第1章三角形分层练习 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 分层清晰，基础巩固与思维提升双路径设计，覆盖三角形核心知识点，适配单元复习分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|三角形三边关系、全等判定、中线高、等腰三角形性质|选择填空巩固概念，解答题强化推理（如全等证明、周长计算）| |思维达标|直角三角形性质证明、动点问题、新定义“准直角三角形”|综合题提升逻辑推理与创新意识（如动点分类讨论、新定义应用）|

第1章三角形分层练习 基础达标 一．选择题（共10小题） 1．（2025秋•滨海新区校级期末）若三角形的三边长分别为2，7，a，则a的值可以是（　　） A．2 B．5 C．7 D．9 2．（2025秋•龙岩期末）已知等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长是（　　） A．10 B．13 C．17 D．13或17 3．（2025秋•古县期末）如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（　　） A．ASA B．AAS C．SAS D．SSS 4．（2026春•榆树市期中）如图，在△ADC中，DC边上的高是（　　） A．线段AB B．线段AD C．线段DE D．线段BC 5．（2026春•通许县期末）如图，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD的长为（　　） A．12 B．7 C．2 D．14 6．（2025秋•迪庆州校级期末）如图，已知∠ABC＝∠DBC，那么添加下列一个条件后不能证明△ABC≌△DBC的是（　　） A．∠A＝∠D B．AB＝BD C．AC＝DC D．CB平分∠ACD 7．（2025秋•拱墅区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长为（　　） A．21 B．14 C．13 D．9 8．（2026•镜湖区校级一模）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交BC于点D，连接AD．再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧相交于点F，连接AF交BD于点E，则（　　） A．AD＝CD B．CD＝2ED C．∠BAE＝∠EAD D．∠BAD＝2∠C 9．（2026•铜川一模）如图，在△ABC中，点D在BC边上，E，F分别是线段AC，BD的中点．若AB＝AD，EF＝3，则AC＝（　　） A．5 B．6 C． D．4 10．（2025秋•嵩明县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（　　） A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线 C．∠1＝∠2＝∠3 D．BC是△BDE的高 二．填空题（共6小题） 11．（2026春•茂南区期中）若一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，此三角形是 　 　 三角形． 12．（2025秋•珠海校级期末）如图，△ABC的中线AD，BE交于点F，连接CF．若AF：FD＝2：1，S△CEF＝3，则△ABC的面积为　 　 ． 13．（2025秋•高安市期末）如图，在△ABC和△DFE中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜边、直角边（HL）”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE，则还需补充条件：　 　 ． 14．（2026春•兴庆区校级期中）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F、G，若FG＝2，ED＝6，则DB+EC的值为　 　 ． 15．（2026•广州校级二模）如图，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC＝　 　 度． 16．（2025秋•聊城期末）小明画∠AOB的平分线OP时，设计了以下做法：如图，在边OA，OB上分别取OM＝ON，过点M，N分别作OA，OB的垂线，交点为P，画出射线OP．这种做法可由△OMP≌△ONP得知，其全等的依据是　 　 ． 三．解答题（共6小题） 17．（2026•四平二模）已知：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，若AD＝BE，∠A＝∠EDF，∠E＝∠ABC，求证：△ACB≌△DFE． 18．（2025秋•长丰县期末）已知△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）若a，b满足（a﹣3）2+|b﹣5|＝0，求整数c的最小值． （2）化简：|b+c﹣a|+|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|． 19．（2025秋•松山区期末）如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E． （1）求∠DBC的度数； （2）若AE＝6，△BCD的周长为19，求BC的长． 思维达标 20．（2026•海淀区校级开学）直角三角形作为特殊的三角形，有它特殊的性质，下面是其中两条重要的性质： 性质一：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 性质二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 请你选择其中一条，根据以下信息，完成对性质的证明． 性质一 已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°． 求证：BCAB． 性质二 已知：如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC中点，连接BD． 求证：BDAC． 21．（2025秋•青岛校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q开始从点B沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）BP＝　 　 ；BQ＝　 　 （用t的代数式表示）； （2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？ （3）点Q在边CA上运动，连接BQ，出发几秒后，能使△BCQ形成以CQ为腰的等腰三角形？ 22．（2024春•玄武区校级期中）如果三角形中任意两个内角∠α与∠β满足2∠α+∠β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”． （1）在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，试判断△ABC是否是“准直角三角形”，并说明理由； （2）如果△ABC是“准直角三角形”，那么△ABC是 　 　 ；（从下列四个选项中选择，填写符合条件的序号）（①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；④都有可能） （3）如图，在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝75°，BD平分∠ABC交AC于点D． ①若DE∥BC交AB于点E，在①△ADE，②△BDE，③△BDC，④△ABD中“准直角三角形”是 　 　 （填写序号），并说明理由； ②在直线AB上取一点F，当△BFD是“准直角三角形”时，求出∠DFB的度数． 第1章三角形分层练习-2026-2027学年数学八年级上册苏科版（2024） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2025秋•滨海新区校级期末）若三角形的三边长分别为2，7，a，则a的值可以是（　　） A．2 B．5 C．7 D．9 【分析】根据三角形三边关系定理求出a的取值范围，即可得到答案． 【解答】解：由三角形三边关系定理得：7﹣2＜a＜7+2， ∴5＜a＜9， ∴则a的值可以是7． 故选：C． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 2．（2025秋•龙岩期末）已知等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长是（　　） A．10 B．13 C．17 D．13或17 【分析】分腰为3或7两种情况讨论，判断能否构成三角形，再计算周长． 【解答】解：∵等腰三角形两边长为3和7， 若腰为3，则三边为3、3、7， ∵3+3＝6＜7，不满足三角形三边关系， ∴不能构成三角形． 若腰为7，则三边为7、7、3， ∵7+7＝14＞3，7+3＝10＞7，满足三角形三边关系， ∴能构成三角形，7+7+3＝17，即周长为17， 综上所述，三角形的周长为17， 故选：C． 【点评】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，关键是相关性质的熟练掌握． 3．（2025秋•古县期末）如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（　　） A．ASA B．AAS C．SAS D．SSS 【分析】根据所给图形结合全等三角形的判定方法（ASA）求解即可． 【解答】解：根据图形，符合全等三角形的判定方法ASA，可画出与此直角三角形全等的三角形， 故选：A． 【点评】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定是关键． 4．（2026春•榆树市期中）如图，在△ADC中，DC边上的高是（　　） A．线段AB B．线段AD C．线段DE D．线段BC 【分析】根据三角形高的定义进行判断． 【解答】解：在△ADC中，DC边上的高是线段AB． 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，正确理解三角形高的定义是解决问题的关键． 5．（2026春•通许县期末）如图，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD的长为（　　） A．12 B．7 C．2 D．14 【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：如图，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7， ∴BC＝EC＝5，CD＝AC＝7， ∴BD＝BC+CD＝12． 故选：A． 【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 6．（2025秋•迪庆州校级期末）如图，已知∠ABC＝∠DBC，那么添加下列一个条件后不能证明△ABC≌△DBC的是（　　） A．∠A＝∠D B．AB＝BD C．AC＝DC D．CB平分∠ACD 【分析】已知∠ABC＝∠DBC，BC＝BC，再根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【解答】解：根据全等三角形的判定定理逐一判断如下：A．添加∠A＝∠D，结合条件∠ABC＝∠DBC，BC＝BC，可以利用AAS证明△ABC≌△DBC，故C不符合题意； B．添加AB＝BD，结合条件∠ABC＝∠DBC，BC＝BC，可以利用SAS证明△ABC≌△DBC，故B不符合题意； C．添加AC＝DC，结合条件∠ABC＝∠DBC，BC＝BC，不可以证明△ABC≌△DBC，故C符合题意； D．添加CB平分∠ACD，得∠ACB＝∠DCB，结合条件∠ABC＝∠DBC，BC＝BC，可以利用ASA证明△ABC≌△DBC，故D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正确记忆相关知识点是解题关键． 7．（2025秋•拱墅区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长为（　　） A．21 B．14 C．13 D．9 【分析】由线段垂直平分线的性质推出BD＝AD，得到△BDC的周长＝BC+AC＝13． 【解答】解：∵DE垂直平分线段AB， ∴BD＝AD， ∴△BDC的周长＝BC+DB+CD＝BC+AD+CD＝BC+AC＝8+5＝13． 故选：C． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出BD＝AD． 8．（2026•镜湖区校级一模）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交BC于点D，连接AD．再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧相交于点F，连接AF交BD于点E，则（　　） A．AD＝CD B．CD＝2ED C．∠BAE＝∠EAD D．∠BAD＝2∠C 【分析】根据线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质判断即可． 【解答】解：A、AD与CD的关系不确定，不符合题意； B、CD与2ED的关系不确定，不符合题意； C、由尺规作图可知：AF是线段BD的垂直平分线， ∴AB＝AD，AF⊥BD， ∴∠BAE＝∠EAD，本选项说法正确，符合题意； D、∠BAD与2∠C的关系不确定，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 9．（2026•铜川一模）如图，在△ABC中，点D在BC边上，E，F分别是线段AC，BD的中点．若AB＝AD，EF＝3，则AC＝（　　） A．5 B．6 C． D．4 【分析】连接AF，根据等腰三角形的性质推出AF⊥BC，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出EFAC，而EF＝3，即可求出AC＝6， 【解答】解：连接AF， ∵AB＝AD，F为BD的中点， ∴AF⊥BD， ∴∠AFC＝90°， ∵E为AC的中点， ∴EF是Rt△AFC斜边的中线， ∴EFAC， ∵EF＝3， ∴AC＝6． 故选B． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形斜边的中线，关键是由等腰三角形的性质推出AF⊥BD，由直角三角形斜边中线的性质得到EFAC． 10．（2025秋•嵩明县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（　　） A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线 C．∠1＝∠2＝∠3 D．BC是△BDE的高 【分析】用已知条件和三角形中线即可判断出A选项的正误；利用已知条件和角平分线的定义即可判断出B选项的正误；利用角平分线的性质只能得到∠2＝∠3，但没有办法得到∠1＝∠2，这样就很容易判断出C选项的错误；由于∠C＝90°，结合“从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高”即可判断出BC是否是△BDE的高，这样也能得出D选项的正误． 【解答】解：A、由图可知：BE是△ABD的中线，正确，不符合题意； B、由图可知：BD是△BCE的角平分线，正确，不符合题意； C、∵BD是△BCE的角平分线， ∴∠3＝∠2， ∵BE是中线， ∴∠1≠∠2， ∴∠1＝∠2＝∠3不正确，符合题意． D、由图可知： ∵∠C＝90° ∴BC是△ABE的高，正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．（2026春•茂南区期中）若一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，此三角形是 　钝角　 三角形． 【分析】根据高的概念，知三角形的三条高所在直线的交点在外部的三角形是钝角三角形． 钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部； 锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部； 直角三角形的三条高的交点是三角形的直角顶点． 【解答】解：若一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，此三角形是钝角三角形． 故答案为：钝角． 【点评】本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．要求学生能够通过三角形的形状可以判断三角形高线的位置，反之，通过三条高线交点的位置可以判断三角形的形状． 12．（2025秋•珠海校级期末）如图，△ABC的中线AD，BE交于点F，连接CF．若AF：FD＝2：1，S△CEF＝3，则△ABC的面积为　18　 ． 【分析】根据三角形中线得出S△AEF＝S△CEF＝3，求出S△AFC＝S△CEF+S△AEF＝6，根据AF：FD＝2：1，求出，得出S△ADC＝S△AFC+S△DFC＝6+3＝9，根据三角形中线求出结果即可． 【解答】解：∵△ABC的中线AD，BE交于点F， ∴AE＝CEAC，BD＝CDBC， ∴S△AEF＝S△CEF＝3， ∴S△AFC＝S△CEF+S△AEF＝3+3＝6， ∵AF：FD＝2：1， ∴， ∴S△ADC＝S△AFC+S△DFC＝6+3＝9， ∵BD＝CD， ∴S△ADB＝S△ADC＝9， ∴S△ABC＝S△ADB+S△ADC＝9+9＝18． 则△ABC的面积为18， 故答案为：18． 【点评】本题主要考查了三角形的面积，关键是相关知识的熟练掌握． 13．（2025秋•高安市期末）如图，在△ABC和△DFE中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜边、直角边（HL）”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE，则还需补充条件：BC＝FE ． 【分析】由AC＝DE，BC＝FE，即可推出Rt△ABC≌Rt△DFE（HL），于是得到答案． 【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△DFE中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）． 故答案为：BC＝FE． 【点评】本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法． 14．（2026春•兴庆区校级期中）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F、G，若FG＝2，ED＝6，则DB+EC的值为　4　 ． 【分析】只要证明EG＝EB，DF＝DC即可解决问题． 【解答】解：∵ED∥BC， ∴∠DFB＝∠FBC，∠EGC＝∠GCB， ∵∠DBF＝∠FBC，∠ECG＝∠GCB， ∴∠DFB＝∠DBF，∠ECG＝∠EGC， ∴BD＝DF，CE＝GE， ∵FG＝2，ED＝6， ∴DB+EC＝DF+GE＝ED﹣FG＝6﹣2＝4． 【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明，属于基础题． 15．（2026•广州校级二模）如图，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC＝　30　 度． 【分析】先根据“等边对等角”求出∠ABC，再根据线段垂直平分线的性质得AD＝BD，然后结合“等边对等角”求出∠ABD，则此题可解． 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°， ∴． ∵MD是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A＝40°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°． 故答案为：30． 【点评】本题主要考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 16．（2025秋•聊城期末）小明画∠AOB的平分线OP时，设计了以下做法：如图，在边OA，OB上分别取OM＝ON，过点M，N分别作OA，OB的垂线，交点为P，画出射线OP．这种做法可由△OMP≌△ONP得知，其全等的依据是HL ． 【分析】由垂线的定义可得△OMP和△ONP都是直角三角形，已知条件满足斜边相等和一组直角边相等，因此依据“HL”可判定△OMP≌△ONP． 【解答】解：∵PM⊥OA，PN⊥OB， ∴∠OMP＝∠ONP＝90°， 在Rt△OMP和Rt△ONP中， ， ∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）． 故答案为：HL． 【点评】本题考查三角形全等的判定．掌握“HL”是关键． 三．解答题（共6小题） 17．（2026•四平二模）已知：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，若AD＝BE，∠A＝∠EDF，∠E＝∠ABC，求证：△ACB≌△DFE． 【分析】由点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE，推导出AB＝DE，而∠A＝∠EDF，∠ABC＝∠E，即可根据“ASA”证明△ACB≌△DFE． 【解答】证明：∵点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE， ∴AD+BD＝BE+BD， ∴AB＝DE， 在△ACB和△DFE中， ， ∴△ACB≌△DFE（ASA）． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定，推导出AB＝DE，并且适当选择全等三角形的判定定理证明△ACB≌△DFE是解题的关键． 18．（2025秋•长丰县期末）已知△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）若a，b满足（a﹣3）2+|b﹣5|＝0，求整数c的最小值． （2）化简：|b+c﹣a|+|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|． 【分析】（1）由非负数的性质得到a＝3，b＝5，由三角形三边关系定理得到2＜c＜8，即可得到整数c的最小值． （2）由三角形三边关系定理得到b+c﹣a＞0，c﹣a﹣b＜0，a﹣b+c＞0，即可化简|b+c﹣a|+|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|． 【解答】解：（1）∵（a﹣3）2+|b﹣5|＝0， ∴a﹣3＝0，b﹣5＝0， ∴a＝3，b＝5， 由三角形三边关系定理得到：5﹣3＜c＜5+3， ∴2＜c＜8， ∴整数c的最小值是3． （2）由三角形三边关系定理得到：b+c＞a，a+b＞c，a+c＞b， ∴b+c﹣a＞0，c﹣a﹣b＜0，a﹣b+c＞0， ∴|b+c﹣a|+|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c| ＝b+c﹣a+[﹣（c﹣a﹣b）]﹣（a﹣b+c） ＝b+c﹣a﹣c+a+b﹣a+b﹣c ＝﹣a+3b﹣c． 【点评】本题考查三角形三边关系，非负数的性质：绝对值、偶次方，关键是掌握三角形三边关系定理，几个非负数的和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 19．（2025秋•松山区期末）如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E． （1）求∠DBC的度数； （2）若AE＝6，△BCD的周长为19，求BC的长． 【分析】（1）由在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，利用等腰三角形的性质，即可求得∠ABC的度数，然后由AB的垂直平分线MN可得AD＝BD，继而求得∠ABD的度数，则可求得∠DBC的度数； （2）由MN是AB的垂直平分线，AE＝6，则AB＝AC＝12，DA＝DB，△CBD的周长为19，从而得BC+CD+DB＝BC+CD+DA＝BC+AC＝19，从而求解． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵∠ABC+∠C+∠A＝180°，∠A＝40°， ∴∠ABC＝70°， ∵MN垂直平分AB， ∴AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A＝40°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°； （2）∵MN垂直平分AB， ∴AB＝2AE，AD＝BD． ∵AE＝6， ∴AC＝AB＝2AE＝12， ∵BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝19， ∴BC＝19﹣12＝7． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形性质，三角形的内角和定理，掌握这些知识点的应用是解题的关键． 20．（2026•海淀区校级开学）直角三角形作为特殊的三角形，有它特殊的性质，下面是其中两条重要的性质： 性质一：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 性质二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 请你选择其中一条，根据以下信息，完成对性质的证明． 性质一 已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°． 求证：BCAB． 性质二 已知：如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC中点，连接BD． 求证：BDAC． 【分析】性质一：延长BC到D，使CD＝BC，连接AD，然后证明△ABD 为等边三角形，从而可得BD＝AB，即可解答； 性质二：延长BD到E，使DE＝BD，连接AE，EC，然后证明四边形ABCE为矩形，从而可得AC＝BE，即可解答． 【解答】解：性质一： 证明：延长BC到D，使CD＝BC，连接AD， ∵∠ACB＝90°， ∴AC为线段BD的中垂线． ∴AB＝AD， 又∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°， ∴∠B＝90°﹣∠BAC＝60°． ∴△ABD 为等边三角形， ∴AB＝BD． ∵BC＝CDBD， ∴； 性质二： 证明：延长BD到E，使DE＝BD，连接AE，EC， ∵D为AC 中点， ∴AD＝CD， ∴四边形ABCE为平行四边形． ∵∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCE为矩形， ∴AC＝BE． ∵BD＝DEBE， ∴． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 21．（2025秋•青岛校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q开始从点B沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）BP＝　（16﹣t）cm ；BQ＝　2tcm （用t的代数式表示）； （2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？ （3）点Q在边CA上运动，连接BQ，出发几秒后，能使△BCQ形成以CQ为腰的等腰三角形？ 【分析】（1）根据动点问题的速度乘以时间得到AP＝tcm，BQ＝2tcm，由此得到BP； （2）当满足BP＝BQ时，解一元一次方程即可； （3）分两种情况进行讨论，即CQ＝BQ或CQ＝CB，分别求出CQ的长，再求出t的值． 【解答】解：（1）由题意得AP＝tcm，BQ＝2tcm， ∵AB＝16cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm， 故答案为：（16﹣t）cm，2tcm； （2）∵BQ＝2tcm，BP＝（16﹣t）cm， ∴16﹣t＝2t， 解得， ∴当时，△PQB是等腰三角形； （3）依题意，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形，即CQ＝BQ或CQ＝CB， ∵AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm， ①当CQ＝BQ时，∠C＝∠CBQ， ∵∠C+∠A＝∠CBQ+∠ABQ＝90°， ∴∠A＝∠ABQ， ∴AQ＝BQ， ∴， ∴t＝（12+10）÷2＝11（秒）； ②当CQ＝CB时，CQ+CB＝24cm， ∴t＝24÷2＝12（秒）； 综上，当点Q在边CA上运动，出发11或12秒后，△BCQ是以CQ为腰的等腰三角形． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质和判定，动点问题，分类讨论思想是解题的关键． 22．（2024春•玄武区校级期中）如果三角形中任意两个内角∠α与∠β满足2∠α+∠β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”． （1）在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，试判断△ABC是否是“准直角三角形”，并说明理由； （2）如果△ABC是“准直角三角形”，那么△ABC是 　③　 ；（从下列四个选项中选择，填写符合条件的序号）（①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；④都有可能） （3）如图，在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝75°，BD平分∠ABC交AC于点D． ①若DE∥BC交AB于点E，在①△ADE，②△BDE，③△BDC，④△ABD中“准直角三角形”是 　④　 （填写序号），并说明理由； ②在直线AB上取一点F，当△BFD是“准直角三角形”时，求出∠DFB的度数． 【分析】（1）求出∠C的度数，根据“准直角三角形”的定义判断即可； （2）根据“准直角三角形”的定义，再结合三角形内角和判断即可； （3）①根据“准直角三角形”的定义判断，将其他角度表示出来即可； ②注意分类讨论，由（2）得“准直角三角形”是钝角三角形，则可以钝角为依据进行分类讨论，另外，同时注意是哪个角的两倍，再进行分类讨论． 【解答】解：（1）是，理由如下 ∠A＝100°，∠B＝70°，则∠C＝180°﹣100°﹣70°＝10°， 则2∠C+∠B＝90° ∴△ABC是“准直角三角形”； （2）若△ABC是“准直角三角形”， 则可设2∠A+∠B＝90°， ∴∠A+∠B＝90°﹣∠A＜90°， ∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＞90°， ∴△ABC为钝角三角形． 故答案为：③． （3）①∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝40°， ∴2∠A+∠ABD＝50°+40°＝90°， ∴△ABD是“准直角三角形”， ∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠ABC＝80°，∠ADE＝∠C＝75°，∠A＝25°，△AED不满足“准直角三角形”条件， ∵∠EBD＝∠EDB＝40°， ∴∠BED＝100°，△BED不满足“准直角三角形”条件， ∵∠DBC＝40°，∠C＝75°， ∴∠BDC＝180°﹣40°﹣75°＝65°，△BDC不满足“准直角三角形”条件， 故答案为：④． ②由（2）△BFD一定为钝角三角形， 当∠ADB为钝角时， 若2∠BFD+∠FBD＝90°， 由①得△ABD是“准直角三角形”， ∴当F与A重合时，△BFD为“准直角三角形”， 此时∠DFB＝∠DAB＝25°； 若2∠FBD+∠BFD＝90°， ∵∠FBD＝40°， ∴∠DFB＝10°； 当∠BFD为钝角时，此时F点在线段AB上， 若2∠FDB+∠FBD＝90°时，∠FDB＝25°， ∴∠DFB＝180°﹣∠FBD﹣∠FDB＝115°； 若2∠FBD+∠FDB＝90°，∠FDB＝10°， ∴∠DFB＝180°﹣∠FBD﹣∠FDB＝130°； 当∠DBF为钝角时，此时F点在AB的延长线上， ∵∠FBD＝140°， ∴∠BFD+∠BDF＝40°， 若2∠BDF+∠DFB＝90°， 则∠BDF＝50°，与题设矛盾，舍去； 综上，∠DFB的度数为130°或者115°或者25°或者10°． 【点评】本题考查学生对于新定义题型的理解能力，根据”准直角三角形”的定义去解题是本题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $