4.2 对数（讲义，知识点&8大题型&刷好题）高一数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“对数”核心知识点，衔接指数知识，构建从概念（定义、底数真数条件）到指对数互化、常用/自然对数，再到运算性质（积、商、幂的对数）及换底公式的学习支架。 资料通过“随学随练”即时巩固（如对数取值范围题），分题型（概念、互化、运算等）系统训练，结合遗忘曲线等实际应用，提升数学抽象与运算素养。课中辅助分层教学，课后通过基础通关等模块助力查漏补缺。

第四章 指数与对数 4.2 对数 课标要点 1.理解对数的概念及其运算性质； 2.熟悉自然对数和常用对数； 3.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化。 4.会用对数的运算性质进行一些简单的化简、计算； 5.熟练掌握对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算； 6.通过运用对数的运算性质进行化简求值，提升学生的数学抽象素养和数学运算素养。 学习重难点 重点：理解和掌握对数的概念及其运算； 难点：1.熟练掌握指对数形式的互化，会求简单的对数值 2.对数的运算性质及换底公式 知识点 对数的概念 1、对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数. 特别提醒规定,且的原因： 1）当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的 2）当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的 3）当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的 随学随练 1．对数中实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·上海·期中）使得表达式有意义的范围是____________________． 知识点 常用对数与自然对数 ①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为 ②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.718 28.把以为底的对数称为自然对数,并把记作 特别提醒 “”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面 知识点指数式与对数式相互转化 （重点） 当且， 随学随练 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）化为对数式是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海·期中）把指数式“”写成对数式__________. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）将下列指数式化为对数式： (1)； (2)； (3)． 知识点 对数性质 ①负数和零没有对数. ②对于任意的且,都有，，； ③对数恒等式: （且） 知识点对数的运算性质（重点） 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 随学随练 1．（25-26高一下·天津河北·开学考试）___________． 2．（25-26高一上·浙江杭州·期末）_______. 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）计算：. 知识点换底公式（重点） 换底公式：（且，，，且） 特别的： 随学随练 1．（23-24高一上·海南海口·阶段检测）已知，，则________．（用，表示）． 2．（25-26高一上·上海·期中）已知实数，且，则________． 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，求： (1) (用表示). (2) (用表示)． 拓展运用换底公式证明恒等式 活学活用 1．已知：，求证：． 2．证明： （1）； （2）. 题型 对数概念 解题贴士 一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数.其中特别注意,且 ▌例1 （24-25高一上·全国·课后作业）若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． ▌例2 方程解的个数是（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．无穷多个 ▌对点练1-1．若，则x的取值范围是 A． B． C． D． ▌对点练1-2．（多选）下列选项中，使有意义的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若对数有意义，则的取值范围是________． 题型对数式与指数式相互转化（重点） 解题贴士 ①指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式 ②对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式 ▌例1（24-25高一上·上海·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： （1），指数式为________； （2），指数式为________； （3），对数式为________； （4），对数式为________． ▌例2将下列对数式改写为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)． ▌对点练2-1（24-25高一上·上海·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： （1），对数式为________； （2），对数式为________； （3），指数式为________； （4），指数式为________． ▌对点练2-2把下列指数式写成对数式： (1)； (2). ▌对点练2-3（24-25高一上·上海·随堂练习）将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型对数运算 解题贴士 对数运算时，一定要先统一底数，再按“积变加、商变减、幂前移”的顺序逐步拆解或合并 ▌例1（26-27高一上·全国·课堂例题）计算： ▌例2计算： (1)； (2)． ▌对点练3-1（26-27高一上·全国·课堂例题）计算： (1) (2). ▌对点练3-2（25-26高一下·湖南常德·期末）计算： (1)； (2)； (3)． ▌对点练3-3（1）计算：； （2）已知，求的值. 题型对数运算性质及其应用（重点） 解题贴士 1、化简复杂对数式时，先统一底数，再按“积变加、商变减、幂前移”的顺序逐步拆解或合并 2、易错点/注意事项 ①忘记“只有同底数才能合并运算”的前提； ②错误地将 等同于 ，对数没有加法分配律 ▌例1（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）（1）证明对数换底公式：（其中且，且，）． （2）已知，试用表示． （3）化简： ▌例2（24-25高一上·全国·周测）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. ▌对点练4-1（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）（1）计算的值； （2）已知，，试用表示. ▌对点练4-2（25-26高一上·福建南平·阶段检测）计算下列各式值： (1) (2)已知，试求的值. ▌对点练4-3（25-26高一上·上海·期中）（1）已知，，均为不等于1的正数，求证：； （2）已知，，用，表示，. 题型换底公式的应用（重点） 解题贴士 1、遇到不同底数的对数比较大小或混合运算时，利用换底公式统一为常用对数（）或自然对数（），便于化简与计算. 2、易错点/注意事项 换底时分子分母写反，误将 写成. ▌例1（26-27高一上·全国·课堂例题）计算. ▌例2（25-26高一上·新疆阿克苏·期末）（1）已知：，，求的值； （2）若，，用含、的式子表示. ▌对点练5-1（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）（1）计算：. （2）求值：. （3）已知，请用表示. ▌对点练5-2（25-26高一上·广东东莞·期中）（1）求值：； （2）已知，，请用、表示. ▌对点练5-3（2026高三·全国·专题练习）计算：. 题型 对数方程求解（重点） 解题贴士 对数方程主要有两种类型，第一种类型的对数方程两边都是对数式且底数相同，根据真数相 同转化为关于的方程求解；第二种类型的对数方程可整理成关于的（一元二次）方程，解出 的值，求 ▌例1（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列各式中的值． (1)； (2)； (3). ▌例2求下列各式中的x的值． (1)． (2)； (3). ▌对点练6-1（2026高一·全国·专题练习）完成如下问题：解方程：. ▌对点练6-2（24-25高一上·全国·周测）求下列各式中的的值. (1)； (2). ▌对点练6-3（24-25高一下·福建泉州·开学考试）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)． 题型有附加条件的对数求值问题（难点） 解题贴士 带附加条件的对数问题主要是已知一些对数值或其等量关系，利用这些条件来表示所要求 的式子，解此类问题要充分利用对数的转化，同时，还要注意整体思想的应用. ▌例1（2026·福建福州·三模）已知，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 ▌例2若，则_____． ▌对点练7-1（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知（）且，则实数的值为_______________. ▌对点练7-2（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）已知，则______. ▌对点练7-3（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知，且，则的值为______． 题型对数的实际应用 ▌例1（26-27高三上·北京·开学考试）德国心理学家艾•宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”.“遗忘曲线”中记忆率随时间（小时）变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为（    ）（参考数据：，） A．0.2小时 B．0.5小时 C．0.8小时 D．2小时 ▌例2（2025高三上·全国·竞赛）在某个外星世界中，生物的最大奔跑速度取决于它的脚趾数量和眼睛数量．在速度以厘米每小时为单位时，两者的关系可表示为，其中均为整数常数．所有生物都有5根脚趾的种群满足；所有生物都有25只眼睛的种群满足，这里的对数均以10为底．问的值是多少？（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 E．24 ▌对点练8-1（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天的“落后”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍．那么当“进步”的是“落后”的10倍，大约经过（   ）天．（参考数据：，） A．110 B．115 C．120 D．125 ▌对点练8-2（2026·北京·三模）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要20min，那么降温到大约需要（    ）（参考数据；） A． B． C． D． ▌对点练8-3（2026·安徽·三模）股票是一种有价证券，代表持有者对股份公司的所有权，股票交易是一种重要的金融市场行为．已知某支股票的当前价格为12元每股，交易所规定每个交易日该股票价格的最大涨幅为20%（达到最大涨幅时称为“涨停板”），最大跌幅也为20%（达到最大跌幅时称为“跌停板”），现在不考虑其他限制，设个交易日后该股票价格达到60元每股，则的最小值为（  ）（参考数据：，） A．7 B．8 C．9 D．10 基础通关 1．（2026高一·全国·专题练习）若与互为相反数，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）设，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·天津红桥·期末）已知，，则（     ） A． B． C． D．1 4．（25-26高一下·四川乐山·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）已知，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（25-26高三下·浙江嘉兴·阶段检测）设，下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（多选）（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）下列结论正确的有（     ） A． B． C． D． 8．（多选）若，则（   ） A． B． C． D． 9．（26-27高一上·全国·课后作业）若a＝lg 2，b＝lg 3，则10a＋2b的值为________，的值为________. 10．（25-26高二下·天津滨海新区·期末）已知实数，满足：，且，则_______． 素养提升 1．（25-26高一下·湖南邵阳·期末）随着微信的普及，越来越多的人们购物优先选用微信支付.已知市面上最常见的微信付款码是由点阵构成，理论上不同的微信付款码的总数为个，而已知宇宙空间中原子总数约为个，则下列数据中与的值最接近的是（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 2．（2026·天津南开·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（2026·山东聊城·模拟预测）已知正数满足，则（   ） A． B．的最小值为2 C．的最小值为9 D．的最小值为1 4．（25-26高二下·天津津南·期末）已知 ，且 ，则 的最小值为_____. 5．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）（1）18世纪，瑞士数学家欧拉发现指数与对数的联系，他指出“对数源出于指数”.为了计算对数的方便，常运用换底公式将代数式中不同底的对数化为同底的对数. ①请写出对数的换底公式； ②请依据对数的换底公式证明. （2）请分别计算下列两小问中x，y的值： ①； ②实数a，b满足. 迁移创新 1．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知且，则下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）下列各式：①，②，③，④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026高二下·全国·竞赛）设正实数，，同时满足，，，则的值为__________. 4．（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）若，且，则______． 5．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）__________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数与对数 4.2 对数 课标要点 1.理解对数的概念及其运算性质； 2.熟悉自然对数和常用对数； 3.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化。 4.会用对数的运算性质进行一些简单的化简、计算； 5.熟练掌握对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算； 6.通过运用对数的运算性质进行化简求值，提升学生的数学抽象素养和数学运算素养。 学习重难点 重点：理解和掌握对数的概念及其运算； 难点：1.熟练掌握指对数形式的互化，会求简单的对数值 2.对数的运算性质及换底公式 知识点 对数的概念 1、对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数. 特别提醒规定,且的原因： 1）当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的 2）当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的 3）当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的 随学随练 1．对数中实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由对数式的底数为大于零且不等于1的实数，真数为正实数， 得，即，解得或， 所以实数a的取值范围是. 2．使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的底大于零且不等于1，真数大于零列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】由对数的概念得，解得或， 故的取值范围是. 故选：D. 3．（25-26高一上·上海·期中）使得表达式有意义的范围是____________________． 【答案】 【分析】根据真数和底数需满足的条件得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得，解得. 故答案为： 知识点 常用对数与自然对数 ①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为 ②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.718 28.把以为底的对数称为自然对数,并把记作 特别提醒 “”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面 知识点指数式与对数式相互转化 （重点） 当且， 随学随练 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）化为对数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数与对数的互化直接求解即可. 【详解】因为，所以. 2．（25-26高一上·上海·期中）把指数式“”写成对数式__________. 【答案】 【分析】由对数的定义即可求解. 【详解】由得：， 故答案为： 3．（24-25高一上·全国·课后作业）将下列指数式化为对数式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】直接利用指数和对数的关系实现指对互化. 【详解】（1）由，得. （2）由，得. （3）由，得. 知识点 对数性质 ①负数和零没有对数. ②对于任意的且,都有，，； ③对数恒等式: （且） 知识点对数的运算性质（重点） 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 随学随练 1．（25-26高一下·天津河北·开学考试）___________． 【答案】 【详解】 2．（25-26高一上·浙江杭州·期末）_______. 【答案】1 【分析】根据对数运算性质和运算法则以及指数运算法则即可得到答案. 【详解】原式. 故答案为：1. 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）计算：. 【答案】 【分析】根据对数的运算法则即可求解. 【详解】原式. 知识点换底公式（重点） 换底公式：（且，，，且） 特别的： 随学随练 1．（23-24高一上·海南海口·阶段检测）已知，，则________．（用，表示）． 【答案】 【分析】由对数的运算法则进行求解． 【详解】由，得， 则， 因为， 所以． 2．（25-26高一上·上海·期中）已知实数，且，则________． 【答案】16 【详解】由换底公式可得 ，且，故。 设（），则原方程可化为：， 两边同乘以整理得 ， 解得或。 ∵ ，∴ 舍去，即， ∴ 。 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，求： (1) (用表示). (2) (用表示)． 【答案】(1) (2) 【分析】先利用指对数互化公式，再由对数运算性质与换底公式化简所求式，代入整理即得. 【详解】（1）因为,所以. 所以; （2）. 拓展运用换底公式证明恒等式 活学活用 1．已知：，求证：． 【答案】证明：设，显然， 则，可得， 所以. 【分析】将指数式化为对数式，再结合对数运算以及换底公式运算分析证明. 【详解】略 2．证明： （1）； （2）. 【答案】 （1）. 故. （2）， 【分析】利用换底公式及对数的性质即可证明 【详解】（1）. 故. （2）， 【点睛】本题考查换底公式及对数的性质的应用，属于基础题. 题型 对数概念 解题贴士 一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数.其中特别注意,且 ▌例1 （24-25高一上·全国·课后作业）若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数的真数大于0列式即可求. 【详解】由题可得，解得或， 故实数的取值范围为． 故选：D ▌例2 方程解的个数是（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．无穷多个 【答案】A 【分析】根据对数符号有意义得到且，再根据真数相等解方程可得答案. 【详解】根据对数符号有意义可得，即且， 再根据题意可得，即， 解得或， 因为和均不满足且， 所以原方程解的个数为0. 故选：A. 【点睛】本题考查了对数底数和真数的范围，考查了求方程的解的个数，属于基础题. ▌对点练1-1．若，则x的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数概念转化对数方程，结合限制条件列不等式组，解得结果. 【详解】且 故选：B 【点睛】本题考查对数方程、对数概念，考查基本分析化简求解能力，属基础题. ▌对点练1-2．（多选）下列选项中，使有意义的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用对数函数的定义列出关于a的不等式组，求解即可. 【详解】要使有意义，则，解得或， 所以a的取值范围是. 故选：BC. ▌对点练1-3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若对数有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用对数的定义，列出不等式组并求解即得. 【详解】依题意，，解得且， 所以的取值范围是. 故答案为： 题型对数式与指数式相互转化（重点） 解题贴士 ①指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式 ②对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式 ▌例1（24-25高一上·上海·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： （1），指数式为________； （2），指数式为________； （3），对数式为________； （4），对数式为________． 【答案】 ； ； ； . 【分析】运用指对互化规则，“底不变，其他换”即可解题. 【详解】运用指对互化规则，“底不变，其他换”得到. （1），指数式为； （2），指数式为； （3），对数式为； （4），对数式为. 故答案为：；；；. ▌例2将下列对数式改写为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据指数与对数的运算规则即可将（1）~（4）化为相对应的指数式. 【详解】（1）由可得； （2）由可得； （3）由可得； （4）由可得 ▌对点练2-1（24-25高一上·上海·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： （1），对数式为________； （2），对数式为________； （3），指数式为________； （4），指数式为________． 【答案】 ； ； ； . 【分析】运用指对互化规则，“底不变，其他换”，即可转化. 【详解】运用指对互化规则，“底不变，其他换”得到. （1），对数式为； （2），对数式为； （3），指数式为； （4），指数式为. 故答案为：；；；. ▌对点练2-2把下列指数式写成对数式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】利用指数式与对数式的互化即可得解. 【详解】（1）根据指数式与对数式的互化，可知可化为. （2）根据指数式与对数式的互化，可知可化为. ▌对点练2-3（24-25高一上·上海·随堂练习）将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据指数式和对数式的互换公式直接得出答案： 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 题型对数运算 解题贴士 对数运算时，一定要先统一底数，再按“积变加、商变减、幂前移”的顺序逐步拆解或合并 ▌例1（26-27高一上·全国·课堂例题）计算： 【答案】2 【详解】 ▌例2计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)11 【分析】（1）利用对数的运算法制与换底公式即可得答案. （2）利用对数的运算法制与换底公式即可得答案. 【详解】（1）原式 ． （2）原式 . 【点睛】对数式化简或求值的常用方法和技巧 （1）对于同底数的对数式，化简的常用方法是： （1）“收”，即逆用对数的运算性质将同底对数的和（差）“收”成积（商）的对数，即把多个对数式转化为一个对数式； （2）“拆”，即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和（差）． （2）对常用对数的化简要创设情境，充分利用“”来解题． （3）对含有多重对数符号的对数，应从内向外逐层化简． （4）当真数是形如“”的式子时，常用方法是“先平方后开方”或“取倒数”． ▌对点练3-1（26-27高一上·全国·课堂例题）计算： (1) (2). 【答案】(1) (2)0 【详解】（1） . （2）. ▌对点练3-2（25-26高一下·湖南常德·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据幂的运算法则和对数的运算法则计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3） . ▌对点练3-3（1）计算：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）4 【分析】根据对数的运算法则及性质计算可得结果. 【详解】（1）原式； （2）由已知可得， 由，可得， 化简得，即， 解得（舍去），或，则. 题型对数运算性质及其应用（重点） 解题贴士 1、化简复杂对数式时，先统一底数，再按“积变加、商变减、幂前移”的顺序逐步拆解或合并 2、易错点/注意事项 ①忘记“只有同底数才能合并运算”的前提； ②错误地将 等同于 ，对数没有加法分配律 ▌例1（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）（1）证明对数换底公式：（其中且，且，）． （2）已知，试用表示． （3）化简： 【答案】（1）证明:设，即． 两边取以为底的对数，得． 因为，，， 因此上式两边可除以，得． 所以，． （2）； （3） 【分析】（1）将对数式转化为指数式，利用对数的运算性质即可证明. （2）根据换底公式以及对数运算法则化简即得. （3）根据对数运算性质和法则化简计算即得. 【详解】（1）略； （2）因为，因此． （3） ． ▌例2（24-25高一上·全国·周测）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）1 【分析】先利用指对互化，再利用换底公式化简. 【详解】（1）由已知，， 所以. （2）因为，所以，解得， ，解得， 所以. ▌对点练4-1（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）（1）计算的值； （2）已知，，试用表示. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据对数运算，指数运算法则运算求解即可； （2）根据换底公式，结合对数运算求解即可. 【详解】（1）原式. （2）因为，所以， 所以. ▌对点练4-2（25-26高一上·福建南平·阶段检测）计算下列各式值： (1) (2)已知，试求的值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据对数的定义结合对数的运算性质求解即可； （2）将指数式化为对数式，结合对数的运算性质求解即可. 【详解】（1）原式 . （2）因，则， 可得，， 则，， 所以. ▌对点练4-3（25-26高一上·上海·期中）（1）已知，，均为不等于1的正数，求证：； （2）已知，，用，表示，. 【答案】（1），，均为不等于1的正数，令，则， 所以． （2）， 【分析】（1）设，然后对数式化指数式代入原式右边化简即可； （2）根据对数运算性质及换底公式计算可得结果. 【详解】（1）略 （2）因为，所以，所以，又， 所以， . 题型换底公式的应用（重点） 解题贴士 1、遇到不同底数的对数比较大小或混合运算时，利用换底公式统一为常用对数（）或自然对数（），便于化简与计算. 2、易错点/注意事项 换底时分子分母写反，误将 写成. ▌例1（26-27高一上·全国·课堂例题）计算. 【答案】 【分析】由于题目中各个对数的底数都不相同，解答本题时可先通过对数换底公式统一底数，再进行化简求值． 【详解】原式 . ▌例2（25-26高一上·新疆阿克苏·期末）（1）已知：，，求的值； （2）若，，用含、的式子表示. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算可得出的值； （2）利用换底公式结合对数的运算性质可将用、表示. 【详解】（1）因为，，则； （2）因为，，所以. ▌对点练5-1（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）（1）计算：. （2）求值：. （3）已知，请用表示. 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）根据指数幂的运算性质求解出结果； （2）根据对数的运算性质结合换底公式求解出结果； （3）先指对互化表示出，再利用换底公式求解出结果. 【详解】（1）原式 . （2）原式 . （3）因为，所以， 所以. ▌对点练5-2（25-26高一上·广东东莞·期中）（1）求值：； （2）已知，，请用、表示. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用对数、指数的运算性质计算可得出所求代数式的值； （2）由已知条件得出，结合换底公式、对数的运算性质可将用、表示. 【详解】（1）原式 ； （2）因为，所以，则， 又因为，. ▌对点练5-3（2026高三·全国·专题练习）计算：. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用对数换底公式及性质计算得解. 【详解】. 题型 对数方程求解（重点） 解题贴士 对数方程主要有两种类型，第一种类型的对数方程两边都是对数式且底数相同，根据真数相 同转化为关于的方程求解；第二种类型的对数方程可整理成关于的（一元二次）方程，解出 的值，求 ▌例1（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列各式中的值． (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用对数的性质和指数式与对数式的互化关系求解． 【详解】（1）由，得， 故. （2）由，得，故. （3）因为， 所以，所以. ▌例2求下列各式中的x的值． (1)． (2)； (3). 【答案】(1) (2)9 (3)2 【分析】根据对数与指数的互化，结合指数的运算性质逐一求解； 【详解】（1）由，得； （2）由，得，所以； （3）因为，所以，所以. ▌对点练6-1（2026高一·全国·专题练习）完成如下问题：解方程：. 【答案】3或4 【分析】先根据对数值为0，转化为，再结合底数的限制即可求解方程. 【详解】因为，所以，所以或. ▌对点练6-2（24-25高一上·全国·周测）求下列各式中的的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用对数的定义以及指对互化即可求出； （2）化简，再利用对数的定义即可. 【详解】（1）因为，所以，所以. （2）因，所以， 所以. ▌对点练6-3（24-25高一下·福建泉州·开学考试）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或； (2)； (3)． 【分析】（1）根据条件，利用特殊的对数值，得到，即可求解； （2）根据条件，利用特殊的对数值及对数的定义，得到，且不为，即可求解； （3）根据条件，利用特殊的对数值及对数的定义，即可求解. 【详解】（1）因为，所以，解得或. （2）因为，所以，解得或， 当时，，不符合题意， 当时，，所以. （3）因为，所以，所以，故． 题型有附加条件的对数求值问题（难点） 解题贴士 带附加条件的对数问题主要是已知一些对数值或其等量关系，利用这些条件来表示所要求 的式子，解此类问题要充分利用对数的转化，同时，还要注意整体思想的应用. ▌例1（2026·福建福州·三模）已知，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由，得，，. 令（且），则，，； ； 且，. ，即； ，即，解得. ▌例2若，则_____． 【答案】0 【分析】首先进行指对互化，再由换底公式得出、、的值，代入求解即可. 【详解】设， 则， 所以， ， 所以. 故答案为：. ▌对点练7-1（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知（）且，则实数的值为_______________. 【答案】 【详解】由题可知， 因为，所以， 又，所以， 所以，即， 所以，即. ▌对点练7-2（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）已知，则______. 【答案】/ 【分析】根据题意，利用指数式与对数的互化公式，以及对数的运算法则，准确计算，即可求解. 【详解】由，可得，， 则. ▌对点练7-3（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知，且，则的值为______． 【答案】/ 【分析】先利用指数与对数互换得出，然后利用对数运算性质与指数运算性质化简运算即可. 【详解】因为，所以， 由， 所以，解得：， 故答案为：. 题型对数的实际应用 ▌例1（26-27高三上·北京·开学考试）德国心理学家艾•宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”.“遗忘曲线”中记忆率随时间（小时）变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为（    ）（参考数据：，） A．0.2小时 B．0.5小时 C．0.8小时 D．2小时 【答案】B 【分析】根据记忆率为50%列方程，通过两边取常用对数，代入参考数据计算可得t的值. 【详解】由题意，记忆率， 代入函数得，，移项整理得， 两边取以10为底的对数，根据对数运算性质可得，， 将、代入， 结合参考数据，得， ， 因此， 则小时. ▌例2（2025高三上·全国·竞赛）在某个外星世界中，生物的最大奔跑速度取决于它的脚趾数量和眼睛数量．在速度以厘米每小时为单位时，两者的关系可表示为，其中均为整数常数．所有生物都有5根脚趾的种群满足；所有生物都有25只眼睛的种群满足，这里的对数均以10为底．问的值是多少？（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 E．24 【答案】C 【详解】对两边同时取以为底的对数，可得. ∵ 当种群脚趾数量为定值时，， 对比上式系数可得：，且 ①. ∵ 当种群眼睛数量为定值时，， 对比上式系数可得：，且 ②. 将代入①，得， ∴ ，∴ . 将代入②验证： 左边，符合等式. ∴ . ▌对点练8-1（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天的“落后”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍．那么当“进步”的是“落后”的10倍，大约经过（   ）天．（参考数据：，） A．110 B．115 C．120 D．125 【答案】B 【分析】根据给定条件，列式并利用对数运算求解. 【详解】设经过天“进步”的值是“落后”的10倍，根据题意，每天进步1%时，天后的进步值为，每天退步1%时，天后的退步值为，则，即， 则, 所以大约经过115天，“进步”的值是“落后”的10倍. ▌对点练8-2（2026·北京·三模）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要20min，那么降温到大约需要（    ）（参考数据；） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出半衰期，再根据指数，对数的运算性质及换底公式计算即可. 【详解】由题意可得，即，解得. 设降温到大约需要，则，即， 所以， 解得，所以大约需要. ▌对点练8-3（2026·安徽·三模）股票是一种有价证券，代表持有者对股份公司的所有权，股票交易是一种重要的金融市场行为．已知某支股票的当前价格为12元每股，交易所规定每个交易日该股票价格的最大涨幅为20%（达到最大涨幅时称为“涨停板”），最大跌幅也为20%（达到最大跌幅时称为“跌停板”），现在不考虑其他限制，设个交易日后该股票价格达到60元每股，则的最小值为（  ）（参考数据：，） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据每日最大涨幅列出个交易日后股票价格满足的不等式，两边取常用对数后结合给定参考数据计算，得到的最小正整数值. 【详解】要让最小，需要每个交易日都涨停（每天价格变为原来的倍）， 因此天后的价格满足不等式化简得， 两边取常用对数，得 因为， ， 所以， 因为是正整数，所以的最小值为. 基础通关 1．（2026高一·全国·专题练习）若与互为相反数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质即可求得结果. 【详解】与互为相反数， ，则. 2．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 则有，所以. 3．（25-26高二下·天津红桥·期末）已知，，则（     ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】因为，， 所以. 4．（25-26高一下·四川乐山·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以. 5．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）已知，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】由，得，而， 则. 6．（25-26高三下·浙江嘉兴·阶段检测）设，下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据给定条件，取特殊值逐一计算判断即可. 【详解】对于①②③，由，令， ，①错误； ，②错误； ，③错误； 对于④，取，，④错误， 因此①②③④都错误. 7．（多选）（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）下列结论正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据对数运算的相关公式和性质，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A选项，因为，所以，故A正确； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，，故C正确； 对于D选项，，故D错误． 8．（多选）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】，所以，所以，故A正确，B错误；，故C错误，D正确． 9．（26-27高一上·全国·课后作业）若a＝lg 2，b＝lg 3，则10a＋2b的值为________，的值为________. 【答案】 18 【分析】首先进行指对互换，即，，再利用指数幂的运算规则计算即可. 【详解】，，则， . 10．（25-26高二下·天津滨海新区·期末）已知实数，满足：，且，则_______． 【答案】 【分析】化成对数式后根据对数的运算法则计算即可. 【详解】由题， 所以. 素养提升 1．（25-26高一下·湖南邵阳·期末）随着微信的普及，越来越多的人们购物优先选用微信支付.已知市面上最常见的微信付款码是由点阵构成，理论上不同的微信付款码的总数为个，而已知宇宙空间中原子总数约为个，则下列数据中与的值最接近的是（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算出，即可选出答案. 【详解】， 所以 2．（2026·天津南开·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得， 则， 所以. 3．（多选）（2026·山东聊城·模拟预测）已知正数满足，则（   ） A． B．的最小值为2 C．的最小值为9 D．的最小值为1 【答案】AC 【分析】先根据对数的运算法则对已知等式进行化简，得到的关系，然后根据基本不等式逐一验证. 【详解】， 解得，即，选项A正确； ，即，则，所以的最小值为4，选项B错误； ，则， ， 当且仅当，时等号成立，即，选项C正确； ，当且仅当时成立， 而，则，所以取不到，选项D错误. 4．（25-26高二下·天津津南·期末）已知 ，且 ，则 的最小值为_____. 【答案】 【详解】， 因为，所以， 所以，当且仅当， 即时取得等号， 所以 的最小值为. 5．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）（1）18世纪，瑞士数学家欧拉发现指数与对数的联系，他指出“对数源出于指数”.为了计算对数的方便，常运用换底公式将代数式中不同底的对数化为同底的对数. ①请写出对数的换底公式； ②请依据对数的换底公式证明. （2）请分别计算下列两小问中x，y的值： ①； ②实数a，b满足. 【答案】（1）①； ②； （2）①；② 【分析】（1）①直接写出换底公式；②利用对数换底公式证明； （2）①利用换底公式求值；②由已知得，再利用换底公式和对数运算性质求值. 【详解】（1）①对数的换底公式：； ②略 （2）①； ②因为，则， 所以. 迁移创新 1．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知且，则下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查对数的运算性质以及基本不等式的应用，解题的关键在于根据对数的运算法则对各选项进行化简，再结合已知条件且进行分析判断. 【详解】对于A：，A正确； 对于B：取，，，，B错误； 对于C：因为，所以，因为，所以，当时，，此时，，选项C正确； 当时，，根据均值不等式，，因为，故，选项C正确； 对于D：因为，所以，因为，所以， ，选项D正确. 2．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）下列各式：①，②，③，④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据指数幂以及对数的运算性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】， ， ， ， 故③④正确，①②错误， 其中正确的个数为2. 3．（2026高二下·全国·竞赛）设正实数，，同时满足，，，则的值为__________. 【答案】 【分析】利用对数的换底公式统一底数求解. 【详解】可化为，即，所以① 可化为，同理得②， 可化为，同理得③ 将①②③式相加得 得到，即，所以，所以. 4．（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）若，且，则______． 【答案】3 【分析】将化为对数式，根据题干得到关于的方程，求解方程即可. 【详解】由可得，， 则， 因为，且， 所以， 即得，解得或（不符合题意舍去）， 故答案为：3. 5．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）__________． 【答案】 【分析】利用对数的运算法则求解即可. 【详解】， 故答案为： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $