6.3 对数函数（讲义，知识点&10大题型&刷好题）高一数学苏教版必修第一册

第六章 幂函数、指数函数和对数函数 6.3 对数函数 课标要点 ①理解对数函数的概念及条件，掌握对数函数的图象与性质 ②会利用对数函数的性质解决与对数函数有关的函数的定义域、值域、单调性、大小比较、对数方程与不等式等相关问题 学习重难点 重点：对数函数的图象与性质的应用 难点：对数函数有关的复合函数的性质 知识点 对数函数概念 一般地，函数叫做对数函数，其中真数是自变量，定义域是. 判断一个函数是对数函数的依据 特别提醒 判断对数函数注意： 1）形如 2）底数满足 3）真数是，而不是的函数 4）定义域 易错提醒 例如：是对数函数，而、都不是对数函数，可称为对数型函数 随学随练 1．（26-27高一上·全国·课后作业）下列函数是对数函数的是（    ） A．y＝loga(2x) B．y＝lg 5 C．y＝log2(x2＋x) D．y＝ln x 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）给出下列函数：①；②；③；④，其中是对数函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 知识点 两种特殊对数函数（重点） 特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作;称以无理数为底的对数函数为自然对数函数,记作 知识点 对数函数图象与性质（重点） 函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性质 定义域 值域 单调性 增函数 减函数 易错提醒 解题时容易忽略了对数函数的定义域。 随学随练 1．（25-26高二下·天津红桥·期末）函数的定义域为（     ） A． B． C． D．R 2．（24-25高一上·全国·单元测试）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·陕西西安·期末）在同一直角坐标系中，函数的图象可能为（   ） A．B． C． D． 知识点 底数对对数函数图象影响 1.底数与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”. ①当时，对数函数的图象“上升”; ②当时,对数函数的图象“下降”. 2.底数的大小决定了图象相对位置的高低： 无论是还是,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线的右侧时,越大,图象越靠近轴;时,越小,图象越靠近轴; ②左右比较：比较图象与直线的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 注：函数y=与y= (a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称. 拓展反函数 1、反函数的定义： 设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为．由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域． 2、反函数的性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称． （2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上． 活学活用 1．（26-27高一上·全国·课后作业）函数的反函数是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高一上·江西景德镇·期末）若的反函数的图象经过点，则______． 题型 判断函数是否为对数函数 解题贴士 判断对数函数注意： ①形如②底数满足③真数是，而不是的函数④定义域 ▌例1 （24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） ▌例2 （26-27高一上·全国·课后作业）下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2)； (3)； (4)（）． ▌对点练1-1．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列函数中是对数函数的为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（多选）下列函数是对数函数的有（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2)； (3)； (4)（，且）； (5)． 题型 求对数函数解析式 解题贴士 严格按照对数函数概念形如，对数函数“”前系数只能是“1”，底数是常数，真数位置只能是单独一个“” ▌例1（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． ▌例2（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数（，且）的图象过点，则函数的解析式为______． ▌对点练2-1（24-25高一上·全国·课前预习）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为________． ▌对点练2-2（23-24高一上·山东青岛·期末）写出一个同时满足下列①②③的函数的解析式_________． ①的定义域为；②；③当时，． ▌对点练2-3（23-24高一下·全国·单元测试）若对数函数（且）的图象经过点，求此对数函数的表达式. 题型对数函数（对数型复合函数）的定义域 解题贴士 形如的函数的定义域就是不等式的解集 ▌例1（25-26高一下·四川泸州·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． ▌例2（26-27高三上·北京延庆·开学考试）函数的定义域为______． ▌对点练3-1（25-26高二下·北京延庆·期末）函数的定义域为__________． ▌对点练3-2（25-26高一下·上海宝山·期末）函数的定义域为______． ▌对点练3-3（26-27高一上·全国·课后作业）求下列各式中的取值范围： (1) (2) (3) 题型对数函数（对数型复合函数）的图象问题 解题贴士 在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项 ▌例1（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）函数的大致图象为（） A．B．C．D． ▌例2（24-25高一上·福建泉州·期末）函数的图象可以是（    ） A．B． C． D． ▌对点练4-1（25-26高一上·湖南张家界·期末）已知（且且），则函数与的图象可能是（   ） A．B． C． D． ▌对点练4-2（24-25高一上·贵州遵义·期末）若函数，则的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． ▌对点练4-3（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 题型对数函数（对数型复合函数）的值域问题 （重点） 解题贴士 1、形如（，且）的函数求值域 换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，再求出的值域 2、形如（，且）的函数的值域 换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，求出的 值域 ▌例1（25-26高一上·河北承德·期末）函数的最小值为__________． ▌例2（2026·河南·模拟预测）已知函数是偶函数，则函数的值域为__________． ▌对点练5-1（25-26高一上·上海·期末）设常数，，． (1)已知的图象过点，求实数的值； (2)若成立，求实数的取值范围； (3)当时，求函数，的最大值（用实数表示）． ▌对点练5-2（26-27高一上·全国·课后作业）已知，试求的最大值和最小值 ▌对点练5-3已知函数，求在上的值域. 题型根据对数函数（对数型复合函数）的值域求参数（重点） ▌例1（2026高三·全国·专题练习）（1）若函数的定义域为，求的取值范围及函数值域； （2）若函数的值域为，求的取值范围及函数的定义域． ▌例2（25-26高一下·河北保定·开学考试）已知对数函数在上的最大值和最小值的和为1． (1)求的解析式． (2)已知函数． （i）若的定义域为，求的取值范围； （ii）若的值域是，求的值． ▌对点练6-1（25-26高一上·重庆·阶段检测）若函数的值域为，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． ▌对点练6-2若函数的值域是，则的取值范围是______． ▌对点练6-3（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若函数的值域为，求实数的取值范围； (3)若函数的值域为，求实数的值． 题型对数函数（对数型复合函数）的单调性问题（重点） 解题贴士 ①研究型复合函数的单调性，一般用复合法来判定即可．复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减” ②研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则 ▌例1（北京门头沟区2026-2027学年高三上学期9月学业水平阶段练习数学试题）已知函数，则是（     ） A．奇函数，且在单调递增 B．偶函数，且在单调递增 C．奇函数且在单调递减 D．偶函数，且在单调递减 ▌例2（25-26高三下·山东日照·阶段检测）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． ▌对点练7-1（2026高三·全国·专题练习）函数的递增区间为_______________． ▌对点练7-2（25-26高二下·天津滨海新区·期末）函数的单调递减区间为_____． ▌对点练7-3（25-26高一下·上海·期末）函数的单调减区间是__________． 题型根据对数函数（对数型复合函数）的单调性求参数（重点） ▌例1（2026·河北沧州·一模）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______. ▌例2（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． ▌对点练8-1（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）是函数在区间上单调递增的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 ▌对点练8-2（25-26高一下·广西崇左·期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． ▌对点练8-3（25-26高二下·天津南开·期末）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________． 题型比较大小问题（重点） 解题贴士 比较对数的大小的方法（分三种情况） (1)底数相同，真数不同：利用对数函数的单调性来判断 (2)底数不同，真数相同：利用换底公式化为底数相同的对数函数再利用对数函数的单调性来判断 (3)底数不同，真数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“0或1” ▌例1（26-27高三上·广东·开学考试）已知，，，则（     ） A． B． C． D． ▌例2（2026高一·全国·专题练习）若，则的大小关系为________. ▌对点练9-1（2026高一上·全国·专题练习）设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． ▌对点练9-2（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知，，，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练9-3（2026·湖北武汉·三模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型对数函数综合问题（重点） ▌例1（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数（为常数）是奇函数 (1)求的值与函数的定义域； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； (3)若当时，恒成立，求实数的取值范围. ▌例2（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)解不等式； (2)当时，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值． ▌对点练10-1（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数为奇函数． (1)求实数a的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围； ▌对点练10-2（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)当时，若在上单调递增，求实数的取值范围． (3)设函数．若，使得成立，求实数的取值范围． ▌对点练10-3（25-26高一下·云南昆明·期末）已知函数，． (1)当时，求不等式的解集； (2)若，求的最小值； (3)若，在的最大值与最小值之和不大于，求的取值范围． 基础通关 1．（26-27高一上·全国·课后作业）下列函数是对数函数的是（    ） A．y＝loga(2x) B．y＝lg 5 C．y＝log2(x2＋x) D．y＝ln x 2．（2026·山西忻州·模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系为（  ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆·模拟预测）已知，，，比较，，的大小为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·浙江·阶段检测）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·贵州毕节·阶段检测）若函数是偶函数，则（     ） A．8 B． C．4 D． 6．（25-26高二下·四川凉山·期中）下列函数中，在区间上单调递减，且图象关于原点对称的是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（25-26高一上·陕西渭南·期末）如果函数在上是减函数，且时，，对于任意的，下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D． 8．（多选）（2025高一上·全国·专题练习）（多选）关于函数，下列选项中正确的有（   ） A．定义域为 B．增区间为 C．最小值为1 D．图象恒在x轴上方 9．（25-26高二下·天津河西·期末）函数（且）过定点，则__________. 10．（25-26高二·全国·暑假作业）若，则的取值范围是________． 素养提升 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知，且，函数与函数的部分图象可能为（   ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为______． 5．（25-26高一下·湖北荆州·期末）已知函数是R上的奇函数． (1)求实数的值，并判断函数的单调性（不需要证明）； (2)若，求实数的取值范围． 迁移创新 1．（25-26高一下·湖南益阳·期中）已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)已知当时，恒有意义． （Ⅰ）求在上的最小值； （Ⅱ）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 2．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数为定义在上的偶函数，且满足，． (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 3．（25-26高一下·江西赣州·开学考试）已知定义在R上的函数满足，且，． (1)求的值； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 4．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知函数． (1)求函数在区间上的值域； (2)若方程在区间上有实数解，求实数的取值范围； (3)若存在，使得不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 幂函数、指数函数和对数函数 6.3 对数函数 课标要点 ①理解对数函数的概念及条件，掌握对数函数的图象与性质 ②会利用对数函数的性质解决与对数函数有关的函数的定义域、值域、单调性、大小比较、对数方程与不等式等相关问题 学习重难点 重点：对数函数的图象与性质的应用 难点：对数函数有关的复合函数的性质 知识点 对数函数概念 一般地，函数叫做对数函数，其中真数是自变量，定义域是. 判断一个函数是对数函数的依据 特别提醒 判断对数函数注意： 1）形如 2）底数满足 3）真数是，而不是的函数 4）定义域 易错提醒 例如：是对数函数，而、都不是对数函数，可称为对数型函数 随学随练 1．（26-27高一上·全国·课后作业）下列函数是对数函数的是（    ） A．y＝loga(2x) B．y＝lg 5 C．y＝log2(x2＋x) D．y＝ln x 【答案】D 【分析】由对数函数定义结合选项可得答案. 【详解】形如的函数为对数函数. 据此可得仅有D选项满足题意. 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）给出下列函数：①；②；③；④，其中是对数函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据对数函数的定义判断即可. 【详解】形如（且）的函数叫对数函数，其中底数为常数，真数只有自变量， 故只有④满足对数函数的定义，故对数函数有1个. 3．（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数的定义可得. 【详解】形如，且的函数为对数函数，故B正确. 故选：B. 知识点 两种特殊对数函数（重点） 特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作;称以无理数为底的对数函数为自然对数函数,记作 知识点 对数函数图象与性质（重点） 函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性质 定义域 值域 单调性 增函数 减函数 易错提醒 解题时容易忽略了对数函数的定义域。 随学随练 1．（25-26高二下·天津红桥·期末）函数的定义域为（     ） A． B． C． D．R 【答案】B 【分析】由对数函数的真数大于零，进而求解. 【详解】由题意得：， 所以的定义域为. 2．（24-25高一上·全国·单元测试）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断函数的单调性，求出端点处的函数值，即可求出函数的值域. 【详解】函数在定义域上单调递减， 当时，，即，且当时， 所以函数，的值域是. 故选：A 3．（25-26高一上·陕西西安·期末）在同一直角坐标系中，函数的图象可能为（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可作出判断. 【详解】由，可知函数在上单调递减，函数在上单调递增. 由图可知选项D符合. 故选：D 知识点 底数对对数函数图象影响 1.底数与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”. ①当时，对数函数的图象“上升”; ②当时,对数函数的图象“下降”. 2.底数的大小决定了图象相对位置的高低： 无论是还是,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线的右侧时,越大,图象越靠近轴;时,越小,图象越靠近轴; ②左右比较：比较图象与直线的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 注：函数y=与y= (a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称. 拓展反函数 1、反函数的定义： 设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为．由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域． 2、反函数的性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称． （2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上． 活学活用 1．（26-27高一上·全国·课后作业）函数的反函数是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】由，可得，故原函数的反函数为，． 2．（25-26高一上·江西景德镇·期末）若的反函数的图象经过点，则______． 【答案】3 【分析】由题意可得函数的图象过点，代入计算即可求解. 【详解】因为函数的反函数的图象经过点， 所以函数的图象过点， 则，解得. 故答案为：3 题型 判断函数是否为对数函数 解题贴士 判断对数函数注意： ①形如②底数满足③真数是，而不是的函数④定义域 ▌例1 （24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 【答案】B 【分析】利用对数函数的定义求解． 【详解】根据对数函数的定义且, 分析A,B,C,D函数形式， 函数为对数函数. 故选：B. ▌例2 （26-27高一上·全国·课后作业）下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2)； (3)； (4)（）． 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)不是 (4)是 【分析】根据对数函数的定义判断. 【详解】（1）真数为，不是对数函数． （2）对数式后加3，∴不是对数函数． （3）真数为，且系数不为1，不是对数函数． （4）底数是8，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数． ▌对点练1-1．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列函数中是对数函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用对数函数概念可判断. 【详解】根据对数函数概念，形如且的函数是对数函数.结合选项知道为对数函数. 故选：D. ▌对点练1-2．（多选）下列函数是对数函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】只有与符合对数函数的定义． ▌对点练1-3．（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2)； (3)； (4)（，且）； (5)． 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)不是 (4)不是 (5)是 【分析】（1）由对数函数的定义判断可得； （2）由对数函数的定义判断可得； （3）由对数函数的定义判断可得； （4）由对数函数的定义判断可得； （5）由对数函数的定义判断可得； 【详解】（1）原式中真数为，不是对数函数． （2）原式中对数式后加2，不是对数函数． （3）原式中真数为，且系数不为1，故不是对数函数． （4）原式中底数不是常数，而真数是常数，所以不是对数函数． （5）原式中底数是6，真数为，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数． 题型 求对数函数解析式 解题贴士 严格按照对数函数概念形如，对数函数“”前系数只能是“1”，底数是常数，真数位置只能是单独一个“” ▌例1（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设对数函数解析式求参即可. 【详解】设对数函数为, 代入可得, 所以, 则对数函数的解析式为. 故选：C. ▌例2（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数（，且）的图象过点，则函数的解析式为______． 【答案】 【分析】把已知点坐标代入解析式，可求出，即可求解. 【详解】由题可得，即， 因为，且，所以， 故函数解析式为． 故答案为：. ▌对点练2-1（24-25高一上·全国·课前预习）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为________． 【答案】 【分析】设出函数解析式，再结合图象所过点求出参数即可. 【详解】设函数解析式为，且， 由函数的图象过点，得，即，解得， 所以该对数函数的解析式为为. 故答案为： ▌对点练2-2（23-24高一上·山东青岛·期末）写出一个同时满足下列①②③的函数的解析式_________． ①的定义域为；②；③当时，． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由函数满足的条件，分析函数类型得解析式. 【详解】取，其定义域为，， 满足，且当时，，满足所有条件， 故答案为：；（答案不唯一） ▌对点练2-3（23-24高一下·全国·单元测试）若对数函数（且）的图象经过点，求此对数函数的表达式. 【答案】 【分析】利用待定系数法，结合指对数的互化即可得解. 【详解】将点的坐标代入，得， 所以，解得， 因为且，所以， 所以该对数函数的表达式为. 题型对数函数（对数型复合函数）的定义域 解题贴士 形如的函数的定义域就是不等式的解集 ▌例1（25-26高一下·四川泸州·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，解得，故函数的定义域为. ▌例2（26-27高三上·北京延庆·开学考试）函数的定义域为______． 【答案】 【分析】由对数复合函数有意义列出不等式求解即可. 【详解】函数要有意义，则， 即，解得， 所以函数的定义域为. ▌对点练3-1（25-26高二下·北京延庆·期末）函数的定义域为__________． 【答案】 【详解】由函数有意义，得，解得， 所以所求函数的定义域为. ▌对点练3-2（25-26高一下·上海宝山·期末）函数的定义域为______． 【答案】 【详解】要使函数有意义， 则，即，即， 解得， 所以函数的定义域为. ▌对点练3-3（26-27高一上·全国·课后作业）求下列各式中的取值范围： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)，且 (3)且，且 【详解】（1）由题意知， 所以. （2）由题意知满足，，且， 即，且， 所以，且. （3）由题意知满足，，且， 解得且，且. 题型对数函数（对数型复合函数）的图象问题 解题贴士 在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项 ▌例1（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）函数的大致图象为（） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】通过函数的定义域、对称性和单调性即可求解，得到答案. 【详解】由可知，，函数图象关于直线对称，B、C错误. 因为外层函数是减函数，内层函数在上单调递减，在上单调递增. 根据“同增异减”原则，函数在上单调递增，在上单调递减，A错误，D正确. 故选：D ▌例2（24-25高一上·福建泉州·期末）函数的图象可以是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】先求函数的定义域，再取特殊值即可求解. 【详解】令，由或， 所以的定义域为，故可以排除AB选项， 令有，故C错误，D正确. 故选：D. ▌对点练4-1（25-26高一上·湖南张家界·期末）已知（且且），则函数与的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性判断. 【详解】当时，，函数与均为减函数，四个图象均不满足， 当时，，函数与均为增函数，排除ACD，在同一坐标系中的图象可能是B. 故选：B． ▌对点练4-2（24-25高一上·贵州遵义·期末）若函数，则的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的零点和单调性进行排除，从而确定正确选项. 【详解】令可得， 当时，，排除选项CD. 当时，且，排除选项A，又函数单调递增，B正确. 故选：B. ▌对点练4-3（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得函数为偶函数，图象关于轴对称，当时，，结合对数函数的性质，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的定义域为， 又由，所以函数为偶函数，图象关于轴对称， 当时，，由对数函数的性质得在单调递减，且， 所以选项D符合题意. 故选：D. 题型对数函数（对数型复合函数）的值域问题 （重点） 解题贴士 1、形如（，且）的函数求值域 换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，再求出的值域 2、形如（，且）的函数的值域 换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，求出的 值域 ▌例1（25-26高一上·河北承德·期末）函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】根据对数的运算性质得，令，的最小值即为函数的最小值. 【详解】， 令，， ， 所以当时，即时，函数取得最小值. 故答案为：. ▌例2（2026·河南·模拟预测）已知函数是偶函数，则函数的值域为__________． 【答案】 【分析】由偶函数的定义，求出，再确定函数值域即可． 【详解】， 即， ，解得， ， 则，解得， 的定义域为， 又因为，， 即函数的取值范围是． ▌对点练5-1（25-26高一上·上海·期末）设常数，，． (1)已知的图象过点，求实数的值； (2)若成立，求实数的取值范围； (3)当时，求函数，的最大值（用实数表示）． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当 时， 【分析】（1）将点的坐标代入函数，建立方程，进而求解参数即可. （2）结合题意构造不等式，再结合对数函数的单调性，分类讨论求出参数范围即可. （3）结合题意并以换元法化为二次函数，再讨论端点值求出最大值即可. 【详解】（1）因为的图象过点， 所以，所以，解得. （2）因为， 所以， 则，化简得，整理得， 当时，恒成立， 当时，可得，故实数的取值范围为. （3）当时，， 令，因为，所以， 则， 设，而，， 而开口向上，则讨论端点值即可， 当时，即，函数有最大值为6， 当时，即，函数有最大值为， 综上可得，当时，最大值为6， 当时，最大值为. ▌对点练5-2（26-27高一上·全国·课后作业）已知，试求的最大值和最小值 【答案】最大值为，最小值为. 【详解】令，，则， ，， 因为在上单调递减． ∴当时，取最大值为，当时，取最小值为. 故当时，取最大值为，当时，取最小值为. 故的最大值为，最小值为. ▌对点练5-3已知函数，求在上的值域. 【答案】 【详解】令，当时，， 故，由于在上单调递增，故， 由复合函数单调性可知，在上单调递增， 故. 题型根据对数函数（对数型复合函数）的值域求参数（重点） ▌例1（2026高三·全国·专题练习）（1）若函数的定义域为，求的取值范围及函数值域； （2）若函数的值域为，求的取值范围及函数的定义域． 【答案】（1）的取值范围是，值域为； （2）的取值范围是，定义域为 【分析】（1）分析可知，可求出的取值范围，再利用配方法结合对数函数的单调性可求出原函数的值域； （2）分析可知，可求出的取值范围，由可求出原函数的定义域. 【详解】（1）函数的定义域为，即恒成立， 则恒成立，所以． 此时，， 所以的取值范围是，函数的值域为； （2）函数的值域为，即真数必能取遍所有正数， 二次函数的图象不可能全在轴上方， ，所以或． 所以实数的取值范围是， 由得或． 所以函数的定义域为． ▌例2（25-26高一下·河北保定·开学考试）已知对数函数在上的最大值和最小值的和为1． (1)求的解析式． (2)已知函数． （i）若的定义域为，求的取值范围； （ii）若的值域是，求的值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据对数函数的定义假设函数解析式，结合其单调性和待定系数法求解即可. （2）（i）将的定义域为，转化为求解在上恒成立，对分类讨论求解；（ii）整体换元，将问题转化为求解的值域内的最大值，再结合二次函数最值求解即可. 【详解】（1）设（且）， 因为是单调函数，所以在上的最大值和最小值的和为， 则，解得，所以. （2）由题意得， （i）由的定义域为，可知在上恒成立， 当时，，符合题意； 当时，，解得， 综上所述的取值范围是； （ii）令，由的值域是， 可得取得内任意实数，则的最大值是16. 由， 得，且，则. ▌对点练6-1（25-26高一上·重庆·阶段检测）若函数的值域为，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，问题转化为函数的值域包含所有正数，分和讨论求解. 【详解】由函数的值域为R，得的值域包含所有正数， 当时，得符合题意； 当时，则，解得； 综上，. 故选：D. ▌对点练6-2若函数的值域是，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】求解的值域，即可根据求解. 【详解】由于的值域是， 令，则要能取遍所有的值， ， 因此，故 故答案为： ▌对点练6-3（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若函数的值域为，求实数的取值范围； (3)若函数的值域为，求实数的值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由给定条件可得不等式的解集为R，再由求解即得. （2）由函数的值域为R，结合对数函数性质可得函数的值域包含，再利用二次函数性质列式求解. （3）由函数的值域为，结合对数函数性质可得函数的值域为，再求出二次函数值域列式求解. 【详解】（1）由函数的定义域为R，得不等式的解集为R， 则，解得， 所以a的取值范围为. （2）由函数的值域为R，得函数的值域包含集合， 因此，解得：或. 所以实数a的取值范围是. （3）由函数的值域为，得函数的值域为， 而，因此，解得， 所以实数的值是. 题型对数函数（对数型复合函数）的单调性问题（重点） 解题贴士 ①研究型复合函数的单调性，一般用复合法来判定即可．复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减” ②研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则 ▌例1（北京门头沟区2026-2027学年高三上学期9月学业水平阶段练习数学试题）已知函数，则是（     ） A．奇函数，且在单调递增 B．偶函数，且在单调递增 C．奇函数且在单调递减 D．偶函数，且在单调递减 【答案】C 【分析】确定函数定义域，判断是否关于原点对称，根据奇偶性的定义判断函数奇偶性，可以判断选项B、D；化简函数表达式，进而根据复合函数单调性判断的单调性，可以判断选项A、C. 【详解】由题知，解得，定义域关于原点对称，代入得： ， 因此是奇函数，故B、D错误. 将函数化简为，令内层函数， 可知该函数在上随增大单调递减； 外层函数是单调递增函数，故在整个定义域上单调递减， 因此在子区间上也单调递减. 综上，是奇函数且在单调递减，故C正确. ▌例2（25-26高三下·山东日照·阶段检测）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数定义域，根据复合函数单调性分析判断即可. 【详解】令，解得，可知函数的定义域为， 因为在定义域内单调递减， 且在内单调递增，在内单调递减， 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以函数的单调递减区间是. ▌对点练7-1（2026高三·全国·专题练习）函数的递增区间为_______________． 【答案】和 【分析】使用对数型复合函数的单调性求解. 【详解】令，解得， 函数的定义域为， 令，当和时，是减函数， 当和时，是增函数， 因为是减函数， 所以的递增区间为和. ▌对点练7-2（25-26高二下·天津滨海新区·期末）函数的单调递减区间为_____． 【答案】 【分析】结合复合函数“同增异减”的单调性规则，先求定义域再推导内层函数的对应单调区间即可 【详解】由题意可知，整理得， 解得定义域为，令， 由于底数，因此外层函数在上单调递减， 要使复合函数单调递减，需内层函数在定义域内单调递增， 是开口向下的二次函数，对称轴为，其单调递增区间为， 将该区间与定义域取交集，得， 因此函数的单调递减区间为. ▌对点练7-3（25-26高一下·上海·期末）函数的单调减区间是__________． 【答案】 【分析】由二次函数，对数函数，复合函数单调性可得答案. 【详解】函数定义域为或. 又二次函数在上单调递减，对数函数在其定义域内单调递增， 从而函数的单调减区间为. 题型根据对数函数（对数型复合函数）的单调性求参数（重点） ▌例1（2026·河北沧州·一模）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】令，则， 因为在上单调递增， 又函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 且对恒成立， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围是. ▌例2（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数单调性求出函数的单调递增区间，结合题意可得出区间的包含关系，即可得出实数的取值范围. 【详解】对于函数，有，解得或， 故函数的定义域为， 因为内层函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为外层函数为增函数，故函数的增区间为， 因为函数在上单调递增，所以， 故，即实数的取值范围是. 故选：D. ▌对点练8-1（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）是函数在区间上单调递增的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】先由复合函数单调性得出内层二次函数需单调递减且恒大于0的条件，从而得到函数递增的充要条件为 ；再将此范围与题干条件 比较，通过判断两者之间的推出关系确定条件类型． 【详解】设，则， 因为在定义域内单调递减，要使在上单调递增，需在上单调递减且恒大于0， 二次函数的图象开口向上，对称轴为，因为在上单调递减，所以， 又因为对任意恒成立，所以，即，解得， 因此，函数在区间上单调递增的充要条件为， 若，显然，所以必要性成立； 但不能保证，所以充分性不成立； 所以，“”是函数在上单调递增的必要不充分条件． ▌对点练8-2（25-26高一下·广西崇左·期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数单调性及对数函数单调性条件可转化为函数在区间上有意义，且在上单调递减，讨论结合二次函数性质可得结论. 【详解】因为函数在区间上单调递减，为增函数， 所以函数在区间上有意义，且在上单调递减， 当时，或，解得， 当时，，此时函数的定义域为， 因为函数在上单调递减，函数为增函数， 所以函数在上单调递减，满足条件， 所以的取值范围为. ▌对点练8-3（25-26高二下·天津南开·期末）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用复合函数单调性，对数函数底数和真数取值范围解题即可. 【详解】令，则函数可看成由 与复合而成， 因为对数的底数且，所以是单调递减函数， 又因为函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可以得到， 又在区间上，作为的真数要大于0恒成立， 所以，所以， 综上所述实数的取值范围为. 题型比较大小问题（重点） 解题贴士 比较对数的大小的方法（分三种情况） (1)底数相同，真数不同：利用对数函数的单调性来判断 (2)底数不同，真数相同：利用换底公式化为底数相同的对数函数再利用对数函数的单调性来判断 (3)底数不同，真数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“0或1” ▌例1（26-27高三上·广东·开学考试）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 所以． ▌例2（2026高一·全国·专题练习）若，则的大小关系为________. 【答案】 【分析】利用对数函数的单调性可得答案. 【详解】因为为上的减函数，且. 则， 即. 由，可知. 所以. 故答案为：. ▌对点练9-1（2026高一上·全国·专题练习）设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用对数的运算法则和对数函数的性质，结合，求得的范围，即可得到答案. 【详解】由对数的运算法则，可得， 因为，且，所以， 又因为，所以． ▌对点练9-2（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知，，，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】比较与： 因为，故，由对数函数单调递增，得，即，又，故，由对数函数单调递增，得，即，因此. 比较与： 因为，故，由对数函数单调递增，得，即，又，故，由对数函数单调递增，得，即，因此. 综上，. ▌对点练9-3（2026·湖北武汉·三模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性分别计算的范围即可求解． 【详解】对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 综上可得． 题型对数函数综合问题（重点） ▌例1（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数（为常数）是奇函数 (1)求的值与函数的定义域； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； (3)若当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，函数的定义域为. (2)由（1）知，， 因为在上单调递减，是增函数， 所以函数在区间上单调递减. 证明：设，且， . 因为，所以 又， 即 所以，所以，即， 所以函数在区间上单调递减. (3) 【分析】（1）根据函数是奇函数，得到，求出的值，再解不等式，即可求出函数的定义域； （2）根据函数解析式，利用复合函数的单调性可判断，再根据定义证明即可； （3）根据对数函数的性质，结合的单调性，求得其取值范围，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数（为常数）是奇函数， 所以，即在定义域内恒成立. 所以，即， 所以，即， 所以，即在定义域内恒成立， 所以，所以. 若，则无意义，不合题意； 若，则， 令，得， 解得或. 所以函数的定义域为. 综上所述，，函数的定义域为. （2）略 （3）由（1）知，，， 所以. 因为在上单调递增， 所以， 即恒成立， 所以. 所以的取值范围是. ▌例2（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)解不等式； (2)当时，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值． 【答案】(1) (2)当时，函数有最小值，当时，函数有最大值0 【分析】（1）先根据已知区间上的最大值与最小值之差确定对数的底数及单调性，再利用对数函数的单调性解不等式； （2）将所求函数化为关于新变量的二次函数，在闭区间上求最值． 【详解】（1）由题意得所给区间的右端点大于左端点，所以，，， 所以，所以在上单调递增， 所以，解之得，所以解集为． （2）因为在上单调递增， 所以，， 即，所以. 所以，所以. 令，因为，所以， 所以. 该二次函数图象开口向上，所以在闭区间上的最小值在顶点处取得，最大值在端点处取得； 比较两个端点的函数值，右端点处的函数值较大． 所以，. 即，， 所以当时，函数有最小值，当时，函数有最大值0． ▌对点练10-1（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数为奇函数． (1)求实数a的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用特殊值求出，再根据奇函数定义验证即可； (2)先分别求出的最小值，通过转化得到，求解即可. 【详解】（1）∵是奇函数，且定义域为，∴，即， 解得，将代入函数得， ，符合奇函数定义，∴. （2）∵，单调递增， ∴在定义域上单调递增，又， ，∴， ∵， ∴令，则， 又，，函数对称轴为， 开口向上，∴， ∵对任意的，总存在， 使得成立，即， 即，∴. 所以实数的取值范围为. ▌对点练10-2（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)当时，若在上单调递增，求实数的取值范围． (3)设函数．若，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由对数函数的值域可得真数对应的二次函数的判别式大于等于，从而可得所求取值范围； （2）令，并结合定义域可得函数单调递增区间，从而可得所求取值的范围； （3）将不等式转化为，由单调性可得，所以只需，进而转化为，方法一：根据二次函数的在闭区间的最值问题分类讨论可得；方法二：通过参数分离可得及，分别求两个函数的最值可得. 【详解】（1）因为函数的值域为，所以能取到大于的所有值， 所以，解得或， 因此实数的取值范围为． （2）当时，． 令，得或， 又， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以在上单调递增， 因为题中在上单调递增，所以实数的取值范围为． （3）因为，使得成立，所以． 因为在时单调递减， 所以， 即，即成立． 方法一：设，其图象的对称轴为直线． 当时，只需，解得； 当时，只需，解得； 当时，只需，无解． 综上，得，即实数的取值范围为． 方法二：成立，等价于成立， 所以． 记，则在上单调递增， 所以，所以. 成立，等价于成立，所以． 记，则（当且仅当时取等号）， 所以，所以， 综上，，即实数的取值范围为． ▌对点练10-3（25-26高一下·云南昆明·期末）已知函数，． (1)当时，求不等式的解集； (2)若，求的最小值； (3)若，在的最大值与最小值之和不大于，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入函数解析式，结合对数函数的定义域与单调性，将对数不等式转化为一元一次不等式求解，注意定义域对解集的限制. （2）将代入函数表达式化简，得到的定值关系，结合基本不等式即可求得的最小值，注意验证等号成立的条件. （3）首先根据对数函数的单调性确定在上的最大值与最小值，将题设不等式转化为关于的恒成立问题，求解对勾函数在上的最大值，再解关于的一元二次不等式，结合的限定条件得到的取值范围. 【详解】（1）当时，的定义域为，因为，所以是增函数， 即，所以，解得， 所以的解集为． （2），所以，（） ， ，因为，所以，， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2． （3）因为，所以是增函数，所以在上的最小值为，最大值为， ，在的最大值与最小值之和不大于，即 等价转化为恒成立， 因为，所以的最大值为，所以，化简得， 解得，又因为， 所以． 基础通关 1．（26-27高一上·全国·课后作业）下列函数是对数函数的是（    ） A．y＝loga(2x) B．y＝lg 5 C．y＝log2(x2＋x) D．y＝ln x 【答案】D 【分析】由对数函数定义结合选项可得答案. 【详解】形如的函数为对数函数. 据此可得仅有D选项满足题意. 2．（2026·山西忻州·模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，利用指数函数的单调性比较a，b，再与“1”比较即可. 【详解】，． 因为指数函数单调递增，且， 所以． 又，． 所以． 故选：B. 3．（2026·重庆·模拟预测）已知，，，比较，，的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对数函数在定义域上单调递减， 由于，因此，即； 对数函数在定义域上单调递增， 由于，因此，即； 指数函数在定义域R上单调递减，由，因此， 综上可得. 4．（25-26高二下·浙江·阶段检测）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，即， 解得，即函数的定义域为. 5．（25-26高二下·贵州毕节·阶段检测）若函数是偶函数，则（     ） A．8 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】因为是偶函数， 所以 ， 所以. 6．（25-26高二下·四川凉山·期中）下列函数中，在区间上单调递减，且图象关于原点对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，是幂函数，图象关于轴对称，不符合题意； 对于B，是由函数向上平移一个单位长度得到的， 因为的图象关于原点对称， 所以的图象不关于原点对称，不符合题意； 对于C，，为偶函数，图象关于轴对称，不符合题意； 对于D，因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减， 令，则， 因为，所以图象关于原点对称，符合题意. 7．（多选）（25-26高一上·陕西渭南·期末）如果函数在上是减函数，且时，，对于任意的，下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D． 【答案】AB 【分析】根据条件，利用函数单调性的定义，即可判断A、C和D的正误，对于B，利用函数单调性的定义及对数函数的性质，即可判断正误. 【详解】对于A，因为函数在上是减函数，对于任意的， 不妨设，则，所以，，则，故A正确， 对于B，因为，则，又在区间上单调递增，所以，故B正确， 对于C，因为，且，又函数在上是减函数， 所以，故C错误， 对于D，由选项A知，所以，故D错误， 故选：AB. 8．（多选）（2025高一上·全国·专题练习）（多选）关于函数，下列选项中正确的有（   ） A．定义域为 B．增区间为 C．最小值为1 D．图象恒在x轴上方 【答案】BCD 【分析】本题已知函数，得到它的定义域、单调区间、最值和图象性质. 【详解】由题，令,解得,故A错误；函数在上单调递增，在单调递增，所以函数的增区间是,故B正确；由选项B的分析可得，当时，函数取到最小值，,故C正确；因为,所以恒成立，即函数图象恒在轴上方.故D正确. 故选：BCD. 9．（25-26高二下·天津河西·期末）函数（且）过定点，则__________. 【答案】7 【分析】根据对数函数且恒过定点，令可求得定点坐标，得到，从而求得. 【详解】令，得. 所以函数（且）过定点， 所以， 故. 10．（25-26高二·全国·暑假作业）若，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】因为函数在上单调递减， 由得， ，解得. 所以的取值范围是. 素养提升 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数运算性质和对数函数的单调性可得，再由换底公式及对数函数的单调性得，再通过取中间值判断，从而可得结果. 【详解】根据对数幂的性质：. 因为对数函数在上单调递增，且，所以，即. 又由对数用换底公式得， ​. 因为分母，分子是相同的正分数，分母越小值越大，所以，即， 因此. 因为，，所以，即. 又因为，因此. 综上所述，. 2．（2026高三·全国·专题练习）对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整理可得，分和两种情况，解不等式结合对数函数单调性运算求解即可. 【详解】因为， 令，则，解得， 此时，且，可得， 可知函数在内的值域为； 令，则，解得， 此时，可知函数在内的值域为； 综上所述：函数的值域为. 3．（多选）（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知，且，函数与函数的部分图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据函数图象逐项假设其中一个正确，得出参数的范围，再判断另一个即可． 【详解】对于A，由图可知对数函数图象单调递增，则， 又过点，与轴交点在上方，符合题意，故A正确； 对于B，由图可知对数函数图象单调递增，则， 又过点，与轴交点在上方， 而图象中一次函数与轴交点在下方，不符合题意，故B错误； 对于C，由图可知对数函数图象单调递减，则， 又过点，与轴交点在下方， 而图象中一次函数与轴交点在上方，不符合题意，故C错误； 对于D，由图可知对数函数图象单调递减，则， 又过点，与轴交点在下方，符合题意，故D正确． 故选：AD 4．（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据复合函数的单调性法则，结合对数函数的定义域，即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 且函数在上恒成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 5．（25-26高一下·湖北荆州·期末）已知函数是R上的奇函数． (1)求实数的值，并判断函数的单调性（不需要证明）； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，函数在R上单调递减. (2) 【分析】（1）由奇函数的定义进行判断； （2）由奇函数及函数的单调性求解． 【详解】（1）由，得， 则， 因为函数是R上的奇函数， 所以恒成立，所以. 则，函数在R上单调递减. （2）由题意得是R上的奇函数，可得， 有， 又因为函数在R上单调递减，所以， 整理得，则， 解得，所以实数x的取值范围是. 迁移创新 1．（25-26高一下·湖南益阳·期中）已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)已知当时，恒有意义． （Ⅰ）求在上的最小值； （Ⅱ）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)（Ⅰ）；（Ⅱ） 【分析】（1）对数函数的值域为即真数可以取遍所有的正实数，因为的真数结构比较复杂，换元后通过分析真数的取值范围可求解. （2）（Ⅰ）首先根据当时，恒有意义，结合基本不等式求出的取值范围，对二次函数对称轴的位置分类讨论可求得在上的最小值；（Ⅱ）首先根据恒（能）成立问题得到，再求出在上的最小值，根据（Ⅰ）中结果解不等式即可得解. 【详解】（1）因为函数的值域为， 所以真数 需取遍所有的正实数， 令，则，构造函数 ， 所以可将 需取遍所有的正实数问题转化为 在时取遍所有的正实数. 对于 ，图象的开口向上，对称轴方程为， 由 在时取遍所有的正实数知在上的图象与x轴至少有一个交点，所以在上的最小值小于等于0， 所以，且对称轴（否则在上单调递增， ，无法取遍所有的正实数）， 由，解得，所以实数的取值范围是. （2）同（1）中的函数 ， 当时，，恒有意义，即在时恒成立， 当时，恒成立； 当时，将分离参数得， 由基本不等式知，当且仅当，即时等号成立， 所以 ． （Ⅰ）当对称轴 ，即时，在上单调递增，所以 ， 因为函数是增函数，由复合函数的性质可知当真数取最小值时，取得最小值， 所以在上的最小值为（在时取得）； 当对称轴 ，即时，在上的最小值在顶点处取得， 所以，所以在上的最小值为（在时取得）. 综上，. （Ⅱ）对于任意，存在，使得不等式成立， 即在对应区间上. 因为 ，当时，， 所以，所以在上的最小值为， 所以. 由（Ⅰ）知，当时，在上， ，满足题意； 当时，在上，， 由，解得. 综上，实数的取值范围是． 2．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数为定义在上的偶函数，且满足，． (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1). (2) (3) 【分析】（1）利用偶函数的性质运算求解即可；（2）根据函数的单调性化简不等式，再分离参数，利用基本不等式求最值即可；（3）由题意得，根据函数的单调性分别求出的最小值，即可求解. 【详解】（1）因为是上的偶函数，故对任意，恒成立， 所以，， 令，代入化简得得， 因此的解析式为. （2）由题意可得，易知在上单调递增， 因此不等式等价于. 令，不等式变为对任意恒成立，分离参数得， 由基本不等式得， 当且仅当取最小值，因此，即. （3）对任意，存在，满足，等价于在上的最小值在上的最小值. 因为单调递增，故，因此存在，使得， 即，开口向上，对称轴， 若，，得； 若，，恒成立； 若，，结合恒成立. 综上得，即. 3．（25-26高一下·江西赣州·开学考试）已知定义在R上的函数满足，且，． (1)求的值； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据结合对数运算可得，即可得； （2）进而可得函数，根据函数的单调性可得，分离参数求最值即可； （3）分析可知在上的最小值不小于在上的最小值，由题意可得，进而可得，参变分离可得，求函数的最值即可得结果. 【详解】（1）由题意可得：， 整理可得， 根据的任意性可得，所以. （2）由（1）可得，则， 因为函数，在定义域上单调递增，且， 则单调递增，且在定义域上单调递增， 可知函数在上单调递增， 则不等式恒成立等价于，即恒成立， 设，则，可得， 当且仅当，即时取等号， 可得，所以实数的取值范围是. （3）因为对任意的，存在，使得， 可知在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增，则在内的最小值为， 可得，即存在，使成立， 令，， 因为，在上单调递增，可知在上单调递增， 则在上的最小值为， 可得，所以实数的取值范围是． 4．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知函数． (1)求函数在区间上的值域； (2)若方程在区间上有实数解，求实数的取值范围； (3)若存在，使得不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对数的运算法则，对进行化简整理，利用换元法，结合二次函数的性质，即可得答案. （2）令，利用换元法，将所求转化为在上有实数解，根据对勾函数的性质，即可得答案. （3）分析可得，根据（1）得的最大值，根据二次函数的性质，分别求出对称轴在各个区间内时函数的最值，综合分析，即可得答案. 【详解】（1）由题意 ， 令，由，得， 则为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递增， 所以当时，， 当时，， 所以函数在区间上的值域为. （2）令，由，得， 方程在区间上有实数解，可化为在上有实数解， 即在上有实数解， 因为，当且仅当，即时取等号， 根据对勾函数的性质可得在单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，当时，， 所以，则实数的取值范围为. （3）由（1）得在区间上的值域为，即， 因为存在，使得不等式对任意恒成立， 所以，即， 令，由，得， 则，，为开口向上，对称轴为的抛物线， 当，即时，在上单调递减， 所以，解得，此时； 当，即时，在上单调递增， 所以，解得，此时无解； 当，即时，在单调递减，在上单调递增， 所以，解得，此时； 当，即时，在单调递减，在上单调递增， 所以，解得，此时； 综上，实数的取值范围为 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $