第一章丰富的图形世界同步练习 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 聚焦立体图形概念与空间想象，通过基础识别、中档计算到综合实践的三层设计，强化空间观念与创新意识，适配单元复习巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|立体图形识别、展开图判断|以单选、填空为主，直观辨析棱柱、正方体展开图等，夯实空间观念| |中档|截面分析、旋转体体积、相对面计算|结合几何直观，如直角三角形旋转体积计算，深化概念应用| |提升|展开图设计、收纳盒制作|综合实践题（如无盖长方体容积探究），体现跨情境创新与应用意识|

第一章丰富的图形世界 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．把一个长方体包装盒剪开，再平铺成一个平面图形，我们把它叫做这个长方体包装盒的表面展开图．下列四个图形可看做一个长方体包装盒的表面展开图的是（    ） A． B． C． D． 2．下面几何体中，是棱柱的是（   ） A． B． C． D． 3．下列几何体都是由平面围成的是（　　） A．圆锥 B．五棱锥 C．圆柱 D．球 4．小华在学习完《生活中的立体图形》后，用数学的眼光观察自己和同学的铅笔，他发现大部分的铅笔都是六棱柱形的，若用一个平面切割六棱柱，截面形状不可能为（   ） A．四边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 5．把一个直角三角形的两直角边分别是5、6，若绕直角边旋转一周，得到的几何体的体积最小为（    ） A． B． C． D． 6．如图是正方体的表面展开图，现将部分面上分别标注数字，若正方体朝上的面标注的数字是1，则正方体朝下的面标注的数字是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 7．如图是一个正方体包装盒的表面展开图，若在其中的三个面A，B，C上分别填上适当的数，使得A，B，C的数字与其对面数字互为相反数，则B上数字为（   ） A． B．0 C． D．3 8．如图，从9个空白正方形中选出一个，与图中阴影部分的四个正方形一起能够折叠成一个无盖正方体盒子，符合条件的空白正方形共有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 9．一个几何体的表面展开图如图所示，这个几何体是（    ） A．圆柱 B．圆 C．长方体 D．球 10．像牛毛，像花针，像细丝，形象地说明了（    ） A．两点确定一条直线 B．面动成体 C．线动成面 D．点动成线 11．对于棱柱，下列说法错误的是（   ） A．棱柱有个面 B．棱柱有个顶点 C．棱柱有条棱 D．若直棱柱的底面边长都相等，则它的各个侧面面积相等 12．下列图形属于棱柱的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 13．如图是正方体的平面展开图，把它折叠成正方体后，相对面上两个数互为相反数，则的值是________． 14．由几个相同的小正方体组成的立体图形，从正面、右面、上面看到的形状都是，摆这个立体图形至少需要_________个小正方体． 15．如图正方体展开图的六个面写着习近平总书记的六字金句“祖国必须统一”，把展开图折叠成正方体后，有“统”字的面相对的那个面上的字是_____． 16．如图是由若干个棱长为1的小正方体搭成的几何体，从上面看该几何体得到的形状图的面积为______． 17．某正方体的每一个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体的表面上，与“洗”字相对的面上的汉字是___________． 三、解答题 18．如图是一个棱柱形状的食品包装盒的侧面展开图． (1)请写出这个包装盒的几何体的名称：________； (2)若，，，，计算这个多面体的表面积． 19．善于思考的小颖同学随手将手中的一个边长分别为6cm，8cm长方形模具绕其中一条边旋转一周，得到了一个几何体．请你帮小颖同学计算出旋转后几何体的体积．    20．如图所示，我们知道该图不是正方体的表面展开图，请你移动一个小正方形，使其变为正方体的表面展开图．（至少画出三种示意图）    21．【综合与实践——制作收纳盒】 小亮和小丽尝试用家里的闲置纸板制作正方体和长方体形状的收纳盒（纸板厚度及接缝处忽略不计）． 【初步尝试】制作有盖正方体形收纳盒 （1）如图1，将长方形纸板（长80厘米，宽60厘米）分割成12个完全一样的小正方形，剪去多余的小正方形，剩下的6个小正方形刚好可以折叠成一个有盖的正方体形收纳盒．请你在图中画出三种不同的设计方案，剪去的小正方形用阴影表示； 小亮和小丽在操作中发现，制作无盖的长方体形收纳盒可以得到更大的容积，为此，他们开展了进一步的探究． 【实践探究】制作无盖长方体形收纳盒 （2）如图2，小丽和小亮在长方形纸板（长80厘米，宽60厘米）四个角各剪去一个边长为厘米的小正方形（如图中阴影部分所示），再把剩余部分沿图中虚线折叠，刚好折成一个无盖的长方体形收纳盒，这个盒子的容积为______；（用含的代数式表示） （3）在操作中，小亮和小丽发现收纳盒的容积随着的变化而变化．为了探究容积的最大值，小亮和小丽对盒子的高度按整数值从小到大取值，依次计算长方体形收纳盒的容积，得到的数据如下表所示，则和的值分别是______，______； …… 8 9 10 11 12 13 …… 容积 …… 22528 23436 24192 23868 …… 【归纳猜想】长方体形收纳盒容积变化规律 （4）观察表中数据，随着高度的增大，容积有怎样的变化规律？请你估计在哪个范围内取值时容积最大？ 22．综合实践 “长方体纸盒的制作”实践活动 素材 一 走进商场，各种各样的商品琳琅满目，其中很多商品有着形形色色的包装盒．作为吸引顾客的第一道惊喜，厂家对包装盒的设计与制作可谓煞费苦心．包装盒上同样蕴涵着丰富的数学知识，而设计师与企业家们都是数学能手，对包装盒的设计在更优、更省、更美的目标上精益求精． 素材二 某纸箱厂用边长为的正方形纸板设计出两种不同的方案制作长方体盒子用于包装瓷器（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）①图1方式设计制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四个角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来． ②图2方式设计制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四个角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 素材三 包装盒的拆解，我们可以将同一形状的包装盒进行不同方式的拆解，从而得到不同的表面展开图．下面是对一个无盖长方体盒子（它缺一个长为8cm，宽为5cm的长方形盖子）的长、宽、高分别为、、进行拆解，如图是该长方体盒子的一种平面展开图，它的外围周长为．事实上，该长方体盒子的平面展开图还有不少种不同的方法． 任务一 下列图形中，不是无盖正方体盒子的表面展开图的是______（填序号）． 任务二 由材料二可知，图1长方体纸盒的底面周长为_____cm（用含，的代数式表示）． 图2的设计中，如果，计算该长方体纸盒的体积． 任务二 在材料三，这个无盖长方体的其它不同平面展开图中，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值． 23．（一）实践准备 李老师带领七一班综合实践小组进行废物再利用的数学制作活动，他们准备用废弃的宣传单制作纸盒（有盖或无盖）． （二）操作探究 （1）如图是“乐研组”制作的一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面分别标有“南，阳，值，得，三，顾”六个字，则“阳”相对面的文字是_________ （2）“爱数组”准备制作一个无盖的正方体纸盒，则下列_________（填字母）图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒． A．            B． C．            D． （三）尝试应用 （3）如图2，这是一张长为、宽为的长方形包装纸，现要制成牛奶盒子．上下各留宽度均为的一个长方形，中间剩余部分用于制作牛奶盒身．如图3，将牛奶盒身分成四块长方形，其中①③长方形大小相同，②④长方形大小也相同，且②号长方形的宽比①号多．把图3中的包装纸折成图4中的牛奶盒子，想要装下的牛奶是否能成功？为什么？ 24．请查阅资料，了解“虚拟数字人”的研究进展． 《第一章丰富的图形世界》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B D B A A D A D 题号 11 12 答案 A B 1．A 【分析】本题考查几何体的平面展开图，根据长方体的平面展开图的特点：“有四个长方形的侧面和上下两个底面”进行判断即可． 【详解】解：根据长方体展开图的特征，选项A是长方体展开图， 而选项B、C、D不能折叠成长方体，不是长方体展开图． 故选：A． 2．C 【分析】本题考查了几何体的认识，根据球体，棱锥，棱锥，圆柱的概念逐项判断即可求解． 【详解】解：A、是圆柱，不合题意； B、是球体，不合题意； C、是棱柱，符合题意； D、是棱锥，不合题意． 故选：C 3．B 【分析】本题考查立体图形的特征，根据各个几何体的面的特征进行判断即可． 【详解】解：圆柱的侧面是曲面，圆锥的侧面也是曲面，球是有曲面围成的，只有五棱锥是由6个平面围成的， 故选：B． 4．D 【分析】本题主要考查六棱柱的截面，六棱柱的截面的几种情况应熟记． 六棱柱有八个面，截面与其八个面相交最多得八边形，不可能是九边形或多于九边的图形． 【详解】解：用平面去截六棱柱，得的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形、七边形、八边形，不可能为九边形， 故选：D． 5．B 【分析】根据“面动成体”得出所得圆锥体的底面半径和高，由圆锥体体积的计算公式，进行计算即可． 【详解】解：解：将这个直角三角形绕长为5的直角边所在直线旋转一周，可以得到底面半径为6，高为5的圆锥体， 因此它的体积为：； 将这个直角三角形绕长为6的直角边所在直线旋转一周，可以得到底面半径为5，高为6的圆锥体， 因此它的体积为：， 得到的几何体的体积最小为， 故选：B 【点睛】本题考查点、线、面、体，理解“面动成体”是解决问题的前提，掌握圆锥体体积的计算方法是正确解答的关键． 6．A 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字特征．注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 【详解】解：其中面“2”与面“1”相对， 所以正方体朝上的面标注的数字是1，则正方体朝下的面标注的数字为2， 故选：A． 7．A 【分析】本题考查正方体的展开图，相反数．依据正方体展开图的性质确定出相对面，然后依据相反数的定义计算，即可得到答案． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， B与数字3是相对面， 相对面数字互为相反数， B上数字为， 故选：A． 8．D 【分析】本题主要考查了正方体的展开图．解题时勿忘记无盖正方体展开图的各种情形．利用正方体的展开图即可解决问题，共7个． 【详解】解：如图所示：与图中阴影部分的四个正方形一起能够折叠成一个无盖正方体盒子，符合条件的空白正方形共有7个． 故选D． 9．A 【分析】本题主要考查几何体的表面展开图；根据表面展开图得出结论即可． 【详解】解：根据表面展开图得到这个几何体是：圆柱； 故选：A． 10．D 【分析】本题考查了直线的性质，点、线、面、体，根据直线的性质，点、线、面、体之间的关系，即可解答． 【详解】解：“像牛毛，像花针, 像细丝”，密密地斜织着，形象地说明了点动成线， 故选：D． 11．A 【分析】本题考查几何体中的点、棱、面，根据棱柱的点、棱、面特点逐项判断即可． 【详解】解：A、棱柱有个面，此选项说法错误，符合题意； B、棱柱有个顶点，此选项说法正确，不符合题意； C、棱柱有条棱，此选项说法正确，不符合题意； D、若直棱柱的底面边长都相等，则侧面是全等的长方形，故它的各个侧面面积相等，此选项说法正确，不符合题意； 故选：A． 12．B 【分析】本题考查棱柱，掌握相关知识是解决问题的关键．棱柱有两个互相平行且全等的多边形底面，侧面为四边形且相邻边平行，侧棱平行且相等，据此逐项判断即可． 【详解】解：根据棱柱的定义第一个图形是四棱柱， 第四个图形是三棱柱， 第五个图形是五棱柱， 而第二个图形是圆柱，第三个图形是圆锥， ∴共有3个棱柱． 故选：B． 13．8 【分析】本题考查正方体展开图的相对面，相反数，代数式求值，根据正方体展开图的相对面的确定方法同行隔一个，异行Z字形，判断出相对面，再根据只有符号不同的两个数互为相反数求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：由图可知，与是相对面，与是相对面，与3是相对面， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：8． 14．6 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，旨在考查学生的空间想象能力. 【详解】解：根据题目的要求，我们可以设想出一种可能的摆放方式：立体图形可以分为两层摆放，第一层摆2行，每行2个，第二层，前面1行放1个居左，后面1行放1个居右． 这样摆放的立体图形，从正面、右面、上面看到的形状都满足题意． 此时，需要个小正方体． 故答案为： ． 15．必 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形即可得解，熟练掌握正方体展开后的特点是解此题的关键． 【详解】解：依题意，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴有“统”字的面相对的那个面上的字是“必” 故答案为：必 16． 【分析】本题考查从不同方向看几何物体，先得到从上面看的几何体的形状，然后计算面积即可． 【详解】解：从上面看可以看到第二行有个小正方形，第一行有个小正方形， ∴上面看该几何体得到的形状图的面积为， 故答案为：． 17．“戴”/戴 【分析】本题主要考查了正方体展开图，解题的关键是掌握对面的法则． 利用正方体展开图隔一个是对面的法则进行求解即可． 【详解】解：与“洗”字相对的面上的汉字是“戴”， 故答案为：“戴”． 18．(1)三棱柱 (2) 【分析】要考查了三棱柱的展开图与几何体之间的联系和表面积的求法； （1）根据图示可知有三个长方形和2个三角形组成，故可知是三棱柱； （2）两个底面积+侧面积是三棱柱的表面积． 【详解】（1）解：共有3个长方形组成侧面，2个三角形组成底面，故是三棱柱； 故答案为：三棱柱； （2）（2）∵，，，， ∴表面积为． 19．旋转后几何体的体积为或 【分析】分两种情况，以6cm长的边所在直线为轴和以8cm长的边所在直线为轴，根据长方形旋转是圆柱，利用圆柱的体积公式计算可得答案． 【详解】解：以6cm长的边所在直线为轴，旋转所得到的圆柱体体积为：， 以8cm长的边所在直线为轴，旋转所得到的圆柱体的体积为： ． 答：旋转后几何体的体积为或． 【点睛】本题考查了点线面体，利用长方形旋转是圆柱是解题关键． 20． 根据题意作图如下：    【分析】根据正方体的六个面都是正方形，且有两个底面，应上下各一个，所以把E或F的面移动到下面任何位置即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了正方体的表面展开图，关键确定两个底面在侧面的两边． 21． （1）有盖的正方体形收纳盒如白色部分： （2）；（3）24000，24244；（4）容积先变大，后变小．在10到12之间时，容积最大． 【分析】本题主要考查了正方体展开图的认识，代数式表示式，代数式求值等知识． （1）根据正方形的展开图制作有盖正方体形收纳盒即可． （2）分别表示出无盖的长方体形收纳盒的长，宽，高，然后根据长方体体积公式用代数式表示出来即可． （3）把和分别代入（2）长方体体积代数式里面计算即可． （4）通过表中容积的变化可以直接得到结果；由表中容积的最大值得到结果； 【详解】解：（1）略 （2）无盖的长方体形收纳盒长为：，宽为，高为， 则无盖的长方体形收纳盒体积为：． （3）当时， 则， 当时， 则 （4）通过表中容积的变化，可知容积先变大，后变小． 且在10到12之间时，容积最大． 22．任务一：； 任务二：，； 任务三：该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图如下： 【分析】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． 任务一：根据无盖正方体纸盒的展开图求解即可； 任务二：①根据正方形周长公式即可得解；根据长方体的体积公式即可得解； 任务三：根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边画图，再据此求解即可． 【详解】解：任务一：不是无盖正方体盒子的表面展开图的是， 故答案为：； 任务二：图长方体纸盒的底面周长为：， 图的设计中，该长方体纸盒的体积为：， 当，时，该长方体纸盒的体积为：， 故答案为：； 任务三：周长为：． 23．（1）得； （2）C； （3）能成功，理由如下： 牛奶盒身的宽为， 已知②号长方形的宽比①号多， 则①号长方形的宽为， 所以②号长方形的宽为， 此时牛奶盒子的容积为． ∵， ∴装下的牛奶能成功． 【分析】本题主要考查了正方体与长方体展开图的认识，熟知正方体与长方体展开图的特点是解题的关键． （1）正方体展开图中，相对的面的中间一定隔着一个面，据此特点求解即可； （2）制作一个无盖的正方体纸盒，则该纸盒的展开图有5个小正方形，据此可得答案； （3）求出牛奶盒身的宽，再分别求出①和②的宽，进而求出牛奶盒的容积即可得到结论． 【详解】解：（1）由正方体展开图的特点可得“阳”相对面的文字是“得”； （2）∵制作一个无盖的正方体纸盒， ∴该纸盒的展开图有5个小正方形， ∴四个选项中只有C选项符合题意； （3）略 24．虚拟数字人技术正经历从“功能模拟”向“认知智能”与“具身智能”的跨越，从单一的“外观建模”向“多模态交互”的范式转变，实现了“感知-理解-表达”全链路能力的提升．虚拟数字人应用已从泛娱乐领域向千行百业深度渗透． 【详解】略 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $