5.2 函数的表示方法（讲义，知识点&8大题型&刷好题）高一数学苏教版必修第一册

第五章 函数概念与性质 5.2 函数的表示方法 课标要点 1、掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点 2、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用 3、会求函数的解析式 学习重难点 重点：求函数的解析式 难点：理解分段函数 知识点函数的表示法 1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点 缺点 联系 解析法 ①简明、全面的概括了变量之间的关系； ②可以通过解析式求出在定义域内任意自变量所对应的函数值； ③便于利用解析式研究函数的性质； ①并不是所有的函数都有解析式； ②不能直观地观察到函数的变化规律； 解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． 图象法 ①能直观、形象地表示自变量的变化情况及相适应的函数值的变化趋势； ②可以直接应用图象来研究函数的性质； ①并不是所有的函数都能画出图象； ②不能精确地求出某一自变量相应的函数值； 列表法 ①不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值； ①不够全面，只能表示自变量取较少的有限值的对应关系； ②不能明显地展示出因变量随自变量变化的规律； 随学随练 1．已知某等腰三角形的周长是4，底边长是，腰长是，则关于的函数可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出等腰三角形的周长的关系式，改写成关于的函数，根据三角形的三边关系求出自变量的范围 【详解】由得：， 又由， 可得， ∴， 又， ∴， 故选：B. 2．（25-26高一上·湖南·期中）小宇周日去电影院看电影，从家出发匀速步行一段路后发现快迟到了，就匀速跑步前进，看完电影后匀速步行回家，下面图象由与上述事件吻合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把时间与离家的路程变化，与速度有关，所以根据速度的大小来判断直线的斜率. 【详解】从家出发先匀速步行，此时直线的上升幅度较小，中间匀速跑步前进，此时直线的上升幅度较之前步行的增大，后面看电影的时间表示离家的距离没有发生变化，故直线呈水平状态，最后匀速步行回家，此时直线下降，最后减至离家的距离为. 根据以上判断，只有B吻合， 故选：B. 3．（25-26高一上·江苏南京·期中）函数由下表给出，则（ ） x 1 2 3 4 2 4 3 1 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据表中的对应关系，求解即可得到答案． 【详解】由表格可知，时，， 所以． 故选：D． 知识点 求函数解析式（重点） 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． 2、换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 4、方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 易错提醒 换元必换范围 用换元法求解析式时，容易忽略了新变量的取值范围而造成错误 随学随练 1．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数为一次函数，且，，则（   ） A． B．11 C． D．15 【答案】B 【分析】先求出函数的解析式，再计算. 【详解】设，则，解得， 所以，. 故选：B. 2．若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据换元法求解即可. 【详解】令，，则， . . 3．（2026高一·全国·专题练习）若则当，且时，（ ） A． B． C． D．－1 【答案】B 【分析】利用配凑法即求得结果. 【详解】∵＝， ∴. 知识点 分段函数（重点） 对于函数，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数． 特别提醒 1）分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同 2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围 3）分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集 随学随练 1．（25-26高一上·广西桂林·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解内层函数的取值，再将其作为自变量代入计算复合函数值. 【详解】 ，所以 . 2．（25-26高一上·山东德州·期末）设函数，则（　　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数， . 3．（23-24高一上·内蒙古包头·阶段检测）设函数，若，则______． 【答案】1 【分析】根据分段函数性质代入计算得出方程，解方程可得. 【详解】函数，易知， 若， 当时，即，可得， 解得，不满足，舍去； 当，即时，可得， 解得，满足题意． 故答案为：1． 拓展 分段函数的值域（重点） 活学活用 1．（25-26高一上·陕西延安·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数性质，分别求出和时，函数的值域，综合即可得答案. 【详解】当时，，当，， 所以， 当时，，单调递增， 所以，即， 综上，的值域为. 故选：C 2．（25-26高一上·天津红桥·期中）已知函数． (1)求的值； (2)当时，求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分段函数的解析式由里往外求函数值. （2）分段求函数的值域，再综合可得函数的值域． 【详解】（1）由题意，， 所以. （2）当时，函数在上单调递减，所以； 当时，； 当时，函数在上单调递减，所以. 综上，当时，函数的值域为. 题型 函数的三种表示法 解题贴士 根据具体问题，选择恰当的表示法 ▌例1 一个等腰三角形的周长为20，底边长是一腰长的函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合等腰三角形性质可得，变形得关于表达式，再结合三角形三边性质确定自变量范围即可. 【详解】∵，∴. 由题意得解得. ∴. 故选：D. ▌例2 （25-26高一上·河南·阶段检测）已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图所示，则（   ）    1 2 3 4      3 1 4 2 A．4 B．3 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义求值即可． 【详解】因为，所以． 故选：C． ▌对点练1-1．已知一个等腰三角形的周长为，底边长关于腰长的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，从而可求得底边长关于腰长的函数解析式，再利用三角形任意两边之和大于第三边可求出的取值范围 【详解】解：由题意得，，即， 由，得，解得， 故选：D ▌对点练1-2．（25-26高一上·河南漯河·阶段检测）周末某同学到漯湾古镇游玩，他骑行共享单车匀速由学校前往，前进，疲惫不堪，休息半小时后，沿原路返回，归途中又觉得不能半途而废，便调转车头继续向漯湾古镇方向前进，则该同学离起点 (学校) 的距离 与时间 的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据该同学在行进过程中的前进方式的不同，直接确定对应函数图象即可. 【详解】第一段时间，该同学骑行共享单车由学校往漯湾古镇方向匀速骑行，前进了，则该同学离起点(学校)的距离与时间的函数图象应是一段上升的线段； 第二段时间休息了半小时，随时间变化，该同学离起点的距离并没有发生变化，因此该同学离起点(学校)的距离与时间的函数图象应是一条平行于x轴的线段； 第三段时间，原路返回，其距离起点应越来越近，因此该同学离起点(学校)的距离与时间的函数图象应是一段下降的线段； 第四段时间，调转车头继续向漯湾古镇方向前进，该部分对应的图象应和第一段时间的相似； 因此只有C选项符合. 故选：C. ▌对点练1-3．（24-25高一上·全国·课后作业）水以恒速注入下图所示容器中，则水的高度与时间满足的函数图象是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据容器的特征，结合几何体的结构和题意知，容器的底面积越大水的高度变化慢、反之变化得快，再由图象越平缓就是变化越慢、图象陡就是变化快来判断．结合函数图象分析判别可得结论. 【详解】此容器从下往上口径先由大变小，再由小变大，故等速注入液体其高度增加变化率先由慢变快，再由快变慢， A、B、C选项中：函数图象中高度变化率分别是先快后慢、先慢后快、匀速的增加，与题干不符，故排除； D选项：当注水开始时，函数图象中高度变化率是先由慢变快，再由快变慢，符合题意； 故选：D. 题型 待定系数法求函数解析式 解题贴士 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，即先设出函数的解析式，再利用已知条件列出关于待定系数的方程（组），解之确定系数，即可得函数的解析式 ▌例1已知二次函数满足：对任意，均有，且，求的解析式． 【答案】 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】设（）， 对任意均有成立， 则， 即恒成立，则有，解得， 又，得， 所以． ▌例2求下列函数的解析式 (1)已知函数是一次函数，满足，求； (2)已知是二次函数，且，，，求． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设，代入后利用恒等可求参数的值，从而得到解析式； （2）设，结合题设条件可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解析式. 【详解】（1）设，则 ， 所以，解得或， 所以或. （2）设， 根据题意得，解得 所以． ▌对点练2-1已知是一次函数．且．求函数的解析式． 【答案】 【分析】设函数解析式为，应用待定系数法计算求参即可求解. 【详解】设， 由，得， 即，所以且． 解得或， 当时，，故，所以， 当是，，无解， 综上，． ▌对点练2-2（24-25高三上·山东菏泽·阶段检测）如果为二次函数，，并且当时，取得最小值，求的解析式. 【答案】 【分析】根据题意，设，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】因为为二次函数，并且当时，取得最小值， 所以可设， 又因为，所以，解得， 所以． ▌对点练2-3（23-24高一下·全国·单元测试）已知一次函数满足，，求. 【答案】 【分析】利用待定系数法即可得解. 【详解】依题意，设， 由条件得，解得， 故. 题型换元法求函数解析式（重点） 解题贴士 已知复合函数的表达式时，可用换元法，这时要注意换元必换范围 ①令根据，求出关于的表达式 ②根据求出的取值范围 ③将求出的关于的表达式代入的表达式中，求出的表达式，再换元为 ▌例1（25-26高一上·陕西延安·期中）若，则的解析式为___________． 【答案】 【分析】利用换元法求函数解析式. 【详解】设，则，且. 所以，. 所以. 故答案为： ▌例2（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若，则函数______． 【答案】， 【分析】利用换元法，令，利用基本不等式求出的取值范围，最终求出函数解析式； 【详解】，即 令， 当时，由基本不等式得， 当时，，由基本不等式得，即， ， 则，， ，， ，. 故答案为：， ▌对点练3-1若函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，， . . ▌对点练3-2（25-26高一上·湖北黄冈·阶段检测）已知，则__________ 【答案】 【分析】利用换元法求解析式即可． 【详解】令，则， 因为，所以， 所以． 故答案为：． ▌对点练3-3（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，则_____． 【答案】（且） 【分析】运用换元法求解即可. 【详解】由于，（且）， 则， 所以,且，所以（且）． 故答案为：（且）． 题型 方程组法（消元法）求函数解析式（重点） 解题贴士 主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 ▌例1（25-26高一上·重庆·期中）设函数满足等式，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由方程组法求得，进而得到，即可求解. 【详解】由可得： ， 两式联立可得：， 所以，， 因为， 所以， 所以的值域为， 故选：A ▌例2（25-26高一上·河南郑州·期中）已知函数满足，则__________. 【答案】 【分析】将式子中的所有换成，即可得到与的方程组，解得即可. 【详解】因为， 所以， 即，解得. 故答案为： ▌对点练4-1（25-26高三·全国·一轮复习）已知且，求函数的解析式． 【答案】且 【分析】利用解方程组法，分别用，代换题设式子中的，得到方程组求解即可. 【详解】，① 将①中的用代换得② 再将①中的用代换得③ 则由得且． ▌对点练4-2已知，求的解析式． 【答案】， 【分析】构造关于与的方程组，通过解方程组，求得的解析式． 【详解】由已知①，， 则②， 所以①②，得，， 所以，. ▌对点练4-3（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数满足，求的解析式. 【答案】 【分析】将已知式子中的换成，利用方程组法即可求得答案. 【详解】将已知式子中的换成得， 所以，消去得， 所以的解析式为. 题型 求分段函数值 解题贴士 先判断自变量所属区间，再代入对应解析式，分段点按题设归属（一般“左闭右开”）确定。注意解析式要保证每段区间不重不漏，函数值需验证分段点处是否按规则处理 ▌例1（25-26高二下·广东·期末）已知函数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】，，则． ▌例2（25-26高二下·江西赣州·期末）已知函数，则____________． 【答案】 【分析】利用分段函数时的递推关系，将转化为区间内的，再代入对应解析式计算； 【详解】由题意可得：. ▌对点练5-1（24-25高一上·广西河池·期中）已知函数，求的值（   ） A．2 B．5 C．3 D．1 【答案】B 【详解】， ． ▌对点练5-2（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数，则（   ） A．15 B．5 C． D．21 【答案】A 【分析】根据分段函数解析式直接求解． 【详解】因为函数，所以． ▌对点练5-3（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知函数，则_______. 【答案】 【详解】由题意得：. 题型 根据分段函数值求参数（重点） 解题贴士 1、 对每段函数直接求解然后再检验  是否在该区间内 2、 可以通过函数的图像，找出对应的每段函数的值域，直接找出所属区间，从而求得值 ▌例1（2026·浙江·二模）已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，即解得或（舍）， 当时，，即，， 方程无实数解，综上. ▌例2（26-27高一上·全国·课后作业）已知． (1)求的值； (2)若且，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先判断自变量所在的区间，代入计算即可； （2）分和两种情况讨论，分别代入计算即可得到答案． 【详解】（1）由题意得． （2）当时，由，解得； 当时，由，得或（舍去）． 综上所述，或． ▌对点练6-1（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数，若，则______. 【答案】或/或 【分析】根据分段函数的定义域分界点，分及两类求解的取值，再计算. 【详解】当时，，解得，则； 当时，，解得， 则或； 综上：或. ▌对点练6-2（25-26高三下·河南驻马店·开学考试）已知函数，若，则______． 【答案】/ 【分析】根据函数的单调性可得，解方程即可得到答案. 【详解】在上单调递减，在上单调递增， 所以和不可能都属于或， 因为，所以，， 因为，所以，解得． ▌对点练6-3（25-26高三下·新疆喀什·期末）已知函数，若，则实数a的值为__________． 【答案】或 【分析】分类讨论代入求值即可. 【详解】若，则，得或； 若，则，得（舍）， 故实数a的值为或. 故答案为：或 题型分段函数的值域（最值）（重点） 解题贴士 1、分别求每一段解析式的取值范围，再求并集 2、根据图象求值域 ▌例1（24-25高一上·江西吉安·期中）若函数，则的最小值和最大值分别为 （   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】结合一次函数的单调性分别求解两段函数的值域，求并集即可求得的值域，即可得解. 【详解】当时，；当时，. 综合得函数的值域为，故. 故选：C ▌例2（24-25高一上·广东揭阳·阶段检测）定义为中的最小值，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，作出函数的图象，可得的图象及解析，再求出最大值． 【详解】令，在同一坐标系内作出函数，如图，    函数的图象如图中实线部分，由解得， 由解得，于是， 函数的图象的最高点为，而点， 所以当时，取得最大值. 故答案为： ▌对点练7-1（25-26高一上·湖北·阶段检测），用表示中的最小者，记为；若，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】画出函数图象，即可求解. 【详解】由，可得：，画出函数的图象，如下图， 由图象可知当时，取得最大值2， 故选：C ▌对点练7-2（24-25高二下·江苏徐州·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出各段上的函数值的范围后可得正确的选项. 【详解】当时，， 而当时，，当且仅当时等号成立， 故函数的值域为， 故选：D. ▌对点练7-3（2025高一上·全国·专题练习）已知函数则的值域为______． 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式，先求每一段函数的值域，再取并集，求整体函数的值域. 【详解】当时，，所以； 当时，，所以； 综上，的值域为． 故答案为：． 题型解分段函数不等式（重点） 解题贴士 先确定自变量所在区间，将不等式转化为各段内的代数不等式，分别求解，最后将各段解集合并。注意分段点处需单独验证是否满足原不等式（因开闭区间可能影响取值） ▌例1（25-26高二下·陕西商洛·期末）已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，. 若，即，，解得. 若，即，，解得. 综上所述，. ▌例2（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段检测）设函数，则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】分及两类情况分别求解然后求并集. 【详解】当时，令，则， 解得或，又，故； 当时，令，则解得； 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. ▌对点练8-1（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知函数，则的解集为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的定义域，分别在不同区间内求解不等式，然后取并集即可. 【详解】当时，，解得； 当时，， 即，即，解得或（舍去）， 所以的解集为. 故选：. ▌对点练8-2（25-26高一上·北京西城·期中）已知函数，则___________；若，的取值范围是___________． 【答案】3，或. 【分析】（1）根据分段函数的自变量范围代入求值即可. （2）结合分段函数分情况求解不等式即可. 【详解】因为，所以. 当时，可化为，解得， 又，所以； 当时，可化为，即解得或， 又，所以； 综上，若，的取值范围是或. 故答案为：3，或 ▌对点练8-3（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 【答案】(1)，最大值为4 (2) (3)或 【分析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，并根据图象求最值； （2）由分段函数各段定义域所对应的解析式，依次代入数值即可求解； （3）分别在各段解析式内解，并将结果取并集即可. 【详解】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 当时，取得最大值4． （2），，， 即. （3）当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 基础通关 1．（25-26高一上·河北唐山·期中）函数，则（   ） A．14 B．1 C．0 D．13 【答案】A 【详解】换元求解 【点睛】令，则， 2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数，则（   ） A．0 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】易知； 所以，可得. 3．（专题03函数的性质及应用（6大易错点 典例分析 避错攻略 举一反三 易错通关）（全国通用））已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法求解析式. 【详解】令，则， 因为，所以． 由，可得， ∴． 故选：B． 4．（25-26高一上·陕西西安·期末）若函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用换元法求函数解析式即可. 【详解】令，则， 则有， 故. 故选：B. 5．（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数性质，结合二次函数图象特征判断即可. 【详解】当时，，其图象是抛物线在轴及右侧部分，排除BC； 当时，，则恒成立，其图象在轴下方，排除D，选项A符合题意. 故选：A 6．（25-26高一上·云南·期末）已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用换元法求解即可，注意定义域的限制. 【详解】设，则，因为，可得， 所以函数． 故选：C． 7．（多选）（25-26高一上·河南信阳·期中）已知函数，若，求实数的值（    ） A．0 B．-2 C．2 D．1 【答案】AC 【分析】分和两种情况求解即可. 【详解】因为， 当时，解得，符合题意； 当时，解得，又，所以. 综上所述或. 故选：AC. 8．（多选）（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）用列表法表示函数与函数，如下表所示，若，则的值可能为（   ） 1 2 3 4 4 3 2 1 2 1 4 3 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】ABD 【分析】代入，求的值，即可求解不等式. 【详解】由表可得，，，， 所以，的值可以是1，2或4. 故选：ABD 9．（26-27高一上·全国·课后作业）若是一次函数，且，则______． 【答案】或 【分析】设，利用待定系数法求出即可. 【详解】设， 则， 故，解得或， 故或． 10．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数满足，则__________． 【答案】 【分析】根据方程组法解抽象函数解析式即可． 【详解】， ， 解方程组得． 故答案为：． 素养提升 1．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）对于两个不相等的实数、，规定符号表示、中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分、两种情况解方程即可得解. 【详解】因为，由题意知当时，，则， 变形可得，解得（舍）或； 当时，，则，整理可得，解得. 综上所述，方程的解集为. 故选：D. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数若，则（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】分、两种情况讨论，结合可得出关于实数的等式，即可解得实数的值 【详解】当时，，当时，， 因为，所以，即，所以， 所以，即，解得． 故选： 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）设是定义在R上的函数，且满足，并且，都有，则________. 【答案】 【详解】法一：由已知条件得， 又， 令，则， 所以. 法二：令，得， 即， 将用代换得. 4．（2026高一·全国·专题练习）已知函数.若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】首先讨论、分别求得、，再讨论、分别求解、，列出的不等式求参数m的范围. 【详解】当时，由， 若时，，即，故； 若时，，即，故； 此时； 当时，由， 所以或，即或（舍）， 若时，，即，显然无解； 若时，，即，故； 此时； 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 5．已知函数的定义域为，且满足，，若，则函数的解析式为_________. 【答案】 【分析】根据，令，得，依次可得，，，累加可得函数解析式. 【详解】函数的定义域为，且满足， 取，得，所以， ，，， 以上各式相加得． 故答案为：. 迁移创新 1．（26-27高三上·湖南怀化·开学考试）定义在上的“关联二次函数”满足，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用赋值法，得，求和即可. 【详解】已知， 令，代入得到， 已知，则有， 所以 ， . 2．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（   ） A．4 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【分析】利用二次函数值域求出的关系，再利用一元二次不等式的解集与对应方程实根关系列式求解. 【详解】由函数的值域为， 得，即， 不等式， 由不等式的解集为， 得是方程的两个实根， 因此，解得， 所以实数的值为9. 3．（25-26高一上·四川成都·期末）设．若正数m，n满足，那么的最小值为______． 【答案】8 【分析】分情况进行讨论，对等式进行变形结合不等式相关计算即可. 【详解】由题意知，，. 当，即时，. 因为，所以，即. 又，所以，所以，当时取等号. 所以，，当，时取等号. 当，即时，. 因为，所以，所以，即. 综上，的最小值为8. 4．设是定义在上的函数，且满足对任意，等式恒成立，则的解析式为______. 【答案】 【分析】利用赋值法，令，即可求出解析式. 【详解】是定义在上的函数，且对任意恒成立， 令，得， 即，整理得 故. 故答案为：. 5．（25-26高一下·贵州毕节·期中）高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如，． (1)求不等式的解集； (2)若，，，求m的取值范围； (3)若的解集为，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用十字相乘法得到，所以； （2），使得，又，则； （3）十字相乘得到，分，，三种情况，结合不等式解集为得到不等式，求出答案． 【详解】（1）由，即， ，所以． 所以的解集为； （2），，此时， 即，使得， 又， 则， 故的取值范围为； （3）不等式，即， 由方程可得或． ①若，不等式为， 即，所以，不符合题意； ②若，， 由，解得， 因为不等式的解集为， 所以，解得； ③若，， 由，解得， 因为不等式解集为， 所以，解得． 综上所述，的范围为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 函数概念与性质 5.2 函数的表示方法 课标要点 1、掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点 2、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用 3、会求函数的解析式 学习重难点 重点：求函数的解析式 难点：理解分段函数 知识点函数的表示法 1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点 缺点 联系 解析法 ①简明、全面的概括了变量之间的关系； ②可以通过解析式求出在定义域内任意自变量所对应的函数值； ③便于利用解析式研究函数的性质； ①并不是所有的函数都有解析式； ②不能直观地观察到函数的变化规律； 解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． 图象法 ①能直观、形象地表示自变量的变化情况及相适应的函数值的变化趋势； ②可以直接应用图象来研究函数的性质； ①并不是所有的函数都能画出图象； ②不能精确地求出某一自变量相应的函数值； 列表法 ①不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值； ①不够全面，只能表示自变量取较少的有限值的对应关系； ②不能明显地展示出因变量随自变量变化的规律； 随学随练 1．已知某等腰三角形的周长是4，底边长是，腰长是，则关于的函数可表示为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖南·期中）小宇周日去电影院看电影，从家出发匀速步行一段路后发现快迟到了，就匀速跑步前进，看完电影后匀速步行回家，下面图象由与上述事件吻合的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏南京·期中）函数由下表给出，则（ ） x 1 2 3 4 2 4 3 1 A．4 B．3 C．2 D．1 知识点 求函数解析式（重点） 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． 2、换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 4、方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 易错提醒 换元必换范围 用换元法求解析式时，容易忽略了新变量的取值范围而造成错误 随学随练 1．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数为一次函数，且，，则（   ） A． B．11 C． D．15 2．若函数，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026高一·全国·专题练习）若则当，且时，（ ） A． B． C． D．－1 知识点 分段函数（重点） 对于函数，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数． 特别提醒 1）分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同 2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围 3）分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集 随学随练 1．（25-26高一上·广西桂林·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东德州·期末）设函数，则（　　 ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·内蒙古包头·阶段检测）设函数，若，则______． 拓展 分段函数的值域（重点） 活学活用 1．（25-26高一上·陕西延安·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·天津红桥·期中）已知函数． (1)求的值； (2)当时，求函数的值域． 题型 函数的三种表示法 解题贴士 根据具体问题，选择恰当的表示法 ▌例1 一个等腰三角形的周长为20，底边长是一腰长的函数，则（    ） A． B． C． D． ▌例2 （25-26高一上·河南·阶段检测）已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图所示，则（   ）    1 2 3 4      3 1 4 2 A．4 B．3 C．1 D． ▌对点练1-1．已知一个等腰三角形的周长为，底边长关于腰长的函数解析式是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26高一上·河南漯河·阶段检测）周末某同学到漯湾古镇游玩，他骑行共享单车匀速由学校前往，前进，疲惫不堪，休息半小时后，沿原路返回，归途中又觉得不能半途而废，便调转车头继续向漯湾古镇方向前进，则该同学离起点 (学校) 的距离 与时间 的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．（24-25高一上·全国·课后作业）水以恒速注入下图所示容器中，则水的高度与时间满足的函数图象是（    ） A．B．C．D． 题型 待定系数法求函数解析式 解题贴士 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，即先设出函数的解析式，再利用已知条件列出关于待定系数的方程（组），解之确定系数，即可得函数的解析式 ▌例1已知二次函数满足：对任意，均有，且，求的解析式． ▌例2求下列函数的解析式 (1)已知函数是一次函数，满足，求； (2)已知是二次函数，且，，，求． ▌对点练2-1已知是一次函数．且．求函数的解析式． ▌对点练2-2（24-25高三上·山东菏泽·阶段检测）如果为二次函数，，并且当时，取得最小值，求的解析式. ▌对点练2-3（23-24高一下·全国·单元测试）已知一次函数满足，，求. 题型换元法求函数解析式（重点） 解题贴士 已知复合函数的表达式时，可用换元法，这时要注意换元必换范围 ①令根据，求出关于的表达式 ②根据求出的取值范围 ③将求出的关于的表达式代入的表达式中，求出的表达式，再换元为 ▌例1（25-26高一上·陕西延安·期中）若，则的解析式为___________． ▌例2（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若，则函数______． ▌对点练3-1若函数，则（ ） A． B． C． D． ▌对点练3-2（25-26高一上·湖北黄冈·阶段检测）已知，则__________ ▌对点练3-3（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，则_____． 题型 方程组法（消元法）求函数解析式（重点） 解题贴士 主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 ▌例1（25-26高一上·重庆·期中）设函数满足等式，则的值域为（    ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高一上·河南郑州·期中）已知函数满足，则__________. ▌对点练4-1（25-26高三·全国·一轮复习）已知且，求函数的解析式． ▌对点练4-2已知，求的解析式． ▌对点练4-3（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数满足，求的解析式. 题型 求分段函数值 解题贴士 先判断自变量所属区间，再代入对应解析式，分段点按题设归属（一般“左闭右开”）确定。注意解析式要保证每段区间不重不漏，函数值需验证分段点处是否按规则处理 ▌例1（25-26高二下·广东·期末）已知函数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 ▌例2（25-26高二下·江西赣州·期末）已知函数，则____________． ▌对点练5-1（24-25高一上·广西河池·期中）已知函数，求的值（   ） A．2 B．5 C．3 D．1 ▌对点练5-2（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数，则（   ） A．15 B．5 C． D．21 ▌对点练5-3（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知函数，则_______. 题型 根据分段函数值求参数（重点） 解题贴士 1、 对每段函数直接求解然后再检验  是否在该区间内 2、 可以通过函数的图像，找出对应的每段函数的值域，直接找出所属区间，从而求得值 ▌例1（2026·浙江·二模）已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． ▌例2（26-27高一上·全国·课后作业）已知． (1)求的值； (2)若且，求实数的值． ▌对点练6-1（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数，若，则______. ▌对点练6-2（25-26高三下·河南驻马店·开学考试）已知函数，若，则______． ▌对点练6-3（25-26高三下·新疆喀什·期末）已知函数，若，则实数a的值为__________． 题型分段函数的值域（最值）（重点） 解题贴士 1、分别求每一段解析式的取值范围，再求并集 2、根据图象求值域 ▌例1（24-25高一上·江西吉安·期中）若函数，则的最小值和最大值分别为 （   ） A．和 B．和 C．和 D．和 ▌例2（24-25高一上·广东揭阳·阶段检测）定义为中的最小值，则的最大值为__________. ▌对点练7-1（25-26高一上·湖北·阶段检测），用表示中的最小者，记为；若，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 ▌对点练7-2（24-25高二下·江苏徐州·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． ▌对点练7-3（2025高一上·全国·专题练习）已知函数则的值域为______． 题型解分段函数不等式（重点） 解题贴士 先确定自变量所在区间，将不等式转化为各段内的代数不等式，分别求解，最后将各段解集合并。注意分段点处需单独验证是否满足原不等式（因开闭区间可能影响取值） ▌例1（25-26高二下·陕西商洛·期末）已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． ▌例2（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段检测）设函数，则不等式的解集为________． ▌对点练8-1（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知函数，则的解集为 （    ） A． B． C． D． ▌对点练8-2（25-26高一上·北京西城·期中）已知函数，则___________；若，的取值范围是___________． ▌对点练8-3（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 基础通关 1．（25-26高一上·河北唐山·期中）函数，则（   ） A．14 B．1 C．0 D．13 2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数，则（   ） A．0 B．4 C．6 D．8 3．（专题03函数的性质及应用（6大易错点 典例分析 避错攻略 举一反三 易错通关）（全国通用））已知函数，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·陕西西安·期末）若函数，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·云南·期末）已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（25-26高一上·河南信阳·期中）已知函数，若，求实数的值（    ） A．0 B．-2 C．2 D．1 8．（多选）（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）用列表法表示函数与函数，如下表所示，若，则的值可能为（   ） 1 2 3 4 4 3 2 1 2 1 4 3 A．1 B．2 C．3 D．4 9．（26-27高一上·全国·课后作业）若是一次函数，且，则______． 10．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数满足，则__________． 素养提升 1．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）对于两个不相等的实数、，规定符号表示、中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数若，则（    ） A． B． C．1 D．4 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）设是定义在R上的函数，且满足，并且，都有，则________. 4．（2026高一·全国·专题练习）已知函数.若，则实数的取值范围是__________. 5．已知函数的定义域为，且满足，，若，则函数的解析式为_________. 迁移创新 1．（26-27高三上·湖南怀化·开学考试）定义在上的“关联二次函数”满足，且，则（  ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（   ） A．4 B．6 C．9 D．18 3．（25-26高一上·四川成都·期末）设．若正数m，n满足，那么的最小值为______． 4．设是定义在上的函数，且满足对任意，等式恒成立，则的解析式为______. 5．（25-26高一下·贵州毕节·期中）高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如，． (1)求不等式的解集； (2)若，，，求m的取值范围； (3)若的解集为，求a的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $