专题05 指数与指数函数（知识点串讲）-2020-2021学年高一上学期数学期中期末考点大串讲（新教材苏教版必修第一册）

专题05 指数与指数函数（知识点串讲） 【知识点--考点思维导图】 【重难突破】 知识点一 根式与分数指数幂的运算 (1)概念：式子eq \r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)性质：(eq \r(n,a))n＝a(a使eq \r(n,a)有意义)；当n为奇数时， eq \r(n,an)＝a，当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.)) 规定：正数的正分数指数幂的意义是aeq \f(m,n)＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)； 正数的负分数指数幂的意义是a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)； 0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. (3)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 典例1下列根式与分数指数幂的互化，正确的是 ( ) A． B． C． D． 变式1-1若，则下列说法中正确的是（ ） ①当为奇数时，的次方根为； ②当为奇数时，的次方根为； ③当为偶数时，的次方根为； ④当为偶数时，的次方根为． A．① B．② C．③ D．④ 变式1-2（2019·河北邯郸一中模拟）化简eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(3,5)))eq \s\up12(0)＋2－2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))eq \s\up12(－\f(1,2))－(0.01)0.5 知识点拨：1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. 3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 知识点二：指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 典例2（2020·济南市历城第二中学高一期末）若函数 ( ,且 )在 上的最大值与最小值的差为 ，则a的值为（ ） A． B． C． 或2 D． 或 变式2-1（2020·湖南省长郡中学高一期末）函数 的值域为（ ） A．（0，＋∞） B．（－∞，1） C．（1，＋∞） D．（0，1） 变式2-2（2020·重庆八中高一期末）已知实数 且 ,若函数 的值域为 ,则 的取值范围是( ) A． EMBED Equation.DSMT4 B． C． D． 典例3（重庆市重庆一中高一上期末）函数 = ( >0,且 ≠1)恒过定点(    ) A.(-1,-1) B.(-1,1) C.(0, ) D.(0,1) 变式3-1【吉林省长春市长春外国语学校2018-2019学年高一上学期期末】已知函数 （ 且 ）的图象过定点 ，则点 的坐标为_______. 典例4（2019·辽宁葫芦岛高级中学模拟） 函数y＝ax－a－1(a＞0，且a≠1)的图象可能是(　　) 变式4-1（2020·安徽省合肥一中高一期末）函数 的图像大致为 (　　) A． B． C． D． 变式4-2（2019·湖南衡阳八中模拟）在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为(　　) 知识点三：指数函数的综合 解答指数函数性质的综合应用，设计到指数函数的性质以及与不等式等问题的结合；首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解。 典例5（2020·临高县临高中学高一期末）定义运算 ，设函数 ，则下列命题正确的有（ ） A． 的值域为 B． 的值域为 C．不等式 成立的范围是 D．不等式 成立的范围是 变式5-1【黑龙江省大庆中学2017-2018学年高一上学期期末】已知 ，则 的解集为 ． 变式5-2（2020·重庆巴蜀中学高一期末）已知函数 ， 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且 ． （1）求函数 ， 的解析式； （2）若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的最大值； （3）设 ，若函数 与 的图