专题13.3 三角形的内角与外角 培优讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦三角形内角与外角核心知识，系统梳理内角和定理（含证明思路与角度特征）、直角三角形性质与判定、外角定义及性质（外角等于不相邻两内角和、外角和），构建从基础概念到综合应用的学习支架。 资料以分层题型设计（基础必考、培优高频、压轴素养）为特色，融入生活情境（如自行车、潜望镜）与跨学科问题，培养学生用数学眼光抽象几何模型、用数学思维推理角度关系，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升综合解题能力。

专题13.3 三角形的内角与外角 知识点 1：三角形内角和定理 1. 定理内容：三角形三个内角的和等于。符号语言：在中，。 2. 定理证明思路：借助平行线转移内角，构造平角或者同旁内角完成推理，不可以只依靠剪拼、度量（存在实验误差）。 3. 三角形内角角度特征：三角形至少有 2 个锐角，最多 3 个锐角；最多 1 个直角或者 1 个钝角；三角形最大内角不小于。 知识点 2：直角三角形的性质与判定 项目 文字语言 符号语言 性质 直角三角形的两个锐角互余 在中，，则 判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 在中，，则，为直角三角形 补充：直角三角形记作，如直角三角形写作。 知识点 3：三角形的外角 1. 外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 注意：外角顶点必须是三角形顶点，一边是三角形边，另一边是邻边的延长线；一个三角形共 6 个外角，每个顶点 2 个（互为对顶角）。 2. 外角性质（内角和定理推论）① 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和；符号语言：。② 三角形的外角大于任意一个和它不相邻的内角。 3. 三角形外角和：在每个顶点取一个外角，外角和等于。 【基础必考题型】 【题型 1】利用内角和定理（比例、方程思想）求角度 1. 核心知识点   三角形内角和；按比例设未知数，方程思想求解角度。 2. 解题方法技巧   ①出现角度比，设每一份为，用含代数式表示各个内角；   ②列方程：三个内角相加等于，解方程求出再求目标角；   ③求出角度后可以回代检验，三个角之和是否为。 【例题1】.（26-27八年级上·辽宁辽阳·开学考试）一个三角形三个内角度数之比是，则其最大内角的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落到纸片内部的点处．如果，那么________． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，撕掉的角的度数是（     ） A．10° B．40° C．50° D．80° 【变式题1-3】.（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，已知，点分别在上，且．求证：． 【题型 2】直角三角形性质、判定基础应用 1. 核心知识点   直角三角形两锐角互余；两角互余判定直角三角形；符号书写。 2. 解题方法技巧   ①已知直角直接得到另外两个锐角相加等于；   ②证明直角三角形两条路径：直接证明一个内角等于；证明两个内角互余；   ③区分性质（已知直角推角互余）和判定（已知角互余推直角），不要因果颠倒。 【例题2】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·云南昆明·期末）下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（26-27八年级上·甘肃张掖·开学考试）如图，直线与相交于点，点在直线上，于点，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，是的角平分线，于点，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【题型 3】外角概念辨析 + 基础角度计算 1. 核心知识点   三角形外角定义；外角等于不相邻两内角之和；外角与相邻内角互补。 2. 解题方法技巧   ①找外角关键点：顶点在三角形顶点，一条边是三角形延长线；区分 “相邻内角”“不相邻内角”；   ②计算外角优先用 “外角 = 不相邻两内角之和”，不必每次都用减去相邻内角；   ③外角和，不要和内角和混淆。 【例题3】.（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，是的外角，过点作射线，若，，则（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，延长至点D，若，，则的度数为（     ） A．91° B．101° C．136° D．126° 【变式题3-2】.（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分的外角交的延长线于点D，若，则的度数为______________． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·广东茂名·期末）如图，在四边形中，，．直线经过点A，且．点E是直线上一动点（不与点A重合），连接，记直线与直线的交点为F．当点E在直线上运动时，试判断与的数量关系，要求写出你的结论并证明． 【培优高频题型】 【题型 4】内角和与平行线综合（跨基础几何） 1. 核心知识点   三角形内角和定理；平行线同位角、内错角、同旁内角性质。 2. 解题方法技巧   ①平行线转移等角，把已知角迁移进三角形内部；   ②先在三角形内求出未知内角，再利用平行线性质求目标角；   ③遇到折线可以拆分，拆解成三角形 + 平行线组合模型。 【例题4】.（25-26七年级下·江西抚州·期末）如图，B，F，E，C在同一条直线上，，若，求证：． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·湖北武汉·期末）如图，，． (1)证明：； (2)若，平分，直接写出的度数． 【变式题4-2】.（25-26六年级下·山东烟台·期末）如图，直线，，．若，则等于（     ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·河北保定·期中）实践课上，淇淇利用如图所示的四边形纸片做折纸游戏，其中，，，淇淇将纸片沿对折后点恰好落在上的点处． (1)猜想与的位置关系，并说明理由． (2)求的大小． 【题型 5】角平分线、高线与三角形内角综合计算 1. 核心知识点   三角形内角和；角平分线定义；三角形高（垂直，产生直角）；直角三角形两锐角互余。 2. 解题方法技巧   ①高提供条件，可以使用互余快速倒角；   ②角平分线把角分成相等两半，注意倍数关系；   ③记住重要结论：（角平分线，高，，，）；   ④图形没有给图注意审题，钝角三角形高线会落在三角形外部。 【例题5】.（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图所示，在中，点在延长线上，平分，平分，在射线上，平分，若，则_______；_______． 【变式题5-1】.（21-22七年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在中，，，是的平分线，于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，中，是边上的高，，，是的平分线，则的度数为________． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，分别是的中线和高，平分交于点E． (1)若，，求的度数； (2)若，的面积是42，求的面积． 【题型 6】三角形内角和定理的证明与辨析 1. 核心知识点   三角形内角和等于；平行线的性质；平角定义；区分实验操作与严谨几何证明。 2. 解题方法技巧   ①证明内角和常用辅助线：过顶点作对边平行线，转移内角构造平角；   ②剪拼、度量属于实验验证，不能当作严谨几何证明过程；   ③能辨析无效辅助线，判断哪些辅助线不能证明内角和定理。 【例题6】.（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）如图，已知，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为的是（     ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，试说明：． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·河南平顶山·阶段检测）【阅读材料】为了证明“三角形的内角和是”，老师给出了如图所示的四种作辅助线的方法． 【回答问题】 (1)图①，②在证明三角形内角和的过程中，应用的数学思想是_________． A．转化思想    B．整体思想    C．方程思想    D．数形结合思想 (2)请选用图③或图④证明三角形的内角和为． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·宁夏吴忠·阶段检测）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为．现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． (1)（1）如图1，过的顶点A作的平行线，请你证明三角形的内角和为； 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】 (2)健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图2，其中 ①若，，则的度数为____． ②若，，求 的度数． 【题型 7】“8 字型” 倒角模型探究（探究式题型） 1. 核心知识点   三角形内角和；对顶角相等；角度等量代换。 2. 解题方法技巧   ①8 字模型结论：对顶相交形成图形中，；   ②推导方法：两组三角形内角和都是，减去公共对顶角；   ③复杂图形中学会识别隐藏的 8 字模型，简化角度推导，不用反复列方程。 【例题7】.（2026·山东东营·中考真题）随着地摊经济的蓬勃发展，街巷夜市充满了烟火气．某夜市摊主使用的折叠方桌（如图（1））结构稳固、方便收纳，将其展开后可抽象为如图（2）所示的图形．已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，直线，连接、交于点，点、分别在线段、上，连接并延长至点，． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，，求的度数． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，平分，交于点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·四川达州·期末）已知，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，且于E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分交于点F，平分交于点G，求的度数； (3)如图3，P为线段上一点，I为线段上一点，连接，N为的角平分线上一点，且，则，，之间的数量关系是． 【题型 8】折叠问题中的三角形角度计算 1. 核心知识点   折叠前后对应角相等；三角形内角和；外角性质。 2. 解题方法技巧   ①折叠：重合的角大小完全相等，标记等量角；   ②点落在图形内部、外部两种情况，注意区分；   ③把折叠产生新角放入三角形，利用内角 / 外角建立等式求解。 【例题8】.（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则（     ） A． B． C． D． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·山东·期末）如图，在中，，，分别为，上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点落在点处，，分别交边于点，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，长方形纸片中，为边上一点，将纸片沿，折叠，点落在点的位置，点落在点的位置（点在点右侧）．若，则__________． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·河南南阳·期末）在中，点，分别在边，上． (1)如图1，若，沿图中虚线剪去，则 ； (2)如图1，若为任意角，试猜想与的关系，并说明理由； (3)若将沿折叠成如图2所示的形状，请直接写出与的关系． 【题型 9】三角形外角性质的生活情境应用题 1. 核心知识点   三角形外角性质；实际情境抽象几何图形。 2. 解题方法技巧   ①把零件、支架、检测示意图等实物，剥离无关文字，抽象三角形、外角；   ②常用辅助线：延长线段构造三角形外角；   ③“合格、达标” 类题目：计算理论标准角度，和实测角度做对比判断。 【例题9】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，处有一座灯塔． (1)当轮船从点行驶到点时，的度数是多少？ (2)轮船行驶到哪一点时距离灯塔最近？为什么？ (3)根据这一情境，你还能提出哪些问题？ 【变式题9-1】.（25-26六年级下·山东威海·期中）骑自行车就是一种绿色环保的交通方式，如图所示是一辆自行车放在水平地面上的简易示意图，其中A，B，D，C，M五点均在同一平面内，都与地面平行，，．当与平行时，的度数为多少？ 【变式题9-2】.（25-26七年级下·山东济南·期中）图1是某车的侧面示意图，折线段表示后备箱车后盖（可如图打开），过点作地面的垂线段，车后盖的边与平行．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，，与地面平行，，求车后盖打开角的度数． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·山东滨州·期末）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为．现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． (1)如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为； 证明：， ， （    ）， （    ）， （    ） 即三角形的内角和为； 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用1】 (2)健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图2，其中，若，，请直接写出的度数为． 【迁移应用2】 (3)如图3为北斗七星的位置图，将其抽象为图4，北斗七星分别标注为，，，，，，，将，，，，，，，顺次首尾连接．假设，，三点共线，恰好经过点，且，，，求的度数． 【压轴素养题型】 【题型 10】飞镖（燕尾）模型探究（素养探究题） 1. 核心知识点   三角形外角性质；辅助线构造外角；凹四边形角度推导。 2. 解题方法技巧   ①飞镖模型：凹四边形；   ②辅助线两种：连接两点分割三角形；延长一边构造外角；   ③新授课重点掌握辅助线构造推理，不直接套用模型结论。 【例题10】.（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图,在中,点D、E分别在上，相交于点F，； (1)求的度数； (2)求的度数. 【变式题10-1】.（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）如图，中，为边上一点，过作，交于，为边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． (1)平分吗？若是，请证明；若不是，请说明理由； (2)若，，求的度数． 【变式题10-2】.（25-26七年级下·河南洛阳·期末）【模型认识】如图，该图形长得像一个飞镖，故曰“飞镖”模型． 【初步探索】 (1)如图，已知，，，求的度数． 【归纳结论】 (2)、、和的数量关系是________． 【深入探究】 (3)如图，若，，且，直接写出的度数． 【变式题10-3】.（25-26七年级下·北京·期末）已知点C在线段上，点A和点E在线段同侧，且． (1)若： ①如图1，，则__________； ②如图2，分别作、的角平分线并交于点P，则__________； (2)当点E在线段上时，求证：．请在图3中完成下列证明过程： 证明：__________，（______________________________） 又， ． (3)分别作，的角平分线，： ①若，则__________； ②若直线与直线交于点P，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【题型 11】双角平分线模型探究（内角、内外角、双外角） 1. 核心知识点   三角形内角和；外角性质；角平分线定义；从特殊到一般推理。 2. 解题方法技巧   ①双内角平分线：两内角平分线相交，夹角；   ②一内角一外角平分线：夹角；   ③双外角平分线：两外角平分线相交，夹角；   ④同步新授课重点是会推导，不要死记硬背结论，考试需要写出推导过程。 【例题11】.（25-26七年级下·山东聊城·期末）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究： (1)如图1，在中，与的平分线交于点，，则______． (2)如图2，的内角，的平分线与的外角，的平分线交于点，其中，求的度数； (3)如图3，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求_________（用表示）； 【变式题11-1】.（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图①，在中，，，、均是的外角，射线从射线出发，绕点以每秒的速度逆时针旋转，交射线于点．设射线的旋转时间为秒． (1)用含的代数式表示；当点与点重合时，_____． (2)当点在点右侧时，的取值范围是_________________． (3)如图②，、的角平分线交于点，请判断与的数量关系并说明理由． (4)如图③，的角平分线交的反向延长线于点，当的三个内角中，有一个角等于另一个角的倍时，直接写出的值． 【变式题11-2】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）在中，与的角平分线与相交于点P． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，延长至M，延长至N，与的角平分线相交于点Q，若． ①用含的代数式表示的大小为__________°； ②用含的代数式表示的大小为__________°； (3)如图3，在（2）的条件下，延长、交于点R．在中，除外，若一个内角是另一个内角的3倍，直接写出的大小． 【变式题11-3】.（25-26七年级下·吉林·期末）【问题】 (1)如图1，在中，平分，平分． ①若，则______________； ②若，则______________． 【探究】 (2)如图2，在中，，三等分，，三等分．若．则________________； (3)如图3，是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由； 【应用】 (4)如图4，在四边形中，平分，平分外角，连接．若，，则___________度． 【题型 12】跨学科情境题（光学） 1. 核心知识点   三角形内角和、外角、直角互余；跨学科提取几何条件。 2. 解题方法技巧   ①读题剥离物理、生物背景，只抓取角度、垂直、平行几何条件；   ②光学：光线看作直线，转化直角、三角形；   ③把文字条件翻译为几何符号，再进行角度计算。 【例题12】.（25-26七年级下·广东湛江·期中）综合与探究 问题情境：如图1，根据光的反射定律，当一束光线照射到平面镜上发生反射现象时，始终有．潜望镜是从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置． (1)操作猜想：如图2，是一个潜望镜的示意图，、是两面互相平行的镜面，光线照射到镜面上，反射光线为；照射到镜面上，反射光线为．试判断光线和的位置关系，并说明理由． (2)类比探究：如图3，将两块平面镜、的一个端点重合于点，一束光线照射在镜面上，经过两次反射后得到光线．若，，求及的度数． (3)拓展探究：如图4，光线与光线交于点，设两面镜子的夹角，根据光的反射定律，求． 【变式题12-1】.（25-26七年级下·云南昆明·期中）【问题情境】自行车的尾灯自身并不发光，但当强光照射到尾灯上时光线会被强烈地反射回去，从而起到提醒汽车驾驶员的目的．这一效果正是利用了角反射器的原理． 【学科融合】如图1，光的反射遵循反射定律，入射光线经过镜面反射后形成反射光线，是法线，垂直于镜面，其中入射角等于反射角． 【实验探究】如图2，，是两个平面镜，入射光线经过两次反射后，形成反射光线，，且是两次反射法线的交点． (1)若，则__________° (2)试判断入射光线与反射光线是否平行，并说明理由． 【变式题12-2】.（25-26七年级下·上海奉贤·期中）小海同学在做完数学书中的一道题（图1）后产生了疑惑：为什么光线经过镜子反射时，．于是自己查阅资料，开展了光线与镜子夹角的项目探究： 【背景资料】 如图2，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角（）叫做入射角，反射光线与法线的夹角（）叫做反射角．反射角等于入射角，即．这就是光的反射定律．由可得． 【初步探究】 (1)如图3，两块平面镜和相交于点，如果入射光线与反射光线平行，求的度数． 【深入思考】 (2)如图4，两块平面镜的夹角为；光线射到平面镜上，分别经过平面镜两次反射后，进入光线与离开光线形成的夹角为．请写出与之间的数量关系并证明． 【拓展探究】 (3)如图5，有三块平面镜、、，镜子与的夹角，入射光线与平面镜的夹角，入射光线从镜面开始反射，依次经过平面镜、、的三次反射，当反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数． 【变式题12-3】.（25-26七年级下·福建莆田·期中）根据以下思考，探索完成任务． 光的反射规律 问题 背景 科学实验发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，利用这个发现人们发明了许多有用的工具，例如潜望镜（如图1）等． 素材1 图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面平面镜，是平行放置的，光线经过镜子反射时，，． 素材2 射到平面镜上的光线入射光线和反射后的光线反射光线与平面镜所夹的角相等，如图，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则． 素材3 三角形的内角和是180° (1)任务1    数学表达 根据素材1，利用所学的数学知识证明：进入潜望镜的光线与离开潜望镜的光线平行； (2)任务2    数学观察与表达 如果改变两面平面镜的位置，经过两次反射后，入射光线与反射光线之间的位置会随之改变，在生活中就会有不同的应用．如图3，当光线射到平面镜上时，会反射到平面镜上，又被平面镜反射，反射出的光线为．猜想：两面平面镜与具有怎样的位置关系时，入射光线能与反射光线平行（即）？并说明理由． (3)任务3    数学分析与表达 如图4，有三块平面镜，，，入射光线与镜面的夹角，镜面、的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过为正整数，次反射，当第次反射光线与入射光线平行时，求的度数．可用含有的代数式表示） 易错点 1、混淆三角形外角概念，把相邻内角代入外角性质；牢记外角等于不相邻两个内角之和；外角和相邻内角互补（相加等于）。 2、混淆内角和与外角和；注意外角和指每个顶点取一个外角相加等于。 3、直角三角形性质与判定因果颠倒；性质：已知直角锐角互余；判定：已知两角互余直角三角形。 4、几何证明把剪拼、度量实验直接当作严谨证明；剪拼只是实验验证，证明必须依靠平行线、公理定理推理。 5、无图题目漏解，忽略钝角三角形高在外部、动点在射线上等情况，缺少分类讨论。 重点 1、掌握三角形内角和定理，会定理的推理证明；会用方程思想求三角形内角度数。 2、掌握直角三角形性质（两锐角互余）和判定（两角互余的三角形是直角三角形），能够完成简单证明。 3、掌握三角形外角定义、外角性质：外角等于与它不相邻两内角之和，能进行角度计算与简单推理。 难点 1、综合题型：角平分线、高线、平行线结合，多步倒角推理，符号语言规范书写证明步骤。 2、会添加辅助线（延长线段、作平行线）构造三角形，把不规则图形转化为三角形，利用内角、外角解题（飞镖、8 字型）。 3、双角平分线模型推导，理解从特殊到一般，不机械死记模型结论，能够独立写出推导过程。 4、情境、跨学科题目，从实际背景中抽象几何条件，转化为纯几何角度计算问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，在平行四边形中，连接，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，将沿虚线剪去，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，摆放一副三角板（，，），其中，则的度数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．已知的三个内角分别是、、，若，，则________°． 5．如图，沿着的方向，平移至，，，求_______． 6．如图，在中，已知，点为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分，平分，平分，…，以此类推，则，________． 三、解答题 7．在中，已知，，求的度数． 8．如图，，是的两条高． (1)若，，求的度数； (2)，，，求的长． 9．如图，在△中，点、分别在边、上，、相交于点，，，，求的度数．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．           解：（____________________）， （等量代换）． ____________________（____________________）， （____________________） （等量代换） ____________________． 10．已知线段与相交于点，连接，． (1)如图1，若，则的度数为__________，的度数为__________； (2)如图2．若，，求证：； (3)如图3，若，，，求的度数． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.3 三角形的内角与外角 知识点 1：三角形内角和定理 1. 定理内容：三角形三个内角的和等于。符号语言：在中，。 2. 定理证明思路：借助平行线转移内角，构造平角或者同旁内角完成推理，不可以只依靠剪拼、度量（存在实验误差）。 3. 三角形内角角度特征：三角形至少有 2 个锐角，最多 3 个锐角；最多 1 个直角或者 1 个钝角；三角形最大内角不小于。 知识点 2：直角三角形的性质与判定 项目 文字语言 符号语言 性质 直角三角形的两个锐角互余 在中，，则 判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 在中，，则，为直角三角形 补充：直角三角形记作，如直角三角形写作。 知识点 3：三角形的外角 1. 外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 注意：外角顶点必须是三角形顶点，一边是三角形边，另一边是邻边的延长线；一个三角形共 6 个外角，每个顶点 2 个（互为对顶角）。 2. 外角性质（内角和定理推论）① 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和；符号语言：。② 三角形的外角大于任意一个和它不相邻的内角。 3. 三角形外角和：在每个顶点取一个外角，外角和等于。 【基础必考题型】 【题型 1】利用内角和定理（比例、方程思想）求角度 1. 核心知识点   三角形内角和；按比例设未知数，方程思想求解角度。 2. 解题方法技巧   ①出现角度比，设每一份为，用含代数式表示各个内角；   ②列方程：三个内角相加等于，解方程求出再求目标角；   ③求出角度后可以回代检验，三个角之和是否为。 【例题1】.（26-27八年级上·辽宁辽阳·开学考试）一个三角形三个内角度数之比是，则其最大内角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】最大内角对应比例中的最大项，结合三角形内角和按比例求解． 【详解】解：∵三角形内角和为，三个内角度数之比为， ∴总份数为， ∴最大内角度数为． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落到纸片内部的点处．如果，那么________． 【答案】43 【分析】由折叠的性质得出，再由三角形内角和定理得出． 【详解】解：由折叠的性质可知：， ∵， ∴． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，撕掉的角的度数是（     ） A．10° B．40° C．50° D．80° 【答案】C 【分析】本题目考查三角形内角和定理，根据三角形内角和为即可求出撕掉的角的度数． 【详解】根据三角形内角和定理，三角形撕掉的角的度数是：． 【变式题1-3】.（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，已知，点分别在上，且．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】根据三角形的内角和求出，再由“同旁内角互补，两直线平行”进行求解即可． 【详解】略 【题型 2】直角三角形性质、判定基础应用 1. 核心知识点   直角三角形两锐角互余；两角互余判定直角三角形；符号书写。 2. 解题方法技巧   ①已知直角直接得到另外两个锐角相加等于；   ②证明直角三角形两条路径：直接证明一个内角等于；证明两个内角互余；   ③区分性质（已知直角推角互余）和判定（已知角互余推直角），不要因果颠倒。 【例题2】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用三角形内角和为，计算各选项中三角形的内角度数，判断是否存在直角，即可得出结论． 【详解】解：三角形的三个内角满足， A ， ，得， 是直角三角形，不符合题意； B ， ， 是直角三角形，不符合题意； C ， ， 是直角三角形，不符合题意； D ， ， 解得，三角形中不存在的角， 不是直角三角形，符合题意． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·云南昆明·期末）下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的判定，解题的关键是求出三角形中有一个角是． 根据三角形的内角和定理，结合有一个角是的三角形时是直角三角形，进行判断即可． 【详解】解：三角形内角和为， A、，，故是直角三角形，此选项不符合题意； B、设，则，， ，无角，故不是直角三角形，此选项符合题意； C、设，则， ， ，故是直角三角形，此选项不符合题意； D、，又， ，即，，故是直角三角形，此选项不符合题意； 故选：B． 【变式题2-2】.（26-27八年级上·甘肃张掖·开学考试）如图，直线与相交于点，点在直线上，于点，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直的定义可知，根据直角三角形的两个锐角互余可以求出，根据两直线平行，同位角相等即可求出的度数． 【详解】解：， ， 在中，， ， ， ， ． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，是的角平分线，于点，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，再根据角平分线定义求出，然后根据，代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ， ， ， 又 ∵是的角平分线， ， ． 【题型 3】外角概念辨析 + 基础角度计算 1. 核心知识点   三角形外角定义；外角等于不相邻两内角之和；外角与相邻内角互补。 2. 解题方法技巧   ①找外角关键点：顶点在三角形顶点，一条边是三角形延长线；区分 “相邻内角”“不相邻内角”；   ②计算外角优先用 “外角 = 不相邻两内角之和”，不必每次都用减去相邻内角；   ③外角和，不要和内角和混淆。 【例题3】.（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，是的外角，过点作射线，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，延长至点D，若，，则的度数为（     ） A．91° B．101° C．136° D．126° 【答案】B 【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和直接求解即可． 【详解】解：是的一个外角， ． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分的外角交的延长线于点D，若，则的度数为______________． 【答案】95 【分析】由角平分线的定义可得，由三角形外角的定义及性质可得，最后再由三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵平分的外角交的延长线于点D，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·广东茂名·期末）如图，在四边形中，，．直线经过点A，且．点E是直线上一动点（不与点A重合），连接，记直线与直线的交点为F．当点E在直线上运动时，试判断与的数量关系，要求写出你的结论并证明． 【答案】解：与的数量关系是：或． 证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 分两种情况讨论∶ ①当点E在点A的右侧时∶ 在中，， ∵是的外角， ∴， 即． ②当点E在点A的左侧时， 在中，， ∵是的外角， ∴． 即：． 综上所述，与的数量关系为或． 【分析】先利用平行线的性质和平角的定义得出，然后分当点E在点A的右侧时和当点E在点A的左侧时，当点E在点A的右侧时，由对顶角相等得出，然后分两种情况，利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：略． 【培优高频题型】 【题型 4】内角和与平行线综合（跨基础几何） 1. 核心知识点   三角形内角和定理；平行线同位角、内错角、同旁内角性质。 2. 解题方法技巧   ①平行线转移等角，把已知角迁移进三角形内部；   ②先在三角形内求出未知内角，再利用平行线性质求目标角；   ③遇到折线可以拆分，拆解成三角形 + 平行线组合模型。 【例题4】.（25-26七年级下·江西抚州·期末）如图，B，F，E，C在同一条直线上，，若，求证：． 【答案】证明：，，，， ， ∴． 【分析】根据三角形内角和定理并结合题意得出，再结合平行线的判定定理即可得证． 【详解】略． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·湖北武汉·期末）如图，，． (1)证明：； (2)若，平分，直接写出的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据平行线性质推出，再结合题意进行等量代换推出，进而即可证明； （2）利用角平分线定义求出，进而得到，再根据求解，即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：平分， ， ， 结合（1）可知， ， ． 【变式题4-2】.（25-26六年级下·山东烟台·期末）如图，直线，，．若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点B作，利用平行线的判定和性质，求解即可； 【详解】解：过点B作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵，． ∴， ， ∴； 【变式题4-3】.（25-26七年级下·河北保定·期中）实践课上，淇淇利用如图所示的四边形纸片做折纸游戏，其中，，，淇淇将纸片沿对折后点恰好落在上的点处． (1)猜想与的位置关系，并说明理由． (2)求的大小． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据折叠的性质以及平行线的判定即可证明； （2）先根据折叠的性质得到，，再由三角形内角和定理求解，最后由平行线的性质求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵ ∴ 由折叠可得， ∵， ∴ ∴ ∴； （2）解：由折叠可得，， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ 【题型 5】角平分线、高线与三角形内角综合计算 1. 核心知识点   三角形内角和；角平分线定义；三角形高（垂直，产生直角）；直角三角形两锐角互余。 2. 解题方法技巧   ①高提供条件，可以使用互余快速倒角；   ②角平分线把角分成相等两半，注意倍数关系；   ③记住重要结论：（角平分线，高，，，）；   ④图形没有给图注意审题，钝角三角形高线会落在三角形外部。 【例题5】.（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图所示，在中，点在延长线上，平分，平分，在射线上，平分，若，则_______；_______． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的定义、平角的定义、三角形内角和定理． 根据角平分线的定义得到，，再利用三角形内角和定理求出，最后根据三角形内角和定理求出的度数；根据角平分线的定义得到，，继而得到，再利用平角的定义得到，进而根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∵点在延长线上， ∴， ∴， ∴， ∵，在射线上， ∴， ∴． 【变式题5-1】.（21-22七年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在中，，，是的平分线，于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义可求出的度数，再根据三角形内角和定理和垂线的定义求出的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，中，是边上的高，，，是的平分线，则的度数为________． 【答案】 【分析】先根据角的和差关系求出的度数，再在中，利用三角形的内角和定理求出，结合角平分线的定义求出，最后根据三角形的内角和定理求解． 【详解】解：，， ∴， ∵是边上的高， ， ， 是的平分线， ， ∴, ∴． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，分别是的中线和高，平分交于点E． (1)若，，求的度数； (2)若，的面积是42，求的面积． 【答案】(1) (2)24 【分析】（1）先求出的度数，再求出的度数，然后利用三角形的内角和定理求解即可； （2）先求出的面积，再得出，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵是的中线，的面积是42， ∴， ∵的边上的高与的边上的高相等，且， ∴， 又∵， ∴， 即的面积为24． 【题型 6】三角形内角和定理的证明与辨析 1. 核心知识点   三角形内角和等于；平行线的性质；平角定义；区分实验操作与严谨几何证明。 2. 解题方法技巧   ①证明内角和常用辅助线：过顶点作对边平行线，转移内角构造平角；   ②剪拼、度量属于实验验证，不能当作严谨几何证明过程；   ③能辨析无效辅助线，判断哪些辅助线不能证明内角和定理。 【例题6】.（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）如图，已知，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：A、如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； B、如图， ∵， ∴， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； C、如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； D、无法证明三角形的内角和为，故本选项符合题意 【变式题6-1】.（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，试说明：． 【答案】解：过点作， 则，， 因为， 所以． 【分析】过点作，则，，根据平角的定义即可得出结论． 【详解】略 【变式题6-2】.（25-26七年级下·河南平顶山·阶段检测）【阅读材料】为了证明“三角形的内角和是”，老师给出了如图所示的四种作辅助线的方法． 【回答问题】 (1)图①，②在证明三角形内角和的过程中，应用的数学思想是_________． A．转化思想    B．整体思想    C．方程思想    D．数形结合思想 (2)请选用图③或图④证明三角形的内角和为． 【答案】(1)A (2)选用③证明三角形的内角和为，理由如下： ∵，， ∴，，，， ∴， 由平角的性质可得，， ∴，即三角形的内角和为． 选用④证明三角形的内角和为，理由如下： 如图所示，延长，在延长线上取一点， ∵， ∴，． 又， ∴， 即三角形的内角和为． 【分析】（1）证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角． （2）选用③证明三角形的内角和为，根据平行线的性质得到，，，，得到，再根据平角的性质即可求解； 选用④证明三角形的内角和为，延长，在延长线上取一点，根据平行线的性质可求得，，结合，即可证明结论． 【详解】（1）解：证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角，用到了转化思想，A选项符合题意； （2）略 【点睛】本题主要考查平行线的性质和三角形内角和定理，利用转化思想将三角形的内角和转化为平角是解题的关键． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·宁夏吴忠·阶段检测）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为．现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． (1)（1）如图1，过的顶点A作的平行线，请你证明三角形的内角和为； 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】 (2)健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图2，其中 ①若，，则的度数为____． ②若，，求 的度数． 【答案】(1) 证明：， ，， ， ， 即三角形的内角和为； (2)①；② 【分析】（1）根据平行线的性质和平角的定义，即可证明结论； （2）①过点作，由平行线的性质，得出，，即可求出的度数； ②根据平行线的性质，得出，，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：①如图，过点作， ， ， ， ， ； ②， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【题型 7】“8 字型” 倒角模型探究（探究式题型） 1. 核心知识点   三角形内角和；对顶角相等；角度等量代换。 2. 解题方法技巧   ①8 字模型结论：对顶相交形成图形中，；   ②推导方法：两组三角形内角和都是，减去公共对顶角；   ③复杂图形中学会识别隐藏的 8 字模型，简化角度推导，不用反复列方程。 【例题7】.（2026·山东东营·中考真题）随着地摊经济的蓬勃发展，街巷夜市充满了烟火气．某夜市摊主使用的折叠方桌（如图（1））结构稳固、方便收纳，将其展开后可抽象为如图（2）所示的图形．已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据邻补角的性质得到，再利用两直线平行，内错角相等得到，结合三角形内角和求出，进而利用对顶角相等求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，直线，连接、交于点，点、分别在线段、上，连接并延长至点，． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由如下： 因为， 所以， 因为， 所以， 所以． (2) 【分析】（1）由得到，结合，得到，即可得证结论； （2）由垂直的定义得到，则，根据邻补角互补求出，从而根据平行线的性质求出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，平分，交于点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、垂线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，再利用角平分线的定义求出的度数，进而求出的度数，利用垂线的定义结合三角形内角和定理求出的度数，从而利用角之间的关系求解即可． 【详解】解：如图，设、交于点G， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·四川达州·期末）已知，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，且于E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分交于点F，平分交于点G，求的度数； (3)如图3，P为线段上一点，I为线段上一点，连接，N为的角平分线上一点，且，则，，之间的数量关系是． 【答案】(1)证明：如图1中，过E作． ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) (3)或． 【分析】（1）如图1中，过E作．利用平行线的性质即可解决问题． （2）如图2中，作，，设，，可得，证明，，推出即可解决问题． （3）分两种情形分别画出图形求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图2中，作，， 设，， 由（1）知：，， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ； （3）解：如图，设交于． 当点N在内部时， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵， ． 当点在直线的下方时， ∵， ∴； ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 综上所述：或． 【题型 8】折叠问题中的三角形角度计算 1. 核心知识点   折叠前后对应角相等；三角形内角和；外角性质。 2. 解题方法技巧   ①折叠：重合的角大小完全相等，标记等量角；   ②点落在图形内部、外部两种情况，注意区分；   ③把折叠产生新角放入三角形，利用内角 / 外角建立等式求解。 【例题8】.（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据四边形内角和求出的度数，再利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·山东·期末）如图，在中，，，分别为，上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点落在点处，，分别交边于点，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据平角定义可得，然后利用折叠的性质可得：，，从而利用三角形的内角和可得，进而可得，最后利用平角定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，长方形纸片中，为边上一点，将纸片沿，折叠，点落在点的位置，点落在点的位置（点在点右侧）．若，则__________． 【答案】/度 【分析】设，，用两种方法表示，求出的值，进而解题． 【详解】解：设，， 则，， ∵， ∴，， ∵， ， ∴， 化简得， ∴． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·河南南阳·期末）在中，点，分别在边，上． (1)如图1，若，沿图中虚线剪去，则 ； (2)如图1，若为任意角，试猜想与的关系，并说明理由； (3)若将沿折叠成如图2所示的形状，请直接写出与的关系． 【答案】(1) (2)与的关系：， 理由：在中， ， 在四边形中，， ． (3)与的关系： 【分析】（1）在中得．由平角得，，相加得． （2）在中由内角和得；在四边形中由内角和得，代入得． （3）由折叠得，．由平角定义得，，相加得．在中，代入得． 【详解】（1）解：在中，， ，， ． （2）略． （3）解：与的关系： 由折叠的性质可知：，． ， ， ， 【题型 9】三角形外角性质的生活情境应用题 1. 核心知识点   三角形外角性质；实际情境抽象几何图形。 2. 解题方法技巧   ①把零件、支架、检测示意图等实物，剥离无关文字，抽象三角形、外角；   ②常用辅助线：延长线段构造三角形外角；   ③“合格、达标” 类题目：计算理论标准角度，和实测角度做对比判断。 【例题9】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，处有一座灯塔． (1)当轮船从点行驶到点时，的度数是多少？ (2)轮船行驶到哪一点时距离灯塔最近？为什么？ (3)根据这一情境，你还能提出哪些问题？ 【答案】(1) (2)当轮船行驶到点C的正南方时距离灯塔最近，因为垂线段最短 (3)当轮船行驶到距离灯塔最近的位置时，的度数是多少？（答案不唯一） 【分析】（1）根据三角形外角的性质计算即可； （2）根据垂线段最短作答即可； （3）再提出一个问题即可． 【详解】（1）解： ， ∴当轮船从点行驶到点时，的度数是． （2）略 （3）略 【变式题9-1】.（25-26六年级下·山东威海·期中）骑自行车就是一种绿色环保的交通方式，如图所示是一辆自行车放在水平地面上的简易示意图，其中A，B，D，C，M五点均在同一平面内，都与地面平行，，．当与平行时，的度数为多少？ 【答案】 【分析】根据已知易得，然后利用平行线的性质可得，再利用三角形内角和定理可得，最后利用平行线的性质可得，即可解答． 【详解】解：∵都与地面平行， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·山东济南·期中）图1是某车的侧面示意图，折线段表示后备箱车后盖（可如图打开），过点作地面的垂线段，车后盖的边与平行．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，，与地面平行，，求车后盖打开角的度数． 【答案】70度 【分析】因为，，，所以可先利用平行线的性质推导相关角度关系求出，进而得出的度数．因为已知，，所以可先在中利用三角形内角和定理求出的度数．最后根据求解． 【详解】∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴ ． ∴． ∵，， ∴． ∴ ． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·山东滨州·期末）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为．现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． (1)如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为； 证明：， ， （    ）， （    ）， （    ） 即三角形的内角和为； 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用1】 (2)健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图2，其中，若，，请直接写出的度数为． 【迁移应用2】 (3)如图3为北斗七星的位置图，将其抽象为图4，北斗七星分别标注为，，，，，，，将，，，，，，，顺次首尾连接．假设，，三点共线，恰好经过点，且，，，求的度数． 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；平角的定义；；等量代换 (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质及平角等于180度证明即可； （2）作，可得，从而，然后根据求解即可； （3）过点作，证明，可得，，，结合，，整理可得答案． 【详解】（1）略； （2）解：如图，作， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 【压轴素养题型】 【题型 10】飞镖（燕尾）模型探究（素养探究题） 1. 核心知识点   三角形外角性质；辅助线构造外角；凹四边形角度推导。 2. 解题方法技巧   ①飞镖模型：凹四边形；   ②辅助线两种：连接两点分割三角形；延长一边构造外角；   ③新授课重点掌握辅助线构造推理，不直接套用模型结论。 【例题10】.（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图,在中,点D、E分别在上，相交于点F，； (1)求的度数； (2)求的度数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形外角的性质即可求解； （2）利用对顶角相等及三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：∵是的外角, ∴， 即； （2）解： ， 即． 【变式题10-1】.（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）如图，中，为边上一点，过作，交于，为边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． (1)平分吗？若是，请证明；若不是，请说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)是， 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分； (2) 【分析】（1）根据得到，，结合，得到即可． （2）先求得，结合，三角形外角性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式题10-2】.（25-26七年级下·河南洛阳·期末）【模型认识】如图，该图形长得像一个飞镖，故曰“飞镖”模型． 【初步探索】 (1)如图，已知，，，求的度数． 【归纳结论】 (2)、、和的数量关系是________． 【深入探究】 (3)如图，若，，且，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接并延长到点E，由三角形外角的性质可得，，则可推出，据此代入求解即可； （2）由（1）可得答案； （3）由（1）得，，求出的度数，则可得到的度数，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图1所示，连接并延长到点E， ∴，， ∴， ∵，，， ∴； （2）解；由（1）可得； （3）解：由（1）得， ， ∵，， ∴， ∵且， ∴， ∴． 【变式题10-3】.（25-26七年级下·北京·期末）已知点C在线段上，点A和点E在线段同侧，且． (1)若： ①如图1，，则__________； ②如图2，分别作、的角平分线并交于点P，则__________； (2)当点E在线段上时，求证：．请在图3中完成下列证明过程： 证明：__________，（______________________________） 又， ． (3)分别作，的角平分线，： ①若，则__________； ②若直线与直线交于点P，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；② (2)；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 (3)①；② 【分析】（1）①根据三角形的内角和计算； ②根据角平分线的定义和三角形的内角和解题即可； （2）利用三角形的外角的性质解题； （3）①用（2）的方法，同理可得，结合角平分线的定义得到，，根据平行线的性质推出，列方程计算即可； ②根据角平分线的定义和三角形的内角和可得到， ，结合计算即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴； ②如图，由①知， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ， ∴ ； （2）略 （3）解：①如图，同理可得， ∵， ∴； 由题意知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； ②如图， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ， ∴ ． 【题型 11】双角平分线模型探究（内角、内外角、双外角） 1. 核心知识点   三角形内角和；外角性质；角平分线定义；从特殊到一般推理。 2. 解题方法技巧   ①双内角平分线：两内角平分线相交，夹角；   ②一内角一外角平分线：夹角；   ③双外角平分线：两外角平分线相交，夹角；   ④同步新授课重点是会推导，不要死记硬背结论，考试需要写出推导过程。 【例题11】.（25-26七年级下·山东聊城·期末）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究： (1)如图1，在中，与的平分线交于点，，则______． (2)如图2，的内角，的平分线与的外角，的平分线交于点，其中，求的度数； (3)如图3，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求_________（用表示）； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理，可得，再根据角平分线的定义，可得，最后根据三角形内角和定理，即可求解； （2）根据三角形的外角的性质，可得，再根据角平分线的定义，可得，即可求解； （3）根据外角的性质和三角形内角和定理，易得，再根据角平分线的定义和三角形内角和定理，即可得到． 【详解】（1）解：， ， 与的平分线交于点， ，， ， ； （2）解：， ，即， 的平分线与的平分线交于点， ，， ， ； （3）解：，，， ， 、的平分线交于点， ，， ． 【变式题11-1】.（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图①，在中，，，、均是的外角，射线从射线出发，绕点以每秒的速度逆时针旋转，交射线于点．设射线的旋转时间为秒． (1)用含的代数式表示；当点与点重合时，_____． (2)当点在点右侧时，的取值范围是_________________． (3)如图②，、的角平分线交于点，请判断与的数量关系并说明理由． (4)如图③，的角平分线交的反向延长线于点，当的三个内角中，有一个角等于另一个角的倍时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3)解：，理由为： ∵是的外角， ∴， ∵、的角平分线交于点P， ∴，， ∴； (4)t的值为或 【分析】（1）根据运动可以得到的度数，然后利用方程求出值即可； （2）根据动线的位置确定，且不超过时的，列不等式组解题即可； （3）由角平分线的定义得到，，然后利用三角形外角的性质得到结论即可； （4）先求出、、的度数，分为、、和四种情况分别解题即可． 【详解】（1）解：∵射线从射线出发．绕点A以每秒的速度逆时针旋转， ∴； ∵，， ∴， 当点E与点C重合时， ∴，解得； （2）若要与射线相交， 则， 当点E在点C右侧时， ， 解得， （3）略 （4）解：∵， ∴， 又∵和是和的平分线， ∴，， ∴， ∴， 当时，则，解得； 当时，则，解得(舍去)； 当时，则，解得(舍去)； 当时，则，解得； 综上所述，t的值为，． 【变式题11-2】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）在中，与的角平分线与相交于点P． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，延长至M，延长至N，与的角平分线相交于点Q，若． ①用含的代数式表示的大小为__________°； ②用含的代数式表示的大小为__________°； (3)如图3，在（2）的条件下，延长、交于点R．在中，除外，若一个内角是另一个内角的3倍，直接写出的大小． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再利用三角形内角和定理求解即可； （2）根据三角形内角和定理可得，进而得到；①②利用角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可； （3）如图：延长至D，利用角平分线的定义、三角形外角的性质可得，再结合，然后分和两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，，点P是和的平分线的交点， ∴，， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴，， ①∵与的角平分线与相交于点P， ∴，， ∴， ∵， ∴． ②∵与的角平分线相交于点Q， ∴，， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图：延长至D， ∵为的外角的角平分线， ∴, ∵，, ∴, ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即； 由（2）可知 ∵在中，除外，若一个内角是另一个内角的3倍， ∴①当时，即，解得：； ②当时，即，解得：； 综上所述，的度数是或． 【变式题11-3】.（25-26七年级下·吉林·期末）【问题】 (1)如图1，在中，平分，平分． ①若，则______________； ②若，则______________． 【探究】 (2)如图2，在中，，三等分，，三等分．若．则________________； (3)如图3，是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由； 【应用】 (4)如图4，在四边形中，平分，平分外角，连接．若，，则___________度． 【答案】(1)①；②； (2) (3)解：．理由如下： 由三角形的外角性质得，， ， 是与外角的平分线和的交点， ，， ， ， ； (4) 【分析】（1）①利用三角形的内角和定理求出，再利用角平分线的定义求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解； ②将的度数换成，然后求解即可； （2）利用三角形的内角和等于求出，再利用三等分角求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解； （3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出和，再根据角平分线的定义可得，然后整理即可得解； （4）延长和交于M，延长和交于N，由三角形的外角性质求出，由（3）的结论即可求出，由三角形的外角性质即可求出． 【详解】（1）解：①， ， 平分，平分， ，， ， ； ②由三角形的内角和定理得，， 平分，平分， ，， ， ； （2）解：由三角形的内角和定理得，， ，三等分，，三等分， ，， ， ； （3）略； （4）解：如图，延长和交于M，延长和交于N， ∵平分，平分外角， ∴由（3）的结论可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【题型 12】跨学科情境题（光学） 1. 核心知识点   三角形内角和、外角、直角互余；跨学科提取几何条件。 2. 解题方法技巧   ①读题剥离物理、生物背景，只抓取角度、垂直、平行几何条件；   ②光学：光线看作直线，转化直角、三角形；   ③把文字条件翻译为几何符号，再进行角度计算。 【例题12】.（25-26七年级下·广东湛江·期中）综合与探究 问题情境：如图1，根据光的反射定律，当一束光线照射到平面镜上发生反射现象时，始终有．潜望镜是从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置． (1)操作猜想：如图2，是一个潜望镜的示意图，、是两面互相平行的镜面，光线照射到镜面上，反射光线为；照射到镜面上，反射光线为．试判断光线和的位置关系，并说明理由． (2)类比探究：如图3，将两块平面镜、的一个端点重合于点，一束光线照射在镜面上，经过两次反射后得到光线．若，，求及的度数． (3)拓展探究：如图4，光线与光线交于点，设两面镜子的夹角，根据光的反射定律，求． 【答案】(1)，理由见解析 (2)； (3) 【分析】（1）利用光的反射定律，结合内错角相等得到反射角相关的角的关系，再依据平行线的判定定理判断和的位置关系； （2）利用平角的性质求出的度数，根据平行线的性质求出的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数； （3）根据三角形内角和定理求出，再根据反射定律推出的度数，结合平角定义、三角形内角和定理计算的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： 由题意得：、， ， ， ， 、， ， ； （2）解：由题意得：、， ， ， ， ， ； （3）解：由题意得：、， ， ， ， ． 【变式题12-1】.（25-26七年级下·云南昆明·期中）【问题情境】自行车的尾灯自身并不发光，但当强光照射到尾灯上时光线会被强烈地反射回去，从而起到提醒汽车驾驶员的目的．这一效果正是利用了角反射器的原理． 【学科融合】如图1，光的反射遵循反射定律，入射光线经过镜面反射后形成反射光线，是法线，垂直于镜面，其中入射角等于反射角． 【实验探究】如图2，，是两个平面镜，入射光线经过两次反射后，形成反射光线，，且是两次反射法线的交点． (1)若，则__________° (2)试判断入射光线与反射光线是否平行，并说明理由． 【答案】(1)20 (2) 解：；理由如下： ∵，， 即， ∴， ∵， ∴， ∴ 【分析】（1）要求就是要求，那么放在中来看，只要知道即可，而，问题就迎刃而解了； （2）这一问利用两个平角的和减去四个小角得到同旁内角（）互补，从而说明两直线平行． 【详解】（1）解：∵， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴； （2）略 【变式题12-2】.（25-26七年级下·上海奉贤·期中）小海同学在做完数学书中的一道题（图1）后产生了疑惑：为什么光线经过镜子反射时，．于是自己查阅资料，开展了光线与镜子夹角的项目探究： 【背景资料】 如图2，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角（）叫做入射角，反射光线与法线的夹角（）叫做反射角．反射角等于入射角，即．这就是光的反射定律．由可得． 【初步探究】 (1)如图3，两块平面镜和相交于点，如果入射光线与反射光线平行，求的度数． 【深入思考】 (2)如图4，两块平面镜的夹角为；光线射到平面镜上，分别经过平面镜两次反射后，进入光线与离开光线形成的夹角为．请写出与之间的数量关系并证明． 【拓展探究】 (3)如图5，有三块平面镜、、，镜子与的夹角，入射光线与平面镜的夹角，入射光线从镜面开始反射，依次经过平面镜、、的三次反射，当反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) ，过程如下： 如图所示： 依题意，得， ∵， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和性质，平角的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合反射角等于入射角，得出，再根据平行线的性质以及三角形内角和性质进行分析，即可作答． （2）同理得，再根据平角的性质以及三角形内角和性质进行分析，即可作答． （3）先根据反射角等于入射角，平角的性质以及三角形内角和性质，得出，，再把数值代入计算，又因为，，故，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： 依题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 在中，． （2）解：略； （3）解：依题意，如图所示： 则， ∴ ∵， 则， ∴， 则， ∴， 过点作， ∵反射光线与入射光线平行， ∴， 即， ∴， 则， 即， ∵，， ∴， 即． 【变式题12-3】.（25-26七年级下·福建莆田·期中）根据以下思考，探索完成任务． 光的反射规律 问题 背景 科学实验发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，利用这个发现人们发明了许多有用的工具，例如潜望镜（如图1）等． 素材1 图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面平面镜，是平行放置的，光线经过镜子反射时，，． 素材2 射到平面镜上的光线入射光线和反射后的光线反射光线与平面镜所夹的角相等，如图，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则． 素材3 三角形的内角和是180° (1)任务1    数学表达 根据素材1，利用所学的数学知识证明：进入潜望镜的光线与离开潜望镜的光线平行； (2)任务2    数学观察与表达 如果改变两面平面镜的位置，经过两次反射后，入射光线与反射光线之间的位置会随之改变，在生活中就会有不同的应用．如图3，当光线射到平面镜上时，会反射到平面镜上，又被平面镜反射，反射出的光线为．猜想：两面平面镜与具有怎样的位置关系时，入射光线能与反射光线平行（即）？并说明理由． (3)任务3    数学分析与表达 如图4，有三块平面镜，，，入射光线与镜面的夹角，镜面、的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过为正整数，次反射，当第次反射光线与入射光线平行时，求的度数．可用含有的代数式表示） 【答案】(1) 证明 ， ， ， ， ， 即：， ； (2) 任务2：，理由如下，如图 ， ， ， ， ， ， ， ， ； (3)的度数为或． 【分析】任务1：因为与平行，所以可得；因为，所以可推出；利用平角定义，计算出和的度数关系，再根据平行线的判定定理证明． 任务2：先猜想与的位置关系为垂直；设与的夹角为，利用光的反射规律得到角的等量关系，结合三角形内角和定理，推导当时的度数，验证猜想． 任务3：分两种情况讨论；每种情况中，先根据光的反射规律得到相关角的度数，再结合已知角的度数，利用平行线的性质、三角形内角和定理，推导的度数． 【详解】（1）略 （2）略 （3）任务3：①当时，如图： ， ， ， ， ， ， ， ， 由内角和得； ②当时，如果在边反射后与平行，则，与题意不符； 则只能在边反射后与平行， 如图4所示： ， ， 由，（1）的结论可得， ， 则． 综上所述：的度数为或． 易错点 1、混淆三角形外角概念，把相邻内角代入外角性质；牢记外角等于不相邻两个内角之和；外角和相邻内角互补（相加等于）。 2、混淆内角和与外角和；注意外角和指每个顶点取一个外角相加等于。 3、直角三角形性质与判定因果颠倒；性质：已知直角锐角互余；判定：已知两角互余直角三角形。 4、几何证明把剪拼、度量实验直接当作严谨证明；剪拼只是实验验证，证明必须依靠平行线、公理定理推理。 5、无图题目漏解，忽略钝角三角形高在外部、动点在射线上等情况，缺少分类讨论。 重点 1、掌握三角形内角和定理，会定理的推理证明；会用方程思想求三角形内角度数。 2、掌握直角三角形性质（两锐角互余）和判定（两角互余的三角形是直角三角形），能够完成简单证明。 3、掌握三角形外角定义、外角性质：外角等于与它不相邻两内角之和，能进行角度计算与简单推理。 难点 1、综合题型：角平分线、高线、平行线结合，多步倒角推理，符号语言规范书写证明步骤。 2、会添加辅助线（延长线段、作平行线）构造三角形，把不规则图形转化为三角形，利用内角、外角解题（飞镖、8 字型）。 3、双角平分线模型推导，理解从特殊到一般，不机械死记模型结论，能够独立写出推导过程。 4、情境、跨学科题目，从实际背景中抽象几何条件，转化为纯几何角度计算问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，在平行四边形中，连接，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质得到，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴． 2．如图，在中，，将沿虚线剪去，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合三角形内角和性质得出，再根据四边形内角和为列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴． 3．如图所示，摆放一副三角板（，，），其中，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由平行线性质及三角形的内角和求得，再利用三角形内角和定理求出，最后根据邻补角互补算出∠α的度数． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 二、填空题 4．已知的三个内角分别是、、，若，，则________°． 【答案】 80 【详解】解：∵三角形内角和为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 5．如图，沿着的方向，平移至，，，求_______． 【答案】 【分析】由三角形内角和定理可得，再利用平移的性质即可解答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵沿着的方向，平移至， ∴． 6．如图，在中，已知，点为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分，平分，平分，…，以此类推，则，________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得的度数，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理即可求出的度数，同样的方法求出的度数，然后归纳类推出一般规律，由此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 同理可得 ， 归纳类推得，其中n为正整数， ∴． 三、解答题 7．在中，已知，，求的度数． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：在中，，， 又， 所以 解得． 8．如图，，是的两条高． (1)若，，求的度数； (2)，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的高线定义和三角形的内角和定理求得 ，，再根据平角定义即可求解； （2）根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：是的高线， ． ， ． 同理， ． （2）解：，是的两条高， ，， ， ． 9．如图，在△中，点、分别在边、上，、相交于点，，，，求的度数．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．           解：（____________________）， （等量代换）． ____________________（____________________）， （____________________） （等量代换） ____________________． 【答案】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；；三角形的内角和等于；等式的性质；． 【详解】略 10．已知线段与相交于点，连接，． (1)如图1，若，则的度数为__________，的度数为__________； (2)如图2．若，，求证：； (3)如图3，若，，，求的度数． 【答案】(1)， (2)证明：在与中，， ∵， ∴， ， ， ，， ， ； (3) 【分析】（1）根据三角形内角和及对顶角可进行求解； （2）根据三角形内角和及对顶角相等可得，则有，然后根据三角形外角的性质可进行求证； （3）由（1）得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：在中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：如下图， ，， ，， 由（1）得，， 两式相加，得， 即， ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $