学易金卷：九年级数学9月学情自测卷【湖南专用，新教材湘教版九上第1～2章：图形的相似+锐角的正弦、余弦、正切】

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材湘教版九年级上册第1~2章。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．已知，则的值是（     ） A． B． C． D． 3．如图，直线分别交直线于点，已知，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 4．如图，山区公路管理处在山顶观景台处架设了监测设备，从处测得山下公路上事故点的俯角为．已知设备点到事故点的直线距离为米，观景台正下方的山脚点为，则事故点到山脚点的水平距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则四边形与四边形周长之比是（　　） A．1 B．2 C． D． 6．如图，在中，点D在上，，交于E，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 7．如图，菱形中，E、F分别是、的中点，若，．则菱形的面积是（     ） A． B． C．36 D．24 8．如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．如图，三星堆出土的铜眼形器可抽象为菱形，测得边长，，则铜眼形器的长等于（   ） A． B． C． D． 10．如图，为等腰直角三角形，，，为线段上任意一动点，以为斜边作等腰，连接，下列说法：①；②；③；④；⑤四边形的面积有最大值，且最大值为．正确的结论是（     ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知为成比例线段，其中，，，则_______ ． 12．在中，，，，则___________． 13．河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡度是，则的长是________米． 14．如图，在平面直角坐标系中，点，，，点在轴上，若，则点的坐标为________． 15．如图，过点作直线m：的垂线，垂足为点，过点作轴，垂足为点，过点作，垂足为，…，这样依次下去，得到一组线段，…，则线段的长为_____．    16．小明在一个广场上测量旗杆的高度，他在水平面上以旗杆的底部点为圆心，用软尺画得一个半径为（单位：米）的圆，小明站在圆上测得旗杆的仰角为，然后将圆的半径扩大到（单位：米），此时站在圆上测得旗杆的仰角为，小明的眼睛距离地面的高度为米，则旗杆的高度为_____米．（请直接用无理数表示） 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-18每题6分，19-20题每题8分，21-22题每题10分，23-24题每题12分。 17．计算：． 18．在网格图中，已知和点． (1)以点为位似中心，位似比为2，画出的位似图形； (2)以为中心，将顺时针旋转，画出． 19．如图，在中，是中点，， (1)求的长 (2)求的值． 20．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南同学利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平（即），并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树的高度． 21．如图，在中，点D为上一点，点P在上，过点P作交于点M，作交于点N． (1)若点D是的中点，且，求的值； (2)若点D是上任意一点，试证明：． 22．如图，是矩形的对角线，和分别沿着，所在直线进行折叠，使得点和恰好落在对角线上． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 23．如图1是可调节高度和桌面角度的电脑桌，它的左视图可以抽象成如图2所示的图形，底座长为，支架垂直平分，桌面的中点固定在支架处，宽为．身高为的使用者站立处点与点，在同一条直线上，． 点到点的距离是视线距离． (1)如图2，当，时，求视线距离的长； (2)如图3，使用者坐下时，高度下降，当桌面与的夹角为时，恰有视线，问需要将支架调整到多少？（参考数据：） 24．矩形中，，为对角线的中点，为边上一点，连接，过点作的垂线，交于点，连接． (1)如图1，当时，请完成填空：与的数量关系为____________________；用等式表示线段，，的数量关系为_________________； (2)如图2，当时， ①写出与的数量关系，并证明； ②用等式表示线段，，的数量关系，并证明； (3) 如图3，当，时，连接，过点作，垂足为点，为上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，当平分时，求的最小值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.测试范围：新教材湘教版九年级上册第1~2章。 第I卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1.在Rt△ABC中，∠C=90°， sind=V3 2,则tanB的值为() √5 √3 A.2 B.3 C.2 D.5 【答案】B 【分析】根据正弦的定义可得∠A的度数，进而可得∠B的度数，再由正切的定义可得答案， 详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，s4s3 2, ∴.∠A=60° .∠B=90°-∠A=30°， :tanB=tan30°= 3 a-b3 a 2.已知a=5,则6的值是(） 5 A.2 D.5 1/30 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【答案】A a-b_3 【详解】解：a=5 5(a-b)=3a 5a-5b=3a 2a=5b -5 I42I4 3.如图，直线 z48.C.D,EF,已知4=2c=4,DE=3,则r的长是 分别交直线于点 () A B 9 A.3 B.4 C.6 D.9 【答案】C AB DE 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由（川马，川可得BC=EF,代入已知数据计算即可得出结果， 1421g 【详解】直线 AB DE BC EF AB=2,BC=4,DE=3, 23 ·4EF ∴EF=6 4.如图，山区公路管理处在山顶观景台P处架设了监测设备，从P处测得山下公路上事故点Q的俯角为 a,已知设备点P到事故点的直线距离P为800米，观景台正下方的山脚点为R,则事故点到山脚点 R OR 的水平距离为() 2/30 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 at-P d R 800 A. 800sina米 B. sina米 C.800cosa米 D.800tana米 【答案】C 【分析】先由平行线的性质得到∠Q=α，在Rt△POR中，由余弦函数定义列式计算即可. 【详解】解：由平行线性质可知∠Q=α， 在R△PQn中，∠R=90·P0=800米，则eosa- PO' ∴.QR=POcosa=800cosa (米). 0E-1 5.如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O,且OA2,则四边形EFGH与四边形 ABCD周长之比是() A.1 B.2 C.2 D.4 【答案】C 【分析】熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键，根据图形位似的性质可得△OEF∽aOAB,则 EF OE 1 可得ABOA2,同理可得两个四边形其余三条对应边的比值，即可解题. 【详解】解：，四边形ABCD与四边形EFGH位似， ∴.四边形ABCD∽四边形EFGH，,EF∥AB, ∴.△OEF∽aOAB. 3/30 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 EF OE 1 .ABOA2' 1 ∴四边形EFGH与四边形ABCD的周长之比为2· 6.如图，在△ABC中，点D在AB上，BD=2AD,DE∥BC交AC于E,则下列结论不正确的是() A.BC=3DE C△ABC B.C△ADE=3 C.△ADE~△ABC D.S.ADE=3 【答案】D 【分析】证明△ADE一△ABC即可判定A、B、C正确，D错误. 【详解】解：BD=2AD, .AB=3AD. DE∥BC, .△ADE一△ABC, DE AD 1 BC AB 3 .BC=3DE,故A正确： DE∥BC, .△ADE一△ABC. 1 1 C△4DE=C△Ac,SE=。SMc,故B、C正确，D错误. 3 9 7.如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=3,∠B=60.则菱形ABCD的面积是 4/30 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 A.95 8.18V5 C.36 D.24 【答案】B 【分析】过点A作4GLB 于点G,则4G=ABsin B=35 根据菱形的面积计算即可： 【详解】解：~E、F分别是AB、AC的中点，EF=3, .BC=2EF=6, 菱形ABCD, .AB=BC=6, :∠B=60° 过点A作AG⊥BC于点G, AG=ABsin B=6x =35 故菱形ABCD 的面积是 BC·AG=6×3v3=18V3 8.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED=∠B;② AD AE DE∥BC:③AC=AB:④AD.BC=DE,AC;⑤∠ADE=∠C,能满足AADE∽AACB的条件有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可. 【详解】解：：∠AED=∠B,∠A=∠A, .△ADE△ACB,故①符合题意： DE∥BC, .△ADE一△ABC,不能判定△ADE∽△ACB,故②不符合题意： 5/30 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 AD AE ③.AC=AB,且夹角∠A=∠4 .△ADEAACB,故③符合题意： ④AD.BC=DE·AC, AD DE .AC BC :不确定∠ADE=∠C. .不能确定△ADE△ACB,故④不符合题意； ⑤：∠ADE=∠C,∠A=∠A, .△ADEP△ACB,故⑤符合题意； 综上所述，能满足的条件有3个， 故选：C 9.如图，三星堆出士的铜眼形器可抽象为菱形ABCD,测得边长AB=30cm,∠ABC=40°，则铜眼形器 的长BD等于() A.30cos20° B.60c0s40° C.60sin20° D.60c0s20° 【答案】D 【分析】连接AC交BD于点O,在Rt△AB0中B0=ABC0S∠AB0=30cos20°，继而得到 BD=2BO=60cos20° 【详解】解：连接AC交BD于点O, ,菱形ABCD中AC⊥BD. ÷∠AB0=)∠1BC=20 BD=2BO,∠AOB=90°， :cos∠ABO=B0 AB .BO=AB cos∠ABO=30cos20°， ∴.BD=2B0=60cos20° 6/30 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 10.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2,E为线段AB上任意一动点，以CE为斜边作 等腰Rt△CDE,连接AD,下列说法：①∠BCE=∠ACD;②AC⊥ED:③△ADC∽aBEC:④AD‖BC, 3 ⑤四边形ABCD的面积有最大值，且最大值为2，正确的结论是() E A.①②④ B.①③⑤ c.①③④ D.①③④⑤ 【答案】D 【分析】由△ABC与△ECD都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到AB=AC,CD=DE, 且四个锐角为45°，利用等式的性质得到∠BCE=∠ACD,故结论①正确；由∠BAC=90°，AC⊥AB,若 AC⊥ED,则ABIIDE或AB与DE重合，当ABIIDE时AB和DE无交点，这和E为AB上任意一动点相矛 盾，故结论②不一定正确；由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似得到△BEC∽△ADC,故结论③正确： 利用相似三角形对应角相等得LDAC=∠B,结合∠B=∠ACB得到∠DAC=∠BCA,利用内错角相等两直 线平行得到ADIIBC,故结论④正确：先依托△ABC面积为定值，将梯形ABCD面积最值转化为△ACD面 积最值，结合AD/BC确定△ACD的高固定，得AD最长时面积最大，再借助相似三角形对应边比例将AD 最长转化为BE最长，由题意得当E、A重合时BE最长，即可求出AD最大值，最后代入梯形面积公式算 出最大面积，故结论⑤正确。 【详解】解：，△ABC、△DCE都是等腰直角三角形， .AB=AC-2 BC-2 CD=DE-Y2 CE 2 2 ∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45°， ①，∠ACB=∠DCE=45°， .∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE, 即∠ECB=∠DCA,故①正确： 7130 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ②：∠BAC=90°， AC⊥AB 若AC⊥ED,则ABIIDE或AB与DE重合， 当ABIDE时AB和DE无交点，这和E为AB上任意一动点相矛盾，故②不完全正确： CD_AC ③，ECBC2,∠ECB=∠DCA, :.△ADCABEC,故③正确： ④：△ADC∽aBEC, ∴.∠DAC=∠B、 又，∠B=∠ACB」 ∴∠DAC=∠BCA, .AD/BC,故④正确： ⑤，△ABC为等腰直角三角形且BC=2, .△ABC的面积为定值， S梯形ABCD=SABc+SACD ∴.当△ACD的面积最大时，梯形ABCD的面积最大， 如图，过点A作AH⊥BC于点H,则AH为等腰直角△ABC斜边上的中线， D 、a1兰5B=1 AD//BC, :.△ACD中AD边上的高为定值（即为1）， 当△ACD的面积最大时AD最长， ,△ADCABEC, AD√2 .BE=2, .当AD最长时，BE也最长， 8/30 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ,E为线段AB上任意一动点， ∴，当E、A重合时BE最长， D=2E-1 此时BE=AB=V2,则D=2 S梯形ABCD= D+nc)h-x0+21 2 3 即四边形ABCD的面积最大值为2，故⑤正确： 综上，正确的结论是①③④⑤】 第IⅡ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.已知a,b,c,d为成比例线段，其中a=3cm,b=2cm,c=4cm,则d= cm 8 【答案】3 a c 【分析】本题考查成比例线段的定义，若a,b,c,d按顺序为成比例线段，则满足方-d,代入已知线段长度 即可求解d. 【详解】解：“a,b,c,d是成比例线段， b d' 34 将a=3cm,b=2cm'c=4cm代入得2=d, 交叉相乘得3d=8, 8 解得d=3cm 12.在△ABC中，∠C=90°，a=3,b=5,则sinA= 3V34 【答案】34 【分析】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义.根据勾股定理求出斜边C的长，再根据三角函数的 9/30 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 定义求解。 【详解】解：由勾股定理知，c=V口+B=V3+5=V34 sinA= 33vV34 C 3434, 3V34 故答案为：34. 13.河是横断面如图所示，是高8C=5米，迎水坡4B的玻度是：V5,则4C的长是一米 B A 【答案】 55 【分析】根据迎水坡AB的坡度是 :v3 计算即可. 【详解】解：？迎水坡AB的坡度是： a1:V3BC⊥AC :8C:AC=1:V5 ,BC=5. ,5:AC=1:V3 :4C=55 14.如图，在平面直角坐标系中，点102），8(-10.C(6,0),点D在'轴上，若5m=5c,则点 D的坐标为 10130 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 24 B -10 3主 (0,10)(0,-6) 【答案】 或 【分析】根据点4，B,C的坐标求出BC的长及点A到轴的距离，利用三角形面积公式求出5c,设 点D的坐标为 ,m）,表示出4D的长，根据题意列出关于”的方程，解方程即可求解。 【详解110,2).B(-10)C3,0) .BC=3-(-1)=40A=2 S=号BC-0A=×4×2=4, 2 设点D的坐标为 0,m) “点4的坐标为 0,2) ∴AD=m-2 “点B的坐标为 -1,0) 点B到y轴的距离为1， 1 54am=2Dx1=2m-2, SAABD=S△MBc 2m-2=4, 解得：m-2=8或m-2=-8, .m=10或m=-6, 11/30 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 心点D的坐标为 0,10)(0,-6) 或 15.如图，过点42,0)作直线m: =3 的垂线，垂足为点A,过点A作44上x轴，垂足为点4，过 点作4上m,垂足为，，这样依次下去，得到一组线段444,4，一，则线段 A 2022A2023 的长为一。 yA A m A6 As A2 Ao x 2022 3 【答案】 2 A(2,0) 【详解】解：点 0A=2 ÷44总-9 ÷∠404=30，A44=30.444-30°A44=30 :44=04sin30°=1 44=44c0s30°= 2, 12130 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 5 A4,=A42cos30° 2, 2, 3)” ∴，可推导一般性结论： 2: 3 2022 2 2022 故答案为： 2 【点睛】本题考查了正弦，余弦，正切，一次函数，规律探究，根据题意推导一般性规律是解题的关键. 16.小明在一个广场上测量旗杆的高度，他在水平面上以旗杆的底部点A为圆心，用软尺画得一个半径为 ”(单位：米)的圆，小明站在圆上测得旗杆的仰角为60°，然后将圆的半径扩大到”+4（单位：米）， 北时站在围上测得滋杆的仰角为45”，小明的眼精面安地面的高度为5米，则旗杆的高度为米. (请直接用无理数表示) 子-45 60》 【答案】(6+33) 【详解】解：根据题意得：4C=「米， AD=(P+4) 米， 在Rt△4BC中，an60°= AC,即AB=AC×tan60°=√5米， 在Rta4BD中，an45= AD,即AB=AD×tan45°=(+4)米， 13130 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 5=r+4 解得：=2(3+)小 :AB=25(5+=(6+25)米 :旗杆的高度为6+25+v5-(6+35同)米 B D145° 60C 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：1718每题6分，19-20题每题8分，21-22题每题10分，23- 24题每题12分。 17.计算：（ 2-j+小k5-小-2如+得) 【答案】3 【详解】解： (e2-+小5--2a5+得 -1+5-1-2x2+3 =1+V2-1-√2+3 =3 18,在网格图中，已知△BC和点M(L2) 14130 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 M (1)以点M为位似中心，位似比为2，画出△ABC的位似图形△A'B'C': (2)以C为中心，将△ABC顺时针旋转180°，画出△4"B"C” 【答案】(1) 如图，△A'B'C为所作 M (2) 如图，△4"B"C"为所作 15/30 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B (C 【分析】本题考查了利用位似变换作图，利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置 是解题的关键。 (1)延长MA到A使A4'=MA,则点A为A的对应点，同样方法作出B、C的对应点B'、C,从而得 到△AB'C': (2)根据网格结构找出点A、B、C绕着点C,顺时针旋转180°得A”、B”、C“的位置，然后顺次连接即 可 【详解】(1)略 (2)略 19,如图，在4BC中，∠B=454B=3N2.D是C中点，mC= 5 A D (1)求BC的长 (2)求tan∠ADB的值. 【答案】(1)BC=18 （2)tan∠ADB=号 【分析】本题考查了三角函数的应用，正弦和正切的概念，过点E作AE⊥BC于E构造直角三角形是解题 的关键 (I)作AE⊥BC于点E,在Rt△ABE中，利用sinB求出AE,在Rt△ACE中，利用tanC求出EC,最后 求出BC: 16130 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)根据D是BC的中点求出BD,然后求出ED,最后根据正切定义求得结果， 【详解】(1)解：作AE⊥BC于点E, A B D C:∠B=45°，AB=3V2∠AEB=90° ∴.∠A=∠B=∠45° ∴AE=BE=AB.sin45°=3. 在Rt△ABE, .CE=5AE=15 ∴BC=BE+CE=3+15=18 (2)BC=18,点D为BC的中点， BD=9, .DE BD-BE=6. an∠ADB=E=31 DE62· 即BC=l8,tan∠ADB=J 2· 20.《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以 为方”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的DEF),小南同学利用“矩”可测量大树 AB的高度.如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边DF保持水平（即DF∥AM), 并且边DE与点B在同一直线上，己知“矩”的两边长分别为EF=0.4m,DE=0.6m,小南的眼睛到地面 的距离DM为l.5m,测得AM=2lm,求树AB的高度. 【答案】树AB的高度为15.5米 【分析】证明△DEF∽aDCB,列出比例式，求出BC的长，再利用线段的和差关系进行求解即可. 【详解】解：根据题意可得：∠DEF=∠BCD=90°，∠EDF=∠CDB, ADEF一△DCB, 17130 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 EF CB DE DC' EF=0.4m,DE=0.6m,AM CD=21m .0.4BC 0.621· ∴.BC=14 ∴.AB=AC+BC=1.5+14=15.5(m) 答：树AB的高度为15.5米. 21.如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交AB于点M,作 PN IAB、AC 交 于点N. (1)若点D是BC的中点，且AP:PD=2:1,求AM:AB的值： AM AN AP (2)若点D是BC上任意一点，试证明：AB+AC=AD 【答案】(1)3 (2)证明：过点D作DF∥PM交AB于F,过点D作DG‖PN交AC于G, .DFIPM DG PN AM AP AN AP AF AD'AG AD' 18130 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 又PM∥AC,PNI‖AB, DF∥AC,DGI AB AF CD AG BD AB BC AC BC AMAM AF AP CD AN AN AG AP BD AB AF AB AD BC AC AG AC AD BC AM AN AP.(CD.BD)AP X AB AC AD BCBC AD AE CD 1 【分析】(1)过点D作DE∥PM交AB于E,结合平行线分线段成比例解得AB=BC=2, AM AP2 AEAD3,进而求解： (2)过点D作DF∥PM交AB于F,过点D作DG‖PN交AC于G,由平行线分线段成比例解得 AM AP AN AP AF CD AG BD AM AM AF AP CD AF=AD,AGAD,AB=BC,AC=BC,进而得到AB=AF‘AB=ADBC, ANAN AG AP BD AC AG AC AD BC,即可求解. 【详解】(1)解：过点D作DE∥PM交AB于E, M B :PM∥AC .DE∥AC, AE CD BE BD, :点D为BC中点， AE CD 1 AB BC2 ∴点E是AB中点， AP:PD=2:1,且DE∥PM, 19130 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 AM AP =2 ME PD AMAP_2 AEAD3· ~点E是AB中点， AM 2 1 AB63· (2)略 22.如图，AC是矩形ABCD的对角线，△ABE和△CDF分别沿着AE,CF所在直线进行折叠，使得点B 和D恰好落在对角线AC上： (1)求证：四边形AECF是平行四边形： (2)若BE=1, an∠ACB= 2,求四边形AECF的面积. 【答案】(1)证明：四边形ABCD是矩形， .ABII CD ADII BC .∠BAC=∠ACD, 银折叠的性质可知，∠B4E=∠CE∠B4C,DCF=∠4 CF-ACD, ∴∠CAE=∠ACF .AE‖CF AFI‖CE ∴四边形AECF是平行四边形： √6+3√2 (2)四边形AECF的面积为2 20130 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【详解】(1)略 (2)解：~四边形ABCD是矩形， ∴.∠B=90° 由折叠可得，B'E=BE=1,∠AB'E=∠B=90°， ∴.∠CB'E=180°-∠AB'E=90° tan∠ACB= B'E√2 1V2 B'C2,即B'C2, :B'C=2 CE=BE+BC+(= .BC=BE+CE=1+3 tan∠ACB=B-V2 AB√2 BC2,即1+V52 4B=2+V6 2 CEAB=5x2+6V6+35 ∴四边形AECF的面积 2. 23.如图1是可调节高度和桌面角度的电脑桌，它的左视图可以抽象成如图2所示的图形，底座AB长为 60Cm,支架CD垂直平分AB,桌面EF的中点D固定在支架CD处，EF宽为60Cm.身高为l60cm的使用 者MN站立处点M与点A,B在同一条直线上，MA=20cm,点N到点F的距离是视线距离. F F E MA C B MA C B 图1 图2 图3 (1)如图2，当EF∥AB,CD=100cm时，求视线距离NF的长： 21130 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)如图3，使用者坐下时，高度MN下降50cm,当桌面EF与CD的夹角∠CDE为35°时，恰有视线 NFI∥AB CD cm sin35°≈0.43，cos35°≈0.90，tan35°≈0.47 问需要将支架 调整到多少？（参考数据： ) 【答案】(1)100cm (2)83cm 【分析】(1)由CD垂直平分AB得AC长，结合MA求得MC,连接NF,延长FE交MN于点G,证四 边形GMCD是矩形得MG、DG,即可得NG,由D为EF中点得DF,进而求GF,最后在Rt△NGF中用 勾股定理求出NF: (2)先求坐下后的MN高度，延长CD交NF于G,证四边形MCG是矩形得CG,由对顶角得 ∠GDF=35°，在直角三角形中用余弦求DG,最后通过线段差求出CD即可. 【详解】(1)解：：CD垂直平分AB, .ACAB=30cm ∴.MC=MA+AC=50cm, 如图，连接NF,延长FE交MW于点G, GE D MA C B ,EF∥AB,CD⊥AB,MN⊥AB 四边形GMCD是矩形，FG⊥MN, .MG=CD=100cm,DG=MC=50cm. ∴.WG=MN-MG=60em. ,D是EF中点， DF=EF =30cm ∴.GF=DG+DF=80cm, 在RtANGF中， 22130 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 NF=√NG+GF2=100cm (2)解：使用者坐下时，高度MN下降50cm, .MN=160-50=110cm, 如图，延长CD交NF于点G, GF D E MAC B :NFIAB,CD⊥AB, .CG⊥NF, 又：MN⊥AB ∴四边形NMCG是矩形， ..CG=MN =110cm, :D是EF中点， .DF-EF-30cm, 2 在RtADGF中，∠GDF=∠CDE=35,cos∠GDF-DC DE .DG=DF.cos35°≈30×0.90=27cm, :.CD=CG-DG=110-27=83cm. 24,矩形A8CD中，BC=1B(低≥)，0为时角线4C的中点，M为边B上一点，连接OM,过点0作 OM的垂线，交BC于点N,连接MN. 23130 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D 5 图1 图2 图3 (1)如图1，当k=1时，请完成填空：OM与ON的数量关系为 用等式表示线段 AM,MN,NC的数量关系为 (2)如图2，当k>1时， ①写出OM与OW的数量关系，并证明： ②用等式表示线段AM,MN,NC的数量关系，并证明： 4 3)如图3，当k=3,AB=6时，连接0B,过点N作NH⊥OB,垂足为点H'E为AD上一点，连接EC, 将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF,连接MF,DF,当NO平分∠CNH时，求MF+DF的最 小值. 【答案】(1)OM=ON:AM2+NC2=MN2 (2)①OM=kON, 证明如下： 如图，过点O作OP⊥BC,垂足为点P,过点O作O0上AB,垂足为点O, D o- M B PN C:OQ⊥ABBC⊥AB ..o0ll BC A01 又：点0为AC中点，即AC2, A迴-A0-1 AB=AC2,即Q为AB的中点，OQ为。4BC的中位线， 24130 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.OQ=BC 2 同理可得：OP=4B O≌-BC OP AB k :四边形ABCD为矩形， ·∠B=90 又：O0⊥AB,OP⊥BC, ∴四边形QBP0为矩形，即∠QOP=90°， :∠MOQ+∠MOP=90°∠NOP+∠MOP=90° (当M<2AB时，∠M00+∠00N=90°，∠N0P+∠00N=90） ∴.∠MOg=∠NOP 又'：∠OQM=∠OPN=90°， ∴.△OQM∽△OPN OM_O9=k,即OM=kON ON OP ②AM2+NC2=MW2, 证明如下： 如图，延长NO,交AD于点N',连接MN', D O 四边形 是矩形， M B ABCD ADI‖BC .∠OCN=∠OAN' 25130 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 又∠CON=∠AON',OA=OC, :△OCN≌△OAW'(ASA) .ON=ON',CN=AN', ~OM⊥NW',即MO垂直平分NN', ∴.MW=MW', 在Rt△MAN'中，由勾股定理得AM2+AN2=MN2, ∴.AM2+NC2=MN2 9,7v5 【详解】(1)解：如图所示，过点O作OE⊥AB,OF⊥BC,连接OB, D E B FN k=1, :BC=AB,即此时矩形ABCD是正方形， 又：O为对角线AC的中点， .OB=AO=OC,OB⊥AC, 又：OE⊥AB,OF⊥BC, ∴.E为AB中点，F为BC中点， :0E-=4B,0F=2Bc, ..OE=OF, :OE⊥AB,OF⊥BC,矩形ABCD是正方形， .OE⊥OF, .OM⊥ON, .∠EOM+∠MOF=90°，∠FON+∠MOF=90°， 26130 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (当AM<AE时，∠EOM+∠EON=90°，∠FON+∠EON=90°) :∠EOM=∠FON, 在△EOM与△FON中 [∠MEO=∠NFO EO=FO ∠EOM=∠FON △EOM≌△FON(ASA) ∴.OM=ON: ,OB⊥AC,OM⊥ON, ∴.∠MOB+∠BON=90°，∠NOC+∠BON=90°， ∴.∠MOB=∠NOC, 在△MOB与△NOC中 MO=NO ∠MOB=∠NOC BO=CO △MOB≌△NOC(SAS) ∴.MB=NC, AB=BC, AB-BM=BC-NC,即MA=NB, 在Rt△MBN中，MB2+NB2=MW2, ∴.AM2+NC2=MW2 (2)略 (3)解：如图，过点O作OP⊥BC,垂足为点P,过点O作OO⊥AB,垂足为点， 27130 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D 、F D -----F0 E M G H B N 由题意得，8C-号4B=8,OP=0=A0-=300=BP=4:0B=+平=5 NO平分LCNH,OP⊥BC,OH⊥HN, .OH=OP=3,BH=5-3=2, 又.OW=ON, Rt△OHW≌Rt△OPN(HL) .设NH=WP=x,BN=4-x. 医RAN中，由囚股定理得22+子三4-。解得号 由(2)得：AOOMAOPN, MO OM 4 ·NP=ON=3, Mg=号NP-2, .AM=A0-MO=1 当点F与点D重合时，点F落在点5的位置， DC=DF=6∠CDF=90° 此时 CE=2, .LDFC=∠DCF。=45°，CD 28130 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 连接C,F阳 ,EF=EC,∠FEC=90°， ∠ECE45CE=V2,2DcE=∠Bcp :.∠DCF-∠DCF=∠ECF-∠DCF （当E<2时， ∠DCF+∠DCF=∠ECF+∠DCF ∠ECD=∠FCF 即 CFo._CF ·CDCE .△EDC∽△FFC .∠FFC=∠EDC=90° 点F在过点厂并且垂直于C的射 F F F F⊥CF 上运动，即 ∠FFD=∠FFC-∠DFC=45o F 当点E与点4重合时，点F落在点5的位置， FoF 心点F的轨迹是线段。5， 作D关于F5的对称点D',连接D,过点M作MG1DS,交D的延长线于点G, FF :MF+DF=MF+DF≥MD',∠DFD'=2∠DF,F=90°=∠GFA D'E=DE=6 ∴当M,F,D'三点共线时，MF+DF取最小值， ∠G=∠GfA=∠MAE=90° AMGF …四边形 是矩形， .MG=AF=14 AM=FG=1 29130 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D'G=D'E+FG=6+1=7 .MD'=MG2+D'G2=15 :MF+DF的最小值为 ,75 30130 11 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11._______________ 14. ________________ 12. ___________ 15. _______________ 13. _________________ 16.________________ 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18． （6分） 19．（8分） 20．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][√][/] 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1,A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][c][D] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11 12 13. 14. 15. 16. 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(6分) 0 19.(8分) 20.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) M B D 22.(10分) D D B C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) D E MA C B MA C 图1 图2 图3 24.(12分) 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 4 5 6 7 8 9 10 B A C C C D B D D 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 8 3V34 11.3 12.34 13.55 2022 14.(0,10)或(0,6) 15.2 16.(6+35) 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-18每题6分，19-20题每题8分，21-22题每题10分，23- 24题每题12分。 17.【详解1解.(2022-+5-2sm45°+目 -1+2-1-2x5+3 =1+V2-1-√2+3 =3.(6分) 18.【详解】(1) (3分) 1/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2) (6分) 19.【详解】(1)解：作AE⊥BC于点E, B D ∠B=450,AB=32∠AEB=90° .∠A=∠B=∠45°」 .AE=BE=AB.sin45°=3， 在RA1BE,anC- 5, .CE=5AE=15. .BC=BE+CE=3+15=18(4分) (2):BC=18,点D为BC的中点， ∴BD=9 :DE BD-BE=6. an∠ADB=E=31 DE62, 即BC=I8,tan∠ADB= 2.(8分) 20.【详解】解：根据题意可得：∠DEF=∠BCD=90°，∠EDF=∠CDB, △DEF一△DCB, 2/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 EF CB DEDC· .EF=0.4m,DE=0.6m,AM CD=21m .0.4BC 0.621· .BC=14. AB=AC+BC=1.5+14=15.5(m) 答：树AB的高度为15.5米.(8分) 21.【详解】(1)解：过点D作DE∥PM交AB于E, M B ,PM∥AC .DE∥AC, .AE_CD BE BD, 点D为BC中点， AE CD 1 AB BC 2' ∴点E是AB中点， :AP:PD=2:1,且DE∥PM, :AM、AP ME PD 2 AM AP2 AEAD3· 点E是AB中点， :AM-21 AB63:(5分) (2)证明：过点D作DF∥PM交AB于F,过点D作DG‖PN交AC于G, 3/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 M D .DFII PM DGI PN AM AP AN AP AF AD AG AD 又PM∥AC,PNIAB .DF∥AC,DGII AB .AF_CD AG BD AB BC,AC BC, AM AM AF AP CD ANAN AG AP BD AB AF AB AD BC AC AG AC AD BC AM+AN-AP.(CD.BD AP AB AC AD BCBC)AD.(10分) 22.【详解】(1)证明：四边形ABCD是矩形， .ABII CD ADII BC ∴.∠BAC=∠ACD 根据折叠的性质可知，∠BAE=∠CAE=)∠BAC,∠DCF=∠ACF=∠ACD、 2 ∴.∠CAE=∠ACF .AEl CF AF‖CE .四边形AECF是平行四边形：(4分) (2)解：四边形ABCD是矩形， .∠B=90°， 由折叠可得，B'E=BE=1,∠AB'E=∠B=90°， .∠CB'E=180°-∠AB'E=90°， 4/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .tan∠ACB= B'E√2 1√2 'C2,即B'C2, .B'C=2 CE=VBB+BC-+(= .BC=BE+CE=1+3 .an∠ACB=AB、V2 AB√2 BC2,即1+V52 :B=2+v6 2, ∴.四边形AECF的面积 CE.AB=5x2+66+32 2 2.(10分) 23.【详解】(1)解：CD垂直平分AB, .4C-4B=30cm .MC=MA+AC=50cm, 如图，连接NF,延长FE交MN于点G, MACB ,EF∥AB,CD⊥AB,MN⊥AB, ∴.四边形GMCD是矩形，FG⊥MN, .MG=CD=100cm,DG=MC=50cm, .NG =MN-MG =60cm, ,D是EF中点， 5/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 DF=1EF=30cm ..GF DG+DF =80cm, 在RtANGF中， NF=NG2+GF2=100cm (2)解：，使用者坐下时，高度MN下降50cm, .MW=160-50=110cm, 如图，延长CD交NF于点G, N D E MACB .NFI∥AB,CD⊥AB. .CG⊥NF, 又.MW⊥AB、 四边形NMCG是矩形， ..CG=MN =110cm, D是EF中点， .DFEF0m 在RtDGF中，∠GDr=∠CDE=35,cos∠GDF-DG DE .DG=DF.cos35°≈30x0.90=27cm, .CD=CG-DG=110-27=83cm.(12分) 24,【详解】(1)解：如图所示，过点O作OE⊥AB,OF⊥BC,连接OB, 6/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D M B FN k=1, ∴BC=AB,即此时矩形ABCD是正方形， 又，O为对角线AC的中点， OB=AO=OC,OB⊥AC, 又OE⊥AB,OF⊥BC, E为AB中点，F为BC中点， 0E=4B,0r-c, 2 .'.OE=OF, ,OE⊥AB,OF⊥BC,矩形ABCD是正方形， .OE⊥OF, .OM⊥ON, ∴.∠EOM+∠MOF=90°，∠FON+∠MOF=90°」 (当AM<AE时，∠EOM+∠EON=90°，∠FON+∠EON=90°) ∴.∠EOM=∠FON, 在△EOM与△FON中 [∠MEO=∠NFO EO=FO ∠EOM=∠FOW △EOM≌△FON(ASA) ∴.OM=ON: .OB⊥AC,OM⊥ON, .∠MOB+∠BON=90°，∠NOC+∠BON=90°， .∠MOB=∠NOC, 7/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 在△MOB与△NOC中 MO=NO ∠MOB=∠NOC BO=CO △MOB≌△NOC(SAS) .MB=NC, .AB=BC, ∴.AB-BM=BC-NC,即MA=NB, ,在Rt△MBN中，MB2+NB2=MW2, .AM2+NC2=MW2.(3分) (2)①OM=kON. 证明如下： 如图，过点O作OP⊥BC,垂足为点P,过点O作O0⊥AB,垂足为点O, D O---- M B PN C:O9⊥ABBC⊥AB ∴.OQI‖BC A0 1 又：点0为AC中点，即AC=2: A0 A0 1 AB=AC2,即Q为AB的中点，OQ为A4BC的中位线， 00-8c 同理可得：OP= .00 BC -k OP AB ,四边形ABCD为矩形， 8/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∠B=90° 又OQ⊥AB,OP⊥BC, ∴四边形QBPO为矩形，即∠QOP=90°， :∠MOQ+∠MOP=90°∠NOP+∠MOP=90° (当AM<7AB时，∠MOg+∠QON=90°，∠NOP+∠Q0N=90°） 2 .∠MOQ=∠NOP 又：∠0QM=∠OPN=90°. ∴.△OQM∽△OPN OM_O9=k,即OM=kON: ON OP ②AM2+NC2=MW2, 证明如下： 如图，延长NO,交AD于点N',连接MW', N D 四边形 是矩形， M B ABCD .AD‖BC ∴.∠OCN=∠OAW', 又：∠CON=∠AON',OA=OC, .△OCN≌△OAW'(ASA) .ON=ON',CN=AN', OM⊥N',即MO垂直平分NN', .MN =MN', 9/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ,在Rt△MAN'中，由勾股定理得AM+AW2=MN2, .AM2+NC2=MN2.(7分) (3)解：如图，过点O作OP⊥BC,垂足为点P,过点O作O01AB,垂足为点， D F D 4F。 G B 由题意符、BC-号4AB=8,OP=B0=4Q=3,0Q=BP=408=V+车=5 NO平分∠CNH,OP⊥BC,OH⊥HN, .OH=OP=3,BH=5-3=2, 又.ON=ON, ,Rt△OHN≌Rt△OPN(HL) .设NH=NP=x,BN=4-x. 3 在RteBHN中，由勾股定理得22+x2=(4-},解得x= 2 由(2)得：aOQM∽aOPN, MO OM 4 NP ON 3' M0=等Np=2, .AM=A0-MO=1 10112 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 当点E与点D重合时，点F落在点”的位置， Fo DC=DF=6∠CDF。=90° 此时 CF=2, :.∠DFC=∠DCF=45°，CD 连接FC,F心 .EF=EC,∠FEC=90°， .∠ECp459,C2=2,DC5E∠Ecm .∠DCF-∠DCF=∠ECF-∠DCF （当AE<2时， ∠DCF。+∠DCF=∠ECF+∠DCF ∠ECD=∠FCF 即 CFo._CF=2, ·CDCE :.△EDC∽△FF,C .∠FFC=∠EDC=90° “点F在过点并且垂直于C的射线 FoF FF⊥CE。 上运动，即 ∠FFD=∠FFC-∠DFC=45 F 当点E与点4重合时，点F落在点的位置， oF ·点F的轨迹是线段 作D关于F5的对陈点P,连接MD,过点M作MG1DB,交DE 的延长线于点G, :.MF+DF=MF+D'F≥MD'.∠DFD'=2∠DF,F=90°=∠GR,AD'E=DR=6 .当M,F,D'三点共线时，MF+DF取最小值， 11/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∠G=∠GFA=∠MAF=90° ·四边形 AMGF 是矩形， :.MG=AF。=14AM=FG=1 D'G=D'E+FG=6+1=7 MD'=MG2+D'G2=15 :MF+DF的最小值 75.2分 75 12112 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材湘教版九年级上册第1~2章。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．已知，则的值是（     ） A． B． C． D． 3．如图，直线分别交直线于点，已知，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 4．如图，山区公路管理处在山顶观景台处架设了监测设备，从处测得山下公路上事故点的俯角为．已知设备点到事故点的直线距离为米，观景台正下方的山脚点为，则事故点到山脚点的水平距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则四边形与四边形周长之比是（　　） A．1 B．2 C． D． 6．如图，在中，点D在上，，交于E，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 7．如图，菱形中，E、F分别是、的中点，若，．则菱形的面积是（     ） A． B． C．36 D．24 8．如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．如图，三星堆出土的铜眼形器可抽象为菱形，测得边长，，则铜眼形器的长等于（   ） A． B． C． D． 10．如图，为等腰直角三角形，，，为线段上任意一动点，以为斜边作等腰，连接，下列说法：①；②；③；④；⑤四边形的面积有最大值，且最大值为．正确的结论是（     ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知为成比例线段，其中，，，则_______ ． 12．在中，，，，则___________． 13．河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡度是，则的长是________米． 14．如图，在平面直角坐标系中，点，，，点在轴上，若，则点的坐标为________． 15．如图，过点作直线m：的垂线，垂足为点，过点作轴，垂足为点，过点作，垂足为，…，这样依次下去，得到一组线段，…，则线段的长为_____．    16．小明在一个广场上测量旗杆的高度，他在水平面上以旗杆的底部点为圆心，用软尺画得一个半径为（单位：米）的圆，小明站在圆上测得旗杆的仰角为，然后将圆的半径扩大到（单位：米），此时站在圆上测得旗杆的仰角为，小明的眼睛距离地面的高度为米，则旗杆的高度为_____米．（请直接用无理数表示） 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-18每题6分，19-20题每题8分，21-22题每题10分，23-24题每题12分。 17．计算：． 18．在网格图中，已知和点． (1)以点为位似中心，位似比为2，画出的位似图形； (2)以为中心，将顺时针旋转，画出． 19．如图，在中，是中点，， (1)求的长 (2)求的值． 20．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南同学利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平（即），并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树的高度． 21．如图，在中，点D为上一点，点P在上，过点P作交于点M，作交于点N． (1)若点D是的中点，且，求的值； (2)若点D是上任意一点，试证明：． 22．如图，是矩形的对角线，和分别沿着，所在直线进行折叠，使得点和恰好落在对角线上． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 23．如图1是可调节高度和桌面角度的电脑桌，它的左视图可以抽象成如图2所示的图形，底座长为，支架垂直平分，桌面的中点固定在支架处，宽为．身高为的使用者站立处点与点，在同一条直线上，． 点到点的距离是视线距离． (1)如图2，当，时，求视线距离的长； (2)如图3，使用者坐下时，高度下降，当桌面与的夹角为时，恰有视线，问需要将支架调整到多少？（参考数据：） 24．矩形中，，为对角线的中点，为边上一点，连接，过点作的垂线，交于点，连接． (1)如图1，当时，请完成填空：与的数量关系为____________________；用等式表示线段，，的数量关系为_________________； (2)如图2，当时， ①写出与的数量关系，并证明； ②用等式表示线段，，的数量关系，并证明； (3) 如图3，当，时，连接，过点作，垂足为点，为上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，当平分时，求的最小值． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $