3.1 相似多边形（六大题型）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦相似多边形核心内容，以成比例线段、图形相似判定与性质为主线，覆盖从概念辨析到综合应用的6类题型，注重几何直观与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |成比例线段|3题|基础计算与证明|概念生成：从比例线段定义到直角三角形中的比例关系| |相似多边形|3题|图形相似判断与实际应用|图形辨析：从形状相似到矩形装裱等实际问题| |相似多边形的性质|3题|性质应用（面积比、对应边）|性质应用：从相似比到面积比及对应元素关系| |由平行判断成比例线段|3题|平行与比例关系判断|关系建立：平行条件下比例线段的判定逻辑| |由平行截线求线段|3题|含平行截线的线段计算|综合计算：结合平行截线解决复杂线段长度问题| |利用平行判断相似|3题|平行条件下的相似判定|相似判定：通过平行关系完成相似三角形判定|

3.1相似多边形 题型一成比例线段 1.已知a、b、c、d为成比例线段，其中a=4cm,b ( 25 A.4cm B.2cm C.5cm 2.已知a,b,c,d为成比例线段，其中a=3cm,b=2cm, cm 3.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高. (1)求证：AC·BC=CD·AB: (2)AC、CD、AB、BC是成比例线段吗？为什么？ 题型二相似多边形 4.下列图形中有可能与图相似的是（ 1 5cm,c=10cm,则d为 4 cm D.5 c=4cm,则d= 0 5.装裱一幅宽40cm、长60cm的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原矩形画 相似，装裱上去的部分的上下的宽都为l5cm,若装裱上去的左右部分的宽都 为xcm, 则x= -40 15 6.如图，矩形ABCD为一块绿地，长为32m,宽为24m,现计划在绿地中央建 ,个矩形花圃EFGH.要使矩形花圃的面积是原矩形绿地面积的一半，且矩形 花圃四周的绿地等宽. 32m H G 24m (1)求花圃四周绿地的宽度： (2)矩形ABCD与矩形EFGH相似吗？请说明理由. 题型三相似多边形的性质 7.如图，四边形ABCD∽四边形EFGH.若AB=5,EF=3,则它们的面积之比为 ( G H A.5:3 B.3:5 C.25:9 D.无法确定 8.如图，四边形ABCD和EFGH相似，则∠D= E 118° 78°83 9.如图，在ABCD中，点E,F分别在边BC,AD上，连接AE,BF,AE平分 ∠BAD CE=DF (1)求证：AE⊥BF; (2)若AF=4,四边形ABCD与四边形CEFD相似，求CE的长. 3 题型四由平行判断成比例的线段 I0.在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的点，下列条件能判断DE与BC 平行的是( A.AD=3cm,AB=4cm,AE=1.8cm,CE=2.4cm B.AD=2BD,AC=3CE C.AD=6cm,DE=9cm,AE =4cm,AC=10cm D.AB=2BD,BC=2DE I1.如图，在ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E,CF的延长线交BA 的延长线于点G,EF=1,EC=4,则GF的长为· I2.已知ABCD中，AD=kAB,E、F分别为边CD、AD上的点，且CE=AF, 连接AE、CF相交于点P,连接BP. 图1 图2 (1)当k=1时，如图1， ①若∠D=60°，∠DAP=50°，则∠BCP= ②若3FP=2PC,AB=6,求CE的长. (2)若k>1,如图2，试猜想∠ABP与∠CBP的数量关系， 题型五由平行截线求相关线段的长或比值 13.如图1是花架实物图，图2是其对应的侧面示意图， AC 4 CE5,DF=40cm,则BF的长为( B E F G H 图1 图2 A.32cm B.40cm C.50cm 14.如图，在△ABC中，AC>AB,点D为边AB上一点， C为圆心，D长为半径回弧，交1C于点5，连接DE 并给出证明. 已知AB∥CD∥EF, D.72cm AD=2,BD=1.以点 若DE∥BC,则4E= E 15.如图，在△ABC中，延长CB至点D,使BD=BC,在AC上取一点F,连接 DF交于点E过F点作H交0于点系已知4C=DE=3,R=2. E D H (1)DB:DH= (2)求AF的长. 题型六利用平行判断相似 AD 16.如图，在△ABC中，DE∥BC,若SAc=9Se’则AB的值( ) A.2 B.3 c. D.4 6 BP 17.如图，在AABC中，AD=2CD,CF=2BF,则DP的值为 P 18.如图，在△ABC中，点D,E,F分别在AB,BC,AC边上， EF AB B (1)求证：△BDE∽△EFC. AF 1 (2)若FC2,BC=6,求BE的长. DE‖AC, 3.1 相似多边形 题型一 成比例线段 1．已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四条线段成比例的顺序列出比例式，代入已知线段长度计算即可得到结果． 【详解】解：∵、、、为成比例线段，根据定义可得， ∴将，，代入得， 解得． 2．已知为成比例线段，其中，，，则_______ ． 【答案】 【分析】本题考查成比例线段的定义，若按顺序为成比例线段，则满足，代入已知线段长度即可求解． 【详解】解：是成比例线段， ， 将，，代入得， 交叉相乘得， 解得． 3．如图，在中，是斜边上的高． (1)求证：； (2)是成比例线段吗？为什么？ 【答案】(1)证明：∵在中，是斜边上的高． ∴ ∴； (2)解：是成比例线段，理由如下： ∵ ∴ ∴是成比例线段． 【分析】（1）利用等面积法求解即可； （2）将乘积式化为比例式即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 题型二 相似多边形 4．下列图形中有可能与图相似的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似图形的定义直接得到答案即可． 此题考查了相似图形的定义，解题的关键是能够了解相似图形的定义：对应角相等，对应边的比也相等的多边形是相似形． 【详解】解：原图为四边形，与之相似的只可能是四边形， 故选：B． 5．装裱一幅宽 长的矩形画， 要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似， 装裱上去的部分的上下的宽都为， 若装裱上去的左右部分的宽都为， 则__________． 【答案】10 【分析】根据相似图形对应边成比例即可进行解答． 【详解】解：∵装裱完成后的大矩形与原矩形画相似， ∴，解得：． 故答案为：10 ． 6．如图，矩形为一块绿地，长为，宽为，现计划在绿地中央建一个矩形花圃．要使矩形花圃的面积是原矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等宽． (1)求花圃四周绿地的宽度； (2)矩形与矩形相似吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 矩形与矩形不相似，理由如下： 由（）知，，则矩形的长为米，宽为米． 原矩形的长与宽的比值为，矩形的长与宽的比值为． ∵ ∴矩形与矩形不相似 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及相似多边形的判定，熟练掌握矩形的面积公式和相似多边形的定义是解题的关键． （1）设花圃四周绿地的宽度为米，根据矩形面积公式，分别表示出花圃的长和宽，再结合花圃面积是原绿地面积的一半列出方程求解． （2）先求出矩形的长和宽，再根据相似多边形的定义，判断对应边的比例是否相等，对应角是否相等（矩形的内角都是直角，对应角相等）． 【详解】（1）解：设花圃四周绿地的宽度为米．则花圃的长为米，宽为米．由题意得 ， ， 解得或， ∵绿地的宽度不能超过原矩形的宽度，即，解得， ∴， 答：花圃四周绿地的宽度为； （2）解：略． 题型三 相似多边形的性质 7．如图，四边形四边形EFGH．若，，则它们的面积之比为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方，先求出两个四边形的相似比，再计算面积比即可． 【详解】解：四边形四边形，且，， 它们的相似比为， 它们的面积之比为， 即． 8．如图，四边形和相似，则________．      【答案】/81度 【分析】由相似多边形的性质得出，再由四边形的内角和即可得解． 【详解】解：∵四边形和相似， ∴， 在四边形中，， ∴． 9．如图，在中，点分别在边上，连接，平分，． (1)求证：； (2)若，四边形与四边形相似，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）先运用性质结合证明四边形是平行四边形，再根据平分，，推出，证明是菱形，即可求解； （2）先运用菱形性质推出，再根据相似性质推出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，． ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴； （2）∵四边形是菱形， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形与四边形相似， ∴， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴的长为． 题型四 由平行判断成比例的线段 10．在中，点、分别是、边上的点，下列条件能判断与平行的是（     ） A．，，， B．， C．，，， D．， 【答案】B 【分析】利用时，或，逐一判断即可． 【详解】解：当时，或，由此可得： A：∵，， ∴， ∴，， ∴，故A错误； B：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴，故B正确； C：缺少或的长度，无法计算与的比值关系，无法判断，故C错误； D：由可知为中点，但仅凭无法确定点位置及比例关系，无法判断，故D错误； 11．如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．由平行四边形的性质可得，，设，则，，代入比例式中求解即可得解． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， ，， ，， ， 设，则，， ，， ，解得， 即． 故答案为：． 12．已知中，，、分别为边、上的点，且，连接、相交于点，连接． (1)当时，如图1， ①若，，则______°； ②若，，求的长． (2)若，如图2，试猜想与的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)①70；② (2) 猜想：， 证明：【解法一】延长交的延长线于点，过点作，如图2， ，， ， ， ， ，即． 过点作，，如图3， 四边形、、、为平行四边形． 设，，， ，， 由得， 由得， ， 四边形为菱形， 平分， 即． 【分析】（1）①根据题意先证，得到，再结合三角形内角和及平行线的性质求解即可； ②延长交的延长线于点，先证，得到，进而可求的长； （2）解法一：延长交的延长线于点，过点作，再根据平行线分线段成比例可得，进而可得；解法二：过点作，，再证四边形为菱形，则平分，进而可得． 【详解】（1）①， ，则四边形为菱形， ，又，， ， 在和中， ， ， ， ，， ，即， ， （两直线平行，内错角相等）； ②解：延长交的延长线于点，如图1． ， ． ，， ． ， ， ， ， ，， ， ． 【解法二】略 题型五 由平行截线求相关线段的长或比值 13．如图1是花架实物图，图2是其对应的侧面示意图，已知，，，则的长为(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例可求出，再由线段的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 14．如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________． 【答案】 【分析】由作法可知，，再利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：由作法可知，， ， ， ， ． 15．如图，在中，延长至点D，使，在上取一点F，连接交于点E，过F点作交于点H，已知， 2． (1)________； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平行线分线段成比例得到即可求解； （2）由（1）得，再根据平行线分线段成比例得到，进而可求解． 【详解】（1）解：因为 所以， 又因为， 所以， 所以； （2）解：因为， 所以 因为， 所以， 又因为 所以． 题型六 利用平行判断相似 16．如图，在中，，若，则的值（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定，可得，再根据“相似三角形的面积之比是相似比的平方”，即可求解． 【详解】解：， ， ， ，即， ． 17．如图，在中，，，则的值为______． 【答案】/ 【分析】过点作的平行线，交于点，设，由平行可判定，则，计算得，同理，因此． 【详解】解：如图，过点作的平行线，交于点，设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及平行线所截线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定及平行线所截线段成比例是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $