7.2.3 三角函数的诱导公式（讲义，知识点&5大题型&刷好题）高一数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦三角函数诱导公式这一核心知识点，系统梳理公式1-8的推导（借助单位圆）、记忆规律（“奇变偶不变，符号看象限”口诀）及应用题型（给角求值、给值求值、化简、证明恒等式等），构建从原理到应用的完整学习支架。 该资料以单位圆为直观工具推导公式，培养学生用数学眼光观察空间形式的能力，通过口诀抽象概括规律提升数学思维，分层设计基础、素养、创新题型并结合实例，助力教师课中高效教学，学生课后可通过随学随练、对点练等巩固知识，查漏补缺，发展数学语言表达与应用意识。

第七章 三角函数 7.2.3 三角函数的诱导公式 课标要点 ①掌握诱导公式的内容、规律适用范围 ②了解诱导公式的作用 ③会用诱导公式进行化简、求值、证明恒等式 学习重难点 重点：借助单位圆，推导出正弦、余弦第二、三、四、五、六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数 难点：一～六的推导过程及公式的灵活应用 知识点诱导公式1---4（重点） 公式一 ① ② ③其中.  公式二 ① ② ③ 公式三 ① ② ③ 公式四 ① ② ③ 特别提醒 1）熟记公式应用时能合适选择公式 易错提醒 1）诱导公式一中容易忽略了连接符号而造成错误：如：是错误的。 随学随练 1．（25-26高一下·北京·期末）已知，且为第二象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为为第二象限角，所以. 2．（25-26高一下·湖南株洲·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）计算＝　______　，＝　______　． 【答案】 【详解】①计算： 正弦函数的最小正周期为，即对任意，. 取，可得： . 由诱导公式，得： . ②计算： 余弦函数为偶函数，即对任意角，， 因此： .余弦函数的最小正周期为，即对任意，. 取，可得： . 知识点诱导公式5--8（重点） 公式五 ① ② 公式六 ① ② 公式七 ① ② 公式八 ① ② 特别提醒 1）熟记公式应用时能合适选择公式 易错提醒 1）应用诱导公式5--8时注意改变函数名。 随学随练 1．（25-26高一下·辽宁大连·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式结合题设可得答案. 【详解】由诱导公式，. 2．（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）已知，则___________． 【答案】 【分析】根据诱导公式求解. 【详解】因为，所以. 3．（25-26高一下·河北承德·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，得到， 所以. 拓展诱导公式1--8口诀 诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化 活学活用 1．（25-26高一下·上海静安·期末）化简：______． 【答案】1 【详解】 2．（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知角的终边在直线上，则________． 【答案】 【详解】因为角的终边在直线上， 所以可取角终边上的点，所以. 所以． 题型给角求值问题（重点） 解题贴士 原则：①负角化正角②超过的角化到内③将化成内④求值 ▌例1（25-26高一下·河南南阳·阶段检测）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】,, 所以 ▌例2（25-26高一上·江西宜春·期末） 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式求解. 【详解】. 故选：D. ▌对点练1-1．（25-26高一上·宁夏银川·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合特殊角的三角函数值，利用诱导公式求解即可. 【详解】. 故选：B. ▌对点练1-2．（26-27高一上·浙江·开学考试）的值为______________. 【答案】 【分析】根据三角函数的诱导公式计算即可. 【详解】. ▌对点练1-3．（25-26高一下·北京房山·期中）___________． 【答案】/ 【分析】借助诱导公式计算即可得. 【详解】. 题型给值（式）求值问题（重点） 解题贴士 ①已知角和未知角的和是特殊角 ②已知角和未知角的差是特殊角 ③通过建立已知角和未知角的关系，利用诱导公式变形求解 ▌例1（25-26高一上·四川成都·期末）已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式结合同角三角函数基本关系可求的值. 【详解】因为，所以， 而，故， 所以， 而， 所以. ▌例2（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知，且，则______. 【答案】/ 【分析】借助同角三角函数基本关系与诱导公式计算即可得. 【详解】由，则， 则， 则. ▌对点练2-1（25-26高一上·江苏南京·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的诱导公式进行计算. 【详解】. 故选：B ▌对点练2-2（25-26高一上·浙江温州·期末）已知，则___________． 【答案】/ 【分析】根据诱导公式计算即可求解. 【详解】由题意知，. 故答案为：. ▌对点练2-3若，则______ 【答案】/ 【分析】借助诱导公式计算即得. 【详解】. 故答案为： 题型三角函数化简求值（重点） ▌例1（26-27高三上·广东汕尾·阶段检测）已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以. ▌例2（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）化简：__________. 【答案】1 【详解】. ▌对点练3-1（2026·河南信阳·三模）已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由诱导公式、同角三角函数商的关系即可求解. 【详解】 ▌对点练3-2（2026高三·全国·专题练习）______． 【答案】 【详解】． ▌对点练3-3（25-26高一下·黑龙江伊春·期中）化简 【答案】 【分析】利用诱导公式和同角三角函数的关系化简即可． 【详解】． 题型利用诱导公式证明三角恒等式 ▌例1（24-25高一上·广东广州·阶段检测）（1）求证：； （2）设，求证. 【答案】 （1）左边=  =右边，所以原等式成立. （2）方法1：左边=  ===右边，所以原等式成立. 方法2：由，得， 所以，等式左边= ===右边，等式成立. 【分析】（1）（2）应用诱导公式化简等式中结构复杂的一侧，即可证结论. 【详解】略 ▌例2（25-26高一下·全国·课后作业）求证：． 【答案】 左边==–tanα=右边， ∴等式成立． 【分析】利用三角函数的诱导公式和同角三角函数基本关系式证明. 【详解】略 ▌对点练4-1求证： 【答案】 左边＝＝右边，所以原等式成立． 【分析】对等式左边用诱导公式进行化简证明 【详解】略 ▌对点练4-2（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：． 【答案】 左边右边， 所以． 【分析】利用诱导公式化简即可. 【详解】略 ▌对点练4-3求证：＝． 【答案】 左边 . 右边. ∴左边＝右边，故原等式成立． 【分析】运用诱导公式结合同角三角函数的基本关系将等式两边分别化简，进而证明问题. 【详解】略 题型诱导公式与同角三角函数基本关系应用（重点） ▌例1（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知. (1)化简 (2)若是第二象限角，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由诱导公式化简即可； （2）由诱导公式化简求出，再由平方关系求出，代入即可. 【详解】（1） ； （2），所以， 又因为是第二象限角，所以， . ▌例2（25-26高一下·辽宁·期中）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点. (1)求，； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的定义求解； （2）利用诱导公式化简，再求解； 【详解】（1）； （2）. ▌对点练5-1（25-26高一下·甘肃酒泉·期中）已知函数． (1)化简； (2)若，且，求及的值． 【答案】(1)； (2)， 【分析】（1）利用诱导公式化简整理，即可求得答案. （2）利用（1）的结果和同角三角函数的基本关系联立解方程组即可得出结果. 【详解】（1）． （2）因为，所以， 所以． 所以． 因为，所以，所以，即． 所以． ▌对点练5-2（25-26高一上·江苏·期末）已知函数，其中，. (1)化简； (2)若，分别求和的值. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）利用诱导公式化简即可得到答案； （2）由题知，利用齐次式弦化切代入求解即可求出答案. 【详解】（1）. （2）由题知， 所以； . ▌对点练5-3（25-26高一上·安徽阜阳·期末）在平面直角坐标系中，若角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点． (1)求和的值; (2)若，化简并求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角函数定义得到正弦和正切值； （2）利用诱导公式和同角三角函数关系化简得到，代入求值. 【详解】（1）∵角α的终边经过点， (其中O为坐标原点)，. （2）. 基础通关 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据诱导公式，，故B正确. 2．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得. 3．（25-26高一下·广东广州·期末）已知角的终边经过点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据任意角三角函数的定义以及诱导公式计算即可. 【详解】. 4．（26-27高二上·浙江·开学考试）若为第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据诱导公式， 又因为为第二象限角,,所以, 所以. 5．（24-25高一上·四川泸州·阶段检测）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得， 即， 故. 6．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知角的终边上一点，则（    ） A． B． C．1 D．-1 【答案】C 【分析】先根据三角函数的定义求出，再利用诱导公式化简目标式，结合齐次式弦切互化的方法计算结果. 【详解】由角的终边上一点， 可得， 所以 . 7．（多选）（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据诱导公式逐项判断即可. 【详解】由诱导公式知，，， ，， 故ACD正确，B错误. 8．（多选）（25-26高一上·新疆喀什·期末）已知，则（      ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】首先根据同角三角函数计算和，再根据诱导公式判断选项. 【详解】由条件可知，，， 所以，A错误；，B正确； ，C正确；，D正确. 故选：BCD 9．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知，且是第四象限的角，则_________ 【答案】/ 【详解】因为，则得， 已知是第四象限角，则， 故. 10．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）设，其中a，b，，，若，则__________. 【答案】1 【详解】因为， 则，， 故， 又因为，所以. 素养提升 1．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，则＝（    ） A．－ B．－ C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式化简得到，代入计算得到答案. 【详解】因为，， ， 所以， 所以. 2．（24-25高一上·河南周口·阶段检测）已知，________． 【答案】 【分析】根据三角函数的诱导公式化简求解即可. 【详解】 . 所以. 3．（25-26高一下·贵州遵义·期中）角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据任意角三角函数的定义求解即可. （2）根据任意角三角函数的定义求解，然后代入原式计算即可. （3）先对原式进行化简，然后再代入求解即可. 【详解】（1）根据任意角三角函数的定义可得 （2）根据任意角三角函数定义可得. . （3）由（2）可得.    原式. 4．（25-26高一下·江西抚州·期中）在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中. (1)求实数的值 (2)求的值. (3)记点的横坐标为，若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用单位圆即可求解； （2）利用诱导公式先化简，再利用三角函数的定义即可求解； （3）由已知得，又，进而得，利用同角三角函数得，进而求解. 【详解】（1）由于点在单位圆上，则，又是锐角，可得； （2）由（1）得，， 所以 ； （3）由（1）可知，且为锐角，可得， 根据三角函数定义可得：， 因为， 由， 所以. 5．（25-26高一下·江西南昌·阶段检测）已知． (1)化简； (2)若是第二象限角，且，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）利用同角三角函数公式求出即可求解； （3）根据即可求解. 【详解】（1）由题； （2）是第二象限角，且，， 则； （3）， ． 迁移创新 1．（26-27高三上·天津北辰·阶段检测）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，又，则， 所以. 2．（25-26高一下·河北·阶段检测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用诱导公式及同角三角函数关系计算，再结合角的范围求解. 【详解】. 因为，所以， 又因为，所以，所以. 所以， 故. 3．（26-27高一上·全国·课后作业）设，其中，且.若，则等于________. 【答案】 【详解】因为， 所以. . 4．（24-25高一下·广东广州·期中）已知，则的值是______. 【答案】 【详解】解：，则. 5．（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心O和P得到射线OP，将射线OP绕点O按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点B，其中． (1)求的值． (2)记点B的横坐标为，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助三角函数定义可得，再利用诱导公式与三角函数商数关系，将弦化为切后计算即可得. （2）利用三角函数定义可得，则可得，再利用同角三角函数基本关系与诱导公式计算即可得. 【详解】（1）由于点在单位圆上，则，又是锐角，可得， 所以，， 所以； （2）由（1）可知，且为锐角，可得， 根据三角函数定义可得：， 因为，且， 因此，所以， 所以 . 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 三角函数 7.2.3 三角函数的诱导公式 课标要点 ①掌握诱导公式的内容、规律适用范围 ②了解诱导公式的作用 ③会用诱导公式进行化简、求值、证明恒等式 学习重难点 重点：借助单位圆，推导出正弦、余弦第二、三、四、五、六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数 难点：一～六的推导过程及公式的灵活应用 知识点诱导公式1---4（重点） 公式一 ① ② ③其中.  公式二 ① ② ③ 公式三 ① ② ③ 公式四 ① ② ③ 特别提醒 1）熟记公式应用时能合适选择公式 易错提醒 1）诱导公式一中容易忽略了连接符号而造成错误：如：是错误的。 随学随练 1．（25-26高一下·北京·期末）已知，且为第二象限角，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·湖南株洲·期末）（   ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）计算＝　______　，＝　______　． 知识点诱导公式5--8（重点） 公式五 ① ② 公式六 ① ② 公式七 ① ② 公式八 ① ② 特别提醒 1）熟记公式应用时能合适选择公式 易错提醒 1）应用诱导公式5--8时注意改变函数名。 随学随练 1．（25-26高一下·辽宁大连·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）已知，则___________． 3．（25-26高一下·河北承德·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 拓展诱导公式1--8口诀 诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化 活学活用 1．（25-26高一下·上海静安·期末）化简：______． 2．（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知角的终边在直线上，则________． 题型给角求值问题（重点） 解题贴士 原则：①负角化正角②超过的角化到内③将化成内④求值 ▌例1（25-26高一下·河南南阳·阶段检测）（    ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高一上·江西宜春·期末） 的值为（ ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（25-26高一上·宁夏银川·期末）（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（26-27高一上·浙江·开学考试）的值为______________. ▌对点练1-3．（25-26高一下·北京房山·期中）___________． 题型给值（式）求值问题（重点） 解题贴士 ①已知角和未知角的和是特殊角 ②已知角和未知角的差是特殊角 ③通过建立已知角和未知角的关系，利用诱导公式变形求解 ▌例1（25-26高一上·四川成都·期末）已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知，且，则______. ▌对点练2-1（25-26高一上·江苏南京·期末）若，则（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-2（25-26高一上·浙江温州·期末）已知，则___________． ▌对点练2-3若，则______ 题型三角函数化简求值（重点） ▌例1（26-27高三上·广东汕尾·阶段检测）已知，则的值为（     ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）化简：__________. ▌对点练3-1（2026·河南信阳·三模）已知，则（    ） A． B． C．1 D． ▌对点练3-2（2026高三·全国·专题练习）______． ▌对点练3-3（25-26高一下·黑龙江伊春·期中）化简 题型利用诱导公式证明三角恒等式 ▌例1（24-25高一上·广东广州·阶段检测）（1）求证：； （2）设，求证. ▌例2（25-26高一下·全国·课后作业）求证：． ▌对点练4-1求证： ▌对点练4-2（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：． ▌对点练4-3求证：＝． 题型诱导公式与同角三角函数基本关系应用（重点） ▌例1（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知. (1)化简 (2)若是第二象限角，且，求的值. ▌例2（25-26高一下·辽宁·期中）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点. (1)求，； (2)求的值. ▌对点练5-1（25-26高一下·甘肃酒泉·期中）已知函数． (1)化简； (2)若，且，求及的值． ▌对点练5-2（25-26高一上·江苏·期末）已知函数，其中，. (1)化简； (2)若，分别求和的值. ▌对点练5-3（25-26高一上·安徽阜阳·期末）在平面直角坐标系中，若角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点． (1)求和的值; (2)若，化简并求的值． 基础通关 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·广东广州·期末）已知角的终边经过点，则（     ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·浙江·开学考试）若为第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·四川泸州·阶段检测）已知，则（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知角的终边上一点，则（    ） A． B． C．1 D．-1 7．（多选）（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 8．（多选）（25-26高一上·新疆喀什·期末）已知，则（      ） A． B． C． D． 9．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知，且是第四象限的角，则_________ 10．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）设，其中a，b，，，若，则__________. 素养提升 1．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，则＝（    ） A．－ B．－ C． D． 2．（24-25高一上·河南周口·阶段检测）已知，________． 3．（25-26高一下·贵州遵义·期中）角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 4．（25-26高一下·江西抚州·期中）在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中. (1)求实数的值 (2)求的值. (3)记点的横坐标为，若，求的值. 5．（25-26高一下·江西南昌·阶段检测）已知． (1)化简； (2)若是第二象限角，且，求的值； (3)若，求的值． 迁移创新 1．（26-27高三上·天津北辰·阶段检测）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·河北·阶段检测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·全国·课后作业）设，其中，且.若，则等于________. 4．（24-25高一下·广东广州·期中）已知，则的值是______. 5．（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心O和P得到射线OP，将射线OP绕点O按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点B，其中． (1)求的值． (2)记点B的横坐标为，若，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $