4.1 指数（讲义，知识点&4大题型&刷好题）高一数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦“指数”核心知识点，以整数指数幂为基础，通过根式实现概念过渡，进而学习分数指数幂完成根式与指数互化，最终扩展到有理及无理指数幂，构建从具体到抽象的完整指数知识支架。 资料设计亮点在于分层练习体系，随学随练即时巩固基础，题型示例结合推理引导培养运算能力，素养提升与迁移创新题促进数学思维发展。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化用数学语言表达和解决问题的应用意识。

第四章 指数与对数 4.1 指数 课标要点 ①理解根式和分数指数幂的含义，并且能进行两者之间的互化 ②掌握根式的性质，并能运用根式的运算性质进行根式的运算 ③掌握实数指数幂的运算性质，学会化简较复杂的运算式子 学习重难点 重点：掌握无理数、实数指数幂的计算 难点：掌握根式的性质，并能运用根式的运算性质进行根式的运算 知识点 整数指数幂（重点） 1、正整数指数幂的定义：，其中， 2、正整数指数幂的运算法则： ①（） ②（，，） ③（） ④（） ⑤（） 特别提醒 1） 2） 随学随练 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列各式运算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选项A，； 选项B，； 选项C，； 选项D，. 2．（24-25高一上·江苏宿迁·开学考试）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法运算法则依次进行运算即可求解． 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：D． 3．（江西省上饶市余干县私立蓝天中学2025-2026学年高一上学期9月月考数学试题）计算： ______． 【答案】 【分析】根据单项式除以单项式法则求出即可． 【详解】. 故答案为：． 知识点 根式（重点） 1、次根式定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别提醒 ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成() ③负数没有偶次方根 ④的任何次方根都是，记作 2、根式： 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 在根式符号中，注意： ①， ②当为奇数时，对任意都有意义 ③当为偶数时，只有当时才有意义. 3、与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 随学随练 1．（25-26高一上·广西南宁·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用根式的运算性质即可求解. 【详解】. 故选：B. 2．（24-25高一上·云南保山·阶段检测）计算（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用根式的运算性质求解即可 【详解】. 故选：A 3．（24-25高一上·广西南宁·阶段检测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根式的性质化简即可得解. 【详解】因为， 所以， 故选：A 知识点 分数指数幂（重点） 1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. 3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 随学随练 1．（25-26高一上·山东临沂·期中）______. 【答案】 【分析】根据根式与分数指数幂的运算求得结果. 【详解】原式 ， 故答案为：. 2．计算_______． 【答案】24 【分析】利用指数幂与根式的化简、运算法则直接求解． 【详解】 故答案为：24. 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）计算下列各式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式 . （2）原式 （3）原式. 知识点 有理指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 知识点 无理指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 题型根式的概念 解题贴士 ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成() ▌例1 （多选）已知，且，则以下结论错误的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】CD 【分析】由题意可得，即可得解. 【详解】由，且知， 所以x，y异号，所以A，B正确，C，D错误． 故选：CD． ▌例2 已知，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】利用根式的性质化简可得出，由此可求得实数的取值范围. 【详解】，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查根式的化简运算，考查计算能力，属于基础题. ▌对点练1-1．是实数，则下列式子中可能没有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实数指数幂的运算性质，求得选项中各个式子有意义的条件，即可求解. 【详解】由指数幂的运算性质，可得： 对于A中，式子中，实数的取值为，所以总有意义； 对于B中，式子中，实数的取值为，所以总有意义； 对于C中，式子中，实数的取值为，所以可能没有意义； 对于D中式子中，实数的取值为，所以总有意义. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算性质及其应用，其中解答中熟记实数指数幂的性质，求得各项式子有意义的条件是解答的关键，着重考查推理能力. ▌对点练1-2．（多选）若，则下列四个式子中有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据根式的意义逐一判断可得. 【详解】因为，所以为偶数，，所以有意义，A正确； 取，则，所以无意义，B错误； 因为的根指数为奇数，所以有意义，C正确； 若，则，所以无意义，D错误. 故选：AC ▌对点练1-3．若=1-2a，则a的取值范围是_____. 【答案】 【分析】先利用二次根式的性质得到，再利用绝对值的几何意义求解. 【详解】因为=1-2a， 所以， 所以， 故答案为： 【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简以及绝对值的几何意义，属于基础题. 题型 根式的化简求值（重点） 解题贴士 ①当为奇数时，且， ②为偶数时，且， ▌例1（23-24高一上·全国·课后作业）化简下列各式． （1）＝______； （2）＝______. 【答案】 【分析】（1）根据根式的运算性质直接求解即可； （2）根据已知条件判断的范围，再结合根式的运算性质，即可求得结果. 【详解】（1）. （2）由题意，首先，即，从而， ，， 所以原式. 故答案为：； ▌例2（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)（）； (3) 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】根据根式的运算法则化简求值即可. 【详解】（1）. （2）， 因为，所以， 所以. （3）. ▌对点练2-1（24-25高一上·上海浦东新·期中）当时，化简________. 【答案】4 【分析】将根式里面进行配方，结合的范围即可化简. 【详解】因为,所以, 所以, 故答案为：4. ▌对点练2-2（24-25高一上·全国·课前预习）化简(1) (x＜π，n∈N*)； (2). 【答案】（1）（2）. 【分析】（1）对分类讨论即可； （2）根据根式的运算法则及性质计算即可. 【详解】(1)∵x＜π，∴x－π＜0. 当n为偶数时，＝|x－π|＝π－x； 当n为奇数时，＝x－π. 综上可知， (2)∵a≤， ∴1－2a≥0， ∴＝＝＝. 【点睛】本题主要考查了根式的意义及其运算性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. ▌对点练2-3（26-27高一上·全国·课堂例题）化简与求值： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)－5 (2)3 (3) (4) 【详解】（1）. （2） （3）， . （4）原式. 当时，原式； 当时，原式． 题型分数指数幂的简单计算 ▌例1（26-27高一上·全国·课堂例题）计算______. 【答案】 【详解】 . ▌例2（26-27高一上·全国·课堂例题）化简求值： (1)； (2). 【答案】(1) (2)3.1 【详解】（1）原式 （2）原式 ▌对点练3-1（25-26高一上·福建泉州·期中）计算____________ 【答案】4 【详解】． ▌对点练3-2（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）计算：___________． 【答案】 【分析】根据实数指数幂运算法则进行计算即可. 【详解】原式． 故答案为： ▌对点练3-3（2026高一·全国·专题练习）计算； 【答案】 【分析】由指数幂的运算性质、根式与有理数指数幂的关系分别计算各式即可得答案． 【详解】 ； 题型 条件求值（重点） ▌例1（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知，则（   ） A．14 B．16 C．2 D．8 【答案】A 【分析】利用指数运算法则直接计算即可. 【详解】由可得. 故选：A. ▌例2（1）已知，且，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）6 【分析】（1）由及计算可得； （2）由及计算可得. 【详解】（1）由题意可知， ， ， ． （2）， ， . ▌对点练4-1（25-26高一上·福建·阶段检测）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对已知条件进行变形，利用完全平方公式化简可得，再根据平方差公式化简即可求解. 【详解】解：由，得， 则，因此， 所以． 故选：C ▌对点练4-2（25-26高一上·云南昆明·期中）已知，则______. 【答案】2 【分析】对方程两边取平方，即可求出答案. 【详解】由两边取平方得， 即，解得. 故答案为：2 ▌对点练4-3（24-25高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知实数满足，则 _______. 【答案】 【分析】根据可得结果. 【详解】由题意得，， ∵，∴. 故答案为：. 基础通关 1．（25-26高一上·广东梅州·开学考试）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项：由题意得，故选项A错误； B选项：由题意得，故选项B错误； C选项：由题意得，故选项C错误； D选项：由题意得，故选项D正确. 2．（24-25高一上·湖南长沙·开学考试）如果那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】C 【详解】解：因为二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于零，则，解得． 3．（25-26高二·全国·暑假作业）计算：（   ） A．6 B．7 C．8 D． 【答案】B 【分析】根据指数运算求得正确答案. 【详解】. 4．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，，则（   ） A．18 B．27 C．36 D．24 【答案】D 【详解】 5．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D．（） 【答案】D 【分析】利用分数指数幂与根式的关系可判断A；零的负分数指数幂没有意义，可判断B；根据根式的性质可判断C；D显然成立. 【详解】，故A错误； 零的负分数指数幂没有意义，故B错误； ，故C错误； ，故D 正确. 6．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数的运算性质可得出，，，结合指数的运算性质可求得所求代数式的值. 【详解】因为，，则，，且，所以， 所以. 故选：B. 7．（多选）（25-26高一上·黑龙江绥化·阶段检测）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据根式和分数指数幂运算逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误． 故选：BC. 8．（多选）（25-26高一·全国·寒假作业）当时，可能等于（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先得到，分和两种情况，根据二次根式运算法则得到答案. 【详解】由成立可知，当时得，即. 因此， 同理，当时，，即，因此. 故选：BC. 9．（25-26高二上·天津静海·阶段检测）计算：_________ 【答案】 【分析】利用指数幂的运算法则化简. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 10．（25-26高一上·云南红河·阶段检测）已知，且，则__________. 【答案】23 【分析】利用完全平方公式对进行平方，然后通过变形求出的值. 【详解】因为，所以， 即， 所以 故答案为：23 素养提升 1．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用指数运算化简求解. 【详解】由，得，，则，因此， 所以. 2．（25-26高一上·陕西宝鸡·阶段检测）已知，，则的值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算性质可得. 【详解】. 故选：B. 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）有下列说法：①；②16的4次方根是；③；④；⑤若，则.其中正确的是______.（填正确说法的序号） 【答案】②④⑤ 【详解】当n是奇数时，负数的n次方根是一个负数，故，①错误； 16的4次方根有两个，为，②正确；，③错误； ，所以，④正确． 由题意知， 故,⑤正确． 4．（2026高一·全国·专题练习）已知，，则的值为______． 【答案】 【分析】利用完全平方公式与指数的运算法则化简求解. 【详解】因为， 所以， 故. 5．（2026高一·全国·专题练习）已知，则的值为______． 【答案】 【分析】根据之间的关系，结合因式分解运算求解. 【详解】因为，则，可得， 则，可得， 又注意到， 所以. 迁移创新 1．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分子、分母通过提取公因式化简，再结合分母有理化即可求解. 【详解】因为 ； ； 所以 . 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）计算下列各式： (1)； (2) (3)，其中，. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）. （2）因为，故原式. （3）. 3．（2026高一·全国·专题练习）计算下列各式的值： (1)化简：； (2)已知，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）全部根式转化为分数指数，把根式运算转化为有理数指数的代数运算. （2）求代数式整体的值，用整体的值代入分式求值即可. 【详解】（1） （2）由，可得， 等式两边同时平方可得：，即， 等式两边同时平方可得：，即， 所以. 4．（25-26高一上·湖北·阶段检测）化简求值： (1)已知，求的值． (2)已知，求：． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）将目标式化为，结合化简求值即可； （2）根据已知先求出、，再代入目标式求值. 【详解】（1）由，则， 而，则； （2）由， ， 所以. 5．（24-25高一上·福建莆田·期中）（1）将根式化简为指数式； （2）求值：； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）将根式化为分数指数幂，根据分数指数幂的运算性质化简即可求得结果； （2）根据分数指数幂的运算性质化简即可求得结果. （3）利用指数幂运算即可得出结论. 【详解】（1）；         （2）原式； （3）因为， 所以， . 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数与对数 4.1 指数 课标要点 ①理解根式和分数指数幂的含义，并且能进行两者之间的互化 ②掌握根式的性质，并能运用根式的运算性质进行根式的运算 ③掌握实数指数幂的运算性质，学会化简较复杂的运算式子 学习重难点 重点：掌握无理数、实数指数幂的计算 难点：掌握根式的性质，并能运用根式的运算性质进行根式的运算 知识点 整数指数幂（重点） 1、正整数指数幂的定义：，其中， 2、正整数指数幂的运算法则： ①（） ②（，，） ③（） ④（） ⑤（） 特别提醒 1） 2） 随学随练 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列各式运算错误的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏宿迁·开学考试）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（江西省上饶市余干县私立蓝天中学2025-2026学年高一上学期9月月考数学试题）计算： ______． 知识点 根式（重点） 1、次根式定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别提醒 ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成() ③负数没有偶次方根 ④的任何次方根都是，记作 2、根式： 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 在根式符号中，注意： ①， ②当为奇数时，对任意都有意义 ③当为偶数时，只有当时才有意义. 3、与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 随学随练 1．（25-26高一上·广西南宁·期中）（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·云南保山·阶段检测）计算（   ） A．4 B．2 C． D． 3．（24-25高一上·广西南宁·阶段检测）若，则（    ） A． B． C． D． 知识点 分数指数幂（重点） 1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. 3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 随学随练 1．（25-26高一上·山东临沂·期中）______. 2．计算_______． 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）计算下列各式： (1)； (2)； (3). 知识点 有理指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 知识点 无理指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 题型根式的概念 解题贴士 ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成() ▌例1 （多选）已知，且，则以下结论错误的是（    ） A．， B．， C．， D．， ▌例2 已知，则实数的取值范围是________. ▌对点练1-1．是实数，则下列式子中可能没有意义的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（多选）若，则下列四个式子中有意义的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．若=1-2a，则a的取值范围是_____. 题型 根式的化简求值（重点） 解题贴士 ①当为奇数时，且， ②为偶数时，且， ▌例1（23-24高一上·全国·课后作业）化简下列各式． （1）＝______； （2）＝______. ▌例2（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)（）； (3) ▌对点练2-1（24-25高一上·上海浦东新·期中）当时，化简________. ▌对点练2-2（24-25高一上·全国·课前预习）化简(1) (x＜π，n∈N*)； (2). ▌对点练2-3（26-27高一上·全国·课堂例题）化简与求值： (1)； (2)； (3)； (4). 题型分数指数幂的简单计算 ▌例1（26-27高一上·全国·课堂例题）计算______. ▌例2（26-27高一上·全国·课堂例题）化简求值： (1)； (2). ▌对点练3-1（25-26高一上·福建泉州·期中）计算____________ ▌对点练3-2（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）计算：___________． ▌对点练3-3（2026高一·全国·专题练习）计算； 题型 条件求值（重点） ▌例1（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知，则（   ） A．14 B．16 C．2 D．8 ▌例2（1）已知，且，求的值． （2）已知，求的值． ▌对点练4-1（25-26高一上·福建·阶段检测）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． ▌对点练4-2（25-26高一上·云南昆明·期中）已知，则______. ▌对点练4-3（24-25高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知实数满足，则 _______. 基础通关 1．（25-26高一上·广东梅州·开学考试）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖南长沙·开学考试）如果那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 3．（25-26高二·全国·暑假作业）计算：（   ） A．6 B．7 C．8 D． 4．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，，则（   ） A．18 B．27 C．36 D．24 5．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D．（） 6．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（25-26高一上·黑龙江绥化·阶段检测）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（25-26高一·全国·寒假作业）当时，可能等于（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·天津静海·阶段检测）计算：_________ 10．（25-26高一上·云南红河·阶段检测）已知，且，则__________. 素养提升 1．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·陕西宝鸡·阶段检测）已知，，则的值为（   ） A．0 B． C． D． 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）有下列说法：①；②16的4次方根是；③；④；⑤若，则.其中正确的是______.（填正确说法的序号） 4．（2026高一·全国·专题练习）已知，，则的值为______． 5．（2026高一·全国·专题练习）已知，则的值为______． 迁移创新 1．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）计算下列各式： (1)； (2) (3)，其中，. 3．（2026高一·全国·专题练习）计算下列各式的值： (1)化简：； (2)已知，求的值. 4．（25-26高一上·湖北·阶段检测）化简求值： (1)已知，求的值． (2)已知，求：． 5．（24-25高一上·福建莆田·期中）（1）将根式化简为指数式； （2）求值：； （3）已知，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $