7.3.2 三角函数的图象与性质（讲义，知识点&10大题型&刷好题）高一数学苏教版必修第一册

第七章 三角函数 7.3.2 三角函数的图象与性质 课标要点 1、能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象 2、用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性(对称性)、单调性和最大(小)值等性质．进一步掌握正弦函数、余弦函数的图象及性质 3、能画出函数的图象，并能借助图象理解函数在上的性质 4、会利用正切函数的单调性比较函数值的大小 学习重难点 重点：1.利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线 2.正切函数图象的画法 3.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象及性质 难点：1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象及性质的运用 知识点正弦函数图象及其画法（重点） 1、正弦函数,的图象叫做正弦曲线. 2、正弦函数图象的画法 (1)几何法: ①在单位圆上,将点绕着点旋转弧度至点,根据正弦函数的定义,点的纵坐标.由此,以为横坐标,为纵坐标画点,即得到函数图象上的点. ②将函数,的图象不断向左、向右平行移动(每次移动个单位长度). (2)“五点法”:在函数,的图象上,以下五个点: ，，，， 在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点,函数,的图象形状就基本确定了.因此,在精确度要求不高时,常先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,得到正弦函数的简图. 特别提醒 1）五点法画出五个点后用光滑的曲线连接，不能用线段连接。 随学随练 1．利用“五点法”画出函数 在长度为一个周期的闭区间的简图． 列表: x y 作图: 知识点余弦函数图象及其画法（重点） 余弦函数,的图象叫做余弦曲线. 知识点04：余弦函数图象的画法 (1)要得到,的图象,只需把,的图象向左平移个单位长度即可,这是因为. (2)用“五点法”:画余弦函数在上的图象时,所取的五个关键点分别为，，，，再用光滑的曲线连接起来. 特别提醒 1）注意区别余弦函数的五个关键点和正弦函数的五个关键点。 随学随练 1．已知函数． (1)求当f(x)取得最大值时，x的取值集合； (2)完成下列表格并在给定的坐标系中，画出函数f(x)在上的图象． x y 知识点正切函数的图象和画法（重点） 作正切曲线的简图方法：三点两线法 类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点，(0,0)，；“两线”是指直线和.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间上的简图. 特别提醒 1）注意直线和是两条渐近线，正确函数图象只会无限接近 随学随练 1．画出函数在上的简图． 知识点正弦、余弦、正切函数性质 （重点） 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 对称轴方程 无 递增区间 递减区间 无 随学随练 1．（26-27高一上·全国·课后作业）使和均为减函数的一个区间是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·北京房山·期中）“”是“函数是奇函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一下·江西鹰潭·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 拓展，，的奇偶性（重点） 三角函数 取何值为奇函数 取何值为偶函数 () () () () () 活学活用 1．（24-25高一下·重庆沙坪坝·阶段检测）若函数为奇函数，则的最小值为__________. 2．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数，，若为奇函数，则__________　，若为偶函数，则________　. 3．（25-26高一下·上海杨浦·期中）若函数为奇函数，则__________． 拓展，，的对称性（重点） (1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (3)函数的图象的对称中心由)解得 活学活用 1．（26-27高三上·福建莆田·开学考试）若函数（）的图象关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．5 2．（2026·山东聊城·一模）已知函数，则其图象离直线最近的一条对称轴的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·全国·课后作业）下列坐标所表示的点不是函数图象的对称中心的是（　　） A． B． C． D． 题型五点法画正弦、余弦函数图象（重点） 解题贴士 五点法步骤 ③ ① ② 对于复合函数， 第一步：将看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令等于，，，，，对应的则取，，，，。，（如上表中，先列出序号①②两行） 第二步：逆向解出（如上表中，序号③行。） 第三步：得到五个关键点为：，,,, ▌例1 （25-26高一下·宁夏吴忠·期中）已知函数 (1)填表并在坐标系中用“五点法”画出函数在一个周期内的闭区间上的图象（完成横、纵坐标列表）； 0 (2)写出函数图象的对称中心坐标及对称轴的方程. ▌例2 （23-24高一上·河南商丘·期末）已知函数. (1)填写下表，并画出在上的图象； 0 ▌对点练1-1．（25-26高一下·陕西商洛·期中）已知函数. (1)求的值； (2)求函数的对称中心和对称轴； (3)作出在一个周期内的图象（将给定的表格中填全，并描点画图） ▌对点练1-2．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知函数．    (1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象； x 0 1 0 题型正切函数定义域 解题贴士 ①正切函数 ②正切型函数由 ▌例1（26-27高二上·贵州遵义·开学考试）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高一下·江西鹰潭·期中）函数的定义域为______． ▌对点练2-1（25-26高一下·陕西商洛·期中）函数定义域为___________. ▌对点练2-2（25-26高一下·北京·阶段检测）函数的定义域为________． ▌对点练2-3（24-25高一下·北京·期中）函数的定义域为______________ 题型 求含，，求二次式的最值问题（重点） 解题贴士 ①换元 ②转化为一元二次函数问题求解 ▌例1（25-26高一上·广东梅州·期末）已知函数，，则函数的最大值为（   ） A． B． C．2 D． ▌例2（23-24高一下·福建莆田·期中）函数，的值域为__________． ▌对点练3-1（2025高一上·河南安阳·专题练习）函数的值域是（   ） A． B． C． D． ▌对点练3-2（24-25高一下·山东潍坊·阶段检测）已知函数，则函数的值域为_________. ▌对点练3-3（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）函数的值域为____________. 题型判断三角函数的奇偶性（重点） 解题贴士 三角函数 代入解析式值若为 代入解析式值若为 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 三角函数 ()时是奇函数 ▌例1（25-26高一下·湖北武汉·期末）函数是（     ） A．周期为的奇函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的偶函数 ▌例2（25-26高一下·全国·课堂例题）解答下列问题： (1)求的周期； (2)判断的奇偶性． ▌对点练4-1（25-26高一下·上海·期中）函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 ▌对点练4-2（25-26高一上·湖南湘西·期末）下列函数中最小正周期为且是偶函数的为（    ） A． B． C． D． ▌对点练4-3判断下列函数的奇偶性： (1) (2) 题型根据三角函数的奇偶性求参数（重点） 解题贴士 三角函数 取何值为奇函数 取何值为偶函数 () () () () () ▌例1（2026·江西南昌·二模）已知函数是奇函数，则的一个可能取值为（   ） A．0 B． C． D． ▌例2（25-26高一下·上海·期末）已知函数，且，则________． ▌对点练5-1（25-26高一下·江西景德镇·阶段检测）若函数是奇函数，则的值可能是（    ） A． B． C． D． ▌对点练5-2（25-26高一下·上海·期末）若为偶函数，且，则的值为______． ▌对点练5-3（25-26高一上·北京·阶段检测）已知，若，则___________． 题型求三角函数的对称轴或对称中心（重点） 解题贴士 公式法 (1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得 (2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得 (3)函数的图象的对称中心由)解得 ▌例1函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． ▌例2（2026·贵州遵义·模拟预测）已知函数，则的一条对称轴方程可以为（    ） A． B． C． D． ▌对点练6-1（2026·湖南永州·三模）已知函数，则的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． ▌对点练6-2（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，则的一个对称中心的坐标可以是（ ） A． B． C． D． ▌对点练6-3（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）写出函数的一个对称轴方程为__________. 题型根据三角函数的对称轴或对称中心求参数（重点） 解题贴士 公式法 (1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得 (2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得 (3)函数的图象的对称中心由)解得 ▌例1（25-26高一下·全国·单元测试）若函数的一个对称中心为，则函数的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高三下·江西赣州·期中）若函数的图象关于点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． ▌对点练7-1（2026·新疆·模拟预测）若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． ▌对点练7-2（24-25高一下·广西梧州·阶段检测）已知函数的图象关于直线对称，则的取值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 ▌对点练7-3（26-27高三上·北京平谷·开学考试）已知函数，若函数关于对称，则的最小值为_______________． 题型 求三角函数的单调区间（重点） 解题贴士 对于，，，求单调区间步骤 ①化正 ②换元 ③列出，，的单调增（减）区间 ④将代入不等式⑤解不等式 ▌例1（25-26高二下·福建福州·阶段检测）已知函数． (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； ▌例2（25-26高一下·全国·课后作业）求函数的单调递减区间． ▌对点练8-1（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知函数. (1)求的单调递增区间； ▌对点练8-2（24-25高一下·山东泰安·阶段检测）已知函数． (1)求的单调减区间； ▌对点练8-3（25-26高一下·全国·课堂例题）求函数的单调区间． 题型根据三角函数的单调性求参数（重点） ▌例1（多选）（24-25高三上·青海·期中）若函数在上单调递减，则的值可能为（    ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． ▌对点练9-1（2024·福建漳州·一模）已知函数在上单调递减，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． ▌对点练9-2（23-24高一下·河北承德·阶段检测）已知函数在上单调递增，则______． ▌对点练9-3（25-26高一下·山东日照·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为______． 题型三角函数的值域问题 ▌例1（26-27高三上·北京丰台·阶段检测）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求的取值范围． ▌例2（24-25高二上·广西南宁·阶段检测）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求的单调递增区间； (3)求在上的值域. ▌对点练10-1（25-26高一下·四川南充·阶段检测）已知函数． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)当时，求的值域． ▌对点练10-2（24-25高三上·江西·阶段检测）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的最值． ▌对点练10-3（26-27高一上·全国·课堂例题）求函数，的值域． 基础通关 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列函数在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·河北·开学考试）“，”是“函数的图象关于原点对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知为偶函数，则实数（    ） A．0 B．1 C． D． 4．（25-26高一下·北京石景山·期末）已知函数，则是（    ） A．偶函数，且最小正周期为 B．偶函数，且最小正周期为 C．奇函数，且最小正周期为 D．奇函数，且最小正周期为 5．（25-26高一下·北京西城·期末）若曲线关于直线对称，则m的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·湖南邵阳·模拟预测）若函数，（）的最小正周期为，则它的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（25-26高一下·河北张家口·阶段检测）若函数为偶函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，则（    ） A． 的最小正周期是 B． 在上单调递增 C． 的图象关于点对称 D． 的图象关于直线对称 9．（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数，，则____________. 10．（25-26高一下·辽宁鞍山·期中）函数的单调递减区间为_____________． 素养提升 1．（2026·湖南湘潭·一模）已知函数，若，则（    ） A．0 B． C．6 D．4 2．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）关于函数，有以下命题，其中不正确的是（　　） A．函数的周期是 B．函数的定义域是且 C．是奇函数 D．的一个单调递增区间为 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）（1）求函数，的单调区间； （2）求函数的单调递增区间. 5．（25-26高一下·江西赣州·阶段检测）已知函数， (1)用五点法作出在一个周期上的图象； (2)根据函数图象，求不等式的解集. 迁移创新 1．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知函数，． (1)求的最小正周期和对称中心； (2)求在区间内的单调递减区间； (3)当时，求的最大值及最小值及相应的取值． 2．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知函数（，）在区间上的值域为． (1)求函数的解析式、对称中心、单调增区间； (2)若对任意，存在使得，求实数m的取值范围． 3．（25-26高一下·北京·期中）条件①对任意的，都满足；条件②最小正周期为；条件③在上为增函数，这三个条件中选择两个，补充在下面的题目中，并解答．已知（，），若________，则，唯一确定． (1)求的解析式； (2)设函数，， ①求函数的值域； ②若存在，关于的不等式成立，求实数的取值范围． 4．（25-26高一下·北京·期中）已知函数的最小正周期为，再从下列两个条件中选择一个作为已知条件： 条件①：的图象关于点对称； 条件②：的图象关于直线对称． (1)请写出你选择的条件序号，并求的解析式； (2)在（1）的条件下，求的单调递增区间； (3)在（1）的条件下，记函数为在区间上的最小值，试写出的解析式（不用写出过程）． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 三角函数 7.3.2 三角函数的图象与性质 课标要点 1、能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象 2、用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性(对称性)、单调性和最大(小)值等性质．进一步掌握正弦函数、余弦函数的图象及性质 3、能画出函数的图象，并能借助图象理解函数在上的性质 4、会利用正切函数的单调性比较函数值的大小 学习重难点 重点：1.利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线 2.正切函数图象的画法 3.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象及性质 难点：1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象及性质的运用 知识点正弦函数图象及其画法（重点） 1、正弦函数,的图象叫做正弦曲线. 2、正弦函数图象的画法 (1)几何法: ①在单位圆上,将点绕着点旋转弧度至点,根据正弦函数的定义,点的纵坐标.由此,以为横坐标,为纵坐标画点,即得到函数图象上的点. ②将函数,的图象不断向左、向右平行移动(每次移动个单位长度). (2)“五点法”:在函数,的图象上,以下五个点: ，，，， 在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点,函数,的图象形状就基本确定了.因此,在精确度要求不高时,常先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,得到正弦函数的简图. 特别提醒 1）五点法画出五个点后用光滑的曲线连接，不能用线段连接。 随学随练 1．利用“五点法”画出函数 在长度为一个周期的闭区间的简图． 列表: x y 作图: 【答案】 0 x y 0 1 0 0 【分析】分别取等于，求出对应的的值，再通过描点得出该函数在长度为一个周期的闭区间上的简图． 【详解】先列表： 0 x y 0 1 0 0 再描点并画图， 知识点余弦函数图象及其画法（重点） 余弦函数,的图象叫做余弦曲线. 知识点04：余弦函数图象的画法 (1)要得到,的图象,只需把,的图象向左平移个单位长度即可,这是因为. (2)用“五点法”:画余弦函数在上的图象时,所取的五个关键点分别为，，，，再用光滑的曲线连接起来. 特别提醒 1）注意区别余弦函数的五个关键点和正弦函数的五个关键点。 随学随练 1．已知函数． (1)求当f(x)取得最大值时，x的取值集合； (2)完成下列表格并在给定的坐标系中，画出函数f(x)在上的图象． x y 【答案】(1)； (2) 函数f(x)在上的图象如下： x 0 y 0 2 【分析】（1）利用整体法求解三角函数最大值时x的取值集合；（2）填写表格，并作图. 【详解】（1）． 由，得． 故当f(x)取得最大值时，x的取值集合为． （2）略 知识点正切函数的图象和画法（重点） 作正切曲线的简图方法：三点两线法 类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点，(0,0)，；“两线”是指直线和.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间上的简图. 特别提醒 1）注意直线和是两条渐近线，正确函数图象只会无限接近 随学随练 1．画出函数在上的简图． 【答案】 【分析】根据五点作图法画图即可. 【详解】令，，可得，， 又，所以直线是该函数图象的一条渐近线． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 描点，，，，画虚线，根据正切曲线的趋势，画出简图，如图所示．    知识点正弦、余弦、正切函数性质 （重点） 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 对称轴方程 无 递增区间 递减区间 无 随学随练 1．（26-27高一上·全国·课后作业）使和均为减函数的一个区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数与余弦函数单调性分析即可. 【详解】因为的减区间是， 的减区间是， 所以函数和都为减函数的区间是， 当时，函数和都为减函数的区间是. 2．（25-26高一下·北京房山·期中）“”是“函数是奇函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合余弦函数性质及充分条件与必要条件定义判断即可得. 【详解】若，则， 由为奇函数，故是奇函数， 故“”是“函数是奇函数”的充分条件； 若函数是奇函数，则， 故“”不是“函数是奇函数”的必要条件； 综上可得：“”是“函数是奇函数”的充分不必要条件. 3．（25-26高一下·江西鹰潭·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正切函数定义域的求法可得答案. 【详解】令， 解得， 所以函数的定义域为． 拓展，，的奇偶性（重点） 三角函数 取何值为奇函数 取何值为偶函数 () () () () () 活学活用 1．（24-25高一下·重庆沙坪坝·阶段检测）若函数为奇函数，则的最小值为__________. 【答案】/ 【分析】根据奇函数的定义,求得,再根据,即可得答案. 【详解】因为函数为奇函数,所以 由得,, 即,所以, 解得,,因为,取,得,所以的最小值为. 故答案为: 2．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数，，若为奇函数，则__________　，若为偶函数，则________　. 【答案】 【详解】由函数是奇函数，得，而，则； 由函数是偶函数，得，而，则. 3．（25-26高一下·上海杨浦·期中）若函数为奇函数，则__________． 【答案】 【详解】由于奇函数满足，所以. 展开得， 于是对，有成立，故. 因此. 拓展，，的对称性（重点） (1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (3)函数的图象的对称中心由)解得 活学活用 1．（26-27高三上·福建莆田·开学考试）若函数（）的图象关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．5 【答案】C 【分析】根据正弦函数的对称轴方程计算求解. 【详解】正弦型函数图象的对称轴性质可知， 当时，相位满足，化简得， 结合，当取的最小值为2. 2．（2026·山东聊城·一模）已知函数，则其图象离直线最近的一条对称轴的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦（型）函数对称性分析求解即可. 【详解】根据题意，令，，解得函数的对称轴为：， 令，得，令，得，令，得，令，得， 所以函数的图象离直线最近的对称轴方程为． 3．（26-27高一上·全国·课后作业）下列坐标所表示的点不是函数图象的对称中心的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数的性质即可求得对称中心. 【详解】由已知令，解得， 当时，， 所以，，都是函数图象的对称中心， 当，解得， 所以不是函数图象的对称中心. 题型五点法画正弦、余弦函数图象（重点） 解题贴士 五点法步骤 ③ ① ② 对于复合函数， 第一步：将看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令等于，，，，，对应的则取，，，，。，（如上表中，先列出序号①②两行） 第二步：逆向解出（如上表中，序号③行。） 第三步：得到五个关键点为：，,,, ▌例1 （25-26高一下·宁夏吴忠·期中）已知函数 (1)填表并在坐标系中用“五点法”画出函数在一个周期内的闭区间上的图象（完成横、纵坐标列表）； 0 (2)写出函数图象的对称中心坐标及对称轴的方程. 【答案】(1) 列表 0 0 1 0 0 AI (2)对称轴为：.对称中心为： 【分析】（1）令取表格给出的五个特殊值，计算出对应的和补全表格，再以五个计算结果为坐标在坐标系中描点、顺次连线，即可画出函数在一个周期内的图象； （2）利用正弦函数的对称性，分别令和，求解后整理即可得到函数的对称中心坐标和对称轴方程. 【详解】（1）略 （2）对称轴为：.对称中心为： 对称轴方程的求解：由解得； 对称中心的求解：由解得. ▌例2 （23-24高一上·河南商丘·期末）已知函数. (1)填写下表，并画出在上的图象； 0 【答案】(1) 0 0 0 【分析】（1）令分别等于，，，作图. 【详解】（1）略 ▌对点练1-1．（25-26高一下·陕西商洛·期中）已知函数. (1)求的值； (2)求函数的对称中心和对称轴； (3)作出在一个周期内的图象（将给定的表格中填全，并描点画图） 【答案】(1) (2)对称中心：  对称轴： (3) 0 0 1 0 0 【分析】（1）根据函数的解析式代入求值即可； （2）结合正弦函数的对称轴和对称中心，利用整体代入法进行求解即可； （3）利用五点作图法填写表格作出图象即可. 【详解】（1）因为， 所以. （2）令，得， 所以函数的对称中心为. 令，得， 所以函数的对称轴为. （3）表格如下图： 0 0 1 0 0 图象如下： ▌对点练1-2．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知函数．    (1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象； x 0 1 0 【答案】(1)，列表如下： 0 x 0 1 0 0 图象如图： 【分析】（1）直接根据五点作图法补全表格，然后描点画图； 【详解】（1）略 题型正切函数定义域 解题贴士 ①正切函数 ②正切型函数由 ▌例1（26-27高二上·贵州遵义·开学考试）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】要使函数有意义，则，即，所以函数的定义域为． ▌例2（25-26高一下·江西鹰潭·期中）函数的定义域为______． 【答案】 【分析】由题可得，再根据正切函数单调性解不等式即可. 【详解】由题意，得， 所以， 解得， 故所求函数的定义域为． 故答案为： ▌对点练2-1（25-26高一下·陕西商洛·期中）函数定义域为___________. 【答案】 【分析】根据正切型函数的定义进行求解即可. 【详解】由，，得，， 即函数的定义域为． ▌对点练2-2（25-26高一下·北京·阶段检测）函数的定义域为________． 【答案】 【详解】由，得. 所以函数的定义域为 ▌对点练2-3（24-25高一下·北京·期中）函数的定义域为______________ 【答案】 【分析】根据函数定义域的求法结合正切函数性质进行求解即可. 【详解】由，得，    则，即． 所以函数的定义域为． 故答案为：. 题型 求含，，求二次式的最值问题（重点） 解题贴士 ①换元 ②转化为一元二次函数问题求解 ▌例1（25-26高一上·广东梅州·期末）已知函数，，则函数的最大值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】由， 因为，则， 设，则在上单调递减， 所以当时，. ▌例2（23-24高一下·福建莆田·期中）函数，的值域为__________． 【答案】 【分析】首先确定的范围，结合二次函数值域的求法可求得结果. 【详解】当时，， ， 当时，；当时，； ，的值域为. 故答案为：. ▌对点练3-1（2025高一上·河南安阳·专题练习）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，结合二次函数的性质求函数的值域. 【详解】令，则， 显然开口向上且对称轴为，则在上单调递减， 由，，故，即. 故选：C ▌对点练3-2（24-25高一下·山东潍坊·阶段检测）已知函数，则函数的值域为_________. 【答案】 【分析】利用三角函数值域以及二次函数单调性计算可得结果. 【详解】因为，所以， 易知 当时，， 当时，， 可得函数的值域为. 故答案为： ▌对点练3-3（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）函数的值域为____________. 【答案】 【分析】将函数式化为，结合余弦函数值域及二次函数性质求值域. 【详解】由，而， 当时，； 当时，； 综上，函数值域为. 故答案为： 题型判断三角函数的奇偶性（重点） 解题贴士 三角函数 代入解析式值若为 代入解析式值若为 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 三角函数 ()时是奇函数 ▌例1（25-26高一下·湖北武汉·期末）函数是（     ） A．周期为的奇函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的偶函数 【答案】C 【分析】根据题意，结合正弦型函数的周期性和奇偶性即可求解. 【详解】因为， 而，所以，即为偶函数， 周期，所以是周期为的偶函数，故C正确. ▌例2（25-26高一下·全国·课堂例题）解答下列问题： (1)求的周期； (2)判断的奇偶性． 【答案】(1) (2)奇函数 【分析】（1）由正切函数的周期性公式即可计算的周期； （2）由正弦函数与正切函数的奇偶性，结合函数奇偶性的判定，即可求得的奇偶性. 【详解】（1）由题意的周期. （2）函数的定义域是，定义域关于原点对称， 设，则， 所以函数是奇函数． ▌对点练4-1（25-26高一下·上海·期中）函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】A 【详解】由诱导公式可得：， 则原式可化简为：，函数定义域为， 且满足， 故函数为奇函数. ▌对点练4-2（25-26高一上·湖南湘西·期末）下列函数中最小正周期为且是偶函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式，结合三角函数的周期公式、偶函数的定义逐一判断即可. 【详解】A：因为，所以函数是奇函数，不符合题意； B：，因为的最小正周期为，不符合题意； C：令， 因为， 所以该函数不是偶函数，不符合题意； D：， 显然该函数的最小正周期为， 令， 因为， 所以该函数是偶函数，符合题意. 故选：D ▌对点练4-3判断下列函数的奇偶性： (1) (2) 【答案】(1)偶函数 (2)奇函数 【分析】根据函数奇偶性的定义分析判断. 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 且， 所以为偶函数. （2）因为的定义域为，关于原点对称， 且， 所以为奇函数. 题型根据三角函数的奇偶性求参数（重点） 解题贴士 三角函数 取何值为奇函数 取何值为偶函数 () () () () () ▌例1（2026·江西南昌·二模）已知函数是奇函数，则的一个可能取值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质可得，然后逐一验证选项即可求解. 【详解】若是奇函数，根据奇函数性质：在定义域内时，必有， 代入得： 解得，当时，，符合要求. 当时，，是奇函数； 对于AD：、对应为偶函数； 对于B：对应非奇非偶，均不符合. ▌例2（25-26高一下·上海·期末）已知函数，且，则________． 【答案】 【详解】令，定义域关于原点对称， 而， 则，可得是奇函数， 由题意得，则， 而，得到，解得， 则. ▌对点练5-1（25-26高一下·江西景德镇·阶段检测）若函数是奇函数，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用余弦函数及正弦函数的奇偶性结合诱导公式计算求解. 【详解】对于A：函数是非奇非偶函数，不合题意； 对于B：函数是奇函数，符合题意； 对于C：函数是非奇非偶函数，不合题意； 对于D：函数是偶函数，不合题意； ▌对点练5-2（25-26高一下·上海·期末）若为偶函数，且，则的值为______． 【答案】或 【详解】为偶函数，， ，或. ▌对点练5-3（25-26高一上·北京·阶段检测）已知，若，则___________． 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质求出目标值. 【详解】函数，而， 则 ， 所以. 故答案为：1 题型求三角函数的对称轴或对称中心（重点） 解题贴士 公式法 (1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得 (2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得 (3)函数的图象的对称中心由)解得 ▌例1函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，解得， 函数的对称中心为 ▌例2（2026·贵州遵义·模拟预测）已知函数，则的一条对称轴方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的对称轴方程，然后逐项验证可得答案. 【详解】令，则， 对于A，当时，即，解得，故错误； 对于B，当时，即，解得，故错误； 对于C，当时，即，解得，故正确； 对于D，当时，即，解得，故错误； ▌对点练6-1（2026·湖南永州·三模）已知函数，则的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，得； 当时，，此时对称中心为； 的一个对称中心为. ▌对点练6-2（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，则的一个对称中心的坐标可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，解得， 时，，则是的一个对称中心． ▌对点练6-3（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）写出函数的一个对称轴方程为__________. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据正弦函数的对称轴公式，结合整体代换法计算即可. 【详解】令，解得， 所以函数的对称轴方程为. 题型根据三角函数的对称轴或对称中心求参数（重点） 解题贴士 公式法 (1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得 (2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得 (3)函数的图象的对称中心由)解得 ▌例1（25-26高一下·全国·单元测试）若函数的一个对称中心为，则函数的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合正余弦函数的图象及性质判断即可. 【详解】结合正余弦函数的图象可知， 的对称中心和的对称轴在一条直线上， 所以若的对称中心为， 则函数的一条对称轴为． 故选：B. ▌例2（25-26高三下·江西赣州·期中）若函数的图象关于点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数的图象关于点对称， 则，得到，又，所以的最小值为. ▌对点练7-1（2026·新疆·模拟预测）若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦型函数的对称性进行求解即可. 【详解】因为点是函数的图象的一个对称中心， 所以， 因为，所以由， 所以当时，有最小值. 故选：D ▌对点练7-2（24-25高一下·广西梧州·阶段检测）已知函数的图象关于直线对称，则的取值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】依题意可知取最值，由此列出不等式求解即可. 【详解】，由题意可得， 解得，当时，. 故选：C ▌对点练7-3（26-27高三上·北京平谷·开学考试）已知函数，若函数关于对称，则的最小值为_______________． 【答案】 【分析】利用正弦函数的对称轴，由求解. 【详解】函数关于对称， 则， 所以，又， 所以的最小值是1. 题型 求三角函数的单调区间（重点） 解题贴士 对于，，，求单调区间步骤 ①化正 ②换元 ③列出，，的单调增（减）区间 ④将代入不等式⑤解不等式 ▌例1（25-26高二下·福建福州·阶段检测）已知函数． (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； 【答案】(1)，， 【分析】（1）的最小正周期，令，，解不等式可求出函数的单调递增区间； 【详解】（1）的最小正周期， 令，，解得，， 故单调递增区间为，； ▌例2（25-26高一下·全国·课后作业）求函数的单调递减区间． 【答案】． 【分析】先利用诱导公式对函数解析式进行变形，再利用余弦函数图像性质求出单调递减区间. 【详解】解：． 由， 解得， ∴函数的单调递减区间为． ▌对点练8-1（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知函数. (1)求的单调递增区间； 【答案】(1)； 【分析】（1）令，，解出即可得到其单调增区间； 【详解】（1）令，， 解得，，则的单调递增区间为. ▌对点练8-2（24-25高一下·山东泰安·阶段检测）已知函数． (1)求的单调减区间； 【答案】(1) 【分析】（1）根据正弦函数的单调性可得答案； 【详解】（1）由得 ， 所以的单调减区间为； ▌对点练8-3（25-26高一下·全国·课堂例题）求函数的单调区间． 【答案】单调递减区间为， 【分析】由正切函数的奇偶性可得，结合正切函数的单调递增区间可解得的单调递增区间即的单调递减区间为. 【详解】， 由，， 得，． 所以的单调递增区间为， 即的单调递减区间为，． 题型根据三角函数的单调性求参数（重点） ▌例1（多选）（24-25高三上·青海·期中）若函数在上单调递减，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】采用整体代换的方法，根据余弦函数单调性可构造不等关系求得可能的取值. 【详解】当时，， 在上单调递减，，又，， 即的值可能为和. 故选：AB. ▌例2（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的范围，求出的范围，由正切函数的单调性可得，解方程即可得出答案. 【详解】因为，所以， 函数在上单调递增， 因为函数在上单调递增， 所以， 所以，即的最大值为. 故选：A ▌对点练9-1（2024·福建漳州·一模）已知函数在上单调递减，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为整体，结合余弦函数性质分析求解. 【详解】因为，则， 由题意可得，解得，即实数的最大值为. 故选：C. ▌对点练9-2（23-24高一下·河北承德·阶段检测）已知函数在上单调递增，则______． 【答案】/ 【分析】求出函数的含有数0的单调递增区间，再利用集合的包含关系求解即得. 【详解】函数，由，得， 因此函数在上单调递增，又在上单调递增， 于是，即， 解得， 所以. 故答案为： ▌对点练9-3（25-26高一下·山东日照·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为______． 【答案】(0,1] 【详解】由，，得， 而函数在上单调递增，则， 因此，解得， 所以的取值范围为. 题型三角函数的值域问题 ▌例1（26-27高三上·北京丰台·阶段检测）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 令，则， 故单调递增区间为. （2）时，，故， 故，故的取值范围是. ▌例2（24-25高二上·广西南宁·阶段检测）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求的单调递增区间； (3)求在上的值域. 【答案】(1)； (2)单调递增区间为，； (3). 【分析】（1）（2）应用余弦型函数的性质求最小正周期及递增区间； （3）根据题设有，进而求函数的区间值域. 【详解】（1）由题设，即最小正周期为； （2）令，，解得，， 所以函数的单调递增区间为，. （3）因为，所以，可得， 则，即函数在上的值域为. ▌对点练10-1（25-26高一下·四川南充·阶段检测）已知函数． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)当时，求的值域． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据正弦函数的性质和图象求出的最小正周期和单调增区间； （2）利用正弦函数的性质求在区间内的值域． 【详解】（1）由题可知，即的最小正周期为， 令， 解得， 的单调递增区间． （2）令，则， 由可得：， 由在的图象可得：， 的值域为． ▌对点练10-2（24-25高三上·江西·阶段检测）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的最值． 【答案】(1)； (2)函数的最小值为，最大值为. 【分析】（1）利用余弦型函数的性质，解不等式可得出函数的单调递增区间； （2）由可求得的取值范围，结合余弦型函数的基本性质可求得的最大值、最小值. 【详解】（1）令，得， 所以函数的单调递增区间是； （2）令，则由可得， 所以当，即时，， 当时，即时，. 即当时，函数取最小值；时，函数取最大值. ▌对点练10-3（26-27高一上·全国·课堂例题）求函数，的值域． 【答案】 【分析】令,转化为求的值域． 【详解】令， ∵，∴. ∵在上是增函数， ∴，即. ∴所求函数的值域为． 基础通关 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列函数在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于选项A：在上递增，上递减，在上不是减函数. 对于选项B：的单调递减区间为，取得，故在上是减函数. 对于选项C：时，在、上递增，在上不是减函数. 对于选项D：时，在上递增，在上不是减函数. 2．（26-27高三上·河北·开学考试）“，”是“函数的图象关于原点对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】函数的图象关于原点对称，等价于该函数为奇函数. 令，得，解得. 条件“”是“”的真子集： 充分性：若，则，函数为奇函数，图象关于原点对称，充分性成立； 必要性：图象关于原点对称时，还可取，必要性不成立. 因此是充分不必要条件. 3．已知为偶函数，则实数（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】易得函数的定义域为，由是偶函数， 得恒成立， 化简得恒成立， 故，即. 4．（25-26高一下·北京石景山·期末）已知函数，则是（    ） A．偶函数，且最小正周期为 B．偶函数，且最小正周期为 C．奇函数，且最小正周期为 D．奇函数，且最小正周期为 【答案】D 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数为奇函数； 因为的最小正周期为，的最小正周期为， 所以函数的最小正周期为. 5．（25-26高一下·北京西城·期末）若曲线关于直线对称，则m的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】曲线关于直线对称，则， 即， 因为， 当时，， 当时，（舍去）， 所以的最小值为，选项B正确. 6．（2026·湖南邵阳·模拟预测）若函数，（）的最小正周期为，则它的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据周期得到的值，从而得到对称轴方程，结合选项，代入值验证即可求解． 【详解】由的最小正周期为，， 则，解得， 所以， 令，，解得，， 结合选项，取，得，即它的一条对称轴是． 7．（多选）（25-26高一下·河北张家口·阶段检测）若函数为偶函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】若为偶函数， 则，解得. 当时，；当时，． 8．（多选）（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，则（    ） A． 的最小正周期是 B． 在上单调递增 C． 的图象关于点对称 D． 的图象关于直线对称 【答案】ABD 【分析】根据周期公式可判断A，根据余弦函数单调性可判断B，代入解析式，根据函数值可判断C，D. 【详解】，周期为，A正确； 当时，，所以在上单调递增，B正确； 因为，所以不是的对称中心，C不正确； 因为，是的最小值，所以的图象关于直线对称，D正确. 故选：ABD 9．（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数，，则____________. 【答案】 【详解】因为， 所以. 10．（25-26高一下·辽宁鞍山·期中）函数的单调递减区间为_____________． 【答案】 【分析】以为整体，利用正弦函数的标准单调递减区间构造不等式求解即可. 【详解】令，解得， 所以函数的单调递减区间为. 素养提升 1．（2026·湖南湘潭·一模）已知函数，若，则（    ） A．0 B． C．6 D．4 【答案】A 【详解】由题设，令，定义域为， ， 所以. 2．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，即， 3．（多选）（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）关于函数，有以下命题，其中不正确的是（　　） A．函数的周期是 B．函数的定义域是且 C．是奇函数 D．的一个单调递增区间为 【答案】BCD 【详解】对于A，的周期，故A正确； 对于B，，解得， 故定义域为：且，故B不正确； 的定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数，故C不正确； 对于D，，解得， 故的单调递增区间为，，故D不正确． 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）（1）求函数，的单调区间； （2）求函数的单调递增区间. 【答案】（1）增区间为，，减区间为，；（2）单调递增区间为 【详解】（1）设，则. 当，时，为增函数. ∴，得，. 当时，为减函数. ∴，得，. 故的增区间为，， 减区间为，. （2）， 令，则. 因为是的一次函数，所以要求的单调递增区间，即求的单调递减区间， 即 . ∴，即 . ∴函数的单调递增区间为. 5．（25-26高一下·江西赣州·阶段检测）已知函数， (1)用五点法作出在一个周期上的图象； (2)根据函数图象，求不等式的解集. 【答案】(1)列表如下： 作出函数在一个周期上的图象如下图所示： (2) 【分析】（1）根据列表、描点、连线，可作出函数在一个周期内的图象： （2）由可得，解之即可. 【详解】（1）略 （2）由可得，解得， 故不等式的解集为. 迁移创新 1．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知函数，． (1)求的最小正周期和对称中心； (2)求在区间内的单调递减区间； (3)当时，求的最大值及最小值及相应的取值． 【答案】(1)，， (2)， (3)当时，最大值为；当时，最小值为 【分析】（1）根据题意，利用正弦型函数最小正周期的计算公式，求得函数的最小正周期，令，，进而计算可得到函数的对称中心； （2）根据题意，求得，结合正弦函数的单调性，进而求得的单调递减区间； （3）根据题意，求得，结合正弦函数的性质，即可求得函数的最值及相应的取值. 【详解】（1）由函数， 可得函数的最小正周期为， 令，，解得，， 所以函数的对称中心为， （2）由，可得， 令，可得； 令，可得， 所以函数的单调递减区间为，． （3）由，可得， 当时，即时，函数取得最大值，最大值为； 当时，即时，函数取得最小值，最小值为， 所以函数在上的最大值为，最小值为． 2．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知函数（，）在区间上的值域为． (1)求函数的解析式、对称中心、单调增区间； (2)若对任意，存在使得，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，对称中心为，单调增区间为 (2) 【分析】（1）由正弦型函数性质及给定值域列出方程求出，再利用正弦函数性质求解. （2）由（1）的结论求出函数在上的最小值，再利用给定不等式列式求解. 【详解】（1）由，得，则， 又，于是，即有，解得， 所以函数的解析式为； 由，解得，函数的对称中心为； 由，解得， 所以函数的单调增区间为. （2）由，得，则，因此； 由任意，存在使得，得当时，， 即，由，得， 因此，解得，所以的取值范围是. 3．（25-26高一下·北京·期中）条件①对任意的，都满足；条件②最小正周期为；条件③在上为增函数，这三个条件中选择两个，补充在下面的题目中，并解答．已知（，），若________，则，唯一确定． (1)求的解析式； (2)设函数，， ①求函数的值域； ②若存在，关于的不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)②③, (2)①；②． 【分析】（1）分别分析①②，②③，①③三种选择，对应的情况，可确定的值，求得的解析式； （2）根据（1）所得的的解析式，求得，利用正弦函数的单调性求得函数的值域；并根据该值域，分离参数并利用的单调性求得实数的取值范围． 【详解】（1）（1）若选择①②： 由条件②函数最小正周期为，得，所以. 所以. 由条件①对任意的，都在， 得函数的图象关于对称. 即，. 由，所以或. 即不能唯一确定，不合题意； 若选①③： 由条件①对任意的，都在， 得函数的图象关于对称. 由条件③在上为增函数，在处取得最大值， 且，即. 此时不能唯一确定，不合题意； 若选②③，由条件②函数最小正周期为，得，所以. 所以. 由条件③在上为增函数，且， 得函数在处取得最大值，且在处取得最小值， 所以. 由，得，唯一确定. 此时，. （2）①由（1）得． 由，得． 令，则． 因为在上单调递增，在上单调递减， 且， 所以，即， 所以，即函数的值域为． ②因为存在， 所以由关于的不等式成立， 得到． 令，得， 由解析式可知：在上是增函数， 所以的最小值在处取得最小值，即最小值为， 所以的取值范围是． 4．（25-26高一下·北京·期中）已知函数的最小正周期为，再从下列两个条件中选择一个作为已知条件： 条件①：的图象关于点对称； 条件②：的图象关于直线对称． (1)请写出你选择的条件序号，并求的解析式； (2)在（1）的条件下，求的单调递增区间； (3)在（1）的条件下，记函数为在区间上的最小值，试写出的解析式（不用写出过程）． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)条件①，；条件②． (2)． (3) 【分析】（1）选择条件①，通过正弦函数对称中心代入即可求解，选择条件②，通过正弦函数对称轴代入即可求解； （2）通过正弦函数单调区间，整体代换即可求解； （3）借助正弦型函数的单调区间，通过讨论，，，即可求解. 【详解】（1）因为函数f（x）＝的最小正周期为， 所以， 选择条件①： 因为的图象关于点对称， 所以，所以， 因为，所以，故的解析式为． 选择条件②： 因为的图象关于直线对称，所以， 所以，因为，所以， 故的解析式为． （2）令， 所以， 故的单调递增区间为． （3）令， 所以， 故的单调递减区间为，单调递增区间为． 故当时，单调递增， 当时，单调递减， 且，， 所以当， 当， 当， 即 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $