7.2.1 任意角的三角函数（讲义，知识点&5大题型&刷好题）高一数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦“任意角的三角函数”核心知识点，系统梳理单位圆定义法与终边上点定义法，衔接各象限符号判断、特殊角三角函数值及三角函数线，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料特色在于通过双定义法培养抽象能力（数学眼光），题型分类含解题贴士与例题发展推理能力（数学思维），随学随练及分层练习助力用数学语言表达，课中辅助教学，课后帮助学生查漏补缺。

第七章 三角函数 7.2.1 任意角的三角函数 课标要点 ①理解结合单位圆定义三角函数的意义 ②结合任意角终边与单位圆的交点会求任意角的正弦、余弦、正切值 ③根据任意角终边所在象限的位置，会判断任意角三角函数值的符号 学习重难点 重点：任意角的三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义 难点：任意角的三角函数概念的建构过程 知识点任意角的三角函数定义（重点） 1、单位圆定义法： 如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆相交于点 ①正弦函数：把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即 ②余弦函数：把点的横坐标叫做的余弦函数,记作,即　　　　  ③正切函数：把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即()  我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 2、终边上任意一点定义法： 在角终边上任取一点，设原点到点的距离为 ①正弦函数：②余弦函数：　③正切函数：()  特别提醒 1）求任意角三角函数时注意先判断点是否在单位圆上，再选择合适的方法求解 随学随练 1．（26-27高三上·北京·开学考试）已知角的顶点在坐标原点，始边为轴非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知角的终边经过点，则（    ） A． B．2 C． D． 3．（25-26高一下·海南海口·期末）已知角的终边经过点，则（     ） A． B． C． D． 知识点三角函数值在各象限的符号（重点） ,,在各象限的符号如下:（口诀“一全正,二正弦,三正切,四余弦”） 随学随练 1．（25-26高一下·北京延庆·期中）若角是第二象限的角，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·上海·期中）已知，则角的终边所在的象限为第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 3．（多选）（25-26高一上·四川成都·期末）若为第二象限角，则下列正确的有（ ） A．， B．， C．， D．， 知识点特殊的三角函数值 角度 弧度 正弦值 余弦值 正切值 随学随练 1．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）的值是（ ） A． B． C． D．1 2．（25-26高一下·安徽六安·阶段检测）的值为（ ） A． B． C． D． 3．（2026高二上·辽宁大连·学业考试）（   ） A． B． C． D． 拓展 三角函数线（重点） 设角的终边与单位圆相交点；④由点向轴做垂线，垂足为点；⑤由点作单位圆的切线与终边相交于点。如下图所示： 在中： 为正弦线，长度为正弦值。 为余弦线，长度为余弦值。 在中：。 为正切线，长度为正切值。 活学活用 1．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，P是角α的终边与半径为1的圆的交点，轴于M，AT和均是半径为1的圆的切线，则下列关于角α的说法正确的是（   ） A．正弦线是，正切线是 B．正弦线是，正切线是 C．正弦线是，正切线是 D．正弦线是，正切线是 2．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： (1)；(2)；(3)． 题型用单位圆法求三角函数值（重点） 解题贴士 （1）先判断点在单位圆上 （2）根据单位圆定义求三角函数值 ①正弦函数： ②余弦函数： ③正切函数：() ▌例1 （25-26高一下·陕西咸阳·期末）若角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． ▌例2 （23-24高一上·湖北孝感·阶段检测）已知角的终边与单位圆交于点，其中． (1)求实数的值； (2)求的值． ▌对点练1-1．（24-25高一上·福建龙岩·阶段检测）已知角顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．已知角的终边与单位圆的交于点，则为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．已知角的终边与单位圆的交点，则（    ） A． B． C． D． 题型由终边或终边上的点求三角函数值（重点） 解题贴士 步骤：（1）先求原点到点的距离为 （2）根据定义求三角函数值 ①正弦函数：②余弦函数：　③正切函数：() ▌例1（26-27高三上·广东揭阳·开学考试）已知角的始边与x轴非负半轴重合，终边落在直线上，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 ▌例2（25-26高一下·四川泸州·期末）若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-1（25-26高一下·江西景德镇·期末）已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． ▌对点练2-2（25-26高一下·江西景德镇·期末）已知角终边上一点，则________________ ． ▌对点练2-3（重庆市万州第一中学等校2025-2026学年高一下学期4月联考数学试题）已知角α的终边经过点，则_________. 题型由三角函数值求参数（重点） 解题贴士 步骤：（1）先求原点到点的距离为 （2）根据定义代入相应三角函数值 ①正弦函数：②余弦函数：　③正切函数：() （3）根据三角函数值逆求参数 ▌例1（25-26高一下·江西九江·期中）若角的终边上有一点，且，则（   ） A．1 B． C．或1 D．或 ▌例2（25-26高二上·云南大理·期末）已知角的终边过点，且，则（   ） A． B．1 C．－1或1 D． ▌对点练3-1（25-26高一上·上海·期末）角的终边经过点且，则实数的值为（    ） A．4 B． C． D．3 ▌对点练3-2（25-26高一上·湖北宜昌·期末）已知角的终边经过点，且，则（   ） A．8或 B． C．8 D． ▌对点练3-3（25-26高一下·上海·期中）已知角终边上一点，若，则实数的值为______ 题型三角函数值符号应用（重点） 解题贴士 ,,在各象限的符号如下:（口诀“一全正,二正弦,三正切,四余弦”） ▌例1（25-26高一下·北京·期中）在中，为钝角，则点（    ） A．在第一象限 B．在第二象限 C．在第三象限 D．在第四象限 ▌例2（多选）（25-26高一上·四川成都·期末）已知为第三象限角，则（   ） A． B． C． D． ▌对点练4-1（25-26高一上·天津·阶段检测）已知角α为第四象限角， 则在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ▌对点练4-2（多选）（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）（多选）若为第二象限角，则下列正确的有（    ） A．， B．， C．， D．， ▌对点练4-3（多选）（2025高一上·江苏无锡·专题练习）已知是第二象限角，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 题型 三角函数线的应用（重点） ▌例1（24-25高一下·河南南阳·期中）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高一下·全国·课后作业）（多空）利用三角函数线比较下列各组数的大小（用“>”或“<”连接）： （1）______； （2）______； （3）______． ▌对点练5-1（24-25高一上·全国·课后作业）已知，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． ▌对点练5-2（24-25高一上·上海·课后作业）若，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 ▌对点练5-3在单位圆中，满足的正弦线有几条？试在图中明确．    基础通关 1．（26-27高二上·河北承德·开学考试）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·江西南昌·期末）若角的终边上有一点，则（     ） A．-3 B．4 C． D． 4．（25-26高一下·湖北咸宁·期末）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则角可以为（    ） A． B． C． D． 6．（2026高三·全国·专题练习）设是第三象限角，且，则是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 7．（多选）（25-26高一下·陕西汉中·期中）直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D．是第四象限角 8．（多选）（25-26高一上·湖北十堰·期末）已知角的顶点在原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则（    ） A．角为第四象限角 B． C． D． 9．（25-26高一下·上海徐汇·期末）若点是角终边上的一点，则 _________． 10．（25-26高一下·北京·期中）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，则___________． 素养提升 1．（25-26高一下·辽宁·期中）若，则是（   ） A．第二或第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一或第三象限角 2．（25-26高一下·安徽安庆·阶段检测）角α的终边经过点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·福建南平·阶段检测）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高三·全国·一轮复习）设角终边上一点，则的值为________． 5．（25-26高一下·辽宁朝阳·阶段检测）（1）已知角的终边过，求的值． （2）角终边经过点，且．求的值． 迁移创新 1．（25-26高一上·河南·阶段检测）在平面直角坐标系中，角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·河北·期中）从1，2，3，4，5，6中任取2个不同的数字，分别作为角α，β的弧度数，则满足 的不同取法种数为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 3．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）用表示不超过实数的最大整数，如，.则的值为_______________ 4．（25-26高一上·江苏镇江·期末）如图所示，已知公路，相互垂直，村委会P到公路，的距离分别为100 m和200 m，为了方便村民，政府现决定修一条经过村委会P的公路AB，公路AB与路，连接，这三条公路围成绿化区域OAB.不计路的宽度. (1)请在下面三个变量中，选择一个变量，将绿化区域OAB面积表示成你所选择变量的函数关系式（如果多选，以选择的第一个给分）； ①设；②设；③设； (2)求绿化区域OAB面积的最小值. 5．（24-25高一下·上海松江·阶段检测）如图，为迎接校庆，我校准备在直角三角形内的空地上植造一块“绿地”，规划在的内接正方形内种花，其余地方种草，若，，种草的面积为，种花的面积为，比值称为“规划和谐度”． (1)试用、表示、； (2)若为定值，足够长，当为何值时，“规划和谐度”有最小值，最小值是多少? 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 三角函数 7.2.1 任意角的三角函数 课标要点 ①理解结合单位圆定义三角函数的意义 ②结合任意角终边与单位圆的交点会求任意角的正弦、余弦、正切值 ③根据任意角终边所在象限的位置，会判断任意角三角函数值的符号 学习重难点 重点：任意角的三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义 难点：任意角的三角函数概念的建构过程 知识点任意角的三角函数定义（重点） 1、单位圆定义法： 如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆相交于点 ①正弦函数：把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即 ②余弦函数：把点的横坐标叫做的余弦函数,记作,即　　　　  ③正切函数：把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即()  我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 2、终边上任意一点定义法： 在角终边上任取一点，设原点到点的距离为 ①正弦函数：②余弦函数：　③正切函数：()  特别提醒 1）求任意角三角函数时注意先判断点是否在单位圆上，再选择合适的方法求解 随学随练 1．（26-27高三上·北京·开学考试）已知角的顶点在坐标原点，始边为轴非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由三角函数定义可得. 2．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知角的终边经过点，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】设点P到坐标原点的距离为， 则. 3．（25-26高一下·海南海口·期末）已知角的终边经过点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用任意角余弦函数的定义，先计算终边上点到原点的距离，再代入公式求解即可. 【详解】 由题干可知，角终边上的点坐标为，即，， 因此： ， 代入余弦公式得. 知识点三角函数值在各象限的符号（重点） ,,在各象限的符号如下:（口诀“一全正,二正弦,三正切,四余弦”） 随学随练 1．（25-26高一下·北京延庆·期中）若角是第二象限的角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】角是第二象限的角，则，，，. 2．（25-26高一下·上海·期中）已知，则角的终边所在的象限为第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【详解】由象限角的三角函数符号可知， ，角的终边在第二或第四象限， ，角的终边在第一或第二象限， 综上可知当时，角的终边所在的象限为第二象限. 3．（多选）（25-26高一上·四川成都·期末）若为第二象限角，则下列正确的有（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【分析】由为第二象限角即可判断三角函数值的符号. 【详解】因为为第二象限角，则, 所以或或,所以B、C、D选项正确, 对于A选项 ，由于，所以该选项错误. 故选：BCD 知识点特殊的三角函数值 角度 弧度 正弦值 余弦值 正切值 随学随练 1．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）的值是（ ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】特殊锐角的三角函数值直接求解. 【详解】. 2．（25-26高一下·安徽六安·阶段检测）的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 3．（2026高二上·辽宁大连·学业考试）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊角三角函数值直接计算求解. 【详解】. 故选：B. 拓展 三角函数线（重点） 设角的终边与单位圆相交点；④由点向轴做垂线，垂足为点；⑤由点作单位圆的切线与终边相交于点。如下图所示： 在中： 为正弦线，长度为正弦值。 为余弦线，长度为余弦值。 在中：。 为正切线，长度为正切值。 活学活用 1．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，P是角α的终边与半径为1的圆的交点，轴于M，AT和均是半径为1的圆的切线，则下列关于角α的说法正确的是（   ） A．正弦线是，正切线是 B．正弦线是，正切线是 C．正弦线是，正切线是 D．正弦线是，正切线是 【答案】C 【分析】根据正弦线、正切线的定义即可判断. 【详解】由正弦线，正切线的定义可知，是正弦线，是正切线. 故选：C. 2．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)如下图： 角的正弦线为、余弦线为、正切线为； (2) 如下图： 角的正弦线为、余弦线为、正切线为； (3) 如下图： 角的正弦线为、余弦线为、正切线为． 【分析】分别作出单位圆，交角的终边于，过作轴，交轴于，过点作轴平行线，交角的终边（或终边的反向延长线）于，则正弦线为、余弦线为、正切线为． 【详解】（1）作出单位圆，交角的终边于， 过作轴，交轴于， 过点作轴平行线，交角的终边于，如下图： 则角的正弦线为、余弦线为、正切线为； （2）作出单位圆，交角的终边于， 过作轴，交轴于， 过点作轴平行线，交角的终边的反向延长线于，如下图： 则角的正弦线为、余弦线为、正切线为； （3）作出单位圆，交角的终边于， 过作轴，交轴于， 过点作轴平行线，交角的终边的反向延长线于，如下图： 则角的正弦线为、余弦线为、正切线为． 题型用单位圆法求三角函数值（重点） 解题贴士 （1）先判断点在单位圆上 （2）根据单位圆定义求三角函数值 ①正弦函数： ②余弦函数： ③正切函数：() ▌例1 （25-26高一下·陕西咸阳·期末）若角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由三角函数的定义可得. ▌例2 （23-24高一上·湖北孝感·阶段检测）已知角的终边与单位圆交于点，其中． (1)求实数的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由题意可得，再结合可求得答案； （2）根据任意角的三角函数的定义求解即可. 【详解】（1）由角的终边与单位圆交于点，有， 又由，解得； （2）因为角的终边与单位圆交于点， 所以． ▌对点练1-1．（24-25高一上·福建龙岩·阶段检测）已知角顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角函数定义求出，相减即得． 【详解】角终边与单位圆交于点，则，. . 故选：A. ▌对点练1-2．已知角的终边与单位圆的交于点，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用三角函数的定义，可得结果. 【详解】由三角函数的定义可得. 故选：A. ▌对点练1-3．已知角的终边与单位圆的交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用角的终边与单位圆相交来定义任意角的三角函数值. 【详解】因为角的终边与单位圆的交点， 令， 所以， 所以， 故选：A. 题型由终边或终边上的点求三角函数值（重点） 解题贴士 步骤：（1）先求原点到点的距离为 （2）根据定义求三角函数值 ①正弦函数：②余弦函数：　③正切函数：() ▌例1（26-27高三上·广东揭阳·开学考试）已知角的始边与x轴非负半轴重合，终边落在直线上，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】在角的终边上任取异于原点的点， 由，得． ▌例2（25-26高一下·四川泸州·期末）若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义求解即可. 【详解】由三角函数的定义可知，，. 所以. ▌对点练2-1（25-26高一下·江西景德镇·期末）已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，， 故. ▌对点练2-2（25-26高一下·江西景德镇·期末）已知角终边上一点，则________________ ． 【答案】 【详解】角终边上一点，则。 ▌对点练2-3（重庆市万州第一中学等校2025-2026学年高一下学期4月联考数学试题）已知角α的终边经过点，则_________. 【答案】/ 【详解】因为角α的终边经过点，所以. 题型由三角函数值求参数（重点） 解题贴士 步骤：（1）先求原点到点的距离为 （2）根据定义代入相应三角函数值 ①正弦函数：②余弦函数：　③正切函数：() （3）根据三角函数值逆求参数 ▌例1（25-26高一下·江西九江·期中）若角的终边上有一点，且，则（   ） A．1 B． C．或1 D．或 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】由题意得：， 所以，解得. ▌例2（25-26高二上·云南大理·期末）已知角的终边过点，且，则（   ） A． B．1 C．－1或1 D． 【答案】A 【分析】由三角函数的定义即可求解. 【详解】角的终边过点， 由三角函数的定义可知：， 化简得：，故， 故选：A. ▌对点练3-1（25-26高一上·上海·期末）角的终边经过点且，则实数的值为（    ） A．4 B． C． D．3 【答案】B 【详解】由三角函数的定义得， 平方化简得，解得（正根舍去）. ▌对点练3-2（25-26高一上·湖北宜昌·期末）已知角的终边经过点，且，则（   ） A．8或 B． C．8 D． 【答案】B 【详解】根据题意可得：，且坐标为负数，所以， 所以. 又，所以. ▌对点练3-3（25-26高一下·上海·期中）已知角终边上一点，若，则实数的值为______ 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用正弦函数定义列式求解. 【详解】依题意，，则的终边落在第一或第二象限， 又因为，则点在第一或第四象限，综上可得角在第一象限，所以， 即，解得. 题型三角函数值符号应用（重点） 解题贴士 ,,在各象限的符号如下:（口诀“一全正,二正弦,三正切,四余弦”） ▌例1（25-26高一下·北京·期中）在中，为钝角，则点（    ） A．在第一象限 B．在第二象限 C．在第三象限 D．在第四象限 【答案】B 【详解】在中，为钝角，则为锐角. 所以，所以点在第二象限. ▌例2（多选）（25-26高一上·四川成都·期末）已知为第三象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由角所在的象限确定三角函数的符号. 【详解】因为为第三象限角， 所以，，， 则，，的正负不确定． 故答案为：ABC. ▌对点练4-1（25-26高一上·天津·阶段检测）已知角α为第四象限角， 则在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据角α的象限确定三角函数值的符号，即得点所在的象限. 【详解】因角α为第四象限角，则， 故点在第三象限. 故选：C. ▌对点练4-2（多选）（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）（多选）若为第二象限角，则下列正确的有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【分析】根据三角函数的符号规律直接判断即可. 【详解】若为第二象限角，则，，． 所以，为第二象限角，则或或． 故选：BC． ▌对点练4-3（多选）（2025高一上·江苏无锡·专题练习）已知是第二象限角，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据三角函数在各个象限的符号进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，， 所以， 所以，A选项正确. 当时，，B选项错误. 因为①， 所以，C选项正确. 由①得，当时，时， 此时，D选项错误. 故选：AC 题型 三角函数线的应用（重点） ▌例1（24-25高一下·河南南阳·期中）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】作出图形如图所示，扇形，设半径为1，， 设，，由图可知， 又， 所以，所以， 由，，得．， ，故． 故选：A. ▌例2（25-26高一下·全国·课后作业）（多空）利用三角函数线比较下列各组数的大小（用“>”或“<”连接）： （1）______； （2）______； （3）______． 【答案】 > > < 【详解】作出和的三角函数线，如图所示，根据三角函数线得： ，，. ▌对点练5-1（24-25高一上·全国·课后作业）已知，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据角的范围，画出的终边大概所在位置，结合三角函数线的定义即可求解. 【详解】画出图象如下图所示，由图可知，. 故选：D. ▌对点练5-2（24-25高一上·上海·课后作业）若，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】作出的正弦线、余弦线，即可判断. 【详解】因为，作出的正弦线，余弦线， 所以，，所以，即． 故选：B ▌对点练5-3在单位圆中，满足的正弦线有几条？试在图中明确．    【答案】两条，    【分析】根据正弦线的概念画出与单位圆相交的点与的交点，进而与是符合题意的正弦线. 【详解】两条，如图所示，画出直线，与单位圆相交的点与的交点， 则与是符合题意的正弦线，且与都等于． 所以在单位圆中，满足的正弦线有两条.    基础通关 1．（26-27高二上·河北承德·开学考试）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】根据角的终边过点，可得， 则，则点位于第四象限. 2．（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】①当时，点在第四象限，， 由三角函数定义：，． ②当时，点在第二象限，， 由三角函数定义：，． 综上，． 3．（25-26高一下·江西南昌·期末）若角的终边上有一点，则（     ） A．-3 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以. 4．（25-26高一下·湖北咸宁·期末）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为角的终边经过点， 所以. 5．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则角可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，, 且为第四象限角，则， 根据各选项逐一代值检验，只有C项符合题意. 6．（2026高三·全国·专题练习）设是第三象限角，且，则是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【分析】由是第三象限角推断是第二或第四象限角，结合即可判断所在象限. 【详解】因是第三象限角，则， 所以， 当时，，即是第二象限角； 当时，，即是第四象限角. 又由可知， 所以是第二象限角. 7．（多选）（25-26高一下·陕西汉中·期中）直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D．是第四象限角 【答案】AB 【分析】先由终边上点的坐标求出点到原点的距离，再分别代入正切、正弦、余弦的定义公式计算，同时根据点的坐标符号判断角所在的象限，逐一验证选项的正误. 【详解】因为角终边过点，所以点到原点的距离： ， 所以选项A： ，故A正确； 选项B：，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：因为点在第三象限，所以是第三象限角，故D错误. 8．（多选）（25-26高一上·湖北十堰·期末）已知角的顶点在原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则（    ） A．角为第四象限角 B． C． D． 【答案】BD 【分析】对于A，分正负判断判断该点所在的象限；对于B，利用三角函数的定义计算；对于CD，分正负计算的值和的正负. 【详解】由题得，故B正确； 对于A，若，则，则该点在第四象限，角为第四象限角， 若，则，则该点在第二象限，角为第二象限角，故A错误； 对于C，若，则，，若，则，，故C错误； 对于D，若，则，，，， 若，则，，，，故D正确， 故选：BD. 9．（25-26高一下·上海徐汇·期末）若点是角终边上的一点，则 _________． 【答案】 【详解】已知角终边上的一点，则， ． 10．（25-26高一下·北京·期中）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，则___________． 【答案】 【详解】由题知，解得， 又点在第三象限，所以，所以. 素养提升 1．（25-26高一下·辽宁·期中）若，则是（   ） A．第二或第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一或第三象限角 【答案】A 【分析】结合三角函数性质可得范围，即可得范围，即可得解. 【详解】由，，则是第三象限角， 即， 所以， 当，即为偶数时， ，此时是第二象限角； 当，即为奇数时， ，此时是第四象限角； 综上是第二或第四象限角. 2．（25-26高一下·安徽安庆·阶段检测）角α的终边经过点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设结合任意角三角函数定义可得答案. 【详解】因为，所以点位于第二象限，α是第二象限角， 则，，， 所以，，，则B正确，CD错误； 又，当且仅当时，， 即时，不一定成立，则Ａ错误． 3．（25-26高一上·福建南平·阶段检测）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则或， 若，则， 所以“”是“”的必要不充分条件； 故选：B 4．（25-26高三·全国·一轮复习）设角终边上一点，则的值为________． 【答案】/ 【详解】，，． ． 5．（25-26高一下·辽宁朝阳·阶段检测）（1）已知角的终边过，求的值． （2）角终边经过点，且．求的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）由三角函数的定义求出的值，再代入计算； （2）根据三角函数的定义求得，再分情况求解即可． 【详解】（1）已知角的终边过， ， ； （2）角终边经过点， ，， ，即，解得， 当时，，， ； 当时，，， ； 综上，的值为或． 迁移创新 1．（25-26高一上·河南·阶段检测）在平面直角坐标系中，角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角函数的定义可求出即可求出答案. 【详解】由三角函数的定义可得， ， ， ， 所以. 故选：C. 2．（25-26高三上·河北·期中）从1，2，3，4，5，6中任取2个不同的数字，分别作为角α，β的弧度数，则满足 的不同取法种数为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】根据所在象限以及进行分析，由此确定正确答案. 【详解】依题意，是第一象限，是第二象限，是第三象限，是第四象限， 对于函数，当是第一、二象限角时，； 当是第三、四象限角时，； 对于函数，当是第一、四象限角时，； 当是第二、三象限时，. 要使， 则需①且，或②且； 所以当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，； 共有种不同取法. 故选：B 3．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）用表示不超过实数的最大整数，如，.则的值为_______________ 【答案】 【分析】首先求得在的范围内的值，再根据三角函数的周期性，求得所求表达式的值. 【详解】根据正弦函数的周期为，在一个周期内有，，， 当时，，当时，， 所以， 根据三角函数的周期性可知 ． 4．（25-26高一上·江苏镇江·期末）如图所示，已知公路，相互垂直，村委会P到公路，的距离分别为100 m和200 m，为了方便村民，政府现决定修一条经过村委会P的公路AB，公路AB与路，连接，这三条公路围成绿化区域OAB.不计路的宽度. (1)请在下面三个变量中，选择一个变量，将绿化区域OAB面积表示成你所选择变量的函数关系式（如果多选，以选择的第一个给分）； ①设；②设；③设； (2)求绿化区域OAB面积的最小值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据所设变量，结合几何关系即可求出绿化区域OAB面积的函数关系式； （2）利用基本不等式即可求出绿化区域OAB面积的最小值. 【详解】（1）选择①设，过点分别作于点，作于点， 又村委会P到公路，的距离分别为100 m和200 m，， 在中，，， 在中，，， 为直角三角形，， 故绿化区域OAB面积表示成你所选择变量的函数关系式为，. （2）由（1）可知，，， 根据基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立， ， 即绿化区域OAB面积的最小值为. 5．（24-25高一下·上海松江·阶段检测）如图，为迎接校庆，我校准备在直角三角形内的空地上植造一块“绿地”，规划在的内接正方形内种花，其余地方种草，若，，种草的面积为，种花的面积为，比值称为“规划和谐度”． (1)试用、表示、； (2)若为定值，足够长，当为何值时，“规划和谐度”有最小值，最小值是多少? 【答案】(1)， (2)为时，最小值为1 【分析】（1）由题意得，即的面积为，设正方形的边长为，由得，即可求解； （2）由，利用均值不等式即可求解. 【详解】（1）由题意得，的面积为， 设正方形的边长为，则由得， ，； （2）由，当且仅当等号成立， 即为时，最小值为1. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $