7.1 角与弧度（讲义，知识点&10大题型&刷好题）高一数学苏教版必修第一册

本高中数学讲义聚焦三角函数中的角与弧度，系统梳理任意角（正角、负角、零角）的概念，延伸至象限角、终边相同的角的集合表示，衔接弧度制及角度弧度互化，最终落脚于扇形弧长与面积公式的应用，构建从概念到计算的完整学习支架。 资料通过“随学随练”“易错提醒”及分层题型（如钟表角度计算、扇形最值问题），引导学生用数学眼光观察现实情境，以解题贴士培养逻辑推理的数学思维，用集合符号精确表达角的范围提升数学语言能力。课中辅助教师突破重难点，课后助力学生分层巩固，查漏补缺。

第七章 三角函数 7.1 角与弧度 课标要点 ①理解并掌握正角、负角、零角的概念 ②掌握象限角的范围，掌握终边相同的角的表示方法及判定方法 ③了解弧度制，能进行弧度与角度的互化 ④由圆周角找出弧度制与角度制的联系，记住常见特殊角对应的弧度数 ⑤掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式，能用公式进行简单的弧长及面积运算 学习重难点 重点：理解任意角的概念，并掌握终边相同角的含义及其表示；正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积公式 难点：用集合符号表示终边相同的角；终边相同角的表示，区间角的集合书写；能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题 知识点 任意角的概念 1、角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 2、角的分类 ①正角:按逆时针方向旋转所形成的角. ②负角:按顺时针方向旋转所形成的角. ③零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 3、角的运算 设，是任意两个角，为角的相反角． (1)：把角的终边旋转角.（时,旋转量为,按逆时针方向旋转;时,旋转量为,按顺时针方向旋转） (2)： 特别提醒 1）正角:按逆时针方向旋转所形成的角，负角:按顺时针方向旋转所形成的角，注意正负角旋转方向 随学随练 1．（26-27高一上·全国·课后作业）将钟表的分针拨快20分钟，则时针转过了（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正负角的定义和钟表指针转动规律求解. 【详解】因为钟表的时针1小时（60分钟）顺时针转过的角度是， 所以每分钟时针转过的角度为， 故拨快20分钟时，时针转过的总角度为. 2．（25-26高一下·上海·期中）下面四个命题中，正确的是（   ） A．锐角一定是第一象限角 B．小于的角一定是锐角 C．第二象限角是钝角 D．第一象限的角一定不是负角 【答案】A 【分析】通过举反例否定B，C，D，证明A． 【详解】对于A，锐角是大于小于的角，是第一象限角，A正确； 对于B，，但不是锐角，B错误； 对于C，是第二象限角，但不是钝角，C错误； 对于D，是第一象限角，可以是负角，D错误． 3．（25-26高一下·江西赣州·期中）若将钟表调快10分钟，则分针转动的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分针转一圈60min共，将钟表的分针调快10分钟，为顺时针， 则分针转动的角为． 知识点 象限角、轴线角、终边相同的角集合（重点） 1、象限角 （1）定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角. 如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限. （2）象限角的常用表示： 第一象限角 第二象限角 第三象限角 或 第四象限角 或 2、轴线角 （1）定义：轴线角是指以原点为顶点，轴非负半轴为始边，终边落在坐标轴上的角. （2）轴线角的表示： ① 终边落在轴非负半轴 ② 终边落在轴非负半轴 ③ 终边落在轴非正半轴 或 ④ 终边落在轴非正半轴 或 ⑤ 终边落在轴 ⑥ 终边落在轴 或 ⑦ 终边落在坐标轴 3、终边相同的角的集合 所有与角终边相同的角为 易错提醒 1）象限角表示的时候注意不等式左边范围和右边范围混乱，如第四象限或，注意不可以写成:这是错误的。 随学随练 1．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）下列各角中，与角终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为与终边相同的角的集合为：. 当时，； 若，则不是整数； 若，则不是整数； 若，则不是整数. 2．（25-26高一下·辽宁辽阳·期末）角的终边所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】，所以所在的象限为第二象限． 3．终边与坐标轴重合的所有角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用任意角表示终边与轴重合的角，即可得. 【详解】终边与轴重合的角为，即， 终边与轴重合的角为，即，， 所以终边与坐标轴重合的所有角的集合是． 故选：B 知识点 弧度制 1、弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写). 2、角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： ， 3、常用的角度与弧度对应表 角度制 弧制度 随学随练 1．（25-26高一下·河南南阳·期中）如图，时钟现在的时间为10：10，经过40min后，时钟的分针旋转所形成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，经过后，时钟的分针旋转所形成的角为. 2．（24-25高一上·广东广州·阶段检测）若将钟表拨慢5分钟，则分针转过的弧度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分针转一周为60分钟，转过的角度为，得到5分钟是一周的十二分之一，进而可得答案． 【详解】∵分针转一周为60分钟，转过的角度为， 将分针拨慢是逆时针旋转，∴钟表拨慢5分钟，则分针所转过的弧度数为. 3．（25-26高一下·上海·期中）从凌晨点到点，时针转了______弧度． 【答案】 【详解】因为是顺时针所以是负角， 所以时针从时走到时，三小时时针转动角度为弧度. 知识点扇形中的弧长和面积公式（重点） 弧长公式：(是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：. 特别提醒 1）弧长公式和面积公式中的是圆心角的弧度数，不能用角度制。 随学随练 1．（25-26高一下·河南焦作·期末）已知某扇形的圆心角为，半径为12，则此扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知圆心角，半径， 利用扇形弧长公式得： . 2．（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）已知某扇形的周长为16，圆心角弧度数为2，则该扇形的面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】根据扇形的弧长和面积公式计算. 【详解】设扇形的半径为， 则由题意得，该扇形的弧长为，解得， 故该扇形的面积为. 3．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）已知半径为1的扇形面积为2，则扇形圆心角的弧度数为________． 【答案】4 【详解】设圆心角为，半径，故，解得. 拓展扇形面积中的最值问题（重点） 活学活用 1．（24-25高一上·重庆万州·阶段检测）已知一扇形的周长为40，则这个扇形面积的最大值是__________. 【答案】 【分析】根据扇形弧长和半径的关系，将扇形面积表示为关于的二次函数，求最值. 【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，则，， 则， 当时，扇形面积最大，最大值为. 故答案为： 2．已知一个扇形的周长为8，则当该扇形的面积取得最大值时，圆心角大小为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据扇形面积公式及其基本不等式求出扇形面积取得最大值时的扇形半径和弧长，利用弧度数公式即可求出圆心角. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，由已知得， 扇形面积为， 当且仅当，即时等号成立，此时，则圆心角， 故选：D. 题型 任意角的概念 解题贴士 （1）正确理解任意角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别 (2)弄清角的始边与终边及旋转方向与大小，“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小 ▌例1 （25-26高一下·全国·课堂例题）若钟表的时针走过了2小时40分，则分针转过的角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角的定义求解即可. 【详解】因为，所以. 因为分针是顺时针旋转， 所以在2小时40分钟内，分针转过的角度为， 故选：D. ▌例2 （多选）（25-26高一下·全国·阶段检测）下列命题中错误的是（   ） A．第二象限的角是钝角 B．钝角的补角是第一象限的角 C．小于90°的角是锐角 D．第一象限的角小于第二象限的角 【答案】ACD 【分析】利用象限角的意义，结合任意角的意义逐项判断即可. 【详解】对于A，角是第二象限角，而它不是钝角，A错误； 对于B，钝角的补角是锐角，而锐角是第一象限角，因此钝角的补角是第一象限的角，B正确； 对于C，角小于角，而角不是锐角，C错误； 对于D，是第一象限角，角是第二象限角，D错误. 故选：ACD ▌对点练1-1．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列结论： ①三角形的内角必是第一、二象限角； ②始边相同而终边不同的角一定不相等； ③小于的角是第一象限角； ④钝角比第三象限角小； ⑤小于的角是钝角、直角或锐角. 其中正确的结论为_____________（填序号）. 【答案】② 【分析】根据象限角、相等角、各类角（锐角、钝角）的定义，逐一分析每个说法是否正确. 【详解】①由于直角三角形中有的角，而的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确； ②相等的角终边一定相同，根据逆否命题等价，终边不同的角一定不相等，故②正确； ③小于的角可以是角，也可以是负角，故③不正确； ④钝角大于，而的角是第三象限角，故④不正确； ⑤角小于，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑤不正确. 故答案为： ② ▌对点练1-2．（24-25高一下·贵州遵义·阶段检测）“为锐角”是“为第一象限角”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据锐角和第一象限角的定义即可求解. 【详解】为锐角，则，故为第一象限角，充分性成立， 当为第一象限角，取，为第一象限角，但不是锐角，故必要性不成立， 因此“为锐角”是“为第一象限角”的充分不必要条件， 故选：B ▌对点练1-3．（多选）（25-26高一下·全国·阶段检测）下列叙述不正确的是（   ） A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B．钝角是第二象限角 C．第二象限角比第一象限角大 D．不相等的角终边一定不同 【答案】ACD 【分析】利用象限角、终边相同的角的意义逐项判断即可. 【详解】对于A：直角不属于任何一个象限，A不正确； 对于B：钝角是大于小于的角，是第二象限角，B正确； 对于C：是第二象限角，是第一象限角，C不正确； 对于D：角与角不相等，但它们的终边相同，D不正确. 故选：ACD 题型终边相同的角（重点） 解题贴士 与角终边相同的角都可以表示成的形式 ▌例1（25-26高一下·江西抚州·期中）下列各角的终边与的终边重合的是（    ） A．190° B． C．1490° D． 【答案】C 【分析】根据任意角的定义求解即可. 【详解】终边与的终边重合的角为. 因为，又，故1490°与的终边相同，所以C正确. 对于其它选项，，均不符合. ▌例2（25-26高一下·广西钦州·阶段检测）与角终边相同的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】与角终边相同的角的集合是.故A正确； 表示终边在直线上的角的集合，故B错误； 表示终边与的终边重合的角的集合，故C错误； 表示终边在直线上的角的集合，故D错误. ▌对点练2-1（25-26高一下·安徽安庆·阶段检测）与角终边相同的一个角是（    ） A．77° B．103° C． D． 【答案】B 【详解】与角的终边相同的角的集合是，当时，． ▌对点练2-2（25-26高一上·河北张家口·期末）与角的终边相同的角的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将化为范围内的角, 根据终边相同角的性质即可求解. 【详解】因为，所以与终边相同； 根据终边相同角的性质，与终边相同的角的集合为： 故选：D. ▌对点练2-3（26-27高一上·全国·课后作业）与角终边相同的最小正角是______角． 【答案】 【分析】根据终边相同的角的表示方法求解即可. 【详解】因为与角终边相同的角是， 所以当时，与角终边相同的最小正角是角． 题型 终边在某条直线上的角的集合（重点） 解题贴士 ①终边落在轴 ②终边落在轴或 终边在某条直线上时，可以通过①终边落在轴或者②终边落在轴上旋转而得到。 ▌例1已知角β的终边在直线上.则角β的集合S为__________. 【答案】 【分析】根据终边相同的角的表示法，可以分别写出终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，即可得答案； 【详解】如图，直线过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合分别为 ，， 所以，角β的集合 . 故答案为：. 【点睛】本题考查终边相同的角的表示方法，考查运算求解能力，属于基础题. ▌例2（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）（1）分别写出终边落在下列各图所示的直线上的角的集合； 【答案】（1）①，②，③； 【分析】（1）【详解】（1）由终边相同角的概念可得： ①， ②， ③； ▌对点练3-1（25-26高一下·全国·课后作业）写出终边在直线上的角的集合． 【答案】 【分析】写出终边在直线上的的角，再根据终边相同的角写出所有的角. 【详解】由终边在直线上， 所以当角的终边在第一象限时： ， 当角的终边在第三象限时： ， 所以终边在直线上的角为： ▌对点练3-2（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，用弧度制分别写出下列条件下的角的集合. (1)终边在射线上； (2)终边在直线上. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）将角度改为弧度，再加周期，写成集合形式即可. （2）写出终边在和上角的集合，再取并集即可. 【详解】（1）由任意角的定义得， 终边在射线上的角为. （2）由任意角的定义得， 终边在射线上的角为， 化简得， 所以终边在直线上的角为. 题型 区间角（重点） ▌例1集合中的角所表示的范围（阴影部分）是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查k=0,1,2的情形即可确定角所表示的范围. 【详解】当时，即，即选项C中第一象限所示的部分； 当时，即，即选项C中第三象限所示的部分； 当时，其所表示的角的范围与表示的范围一致. 综上可得，选项C表示集合中的角所表示的范围. 故选C. 【点睛】本题主要考查终边相同的角的表示，角所在位置的确定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. ▌例2（26-27高一上·全国·课后作业）写出角在下列位置时的集合． (1)角的终边在如图（1）所示的阴影中（包括边界）； (2)角的终边在如图（2）所示的阴影中（包括边界）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1），（2）根据任意角的定义以及终边相同的角的表示，结合图形，可直接求出角的集合． 【详解】（1）角的终边在如图（1）所示的阴影中（包括边界），角的集合为：或 ； （2）角的终边在如图（2）所示的阴影中（包括边界）． 角的集合为． ▌对点练4-1（2026高三·全国·专题练习）已知角的终边落在阴影所表示的范围内（包括边界），则角的集合为______. 【答案】 【分析】根据题意，可得出在范围内，终边落在阴影内的角为或；结合周期性进行化简，即可得出答案. 【详解】在范围内，终边落在阴影内的角为或， 所以终边落在阴影所表示的范围内的角的集合为 . ▌对点练4-2（1）如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合．          （2）已知角，将改写成的形式，并指出是第几象限角． 【答案】（1）①；②． （2）；是第一象限角． 【分析】（1）根据终边相同的角及角的概念求解即可得； （2）根据弧度制与角度概念转化书写即可. 【详解】（1）① ； ②． （2）∵，∴． 又，所以与终边相同，是第一象限角． ▌对点练4-3已知，如图所示. (1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合. (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合. 【答案】(1) 终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}；(2) {α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}. 【分析】(1)根据终边相同的角的表示方法可得到答案；(2)结合(1)及图形可表示出阴影部分(包括边界)的角的集合． 【详解】(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}. (2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的角及终边与它们相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}. 【点睛】本题考查了终边相同的角的表示，考查了区域角的表示，属于基础题． 题型确定分角的终边所在象限（重点） ▌例1（25-26高一下·全国·课堂例题）若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第四象限角 D．第一象限或第二象限或第四象限角 【答案】D 【分析】根据第二象限角的范围，求出，再分类讨论得出象限即可. 【详解】，， ，， 当时，，是第一象限角； 当时，，是第二象限角； 当时，，是第四象限角. 故选：D. ▌例2（25-26高一下·全国·课堂例题）已知为第二象限角，问，分别是第几象限角？ 【答案】是第三或第四象限角，或是终边落在轴的非正半轴上的角，是第一或第三象限角 【分析】由为第二象限角，得，的范围即可求解． 【详解】为第二象限角， ，， ， 是第三或第四象限角，或是终边落在轴的非正半轴上的角， 同理：， 当为偶数时，不妨令，， 则，此时，为第一象限角； 当为奇数时，令，， 则，此时，为第三象限角， 为第一或第三象限角． ▌对点练5-1（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知为第一象限的角，则所在象限为（   ） A．第一象限 B．第一、二象限 C．第一、三象限 D．第一、四象限 【答案】C 【分析】根据是第一象限的角，求出的范围判断即可得解. 【详解】因为是第一象限的角， 所以，， 所以， 当时，，为第一象限角； 当时，，为第三象限角. 故选：C ▌对点练5-2（多选）（25-26高一下·江西赣州·阶段检测）如果角是第二象限角，那么角可能是第几象限角？（        ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ABD 【详解】因为角是第二象限角，所以， 所以， 当时，，是第一象限角，A正确； 当时，，是第二象限角，B正确； 当时，，是第四象限角，D正确； ▌对点练5-3（25-26高一下·全国·阶段检测）已知角是第三象限角．求： (1)角是第几象限的角． (2)角终边的位置． 【答案】(1)第二象限或第四象限的角 (2)第一象限或第二象限或轴的正半轴 【分析】（1）由题意得出，可求出的取值范围，对分奇数和偶数两种情况讨论，可得出终边的位置； （2）求出的取值范围，可得出角终边的位置. 【详解】（1）因为是第三象限角，所以， 所以， 当为偶数时，设，则， 此时为第二象限角， 当为奇数时，设，则， 此时为第四象限角. 综上所述，是第二象限或第四象限的角． （2）因为， 所以， 即角终边在第一象限或第二象限或轴的正半轴． 题型弧度制的概念 ▌例1将分针拨慢分钟，则分针转过的弧度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分针拨慢分钟，转过的角度为周角的，角为正角，因此弧度数为. ▌例2（多选）下列说法中错误的是（    ）． A．弧度制下，角的集合与实数集之间建立了一一对应的关系； B．1弧度是长度为半径长的弧； C．1弧度是长度等于半径长的圆弧所对圆心角的大小； D．用弧度作角的单位仅能表示正角． 【答案】BD 【详解】由弧度制的定义知AC正确，B错误； 用弧度作单位不仅可以表示正角，也可以表示负角与零角，D错误． ▌对点练6-1（25-26高一下·全国·课堂例题）下列语句正确的是（   ） A．一弧度是一度的圆心角所对的弧 B．一弧度是长度等于半径的圆弧所对的圆周角 C．一弧度的圆心角所对的弧长为1 D．一弧度的圆心角所夹弧长等于半径 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用弧度的定义直接判断即可. 【详解】一弧度是弧长等于半径的圆弧所对的圆心角大小，ABC错误，D正确. 故选：D ▌对点练6-2（多选）（25-26高一下·全国·阶段检测）下列命题中，正确的是（   ） A．“角度制”和“弧度制”是度量角的两种不同的度量制度 B．1rad的角等于1度的角 C．的角是周角的，1rad的角是周角的 D．180°的角一定等于的角 【答案】ACD 【分析】从弧度制和角度制的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，“角度制”和“弧度制”是度量角的两种不同制度，其定义和单位均不相同， 1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，弧度是角的度量单位，而不是长度的度量单位，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，用角度制时，周角是，因此的角是周角的； 根据弧度数的计算公式可知周角的弧度数为，因此的角是周角的，故C正确； 对于D，的角即平角，弧度数为，故D正确． 故选：ACD. ▌对点练6-3（多选）关于弧度制说法正确的是（    ） A．角的度数和弧度数是一一对应的 B．用角度制度量角，与其所在的圆的半径无关；用弧度制度量角，与其所在的圆的半径有关 C．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角 D．用弧度制度量角，该角必为正角 【答案】AC 【分析】根据弧度制的概念逐项判断即可. 【详解】角的度数和弧度数是一一对应的，A说法正确； 无论是用角度制还是弧度制度量角，角的大小均与其所在的圆的半径无关，B说法错误； 1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，C说法正确； 用弧度制度量角，该角可为正角，可为负角，也可为零角，D说法错误， 故选：AC 题型角度制与弧度制的转化 解题贴士 弧度与角度互换公式：，紧抓这个等量关系互化 ▌例1（25-26高一下·广西钦州·阶段检测）（1）将角度、分别化为弧度； （2）将弧度、分别化为角度. 【答案】（1），（2）， 【分析】（1）根据可得； （2）根据可得. 【详解】（1），； （2），. ▌例2（25-26高一下·全国·阶段检测）请将下列各角在角度和弧度之间互化： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】（1）（2）（3）（4）解法一：利用角度与弧度的互化可得结果. 解法二：设所求角的弧度数或角度数，根据题意列出等式求解. 【详解】（1）解法一：； 解法二：设角的弧度数为，则，所以．即． （2）解法一：． 解法二：设角的弧度数为，则，所以． 即． （3）解法一：． 解法二：设，则，解得，即. （4）解法一：． 解法二：设，则，因此，即． ▌对点练7-1（25-26高二下·天津红桥·期末）把化成弧度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】所以. ▌对点练7-2（25-26高一下·贵州遵义·期中）将改写成的形式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. ▌对点练7-3（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）把下列各角的角度化成弧度、弧度化成角度，并指出各角所在象限： (1)；(2)；(3). 【答案】(1)，第四象限角.(2)，第三象限角(3)，第二象限角. 【分析】利用角度制与弧度制的换算公式，再根据象限角定义判断即可. 【详解】（1）， 是第四象限角； （2）， 是第三象限角； （3）， 是第二象限角. 题型用弧度表示角的范围 ▌例1（25-26高三上·山东泰安·期末）终边落在下图阴影区域（含边界）的角的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出终边落在边上的角为，结合图象，即可得答案. 【详解】因为， 所以终边落在边上的角为， 所以终边落在下图阴影区域（含边界）的角的集合为. 故选：C. ▌例2（25-26高一上·天津南开·阶段检测）用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为__________. 【答案】. 【分析】先将角度制的150°转换为弧度制，再根据终边相同的角的集合公式写出结果即可. 【详解】因为， 所以与150°角的终边相同的角的集合为 . 故答案为： . ▌对点练8-1已知角的终边落在阴影区域内（不含边界），角的终边和相同，则角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求阴影的边界表示的角的集合，再用不等式表示集合. 【详解】终边落在上的角为，终边落在上的角为， 故角的集合为. 故选：C ▌对点练8-2若角的终边落在如图所示的阴影部分内（含边界），则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据任意角的概念及终边相同角的表示求解. 【详解】依题意，在内阴影部分的边界射线对应的角分别为，终边在阴影内部分对应角的范围是， 所以角的取值范围是． 故选：D． ▌对点练8-3把写成的形式是__________. 【答案】 【分析】将角度化成弧度，再用象限角的表示方法求解即可． 【详解】因为 所以. 故答案为：. 题型弧长公式（重点） 解题贴士 弧长公式：(注意是圆心角的弧度数) ▌例1（25-26高一下·广西桂林·期末）若扇形的圆心角为，半径为3，则此扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】扇形的弧长. ▌例2（25-26高一下·陕西汉中·期中）已知扇形的圆心角是，，则该扇形的弧长______. 【答案】 【分析】直接代入扇形公式求解即可. 【详解】，. ▌对点练9-1（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）某扇形花坛的圆心角为弧度，半径为8米，则该花坛的弧长为（   ）． A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】依题意，该花坛的弧长为米． ▌对点练9-2（25-26高一下·江西吉安·期末）某扇形的周长为30，圆心角为3弧度，则该扇形的半径为________． 【答案】6 【详解】令扇形的半径为，弧长为，则，可得， 所以扇形的半径为. ▌对点练9-3（25-26高一下·上海浦东新·期中）若扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的弧长是_____________. 【答案】 【详解】由弧长公式，其中，，得． 题型扇形面积（重点） 解题贴士 ①扇形面积公式：(注意是圆心角的弧度数) ②常与二次函数，基本不等式结合解决最值问题 ▌例1（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知一个扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用周长建立方程，求出扇形的半径，然后再利用扇形面积公式求解即可 【详解】设扇形周长为，半径为，圆心角为， 则，即，解得. 扇形面积. ▌例2（24-25高一下·广西钦州·阶段检测）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R． (1)若，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． 【答案】(1)； (2)； (3),. 【分析】（1）利用扇形的面积公式直接计算即可； （2）利用扇形的弧长公式及面积公式建立方程组计算即可； （3）利用扇形的弧长公式、面积公式结合基本不等式计算即可. 【详解】（1）由题意可知扇形圆心角的弧度为， 则该扇形的面积为； （2）设扇形圆心角的弧度为， 则该扇形的弧长为，所以有， 解方程得（舍去）或， 所以扇形圆心角的弧度数为； （3）设扇形圆心角的弧度为，则，则 扇形的周长为， 当且仅当时，周长可取得最小值，此时， 故此时扇形的圆心角. ▌对点练10-1（25-26高一下·北京昌平·期末）当代水墨画常以扇环形构图.如图，若，，，则此扇环形水墨画的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：，，， 所以此扇环形水墨画的面积为. ▌对点练10-2（25-26高一下·安徽芜湖·阶段检测）已知扇形的圆心角是，半径为r，弧长为l. (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？ 【答案】(1)； (2)圆心角，面积的最大值为. 【分析】（1）利用弧长公式可得答案； （2）利用扇形的周长和面积公式，结合二次函数可得答案. 【详解】（1）， ∴扇形的弧长； （2）由已知得，，所以，因为，所以， 所以扇形的面积，， 所以当时，面积取得最大值， 此时，圆心角. ▌对点练10-3（24-25高一下·上海闵行·阶段检测）已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． (1)若，求扇形的弧长l； (2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据弧长公式进行计算即可； （2）由已知利用扇形面积，三角形面积公式即可得解弓形的面积 （3）由题意知，可得，然后结合二次函数的最值求法可得； 【详解】（1）． （2）设弓形面积为．由题知． ． （3）由已知得，， 所以． 所以当时，S取得最大值， 此时． 基础通关 1．（26-27高一上·全国·课后作业）是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】根据题意，得到，进而得到答案. 【详解】因为，所以是第四象限角． 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列说法中，正确的个数是（　　） ①终边相同的角一定相等；②锐角一定是第一象限角；③第一象限角可能是负角；④小于90°的角都是锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】终边相同的角可以相差360°的整数倍，不一定相等，①错误； 锐角是大于0°且小于90°的角，一定是第一象限角，②正确； 第一象限角可以是正角，也可以是负角，③正确； 小于90°的角可以是锐角，也可以是负角，④错误． 综上，正确的个数是2. 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别写出阴影部分终边在第二象限和第四象限角的集合，然后并起来即可. 【详解】由图，阴影部分终边在第二象限角的集合为： . 阴影部分终边在第四象限角的集合为： . 所以终边在阴影部分的角的集合为. 4．已知扇形的周长为，则该扇形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用扇形的周长和面积公式进行转化后计算最大值. 【详解】设扇形半径为，弧长为，则由题意得：， 则，其中，当时，. 5．（25-26高一下·辽宁大连·期末）已知扇形的半径为2，面积为1，则该扇形圆心角的弧度数为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】利用扇形面积公式，代入已知的半径和面积，求解圆心角的弧度数 【详解】设该扇形的圆心角弧度数为，已知扇形半径，面积， 根据扇形面积公式，将已知条件代入可得： ， 化简得，解得， 所以，该扇形圆心角的弧度数为. 6．（25-26高一下·陕西渭南·期末）已知角，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【详解】因为，所以角的终边是的非负半轴绕原点顺时针方向旋转得到的， 所以角是第三象限角. 7．（多选）若角α是第二象限角，则角2α的终边不可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】AB 【分析】根据角α是第二象限角的特点，求出角2α的范围进行判断即可. 【详解】因为角α是第二象限角， 所以， 所以 所以2α可能是第三或第四象限角或是终边在y轴的非正半轴上的角， 即其终边不可能在第一、二象限. 故选：AB 8．（多选）（25-26高一上·安徽宿州·期末）下列说法正确的是（ ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．与的终边相同 【答案】ABD 【分析】根据弧度与角度的互化即可判断ABC，根据终边相同的角的概念即可判断D． 【详解】对于A，对应的弧度为，所以对应的弧度为，故A正确； 对于B，对应的角度为，所以对应的角度为，故B正确； 对于C，对应的弧度为，故C错误； 对于D，，，所以这两个角的终边相同，故D正确； 故选：ABD． 9．（25-26高一下·陕西商洛·期中）已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积是_____________. 【答案】 【详解】设扇形的半径为， 扇形的圆心角为，即，扇形的弧长为，， 扇形的面积. 10．（25-26高一上·江苏无锡·期末）窗花是中国传统民间工艺，承载着吉祥寓意与文化内涵.图1为一张手工制作的扇环形窗花，可视为图2扇形截去扇形所剩余部分.已知，，.则此扇环形窗花的面积为______. 【答案】 【分析】由条件根据圆心角的弧度数与弧长和半径的关系列方程求，结合扇形面积公式求结论. 【详解】设圆心角为，则， 已知，，所以，解得. 因为，所以. 所以此扇环形窗花的面积为： 故答案为：. 素养提升 1．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知某扇形的周长是21，面积为27，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】利用扇形的周长公式和面积公式求解. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为，圆心角所对的弧长为， 由题意可得，解得或，所以或. 2．（24-25高一上·四川成都·期末）扇面是中国书画作品的一种重要表现形式如图，图为其结构简化图设扇面，间的圆弧长为，，间的弦长为，圆弧所对的圆心角为，则，和所满足的关系为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，连接，取的中点为，连接， 由题意可得，，， 设，在 中，，  又，   所以由可得， 即 . 3．（25-26高三·全国·一轮复习）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成的）．已知，，线段，与，的长度之和为30，圆心角为弧度．则铭牌的截面面积最大值为（   ） A． B． C．75 D． 【答案】A 【详解】根据题意，可算得弧，弧． 所以，所以． 依据题意，可知截面面积， 化简得：． 所以当，． 即当米时铭牌的面积最大，且最大面积为平方米． 4．（25-26高一下·江西景德镇·阶段检测）某企业计划制作一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）．已知弧的长度为厘米，弧的长度为厘米，，且该铭牌截面的面积为900平方厘米． (1)若厘米，求的值； (2)求该铭牌截面的周长的最小值． 【答案】(1)厘米 (2)厘米 【分析】（1）根据弧长公式及扇形的面积公式求解即可； （2）根据已知条件得到扇形圆心角与之间的关系式，进而根据弧长公式可得到该铭牌截面的周长的表达式，结合基本不等式可得结果. 【详解】（1）设该扇形的圆心角为，因为厘米，， 所以厘米，所以厘米， 所以该铭牌截面的面积为，解得， 所以厘米. （2）设该扇形的圆心角为，因为， 所以， 所以该铭牌截面的面积为，解得. 所以该铭牌截面的周长为， 将代入得， 当且仅当，即厘米，时等号成立， 所以该铭牌截面的周长的最小值为厘米． 5．如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1，0)出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1 s内转过的角度为θ (0°<θ<180°)，经过2 s达到第三象限，经过14 s后又回到了出发点A处，求θ. 【答案】或. 【分析】由题得90°<θ<135°，求出θ＝，解不等式90°<<135°即得解. 【详解】∵0°<θ<180°，且k·360°＋180°<2θ<k·360°＋270°，k∈Z， 则一定有k＝0，于是90°<θ<135°. 又∵14θ＝n·360°(n∈Z)， ∴θ＝，从而90°<<135°， ∴<n<， ∴n＝4或5. 当n＝4时，θ＝；当n＝5时，θ＝. 所以或. 迁移创新 1．（2025高三上·全国·竞赛）在下图中，优弧与劣弧有相同的圆心．并且点位于与之间，点位于与之间．优弧，劣弧以及线段和的长度均为．问到的距离是多少？（    ） A．1 B． C． D． E．2 【答案】B 【分析】设，圆心角，利用弧长公式建立关于和的方程组，消元后即可求得结果. 【详解】设，圆心角， 因为点位于与之间，点位于与之间，且， 所以，且， 由题意，劣弧的长度为，根据弧长公式可得：①， 因为为劣弧，所以， 又因为优弧的长度为，其对应的圆心角为，可得：②， 由①得：，代入②得：， 整理得：，解得， 因为，且，所以，舍去， 故，即到的距离为. 2．（26-27高一上·全国·课后作业）如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一小木块挡住，使木块底与桌面成角，则点走过的路程是________． 【答案】 【分析】根据题意，分别求得第一次、第二次和第三次旋转时走过的路程，结合扇形的弧长公式，即可求解. 【详解】根据题意，第一次是以为旋转中心，以为半径旋转， 此次点走过的路径是； 第二次是以为旋转中心，以为半径旋转，此次点走过的路径是； 第三次是以为旋转中心，以为半径旋转，此次点走过的路径是， 所以点三次共走过的路径是． 3．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有8段圆弧时，“蚊香”的长度为________． 【答案】 【分析】先分析每段圆弧的圆心角都是相同的特殊角，再找出半径的规律（每次增加一个单位长度），然后分别计算每段弧长并求和 【详解】由题意知，每段圆弧的圆心角均为， 第一段圆弧长度为， 第二段圆弧长度为， 第三段圆弧长度为， 第四段圆弧长度为， 第五段圆弧长度为， 第六段圆弧长度为， 第七段圆弧长度为， 第八段圆弧长度为， 故得到的“蚊香”恰好有8段圆弧时，“蚊香”的长度为． 故答案为：. 4．（25-26高一上·山东聊城·期末）某同学为学校文创社设计了一款如图所示的扇环形的展示铭牌，铭牌的外弧半径，设铭牌对应的圆心角为，内弧半径（），若铭牌的面积为. (1)求关于的函数解析式； (2)记弧，的长度分别为，求的最小值. 【答案】(1)且； (2). 【分析】（1）应用扇形的面积公式及已知得，整理即可得； （2）应用扇形的弧长公式可得，再由基本不等式求最小值. 【详解】（1）由题意，则， 所以且； （2）由 ， 当且仅当时取等号， 所以的最小值. 5．（24-25高二下·上海宝山·阶段检测）如图所示，君洪楼门前广场上有一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植绿植和花卉，需要用栅栏围起来进行绿化养护．知米，米，扇形环面区域面积为平方米，圆心角为弧度. (1)求关于的函数解析式； (2)记花卉周围栅栏（由弧、，弧线段、组成）的长度为米，试问取何值时，的值最小？并求出最小值． 【答案】(1)， (2)当时，棚栏长度的最小值为米 【分析】（1）根据扇形的面积公式列方程得出关于的函数解析式； （2）根据弧长公式求出关于的函数表达式，根据基本不等式可得的最小值. 【详解】（1）利用扇形的面积公式可得，所以， 由可得， 所以，，. （2）依题意可得弧长，弧长， 所以栅栏的长度， 将代入上式，整理可得， 当且仅当时取等号，所以栅栏长度的最小值为米． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 三角函数 7.1 角与弧度 课标要点 ①理解并掌握正角、负角、零角的概念 ②掌握象限角的范围，掌握终边相同的角的表示方法及判定方法 ③了解弧度制，能进行弧度与角度的互化 ④由圆周角找出弧度制与角度制的联系，记住常见特殊角对应的弧度数 ⑤掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式，能用公式进行简单的弧长及面积运算 学习重难点 重点：理解任意角的概念，并掌握终边相同角的含义及其表示；正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积公式 难点：用集合符号表示终边相同的角；终边相同角的表示，区间角的集合书写；能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题 知识点 任意角的概念 1、角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 2、角的分类 ①正角:按逆时针方向旋转所形成的角. ②负角:按顺时针方向旋转所形成的角. ③零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 3、角的运算 设，是任意两个角，为角的相反角． (1)：把角的终边旋转角.（时,旋转量为,按逆时针方向旋转;时,旋转量为,按顺时针方向旋转） (2)： 特别提醒 1）正角:按逆时针方向旋转所形成的角，负角:按顺时针方向旋转所形成的角，注意正负角旋转方向 随学随练 1．（26-27高一上·全国·课后作业）将钟表的分针拨快20分钟，则时针转过了（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·上海·期中）下面四个命题中，正确的是（   ） A．锐角一定是第一象限角 B．小于的角一定是锐角 C．第二象限角是钝角 D．第一象限的角一定不是负角 3．（25-26高一下·江西赣州·期中）若将钟表调快10分钟，则分针转动的角为（   ） A． B． C． D． 知识点 象限角、轴线角、终边相同的角集合（重点） 1、象限角 （1）定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角. 如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限. （2）象限角的常用表示： 第一象限角 第二象限角 第三象限角 或 第四象限角 或 2、轴线角 （1）定义：轴线角是指以原点为顶点，轴非负半轴为始边，终边落在坐标轴上的角. （2）轴线角的表示： ① 终边落在轴非负半轴 ② 终边落在轴非负半轴 ③ 终边落在轴非正半轴 或 ④ 终边落在轴非正半轴 或 ⑤ 终边落在轴 ⑥ 终边落在轴 或 ⑦ 终边落在坐标轴 3、终边相同的角的集合 所有与角终边相同的角为 易错提醒 1）象限角表示的时候注意不等式左边范围和右边范围混乱，如第四象限或，注意不可以写成:这是错误的。 随学随练 1．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）下列各角中，与角终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·辽宁辽阳·期末）角的终边所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．终边与坐标轴重合的所有角的集合是（    ） A． B． C． D． 知识点 弧度制 1、弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写). 2、角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： ， 3、常用的角度与弧度对应表 角度制 弧制度 随学随练 1．（25-26高一下·河南南阳·期中）如图，时钟现在的时间为10：10，经过40min后，时钟的分针旋转所形成的角为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东广州·阶段检测）若将钟表拨慢5分钟，则分针转过的弧度数是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·上海·期中）从凌晨点到点，时针转了______弧度． 知识点扇形中的弧长和面积公式（重点） 弧长公式：(是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：. 特别提醒 1）弧长公式和面积公式中的是圆心角的弧度数，不能用角度制。 随学随练 1．（25-26高一下·河南焦作·期末）已知某扇形的圆心角为，半径为12，则此扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）已知某扇形的周长为16，圆心角弧度数为2，则该扇形的面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 3．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）已知半径为1的扇形面积为2，则扇形圆心角的弧度数为________． 拓展扇形面积中的最值问题（重点） 活学活用 1．（24-25高一上·重庆万州·阶段检测）已知一扇形的周长为40，则这个扇形面积的最大值是__________. 2．已知一个扇形的周长为8，则当该扇形的面积取得最大值时，圆心角大小为（    ） A． B． C． D．2 题型 任意角的概念 解题贴士 （1）正确理解任意角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别 (2)弄清角的始边与终边及旋转方向与大小，“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小 ▌例1 （25-26高一下·全国·课堂例题）若钟表的时针走过了2小时40分，则分针转过的角度为（    ） A． B． C． D． ▌例2 （多选）（25-26高一下·全国·阶段检测）下列命题中错误的是（   ） A．第二象限的角是钝角 B．钝角的补角是第一象限的角 C．小于90°的角是锐角 D．第一象限的角小于第二象限的角 ▌对点练1-1．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列结论： ①三角形的内角必是第一、二象限角； ②始边相同而终边不同的角一定不相等； ③小于的角是第一象限角； ④钝角比第三象限角小； ⑤小于的角是钝角、直角或锐角. 其中正确的结论为_____________（填序号）. ▌对点练1-2．（24-25高一下·贵州遵义·阶段检测）“为锐角”是“为第一象限角”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ▌对点练1-3．（多选）（25-26高一下·全国·阶段检测）下列叙述不正确的是（   ） A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B．钝角是第二象限角 C．第二象限角比第一象限角大 D．不相等的角终边一定不同 题型终边相同的角（重点） 解题贴士 与角终边相同的角都可以表示成的形式 ▌例1（25-26高一下·江西抚州·期中）下列各角的终边与的终边重合的是（    ） A．190° B． C．1490° D． ▌例2（25-26高一下·广西钦州·阶段检测）与角终边相同的角的集合是（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-1（25-26高一下·安徽安庆·阶段检测）与角终边相同的一个角是（    ） A．77° B．103° C． D． ▌对点练2-2（25-26高一上·河北张家口·期末）与角的终边相同的角的集合为（   ） A． B． C． D． ▌对点练2-3（26-27高一上·全国·课后作业）与角终边相同的最小正角是______角． 题型 终边在某条直线上的角的集合（重点） 解题贴士 ①终边落在轴 ②终边落在轴或 终边在某条直线上时，可以通过①终边落在轴或者②终边落在轴上旋转而得到。 ▌例1已知角β的终边在直线上.则角β的集合S为__________. ▌例2（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）（1）分别写出终边落在下列各图所示的直线上的角的集合； ▌对点练3-1（25-26高一下·全国·课后作业）写出终边在直线上的角的集合． ▌对点练3-2（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，用弧度制分别写出下列条件下的角的集合. (1)终边在射线上； (2)终边在直线上. 题型 区间角（重点） ▌例1集合中的角所表示的范围（阴影部分）是 A． B． C． D． ▌例2（26-27高一上·全国·课后作业）写出角在下列位置时的集合． (1)角的终边在如图（1）所示的阴影中（包括边界）； (2)角的终边在如图（2）所示的阴影中（包括边界）． ▌对点练4-1（2026高三·全国·专题练习）已知角的终边落在阴影所表示的范围内（包括边界），则角的集合为______. ▌对点练4-2（1）如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合．          （2）已知角，将改写成的形式，并指出是第几象限角． ▌对点练4-3已知，如图所示. (1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合. (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合. 题型确定分角的终边所在象限（重点） ▌例1（25-26高一下·全国·课堂例题）若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第四象限角 D．第一象限或第二象限或第四象限角 ▌例2（25-26高一下·全国·课堂例题）已知为第二象限角，问，分别是第几象限角？ ▌对点练5-1（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知为第一象限的角，则所在象限为（   ） A．第一象限 B．第一、二象限 C．第一、三象限 D．第一、四象限 ▌对点练5-2（多选）（25-26高一下·江西赣州·阶段检测）如果角是第二象限角，那么角可能是第几象限角？（        ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ▌对点练5-3（25-26高一下·全国·阶段检测）已知角是第三象限角．求： (1)角是第几象限的角． (2)角终边的位置． 题型弧度制的概念 ▌例1将分针拨慢分钟，则分针转过的弧度数是（    ） A． B． C． D． ▌例2（多选）下列说法中错误的是（    ）． A．弧度制下，角的集合与实数集之间建立了一一对应的关系； B．1弧度是长度为半径长的弧； C．1弧度是长度等于半径长的圆弧所对圆心角的大小； D．用弧度作角的单位仅能表示正角． ▌对点练6-1（25-26高一下·全国·课堂例题）下列语句正确的是（   ） A．一弧度是一度的圆心角所对的弧 B．一弧度是长度等于半径的圆弧所对的圆周角 C．一弧度的圆心角所对的弧长为1 D．一弧度的圆心角所夹弧长等于半径 ▌对点练6-2（多选）（25-26高一下·全国·阶段检测）下列命题中，正确的是（   ） A．“角度制”和“弧度制”是度量角的两种不同的度量制度 B．1rad的角等于1度的角 C．的角是周角的，1rad的角是周角的 D．180°的角一定等于的角 ▌对点练6-3（多选）关于弧度制说法正确的是（    ） A．角的度数和弧度数是一一对应的 B．用角度制度量角，与其所在的圆的半径无关；用弧度制度量角，与其所在的圆的半径有关 C．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角 D．用弧度制度量角，该角必为正角 题型角度制与弧度制的转化 解题贴士 弧度与角度互换公式：，紧抓这个等量关系互化 ▌例1（25-26高一下·广西钦州·阶段检测）（1）将角度、分别化为弧度； （2）将弧度、分别化为角度. ▌例2（25-26高一下·全国·阶段检测）请将下列各角在角度和弧度之间互化： (1)；(2)；(3)；(4)． ▌对点练7-1（25-26高二下·天津红桥·期末）把化成弧度为（     ） A． B． C． D． ▌对点练7-2（25-26高一下·贵州遵义·期中）将改写成的形式是（     ） A． B． C． D． ▌对点练7-3（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）把下列各角的角度化成弧度、弧度化成角度，并指出各角所在象限： (1)；(2)；(3). 题型用弧度表示角的范围 ▌例1（25-26高三上·山东泰安·期末）终边落在下图阴影区域（含边界）的角的集合为（   ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高一上·天津南开·阶段检测）用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为__________. ▌对点练8-1已知角的终边落在阴影区域内（不含边界），角的终边和相同，则角的集合为（    ） A． B． C． D． ▌对点练8-2若角的终边落在如图所示的阴影部分内（含边界），则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． ▌对点练8-3把写成的形式是__________. 题型弧长公式（重点） 解题贴士 弧长公式：(注意是圆心角的弧度数) ▌例1（25-26高一下·广西桂林·期末）若扇形的圆心角为，半径为3，则此扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高一下·陕西汉中·期中）已知扇形的圆心角是，，则该扇形的弧长______. ▌对点练9-1（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）某扇形花坛的圆心角为弧度，半径为8米，则该花坛的弧长为（   ）． A．米 B．米 C．米 D．米 ▌对点练9-2（25-26高一下·江西吉安·期末）某扇形的周长为30，圆心角为3弧度，则该扇形的半径为________． ▌对点练9-3（25-26高一下·上海浦东新·期中）若扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的弧长是_____________. 题型扇形面积（重点） 解题贴士 ①扇形面积公式：(注意是圆心角的弧度数) ②常与二次函数，基本不等式结合解决最值问题 ▌例1（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知一个扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． ▌例2（24-25高一下·广西钦州·阶段检测）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R． (1)若，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． ▌对点练10-1（25-26高一下·北京昌平·期末）当代水墨画常以扇环形构图.如图，若，，，则此扇环形水墨画的面积为（   ） A． B． C． D． ▌对点练10-2（25-26高一下·安徽芜湖·阶段检测）已知扇形的圆心角是，半径为r，弧长为l. (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？ ▌对点练10-3（24-25高一下·上海闵行·阶段检测）已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． (1)若，求扇形的弧长l； (2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 基础通关 1．（26-27高一上·全国·课后作业）是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列说法中，正确的个数是（　　） ①终边相同的角一定相等；②锐角一定是第一象限角；③第一象限角可能是负角；④小于90°的角都是锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（　　） A． B． C． D． 4．已知扇形的周长为，则该扇形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·辽宁大连·期末）已知扇形的半径为2，面积为1，则该扇形圆心角的弧度数为（   ） A． B．1 C． D．2 6．（25-26高一下·陕西渭南·期末）已知角，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 7．（多选）若角α是第二象限角，则角2α的终边不可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（多选）（25-26高一上·安徽宿州·期末）下列说法正确的是（ ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．与的终边相同 9．（25-26高一下·陕西商洛·期中）已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积是_____________. 10．（25-26高一上·江苏无锡·期末）窗花是中国传统民间工艺，承载着吉祥寓意与文化内涵.图1为一张手工制作的扇环形窗花，可视为图2扇形截去扇形所剩余部分.已知，，.则此扇环形窗花的面积为______. 素养提升 1．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知某扇形的周长是21，面积为27，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数是（   ） A． B． C． D．或 2．（24-25高一上·四川成都·期末）扇面是中国书画作品的一种重要表现形式如图，图为其结构简化图设扇面，间的圆弧长为，，间的弦长为，圆弧所对的圆心角为，则，和所满足的关系为（    ）    A． B． C． D． 3．（25-26高三·全国·一轮复习）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成的）．已知，，线段，与，的长度之和为30，圆心角为弧度．则铭牌的截面面积最大值为（   ） A． B． C．75 D． 4．（25-26高一下·江西景德镇·阶段检测）某企业计划制作一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）．已知弧的长度为厘米，弧的长度为厘米，，且该铭牌截面的面积为900平方厘米． (1)若厘米，求的值； (2)求该铭牌截面的周长的最小值． 5．如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1，0)出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1 s内转过的角度为θ (0°<θ<180°)，经过2 s达到第三象限，经过14 s后又回到了出发点A处，求θ. 迁移创新 1．（2025高三上·全国·竞赛）在下图中，优弧与劣弧有相同的圆心．并且点位于与之间，点位于与之间．优弧，劣弧以及线段和的长度均为．问到的距离是多少？（    ） A．1 B． C． D． E．2 2．（26-27高一上·全国·课后作业）如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一小木块挡住，使木块底与桌面成角，则点走过的路程是________． 3．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有8段圆弧时，“蚊香”的长度为________． 4．（25-26高一上·山东聊城·期末）某同学为学校文创社设计了一款如图所示的扇环形的展示铭牌，铭牌的外弧半径，设铭牌对应的圆心角为，内弧半径（），若铭牌的面积为. (1)求关于的函数解析式； (2)记弧，的长度分别为，求的最小值. 5．（24-25高二下·上海宝山·阶段检测）如图所示，君洪楼门前广场上有一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植绿植和花卉，需要用栅栏围起来进行绿化养护．知米，米，扇形环面区域面积为平方米，圆心角为弧度. (1)求关于的函数解析式； (2)记花卉周围栅栏（由弧、，弧线段、组成）的长度为米，试问取何值时，的值最小？并求出最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $