2.3 一元二次方程的根与系数的关系（防抄袭同步分层作业）- 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练习以“基础-提升-拓展”三层递进设计，覆盖根与系数关系的概念理解、综合应用及创新拓展，通过梯度化题型培养运算能力、几何直观与推理意识，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础练习|直接求值、代数式计算、参数求解、构造方程|聚焦单一考点，如题型四直接应用韦达定理，夯实概念理解，培养运算能力| |提升练习|几何应用、参数与根的关系|结合菱形对角线构建方程模型，体现数学眼光的几何直观，衔接跨学科应用| |拓展练习|综合证明、实际问题解决|通过直角三角形边长与方程根的关联（第20题），培养推理能力与模型意识，深化知识迁移|

节同步作业 · 内容目录 （本节内容目录导图：按基础/能力/拓展 分层罗列题型，先见森林再入树木） 九年级上 2.3 一元二次方程的根与系数的关系　同步作业 班级＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿　学号＿＿＿＿＿ 基础练习 题型一　根与系数的关系·求代数式的值 1．已知实数m、n满足﹣4m﹣1＝0，﹣4n﹣1＝0，则 ______ ． 2．若a，b是方程+x﹣3＝0的两个实数根，则ab﹣a﹣b的值为 ______ ． 3．已知m，n是一元二次方程﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则（m﹣n+3mn的值是 ______ ． 4．已知方程﹣2x﹣3＝0的两个实数根为、，则代数式+﹣的值为 ______ ． 5．若，是一元二次方程+3x+2＝0的两个根，则++的值是 ______ ． 6．已知α，β是方程+2024x+1＝0的两个根，则（1+2026α+）（αβ+）的值为（ ______ ） A．﹣4048 B．4048 C．﹣2024 D．2024 题型二　根与系数的关系·与判别式综合 7．已知：关于x的方程﹣6x+8﹣t＝0有两个实数根，，且（﹣2）（﹣2）＝﹣6，则t＝ ______ ． 8．设、是方程﹣2（k+1）x++2＝0的两个实数根，且（+1）（+1）＝8，则k的值是 ______ ． 题型三　根与系数的关系·求字母参数的值或取值范围 9．若关于x的一元二次方程+（k﹣2）x+1﹣k＝0的两个根互为相反数，则k的值为 ______ ． 10．关于x的一元二次方程+mx+n＝0有实数根，如果两根互为相反数，那么m＝ ______ ，如果两根互为倒数，那么n＝ ______ ． 11．已知、是一元二次方程+2ax+b＝0的两根，且+＝3，＝1，则a＝ ______ ，b＝ ______ ． 题型四　根与系数的关系·直接求值 12．设、是方程﹣3x+2＝0的两个根，则+＝ ______ ． 13．已知，是一元二次方程﹣2x+1＝0的两个根，则+﹣＝ ______ ． 14．在运用一元二次方程根与系数的关系解决问题时，要把该一元二次方程化成 ______ 形式，同时还运用 ______ ，判断方程有无实数根． 15．若，是方程+2x﹣3＝0的两个实数根，则•的值为（ ______ ） A．3或﹣9 B．﹣3或9 C．3或﹣6 D．﹣3或6 题型五　根与系数的关系·构造方程（逆用根与系数关系） 16．请写出一个两根分别是1，﹣2的一元二次方程 ______ ． 17．写出一个以﹣1和﹣2为两根的一元二次方程（二次项系数为1） ______ ． 提升练习 题型一　根与系数的关系·几何应用 18．如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，对角线AC和BD的长度分别是关于x的一元二次方程﹣mx﹣x+2m＝0的两个实数根，CE⊥AB于点E，则CE的长度是 ______ ． 题型二　根与系数的关系·求另一根及字母参数 19．已知：一元二次方程﹣5x+c＝0有一个根为2，则另一根为 ______ ． 拓展练习 题型一　根与系数的关系·拓展创新 20．已知关于x的方程﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；（2）若Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 01 学科网（北京）股份有限公司 九年级上 2.3 一元二次方程的根与系数的关系　同步作业 班级＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿　学号＿＿＿＿＿ 基础练习 题型一　根与系数的关系·求代数式的值 1．已知实数m、n满足﹣4m﹣1＝0，﹣4n﹣1＝0，则 ______ ． 2．若a，b是方程+x﹣3＝0的两个实数根，则ab﹣a﹣b的值为 ______ ． 3．已知m，n是一元二次方程﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则（m﹣n+3mn的值是 ______ ． 4．已知方程﹣2x﹣3＝0的两个实数根为、，则代数式+﹣的值为 ______ ． 5．若，是一元二次方程+3x+2＝0的两个根，则++的值是 ______ ． 6．已知α，β是方程+2024x+1＝0的两个根，则（1+2026α+）（αβ+）的值为（ ______ ） A．﹣4048 B．4048 C．﹣2024 D．2024 题型二　根与系数的关系·与判别式综合 7．已知：关于x的方程﹣6x+8﹣t＝0有两个实数根，，且（﹣2）（﹣2）＝﹣6，则t＝ ______ ． 8．设、是方程﹣2（k+1）x++2＝0的两个实数根，且（+1）（+1）＝8，则k的值是 ______ ． 题型三　根与系数的关系·求字母参数的值或取值范围 9．若关于x的一元二次方程+（k﹣2）x+1﹣k＝0的两个根互为相反数，则k的值为 ______ ． 10．关于x的一元二次方程+mx+n＝0有实数根，如果两根互为相反数，那么m＝ ______ ，如果两根互为倒数，那么n＝ ______ ． 11．已知、是一元二次方程+2ax+b＝0的两根，且+＝3，＝1，则a＝ ______ ，b＝ ______ ． 题型四　根与系数的关系·直接求值 12．设、是方程﹣3x+2＝0的两个根，则+＝ ______ ． 13．已知，是一元二次方程﹣2x+1＝0的两个根，则+﹣＝ ______ ． 14．在运用一元二次方程根与系数的关系解决问题时，要把该一元二次方程化成 ______ 形式，同时还运用 ______ ，判断方程有无实数根． 15．若，是方程+2x﹣3＝0的两个实数根，则•的值为（ ______ ） A．3或﹣9 B．﹣3或9 C．3或﹣6 D．﹣3或6 题型五　根与系数的关系·构造方程（逆用根与系数关系） 16．请写出一个两根分别是1，﹣2的一元二次方程 ______ ． 17．写出一个以﹣1和﹣2为两根的一元二次方程（二次项系数为1） ______ ． 提升练习 题型一　根与系数的关系·几何应用 18．如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，对角线AC和BD的长度分别是关于x的一元二次方程﹣mx﹣x+2m＝0的两个实数根，CE⊥AB于点E，则CE的长度是 ______ ． 题型二　根与系数的关系·求另一根及字母参数 19．已知：一元二次方程﹣5x+c＝0有一个根为2，则另一根为 ______ ． 拓展练习 题型一　根与系数的关系·拓展创新 20．已知关于x的方程﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；（2）若Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 02 学科网（北京）股份有限公司 九年级上 2.3 一元二次方程的根与系数的关系　同步作业 班级＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿　学号＿＿＿＿＿ 基础练习 题型一　根与系数的关系·求代数式的值 1．已知实数m、n满足﹣4m﹣1＝0，﹣4n﹣1＝0，则 ______ ． 2．若a，b是方程+x﹣3＝0的两个实数根，则ab﹣a﹣b的值为 ______ ． 3．已知m，n是一元二次方程﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则（m﹣n+3mn的值是 ______ ． 4．已知方程的两个实数根为、，则代数式的值为 5．若，是一元二次方程+3x+2＝0的两个根，则++的值是 ______ ． 6．已知α，β是方程+2024x+1＝0的两个根，则（1+2026α+）（αβ+）的值为（ ______ ） A．﹣4048 B．4048 C．﹣2024 D．2024 题型二　根与系数的关系·与判别式综合 7．已知：关于x的方程﹣6x+8﹣t＝0有两个实数根，，且（﹣2）（﹣2）＝﹣6，则t＝ ______ ． 8．设、是方程﹣2（k+1）x++2＝0的两个实数根，且（+1）（+1）＝8，则k的值是 ______ ． 题型三　根与系数的关系·求字母参数的值或取值范围 9．若关于x的一元二次方程+（k﹣2）x+1﹣k＝0的两个根互为相反数，则k的值为 ______ ． 10．关于x的一元二次方程+mx+n＝0有实数根，如果两根互为相反数，那么m＝ ______ ，如果两根互为倒数，那么n＝ ______ ． 11．已知、是一元二次方程+2ax+b＝0的两根，且+＝3，＝1，则a＝ ______ ，b＝ ______ ． 题型四　根与系数的关系·直接求值 12．设、是方程的两个根，则 13．已知，是一元二次方程﹣2x+1＝0的两个根，则+﹣＝ ______ ． 14．在运用一元二次方程根与系数的关系解决问题时，要把该一元二次方程化成 ______ 形式，同时还运用 ______ ，判断方程有无实数根． 15．若，是方程+2x﹣3＝0的两个实数根，则•的值为（ ______ ） A．3或﹣9 B．﹣3或9 C．3或﹣6 D．﹣3或6 题型五　根与系数的关系·构造方程（逆用根与系数关系） 16．请写出一个两根分别是1，﹣2的一元二次方程 ______ ． 17．写出一个以﹣1和﹣2为两根的一元二次方程（二次项系数为1） ______ ． 提升练习 题型一　根与系数的关系·几何应用 18．如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，对角线AC和BD的长度分别是关于x的一元二次方程﹣mx﹣x+2m＝0的两个实数根，CE⊥AB于点E，则CE的长度是 ______ ． 题型二　根与系数的关系·求另一根及字母参数 19．已知：一元二次方程﹣5x+c＝0有一个根为2，则另一根为 ______ ． 拓展练习 题型一　根与系数的关系·拓展创新 20．已知关于x的方程﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；（2）若Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 03 学科网（北京）股份有限公司 九年级上 2.3 一元二次方程的根与系数的关系　同步作业 班级＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿　学号＿＿＿＿＿ 基础练习 题型一　根与系数的关系·求代数式的值 1．已知实数m、n满足﹣4m﹣1＝0，﹣4n﹣1＝0，则 ______ ． 2．若a，b是方程+x﹣3＝0的两个实数根，则ab﹣a﹣b的值为 ______ ． 3．已知m，n是一元二次方程﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则（m﹣n+3mn的值是 ______ ． 4．已知方程的两个实数根为、，则代数式的值为 5．若，是一元二次方程+3x+2＝0的两个根，则++的值是 ______ ． 6．已知α，β是方程+2024x+1＝0的两个根，则（1+2026α+）（αβ+）的值为（ ______ ） A．﹣4048 B．4048 C．﹣2024 D．2024 题型二　根与系数的关系·与判别式综合 7．已知：关于x的方程﹣6x+8﹣t＝0有两个实数根，，且（﹣2）（﹣2）＝﹣6，则t＝ ______ ． 8．设、是方程﹣2（k+1）x++2＝0的两个实数根，且（+1）（+1）＝8，则k的值是 ______ ． 题型三　根与系数的关系·求字母参数的值或取值范围 9．若关于x的一元二次方程+（k﹣2）x+1﹣k＝0的两个根互为相反数，则k的值为 ______ ． 10．关于x的一元二次方程+mx+n＝0有实数根，如果两根互为相反数，那么m＝ ______ ，如果两根互为倒数，那么n＝ ______ ． 11．已知、是一元二次方程+2ax+b＝0的两根，且+＝3，＝1，则a＝ ______ ，b＝ ______ ． 题型四　根与系数的关系·直接求值 12．设、是方程的两个根，则 13．已知，是一元二次方程﹣2x+1＝0的两个根，则+﹣＝ ______ ． 14．在运用一元二次方程根与系数的关系解决问题时，要把该一元二次方程化成 ______ 形式，同时还运用 ______ ，判断方程有无实数根． 15．若，是方程+2x﹣3＝0的两个实数根，则•的值为（ ______ ） A．3或﹣9 B．﹣3或9 C．3或﹣6 D．﹣3或6 题型五　根与系数的关系·构造方程（逆用根与系数关系） 16．请写出一个两根分别是1，﹣2的一元二次方程 ______ ． 17．写出一个以﹣1和﹣2为两根的一元二次方程（二次项系数为1） ______ ． 提升练习 题型一　根与系数的关系·几何应用 18．如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，对角线AC和BD的长度分别是关于x的一元二次方程﹣mx﹣x+2m＝0的两个实数根，CE⊥AB于点E，则CE的长度是 ______ ． 题型二　根与系数的关系·求另一根及字母参数 19．已知：一元二次方程﹣5x+c＝0有一个根为2，则另一根为 ______ ． 拓展练习 题型一　根与系数的关系·拓展创新 20．已知关于x的方程﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；（2）若Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 04 学科网（北京）股份有限公司 $ 作业防抄袭说明 本卷 30 秒上手卡 · 首次使用请先读 必看 1．学生卷分甲卷和乙卷，目的是防抄袭. 2．怎么区分甲乙：看密钥卡 3．如何操作：①收作业时：课代表、组长老师告知分类标准（或看密钥），分类收齐②老师看答案卷批改（甲卷和乙卷有1~2题题号相同、题目相似、但题答案不同） 选看：4．防抄袭原理——三层随机+1重伪装.2层随机：差异题随机题号、差异题数量随机（1题或2题），每一份作业都不一样.剩余随机+伪装：学生卷看不见“甲”、“乙”，只能看见试卷边缘灰色色块，每次甲乙都是4选2的随机结果，迷惑加威慑. 本卷密钥卡（可裁下贴讲台） ⚠ 本次甲乙分组随机，都以本页密钥卡为准. 第一部分　答案速查版（批改用） 甲、乙卷答案或解法不同者只列一次；不同者行首标「异」并以两栏并排（左甲/右乙）呈现，乙栏标红.（空答案题显示「详见解析」） 1．故答案为2或﹣18． 2．﹣2 3．14 【异】4． 【甲】 故答案为5． 【乙】 4 5．﹣1 6．A．﹣4048 7．6 8．故答案为1． 9．2 10．0，1 11．，1 【异】12． 【甲】 3 【乙】 5 13．1 14．ax+bx+c＝0（a≠0），根的判别式 15．B．﹣3或9 16．故答案为+x﹣2＝0． 17．． 18． 19．3 20．（1）证明：Δ＝（k+2﹣8k＝（k﹣2≥0，　则k取任何实数值，方程总有实数根；　（2）解：∵Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，　∴＝+，　则9＝（b+c﹣2bc，　9＝（k+2﹣2×2k，　解得：k，　由b+c＝2+k＝2（不可能取负数），　故△ABC的周长C＝5． 第二部分　分步详解（讲评用） 第 1 题　基础层 【解答】 　　当m＝n时，原式＝1+1＝2； 　　当m≠n时，m、n可看作方程﹣4x﹣1＝0的两根， 　　则m+n＝4，mn＝﹣1， 　　所以原式18． 　　故答案为2或﹣18． 第 2 题　基础层 【解答】 　　由题意得：a+b＝﹣1，ab＝﹣3， 　　∴ab﹣a﹣b＝ab﹣（a+b）＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2， 第 3 题　基础层 【解答】 　　∵m，n是一元二次方程﹣3x﹣5＝0的两个实数根， 　　∴m+n＝3，mn＝﹣5， 　　∴（m﹣n+3mn 　　＝﹣2mn++3mn 　　＝++mn 　　＝+2mn+﹣mn 　　＝（m+n﹣mn 　　＝﹣（﹣5） 　　＝14． 第 4 题　基础层 【解答】 【甲卷】 题干：已知方程﹣2x﹣3＝0的两个实数根为、，则代数式+﹣的值为 ______ ． 根据题意得+＝2，＝﹣3， 所以+﹣＝2﹣（﹣3）＝5． 故答案为5． 【乙卷】 题干：已知方程的两个实数根为、，则代数式的值为 由根与系数的关系，两根之和 . 方程 中 ，. 所以 . 第 5 题　基础层 【解答】 　　∵，是一元二次方程+3x+2＝0的两个根， 　　∴+＝﹣3，•＝2， 　　∴++＝﹣3+2＝﹣1． 第 6 题　基础层 【解答】 A．﹣4048 B．4048 C．﹣2024 D．2024 　　∵α，β是方程+2024x+1＝0的两个根， 　　∴αβ＝1，+2024α+1＝0，+2024β+1＝0， 　　∴+1＝﹣2024α，＝﹣2024β﹣1， 　　∴（1+2026α+）（αβ+） 　　＝（2026α﹣2024α）（1﹣2024β﹣1） 　　＝2α•（﹣2024β） 　　＝﹣4048αβ 　　＝﹣4048×1 　　＝﹣4048． 　　答：A．﹣4048 第 7 题　基础层 【解答】 　　由根与系数的关系可知：+＝6，＝8﹣t， 　　∵（﹣2）（﹣2）＝﹣6， 　　∴﹣2（+）+10＝0， 　　∴8﹣t﹣2×6+10＝0， 　　∴解得：t＝6， 第 8 题　基础层 【解答】 　　由题意得：Δ＝[﹣2（k+1）﹣4（+2）≥0，解得k① 　　又+＝2（k+1），＝+2 　　所以（+1）（+1）＝+（+）+1 　　＝+2+2（k+1）+1 　　＝+2k+5 　　由已知得+2k+5＝8，解得k＝﹣3，k＝1② 　　由①②得k＝1． 　　故答案为1． 第 9 题　基础层 【解答】 　　∵关于x的一元二次方程+（k﹣2）x+1﹣k＝0的两个根互为相反数， 　　∴0， 　　解得：k＝2， 　　∴k的值为2． 第 10 题　基础层 【解答】 　　∵一元二次方程+mx+n＝0的两根互为相反数， 　　∴+＝﹣m＝0， 　　∴m＝0； 　　∵一元二次方程+mx+n＝0的两根互为倒数， 　　∴＝n＝1， 　　∴n＝1， 　　答：0，1 第 11 题　基础层 【解答】 　　∵，是一元二次方程+2ax+b＝0的两根， 　　∴+＝﹣2a，＝b， 　　∵+＝3，＝1， 　　∴﹣2a＝3，b＝1， 　　即a，b＝1， 　　答：，1 第 12 题　基础层 【解答】 【甲卷】 题干：设、是方程﹣3x+2＝0的两个根，则+＝ ______ ． ∵、，是方程﹣3x+2＝0的两个根， ∴+＝3． 【乙卷】 题干：设、是方程的两个根，则 由一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）可知：两根之和 . 方程 中 ，. 所以 . 第 13 题　基础层 【解答】 　　∵，是一元二次方程﹣2x+1＝0的两个根， 　　∴+＝2，＝1． 　　∴+﹣ 　　＝2﹣1 　　＝1． 第 14 题　基础层 【解答】 　　在运用一元二次方程根与系数的关系解决问题时，要把该一元二次方程化成ax+bx+c＝0（a≠0）形式，同时还运用根的判别式，判断方程有无实数根． 　　答：ax+bx+c＝0（a≠0），根的判别式 第 15 题　基础层 【解答】 A．3或﹣9 B．﹣3或9 C．3或﹣6 D．﹣3或6 　　解方程+2x﹣3＝0得，＝﹣3，＝1或＝1，＝﹣3， 　　∴•3×＝﹣3或•的＝1×（﹣3＝9， 　　答：B．﹣3或9 第 16 题　基础层 【解答】 　　∵1+（﹣2）＝﹣1，1×（﹣2）＝﹣2， 　　∴两根分别是1，﹣2的一元二次方程可为+x﹣2＝0． 　　故答案为+x﹣2＝0． 第 17 题　基础层 【解答】 　　解法一， 　　将一元二次方程的两根＝﹣1和＝﹣2代入（）得， 　　（），即， 　　∵方程的二次项系数为1， 　　∴方程为． 　　展开得，． 　　解法二， 　　两根之和为； 　　两根之积为； 　　根据根与系数的关系，方程为， 　　将前两式代入该关系得，． 第 18 题　提升层 【解答】 　　由条件可得AB＝4，AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2BO， 　　∴∠AOB＝90°， 　　∴+＝＝＝16， 　　由条件可知： 　　，， 　　∴，， 　　∴+＝（AO+BO﹣2AO×BO＝16， 　　∴， 　　解得＝9，＝﹣7， 　　当m＝﹣7时，AO•BO＝﹣3.5＜0，不符合题意，舍去， 　　∴m＝9， 　　∴AC•BD＝2m＝18， 　　∵CE⊥AB， 　　∴，即， 　　∴． 　　答： 第 19 题　提升层 【解答】 　　设方程的另一根为α，则α+2＝5， 　　解得α＝3． 第 20 题　拓展层 【解答】 　　（1）证明：Δ＝（k+2﹣8k＝（k﹣2≥0， 　　则k取任何实数值，方程总有实数根； 　　（2）解：∵Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根， 　　∴＝+， 　　则9＝（b+c﹣2bc， 　　9＝（k+2﹣2×2k， 　　解得：k， 　　由b+c＝2+k＝2（不可能取负数）， 　　故△ABC的周长C＝5． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $