2.1 命题、定理、定义（讲义，知识点&4大题型&刷好题）高一数学苏教版必修第一册

本高中数学讲义聚焦常用逻辑用语中的命题、定理、定义核心知识点，从命题的定义与分类出发，梳理“若p则q”形式改写方法，结合公理定理判断真假，构建从概念理解到形式转化再到含参应用的完整学习支架。 资料通过“题型+解题贴士+例题+对点练”模式强化命题改写与真假判断，分层练习覆盖基础应用到创新探究，助力学生用数学思维推理命题真假，用数学语言规范表达，课中辅助教师高效教学，课后帮助学生查漏补缺。

第2章 常用逻辑用语 2.1 命题、定理、定义 课标要点 理解命题、定理、定义的概念； 会判断命题的真假； 能把命题改写成“若，则”的形式。 学习重难点 重点：能把命题改写成“若，则”的形式 难点：会判断命题的真假 知识点 命题（重点） 1.命题的定义：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，我们将可判断真假的陈述句叫作命题． 2.命题的分类 命题中，判断为真的语句叫作真命题，判断为假的语句叫作假命题。 （1）判断命题真假的依据为常见的公理、定理、推论等; （2）一个命题不是真命题，就是假命题，不能模棱两可; 3、判断一个命题真假的方法: 在数学中，要判断一个命题是假命题，只需要举一个反例即可;而要说明一个命题是真命题，要经过严格的逻辑推理，一般根据已有的知识（如数学中的定义、定理、公式等）判断。 4.命题的结构形式： （1）命题的一般形式:若，则”，其中叫做命题的条件, 叫做命题的结论。 （2）确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若，则”的形式. 特别提醒 1）命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”，我们学习过的定理、推论都是命题． 教材延伸 判断含参命题的真假，需要将命题转化为恒成立或存在性语句进行讨论研究。 随学随练 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B．同位角相等 C． D． 【答案】B 【分析】利用命题的判断方法，结合选项，即可得出结果. 【详解】因为命题是能判断真假的陈述语句，选项A，C和D不能判断真假，选项B可以判断真假， 故选：B. 2．（多选）（25-26高一上·贵州·期中）下列命题是真命题的有（   ） A．是无理数 B．若，则 C．方程有实数根 D．集合A是集合的子集 【答案】AD 【分析】根据无理数的定义，可判断A的正误；根据x的范围，分析即可判定B的正误；根据的值域，可判断C的正误；根据并集的定义，可判断D的正误，即可得答案. 【详解】选项A：是无理数，故A正确； 选项B：当时，满足，但，故B错误； 选项C：方程，整理得，因为， 所以方程无实数根，故C错误； 选项D：因为集合包含集合A中全部元素， 所以集合A是集合的子集，故D正确. 故选：AD 3．判断下列语句是否为命题： (1)有的正方形是三角形； (2)任意一个三角形的内角和都为； (3)1是自然数吗？ (4)； (5)，且. 【答案】(1)是 (2)是 (3)不是 (4)是 (5)是 【分析】利用命题的定义即可得解. 【详解】（1）因为可判断真假的陈述句为命题， 而“有的正方形是三角形”可判断真假，也为陈述句，故为命题. （2）“任意一个三角形的内角和都为”可判断真假，也为陈述句，故为命题. （3）“1是自然数吗？”是疑问句，故不为命题. （4）“”可判断真假，也为陈述句，故为命题. （5）“，且”可判断真假，也为陈述句，故为命题. 知识点 定理、定义 1、定理:已经被证明为真的命题，可以作为推理的依据而直接使用。 2、定义:定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或揭示所研究对象的内涵，定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别 拓展 根据含参命题真假求参数 活学活用 1．（多选）（24-25高一上·全国·随堂练习）（多选）给出命题“方程没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先求出命题“方程没有实数根”为真时，的取值范围，再结合选项，即可求解. 【详解】当方程没有实数根时，有，得到， 故选：BC. 2．若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是_______． 【答案】或 【分析】分和两种情况，然后根据一元一次方程、一元二次方程有根的条件求解即可． 【详解】①当时，方程为，只有当时，方程才有实数解； ②当时，方程为一元二次方程，方程有实数解的条件为． 综上可得当或时，方程有实数解． 故答案为：或 3．若和或都是假命题，则的范围是__________ 【答案】 【分析】先由和或都是假命题，求出x的范围，取交集即可. 【详解】若为假命题，则有或 若或是假命题，则 所以的范围是 即的范围是 胡答案为： 题型 命题的概念 解题贴士 判断一个语句是不是命题,关键看两点:第一,是不是陈述句,第二,是否可以判断真假,这两个条件缺一不可。一般来说,疑问句、祈使句、感叹句均不是命题。 ▌例1 （25-26高一上·全国·课后作业）下列语句为命题的是（ ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 【答案】D 【分析】由命题的定义判断各个选项即可. 【详解】由命题的定义可知，能够判断真假的陈述句是命题，所以D为命题． A，B，C不能判断真假，所以不是命题. ▌例2 （24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列语句是否为命题？若是，请判断其真假，并说明理由． (1)求证是无理数； (2)若，则； (3)你是高一的学生吗？ (4)并非所有的人都喜欢吃苹果； (5)若xy是有理数，则x，y都是有理数； (6)． 【答案】(1)不是命题； (2)是命题，真命题； (3)不是命题； (4)是命题；真命题； (5)是命题，假命题； (6)不是命题. 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）利用命题的定义判断各个语句，再判断 命题的真假. 【详解】（1）是祈使句，不是命题． （2）因为，，所以可以判断其真假，是命题，而且是真命题． （3）是疑问句，不是命题． （4）是命题，而且是真命题，有的人喜欢吃苹果，有的人不喜欢吃苹果. （5）是命题，而且是假命题，如是有理数，但和都是无理数． （6）不是命题，这种含有未知数的语句，无法确定未知数的取值能否使不等式成立． ▌对点练1-1．（24-25高一上·新疆喀什·阶段检测）下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据命题的概念逐一判断. 【详解】①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题. 故选：C. ▌对点练1-2．（23-24高一上·广西河池·阶段检测）有下列语句，其中是命题的个数为（    ） （1）数学真有趣 （2）0是自然数 （3） （4） （5）素数都是奇数. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据命题的概念逐项判断即可. 【详解】（1）这是一个感叹句，没有办法判断出真假，故不是命题； （2）0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题； （3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题； （4）不能判断是否正确，所以不是命题； （5）2是素数也是偶数，所以是命题，是假命题； 所以（1）､（4）不是命题，其余都是命题.其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是假命题. 故选：B. ▌对点练1-3．判断下列语句是不是命题，并说明理由. (1)是有理数； (2)年夏季奥运会的举办城市是日本的东京； (3)； (4)梯形是不是平面图形呢？ (5)，； (6)请勿喧哗； (7). 【答案】(1)“是有理数”是陈述句，并且能判断它是假的，所以它是命题； (2)“2020年夏季奥运会的举办城市是日本的东京”是陈述句，并且能判断它是真的，所以它是命题； (3)因为无法判断“”的真假，所以它不是命题； (4)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题； (5)因为“，”中，所以“”是真的，所以它是命题； (6)“请勿喧哗”是祈使句，不是陈述句，所以它不是命题； (7)“”是假的，所以它是命题. 【分析】结合命题的概念，对题中语句逐个分析，可得出答案. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 （5）略 （6）略 （7）略 题型将命题改写成若p则q的形式 解题贴士 将含有大前提的命题改写为“若,则”的形式时,大前提应保持不变,改写后仍作为大前提,不要写在条件中。改写前后命题的真假不发生变化。 ▌例1（24-25高一上·全国·课后作业）命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式为（    ） A．若两个三角形全等，则它们的面积相等 B．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 C．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等 D．若两个三角形不全等，则它们的面积不相等 【答案】A 【分析】确定命题的条件和结论，然后改写成“若p，则q”的形式即可 【详解】因为命题“全等三角形的面积相等”的条件是两个三角形全等，结论为这两三角形的面积相等， 所以改写成“若p，则q”的形式为：若两个三角形全等，则它们的面积相等. 故选：A ▌例2把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)两个相似三角形是全等三角形． 【答案】(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题． (2)若，则，是真命题 (3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题． 【分析】先写出“若p，则q”的形式，再利用相关定义性质或计算，判断真假. 【详解】（1）若一个数是奇数，则它不能被2整除， 根据奇数的定义可知，奇数不能被2整除，为真命题； （2）若，则， 要想满足，则，解得，是真命题； （3）若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形， 两个三角形相似，则形状相同，但大小不一定相等，故不一定全等，为假命题. ▌对点练2-1将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)在中，大角对大边． (2)矩形的对角线互相垂直． (3)相等的两个角的正弦值相等． (4)等底等高的两个三角形是全等三角形． 【答案】(1)在中，若一内角较大，则其对的边也较大． (2)若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线互相垂直． (3)若两个角相等，则它们的正弦值相等． (4)若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等． 【分析】根据命题的条件和结论进行改写即可. 【详解】（1）在中，若一内角较大，则其对的边也较大． （2）若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线互相垂直． （3）若两个角相等，则它们的正弦值相等． （4）若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等． ▌对点练2-2指出下列命题中的条件p和结论q． (1)若，则x，y互为相反数． (2)如果，则． (3)当时，． 【答案】(1)，互为相反数． (2)，． (3)，． 【分析】利用命题“若，则”的定义即可得解. 【详解】（1），互为相反数． （2），． （3），． ▌对点练2-3下列命题改写成“若p，则q”的形式. （1）绝对值相等的数也相等； （2）矩形的对角线相等； （3）角平分线上的点到角两边的距离相等； （4）两角分别相等的两个三角形相似. 【答案】 （1）条件是：两个数的绝对值相等，结论是：它们相等．“若p，则q”的形式： 若两个数的绝对值相等，则它们也相等； （2）条件是：两条线段是一个矩形的两条对角线，结论是：这两条线段相等，“若p，则q”的形式： 若两条线段是一个矩形的两条对角线，则它们相等； （3）条件是：平面上的点在一个角的角平分线上，结论是：这个点到角的两边的距离相等．“若p，则q”的形式： 若平面上的点在一个角的角平分线上，则这个点到角的两边的距离相等； （4）条件是：两个三角形的两个角分别相等，结论是：这两个三角形相似．“若p，则q”的形式： 若两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似． 【分析】确定出命题的条件和结论后改写． 【详解】略. 题型判断命题真假 （重点） ▌例1（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）对于任意两个集合与，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【答案】D 【分析】由集合的运算及基本关系求解． 【详解】对于A项，对，有，对，有， 所以，集合的所有元素相同，即，则A项正确； 对于B项，若，则对，有，则，则B项正确； 对于C项，若，则对，则，则C项正确； 对于D项，如，显然，故D项错误. 故选：D ▌例2关于的方程，有下列四个命题： 甲：是该方程的根； 乙：是该方程的根； 丙：该方程两根之和为2； 丁：该方程两根异号. 如果只有一个假命题，则该命题是________. 【答案】甲 【分析】根据韦达定理再结合题意即可判断. 【详解】解：若甲、乙两命题均正确，且，， 则丙、丁均为假命题，与题意不符，故甲、乙必有一个是假命题. 若甲为真命题，由丙命题可知，方程的另一根为1，这样方程两根同号，与丁命题矛盾. 故甲命题为假命题； 若乙为真命题，可知方程的另一根为，此时丁命题也为真命题，符合题意. 故答案为：甲 ▌对点练3-1（24-25高二下·北京·期末）给出以下四个命题： ①任何一个集合都至少有两个子集． ②若，则． ③若，则或1． ④． 其中真命题有（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由空集的性质判断①②，由集合元素的互异性判断③，由集合的表示判断④. 【详解】①空集只有本身一个子集，①错误； ②若，则，不一定成立，②错误； ③若，则，此时成立，若，不符合集合元素的互异性，故，③错误； ④，④正确； 故选：B. ▌对点练3-2下列命题为真命题的是（    ） A．若a，b都是有理数，则是有理数 B．若a，b都是无理数，则是无理数 C．若，则 D．若是小数}，则 【答案】A 【详解】A正确；B中可取互为相反数的两个无理数，易知B错误；C，D显然错误． ▌对点练3-3下列命题为假命题的是（   ） A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则 C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时， 【答案】D 【详解】A是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形；B是真命题，或能得到；C是真命题，因为当时，任意奇数，所以一个奇数是两个整数的平方差；D是假命题，不满足． 题型 根据命题的真假求参数（重点） 解题贴士 由命题的真假确定参数的取值范围问题的步骤：第一步,明确题设条件的含义；第二步,将问题转化为不等式恒成立问题；第三步,利用恒成立问题的求解方法求出参数的取值范围。 ▌例1（24-25高一上·广东湛江·阶段检测）已知命题：函数在上单调递减，若命题是真命题，则的取值范围是________________. 【答案】 【分析】根据二次函数和一次函数的单调性分类讨论求解即可. 【详解】当时，在上单调递减，符合题意； 当时，函数在上单调递减， 则，解得， 综上，的取值范围是. 故答案为： ▌例2（24-25高一上·上海·阶段检测）命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用集合的运算结果得到，即可求解； （2）利用，将问题转化成或集合中元素是非正数，从而通过方程的解，求得，即可求解； 【详解】（1）因为，又， 所以，解得， 所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为. （2）因为，且，则或集合中元素是非正数， 又，所以中元素是方程的解， 当时，，解得， 当集合中元素是非正数时，设是方程的根， 因为，则且，解得， 所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为. ▌对点练4-1若命题“关于x的不等式对一切实数x恒成立”是假命题，则实数m的取值范围是____________． 【答案】或 【分析】将问题转化为不等式恒成立是真命题求解，然后求其补集即可. 【详解】若命题是真命题： 当时，，可化为，成立； 当时，，解得 综合得当时，关于x的不等式对一切实数x恒成立是真命题， 若命题“关于x的不等式对一切实数x恒成立”是假命题 则或 故答案为：或 ▌对点练4-2若命题p：方程无实数根是假命题，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意得到方程有实数根，分与两种情况，结合根的判别式求出答案. 【详解】根据题意：方程有实数根， 当时，，解得：，满足题意； 当时，，解得：，故且， 综上：实数a的取值范围是. 故答案为：. ▌对点练4-3（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，命题方程无实根；命题对任意，不等式恒成立． (1)若为真命题，求的取值范围； 【答案】(1) 【分析】（1）直接根据一元二次方程无实根的条件即可求解； 【详解】（1）由题意可知. 基础通关 1．（26-27高一上·北京石景山·开学考试）下列说法不正确的是（   ） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【详解】A选项，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确； B选项，有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确； C选项，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，该菱形有一个角为直角，则为正方形，正确； D选项，一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也有可能是等腰梯形，错误. 2．（24-25高一上·全国·随堂练习）下列命题中的真命题是（    ） A．互余的两个角不相等 B．相等的两个角是同位角 C．若，则 D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角 【答案】C 【分析】由两角互余的概念可判断A；可举对顶角相等判断B；运用平方差公式，可判断C；运用三角形外角的性质可判断D. 【详解】对于A，互余的两个角可能相等，比如都为，故A错误； 对于B，相等的两个角可以是对顶角，故B错误； 对于C，若，则，即或，则，故C正确； 对于D，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，故D错误； 故选：C 3．（2024·山东·二模）下列命题是真命题的是（    ） A．且 B．或 C． D．方程有实根 【答案】B 【分析】根据或且命题真假性的性质即可求解. 【详解】对于A, 为真命题，为假命题，故且为假命题， 对于B，为假命题，为真命题，所以或为真命题， 对于C，为假命题， 对于D，,故方程没有实数根，故D错误， 故选：B 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中是真命题的是（    ） A．等边三角形都全等 B．若，则 C．对顶角相等 D．所有偶数都是合数 【答案】C 【分析】A，根据等边三角形和全等的定义作出判断；B，解不等式得到B错误；C，由对顶角定义判断；D，可举出反例. 【详解】A选项，等边三角形的边长不一定相等，故不一定全等，A错误； B选项，若，则或，B错误； C选项，对顶角相等，C正确； D选项，2为偶数，但2为质数，D错误. 故选：C 5．（25-26高三上·福建福州·开学考试）关于的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】分别讨论某个命题为假命题即可求解. 【详解】假设甲为假命题，则乙、丙、丁为真命题， 由乙“是该方程的根”和丙“该方程两根之和为2”可知，方程的另一根为， 此时两根为3和−1，两根异号，所以丁“该方程两根异号”为真， 方程的根为3和−1，不含1，所以甲“是该方程的根”为假，此情况符合题意； 假设乙为假命题，则甲、丙、丁为真命题， 由甲“是该方程的根”和丙“该方程两根之和为2”可知，方程的另一根为1， 此时两根为1和1，两根同号，与丁“该方程两根异号”为真矛盾，故此情况不成立； 假设丙为假命题，则甲、乙、丁为真命题， 由甲“是该方程的根”和乙“是该方程的根”可知，方程的两根为1和3， 此时两根同号，与丁“该方程两根异号”为真矛盾。故此情况不成立； 假设丁为假命题，则甲、乙、丙为真命题， 由甲“是该方程的根”和乙“是该方程的根”可知，方程的两根为1和3， 此时两根之和为，与丙“该方程两根之和为2”为真矛盾，故此情况不成立. 综上所述，只有甲是假命题. 故选：A 6．（24-25高一上·湖北·期中）已知“方程至多有一个解”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．无法确定 【答案】B 【分析】由题可知“方程至少有两个解”为真命题，求解即可. 【详解】由题可知“方程至少有两个解”为真命题， ， ， ， 综上且． 故选：B. 7．（多选）下列语句中，真命题有（   ） A．若，则x，y互为倒数 B．同一平面内四条边相等的四边形是正方形 C．平行四边形是梯形 D．若，则 【答案】AD 【详解】A，D是真命题，B中同一平面内四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，故B错误；C中平行四边形不是梯形，故C错误． 8．（多选）（23-24高一上·重庆·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．所有平行四边形的对角线互相平分 B．若是无理数，则一定是有理数 C．若，则关于的方程有两个负根 D．两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比 【答案】AD 【分析】根据真命题的定义对各个选项逐一判断即可. 【详解】对于A，所有平行四边形的对角线互相平分，所以A正确； 对于B，当时，是无理数，所以B错误； 对于C，由关于的方程有两个负根，得解得，所以C错误． 对于D，两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比，所以D正确． 故选：AD 9．（24-25高一上·全国·课堂例题）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出其逆命题． (1)当时，； (2)能被6整除的数既能被2整除也能被3整除； (3)角平分线上的点到角的两边的距离相等． 【答案】(1)若，则； 逆命题：若，则. (2) 若一个数能被6整除，则它既能被2整除也能被3整除； 逆命题：若一个数既能被2整除也能被3整除，则它能被6整除． (3) 若一个点是一个角的角平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等； 逆命题：若一个点到一个角的两边的距离相等，则这个点在这个角的角平分线上． 【分析】（1）（2）（3）把各个命题写成“若p，则q”的形式，再利用逆命题的定义写出逆命题. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 10．判断下列命题的真假，并说明理由. (1)所有偶数都不是素数； (2)是的真子集； (3)0是的真子集； (4)如果集合A是集合B的子集，那么B不是A的子集. 【答案】(1) 因为是偶数，同时也是素数，所以该命题为假命题； (2) 因为，且， 所以是的真子集，所以该命题为真命题； (3) 因为是中的一个元素， 所以0不是的真子集，所以该命题为假命题； (4) 当时，互为子集，所以该命题为假命题. 【分析】（1）利用偶数与素数的定义，举反例判断即可得解； （2）（3）（4）利用集合子集的定义逐一分析判断即可得解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 素养提升 1．（2025高三上·全国·竞赛）Agnes在白纸上写下以下四个论断： 这些论断中至少有一个是真的． 这些论断中至少有两个是真的． 这些论断中至少有两个是假的． 这些论断中至少有一个是假的． 每个论断非真即假．问Agnes在纸上写的假论断有几个？(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 E．4 【答案】B 【分析】运用假设法，对每个论断真假进行假设，从而确定假论断个数 【详解】假设论断1为假，即四个论断都是假的，但论断4若为假， 即四个论断都是真的，与假设矛盾，故论断1为真； 假设论断2为假，即至多有一个论断为真的，因为论断1为真， 则论断2、3、4为假，但论断3若为假，即至多有一个为假， 假设与论断3矛盾，故论断2为真； 假设论断3为假，即至多有一个为假，因为论断1、2为真， 故论断4也为真的，与假设符合，故论断3为假； 若论断4为假，即四个论断都是真的，但论断3为假的， 假设与论断3矛盾，故论断4为真； 综上，论断1、2、4为真，论断3为假. 2．甲､乙､丙三人独立解答同一份试卷，试卷共有5题，每人都至少正确解答其中3题，则下列说法一定正确的是（    ） A．至少有2题有多于一人正确解答 B．至少有1题三人都正确解答 C．至少有1题三人都无法正确解答 D．至多有1题无人正确解答 【答案】A 【分析】用反证法说明A正确，用反例说明BCD错误． 【详解】假设没有2题有多于一人正确解答，取极端情况，假设3人均答对3题，有一题3人均答对，且三人回答的其它两个问题均不同，则至少还需要六道不同的题，与题设不符，故A正确； 5道题编号为，甲正确解答，乙正确解答，丙正确解答，则每题都只有2人正确解答．B错； 如果3人都正确解答了所有题，则C错； 如果三人都是正确解答，这时有两题没有人正确解答．D错； 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题考查命题的真假判断，对于含有至多、至少等词语的命题，可用反证法证明它是正确的．可用反例法说明它是错误． 3．若命题“关于的不等式的解集为R”是真命题，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【分析】根据判别式小于0可得. 【详解】因为命题“关于的不等式的解集为R”是真命题， 所以，解得，即. 故答案为： 4．若“关于x的方程的解集是空集”为真命题，则k的值为___________. 【答案】1 【分析】根据方程的解为增根即可求解. 【详解】关于x的方程的解集是空集，即此方程无解，由得，解得，只有当，即时，此方程无解. 故答案为： 5．已知命题：关于的方程有2个不相等的实数根. (1)若为真命题，求实数的取值集合. (2)在（1）的条件下，集合，若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意可得，从而可求出实数的取值集合， （2）由，得，然后分和两种情况求解即可. 【详解】（1）由题意知，解得， （2） 当时，符合题意， 即 当时 ， ∴， 综上，或. 迁移创新 1．若集合A同时具有以下三个性质：（1），；（2）若，则；（3）若且，则．则称A为“好集”．已知命题：①集合是好集；②对任意一个“好集”A，若，则．以下判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】D 【分析】根据“好集”的定义逐一判断即可. 【详解】对于①，因为，而， 所以集合不是好集，故①错误； 对于②，因为集合为“好集”， 所以， 所以，故②正确， 所以①为假命题，②为真命题. 故选：D. 2．（多选）命题“若，则”为真命题，则下列命题中可能为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据命题之间的相互关系对每个选项进行判断即可 【详解】对于B，该命题为原命题的逆命题，两个命题真假没关系，故可能为假命题； 对于C，该命题为原命题的否命题，两个命题真假没关系，故可能为假命题； 对于D，该命题为原命题的逆否命题，两个命题真假相同，故为真命题； 对于A，由原命题和D选项可知，两个元素只能有一个在集合里面， 所以若，则或，故A选项为假命题， 故选：ABC 3．（23-24高一上·北京·阶段检测）小华同学学完集合的基本运算后，自己定义了如下集合运算：且，小华列举了如下命题： ①任意集合 ②任意集合 ③任意集合 ④若，则 其中，所有正确命题的序号是__________. 【答案】①③④ 【分析】由新定义的集合运算结合交集、子集等概念逐一判断每一个命题即可求解. 【详解】对于命题①，由新定义，若，则当且仅当且，而这显然不可能， 这表明了此时不存在，即，故命题①正确； 对于命题②，不妨设，由新定义，， 这表明了此时，故命题②不正确； 对于命题③，由新定义，若，则一定有且， 这表明了此时集合是集合的子集，即，故命题③正确； 对于命题④，若，则当且仅当，即若，则一定有， 由新定义，若，则当且仅当且，而这显然不可能， 这表明了此时不存在，即若，则，故命题④正确. 综上所述：所有正确命题的序号是①③④. 故答案为：①③④. 4．若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中： （1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则； （3）集合为数域；（4）有理数集为数域； 真命题的个数为________ 【答案】3 【分析】根据新定义逐一判断即可求解 【详解】（1）当时，属于数域，故（1）正确， （2）若数域有非零元素，则， 从而，故（2）正确； （3）由集合的表示可知得是3的倍数，当时，，故（3）错误， （4）若是有理数集，则当，，则，，，且当时，”都成立，故（4）正确， 故真命题的个数是3. 故答案为：3 5．定义：若对非空数集中任意两个元素、，实施“加减乘除”运算（如、、、），其结果仍然是P中的元素，则称数集是一个“数域”.下列四个命题：①有理数集是数域；②若有理数集，则数集是数域；③数域必是无限集；④存在无穷多个数域；上述命题错误的序号是_________. 【答案】② 【分析】根据数域的定义，对各个命题一一进行分析，根据有理数的含义即可判断命题①；若,则,即可判断命题②；设数域，(假设)，可得出，则，即可判断命题③；为无理数这样的数集都是数域，即可判断命题④. 【详解】解：根据题意，由数域的定义可知， 对于①，从有理数集中任取两个有理数、， 则、、、都是有理数，故有理数是数域，故命题①正确； 对于②，已知有理数集，若,则, 此时数集不是数域，故命题②错误； 对于③，设数域，(假设)，则，则， 同理，故数域必为无限集，所以命题③正确； 对于④，形如为无理数这样的数集都是数域， 故存在无穷多个数域，所以命题④正确， 所以上述命题错误的序号是：②. 故答案为：②. 【点睛】本题考查利用已知条件中数域的定义判断各命题的真假，考查学生对新定义题型的理解和把握能力，理解数域的定义是解题的关键，考查学生构造性思维. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 常用逻辑用语 2.1 命题、定理、定义 课标要点 理解命题、定理、定义的概念； 会判断命题的真假； 能把命题改写成“若，则”的形式。 学习重难点 重点：能把命题改写成“若，则”的形式 难点：会判断命题的真假 知识点 命题（重点） 1.命题的定义：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，我们将可判断真假的陈述句叫作命题． 2.命题的分类 命题中，判断为真的语句叫作真命题，判断为假的语句叫作假命题。 （1）判断命题真假的依据为常见的公理、定理、推论等; （2）一个命题不是真命题，就是假命题，不能模棱两可; 3、判断一个命题真假的方法: 在数学中，要判断一个命题是假命题，只需要举一个反例即可;而要说明一个命题是真命题，要经过严格的逻辑推理，一般根据已有的知识（如数学中的定义、定理、公式等）判断。 4.命题的结构形式： （1）命题的一般形式:若，则”，其中叫做命题的条件, 叫做命题的结论。 （2）确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若，则”的形式. 特别提醒 1）命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”，我们学习过的定理、推论都是命题． 教材延伸 判断含参命题的真假，需要将命题转化为恒成立或存在性语句进行讨论研究。 随学随练 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B．同位角相等 C． D． 2．（多选）（25-26高一上·贵州·期中）下列命题是真命题的有（   ） A．是无理数 B．若，则 C．方程有实数根 D．集合A是集合的子集 3．判断下列语句是否为命题： (1)有的正方形是三角形； (2)任意一个三角形的内角和都为； (3)1是自然数吗？ (4)； (5)，且. 知识点 定理、定义 1、定理:已经被证明为真的命题，可以作为推理的依据而直接使用。 2、定义:定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或揭示所研究对象的内涵，定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别 拓展 根据含参命题真假求参数 活学活用 1．（多选）（24-25高一上·全国·随堂练习）（多选）给出命题“方程没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（    ） A． B． C． D． 2．若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是_______． 3．若和或都是假命题，则的范围是__________ 题型 命题的概念 解题贴士 判断一个语句是不是命题,关键看两点:第一,是不是陈述句,第二,是否可以判断真假,这两个条件缺一不可。一般来说,疑问句、祈使句、感叹句均不是命题。 ▌例1 （25-26高一上·全国·课后作业）下列语句为命题的是（ ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 ▌例2 （24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列语句是否为命题？若是，请判断其真假，并说明理由． (1)求证是无理数； (2)若，则； (3)你是高一的学生吗？ (4)并非所有的人都喜欢吃苹果； (5)若xy是有理数，则x，y都是有理数； (6)． ▌对点练1-1．（24-25高一上·新疆喀什·阶段检测）下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 ▌对点练1-2．（23-24高一上·广西河池·阶段检测）有下列语句，其中是命题的个数为（    ） （1）数学真有趣 （2）0是自然数 （3） （4） （5）素数都是奇数. A．2 B．3 C．4 D．5 ▌对点练1-3．判断下列语句是不是命题，并说明理由. (1)是有理数； (2)年夏季奥运会的举办城市是日本的东京； (3)； (4)梯形是不是平面图形呢？ (5)，； (6)请勿喧哗； (7). 题型将命题改写成若p则q的形式 解题贴士 将含有大前提的命题改写为“若,则”的形式时,大前提应保持不变,改写后仍作为大前提,不要写在条件中。改写前后命题的真假不发生变化。 ▌例1（24-25高一上·全国·课后作业）命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式为（    ） A．若两个三角形全等，则它们的面积相等 B．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 C．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等 D．若两个三角形不全等，则它们的面积不相等 ▌例2把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)两个相似三角形是全等三角形． ▌对点练2-1将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)在中，大角对大边． (2)矩形的对角线互相垂直． (3)相等的两个角的正弦值相等． (4)等底等高的两个三角形是全等三角形． ▌对点练2-2指出下列命题中的条件p和结论q． (1)若，则x，y互为相反数． (2)如果，则． (3)当时，． ▌对点练2-3下列命题改写成“若p，则q”的形式. （1）绝对值相等的数也相等； （2）矩形的对角线相等； （3）角平分线上的点到角两边的距离相等； （4）两角分别相等的两个三角形相似. 题型判断命题真假 （重点） ▌例1（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）对于任意两个集合与，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 ▌例2关于的方程，有下列四个命题： 甲：是该方程的根； 乙：是该方程的根； 丙：该方程两根之和为2； 丁：该方程两根异号. 如果只有一个假命题，则该命题是________. ▌对点练3-1（24-25高二下·北京·期末）给出以下四个命题： ①任何一个集合都至少有两个子集． ②若，则． ③若，则或1． ④． 其中真命题有（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 ▌对点练3-2下列命题为真命题的是（    ） A．若a，b都是有理数，则是有理数 B．若a，b都是无理数，则是无理数 C．若，则 D．若是小数}，则 ▌对点练3-3下列命题为假命题的是（   ） A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则 C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时， 题型 根据命题的真假求参数（重点） 解题贴士 由命题的真假确定参数的取值范围问题的步骤：第一步,明确题设条件的含义；第二步,将问题转化为不等式恒成立问题；第三步,利用恒成立问题的求解方法求出参数的取值范围。 ▌例1（24-25高一上·广东湛江·阶段检测）已知命题：函数在上单调递减，若命题是真命题，则的取值范围是________________. ▌例2（24-25高一上·上海·阶段检测）命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； ▌对点练4-1若命题“关于x的不等式对一切实数x恒成立”是假命题，则实数m的取值范围是____________． ▌对点练4-2若命题p：方程无实数根是假命题，则实数a的取值范围是______． ▌对点练4-3（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，命题方程无实根；命题对任意，不等式恒成立． (1)若为真命题，求的取值范围； 基础通关 1．（26-27高一上·北京石景山·开学考试）下列说法不正确的是（   ） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 2．（24-25高一上·全国·随堂练习）下列命题中的真命题是（    ） A．互余的两个角不相等 B．相等的两个角是同位角 C．若，则 D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角 3．（2024·山东·二模）下列命题是真命题的是（    ） A．且 B．或 C． D．方程有实根 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中是真命题的是（    ） A．等边三角形都全等 B．若，则 C．对顶角相等 D．所有偶数都是合数 5．（25-26高三上·福建福州·开学考试）关于的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．（24-25高一上·湖北·期中）已知“方程至多有一个解”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．无法确定 7．（多选）下列语句中，真命题有（   ） A．若，则x，y互为倒数 B．同一平面内四条边相等的四边形是正方形 C．平行四边形是梯形 D．若，则 8．（多选）（23-24高一上·重庆·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．所有平行四边形的对角线互相平分 B．若是无理数，则一定是有理数 C．若，则关于的方程有两个负根 D．两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比 9．（24-25高一上·全国·课堂例题）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出其逆命题． (1)当时，； (2)能被6整除的数既能被2整除也能被3整除； (3)角平分线上的点到角的两边的距离相等． 10．判断下列命题的真假，并说明理由. (1)所有偶数都不是素数； (2)是的真子集； (3)0是的真子集； (4)如果集合A是集合B的子集，那么B不是A的子集. 素养提升 1．（2025高三上·全国·竞赛）Agnes在白纸上写下以下四个论断： 这些论断中至少有一个是真的． 这些论断中至少有两个是真的． 这些论断中至少有两个是假的． 这些论断中至少有一个是假的． 每个论断非真即假．问Agnes在纸上写的假论断有几个？(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 E．4 2．甲､乙､丙三人独立解答同一份试卷，试卷共有5题，每人都至少正确解答其中3题，则下列说法一定正确的是（    ） A．至少有2题有多于一人正确解答 B．至少有1题三人都正确解答 C．至少有1题三人都无法正确解答 D．至多有1题无人正确解答 3．若命题“关于的不等式的解集为R”是真命题，则实数的取值范围是___________ 4．若“关于x的方程的解集是空集”为真命题，则k的值为___________. 5．已知命题：关于的方程有2个不相等的实数根. (1)若为真命题，求实数的取值集合. (2)在（1）的条件下，集合，若，求实数的取值范围. 迁移创新 1．若集合A同时具有以下三个性质：（1），；（2）若，则；（3）若且，则．则称A为“好集”．已知命题：①集合是好集；②对任意一个“好集”A，若，则．以下判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 2．（多选）命题“若，则”为真命题，则下列命题中可能为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（23-24高一上·北京·阶段检测）小华同学学完集合的基本运算后，自己定义了如下集合运算：且，小华列举了如下命题： ①任意集合 ②任意集合 ③任意集合 ④若，则 其中，所有正确命题的序号是__________. 4．若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中： （1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则； （3）集合为数域；（4）有理数集为数域； 真命题的个数为________ 5．定义：若对非空数集中任意两个元素、，实施“加减乘除”运算（如、、、），其结果仍然是P中的元素，则称数集是一个“数域”.下列四个命题：①有理数集是数域；②若有理数集，则数集是数域；③数域必是无限集；④存在无穷多个数域；上述命题错误的序号是_________. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $