7.3.1 三角函数的周期性（讲义，知识点&4大题型&刷好题）高一数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦三角函数的周期性核心知识点，从周期函数、最小正周期的定义切入，系统梳理正余弦函数周期公式、正切函数周期特点，延伸至含绝对值的三角函数周期拓展，结合求周期、利用周期求值、周期性证明及实际应用题型，构建递进式学习支架。 该资料通过分层练习（基础通关、素养提升、迁移创新）和血压变化、机器人摆动等实际案例，培养学生数学思维（推理与运算）和数学眼光（发现现实周期规律），课中解题贴士辅助教师高效授课，课后随学随练助力学生巩固知识、查漏补缺。

第七章 三角函数 7.3.1 三角函数的周期性 课标要点 1、理解周期函数，最小正周期的定义 2、会求正、余弦函数和正切函数的周期 学习重难点 重点：会求正弦、余弦、正切函数的周期 难点：、、周期的灵活应用 知识点 周期函数（重点） 一般地，设函数 的定义域为 .如果存在一个非零的常数 ，使得对于任意的 ,都有 ,并且 ，那么函数就叫作周期函数，非零常数叫作这个函数的周期. 特别提醒 1） 并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一 2） 存在一个常数 ，且，若为的一个周期，则（ ，且 ）也是该函数的周期 随学随练 1．（2026·湖南株洲·模拟预测）函数的最小正周期是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得. 2．（2026高三·全国·专题练习）函数为R上的奇函数，且，则．( ) 【答案】正确 【详解】由可知，函数的周期为，， 又函数为R上的奇函数，故所以，. 3．（25-26高三·全国·一轮复习）若定义在上的函数满足，且，则________． 【答案】 【详解】因为，所以，所以， 4为的一个周期，则． 知识点最小正周期（重点） 对于一个周期函数 ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么，这个最小的正数就叫作 的最小正周期. 特别提醒 并非所有的周期函数都有最小正周期，如(为常数，) ，所有的非零实数都是它的周期，不存在最小正周期. 知识点正弦、余弦、正切函数的周期性（重点） 函数 周期 条件 ，，为常数 随学随练 1．（25-26高一下·浙江湖州·期末）函数的最小正周期为_______． 【答案】 【详解】由正弦函数的性质，函数的最小正周期为. 2．（25-26高一下·上海·阶段检测）函数的最小正周期是__________. 【答案】 【详解】由题设，已知函数的最小正周期是. 3．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）函数的最小正周期为________． 【答案】3 【详解】的最小正周期满足． 拓展含绝对值的正弦、余弦、正切函数的周期性（重点） 函数 周期 函数 () () () 周期 ，，为常数 活学活用 1．（25-26高一上·湖北孝感·期末）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数的最小正周期为， 又函数的最小正周期为，函数的最小正周期也为， 所以的最小正周期与的最小正周期相同，为 故选：C 2．（多选）（25-26高一上·山西太原·期末）下列函数中，最小正周期为的偶函数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，函数是偶函数，且最小正周期为，A是； 对于B，函数是偶函数，且最小正周期为，B是； 对于C，函数不具有周期性，C不是； 对于D，函数是偶函数，且最小正周期为，D是. 故选：ABD 题型求三角函数的周期（重点） 解题贴士 （1）定义法 （2）公式法 ①函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为，函数()的最小正周期 ②函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为．函数()的最小正周期均为 ③函数的最小正周期．应特别注意函数|的周期为，函数() 的最小正周期均为 ▌例1 函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的最小正周期公式即可解决问题． 【详解】由题意可知，，所以. ▌例2 （多选）（24-25高一上·甘肃白银·阶段检测）下列函数是最小正周期为的偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据三角函数的性质逐项判断. 【详解】是周期为的偶函数； 是周期为的奇函数； 是周期为的偶函数； 是周期为的偶函数． 故选：. ▌例3 （25-26高一上·山东泰安·阶段检测）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】算出的最小正周期，再根据加绝对值后，函数之间的最小正周期关系得到的最小正周期． 【详解】对于，，因此它的最小正周期为， 加上绝对值后，图象会将x轴下方的部分翻折到x轴上方，如图所示，    由图可知，加上绝对值后，周期不变，所以的最小正周期与一致，均为． 故选：D． ▌例4（2026·安徽合肥·模拟预测）函数的最小正周期是（    ） A．​ B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】考察三角函数的最小正周期求法。 【详解】易知. ▌对点练1-1．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦函数的周期结合翻折得出最小正周期即可. 【详解】函数的最小正周期， 故对于函数，其最小正周期为． 故选：A. ▌对点练1-2．（25-26高一下·辽宁大连·期中）函数的最小正周期为_________． 【答案】 【详解】由正切函数周期公式得：. ▌对点练1-3．（25-26高一下·上海青浦·期中）函数的最小正周期是________. 【答案】 【分析】根据题意，利用余弦型函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，可得，即函数的最小正周期为. ▌对点练1-4．（23-24高三上·广东·阶段检测）函数的最小正周期为________． 【答案】/ 【分析】利用正弦型函数的周期公式以及绝对值函数的性质可求得函数的最小正周期. 【详解】因为的最小正周期为， 所以的最小正周期为． 故答案为：. 题型利用周期求函数值（重点） 解题贴士 ①利用函数的周期性，可以把() 的函数值转化为的函数值 ②利用函数周期性的定义，将所求转化为可求的 x 的函数值，从而可解决求值问题 ③当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值 ▌例1（2026·安徽·三模）若函数的最小正周期为，则（   ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】B 【分析】由周期公式确定，进而可求解. 【详解】因为的最小正周期为， 所以，即， 所以． ▌例2（2026·浙江·模拟预测）若的最小正周期为，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式，结合特殊角的正弦函数值进行求解即可. 【详解】因为的最小正周期为， 所以，即， 所以. 故选：A ▌对点练2-1已知的最小正周期为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，从而得到函数解析式，再利用特殊角的三角函数值可求的值. 【详解】因为最小正周期为，，故，故， 所以， 所以， 故选：C. ▌对点练2-2（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的最小正周期为，则________. 【答案】－ 【详解】由题意得，，得，则 ▌对点练2-3函数的最小正周期为，则______________． 【答案】 【分析】先由周期求出，直接代入求解. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得：. 所以， 所以. 故答案为：-2 题型三角函数周期性证明 解题贴士 证明一个函数是周期函数，一般从定义出发，只需找到非零常数，使对定义域内任意 都有 即可. ▌例1（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，证明：为函数的一个周期． 【答案】证明: 因为 所以为函数的一个周期． 【分析】根据周期定义结合正弦函数的周期证明即可. 【详解】略. ▌例2已知函数满足，且． （1）求的值； （2）求的一个周期，并加以证明． 【答案】（1）； （2）一个周期为4．证明： ， ， 即. 的一个周期为. 【分析】（1）令，由即可求解. （2）由，利用周期的定义即可求解. 【详解】（1）令，则由得：； 令，则由得：. （2）略 【点睛】本题考查了函数的周期性、求函数值，考查了基本运算能力，属于基础题. ▌对点练3-1（24-25高一上·上海·课堂例题）若函数满足，求的周期. 【答案】的周期为4（或4的非零整数倍）. 【分析】利用抽象函数的运算性质得到周期性即可. 【详解】因为，所以， 所以的周期为4（或4的非零整数倍）. ▌对点练3-2设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，求证：是周期函数． 【答案】证明见解析 【分析】由函数周期性的定义即可求证. 【详解】因为对任意实数，恒有， 所以， 所以是周期为的周期函数，即证. ▌对点练3-3已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的函数值； (2)证明：为周期函数． 【答案】(1)0 (2) 证明：因为函数是定义在上的奇函数， 所以，又， 所以，即， 则， 所以是以4为周期的周期函数. 【分析】（1）根据函数是定义在上的奇函数，得到，再由，利用赋值法求解； （2）由函数是定义在上的奇函数，得到，再由，利用周期函数的定义求解. 【详解】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 又因为， 所以， 则； （2）略 题型周期函数在实际问题中的应用 解题贴士 根据函数关系对应的图象，首先确定函数的周期，然后再利用周期解决问题.周期函数图象上任意横坐标差为（且）的两点对应的纵坐标相等. ▌例1（25-26高一上·江苏镇江·期末）心脏每跳动一次，就完成一次收缩和舒张.心脏跳动时，血压在增大或缩小，并呈周期性变化，血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压.某人的血压满足函数，为血压（单位：mmHg），t为时间（单位：min），则相邻的收缩压和舒张压间隔时间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用正弦函数周期公式求解即可. 【详解】函数的最小正周期为， 所以相邻的收缩压和舒张压间隔时间是. 故选：A ▌例2如图，一个质点在平衡位置点O附近摆动，如果不计阻力，可将这个摆动看作周期运动．它离开点O向右运动4s后第1次经过点M，再过2s第2次经过点M．该质点再过多长时间第3次经过点M？    【答案】18s 【分析】根据质点运动的对称性确定质点从O运动到两端所需的时间，再由周期性确定第3次经过M点所需的时间. 【详解】由对称性知：质点从O开始向右运动到最右侧需s， 故质点从O点向左运动到最左侧也需要5s， 结合题设，该质点第3次经过M点需要s. ▌对点练4-1（25-26高三·全国·一轮复习）2026人形机器人半程马拉松于4月19日开跑，有300多台机器人参赛．某人形机器人行走时，踝关节摆动高度y（单位：cm）随时间t（单位：s）的变化满足，已知该机器人踝关节完成一次完整的摆动动作需要的时间为s，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的最小正周期为， 又该机器人踝关节完成一次完整的摆动动作需要的时间为s， 则，解得. ▌对点练4-2音程由两个音组成，是和声的最小单位．有的音听起来和谐而有的则不和谐，这和音与音之间的波形（正弦型）有关．比如，1（do）到i（高音do）可以构成纯八度音程，听感上十分和谐，这是因为两者波形的周期比为，两个声波在1个（2个）周期后就立即重合，并有规律的进行下去．再比如1（do）到5（sol）可以构成纯五度音程，两者周期比为3：2，两个声波在2个（3个）周期后就立即重合，听感上也很和谐．也就是说，两个音波形的周期比例越简单，听感越和谐．已知在一个调性中，1（do）的波形符合函数（为振幅，为时间），在音与音之间振幅相同的情况下，与1（do）构成纯八度音程的i（高音do）、纯五度音程的5（sol）的波形函数分别为（    ） A．； B．； C．； D．； 【答案】A 【分析】根据三角函数周期求解即可； 【详解】由题意知，1（do）到i（高音do）两者波形的周期比为，又因为1（do）的波形符合函数， 故则由 解得： 所以i（高音do）的波形函数为； 1（do）到5（sol）两者周期比为3：2，故解得： 所以纯五度音程的5（sol）的波形函数为； 故选；A. ▌对点练4-3（多选）按照规定，奥运会每4年举行一次.2008年夏季奥运会在北京举办，那么下列年份中举办夏季奥运会的应该是（    ） A．2023 B．2024 C．2026 D．2032 【答案】BD 【分析】根据周期性求得正确答案. 【详解】2023=2008+4×3+3，2026=2008+4×4+2. 显然2023，2026不是4的倍数. 2024=2008+4×4，2032=2008+4×6， 显然2024与2032是4的倍数，所以在2024，2032年会举办夏季奥运会. 故选：BD 基础通关 1．（25-26高一下·广东清远·期中）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的最小正周期为． 2．（25-26高一下·浙江杭州·期中）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知函数的， 函数的最小正周期为． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）函数的最小正周期为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接运用正弦型函数最小正周期进行求解即可. 【详解】函数的最小正周期为. 故选：C 4．（25-26高一上·山西忻州·期末）“”是“函数的最小正周期为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据余弦型函数的周期公式求出的值，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若函数的最小正周期为，则，解得， 所以“”时，可得“函数的最小正周期为”， “函数的最小正周期为”，不能推出“”. 所以“”是“函数的最小正周期为”的充分不必要条件. 故选：A. 5．（25-26高一上·山东烟台·期末）下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正、余弦型函数的最小正周期公式判断选项A，B，D；利用诱导公式求出是的一个周期，并证明该周期为最小正周期，进而判断选项C． 【详解】正、余弦型函数的最小正周期公式为， 故、的最小正周期，选项A，B错误； ，最小正周期为，故D错误； ， 假设存在更小的正周期，使得对任意都有， 令，则，解得， 不存在，满足使得， 的最小正周期为，故C正确． 故选：C． 6．（24-25高三上·福建三明·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，，且，则（ ） A．1 B．0 C．-2025 D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的概念和性质可得是周期为的函数，将化为即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以， 又，所以， 所以，即， 所以是周期为的函数，故. 故选：D 7．（多选）（25-26高一下·全国·课堂例题）下列是定义在上的四个函数图象的一部分，其中是周期函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A，设对应的函数为，观察图象可得函数满足关系，故该函数为周期函数， 对于B，设对应的函数为，观察图象可得函数满足关系，故该函数为周期函数， 对于C，设对应的函数为，观察图象可得函数满足关系，故该函数为周期函数， 对于D，时的图象与其他区间图象不同，不是周期函数． 8．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数中周期为π，且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据周期的定义以及奇偶性的定义判断 A；根据 是奇函数， 的周期为 ，分别判断 BD；化简 , 再判断 C. 【详解】对于A,因为 , 所以 的周期为 , 因为 , 所以 是偶函数,A 符合题意； 对于B, 是奇函数，B 不合题意； 对于D, 的周期为 ，所以 D 不合题意； 对于C, 因为 是偶函数， 因为 的周期是 符合题意. 故选: AC. 9．（25-26高一下·广西梧州·期末）函数（）的最小正周期是，则的值为________； 【答案】 【详解】由题意得，，得 10．（2025·北京大兴·三模）已知函数，若对任意都成立，则满足条件的一个实数的值是_____________. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据得到方程，结合余弦函数性质及诱导公式得到方程，求出答案. 【详解】因为，即， 所以，即. 故答案为：（答案不唯一） 素养提升 1．（25-26高一上·湖北·期末）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象的变换规则画出函数图象，即可得到函数的最小正周期； 【详解】函数是将位于轴下方的图像关于轴翻上去， 函数图象如图所示， 函数的最小正周期为. 故选：C. 2．（多选）（22-23高一下·全国·课后作业）下列函数图象中具有周期性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由周期性的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】抓住周期变化的特点，重复性，可知A、B、D为周期函数. 对于C，图象不重复出现，故不合题意. 故选：ABD. 3．若函数，则满足且的函数可以是______.（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一）. 【分析】先分析得到函数奇偶性以及周期性，由此联想到三角函数，写出符合条件的一个函数解析式即可. 【详解】因为，所以为偶函数， 又因为，所以， 所以是周期函数且一个周期为， 此处可想到余弦型函数，，所以可取， 所以满足题意的一个函数可以是：， 故答案为：（答案不唯一）. 4．（25-26高一上·四川成都·期中）已知定义在R上的函数，满足以下三个条件： （i）对于任意； （ii）对于任意； （iii）. (1)判断关于哪条直线对称？ (2)证明：是以8为周期的周期函数 【答案】(1)关于对称； (2)因，则，即对任意，， 故是以为周期的周期函数； 【分析】（1）由函数对称性定义结合题设可完成判断； （2）由题可得，据此可完成证明； 【详解】（1）略 （2）略 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）若函数满足，求的周期； （2）若函数满足，求的周期； （3）若函数满足，求的周期. 【答案】（1）周期为2（或2的非零整数倍）；（2）周期为4（或4的非零整数倍）；（3）周期为3（或3的非零整数倍）. 【分析】（1）利用抽象函数的运算性质得到周期性即可. （2）利用抽象函数的运算性质得到周期性即可. （3）利用抽象函数的运算性质得到周期性即可. 【详解】（1）因为，即， 所以的周期为2（或2的非零整数倍）. （2）， 所以的周期为4（或4的非零整数倍）. （3）， 又， 两式作差，得到，所以的周期为3（或3的非零整数倍）. 迁移创新 1．（24-25高三上·浙江丽水·期末）已知函数，若存在常数，使得恒成立，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，可得，所以，即，故，结合，即可得解. 【详解】因为存在常数，使得恒成立，所以. 即，所以， 得，解得，又， 所以的最小值是. 故选：D. 2．（22-23高三下·重庆沙坪坝·阶段检测）若函数对，，有，且，，则（    ） A．0 B．1 C． D．2022 【答案】A 【分析】先根据赋值法得，，，由得， 故是以4为周期的周期函数，可得. 【详解】令，得，则 令，得， 由，得， 又，故. 令，知，得. 令得， 即，故存在，使得， 所以是周期函数，周期， 所以， 故选：A 3．（23-24高一上·山东青岛·阶段检测）对于定义在上的函数和正实数若对任意，有，则为阶梯函数. (1)分别判断下列函数是否为阶梯函数（直接写出结论）： ①； ②. (2)若为阶梯函数，求的所有可能取值； 【答案】(1)①否；②是 (2)， 【分析】（1）利用阶梯函数的定义进行检验即可判断； （2）利用阶梯函数的定义，结合正弦函数的性质即可得解； 【详解】（1），则； ，则， 故①否；②是. （2）因为为阶梯函数，所以对任意有： . 所以对任意，， 因为是最小正周期为的周期函数， 又因为，所以，. 4．（23-24高一下·上海·开学考试）已知函数的定义域为，若对于给定的非零实数，存在使得成立，则称函数具有性质. (1)已知，判断函数是否具有性质，并说明理由； (2)已知，若函数，具有性质，求正实数的取值范围； 【答案】(1)具有，理由如下： 若具有性质，则存在使得成立， 即，解得； 所以具有性质. (2) 【分析】（1）假设具有性质，即可得到存在使得成立，从而得到方程，解得即可； （2）依题意可得，即可求出的取值，求出的最小正值，即可求出的取值范围； 【详解】（1）略 （2）存在使得，即， 这等价于或者， 即，最小正解为， 此时， 故实数的取值范围是； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 三角函数 7.3.1 三角函数的周期性 课标要点 1、理解周期函数，最小正周期的定义 2、会求正、余弦函数和正切函数的周期 学习重难点 重点：会求正弦、余弦、正切函数的周期 难点：、、周期的灵活应用 知识点 周期函数（重点） 一般地，设函数 的定义域为 .如果存在一个非零的常数 ，使得对于任意的 ,都有 ,并且 ，那么函数就叫作周期函数，非零常数叫作这个函数的周期. 特别提醒 1） 并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一 2） 存在一个常数 ，且，若为的一个周期，则（ ，且 ）也是该函数的周期 随学随练 1．（2026·湖南株洲·模拟预测）函数的最小正周期是（     ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）函数为R上的奇函数，且，则．( ) 3．（25-26高三·全国·一轮复习）若定义在上的函数满足，且，则________． 知识点最小正周期（重点） 对于一个周期函数 ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么，这个最小的正数就叫作 的最小正周期. 特别提醒 并非所有的周期函数都有最小正周期，如(为常数，) ，所有的非零实数都是它的周期，不存在最小正周期. 知识点正弦、余弦、正切函数的周期性（重点） 函数 周期 条件 ，，为常数 随学随练 1．（25-26高一下·浙江湖州·期末）函数的最小正周期为_______． 2．（25-26高一下·上海·阶段检测）函数的最小正周期是__________. 3．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）函数的最小正周期为________． 拓展含绝对值的正弦、余弦、正切函数的周期性（重点） 函数 周期 函数 () () () 周期 ，，为常数 活学活用 1．（25-26高一上·湖北孝感·期末）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高一上·山西太原·期末）下列函数中，最小正周期为的偶函数的有（    ） A． B． C． D． 题型求三角函数的周期（重点） 解题贴士 （1）定义法 （2）公式法 ①函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为，函数()的最小正周期 ②函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为．函数()的最小正周期均为 ③函数的最小正周期．应特别注意函数|的周期为，函数() 的最小正周期均为 ▌例1 函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． ▌例2 （多选）（24-25高一上·甘肃白银·阶段检测）下列函数是最小正周期为的偶函数的是（    ） A． B． C． D． ▌例3 （25-26高一上·山东泰安·阶段检测）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． ▌例4（2026·安徽合肥·模拟预测）函数的最小正周期是（    ） A．​ B．1 C．2 D．4 ▌对点练1-1．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26高一下·辽宁大连·期中）函数的最小正周期为_________． ▌对点练1-3．（25-26高一下·上海青浦·期中）函数的最小正周期是________. ▌对点练1-4．（23-24高三上·广东·阶段检测）函数的最小正周期为________． 题型利用周期求函数值（重点） 解题贴士 ①利用函数的周期性，可以把() 的函数值转化为的函数值 ②利用函数周期性的定义，将所求转化为可求的 x 的函数值，从而可解决求值问题 ③当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值 ▌例1（2026·安徽·三模）若函数的最小正周期为，则（   ） A．2 B． C．1 D．0 ▌例2（2026·浙江·模拟预测）若的最小正周期为，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 ▌对点练2-1已知的最小正周期为，则（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-2（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的最小正周期为，则________. ▌对点练2-3函数的最小正周期为，则______________． 题型三角函数周期性证明 解题贴士 证明一个函数是周期函数，一般从定义出发，只需找到非零常数，使对定义域内任意 都有 即可. ▌例1（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，证明：为函数的一个周期． ▌例2已知函数满足，且． （1）求的值； （2）求的一个周期，并加以证明． ▌对点练3-1（24-25高一上·上海·课堂例题）若函数满足，求的周期. ▌对点练3-2设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，求证：是周期函数． ▌对点练3-3已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的函数值； (2)证明：为周期函数． 题型周期函数在实际问题中的应用 解题贴士 根据函数关系对应的图象，首先确定函数的周期，然后再利用周期解决问题.周期函数图象上任意横坐标差为（且）的两点对应的纵坐标相等. ▌例1（25-26高一上·江苏镇江·期末）心脏每跳动一次，就完成一次收缩和舒张.心脏跳动时，血压在增大或缩小，并呈周期性变化，血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压.某人的血压满足函数，为血压（单位：mmHg），t为时间（单位：min），则相邻的收缩压和舒张压间隔时间是（   ） A． B． C． D． ▌例2如图，一个质点在平衡位置点O附近摆动，如果不计阻力，可将这个摆动看作周期运动．它离开点O向右运动4s后第1次经过点M，再过2s第2次经过点M．该质点再过多长时间第3次经过点M？    ▌对点练4-1（25-26高三·全国·一轮复习）2026人形机器人半程马拉松于4月19日开跑，有300多台机器人参赛．某人形机器人行走时，踝关节摆动高度y（单位：cm）随时间t（单位：s）的变化满足，已知该机器人踝关节完成一次完整的摆动动作需要的时间为s，则（   ） A． B． C． D． ▌对点练4-2音程由两个音组成，是和声的最小单位．有的音听起来和谐而有的则不和谐，这和音与音之间的波形（正弦型）有关．比如，1（do）到i（高音do）可以构成纯八度音程，听感上十分和谐，这是因为两者波形的周期比为，两个声波在1个（2个）周期后就立即重合，并有规律的进行下去．再比如1（do）到5（sol）可以构成纯五度音程，两者周期比为3：2，两个声波在2个（3个）周期后就立即重合，听感上也很和谐．也就是说，两个音波形的周期比例越简单，听感越和谐．已知在一个调性中，1（do）的波形符合函数（为振幅，为时间），在音与音之间振幅相同的情况下，与1（do）构成纯八度音程的i（高音do）、纯五度音程的5（sol）的波形函数分别为（    ） A．； B．； C．； D．； ▌对点练4-3（多选）按照规定，奥运会每4年举行一次.2008年夏季奥运会在北京举办，那么下列年份中举办夏季奥运会的应该是（    ） A．2023 B．2024 C．2026 D．2032 基础通关 1．（25-26高一下·广东清远·期中）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·浙江杭州·期中）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）函数的最小正周期为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山西忻州·期末）“”是“函数的最小正周期为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高一上·山东烟台·期末）下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·福建三明·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，，且，则（ ） A．1 B．0 C．-2025 D． 7．（多选）（25-26高一下·全国·课堂例题）下列是定义在上的四个函数图象的一部分，其中是周期函数的是（   ） A． B． C． D． 8．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数中周期为π，且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一下·广西梧州·期末）函数（）的最小正周期是，则的值为________； 10．（2025·北京大兴·三模）已知函数，若对任意都成立，则满足条件的一个实数的值是_____________. 素养提升 1．（25-26高一上·湖北·期末）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（22-23高一下·全国·课后作业）下列函数图象中具有周期性的是（    ） A． B． C． D． 3．若函数，则满足且的函数可以是______.（写出一个即可） 4．（25-26高一上·四川成都·期中）已知定义在R上的函数，满足以下三个条件： （i）对于任意； （ii）对于任意； （iii）. (1)判断关于哪条直线对称？ (2)证明：是以8为周期的周期函数 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）若函数满足，求的周期； （2）若函数满足，求的周期； （3）若函数满足，求的周期. 迁移创新 1．（24-25高三上·浙江丽水·期末）已知函数，若存在常数，使得恒成立，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三下·重庆沙坪坝·阶段检测）若函数对，，有，且，，则（    ） A．0 B．1 C． D．2022 3．（23-24高一上·山东青岛·阶段检测）对于定义在上的函数和正实数若对任意，有，则为阶梯函数. (1)分别判断下列函数是否为阶梯函数（直接写出结论）： ①； ②. (2)若为阶梯函数，求的所有可能取值； 4．（23-24高一下·上海·开学考试）已知函数的定义域为，若对于给定的非零实数，存在使得成立，则称函数具有性质. (1)已知，判断函数是否具有性质，并说明理由； (2)已知，若函数，具有性质，求正实数的取值范围； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $