5.4 函数的奇偶性（讲义，知识点&6大题型&刷好题）高一数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦函数奇偶性核心知识点，系统梳理奇偶函数定义、判断方法（定义法、图象法、性质法）及性质（图象对称、单调性与最值关系），拓展对称性内容，通过六大题型构建从概念理解到综合应用的学习支架。 资料亮点在于分层设计，知识点标注重点，题型配解题贴士与对点练，练习题分基础、素养、创新层次。通过定义判断培养抽象能力（数学眼光），性质应用提升推理能力（数学思维），图象与符号表达强化数学语言。课中助力系统教学，课后分层练习帮助学生查漏补缺。

第五章 函数概念与性质 5.4 函数的奇偶性 课标要点 1、结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义. 2、能判断函数的奇偶性，能运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题 3、了解函数图象的对称轴、对称中心满足的条件 学习重难点 重点：函数奇偶性的概念与判断 难点：利用函数的奇偶性解决问题 知识点函数的奇偶性（重点） 1.偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 2.奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 知识点 函数奇偶性判断（重点） 1.定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 2.图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 3.性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 特别提醒 1） 判断函数奇偶性要先判断定义域是否关于原点对称 随学随练 1．（26-27高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)偶函数 (2)既是奇函数又是偶函数 (3)偶函数 【详解】（1）∵函数的定义域为R，关于原点对称， 又， ∴为偶函数． （2）∵函数的定义域为，关于原点对称，且， ∵， ∴既是奇函数又是偶函数． （3）的定义域是，关于原点对称． 当时，， ； 当时，， ． 综上可知，对于，都有，为偶函数． 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列函数的奇偶性： (1) (2)； (3) 【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)非奇非偶函数． 【详解】（1）的定义域为，关于原点对称，又， 所以是奇函数. （2）的定义域为，关于原点对称，又， 所以是偶函数. （3）的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数. 3．根据定义，判断下列函数的奇偶性 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1)奇函数； (2)偶函数； (3)偶函数； (4)偶函数； (5)非奇非偶函数 【分析】（1）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （2）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （3）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （4）判断函数的定义域为，再说明总有,由函数奇偶性的定义即可得解. （5）判断函数的定义域为，由函数奇偶性的定义即可得解. 【详解】（1）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有, 所以函数是奇函数； （2）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有， 所以函数是偶函数； （3）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有， 所以函数是偶函数； （4）依题意知函数的定义域为， 当时，，所以，，则， 当时，，所以，，则 所以为偶函数. （5）函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以函数既不是奇函数，也不是偶函数. 知识点 奇函数、偶函数性质（重点） 1、奇函数，偶函数的图象特征 设函数的定义域为 （1）是偶函数的图象关于轴对称； （2）是奇函数的图象关于原点对称； （3）若是奇函数且，则 2、函数的奇偶性与单调性的关系 （1）是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性； （2）是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性； 3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系 设函数的定义域为（其中） （1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数； 随学随练 1．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知函数，若，则（     ）． A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据的值，即可求解. 【详解】，， 所以，则. 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）若奇函数在区间上的最小值是6，那么在区间上有（   ） A．最小值6 B．最小值 C．最大值 D．最大值6 【答案】C 【分析】由奇函数的性质求解． 【详解】因为奇函数在上有最小值6， 所以可设，满足． 由奇函数的性质，在上必有最大值，且最大值为． 3．（25-26高二下·山西·期末）若定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数，则一定有（     ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为奇函数 【答案】D 【详解】因为定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数， 则，. 对于A：因为， 可知为奇函数，故A错误； 对于B：例如，，则为非奇非偶函数，故B错误； 对于C：因为， 可知为偶函数，故C错误； 对于D：因为， 可知为奇函数，故D正确. 拓展 对称性 1、轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①； ② ③ 2、点对称 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ 活学活用 1．（24-25高一下·上海宝山·期末）已知函数的定义域为，满足，且在上为严格减函数，则不等式的解集为_____. 【答案】 【分析】根据题设有关于对称，在上为严格增函数，利用对称性和单调性有，即可求解. 【详解】由，即关于对称， 又在上为严格减函数，则在上为严格增函数， 由，则，即， 所以不等式的解集为. 故答案为： 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数满足下列关系式，请分别写出其图象的对称轴方程或对称中心坐标 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对称轴的求法，结合条件，即可得答案. （2）根据对称中心的求法，结合条件，即可得答案. （3）根据对称中心的求法，结合条件，即可得答案. 【详解】（1）因为，所以函数图象关于直线对称，即对称轴. （2）因为，所以对称中心横坐标，对称中心纵坐标为， 所以对称中心为. （3）因为，所以， 所以对称中心横坐标，对称中心纵坐标， 所以对称中心为. 题型判断函数奇偶性（重点） 解题贴士 ①定义法；②图象法③性质法 ▌例1 （25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中），下列函数中为偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由偶函数的定义依次判断各选项即可. 【详解】，不是偶函数，故A错误； ，不是偶函数，故B错误； ，为偶函数，故C正确； ，不是偶函数，故D错误. 故选：C. ▌例2 （25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）（1）已知是奇函数，是偶函数，试将下图中的函数图象补充完整. （2）判断下列函数的奇偶性： ①； ②； ③； 【答案】 （1）由为奇函数，其图象关于原点对称，故大致图象如下， 由为偶函数，其图象关于轴对称，故大致图象如下， （2）①偶函数，②奇函数，③非奇非偶函数. 【分析】（1）根据奇偶函数图象的对称性画出大致图象即可； （2）利用奇偶性的定义判断各函数的奇偶性. 【详解】（1）略 （2）①的定义域为R，且，即函数为偶函数， ②的定义域为R，且，即函数为奇函数， ③的定义域为R，且，即函数为非奇非偶函数. ▌对点练1-1．判断函数的奇偶性. 【答案】为上的奇函数 【分析】利用奇偶函数的定义，结合的解析式即可判断. 【详解】对于，其定义域为，关于原点对称， 当时，，， 当时，，， 又， 综上，对于任意，恒有，故为上的奇函数. ▌对点练1-2．（24-25高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)奇函数. (2)偶函数. (3)非奇非偶函数 【分析】首先求出函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称，再利用函数奇偶性的定义逐一判断即可. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 是奇函数. （2）函数的定义域是， ， 是偶函数. （3）函数的定义域是，不关于原点对称， 是非奇非偶函数. ▌对点练1-3．（多选）（25-26高二下·全国·期末）已知为奇函数，为偶函数，且均为非零函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】ACD 【分析】由奇偶性的定义确定为奇函数，由此得与奇偶性相异，结合“同偶异奇”分情况讨论即可. 【详解】设，， 由题意得，即①， ，即②， ②除以①得，即为奇函数，A正确； 由上并结合“同偶异奇”知与奇偶性相异，故B错误， 当为奇函数，为偶函数时，为偶函数，为偶函数， 满足为奇函数，为偶函数， 当为偶函数，为奇函数时，为偶函数，为偶函数， 不满足为奇函数，故C，D正确. 题型由函数奇偶性求解析式（重点） 解题贴士 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式 ▌例1（25-26高三下·河南新乡·阶段检测）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质,计算可得. 【详解】由题意，当时，，， 又函数是定义在R上的奇函数，所以. ▌例2（25-26高一上·山西大同·期中）已知函数是偶函数，当时，，则当时，_______. 【答案】 【分析】利用偶函数的定义求出解析式. 【详解】当时，，而当时，，且函数是偶函数， 因此， 所以当时，. 故答案为： ▌对点练2-1（25-26高一上·河北唐山·期末）已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出当时，的表达式，再利用奇函数，求出的表达式. 【详解】当时，，所以， 因为函数是定义域为的奇函数，所以 . 故选：C ▌对点练2-2（25-26高一上·河南郑州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，时，，则时，__________. 【答案】 【分析】根据偶函数的性质进行求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 所以当时，则有，所以有， 故答案为： ▌对点练2-3（26-27高一上·全国·课堂例题）已知是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式． 【答案】 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以． 因为当时，， 所以． 又因为奇函数在原点有意义，所以． 故． 题型由奇偶性求参数（重点） 解题贴士 若函数解析式中含参数，则根据或，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数。 ▌例1（25-26高一上·江苏南通·期末）已知为奇函数，则（    ） A．0 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】先根据函数为奇函数，求的值，再根据函数的解析式求. 【详解】当时，， 由得：恒成立， 所以. 此时当时，， 所以. 又 所以时，函数满足，对任意，恒成立.所以为奇函数. 此时. 故选：C ▌例2（25-26高一上·山西运城·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则______. 【答案】 【分析】根据偶函数的性质得到，再代入解析式计算可得. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，又，所以， 由当时，， 所以，解得. 故答案为： ▌对点练3-1（2026·山西运城·二模）若为偶函数，则________． 【答案】3 【详解】因为为偶函数，故， 即， 即， 所以，即，所以，则． ▌对点练3-2（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知是奇函数，则实数的值为______． 【答案】/0.5 【分析】根据奇函数的定义域具有对称性，则，再代入验证即可. 【详解】由题意得， 又因为其为奇函数，则其定义域具有对称性， 则，解得，则， 此时，解得，定义域关于原点对称， 且，则为奇函数，满足题意. 故答案为：. ▌对点练3-3（25-26高一上·宁夏吴忠·期末）已知定义域为的奇函数，则的值为_____． 【答案】1 【分析】先由奇函数的定义域特点可得，再由奇函数的定义可得，结合奇函数的定义计算可直接得到结果. 【详解】由题可知，所以， 又是奇函数，所以，即， 所以，所以． 故答案为：1 题型由奇偶性+单调性解不等式（重点） ▌例1（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的解析式； (2)用定义法证明：在上是增函数； (3)若实数满足，求实数的范围． 【答案】(1) (2)任取，且， 那么， 由于且，所以，，而，， 所以，即，因此在上是增函数. (3) 【分析】（1）根据题意得到，再结合即可求解； （2）任取，假设，用作差法即可证明； （3）根据题意将不等式转化为，再结合定义域为即可求解. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以有，即，所以， 又因为，即，解得，所以（经检验符合题意）. （2）略. （3）实数满足，即满足， 由于是奇函数，所以，不等式化为， 由（2）可知在上是增函数，所以，解得， 所以实数的取值范围为. ▌例2（25-26高一上·广西玉林·期中）已知函数，． (1)求证：在上单调递增； (2)判断的奇偶性并证明； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明：令，则 ， 因为，，，所以， 所以，即, 则在上单调递增. (2)是奇函数，证明：的定义域为，关于原点对称，且， 所以是奇函数. (3) 【详解】（1）略. （2）略. （3）由是奇函数，得， 因为在上单调递增， 所以解得. 故实数的取值范围是. ▌对点练4-1（25-26高一下·四川泸州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式：． 【答案】(1)，； (2)函数在R上单调递增，理由如下：                                       任取，，且，                                                     则，   由，得， ，                                   则，即， 所以函数在R上单调递增. (3)． 【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数定义求出解析式. （2）确定函数的单调性，再利用单调函数的定义推理得证. （3）利用奇函数的性质及单调性求出不等式的解集. 【详解】（1）由是定义在R上的奇函数，得，                         当时，，则                           所以函数在R上的解析式为，.   （2）略 （3）由是奇函数，得，   又在R上单调递增，则，解得，                         所以原不等式的解集为． ▌对点练4-2（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数满足，． (1)求a，b的值，判断的奇偶性并证明； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) 由题意可得，解得，故， 为偶函数，证明如下： 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 故为偶函数； (2) 在上单调递减，理由如下： 令，则 ， 由，则，，故， 故在上单调递减； (3). 【分析】（1）将点与代入计算即可得a，b的值，再利用奇偶性定义即可证明的奇偶性； （2）令，再利用函数单调性定义证明即可得； （3）利用函数单调性及其奇偶性，可得，解出即可得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由为偶函数且在上单调递减， 则由可得， 即有，化简得， 解得或. 所以不等式的解集为. ▌对点练4-3（25-26高一上·福建厦门·期末）已知函数是上的偶函数． (1)求函数的解析式，并用定义证明在上单调递增； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) 由函数是上的偶函数，得对任意恒成立， 即对任意恒成立，整理得对任意恒成立， 所以，此时函数的解析式为； 任取，且， 则， 由，得，，， 因此，则，即， 故函数在上单调递增. (2) 【分析】（1）利用偶函数的定义求出值，即得函数解析式，再由函数单调性的定义证明即可； （2）利用函数的奇偶性与单调性，将抽象不等式化成绝对值不等式，两边取平方化简求解即得. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，定义在上的偶函数在上单调递增，则在上单调递减， 由，则得，解得. 故原不等式的解集为. 题型抽象函数奇偶性（难点） ▌例1已知函数（，且）对任意不等于0的实数，都有，则为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既为奇函数也为偶函数 【答案】B 【分析】先利用赋值法求出特殊点的函数值，再通过将变量替换为其相反数，结合已知的函数方程推导出函数图像关于轴对称的性质，从而判断出函数的奇偶性. 【详解】函数定义域为，关于原点对称. 令得，即， 令得，即， 令，得，即， 所以是偶函数， 故选：B． ▌例2已知函数的定义域为，对任意都有，且，判断的奇偶性． 【答案】偶函数 【分析】通过赋值找到与的关系，从而确定奇偶性. 【详解】令，则，即， ∵，解得． 再令，则，移项可得， ∴是偶函数． ▌对点练5-1（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】B 【分析】用赋值法，先令求得，再令求解后即可判断． 【详解】在中， 令，则，又，所以， 令得，所以， 所以是偶函数， 故选：B． ▌对点练5-2（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】C 【分析】根据抽象函数，利用奇偶函数的性质直接判断即可. 【详解】因为， 所以令，可得， 令，则， 所以， 则既不是奇函数又不是偶函数， 且， 所以是奇函数. 故选：C ▌对点练5-3（2026·山东·模拟预测）已知定义在上的函数满足：为奇函数，且，则（     ） A．-2 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由为奇函数，得，令即可求解． 【详解】由为奇函数，得， 令，得， 得，由， 得． 题型 函数奇偶性的应用（重点） ▌例1（26-27高一上·全国·课后作业）若定义上的函数满足：对任意且有若的最大值和最小值分别为，则的值为（    ） A．2026 B．2027 C．4054 D．4052 【答案】D 【详解】对任意有， 则令， 令，，， 令，则，故为上的奇函数， 则有， 所以， 故，故选D. ▌例2（26-27高一上·全国·课后作业）已知，则________. 【答案】 【详解】设， 则为奇函数， 则， 所以. 所以， 所以. ▌对点练6-1（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数，且，那么（　　） A．10 B． C． D． 【答案】D 【详解】，， ， ， 解得． ▌对点练6-2（2026·云南昆明·模拟预测）已知是上的偶函数，对任意实数都有成立，当时，，则（    ） A．7 B．4 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性求得，结合求得. 【详解】由是上的偶函数，当时，， 又，故，解得， 此时（）. 由，令，得，即， 而，故. ▌对点练6-3（26-27高一上·全国·课后作业）已知定义在R上的函数（k为常数）．若，则______. 【答案】2026 【详解】设，则， 所以， 所以. 基础通关 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）若奇函数在区间上的最小值是6，那么在区间上有（   ） A．最小值6 B．最小值 C．最大值 D．最大值6 【答案】C 【分析】由奇函数的性质求解． 【详解】因为奇函数在上有最小值6， 所以可设，满足． 由奇函数的性质，在上必有最大值，且最大值为． 2．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知函数，若，则（     ）． A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据的值，即可求解. 【详解】，， 所以，则. 3．（26-27高二上·山西晋中·开学考试）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单调性及奇偶性解不等式即可. 【详解】因为是偶函数，即关于轴对称，在上单调递减， 又，即， 所以， ，解得， 所以不等式的解集为. 4．（25-26高二下·陕西汉中·期末）已知奇函数的定义域为，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】由题意，,求出,再利用奇函数性质代值计算即可. 【详解】因是定义在上的奇函数，则, 即,解得, 则当时，， 故. 5．（2026·北京西城·二模）已知函数在上单调递增，设，则函数是（   ） A．奇函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递增 C．奇函数，且在上单调递减 D．偶函数，且在上单调递减 【答案】C 【分析】先根据奇函数和偶函数的定义判断函数的奇偶性，再根据函数单调性的性质判断函数的单调性即可. 【详解】因为，其定义域为，关于原点对称, 所以, 所以 是奇函数，排除选项B和D; 因为在上单调递增，则在上单调递减, 那么在上单调递减, 因为两个减函数的和是减函数，所以在上单调递减， 综上，函数是奇函数，且在上单调递减，所以C正确. 6．（25-26高三下·陕西咸阳·阶段检测）若为奇函数，则函数的图象关于（   ） A．点对称 B．点对称 C．点对称 D．直线对称 【答案】A 【分析】根据函数的平移变换求解即可. 【详解】因为为奇函数，则关于原点对称， 根据函数的平移变换，函数的图象是将的图象向右平移个单位，再向上平移个单位， 则对应的对称中心也向右平移个单位，再向上平移个单位， 故关于点对称. 7．（多选）（25-26高一上·湖南岳阳·期中）下列函数中为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用函数奇偶性的定义逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数的定义域为， ，即函数为偶函数，A不满足要求； 对于B选项，函数的定义域为， ，即函数为奇函数，B满足要求； 对于C选项，函数的定义域为， ，即函数为奇函数，C满足要求； 对于D选项，函数的定义域为， 且，即函数不是奇函数，D不满足要求. 故选：BC. 8．（多选）（25-26高一上·内蒙古·期中）若函数f(x)同时满足：①对于定义域内的任意x， 有；②对于定义域内的任意当时，有则称函数f(x)为“理想函数”，给出下列四个函数不是“理想函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用函数的单调性和奇偶性定义逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，由于，所以不满足①， 所以不是“理想函数”，故A符合题意； 对于B，由于是上的奇函数，满足①， 且在上单调递减，满足②， 所以是“理想函数”，故B不符合题意； 对于C，由于的定义域为，关于原点对称， 且，故满足①， 对于,任取而， 此时不满足②， 即不是“理想函数”，故C符合题意； 对于D，作出的图象： 由图可得是奇函数，满足①， 由于在上单调递减，满足②， 即是“理想函数”，故D不符合题意. 故选：AC. 9．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数且，则的值为________. 【答案】 【详解】因为， 所以， 所以， 所以 . 10．（2026高三·全国·专题练习）已知函数是上的偶函数，且在区间上为减函数，那么与的大小关系是_______________． 【答案】 【分析】使用函数奇偶性判断在上的单调性，使用单调性比较函数值的大小求解. 【详解】因为函数是上的偶函数，且在区间上为减函数， 所以在上是增函数， 因为， 所以 素养提升 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）若，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析出函数为上的偶函数，且在上为增函数，利用偶函数的性质将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为函数的定义域为，且， 故函数为定义域上的偶函数． 由得， 又当时，在上单调递增，所以，即,即，解得. 2．（26-27高三上·北京·开学考试）已知是定义域为的奇函数，且单调递增，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇函数性质转化不等式，结合函数单调性去掉函数符号，求解一元一次不等式得到解集. 【详解】 是定义域为的奇函数，，且由题可知在上单调递增， 对原不等式变形：等价于， 根据奇函数性质可得，因此不等式化为， 在上单调递增， ，移项解得，即不等式解集为 3．（25-26高一下·云南丽江·期末）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意确定函数的单调性，分情况将不等式变形利用函数的单调性求解. 【详解】因为对任意的且，都有不等式， 所以函数在单调递增， 因为是奇函数，所以对，，且， 即函数是偶函数. 因为函数在单调递增，所以函数在单调递减， 当可化为或 又为偶函数，，所以①或②， 由①得，解得; 由②得，可得，解得； 综上不等式的解集是. 4．已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，得出函数的单调性，再利用函数的单调性和奇偶性解不等式. 【详解】由，可得， 设函数，，则在上单调递增， 又因为为定义在上的奇函数，，所以为偶函数， 在上单调递减，而不等式， 又因为，所以， 所以不等式的解集为. 5．（25-26高一下·四川泸州·期中）设函数是定义在上的奇函数，且，则___________． 【答案】0 【分析】根据奇函数的性质求得，再由求参数，即可得. 【详解】由题意， 所以，在上恒成立，则， 所以，又，可得， 综上，. 6．（25-26高一下·上海·期中）已知定义在上的偶函数在上是严格增函数，若，则的取值范围为_________. 【答案】 【分析】根据偶函数在上是严格增函数，将不等式转化为求解. 【详解】因为为偶函数，故即为， ∵偶函数在上是严格增函数，故， 平方得，即， 解得， 故答案为： 7．（2026·陕西榆林·三模）已知直线经过函数的图象的对称中心，则的最小值为__________. 【答案】4 【分析】求出函数的对称中心并代入直线中得，化为并结合，利用基本不等式即可求得最值. 【详解】因为， 所以函数的图象的对称中心为， 将点代入直线，得， 则， 当且仅当时取等号， 故的最小值为4. 8．（26-27高一上·广东揭阳·开学考试）已知是定义在上的奇函数． (1)求，的值及的解析式； (2)判断在定义域上的单调性，并证明； (3)解不等式：． 【答案】(1) (2) 在定义域上单调递增，证明如下： 设 ，易知 ，，，. 则 则 ，所以 在 上单调递增. (3) 【详解】（1）由已知 是定义在 上的奇函数，可得 . 又 ，所以 ，，.经检验，满足条件. （2）略 （3）因为 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递增， 由 可得 所以解得 ，故原不等式的解集为 . 9．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的解析式； (2)用定义法证明：在上是增函数； (3)若实数满足，求实数的范围． 【答案】(1) (2)任取，且， 那么， 由于且，所以，，而，， 所以，即，因此在上是增函数. (3) 【分析】（1）根据题意得到，再结合即可求解； （2）任取，假设，用作差法即可证明； （3）根据题意将不等式转化为，再结合定义域为即可求解. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以有，即，所以， 又因为，即，解得，所以（经检验符合题意）. （2）略. （3）实数满足，即满足， 由于是奇函数，所以，不等式化为， 由（2）可知在上是增函数，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 迁移创新 1．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数定义在实数集上，且对任意均有，又对任意的，都有． (1)判断函数的奇偶性． (2)证明函数在上为单调减函数． (3)试求函数在，且上的值域． 【答案】(1)奇函数 (2)证明：对任意的，都有，令，则， 因为，可得，所以， 所以函数在上为单调减函数． (3) 【分析】（1）根据题意，分别令和，结合函数奇偶性的定义与判断方法，即可求解； （2）根据题意，利用函数单调性的定义与判定方法，即可得证； （3）根据题意，化简求得，得到，进而求得且，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）解：令，所以，所以， 令，由，可得， 所以，所以函数是奇函数． （2）略 （3）解：由，知．且在上单调递减，所以， 由，有 可知， 所以，可得， 所以且， 所以，即函数的值域为. 2．（26-27高三上·内蒙古兴安·阶段检测）已知函数对任意实数、恒有，当时，，且. (1)判断的奇偶性； (2)求在区间上的最大值； 【答案】(1)是奇函数 (2) 【分析】（1）赋值法结合奇函数的定义判断即可. （2）先分析函数在已知区间内的单调性，利用单调性判断最大值的位置，再结合特殊点取值和的运算规则，即可得解. 【详解】（1）令，则，所以. 令，则，即， 所以对任意恒成立， 所以是奇函数. （2）任取，且，则， 又，所以， 由（1）知是奇函数，所以，在上单调递减. 因此对任意，恒有， 又，而， 所以， 故在区间上的最大值为. 3．（25-26高一上·四川成都·期末）设函数的定义域为，如果，都有，且满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心． (1)若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值； (2)若函数，的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意“中心对称图形”的定义分析判断即可； （2）根据“弱对称中心图形”定义，代入解出表达式，讨论取值范围，再利用换元法即可求解． 【详解】（1）由，解得． 当时，， 对于任意的，都有， 所以函数的图象是关于点的中心对称图形， 故． （2）由题意可知，存在，且，使得， 当时，，则， 所以， 又知对勾函数在上单调递增， 所以，所以； 当时，，则不成立； 当时，，则， 所以， 令，易得在上单调递增，所以． 综上可知，实数的取值范围为． 4．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性并用定义证明； (3)设，若对任意的，对任意的，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)由（1）可知. 函数在上单调递增，证明如下： 设， 则， 因为，所以，则，，， 所以，即. 所以函数在上单调递增. (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质得到，即可求出，再由求出的值； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）求出在上的值域，即可得到当时，恒成立，再分，，三种情况讨论. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即， 所以，整理得到，所以，则， 又，所以，解得. 所以，. （2）略 （3）由（2）知，又，，所以函数在上的值域为. 可将问题转化为，当时，恒成立. 若，则在区间上为增函数，由，得到， 若，则，此时在上恒成立， 若，则在上为减函数，由，得到. 综上可知：，即实数的取值范围为 5．（25-26高一上·福建宁德·期末）（，）是由正比例函数和反比例函数相加构成的函数，其图象具有独特的“双勾”形状，被称为“对勾函数”. (1)若，判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)若两个不相等的正数m，n满足，求证：； (3)若，是否存在实数s，t，使得在上的值域是？若存在，求出所有s，t的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) 在上单调递增，理由如下： 证明：任取，且，， 则 因为，故且 于是，即，所以在单调递增 (2) 依题意得，，即，整理得 因为，所以，即 又依题意m，，故 因为，故等号不成立，所以 (3)不存在，理由： 假设存在实数，使得在的值域是，易知， 因为定义域为，区间是连续区间，故符号相同 当时，因为，故，即 由（1）可知，在单调递增，于是，即，故有， 得，这与矛盾，故无解 同理，当时，可得. 由，可得是奇函数，由对称性可知在单调递增. 于是，得，解得，这与矛盾，故无解. 综上所述，不存在符合要求的实数s，t. 【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可； （2）由题得，化简得，再利用均值不等式即可证明； （3）先利用反证法假设存在实数s，t，使得在的值域是，再分类讨论，根据单调性列式求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 函数概念与性质 5.4 函数的奇偶性 课标要点 1、结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义. 2、能判断函数的奇偶性，能运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题 3、了解函数图象的对称轴、对称中心满足的条件 学习重难点 重点：函数奇偶性的概念与判断 难点：利用函数的奇偶性解决问题 知识点函数的奇偶性（重点） 1.偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 2.奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 知识点 函数奇偶性判断（重点） 1.定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 2.图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 3.性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 特别提醒 1） 判断函数奇偶性要先判断定义域是否关于原点对称 随学随练 1．（26-27高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3) 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列函数的奇偶性： (1) (2)； (3) 3．根据定义，判断下列函数的奇偶性 (1) (2) (3) (4) (5) 知识点 奇函数、偶函数性质（重点） 1、奇函数，偶函数的图象特征 设函数的定义域为 （1）是偶函数的图象关于轴对称； （2）是奇函数的图象关于原点对称； （3）若是奇函数且，则 2、函数的奇偶性与单调性的关系 （1）是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性； （2）是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性； 3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系 设函数的定义域为（其中） （1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数； 随学随练 1．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知函数，若，则（     ）． A．0 B．2 C．4 D．6 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）若奇函数在区间上的最小值是6，那么在区间上有（   ） A．最小值6 B．最小值 C．最大值 D．最大值6 3．（25-26高二下·山西·期末）若定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数，则一定有（     ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为奇函数 拓展 对称性 1、轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①； ② ③ 2、点对称 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ 活学活用 1．（24-25高一下·上海宝山·期末）已知函数的定义域为，满足，且在上为严格减函数，则不等式的解集为_____. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数满足下列关系式，请分别写出其图象的对称轴方程或对称中心坐标 (1)； (2)； (3)． 题型判断函数奇偶性（重点） 解题贴士 ①定义法；②图象法③性质法 ▌例1 （25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中），下列函数中为偶函数的是（   ） A． B． C． D． ▌例2 （25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）（1）已知是奇函数，是偶函数，试将下图中的函数图象补充完整. （2）判断下列函数的奇偶性： ①； ②； ③； ▌对点练1-1．判断函数的奇偶性. ▌对点练1-2．（24-25高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). ▌对点练1-3．（多选）（25-26高二下·全国·期末）已知为奇函数，为偶函数，且均为非零函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 题型由函数奇偶性求解析式（重点） 解题贴士 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式 ▌例1（25-26高三下·河南新乡·阶段检测）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． ▌例2（25-26高一上·山西大同·期中）已知函数是偶函数，当时，，则当时，_______. ▌对点练2-1（25-26高一上·河北唐山·期末）已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时（   ） A． B． C． D． ▌对点练2-2（25-26高一上·河南郑州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，时，，则时，__________. ▌对点练2-3（26-27高一上·全国·课堂例题）已知是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式． 题型由奇偶性求参数（重点） 解题贴士 若函数解析式中含参数，则根据或，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数。 ▌例1（25-26高一上·江苏南通·期末）已知为奇函数，则（    ） A．0 B． C．8 D． ▌例2（25-26高一上·山西运城·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则______. ▌对点练3-1（2026·山西运城·二模）若为偶函数，则________． ▌对点练3-2（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知是奇函数，则实数的值为______． ▌对点练3-3（25-26高一上·宁夏吴忠·期末）已知定义域为的奇函数，则的值为_____． 题型由奇偶性+单调性解不等式（重点） ▌例1（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的解析式； (2)用定义法证明：在上是增函数； (3)若实数满足，求实数的范围． ▌例2（25-26高一上·广西玉林·期中）已知函数，． (1)求证：在上单调递增； (2)判断的奇偶性并证明； (3)若，求实数的取值范围． ▌对点练4-1（25-26高一下·四川泸州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式：． ▌对点练4-2（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数满足，． (1)求a，b的值，判断的奇偶性并证明； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)求不等式的解集． ▌对点练4-3（25-26高一上·福建厦门·期末）已知函数是上的偶函数． (1)求函数的解析式，并用定义证明在上单调递增； (2)求不等式的解集． 题型抽象函数奇偶性（难点） ▌例1已知函数（，且）对任意不等于0的实数，都有，则为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既为奇函数也为偶函数 ▌例2已知函数的定义域为，对任意都有，且，判断的奇偶性． ▌对点练5-1（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 ▌对点练5-2（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 ▌对点练5-3（2026·山东·模拟预测）已知定义在上的函数满足：为奇函数，且，则（     ） A．-2 B．0 C．1 D．2 题型 函数奇偶性的应用（重点） ▌例1（26-27高一上·全国·课后作业）若定义上的函数满足：对任意且有若的最大值和最小值分别为，则的值为（    ） A．2026 B．2027 C．4054 D．4052 ▌例2（26-27高一上·全国·课后作业）已知，则________. ▌对点练6-1（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数，且，那么（　　） A．10 B． C． D． ▌对点练6-2（2026·云南昆明·模拟预测）已知是上的偶函数，对任意实数都有成立，当时，，则（    ） A．7 B．4 C．1 D． ▌对点练6-3（26-27高一上·全国·课后作业）已知定义在R上的函数（k为常数）．若，则______. 基础通关 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）若奇函数在区间上的最小值是6，那么在区间上有（   ） A．最小值6 B．最小值 C．最大值 D．最大值6 2．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知函数，若，则（     ）． A．0 B．2 C．4 D．6 3．（26-27高二上·山西晋中·开学考试）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·陕西汉中·期末）已知奇函数的定义域为，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 5．（2026·北京西城·二模）已知函数在上单调递增，设，则函数是（   ） A．奇函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递增 C．奇函数，且在上单调递减 D．偶函数，且在上单调递减 6．（25-26高三下·陕西咸阳·阶段检测）若为奇函数，则函数的图象关于（   ） A．点对称 B．点对称 C．点对称 D．直线对称 7．（多选）（25-26高一上·湖南岳阳·期中）下列函数中为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 8．（多选）（25-26高一上·内蒙古·期中）若函数f(x)同时满足：①对于定义域内的任意x， 有；②对于定义域内的任意当时，有则称函数f(x)为“理想函数”，给出下列四个函数不是“理想函数”的是（    ） A． B． C． D． 9．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数且，则的值为________. 10．（2026高三·全国·专题练习）已知函数是上的偶函数，且在区间上为减函数，那么与的大小关系是_______________． 素养提升 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）若，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·北京·开学考试）已知是定义域为的奇函数，且单调递增，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·云南丽江·期末）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·四川泸州·期中）设函数是定义在上的奇函数，且，则___________． 6．（25-26高一下·上海·期中）已知定义在上的偶函数在上是严格增函数，若，则的取值范围为_________. 7．（2026·陕西榆林·三模）已知直线经过函数的图象的对称中心，则的最小值为__________. 8．（26-27高一上·广东揭阳·开学考试）已知是定义在上的奇函数． (1)求，的值及的解析式； (2)判断在定义域上的单调性，并证明； (3)解不等式：． 9．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的解析式； (2)用定义法证明：在上是增函数； (3)若实数满足，求实数的范围． 迁移创新 1．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数定义在实数集上，且对任意均有，又对任意的，都有． (1)判断函数的奇偶性． (2)证明函数在上为单调减函数． (3)试求函数在，且上的值域． 2．（26-27高三上·内蒙古兴安·阶段检测）已知函数对任意实数、恒有，当时，，且. (1)判断的奇偶性； (2)求在区间上的最大值； 3．（25-26高一上·四川成都·期末）设函数的定义域为，如果，都有，且满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心． (1)若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值； (2)若函数，的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围． 4．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性并用定义证明； (3)设，若对任意的，对任意的，都有成立，求实数的取值范围. 5．（25-26高一上·福建宁德·期末）（，）是由正比例函数和反比例函数相加构成的函数，其图象具有独特的“双勾”形状，被称为“对勾函数”. (1)若，判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)若两个不相等的正数m，n满足，求证：； (3)若，是否存在实数s，t，使得在上的值域是？若存在，求出所有s，t的值；若不存在，说明理由. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $