶套装，当销售价为每件100元时，每天可售出50件．为了推广宣传，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，从而扩大销售量．经调查发现，若每件玩偶套装每降价1元，则每天可多售出5件． （1）设每件玩偶套装降价x元，则每天可销售　（50+5x）　 件；（用含x的代数式表示） （2）当每件玩偶套装降价多少元时，平均每天盈利3000元？ 【分析】（1）根据每件玩偶套装降价x元，用x的代数式表示出每天可销售件数； （2）根据题意，列出一元二次方程求解． 【解答】解：（1）设每件玩偶套装降价x元， ∵每件玩偶套装每降价1元，则每天可多售出5件， ∴每天可销售（50+5x）件， 故答案为：（50+5x）． （2）由题意可列一元二次方程得：（100﹣60﹣x）（50+5x）＝3000， 整理得，（x﹣10）（x﹣20）＝0， 解得x1＝10，x2＝20， ∵为了尽快减少库存， ∴x＝20， 答：当每件玩偶套装降价20元时，平均每天盈利3000元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 20．（2025秋•卢龙县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）运动开始后，当t为何值时，PQ的长度等于5cm？ （2）连接PC，当t为何值时，△PQC的面积等于8cm2？ 【分析】（1）根据题意得到BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm，根据勾股定理列方程（5﹣t）2+（2t）2＝52，解方程，舍去不合题意解即可求解； （2）由题意得CQ＝（6﹣2t）cm，列方程，解方程，舍去不合题意解即可求解． 【解答】解：（1）由题意得BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm， 在Rt△BPQ中，根据勾股定理得一元二次方程，（5﹣t）2+（2t）2＝52， 整理得，5t2﹣10t＝0， 解得t1＝0（舍去），t2＝2． 答：当t为2时，PQ的长度等于5cm； （2）由题意得CQ＝（6﹣2t）cm， ∵△PQC的面积等于8cm2， ∴根据题意列一元二次方程得，， 解得t1＝1，t2＝7（不合题意，舍去）． 答：当t为1时，△PQC的面积等于8cm2． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 21．（2025秋•湘潭期末）阅读材料并解答相关问题． 材料1：规定：如果实数a，b，c满足a+c＝b，那么称一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“和差”二次方程． 材料2：韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则： （1）【概念辨析】问题1：下列方程是“和差”二次方程的有　②③　 （填写序号）； ①x2+3x﹣2＝0；②2x2+5x+3＝0；③x2+2x+1＝0；④x2+2x+3＝0． （2）【特例感知】①问题2：分别求出“问题1”中所有“和差”二次方程的根． ②问题3：若“和差”二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根5，求这个方程的另一个根． （3）【结论归纳】问题4：设m，n是“和差”二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，请写出你发现的关于两根m，n的结论，并说明理由． 【分析】（1）根据“和差”的二次方程的定义判断即可； （2）①利用公式法和因式分解法求解即可； ②设方程的另一根是x2，利用韦达定理求解即可； （3）根据韦达定理以及“和差”的二次方程的定义列式计算即可求解． 【解答】解：（1）①x2+3x﹣2＝0中a+c＝1﹣2≠3＝b，不是“和差”的二次方程； ②2x2+5x+3＝0中a+c＝2+3＝5＝b，是“和差”的二次方程； ③x2+2x+1＝0中a+c＝1+1＝2＝b，是“和差”的二次方程； ④x2+2x+3＝0中a+c＝1+3≠2＝b，不是“和差”的二次方程； 故答案为：②③； （2）①∵a＝2，b＝5，c＝3， ∴Δ＝52﹣4×2×3＝1， ∴， ∴； 解方程x2+2x+1＝0， （x+1）2＝0， ∴x1＝x2＝﹣1； ②设方程的另一根是x2，则． ∵a+c＝b， ∴， 即x2+5＝﹣1﹣5x2， 解得：x2＝﹣1； （3）m＝﹣1或 n＝﹣1． 理由：由条件可知， 又∵a+c＝b， ∴， ∴m+n＝﹣1﹣mn， mn+m+n+1＝0， ∴（m+1）（n+1）＝0， ∴m+1＝0或n+1＝0， ∴m＝﹣1或n＝﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程的新定义，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，理解“和差”二次方程的定义是解此题的关键． 22．（2026•安徽模拟）综合与实践 【项目主题】 探究新款迷你无人机校园营销方案 【项目背景】 某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为STEM教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费．为制定科学的销售方案，小组对某线上旗舰店的销售数据展开了调研，旨在通过数学建模方法优化无人机定价策略． 【项目准备】 数据调研：收集该线上旗舰店2025年11月至2026年1月的月销售数据，梳理该款迷你无人机进价、售价与销量之间的动态关系，记录不同定价下的日销售情况． 知识复习：复习一元二次方程及其应用，熟练掌握增长率计算模型与利润计算公式． 工具准备：数据记录表、图表绘制工具、决策分析表格． 【项目实施】 阶段一：销售增长趋势分析 任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月份该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求该款迷你无人机的月平均增长率． 阶段二：校园促销方案设计 任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ 【项目成果】 科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案． （1）解决任务1． （2）解决任务2． 【分析】（1）设月平均增长率为x，根据2025年11月的销售量×（1+x）2＝2026年1月份的销售量建立方程，解方程即可得； （2）设每架迷你无人机降价y元，根据利润＝每架的利润×销售量建立方程，解方程可得y的值，再根据商家要求尽量减少库存即可得． 【解答】解：（1）设该款迷你无人机的月平均增长率为x， 由题意得1125（1+x）2＝1620， 整理得，1125x2+2250x﹣495＝0， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该款迷你无人机的月平均增长率为20%； （2）设每架迷你无人机降价y元，则每天能销售（20+2y）架， 由题意得（100﹣y﹣60）（20+2y）＝1200， 解得y1＝10，y2＝20． ∵需要尽量减少库存， ∴y＝20． 答：每架迷你无人机的售价应降低20元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $